材料力学三向应力状态

主单元体：六个平面都是主平面
2 3
1
1
3
3 2
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2
1
在平行于 σ1 的各个斜截面上，其应力对应 于由主应力 σ2 和 σ3 所画的应力圆圆周上各点 的坐标。
2 3
1 3 2
1 3
第4页/共72页
2 1
这样，单元体上与主应力之一平行的各个 斜截面上的正应力和剪应力，可由三个应力圆 圆周上各点的坐标来表示。
CL10TU30
五.体积应变：
V0 abc
V1 a(1 1)b(1 2 )c(1 3)
略去高阶微量,可得：
2
V1 abc(1 1 2 3)
单位体积的体积改变为:
V1 V0
V0
1 2 3
也称为体积应变。
b 1
3
c
a
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CL10TU30
1 2 3
3(1 2)1 2 3
角的平面上，以τ1，3表示。
第7页/共72页
CL10TU31
[例9-6]求图示应力状态的主应力和最大应 力（应力单位为MPa）。
解：
1 3
30
2
20
30 20 2
2
402
52.2 42.2
MPa
2 50MPa
max
1
3
2
47.2MPa
第8页/共72页
CL10TU32
[例9-7]求图示应力状态的主应力和最大剪 应力 （应力单位为MPa）。
q
已知 1 0
2 q
y
x
3 0
3
1 E
(
3
2
)
0
z
3 2 q
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§9-5平面应变状态分析目录 下章 上节
这里所指的平面应变状态，实际上是平 面应力所对应的应变状态，它与弹性力学中 所说的平面应变状态不同。
由于最大应变往往发生于受力构件的表面 ，而表面上的点一般都可按平面应变状态进 行分析。
E
3
1 2
3
1
E 1
E 1
E
1 2 3
（ 2 （ 3 （1
3） 1） 2）
1 2
E
(1
2
3)
m
K
当
0.5时，
0
K E 体积弹性模量
3(1 2)
m
1 2 3
3
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[例9-9]如图刚性槽内放置边长为1的立方
体。若上部压力为q，求立方体的应力。 解：用广义虎克定律求解
max
1
3
2
80MPa
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§9-4 广义胡克定律
一. 单向应力状态虎克定律
纵向应变：
E
横向应变：
E
2
二. 广义虎克定律：
1.1方向的应变：
1作用产生的应变
1
1
E
3
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1
CL10TU35
2.
2、
引起的应变为
3
1
2
E
1
3
E
3. 广义虎克定律：
3
2 1
第5页/共72页
至于与三个主方向都不平行的任意斜截面， 弹性力学中已证明，其应力σn和τn可由图中阴 影面内某点的坐标来表示。
2
n
1
3
2
1
3
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在三向应力状态情况下：
2
max 1
min 3
max
1
2
3
3
2
3
1
1
τmax 作用在与σ2平行且与σ1和σ3的方向成45°
sin
2
x y sin 2 xy cos 2
2
2
2
2
x x
2
2
y
x
2
y
cos 2
x
y sin 2 x cos 2
第21页/共72页
sin 2
二.主应变
tan
2 0
2 x x
y
max min
x y
2
(
x
2
y
)2
2 x
2
tan
20
xy x
y
max min
求出 x 、 y 、45 0
直角应变花： x 0 ， y 90
由 45
x
y
2
xy
2
可求得:
xy 0 90 2 45
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CL10TU28
§9-6 复杂应力状态下的变形比能
一、微元体应变能
求出 x 、 y 、 xy
第23页/共72页
应变的实测：
用应变仪直接测出三个选定方向 1、 2、 3的线应变 1 、 2 、 3 ，由下式
1
2
3
x x x
y
2
y
2
y
2
x x x
y
2
y
2
y
2
cos2 1 cos2 2 cos2 3
xy
2
xy
2
xy
2
sin 2 1 sin 2 2 sin 2 3
解：
2 50MPa
1 2 50MPa
3 50MPa
max
1 3
2
50MPa
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CL10TU33
[例9-8]求图示应力状态的主应力和最大 剪应力（应力单位为MPa）。
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解：
1 2
120 2
40
120 2
40 2
302
130 30
MPa
3 30MPa
首先分析平行于主应力之一σ3的斜截面上的 应力。
σ3 对斜截面上的应力没有影响。这些斜截 面上的应力对应于由主应力 σ1 和 σ2 所画的应 力圆圆周上各点的坐标。
2
1
1
3
3
2
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3
2
1
第2页/共72页
同理，在平行于 σ2 的各个斜截面上，其应 力对应于由主应力 σ1 和 σ3 所画的应力圆圆周 上各点的坐标。
第18页/共72页
一.斜方向的应变
设构件内一点处的应
变
x、
y和
皆为已
xy
知量。现求和
伸长的线应变和使直 角减小的剪应变规定
为正。
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CL10TU27
1. 斜方向应力
x x
y
2
y
2
x
2
y
cos 2
x
sin
sin 2 x cos 2
2
2
1 2
(
x
y)
1 2
(
x
y ) cos 2(
x
y
2
(x
y
)2
(
xy
)2
2
2
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三.应变的实测
用3的应线变应仪变直接1、测出2、 三个3选 ，定 由下方式向1、
、
2
1
2
3
x x x
y
2
y
2
y
2
x x x
y
2
y
2
y
2
cos2 1 cos2 2 cos2 3
xy
2
xy
2
xy
2
sin 2 1 sin 2 2 sin 2 3
2
)
x
sin
2(
)
2
2
x
y
2
sin
2
x
cos 2
2. 斜方向的应变
1 E
(
2
)
1 E
{
x
2
y
x
2
y
cos 2
x
sin
2
[
1 2
(
x
y
)
1 2
(
x
y
)
cos
2
x
sin
2
]}
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1
[
x
E
y
y
2
x
x
y
(
2
y
x)
2(1 2
)
x
sin
2 ]
x
y
2
x
y
2
cos 2
x
2
2 1
当三个主应力同时作用时：
3
1
1 E
1 （ 2
3）
另两个方向
2
1 E
2
（ 3
1）
3
1 E
3
（
1
）
2
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CL10TU30
三. 二向应力状态虎克定律：
1
1 E
( 1
2)
2
1 E
( 2
1)
3
E
( 1
2)
四. 三个弹性常数之间的关系
G
E
21
第14页/共72页
2 1