公开课:线段的垂直平分线课件
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B A
D
线段的垂直平分线
性质定理:线段垂直平分线上的点和这条线段两个端 点
的距离相等。
逆命题:和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线
段的垂直平分线上。
点P在线段AB 的垂直平分线 上
P
?
PA=PB
A
C
B
与线段两端距离相等的点在这 条线段的垂直平分线上。
已知,如图,AP=BP 求证:点P在线段AB的垂直平分线上
性质定理:线段垂直平分线上的点和这条 M
线段两个端点的距离相等。
点P在线段 AB的垂直 平分线上
几何语言 ∵点P在线段AB的垂直平分线上
∴ PA=PB (线段垂直平分线上 A 的点和这条线段两个 端点的距离相等)
C B
线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的 距离相等
P PA=PB
N
基础练习:
1、如图,线段MN被直线AB垂直 平分,图中有哪些相等的线段?
一,课前预习
1,什么叫轴对称图形?什么叫对称轴?
如果一个图形沿着一条线对折, 两侧的图形能够完全重合,这样 的图形就是轴对称图形。
折痕所在的直线就是 轴对称图形的对称轴。
(1)什么叫线段的垂直平分线?
(2)线段是轴对称图形吗?
(3)怎样做出一条线段的垂直平分线?
线段的垂直平分线的性质
动手操作:作线段AB的中垂线
1. 如图,已知点A、点B以及直线l,在直线l上求 作一点P,使PA=PB.
提示:连结AB,
作AB的垂直平分 线,交直线L于P, 点P就是所求的点。
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(第 1 题)
结论:三角形三边的垂直平分线交于一点,这一点到 三角形三个顶点的距离相等。
线段的垂直平分线 性质定理:线段垂直平分线上的点和这条线段
两个端点的距离相等。
逆பைடு நூலகம்理:和一条线段两个端点距离相等的点,
在这条线段的垂直平分线上。
点P在线段AB 的垂直平分线 上
线段垂直平分线上的点和这 条线段两个端点的距离相等
PA=PB
和一条线段两个端点距离相等的 点,在这条线段的垂直平分线上
线段的垂直平分线的集合定义:
A
B
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课堂练习
练习3 如图,AB =AC,MB =MC.直线AM 是线段 BC 的垂直平分线吗? A 解:∵ AB =AC, ∴ 点A 在BC 的垂直平分线. ∵ MB =MC, M ∵ 点M 在BC 的垂直平分线上, ∴ 直线AM 是线段BC 的垂直 B D C 平分线.
作线段的垂直平分线
怎样作线段AB 的垂直平分线呢? 作法:如图. 1 (1)分别以点A,B 为圆心,以大于 AB的长为半径 2 作弧,两弧相交于C,D 两点; (2)作直线CD. C CD 就是所求作的直线. 这种作法的依据是什么? A 这种作图方法还有哪些作用? 确定线段的中点. B D
生活中的数学
基础练习:
(1)若PA=PB,则OP垂直平分AB . ( )
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基础练习:
如图,判断下列各结论的正误:
(1)若PA=PB,则OP垂直平分AB. ( )
(2)若PA=PB,则点P在线段AB的垂直平分线 上. ( )
(3)若PA=PB,OA=OB,则OP垂直平分AB . ( )
B. ∠A﹤∠B
M P
B N
应用举例:
例1。如图所示,在ΔABC中,边BC的垂直平分 线MN分别交AB于点M,交BC于点N, ΔBMC的周 长为23,且BM=7,求BC的长。
A M
解:∵ MN是线段BC的垂直平分线
BM=7 ∴ CM=BM=7 ∵ ΔBMC 的周长=23 ∴BM+CM+BC=23 ∴BC=23-CM-BM =23-7-7
∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点 P http://www.bnup.com.cn
C
思考:生活中的数学
某区政府为了方便居民的生 活,计划在三个住宅小区A、B、 C之间修建一个购物中心,试问, 该购物中心应建于何处,才能 使得它到三个小区的距离相等。
A
·
B
C
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O
C A N B
E
1. 已知:如图,△ABC中,边AB、BC的垂 直平分线相交于点P. A 求证:PA=PB=PC
证明:∵△ ABC 中, 边 AB 、 BC 的 垂 直 平 分 线 B 相交于点P ∴PA=PB,PB=PC ∴PA=PB=PC
P C
1、已知如图,DE是△ABC的边 AB的垂直平分线,D为垂足,DE 交AC于点E,且AC=8,BC=5, 13 则△BEC的周长为_______ 。
M
EM=EN
FM=FN BM=BN OM=ON
N
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A E
o
F
B
基础练习:
2.如图P是AB垂直平分线MN上一点, 连结PA、PB,则∠A与∠B( C ) A.∠A﹥∠B C. ∠A=∠B A
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A
在某高速公路L的同侧,有两个工厂A、B,为了便 于两厂的工人看病,市政府计划在公路边上修建一所医 院,使得两个工厂的工人都没意见,问医院的院址应选 在何处?你的方案是什么?
B
老师期望: 养成用数学解释生活的 习惯.
L
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高 速 公 路
综合提高
例1已知:在△ABC中,设AB、BC的垂直平分线交于点P
求证:P点在AC的垂直平分线上.
证明:连接AP,BP,CP. ∵点P在线段AB的垂直平分线上, P A
∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到线段两 个端点的距离相等). B 同理PB=PC.∴PA=PC. ∴P点在AC的垂直平分线上(到线段两个端 点距离相等的点.在这条线段的垂直平分线上).
证明:过点P作直线MN垂直于线段AB交AB于点O
在Rt △ AOP与Rt △ BOP中 ∵O是AB的中点 ∴PA=PB(已知) PO=PO(公共边) ∵ Rt △ AOP ≌ Rt △ BOP(HL) ∴OA=OB(全等三角形的对应边相等)
与线段两端距离相等的点在这条线段的 垂直平分线上。
∴PO垂直平分AB ,即点P在线段AB的垂直平分线上
线段的垂直平分线可以看作是和线 段两个端点距离相等的所有点的集合
基础练习:
.如图,判断下列各结论的正误:
(1)若PA=PB,则OP垂直平分AB. (
(2)若PA=PB,则点P在线段
)
AB的垂直平分线上. (
)
A
(3)若PA=PB,OA=OB,则
OP垂直平分AB .
(
)
B
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5、如图, NM是线段AB的中垂线, 下列说法正确的有: ①②③ 。 ①AB⊥MN,②AD=DB, ③MN⊥AB, ④MD=DN,⑤AB是MN的垂直平分线
M
A
D
B
N
6、下列说法中,正确的个数有( C ) ①若直线PE是线段AB的垂直平分线,则EA=EB,PA=PB; ②若PA=PB,EA=EB,则直线PE垂直平分线段AB;
③若PA=PB,则点P必是线段AB的垂直平分线上的点;
④若EA=EB,则过点E的直线垂直平分线段AB. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
作线段的垂直平分线
我们已能用尺规完成:
(1)作一条线段等于已知线段; (2)作一个角等于已知角; (3)作一个角的平分线; 还需学会: (4)作线段的垂直平分线; (5)经过已知直线外一点作这条直线的垂线.
例3。如图所示,直线MN和DE分别是线段AB、BC的 垂直平分线,它们交于点O,试判断线段OA和OC是否 相等?请说明理由?
D M
解:相等,连接OB.
∵ MN是线段AB的垂直平分线 (已知) ∴ OA=OB(线段中垂线的性 质) 又∵ DE是线段BC的垂直平分线 (已知) ∴ OB=OC(线段中垂线的性 质) ∴ OA=OC(等量代换)
B
D
E
C
课堂练习
练习4 如图,AD⊥BC,BD =DC,点C 在AE 的 垂直平分线上,AB,AC,CE 的长度有什么关系? AB+BD与DE 有什么关系?
A
B
D
C
E
例题:
如图,在Rt△ABC中,∠C=90, DE是AB的垂直平分线,连接AE, C ∠CAE:∠DAE=1:2,求∠B的E 度数。
针对性练习:
2.如图,已知BC的垂直平分线分别交BC、AB 于E、D,如果AB+AC=40cm,则三角形ACD的 周长是( )。 A
A
A.40cm B.30cm C.35cm D.25cm
D B
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E
C
课堂练习
练习3 如图,在△ABC 中,BC =8,AB 的中垂线 交BC于D,AC 的中垂线交BC 与E,则△ADE 的周长等 8 . 于______ A
MN,垂足为C;在MN上任取一点 P,连结PA、PB;
量一量:PA、PB的长,你能发现什么?
PA=PB P1A=P1B
…… P
M
由此你能得到什么规律?
命题:线段垂直平分线上 的点与这条线段两个端点 的距离相等。
A
C
B
P1 N
线段的垂直平分线
命题:线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。
M
提高训练
实际问题
1、求作一点P,使它和已知 △ABC的三个顶点距离相等.
作法:(1)作边BC的垂直平分线MN. (2)作边AB的垂直平分线M'N'. (3)MN与M'N'相交于点P.
B
数学化
A
实 际 问 题
1
p
C
∴点P就是所求作的点.
PA=PB=PC
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1.分别作出直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三边的 垂直平分线,说明交点分别在什么位置.
锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内;直 角三角形三边的垂直平分线交点在斜边上;钝角三角形 三边的垂直平分线交点在三角形外.
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已知:如图, 直线MN⊥AB,垂足为C, 且AC=CB. 点P在MN上.
P
PA=PB 求证:
证明:∵MN⊥AB ∴ ∠ PCA= ∠ PCB=90º 在 ΔPAC和Δ PBC中, AC=BC ∠ PCA= ∠ PCB PC=PC ∴ ΔPAC ≌Δ PBC[SAS] ∴PA=PB
A
C
B
N
线段的垂直平分线
B
N
C
=9
例2。如图,BC=BA,MN垂直平分BC,若△ABC周长 为28,CA=8,求:△DCA的周长。 解:∵ △ABC周长为28,CA=8
B M D C A N
BC=BA ∴2BA+CA=28 ∴BA=10 ∵ MN垂直平分BC ∴ BD=DC ∴ △DCA的周长=DC+DA+CA =BD+DA+CA =BA+CA =10+8 =18
D
线段的垂直平分线
性质定理:线段垂直平分线上的点和这条线段两个端 点
的距离相等。
逆命题:和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线
段的垂直平分线上。
点P在线段AB 的垂直平分线 上
P
?
PA=PB
A
C
B
与线段两端距离相等的点在这 条线段的垂直平分线上。
已知,如图,AP=BP 求证:点P在线段AB的垂直平分线上
性质定理:线段垂直平分线上的点和这条 M
线段两个端点的距离相等。
点P在线段 AB的垂直 平分线上
几何语言 ∵点P在线段AB的垂直平分线上
∴ PA=PB (线段垂直平分线上 A 的点和这条线段两个 端点的距离相等)
C B
线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的 距离相等
P PA=PB
N
基础练习:
1、如图,线段MN被直线AB垂直 平分,图中有哪些相等的线段?
一,课前预习
1,什么叫轴对称图形?什么叫对称轴?
如果一个图形沿着一条线对折, 两侧的图形能够完全重合,这样 的图形就是轴对称图形。
折痕所在的直线就是 轴对称图形的对称轴。
(1)什么叫线段的垂直平分线?
(2)线段是轴对称图形吗?
(3)怎样做出一条线段的垂直平分线?
线段的垂直平分线的性质
动手操作:作线段AB的中垂线
1. 如图,已知点A、点B以及直线l,在直线l上求 作一点P,使PA=PB.
提示:连结AB,
作AB的垂直平分 线,交直线L于P, 点P就是所求的点。
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(第 1 题)
结论:三角形三边的垂直平分线交于一点,这一点到 三角形三个顶点的距离相等。
线段的垂直平分线 性质定理:线段垂直平分线上的点和这条线段
两个端点的距离相等。
逆பைடு நூலகம்理:和一条线段两个端点距离相等的点,
在这条线段的垂直平分线上。
点P在线段AB 的垂直平分线 上
线段垂直平分线上的点和这 条线段两个端点的距离相等
PA=PB
和一条线段两个端点距离相等的 点,在这条线段的垂直平分线上
线段的垂直平分线的集合定义:
A
B
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课堂练习
练习3 如图,AB =AC,MB =MC.直线AM 是线段 BC 的垂直平分线吗? A 解:∵ AB =AC, ∴ 点A 在BC 的垂直平分线. ∵ MB =MC, M ∵ 点M 在BC 的垂直平分线上, ∴ 直线AM 是线段BC 的垂直 B D C 平分线.
作线段的垂直平分线
怎样作线段AB 的垂直平分线呢? 作法:如图. 1 (1)分别以点A,B 为圆心,以大于 AB的长为半径 2 作弧,两弧相交于C,D 两点; (2)作直线CD. C CD 就是所求作的直线. 这种作法的依据是什么? A 这种作图方法还有哪些作用? 确定线段的中点. B D
生活中的数学
基础练习:
(1)若PA=PB,则OP垂直平分AB . ( )
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基础练习:
如图,判断下列各结论的正误:
(1)若PA=PB,则OP垂直平分AB. ( )
(2)若PA=PB,则点P在线段AB的垂直平分线 上. ( )
(3)若PA=PB,OA=OB,则OP垂直平分AB . ( )
B. ∠A﹤∠B
M P
B N
应用举例:
例1。如图所示,在ΔABC中,边BC的垂直平分 线MN分别交AB于点M,交BC于点N, ΔBMC的周 长为23,且BM=7,求BC的长。
A M
解:∵ MN是线段BC的垂直平分线
BM=7 ∴ CM=BM=7 ∵ ΔBMC 的周长=23 ∴BM+CM+BC=23 ∴BC=23-CM-BM =23-7-7
∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点 P http://www.bnup.com.cn
C
思考:生活中的数学
某区政府为了方便居民的生 活,计划在三个住宅小区A、B、 C之间修建一个购物中心,试问, 该购物中心应建于何处,才能 使得它到三个小区的距离相等。
A
·
B
C
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O
C A N B
E
1. 已知:如图,△ABC中,边AB、BC的垂 直平分线相交于点P. A 求证:PA=PB=PC
证明:∵△ ABC 中, 边 AB 、 BC 的 垂 直 平 分 线 B 相交于点P ∴PA=PB,PB=PC ∴PA=PB=PC
P C
1、已知如图,DE是△ABC的边 AB的垂直平分线,D为垂足,DE 交AC于点E,且AC=8,BC=5, 13 则△BEC的周长为_______ 。
M
EM=EN
FM=FN BM=BN OM=ON
N
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A E
o
F
B
基础练习:
2.如图P是AB垂直平分线MN上一点, 连结PA、PB,则∠A与∠B( C ) A.∠A﹥∠B C. ∠A=∠B A
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A
在某高速公路L的同侧,有两个工厂A、B,为了便 于两厂的工人看病,市政府计划在公路边上修建一所医 院,使得两个工厂的工人都没意见,问医院的院址应选 在何处?你的方案是什么?
B
老师期望: 养成用数学解释生活的 习惯.
L
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综合提高
例1已知:在△ABC中,设AB、BC的垂直平分线交于点P
求证:P点在AC的垂直平分线上.
证明:连接AP,BP,CP. ∵点P在线段AB的垂直平分线上, P A
∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到线段两 个端点的距离相等). B 同理PB=PC.∴PA=PC. ∴P点在AC的垂直平分线上(到线段两个端 点距离相等的点.在这条线段的垂直平分线上).
证明:过点P作直线MN垂直于线段AB交AB于点O
在Rt △ AOP与Rt △ BOP中 ∵O是AB的中点 ∴PA=PB(已知) PO=PO(公共边) ∵ Rt △ AOP ≌ Rt △ BOP(HL) ∴OA=OB(全等三角形的对应边相等)
与线段两端距离相等的点在这条线段的 垂直平分线上。
∴PO垂直平分AB ,即点P在线段AB的垂直平分线上
线段的垂直平分线可以看作是和线 段两个端点距离相等的所有点的集合
基础练习:
.如图,判断下列各结论的正误:
(1)若PA=PB,则OP垂直平分AB. (
(2)若PA=PB,则点P在线段
)
AB的垂直平分线上. (
)
A
(3)若PA=PB,OA=OB,则
OP垂直平分AB .
(
)
B
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5、如图, NM是线段AB的中垂线, 下列说法正确的有: ①②③ 。 ①AB⊥MN,②AD=DB, ③MN⊥AB, ④MD=DN,⑤AB是MN的垂直平分线
M
A
D
B
N
6、下列说法中,正确的个数有( C ) ①若直线PE是线段AB的垂直平分线,则EA=EB,PA=PB; ②若PA=PB,EA=EB,则直线PE垂直平分线段AB;
③若PA=PB,则点P必是线段AB的垂直平分线上的点;
④若EA=EB,则过点E的直线垂直平分线段AB. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
作线段的垂直平分线
我们已能用尺规完成:
(1)作一条线段等于已知线段; (2)作一个角等于已知角; (3)作一个角的平分线; 还需学会: (4)作线段的垂直平分线; (5)经过已知直线外一点作这条直线的垂线.
例3。如图所示,直线MN和DE分别是线段AB、BC的 垂直平分线,它们交于点O,试判断线段OA和OC是否 相等?请说明理由?
D M
解:相等,连接OB.
∵ MN是线段AB的垂直平分线 (已知) ∴ OA=OB(线段中垂线的性 质) 又∵ DE是线段BC的垂直平分线 (已知) ∴ OB=OC(线段中垂线的性 质) ∴ OA=OC(等量代换)
B
D
E
C
课堂练习
练习4 如图,AD⊥BC,BD =DC,点C 在AE 的 垂直平分线上,AB,AC,CE 的长度有什么关系? AB+BD与DE 有什么关系?
A
B
D
C
E
例题:
如图,在Rt△ABC中,∠C=90, DE是AB的垂直平分线,连接AE, C ∠CAE:∠DAE=1:2,求∠B的E 度数。
针对性练习:
2.如图,已知BC的垂直平分线分别交BC、AB 于E、D,如果AB+AC=40cm,则三角形ACD的 周长是( )。 A
A
A.40cm B.30cm C.35cm D.25cm
D B
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E
C
课堂练习
练习3 如图,在△ABC 中,BC =8,AB 的中垂线 交BC于D,AC 的中垂线交BC 与E,则△ADE 的周长等 8 . 于______ A
MN,垂足为C;在MN上任取一点 P,连结PA、PB;
量一量:PA、PB的长,你能发现什么?
PA=PB P1A=P1B
…… P
M
由此你能得到什么规律?
命题:线段垂直平分线上 的点与这条线段两个端点 的距离相等。
A
C
B
P1 N
线段的垂直平分线
命题:线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。
M
提高训练
实际问题
1、求作一点P,使它和已知 △ABC的三个顶点距离相等.
作法:(1)作边BC的垂直平分线MN. (2)作边AB的垂直平分线M'N'. (3)MN与M'N'相交于点P.
B
数学化
A
实 际 问 题
1
p
C
∴点P就是所求作的点.
PA=PB=PC
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1.分别作出直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三边的 垂直平分线,说明交点分别在什么位置.
锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内;直 角三角形三边的垂直平分线交点在斜边上;钝角三角形 三边的垂直平分线交点在三角形外.
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已知:如图, 直线MN⊥AB,垂足为C, 且AC=CB. 点P在MN上.
P
PA=PB 求证:
证明:∵MN⊥AB ∴ ∠ PCA= ∠ PCB=90º 在 ΔPAC和Δ PBC中, AC=BC ∠ PCA= ∠ PCB PC=PC ∴ ΔPAC ≌Δ PBC[SAS] ∴PA=PB
A
C
B
N
线段的垂直平分线
B
N
C
=9
例2。如图,BC=BA,MN垂直平分BC,若△ABC周长 为28,CA=8,求:△DCA的周长。 解:∵ △ABC周长为28,CA=8
B M D C A N
BC=BA ∴2BA+CA=28 ∴BA=10 ∵ MN垂直平分BC ∴ BD=DC ∴ △DCA的周长=DC+DA+CA =BD+DA+CA =BA+CA =10+8 =18