函数最值的应用

又∵y1^2=y2^2=y3^2=1 不是正1，就是-1 ∴y1、y2、y3不是正 ，就是 、 、 不是正 而点(0， 都是对称轴的右侧的y随 的 而点 ，y1)(1，y2)都是对称轴的右侧的 随x的 ， 都是对称轴的右侧的 增大而增大. 增大而增大 ∴y1＜y2∴y1=-1且y2=1. ＜ ∴ 且 而根据二次函数的对称轴可知y3一定为 一定为-1. 而根据二次函数的对称轴可知y3一定为-1.
∴ ∴y=x2+x-1.
(2)顶点 的坐标： 顶点C的坐标 顶点 的坐标：
.
5 △ABP的面积最大为 的面积最大为 8
5
3.某公司试销一种成本单价为 某公司试销一种成本单价为500元／件的新产品，规 某公司试销一种成本单价为 元 件的新产品， 定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于800元 定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于 元 经试销调查，发现销售量y(件 与销售单价 与销售单价x(元 ／件，经试销调查，发现销售量 件)与销售单价 元／ 可近似于一次函数y=kx+b的关系如图所示 的关系如图所示. 件)可近似于一次函数 可近似于一次函数 的关系如图所示 (1)根据图象，求一次函数 根据图象， 的表达式； 根据图象 求一次函数y=kx+b的表达式； 的表达式 (2)设公司获得毛利润 毛利润 销售总价 成本总价 为s元. 设公司获得毛利润(毛利润 销售总价-成本总价 设公司获得毛利润 毛利润=销售总价 成本总价)为 元 试用销售单价x表示毛利润 表示毛利润s； ①试用销售单价 表示毛利润 ； 试问销售单价定为多少时，该公司获得最大利润?最 ②试问销售单价定为多少时，该公司获得最大利润 最 大利润是多少?此时的销售量是多少 此时的销售量是多少? 大利润是多少 此时的销售量是多少
×6=12
【例2】如图所示，一边靠学校院墙，其他三边用 】如图所示，一边靠学校院墙，其他三边用40 m的预制篱笆围成一个矩形花圃，由于实际需要矩形 的预制篱笆围成一个矩形花圃， 的预制篱笆围成一个矩形花圃 的宽x只能在 只能在4 和 之间变化， 的宽 只能在 m和7 m之间变化，设花圃面积为 ， 之间变化 设花圃面积为y， 之间的函数关系式和y的最值 求y与x之间的函数关系式和 的最值 。 与 之间的函数关系式和
【解析】(1)y=50x+(80-x)×45 解析】 × 即y=5x+3600. (2)
又∵x是整数∴x取值 ，41，42，43，44. 是整数∴ 取值40， ， ， ， 是整数 取值 有最大值3820元. 当x=44时，y有最大值 时 有最大值 元
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课时训练
1.某种出租车的收费标准是：起步价7元(即行驶距离 某种出租车的收费标准是：起步价 元 即行驶距离 某种出租车的收费标准是 不超过3 km都需付 元车费)，超过3 km以后，每增加 不超过 都需付7元车费 ，超过 以后， 都需付 元车费 以后 1 km，加收 元(不足 km按1 km计)，某人乘这种 不足1 ，加收2.4元 不足 按 计， 出租车从甲地到乙地共付车费19元 出租车从甲地到乙地共付车费 元，设此人从甲地到 乙地经过的路程是x 乙地经过的路程是 km，那么 的最大值是 ( B ) ，那么x的最大值是
A.11
B.8
C.7
D.7或8 或
2.二次函数 二次函数y=ax2+bx+c(a＞0，b＞0)的图象经过 二次函数 ＞ ， ＞ 的图象经过 三点， (0，y1)，(1，y2)和(-1，y3)三点，且满足 ， ， ， 和 ， 三点 y12=y22=y32=1 (1)求这个二次函数的解析式； 求这个二次函数的解析式； 求这个二次函数的解析式 (2)设这个二次函数的图象与 轴的两个交点为 设这个二次函数的图象与x轴的两个交点为 设这个二次函数的图象与 轴的两个交点为A(x1， 0)、 0)、B(x2，0)，x1＜x2，C为顶点，连结AC、BC，动 0)， C为顶点 连结AC、BC， 为顶点， 点出发沿折线ACB运动，求△ABP的面积的 运动， 点P从A点出发沿折线 从 点出发沿折线 运动 的面积的 最大值. 最大值 解：∵对称轴 即对称轴在y轴的左侧 ∴x＜0即对称轴在 轴的左侧 ＜ 即对称轴在
元的价格购进一种服装， 【例3】某商店以每件 元的价格购进一种服装，根据 】某商店以每件42元的价格购进一种服装 试销得知，这种服装每天的销售量t(件 与每件的销售价 试销得知，这种服装每天的销售量 件)与每件的销售价 x(元)可看成一次函数关系： 可看成一次函数关系： 元 可看成一次函数关系 t=-3x+204 (1)写出商店卖这种服装每天的销售利润 与每件销售价 写出商店卖这种服装每天的销售利润y与每件销售价 写出商店卖这种服装每天的销售利润 x之间的函数关系式 每天的销售利润指所卖服装的销 之间的函数关系式.(每天的销售利润指所卖服装的销 之间的函数关系式 售价与购进价的差) 售价与购进价的差 (2)通过对所得函数关系式进行配方，指出：商店要想 通过对所得函数关系式进行配方， 通过对所得函数关系式进行配方 指出： 每天获得最大的销售利润， 每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为 合适?最大的销售利润是多少 最大的销售利润是多少? 合适 最大的销售利润是多少
根据等量关系， 【分析】(1)根据等量关系，销售利润 等于销售 分析】 根据等量关系 销售利润y等于销售 件数乘以每件的差价，可列出二次函数解析式. 件数乘以每件的差价，可列出二次函数解析式 (2)利用配方的知识及非负性知识可求出最值 利用配方的知识及非负性知识可求出最值. 利用配方的知识及非负性知识可求出最值 与每件的销售价x的函数关系式 解：∵销售利润y与每件的销售价 的函数关系式 销售利润 与每件的销售价 为：y=(x-42)·t 即y=(x-42)·(-3x+204)即y=-3x^2+330x-8568 即 ∴y=-3(x-55)^2+507 当每件的销售价为55元时 可获得最大利润， 元时， ∴当每件的销售价为 元时，可获得最大利润， 每天最大销售利润为507元. 每天最大销售利润为 元
如图所示， 【分析】(1)如图所示，作Rt△OP1A，使 分析】 如图所示 △ ， ∠P1AO=90°，再利用三角函数知识即可求出坐标 ° 再利用三角函数知识即可求出坐标. (2)先判断出△OPA的面积最大时 的位置，即是 先判断出△ 的面积最大时P的位置 先判断出 的面积最大时 的位置，即是OA中 中 垂线与以OP 为直径的圆的交点. 垂线与以 1为直径的圆的交点
感悟、渗透、 感悟、渗透、应用
昆明市)已知 【例1】(2003年·昆明市 已知：如图所示，点O的坐标为 】 年 昆明市 已知：如图所示， 的坐标为 (0，0)，点A的坐标为 ，0)，点P在第一象限，且 ， ， 的坐标为(43， ， 在第一象限， 的坐标为 在第一象限 cos ∠OPA=12 (1)求出点 的坐标 一个即可 ； 求出点P的坐标 一个即可)； 求出点 的坐标(一个即可 (2)当P的坐标是多少时 (2)当P的坐标是多少时， 的坐标是多少时， 的面积最大， △OPA的面积最大，并 的面积最大 求出△OPA面积的最大 求出△ 面积的最大 不要求证明). 值(不要求证明 不要求证明
种布料70米 【例4】已知某服装厂现有 种布料 米，B种布料 】已知某服装厂现有A种布料 种布料 52米，现计划用这两种布料生产 、N两种型号的时 米 现计划用这两种布料生产M、 两种型号的时 装共80套 已知做一套 型号的时装需用A种布料 已知做一套M型号的时装需用 种布料0.6 装共 套.已知做一套 型号的时装需用 种布料 种布料0.9米 可获利润45元 做一套N型号的 米，B种布料 米，可获利润 元；做一套 型号的 种布料 时装需用A种布料 种布料1.1米 种布料0.4米 可获利50 时装需用 种布料 米，B种布料 米，可获利 种布料 若设生产N型号的时装套数为 型号的时装套数为x， 元，若设生产 型号的时装套数为 ，用这批布料生 产两型号的时装所获的总利润为y元 产两型号的时装所获的总利润为 元 (1)求y(元)与x(套)的函数关系式，并求出自变量 的 的函数关系式， 求 元 与 套 的函数关系式 并求出自变量x的 取值范围； 取值范围； (2)问该服装厂在生产这批时装中，当N型号的时装为 问该服装厂在生产这批时装中， 问该服装厂在生产这批时装中 型号的时装为 多少套时，所获利润最大?最大利润是多少 最大利润是多少? 多少套时，所获利润最大 最大利润是多少
解：(1)作Rt△OP1A，使∠P1AO=90°， 作 △ ， ° ∠P1OA=30°则∠OP1A=60°，即点 为所求的 ° ° 即点P1为所求的 这时， 点，这时，
∴点P1的坐标为 的坐标为 或作等边△OPA，则∠OPA=60°，这时点 的坐 或作等边△ ， ° 这时点P的坐 标为 (2)点P在第一象限且在以 丹1为直径，以OA为弦 点 在第一象限且在以 在第一象限且在以OP丹 为直径 为直径， 为弦 的优弧上， 的面积最大过P作 的优弧上，当PO=PA时，△OPA的面积最大过 作 时 的面积最大过 PH⊥x轴于 ，则点 的坐标为 ，6)，这时 轴于H，则点P的坐标为 的坐标为(23， ， ⊥ 轴于 S△OPA= △ ｜OA｜·｜PH｜= ｜｜ ｜ ×4
解：(1)设y=kx+b 设 ∵过(600，400)、(700，300)两点 ， 、 ， 两点
∴y=-x+1000 ，500≤x≤800
(2)①s=y·(x-500)=(-x+1000)(x-500) ① ∴s=-x2+1500x-500000
S最大值 最大值 =-750×750＋1500×750-500000=62500 × ＋ × ∴销售量y=-x+1000=-750+1000=250(件) 销售量 件
【分析】利用矩形的面积等于长乘以宽，列出二次函数关 分析】利用矩形的面积等于长乘以宽， 系式，再利用取值范围及二次函数的性质即可求得. 系式，再利用取值范围及二次函数的性质即可求得 解：由题意y=x(40-2x)=-2x2+40x=-2(x-10)2+200 由题意 (4≤x≤7) 从这个函数图象可以看出：由于x的取值范围的限制 的取值范围的限制， 从这个函数图象可以看出：由于 的取值范围的限制，它 仅仅是抛物线的一段，且不包括顶点，它既有最大值， 仅仅是抛物线的一段，且不包括顶点，它既有最大值，也 有最小值，并且该段抛物线是y随 的增大而增大的将 的增大而增大的将x=4， 有最小值，并且该段抛物线是 随x的增大而增大的将 ， x=7代入解析式得 代入解析式得128≤y≤182 代入解析式得 之间的解析式为： ∴y与x之间的解析式为： 与 之间的解析式为 y=-2x2+40x(4≤x≤7)， ， y的最大值为 的最大值为182，最小值为 的最大值为 ，最小值为128.
第一章第七课时： 第一章第七课时：
函数最值的应用
思想方法提炼 感悟.渗透 渗透.应用 感悟 渗透 应用 课时训练
思想、 思想、方法提炼
1、能结合原题目中的已知条件揭示几何图形 的性质并能够借助这些性质来建立几何图形中 元素之间的函数关系式. 元素之间的函数关系式. 2、能运用数形结合的思想，深刻理解函数性 能运用数形结合的思想， 质和几何图形的元素之间的关系， 质和几何图形的元素之间的关系，并能通过函 数的最值来探求几何图形中某些元素的最值. 数的最值来探求几何图形中某些元素的最值. 3、列函数的解析式解决实际生活中常见的应用 性问题. 性问题.