人教版-生活中的优化问题举例优秀课件
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人教版选修2-2课件：1.4生活中的优化问题举例
因此,当x 15时, f x取最小值f 15 2000.
答:为了楼房每平方米的综合费用最少,该楼房应建为15层.
作业：课本P37习题1.4 A组 6 B组 1
生活中的优化问题举例（3）
第三课时
问题3、磁盘的最大存储量问题
(1) 你知道计算机是如何存储、检索信息的吗？ (2) 你知道磁盘的结构吗？
结论：周长为定值的矩形中，正方形的面积最大。
变式:某养鸡场是一面靠墙,三面用铁丝网围成的矩形
场地.如果铁丝网长40 m,问靠墙的一面多长时,围
成的场地面积最大?
解 : 设靠墙的一面长x m,围成的场地面积为y m2,
此时矩形的宽为 40 x 0. 2
y x 40 x 1 x2 20x.(0 x 40)
例1：海报版面尺寸的设计
学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行 宣传。现让你设计一张如图3.4-1所示的竖向张贴 的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各 空2dm，左、右两边各空1dm，如何设计海报的 尺寸，才能使四周空白面积最小？
x
图3.4-1
分析：已知版心的面 积，你能否设计出版心 的高，求出版心的宽， 从而列出海报四周的面 积来？
(所说区间的也适用于开区间或无穷区间)
练习1：将一段长为12cm的铁丝围成一个矩 形，则这个矩形面积的最大值为多少？
解：设矩形的一边为xcm，则另一边为（6 x）cm，面积为S
S（x） x（ 6 x） 6x x（2 0 x 6) S(x) 6 2x（0 x 6) 令S(x) 0，解得x 3 当S(x) 0时,得0 x 3 S(x)在(0,3)上是单调递增的, S(x)在(3,6)是单调递减的 S(x)在x 3cm处取到最大值S(3) 9cm2 答 :当矩形是正方形时,它的面积最大为9cm2
生活中的优化问题举例课件
综上，当 v0≥16 时，v＝16 km/h 全程燃料费最省， 为 32 000 元；当 v0<16，即 v＝v0 时全程燃料费最省，为 1 000v20元．(12 分) v0－8
归纳升华 本题是用料最省问题．先根据特殊情况求出比例系 数，进而求出解析式，再利用导数求最值是常用方法．需 要注意的对参数的讨论．
综上每月生产 200 吨产品时利润达到最大，最大利润 为 315 万元．
归纳升华 (1)经济生活中优化问题的解法：经济生活中要分析 生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自 变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研 究、指导生产活动．
(2)关于利润问题常用的两个等量关系： ①利润＝收入－成本； ②利润＝每节产品的利润×销售件数．
2．解决优化问题的一般步骤
[思考尝试·夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)磁盘的最大存储量问题是优化问题．( ) (2)求某长方体容器的容积问题是优化问题．( ) (3)汽油的使用效率的提高问题是优化问题．( ) 解析：(1)(2)是优化问题，(3)不是优化问题．
答案： (1)√ (2)√ (3)×
答案：5
类型 1 用导数解决面积、容积最大问题(自主 研析)
[典例 1] 有一块边长为 a 的正方形铁板，现从铁板的四个 角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖 容器．为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？
解：设截下的小正方形边长为 x，容器容积为 V(x)，
则做成的长方体形无盖容器底面边长为 a－2x，高为 x， V(x)＝(a－2x)2x，0<x<a2. 即 V(x)＝4x3－4ax2＋a2x，0<x<a2. 实际问题归结为求 V(x)在区间0，a2上的最大值
生活中的优化问题举例课件
∴f(x)＝xy2＝x(d2－x2)(0<x<d)． f′(x)＝d2－3x2.
令f′(x)＝0，解得x＝
d3，y＝
6 3 d.
根据实际，当x趋近于0或d时，强度很小，因此f
d 3
为
强度的极大值，同时也是最大值．所以当宽为
3 3
d，高为
6 3
d时，横梁的强度最大．
题型二 用料最省问题 例2 要设计一个容积为V的有盖圆柱形储油罐，已知侧 面积的单位面积造价是底面积造价的一半；而储油罐盖的单 位面积造价又是侧面积造价的一半，问储油罐的半径r和高h 之比为何值时造价最省？ 分析 把圆柱的高用底面半径r表示出来，然后把造价 表示为r的函数．
∴f(80)＝418×803－52×802＋6000＝20300(元)． 答：当汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，全程运输成 本最小，最小值为20300元．
规律技巧 用导数求解实际问题中的最大小值时，如 果函数在区间内只有一个极值点，那么依实际意义，该极值 点就是最值点.
解 由V＝πr2h，得h＝πVr2， 设盖的单位面积造价为a，则储油罐的造价为 S(r)＝aπr2＋2a·2πrh＋4a·πr2＝5aπr2＋4arV. 由S′(r)＝10aπr－4ra2V＝0，
3 解得r＝
25Vπ，于是h＝πVr2＝ 3
25V 4π .
由问题的实际意义，上述S的唯一可能极值点就是S的最 小值点．
3 5时，储油罐的造价最省． 25V
4π
规律技巧 本题用半径r把高h表示出来，把实际问题转 化为关于半径r的函数问题是关键.
题型三 成本最低利润最大问题
例3 甲、乙两地相距400千米，一汽车从甲地匀速行驶
到乙地，速度不得超过100千米/时．已知该汽车每小时的运
生活中的优化问题举例PPT(人教A版选修2-2)
1.4《生活中的优化 问题举例》
问题背景：饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们 的价格如下表所示，则 （1）对消费者而言，选择哪一种更合算呢？ （2）对制造商而言，哪一种的利润更大？
规格（L）
2
1.25
0.6
价格（元）
5.1
4.5
2.5
例1、某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造
解析：依题意可设每月土地占用费y1＝
k1 x
，每月
库存货物的运费y2＝k2x，其中x是仓库到车站的距
离，于是由2＝1k01 ，得k1＝20；8＝10k2，得k2＝45.
因此两项费用之和为y＝2x0＋45x，
y′＝－2x02 ＋45， 令y′＝0，得x＝5(x＝－5舍去)，此点即为最小 值点． 故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和 最小．
16
0
极小值
(16，+∞)
+
增函数↗
∵S(x)在(0，+∞)上只有一个极值点 ∴由上表可知，当x=16，即当版心高为16dm，dm，宽为8dm时，海报四周的 空白面积最小。
新知视界
• 1．优化问题 • 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、
效率最高等问题，这些问题通常称为优化 问题．
∴S2＝16π2(r2x2－x4)， (S2)′＝16π2(2r2x－4x3)， 由(S2)′＝0，得x＝ 22r(x＝0舍去)， ∴Smax＝2πr2，故选A. 答案：A
• 3．某商品一件的成本为30元，在某段时间 内，若以每件x元出售，可卖出(200－x)件， 当 每 件 商 品 的 定 价 为 ________ 元 时 ， 利 润 最大．
问题背景：饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们 的价格如下表所示，则 （1）对消费者而言，选择哪一种更合算呢？ （2）对制造商而言，哪一种的利润更大？
规格（L）
2
1.25
0.6
价格（元）
5.1
4.5
2.5
例1、某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造
解析：依题意可设每月土地占用费y1＝
k1 x
，每月
库存货物的运费y2＝k2x，其中x是仓库到车站的距
离，于是由2＝1k01 ，得k1＝20；8＝10k2，得k2＝45.
因此两项费用之和为y＝2x0＋45x，
y′＝－2x02 ＋45， 令y′＝0，得x＝5(x＝－5舍去)，此点即为最小 值点． 故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和 最小．
16
0
极小值
(16，+∞)
+
增函数↗
∵S(x)在(0，+∞)上只有一个极值点 ∴由上表可知，当x=16，即当版心高为16dm，dm，宽为8dm时，海报四周的 空白面积最小。
新知视界
• 1．优化问题 • 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、
效率最高等问题，这些问题通常称为优化 问题．
∴S2＝16π2(r2x2－x4)， (S2)′＝16π2(2r2x－4x3)， 由(S2)′＝0，得x＝ 22r(x＝0舍去)， ∴Smax＝2πr2，故选A. 答案：A
• 3．某商品一件的成本为30元，在某段时间 内，若以每件x元出售，可卖出(200－x)件， 当 每 件 商 品 的 定 价 为 ________ 元 时 ， 利 润 最大．
1.4生活中的优化问题举例课件人教新课标
2.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤是什么? 剖析:利用导数解决生活中优化问题的一般步骤如下:
重难聚焦
名师点拨1.在求实际问题的最大(小)值时,一定要考虑实际问题的 意义,不符合实际意义的值应舍去. 2.在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'(x)=0的 情形,如果函数在这点有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以知 道这就是最大(小)值. 3.在解决实际优化问题时,不仅要注意将问题中涉及的变量关系用 函数关系表示,还应确定出函数关系中自变量的定义区间.
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
利润最大问题 【例3】 某分公司经销某品牌产品,每件产品的成本为3元,并且每 件产品需向总公司交a(3≤a≤5)元的管理费,估计当每件产品的售 价为x(9≤x≤11)元时,一年的销售量为(12-x)2万件. (1)求分公司一年的利润L(单位:万元)与每件产品的售价x的函数关 系式; (2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润L最大?并求出 L的最大值Q(a). 分析:(1)利用题中等量关系找出L与x的函数关系式;(2)求出(1)中函 数关系式的导函数,再利用导数求最值.
当x=140时,y=175,即当x=140,y=175时,S取得最小值24 500. 故当广告的高为140 cm,宽为175 cm时,可使矩形广告的面积最小.
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
解:(1)隔热层厚度为 x cm,
由题意知每年能源消耗费用为 C(x)= 3xk+5, 再由 C(0)=8,得 k=40,因此 C(x)= 3x4+05. 而建造费用为 C1(x)=6x.
重难聚焦
名师点拨1.在求实际问题的最大(小)值时,一定要考虑实际问题的 意义,不符合实际意义的值应舍去. 2.在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'(x)=0的 情形,如果函数在这点有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以知 道这就是最大(小)值. 3.在解决实际优化问题时,不仅要注意将问题中涉及的变量关系用 函数关系表示,还应确定出函数关系中自变量的定义区间.
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
利润最大问题 【例3】 某分公司经销某品牌产品,每件产品的成本为3元,并且每 件产品需向总公司交a(3≤a≤5)元的管理费,估计当每件产品的售 价为x(9≤x≤11)元时,一年的销售量为(12-x)2万件. (1)求分公司一年的利润L(单位:万元)与每件产品的售价x的函数关 系式; (2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润L最大?并求出 L的最大值Q(a). 分析:(1)利用题中等量关系找出L与x的函数关系式;(2)求出(1)中函 数关系式的导函数,再利用导数求最值.
当x=140时,y=175,即当x=140,y=175时,S取得最小值24 500. 故当广告的高为140 cm,宽为175 cm时,可使矩形广告的面积最小.
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
解:(1)隔热层厚度为 x cm,
由题意知每年能源消耗费用为 C(x)= 3xk+5, 再由 C(0)=8,得 k=40,因此 C(x)= 3x4+05. 而建造费用为 C1(x)=6x.
生活中的优化问题举例 课件
练一练 1．请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD 是边长 为 60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全 等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 A，B，C， D 四个点重合于图中的点 P，正好形成一个正四棱柱形 状的包装盒．E、F 在 AB 上，是被切去的一个等腰直角 三角形斜边的两个端点．设 AE＝FB＝x(cm)．
令 S′＝0 得 v＝20， 当 v∈(0，20)时，S′<0；当 v∈(20，＋∞)时，S′>0. ∴v＝20 km/h 是 S 的极小值点，也是最小值点， ∴v＝20 km/h 时，每千米的费用总和最少．
讲一讲 3．某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可 获利 200 元，如果生产出一件次品，则损失 100 元．已知 该厂制造电子元件过程中，次品率 p 与日产量 x 的函数关 系是：p＝4x＋3x32(x∈N*)． (1)将该厂的日盈利额 T(元)表示为日产量 x(件)的函数； (2)为获最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？
(1)求 k 的值及 f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并 求最小值．
[尝试解答] (1)由题设，隔热层厚度为 x cm，每年
能源消耗费用为 C(x)＝3x＋k 5，
再由 C(0)＝8，得 k＝40，
因此 C(x)＝3x4＋0 5.
而建造费用为 C1(x)＝6x. 最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之
(1)若广告商要求包装盒的侧面积 S(cm2)最大，试问 x 应 取何值？
(2)某厂商要求包装盒的容积 V(cm3)最大，试问 x 应取何 值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
解：设包装盒的高为 h(cm)，底面边长为 a(cm)． 由已知得 a＝ 2x，h＝60－22x＝ 2(30－x)，0＜x＜30. (1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800， 所以当 x＝15 时，S 取得最大值．
( 人教A版生活中的优化问题举例课件 (共37张PPT)
当 x∈(0,20)时，V′>0； 当 x∈(20,30)时，V′<0. 所以当 x＝20 时，V 取得极大值，也是最大值． 此时ha＝12，即包装盒的高与底面边长的比值为12.
解决面积、容积的最值问题的思路： 1．解决长度、面积、容积的最值问题，要正确引入变量，将面积或容积表示 为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值． 2．必要时，可选择建立适当的坐标系，利用点的坐标建立函数关系或曲线方 程，以利于解决问题．
解析：设矩形场地的长为 x，则宽为 8－x，
面积为 S＝x(8－x)(0<x<8)，
令 S′＝8－2x＝0，得 x＝4.
此时 S 最大值＝42＝16(m2)．
答案：C
2．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为 20 cm，要使其体积最大，则高为( )
3 A. 3 cm
10 3 B. 3 cm
16 C. 3 3 cm
l＝2x＋2y＋2( 22x)＝(32＋ 2)x＋1x6. 所以 l′＝32＋ 2－1x62.令 l′＝0，即32＋ 2－1x62＝0， 解得 x1＝8－4 2，x2＝4 2－8(舍去)． 当 0<x<8－4 2时，l′<0； 当 8－4 2<x<4 2时，l′>0. 所以当 x＝8－4 2时，l 取得最小值． 此时，x＝8－4 2≈2.343 (m)，y≈2.828 (m)． 即当 x 为 2.343 m，y 为 2.828 m 时，用料最省．
探究一 长度、面积、容积的最值问题
[典例 1] 请你设计一个包装盒，如图所示，四边形 ABCD 是边长为 60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的 四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 A，B， C，D 四个点重合于图中的点 P，正好形成一个正四棱柱 形状的包装盒，E，F 在 AB 上，是被切去的一个等腰直 角三角形斜边的两个端点，设 AE＝FB＝x cm.
生活中的优化问题举例课件
跨部门协作
加强部门间的沟通和协作 ，打破信息孤岛，提高整 体工作效率。
合理分配工作任务
任务分配原则
根据员工的能力、经验和专长， 合理分配工作任务，确保工作量
均衡和高效。
优先级排序
根据任务的重要性和紧急性，指导 员工对工作任务进行优先级排序， 确保高优先级任务得到优先处理。
激励与考核机制
建立有效的激励和考核机制，鼓励 员工积极承担工作任务，提高工作 积极性和满意度。
在此添加您的文本16字
优先处理重要和紧急的任务，避免拖延和浪费时间。
在此添加您的文本16字
学习一些时间管理技巧，如番茄工作法等。
在此添加您的文本16字
避免多任务处理，尽量专注于单一任务，以提高工作效率 。
04
工作中的优化问题
பைடு நூலகம்
提高工作效率
制定合理的工作计划
减少干扰因素
根据工作优先级和任务量，制定每日 、每周和每月的工作计划，确保工作 有序进行。
生活中的优化问题举例课件
• 购物中的优化问题 • 旅行中的优化问题 • 日常生活中的优化问题 • 工作中的优化问题 • 学习中的优化问题
01
购物中的优化问题
寻找最优惠的价格
01
在购物时，消费者通常会寻找最 优惠的价格，以节省开支。
02
比较不同商家的价格，考虑商品 的质量、品牌、售后服务等因素 ，权衡性价比，选择最优惠的价 格。
02
旅行中的优化问题
选择最佳的旅行路线
总结词
选择最佳的旅行路线是旅行中的重要优化问题，可以减少时间和金钱的浪费。
详细描述
在旅行前，我们需要根据目的地、交通工具、时间等因素，选择一条最佳的旅行 路线。这需要考虑路线的长度、所需时间、交通工具的舒适度、费用等因素，以 便在有限的时间内尽可能多地游览景点，并减少不必要的花费。
数学《生活中的优化问题举例》课件(共10张PPT)
3.4 生活中的优化问题举例
第1页，共10页。
问题1:汽油的使用效率何时最高?
我们知道,汽油的消耗量w(单位:L)与汽车的 速度v(单位:km/h)之间有一定的关系,汽油的 消耗量w是汽车的速度v的函数.根据生活经 验,思考下列两个问题: (1)是不是汽车的速度越快,汽油的消耗量越大 ? (2) “汽油的使用效率最高”的含义是什么?
如何解决优化问题?
问题2:如何使一个圆形磁盘ห้องสมุดไป่ตู้存更多信息?
例2 磁盘的最大存储量问题:
问题1:汽油的使用效率何时最高?
优化问题 问题3:饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗?
已知每出售1ml的饮料,可获利0.
用函数表示的数学问题
１）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
问题4:无盖方盒的最大容积问题
4 生活中的优化问题举例 我们知道,汽油的消耗量w(单位:L)与汽车的速度v(单位:km/h)之间有一定的关系,汽油的消耗量w是汽车的速度v的函数. 你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些?你想从数学上知道它的道理吗? (2) “汽油的使用效率最高”的含义是什么? 已知每出售1ml的饮料,可获利0. 问题3:饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗? 你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些?你想从数学上知道它的道理吗?
第2页，共10页。
• 汽油的使用效率G=汽油的消耗量w/汽车行 使路程s,
即:G=w/s
• 求G的最小值问题.
第3页，共10页。
问题2:如何使一个圆形磁盘储存更多信息?
第4页，共10页。
例2 磁盘的最大存储量问题:
第5页，共10页。
问题3:饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗?
第1页，共10页。
问题1:汽油的使用效率何时最高?
我们知道,汽油的消耗量w(单位:L)与汽车的 速度v(单位:km/h)之间有一定的关系,汽油的 消耗量w是汽车的速度v的函数.根据生活经 验,思考下列两个问题: (1)是不是汽车的速度越快,汽油的消耗量越大 ? (2) “汽油的使用效率最高”的含义是什么?
如何解决优化问题?
问题2:如何使一个圆形磁盘ห้องสมุดไป่ตู้存更多信息?
例2 磁盘的最大存储量问题:
问题1:汽油的使用效率何时最高?
优化问题 问题3:饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗?
已知每出售1ml的饮料,可获利0.
用函数表示的数学问题
１）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
问题4:无盖方盒的最大容积问题
4 生活中的优化问题举例 我们知道,汽油的消耗量w(单位:L)与汽车的速度v(单位:km/h)之间有一定的关系,汽油的消耗量w是汽车的速度v的函数. 你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些?你想从数学上知道它的道理吗? (2) “汽油的使用效率最高”的含义是什么? 已知每出售1ml的饮料,可获利0. 问题3:饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗? 你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些?你想从数学上知道它的道理吗?
第2页，共10页。
• 汽油的使用效率G=汽油的消耗量w/汽车行 使路程s,
即:G=w/s
• 求G的最小值问题.
第3页，共10页。
问题2:如何使一个圆形磁盘储存更多信息?
第4页，共10页。
例2 磁盘的最大存储量问题:
第5页，共10页。
问题3:饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗?
高中数学人教课标版选修2-2《生活中的优化问题举例》课件
3x (x∈N＋)． 4 x 32
（1）写出该厂的日盈利额T(元)用日产量x(件)表示的函数关系式； （2）为获最大日盈利，该厂的日产量应定为多少件？
思路点拨：利润最大问题包括销售利润问题，生产产品利润问题等，一般根
据“利润=收入-成本”，将利润表示成其它指标的函数关系式，然后再利用导 数求最值.
3x 3x 解：（1）由于次品率p＝ 4 x 32 ，当每天生产x件时，有x· 4 x 32 件次品，有 2 3x 3x 64 x x 3 x ) －100x· x (1 4 x 32 ) 件正品．所以T＝200x (1 ＝25· 4 x 32 x 8 4 x 32
1 1 a a 1＝ 6 ，x2＝ 2 (舍
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
探究二： 提炼生活优化问题的一般方案
活动二：学以致用，付诸实践 思路点拨： 1.解决生活中的优化问题应注意以下几点： ①当问题涉及多个变量时，应根据题意分析它们的关系，列出变量间的关系式，
从而得出需要的函数关系式；
②在建立函数模型时，应根据实际问题确定出函数的定义域，且所求题目结论一 定要从实际意义去考察，不符合实际意义的应舍去；
1.4生活中的优化问题举例
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
函数的单调性：
（1）若在(a，b)上，f′(x)≥0，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于零 ⇔f(x)在(a，b)上为单调递增函数；
若在(a，b)上，f′(x)≤0，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于零
⇔f(x)在(a，b)上为单调递减函数．
(x∈N＋)． （2） ，由T′＝0得x＝16或x＝－32(舍去)．
3.4生活中的优化问题举例课件人教新课标3
从图中，你 还能看出什
么吗？
y
f
(r)
0.8
r3 (
r2)
3
2
o
3
r
从图中可以看出: 1、当半径为2cm时，利润最小，这时f(2)<0， 2、当半径为6cm时，利润最大.
优化问题
优化问题 的答案
用函数表示的 数学问题
用导数解决 数学问题
练习1、一条长为l的铁丝截成两段，分别 弯成两个正方形，要使两个正方形 的面积和最小，两段铁丝的长度分 别是多少？
因此，当x=1时，y取最大值， 得y最大=-2+2.2+1.6=1.8， 这时容器的高为3.2-2x=1.2.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ优化问题
优化问题 的答案
用函数表示的 数学问题
用导数解决 数学问题
9
练习3、用总长14.8m的钢条制作一个长方 体容器的框架，如果所制作容器的底面的 一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容 器的容积最大？并求出它的最大容积.
解:设容器底面短边长为xm，则另一边长为 (x+0.5)m，容器的高为 [14.8-4x-4(x+0.5)]/4=3.2-2x.
由问题的实际意义，要求x>0，3.2-2x>0， 解得x的取值范围是0<x<1.6.
某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料， 瓶子的制造成本是0.8 r2分，其中r 是瓶 子的半径，单位是厘米，已知每出售1 ml 的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能 制作的瓶子的最大半径为6 cm.
问题：(1)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料 的利润最大？
(2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最 小？
3.4 生活中的优化问题举例
生活中的优化问题举例 课件
实例探究： 学校举行庆祝五一劳动节活动，需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为
上、下两边各空2dm．左、右两边各空1dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白的面积最小？
则有 xy=128，（１）
另设四周空白面积为Ｓ，
则
（２）
由（１）式：
h
r
牛刀小试：要生产一批带盖的圆柱形铁桶，要求每个铁桶的容积为定值V，怎样设计桶的底面半径才能使材料最省？此时高与底面半径比为多少？
解:设圆柱的高为h,底半径为r,则表面积S=2πrh+2πr2.
由V=πr2h,得 ,则
令 ,解得 ,从而 ,即h=2r.
背景知识：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料。 瓶子的制造成本是 分，其中 r 是瓶 子的半径，单位是厘米.已知每出售1 ml 的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能 制作的瓶子的最大半径为 6cm. 问题(１)瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ (２)瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？
课堂小结
代入（２）式中得：
x
y
2
解法二：由解法(一)得
2、在实际应用题目中，若函数 f ( x )在定义域内只有一个极值点x0 ，则不需与端点比较， f ( x0 )即是所求的最大值或最小值.
说明
1、设出变量找出函数关系式；
(所说区间的也适用于开区间或无穷区间)
确定出定义域；
所得结果符合问题的实际意义。
由于S(r)只有一个极值,所以它是最小值.
答:当罐的高与底直径相等时,所用的材料最省.
例2.饮料瓶大小对饮料公司利润的 影响 （1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般 比大包装的要贵些？ （2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？
《生活中的优化问题举例》精品ppt人教版1
第一章 导数及其应用
1.4 生活中的优化问题举例
新课引入:
第一章 导数及其应用
导数在实际生活中有着广泛的应 用,利用导数求最值的方法,可以求出 实际生活中的某些最值问题.
1.几何方面的应用(面积和体积等的最值)
2.物理方面的应用. (功和功率等最值)
3.经济学方面的应用 (利润方面最值)
栏目 导引
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《 生 活 中 的 优化问 题举例 》精品 ppt人教 版1
第一章 导数及其应用
解析：设长方体的底面边长为 x m，则高为(6－2x)m，所以 x∈(0，3)，则 V＝x2(6－2x)＝6x2－2x3，V′＝12x－6x2，令 V′ ＝0 得 x＝2 或 x＝0(舍)， 所以当 x∈(0，2)时，V′>0，V 是增函数， 当 x∈[2，3)时，V′<0，V 是减函数， 所以当 x＝2 时，Vmax＝22×2＝8(m3)． 答案：8 m3
复习：如何用导数来求函数的最值？
一般地，若函数y=f (x)在[a，b]上的图象是一条 连续不断的曲线，则求f (x) 的最值的步骤是： （1）求y=f (x)在[a，b]内的极值(极大值与极小值)； （2）将函数的各极值与端点处的函数值f (a)、f (b) 比较，
其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
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栏目 导引
《 生 活 中 的 优化问 题举例 》精品 ppt人教 版1
第一章 导数及其应用
q′＝0.012v－9v62＝0.v0212(v3－8 000)， 令 q′＝0，解得 v＝20. 因为当 v＜20 时，q′＜0；当 v＞20 时，q′＞0， 所以当 v＝20 时 q 取得最小值， 即速度为 20 海里/小时时，航行 1 海里所需费用总和最小．
1.4 生活中的优化问题举例
新课引入:
第一章 导数及其应用
导数在实际生活中有着广泛的应 用,利用导数求最值的方法,可以求出 实际生活中的某些最值问题.
1.几何方面的应用(面积和体积等的最值)
2.物理方面的应用. (功和功率等最值)
3.经济学方面的应用 (利润方面最值)
栏目 导引
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第一章 导数及其应用
解析：设长方体的底面边长为 x m，则高为(6－2x)m，所以 x∈(0，3)，则 V＝x2(6－2x)＝6x2－2x3，V′＝12x－6x2，令 V′ ＝0 得 x＝2 或 x＝0(舍)， 所以当 x∈(0，2)时，V′>0，V 是增函数， 当 x∈[2，3)时，V′<0，V 是减函数， 所以当 x＝2 时，Vmax＝22×2＝8(m3)． 答案：8 m3
复习：如何用导数来求函数的最值？
一般地，若函数y=f (x)在[a，b]上的图象是一条 连续不断的曲线，则求f (x) 的最值的步骤是： （1）求y=f (x)在[a，b]内的极值(极大值与极小值)； （2）将函数的各极值与端点处的函数值f (a)、f (b) 比较，
其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
《 生 活 中 的 优化问 题举例 》精品 ppt人教 版1
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第一章 导数及其应用
q′＝0.012v－9v62＝0.v0212(v3－8 000)， 令 q′＝0，解得 v＝20. 因为当 v＜20 时，q′＜0；当 v＞20 时，q′＞0， 所以当 v＝20 时 q 取得最小值， 即速度为 20 海里/小时时，航行 1 海里所需费用总和最小．
生活中的优化问题举例 课件(人教版)
(2)若广告商要求包装盒容积V(cm3)最大，则x应取何值？并求出此时包 装盒的高与底面边长的比值.
类型二 利润最大问题
例2 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千
件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完， 每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)＝10.8－310x2，0<x≤10，
生活中的优化问题举例
知识点 生活中的优化问题
1.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题 通常称为 优化问题. 2.利用导数解决优化问题的实质是 求函数最值 . 3.解决优化问题的基本思路是：
上述解决优化问题的过程是一个典型的 数学建模 过程.
类型一 面积、容积的最值问题 例1 请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形 硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折 起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状 的包装盒，E，F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点， 设AE＝FB＝x cm. (1) 若 广 告 商 要 求 包 装 盒 侧 面 积 S(cm2) 最 大 ， 则 x 应 取 何 值 ？
10x8－130x020，x>10.
(1)求年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函司在这一品牌服装的生产中所获得的年 利润最大，并求出最大值. 解 当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利 润最大，最大利润为38.6万元.
类型三 费用(用材)最省问题 例3 已知A、B两地相距200 km，一只船从A地逆水行驶到B地，水速 为8 km/h，船在静水中的速度为v km/h(8<v≤v0).若船每小时的燃料费 与其在静水中的速度的平方成正比，当v＝12 km/h时，每小时的燃料费 为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度为多少？
人教版高二数学必修一《生活中的优化问题》PPT教学课件
谢谢各位聆听
授课人：XXX 日期：XXX
人教版高中数学必修一教学课件
生活中的优化 问题举例
授课人：XXX 日期：XXX
1.解决实际应用问题的基本步骤：
“一般地，高考中的数学应用往往是以现实生活为原型设计的，其目的在于考查
学生对数学语言的阅读、理解、表达与转化能力，求解时一般按以下几步进行：
01
” 阅读理解，认真审题．就是读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟实际背
在解决实际应用问题中，如果函数在区间内只有一个 极值点，那么只需根据实际意义判定是最大值还是最 小值．不必再与端点的函数值进行比较．
4.思路方法技巧：
变式1
已知圆柱的表面积为定值S， 求当圆柱的容积V最大时圆柱的高h的值．
4.思路方法技巧：
解题过程
设圆柱的底面半径为r，高为h， 则S圆柱底＝2πr2，S圆柱侧＝2πrh， ∴圆柱的表面积S＝2πr2＋2πrh.∴h＝， 又圆柱的体积V＝πr2h＝，V′＝， 令V′＝0得S＝6πr2，∴h＝2r， 又r＝，∴h＝2＝. 即当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h为.
4.思路方法技巧：
命题方向—费用最省问题
[例2]、 有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸 边A 处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离 河岸40km的B 处，乙厂到河岸的垂足D 与A 相距50km，两厂在此岸边合建一个供水站C， 从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千 米3a 元和5a元，问供水站C 建在岸边何处才 能使水管费用最省？
景中的数学本质，写出题中的数量关系，实现应用问题向数学问题转化．
引入数学符号，建立数学模型．一般地，设自变量为x，函数为y，并用x表示相关的量，
02 运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关的知识，将问题中的数量关系表示为一个
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将包装盒捏成球状，因为小包装的半径小， 其利润低，生产商就提高销售价格来平衡与 大包装的利润.
人教版-生活中的优化问题举例优秀课 件
探究（三）：磁盘的最大存储量问题 人教版-生活中的优化问题举例优秀课件
【背景材料】计算机把信息存储在磁盘上， 磁盘是带有磁性介质的圆盘，并由操作系统 将其格式化成磁道和扇区.磁道是指不同半径 所构成的同心圆轨道，扇区是指被圆心角分 割成的扇形区域.磁道上的定长的弧可作为基 本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数 据0或1，这个基本单元通常称为比特，磁盘 的构造如图所示.
思考3：要使磁盘的存储量达到最大，那
么最内一条磁道上的比特数为多少？
R
2r
n
r
思考4：这张磁盘的存储量最大可达到多
少比特？ R r 2 r mn
人教版-生活中的优化问题举例优秀课 件
人教版-生活中的优化问题举例优秀课 件
思考5：若R为定值，r为变量，那么这张
磁盘的存储量 f(r) m 2nr(Rr)(0 r R )
思考1：现有一张半径为R的磁盘，它的存储
区是半径介于r与R的环形区域，且最外面的
磁道不存储任何信息，那么这张磁盘的磁道
数最多可达多少？
R
Rr m
最内一条磁道.
r
思考2：由于每条磁道上的比特数相同， 那么这张磁盘存储量的大小取决于哪条 磁道上的比特数？
人教版-生活中的优化问题举例优秀课 件
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2 r 2 (r m)
2 (R m)
n
n
n
(R r m)(R r) mn
理论迁移 人教版-生活中的优化问题举例优秀课件
例 某汽车制造厂有一条价值为60万元
的汽车生产线，现要通过技术改造来提
高其生产能力，进而提高产品的增加值.
已知投入x万元用于技术改造，所获得的
产品的增加值为(60－x)x2万元，并且技
6)
的大致图象是什么？据图象分析，瓶子
半径的大小对制造商的利润产生什么影
响？
y
当0＜r＜3时，利润为负 值；当r＝3时，利润为 零；当r＞3时，利润为 O 正值，并随着瓶子半径 的增大利润也相应增大.
2 36 x
人教版-生活中的优化问题举例优秀课 件
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思考6：市场上等量的小包装的物品一般比大 包装的要贵些（如半斤装的白酒比一斤装的 白酒平均价格要高），在数学上有什么道理？
思考1：1mL饮料所占的体积是多少cm3？
半径为r的瓶子最多能装多少mL的饮料？
4 r3 3
思考2：每瓶满装的饮料的利润(单位：
分)是多少？
0.2
4 r3
0.8 r2
3
思考3：设每瓶满装饮料的利润为f(r)，
则函数f(r)的定义域是什么？（0，6]
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探究（二）：饮料瓶大小对饮料公司利润 的影响
【背景材料】某制造商制造并出售球形 瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是 0.8πr2分，其中r(单位：cm)是瓶子的 半径.已知每出售1mL的饮料，制造商可 获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最 大半径为6cm.
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为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽 度必须大于m，每比特所占用的磁道长度不得 小于n.为了数据检索的方便，磁盘格式化时 要求所有磁道具有相同的比特数.
R r
人教版-生活中的优化问题举例优秀课 件
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思考4：函数 f(r) 0.8(r3 r2)(0 r 6)
3
是否存在最值？若存在，如何求其最值？
f(x)min f(2)
3.2 3
f(x )m a x f(6 ) 2 8 .8
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思考5：函数 f(r)
0.8(r3 3
r2)(0 r
人教版-生活中的优化问题举例优秀课 件
思考4：海报四周空白的面积S(x)是否存
在最值？若存在，如何求其最值？
S(x)
2x
512 x
8,x
0
版心高为16dm， 宽为8dm时，
思考5：如何设计海报的尺寸，才能使四 周空白面积最小？
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改投入比率
x 60
x
(0,
5]
.求当技改投入
多少万元时，所获得的产品的增加值为
3.生活中经常遇到求利润最高，产量最大， 成本最低，用料最省等实际问题，这些问题 通常称为优化问题.解决优化问题的本质就是 求函数的最值，因此，以函数为载体导数为 工具，解决生活中的优化问题，是数学应用 领域的一个重要课题.
探究（一）：海报版面尺寸的设计
【背景材料】学校或班级举行活动，通 常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一 张如图所示的竖向张贴的海报，要求版 心面积为128dm2，上、下两边各空2dm， 左、右两边各空1dm.
思考1：版心面积为定值128dm2，海报 的面积是否也为定值？
(x 4)(1x28 2)
(x 4)(1x28 2) 128
思考2：设版心的高为x，则海报的面积 为多少？海报四周空白的面积为多少？
思考3：设海报四周空白的面积为S(x)， 则S(x)的最简表达式如何？其定义域是 什么？
S(x) 2x 512 8,x 0 x
1.4 生活中的优化问题举例
问题提出
1.在什么条件下，函数f(x)在闭区间[a，b]上 一定存在最大值和最小值？
函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线 2.如果在闭区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是
一条连续不断的曲线，那么如何求出函数f(x)Hale Waihona Puke 区间[a，b]上的最大值和最小值？
将函数f(x)在开区间（a，b）上的所有极值与区 间端点函数值进行比较，其中最大者为最大值， 最小者为最小值.
如何变化？有何最值？
R
r
r
R 2 时，存储量最大.
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思考6：如果每条磁道存储的信息与磁道
的长度成正比，那么如何计算磁盘的存
储量？此时，是不是r越小，磁盘的存储
量越大？
R
r
m 2 时，存储量最大.
r
f(r)
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探究（三）：磁盘的最大存储量问题 人教版-生活中的优化问题举例优秀课件
【背景材料】计算机把信息存储在磁盘上， 磁盘是带有磁性介质的圆盘，并由操作系统 将其格式化成磁道和扇区.磁道是指不同半径 所构成的同心圆轨道，扇区是指被圆心角分 割成的扇形区域.磁道上的定长的弧可作为基 本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数 据0或1，这个基本单元通常称为比特，磁盘 的构造如图所示.
思考3：要使磁盘的存储量达到最大，那
么最内一条磁道上的比特数为多少？
R
2r
n
r
思考4：这张磁盘的存储量最大可达到多
少比特？ R r 2 r mn
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思考5：若R为定值，r为变量，那么这张
磁盘的存储量 f(r) m 2nr(Rr)(0 r R )
思考1：现有一张半径为R的磁盘，它的存储
区是半径介于r与R的环形区域，且最外面的
磁道不存储任何信息，那么这张磁盘的磁道
数最多可达多少？
R
Rr m
最内一条磁道.
r
思考2：由于每条磁道上的比特数相同， 那么这张磁盘存储量的大小取决于哪条 磁道上的比特数？
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2 r 2 (r m)
2 (R m)
n
n
n
(R r m)(R r) mn
理论迁移 人教版-生活中的优化问题举例优秀课件
例 某汽车制造厂有一条价值为60万元
的汽车生产线，现要通过技术改造来提
高其生产能力，进而提高产品的增加值.
已知投入x万元用于技术改造，所获得的
产品的增加值为(60－x)x2万元，并且技
6)
的大致图象是什么？据图象分析，瓶子
半径的大小对制造商的利润产生什么影
响？
y
当0＜r＜3时，利润为负 值；当r＝3时，利润为 零；当r＞3时，利润为 O 正值，并随着瓶子半径 的增大利润也相应增大.
2 36 x
人教版-生活中的优化问题举例优秀课 件
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思考6：市场上等量的小包装的物品一般比大 包装的要贵些（如半斤装的白酒比一斤装的 白酒平均价格要高），在数学上有什么道理？
思考1：1mL饮料所占的体积是多少cm3？
半径为r的瓶子最多能装多少mL的饮料？
4 r3 3
思考2：每瓶满装的饮料的利润(单位：
分)是多少？
0.2
4 r3
0.8 r2
3
思考3：设每瓶满装饮料的利润为f(r)，
则函数f(r)的定义域是什么？（0，6]
人教版-生活中的优化问题举例优秀课 件
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探究（二）：饮料瓶大小对饮料公司利润 的影响
【背景材料】某制造商制造并出售球形 瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是 0.8πr2分，其中r(单位：cm)是瓶子的 半径.已知每出售1mL的饮料，制造商可 获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最 大半径为6cm.
人教版-生活中的优化问题举例优秀课 件
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为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽 度必须大于m，每比特所占用的磁道长度不得 小于n.为了数据检索的方便，磁盘格式化时 要求所有磁道具有相同的比特数.
R r
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思考4：函数 f(r) 0.8(r3 r2)(0 r 6)
3
是否存在最值？若存在，如何求其最值？
f(x)min f(2)
3.2 3
f(x )m a x f(6 ) 2 8 .8
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思考5：函数 f(r)
0.8(r3 3
r2)(0 r
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思考4：海报四周空白的面积S(x)是否存
在最值？若存在，如何求其最值？
S(x)
2x
512 x
8,x
0
版心高为16dm， 宽为8dm时，
思考5：如何设计海报的尺寸，才能使四 周空白面积最小？
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改投入比率
x 60
x
(0,
5]
.求当技改投入
多少万元时，所获得的产品的增加值为
3.生活中经常遇到求利润最高，产量最大， 成本最低，用料最省等实际问题，这些问题 通常称为优化问题.解决优化问题的本质就是 求函数的最值，因此，以函数为载体导数为 工具，解决生活中的优化问题，是数学应用 领域的一个重要课题.
探究（一）：海报版面尺寸的设计
【背景材料】学校或班级举行活动，通 常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一 张如图所示的竖向张贴的海报，要求版 心面积为128dm2，上、下两边各空2dm， 左、右两边各空1dm.
思考1：版心面积为定值128dm2，海报 的面积是否也为定值？
(x 4)(1x28 2)
(x 4)(1x28 2) 128
思考2：设版心的高为x，则海报的面积 为多少？海报四周空白的面积为多少？
思考3：设海报四周空白的面积为S(x)， 则S(x)的最简表达式如何？其定义域是 什么？
S(x) 2x 512 8,x 0 x
1.4 生活中的优化问题举例
问题提出
1.在什么条件下，函数f(x)在闭区间[a，b]上 一定存在最大值和最小值？
函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线 2.如果在闭区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是
一条连续不断的曲线，那么如何求出函数f(x)Hale Waihona Puke 区间[a，b]上的最大值和最小值？
将函数f(x)在开区间（a，b）上的所有极值与区 间端点函数值进行比较，其中最大者为最大值， 最小者为最小值.
如何变化？有何最值？
R
r
r
R 2 时，存储量最大.
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思考6：如果每条磁道存储的信息与磁道
的长度成正比，那么如何计算磁盘的存
储量？此时，是不是r越小，磁盘的存储
量越大？
R
r
m 2 时，存储量最大.
r
f(r)
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