建模--图论模型

案例：多阶段存储问题
某工厂生产产品所需的原料分3个阶段进货。根据 供货条件，每次进货量只能是从5，7或10单位中选 一个方案，其运费分别为120，138和161个单位。 第 i 阶段对原料的需求为ai个单位。a1=7，a2=8， a3=9 已知第1阶段初工厂仓库存储原材料3个单位。仓库 对原材料库存允许为6个单位。本阶段进货在本阶 段就供应的原材料不必进入仓库。每阶段存储的原 材料需付存储费，每单位存储费为1单位。现要求 第3阶段末存的原材料至少为1单位 给出保证生产条件下的最小费用的进货方案。
定义1 设P(u, v) 是赋权图G = (V, E , F) 中从点u到v的路径, 用E(P) 表示路径P(u, v) 中全部边的集合, 记
F ( P)
eE ( P )
F ( e)
则称F (P)为路径P(u, v) 的权或长度(距离).
定义2 若P0 (u, v) 是G 中连接u, v的路径, 且 对任意在G 中连接u, v的路径P (u, v)都有 F (P0)≤F(P), 则称P0 (u, v) 是G 中连接u, v的最短路.

,
vi v j E.
0 6 8 0 7 A 3 0 2 4 5 0
无向图G的权矩阵A是一个对称矩阵.
0 6 6 0 A 3 7 4
3 4 7 0 2 2 0
附 2. 最短路与最小生成树
小区 号 1 2 3
4
5
4
6
3
3
5
5
M
6.3
6.3
M
4.5
4.5
6
6
6
7
4.8
6.3
4.8
5
4.8
5
4.5
6
4.5
6
M
4.8
4.8
M
案例背景推广： 消防中心 模型不足：在服务之时，需要考虑的服 务对象“要求服务的人数” 之前问题所考虑的是每个小区之间的人 口是无差异的。若考虑小区的规模呢， 或小区中需要服务的人数不同，此时模 型的不足就体现出来了。
顶点权重矩阵
3 W 2 7 1 6 1 4
最短距离矩阵
0 6 35 WD 8 42 7 34 9 15 24 21 21 25.5 11 52.5 6.5 33 1.5 0


分析： 走过每条边一次--（欧拉图 or 一 笔画问题） 返回：最短路径 问题

例：各街道网络如图所示
中国邮路问题图解（共长35+6=41）

案例背景推广：
街道巡逻并返回值班室 推销员分派传单并返回公司，供暖网络 本案待解决问题之一：若不能形成欧拉 链，可以补增使之有欧拉链，补增过程 中希望做到总长度最小。
B 10 A 15 20 10 D 5 20 10 E
C
25
练习 4 （最优分配）

某公司打算向 它3个营业区 设6家销售店， 每个营业区至 少一家，利润 如表所示。如 何分配使利润 最大
利
营业区
润
1
A
200
B
210
C
180
分 店 数 目
2
3
280
330
220
225
220
260
4
340
230
280
d ij=|x i - x j| + |y i - y j|
问如何搭设，使线长最短（不计接
线损耗）
a a
b c d
b 10
0
c 25
15 0
d 25
15 10 0
e 43
33 18 18
f 27
27 20 12
g 43
43 36 28
h 40
40 33 25
i 22
22 27 27
0
e
f g h i
7
4
破圈（回路）法
2
2 5 1 5
1
3
7
4
破圈（回路）法
2
2 5 1 5
1
3
7
4
破圈（回路）法2源自2 5 1 513
7
破圈（回路）法
2
2 5 1 5
1
3
7
破圈（回路）法
2
2 5
1
3
1
7
破圈（回路）法
2
2 5
1
3
1
7
破圈（回路）法
2
2 5
1
3
1
总权数和为14
案例： 中国邮路问题
邮递员从邮局出发递送信件 1. 管辖的街道至少走过一次，2. 返回邮 局（收回一些待寄出的邮件，这些邮件 需收回到邮局） 问：如何选择合适的投递路线，以便走 尽可能少的路程。 归结为：能否找到闭链，使该闭链包含 每边至少一次，且总长最小。
1 0 0 0
0 1 0 1
1 0 1 0
无向图G的邻接矩阵A是一个对称矩阵.
0 1 A 1 1
1 0 1 0
1 1 0 1
1 0 1 0
⑵ 权矩阵 一个n阶赋权图G = (V, E, F)的权 矩阵A = (aij ) n×n , 其中 有限简单 F (vi v j ), vi v j E; 图基本上可用 aij 0 i j; 权矩阵来表示.



破圈（回路）法 求解最小树问题 --去除圈中权最大的边
2 5 2
7
5 1 5
4
1
3
7
4
破圈（回路）法
7
5 1 5
2 5
2
4
1
3
7
4
破圈（回路）法
7
5 1 5
2
2
4
1
3
7
4
破圈（回路）法
7
5 1 5
2
2
4
1
3
7
4
破圈（回路）法
7
5 1 5
2
2
1
3
7
4
破圈（回路）法
7
5 1 5
2
2
1
3
0
24
0
20
16 0
33
13 17 0
45
21 29 18 0
a
a 0
b
10
c
25
d
25
e
43
f
27
g
43
h
40
i
22
b
c d
0
15
0
15
10 0
33
18 18
27
20 12
43
36 28
40
33 25
22
27 27
e
f g
0
24
0
20
16 0
33
13 17
45
21 29
h i
0
18 0
b
a
c
d
w1 w2 w3 w4
练习 2 （中心问题）

某城市建一个消防站，为市里所属7个区 服务。7个区分布如图示，问建在哪个区， 使得至最远区路径最短。
练习 3 （重心问题）
某城有5个区组成，各区之间的道路情况如下图所示，各 边的权数为距离（千米）。已知各区年消费粮食分别为 6000、4000、10000、7000和9000吨，若该城准备建一座 统一的粮库，问就运输的吨千米数最小粮库应建在哪个区？

最短路径的找法（ Dijkstra标号法）
最短路径的找法（ 图解）
案例：最优原则，动态规划问题
一远洋轮计划在A处装货后驶入F港，
中途要加油、淡水共4次，航线如图 示。其中Bi, Ci, Di, Ei 可加油、淡水 中专站。试给出合理停靠方案使航 线最短。
各航线间的示意图
远洋问题图解（路长为19）

多阶段存储问题图解
多阶段存储问题图解
练习 1 （最小树问题）
现有五口油井，相互之间的距离（*10千米）如下表所示，问 应如何铺设输油管线使输油管长度最短。为便于检修和计量，输油 管只允许在井口处分路。
到 从
w2 1.3
w3 2.1 0.9
w4 0.9 1.8 2.6
w5 0.7 1.2 1.7 0.7

案例： 选址问题 （中心问题） 现准备在 n 个居民点v1, v2, … , vn中设置一银 行.问设在哪个点,可使最大服务距离最小? 若设 置两个银行,问设在哪两个点? 模型假设 假设各个居民点都有条件设置银 行,并有路相连,且路长已知. 模型建立与求解 用Floyd算法求出任意两 个居民点vi , vj 之间的最短距离,并用dij 表示. ⑴ 设置一个银行,银行设在 vi 点的最大服务 距离为


模型改进
原来的图中的顶点没有权重（中心问题） 考虑要服务的人数，我们对顶点进行赋 权 （重心问题） 思考：经调查，第k个小区的人口规模为 Wk，以概率Pk要求服务，此时又该设在 哪个小区呢？

案例： 选址问题（重心问题）
某矿区有7个矿点，每天产量（ ）以及矿矿之 间的距离如图所示。在矿点中找到一个矿点 建厂，使得每天的总运力最小。
d (i, j ) max {min{ d ik , d jk }}.
1 k n
则s,t 满足：
d (s, t ) min {d (i, j )}.
1i j n

最短距离矩阵
1 M 6.3 6 2 6.3 M 6 3 6 6 M 4 4 3 5 5 6 3 5 6 4.8 4.8 4.8 7 6.3 5 5
3.3
6.3
4
6
0
3
3
0
1.8
4.8
3.3
1.5
6.3
9.3
6
7
4.5
6
1.5
3
2.5
4
1.8
3.3
4.8
6.3
0
1.5
1.5
0
4.8
6.3
求k,使
d k min {d i }.
1i n
即若设置一个银行,则银行设在 vk 点,可使最 大服务距离最小. ⑵ 设置两个银行,假设银行设在vs , vt 点使最 大服务距离最小. 记
最短距离矩阵
3 5 8 7 7 0 3 0 2 5 4 4 2 0 3 2 6 5 D 8 5 3 0 1 5 7 4 2 1 0 4 4 6 5 4 0 7 8.5 5.5 7.5 6.5 5.5 1.5 8.5 5.5 7.5 6.5 5.5 1.5 0
KEY TO 1-4

1. 最短共长35km 2. 设在V5 3.设在 C处，年运输量270，000 tkm 4. 图解，最佳法案为双线部分，其中Ai Bi意义
自行指出
附
1. 图论的基本概念
图论中的“图”并不是通常意义下的几何图 形或物体的形状图, 而是以一种抽象的形式来表 达一些确定的事物之间的联系的一个数学系统. 定义1 一个有序二元组(V, E ) 称为一个图, 记 为G = (V, E ), 其中 ① V称为G的顶点集, V≠, 其元素称为顶点或 结点, 简称点; ② E称为G的边集, 其元素称为边, 它联结V 中的两个点, 如果这两个点是无序的, 则称该边为 无向边, 否则, 称为有向边. 如果V = {v1, v2, … , vn}是有限非空点集, 则称 G为有限图或n阶图.
图的方法建模
卢里举
北京理工大学珠海学院基础部
案例：最小树问题

某乡镇要为其治下的9个村庄架设电路。 各村庄在平面坐标上分别为a（0，15）、 b（5，20）、c（16，24）、d（20， 20）、e（33，25），f（23，11）、g （35，7）、h（25，0），i（10，3）两 个村庄线长定义为：
定义4 任意两点均有通路的图称为连通图. 定义5 连通而无圈的图称为树, 常用T表示树.
图的矩阵表示
⑴ 邻接矩阵 邻接矩阵表示了点与点之间的邻 接关系.一个n阶图G的邻接矩阵A = (aij )n×n , 其中
1, vi v j E; aij 0, vi v j E.
0 0 A 1 1
第7列：选址在V7处 各点到V7的运力分 量
第1列：选址在V1处 各点到V1的运力分 量
重心问题的机器算法
求最小距离矩阵D【Floyd算法】
找到顶点权重矩阵W=(W1,…Wn)
计算(1,…1)WD=(p1,…pn)，其
中pi表示设在i 处总服务量。 找出最小值

案例背景推广：
商业中心 物流中心 服务中心 医院
di max{dij }, i 1,2,..., n.
1 j n

最短距离矩阵
1 0 3 5 2 3 0 2 3 5 2 0 4 6.3 3.3 4 5 9.3 6.3 6 6 4.5 1.5 2.5 7 6 3 4 最大 距离 9.3 6.3 6
小区 号 1 2 3
4
5
6.3
9.3
定义2 若将图G的每一条边e都对应一个实数 F (e), 则称F (e)为该边的权, 并称图G为赋权图(网 络), 记为G = (V, E , F ).
定义3 设G = (V, E)是一个图, v0, v1, …, vk∈V, 且1≤i≤k, vi-1vi∈E, 则称v0 v1 … vk是G的一条通路. 如果通路中没有相同的边, 则称此通路为道路. 始 点和终点相同的道路称为圈或回路. 如果通路中 既没有相同的边, 又没有相同的顶点, 则称此通路 为路径, 简称路.
b a f
c
d
b a f h
c
d
b a f Del h c d
b g a f Del h c d
b g a f Del h c d Del
b g a f Del h c Del e d i
Del

总长为112

案例背景推广： 电路搭设（网路、电话） 管道连同（水管、煤气管道、石油管道、 城市排污系统） 交通运输（带中转站），交通网络