公开课：线段的垂直平分线课件

B A
D
线段的垂直平分线
性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端 点
的距离相等。
逆命题：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线
段的垂直平分线上。
点P在线段AB 的垂直平分线 上
P
?
PA=PB
A
C
B
与线段两端距离相等的点在这 条线段的垂直平分线上。
已知，如图，AP=BP 求证：点P在线段AB的垂直平分线上
性质定理：线段垂直平分线上的点和这条 M
线段两个端点的距离相等。
点P在线段 AB的垂直 平分线上
几何语言 ∵点P在线段AB的垂直平分线上
∴ PA=PB (线段垂直平分线上 A 的点和这条线段两个 端点的距离相等)
C B
线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的 距离相等
P PA=PB
N
基础练习：
1、如图,线段MN被直线AB垂直 平分,图中有哪些相等的线段?
一,课前预习
1,什么叫轴对称图形?什么叫对称轴?
如果一个图形沿着一条线对折， 两侧的图形能够完全重合，这样 的图形就是轴对称图形。
折痕所在的直线就是 轴对称图形的对称轴。
（1）什么叫线段的垂直平分线？
（2）线段是轴对称图形吗？
（3）怎样做出一条线段的垂直平分线？
线段的垂直平分线的性质
动手操作：作线段AB的中垂线
1． 如图，已知点A、点B以及直线l，在直线l上求 作一点P，使PA＝PB．
提示：连结AB,
作AB的垂直平分 线，交直线L于P, 点P就是所求的点。
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(第 1 题)
结论：三角形三边的垂直平分线交于一点,这一点到 三角形三个顶点的距离相等。
线段的垂直平分线 性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段
两个端点的距离相等。
逆பைடு நூலகம்理：和一条线段两个端点距离相等的点，
在这条线段的垂直平分线上。
点P在线段AB 的垂直平分线 上
线段垂直平分线上的点和这 条线段两个端点的距离相等
PA=PB
和一条线段两个端点距离相等的 点，在这条线段的垂直平分线上
线段的垂直平分线的集合定义：
A
B
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课堂练习
练习3 如图，AB =AC，MB =MC．直线AM 是线段 BC 的垂直平分线吗？ A 解：∵ AB =AC， ∴ 点A 在BC 的垂直平分线． ∵ MB =MC， M ∵ 点M 在BC 的垂直平分线上， ∴ 直线AM 是线段BC 的垂直 B D C 平分线．
作线段的垂直平分线
怎样作线段AB 的垂直平分线呢？ 作法：如图． 1 （1）分别以点A，B 为圆心，以大于 AB的长为半径 2 作弧，两弧相交于C，D 两点； （2）作直线CD． C CD 就是所求作的直线． 这种作法的依据是什么？ A 这种作图方法还有哪些作用？ 确定线段的中点． B D
生活中的数学
基础练习：
（1）若PA=PB，则OP垂直平分AB . ( )
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基础练习：
如图，判断下列各结论的正误:
（1）若PA=PB，则OP垂直平分AB. ( )
（2）若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线 上. （ ）
（3）若PA=PB，OA=OB,则OP垂直平分AB . （ ）
B. ∠A﹤∠B
M P
B N
应用举例:
例1。如图所示，在ΔABC中，边BC的垂直平分 线MN分别交AB于点M,交BC于点N, ΔBMC的周 长为23,且BM=7,求BC的长。
A M
解:∵ MN是线段BC的垂直平分线
BM=7 ∴ CM=BM=7 ∵ ΔBMC 的周长=23 ∴BM+CM+BC=23 ∴BC=23-CM-BM =23-7-7
∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点 P http://www.bnup.com.cn
C
思考：生活中的数学
某区政府为了方便居民的生 活，计划在三个住宅小区A、B、 C之间修建一个购物中心，试问， 该购物中心应建于何处，才能 使得它到三个小区的距离相等。
A
·
B
C
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Ｏ
C A N B
E
1. 已知：如图，△ABC中，边AB、BC的垂 直平分线相交于点P. A 求证：PA=PB=PC
证明：∵△ ABC 中， 边 AB 、 BC 的 垂 直 平 分 线 B 相交于点P ∴PA=PB，PB=PC ∴PA=PB=PC
P C
1、已知如图，DE是△ABC的边 AB的垂直平分线，D为垂足，DE 交AC于点E，且AC＝8，BC＝5， 13 则△BEC的周长为_______ 。
M
EM=EN
FM=FN BM=BN OM=ON
N
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A E
o
F
B
基础练习：
2.如图P是AB垂直平分线MN上一点， 连结PA、PB,则∠A与∠B( C ) A.∠A﹥∠B C. ∠A=∠B A
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A
在某高速公路L的同侧，有两个工厂A、B，为了便 于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医 院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选 在何处？你的方案是什么?
B
老师期望: 养成用数学解释生活的 习惯.
L
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高 速 公 路
综合提高
例1已知：在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线交于点P
求证：P点在AC的垂直平分线上．
证明：连接AP，BP，CP． ∵点P在线段AB的垂直平分线上， P A
∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到线段两 个端点的距离相等)． B 同理PB=PC．∴PA=PC． ∴P点在AC的垂直平分线上(到线段两个端 点距离相等的点.在这条线段的垂直平分线上)．
证明：过点P作直线MN垂直于线段AB交AB于点O
在Rt △ AOP与Rt △ BOP中 ∵O是AB的中点 ∴PA=PB(已知) PO=PO(公共边) ∵ Rt △ AOP ≌ Rt △ BOP(HL) ∴OA=OB(全等三角形的对应边相等)
与线段两端距离相等的点在这条线段的 垂直平分线上。
∴PO垂直平分AB ，即点P在线段AB的垂直平分线上
线段的垂直平分线可以看作是和线 段两个端点距离相等的所有点的集合
基础练习：
.如图，判断下列各结论的正误:
（1）若PA=PB，则OP垂直平分AB. (
（2）若PA=PB，则点P在线段
)
AB的垂直平分线上. （
）
A
（3）若PA=PB，OA=OB,则
OP垂直平分AB .
（
）
B
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5、如图， NM是线段AB的中垂线, 下列说法正确的有： ①②③ 。 ①AB⊥MN,②AD=DB， ③MN⊥AB， ④MD=DN，⑤AB是MN的垂直平分线
M
A
D
B
N
6、下列说法中，正确的个数有（ C ） ①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA=EB，PA=PB； ②若PA=PB，EA=EB，则直线PE垂直平分线段AB；
③若PA=PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；
④若EA=EB，则过点E的直线垂直平分线段AB． A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
作线段的垂直平分线
我们已能用尺规完成：
（1）作一条线段等于已知线段； （2）作一个角等于已知角； （3）作一个角的平分线； 还需学会： （4）作线段的垂直平分线； （5）经过已知直线外一点作这条直线的垂线．
例3。如图所示，直线MN和DE分别是线段AB、BC的 垂直平分线,它们交于点Ｏ,试判断线段ＯA和ＯC是否 相等？请说明理由？
D M
解：相等，连接ＯB.
∵ MN是线段AB的垂直平分线 （已知） ∴ ＯA=ＯB（线段中垂线的性 质） 又∵ DE是线段BC的垂直平分线 （已知） ∴ ＯB=ＯC（线段中垂线的性 质） ∴ ＯA=ＯC（等量代换）
B
D
E
C
课堂练习
练习4 如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的 垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？ AB+BD与DE 有什么关系？
A
B
D
C
E
例题：
如图，在Rt△ABC中，∠C=90， DE是AB的垂直平分线，连接AE， C ∠CAE：∠DAE=1：2，求∠B的E 度数。
针对性练习：
2.如图，已知BC的垂直平分线分别交BC、AB 于E、D,如果AB+AC=40cm,则三角形ACD的 周长是（ ）。 A
A
A.40cm B.30cm C.35cm D.25cm
D B
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E
C
课堂练习
练习3 如图，在△ABC 中，BC =8，AB 的中垂线 交BC于D，AC 的中垂线交BC 与E，则△ADE 的周长等 8 ． 于______ A
MN，垂足为C；在MN上任取一点 P，连结PA、PB；
量一量：PA、PB的长，你能发现什么？
PA=PB P1A=P1B
…… P
M
由此你能得到什么规律？
命题：线段垂直平分线上 的点与这条线段两个端点 的距离相等。
A
C
B
P1 N
线段的垂直平分线
命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。
M
提高训练
实际问题
1、求作一点P，使它和已知 △ABC的三个顶点距离相等.
作法：（1）作边BC的垂直平分线MN. （2）作边AB的垂直平分线M'N'. （3）MN与M'N'相交于点P.
B
数学化
A
实 际 问 题
1
p
C
∴点P就是所求作的点.
PA=PB=PC
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1．分别作出直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三边的 垂直平分线，说明交点分别在什么位置.
锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内；直 角三角形三边的垂直平分线交点在斜边上；钝角三角形 三边的垂直平分线交点在三角形外．
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已知：如图， 直线MN⊥AB,垂足为C, 且AC=CB. 点P在MN上.
P
PA=PB 求证：
证明：∵MN⊥AB ∴ ∠ PCA= ∠ PCB=90º 在 ΔPAC和Δ PBC中， AC=BC ∠ PCA= ∠ PCB PC=PC ∴ ΔPAC ≌Δ PBC[SAS] ∴PA=PB
A
C
B
N
线段的垂直平分线
B
N
C
=9
例2。如图，BC=BA，MN垂直平分BC，若△ABC周长 为28，CA=8，求:△DCA的周长。 解：∵ △ABC周长为28，CA=8
B M D C A N
BC=BA ∴2BA+CA=28 ∴BA=10 ∵ MN垂直平分BC ∴ BD=DC ∴ △DCA的周长=DC+DA+CA =BD+DA+CA =BA+CA =10+8 =18