§9.1 定积分的概念 数学分析课件(华师大 四版) 高教社ppt 华东师大教材配套课件

lim

{}(,)|[,],0().

A x y x a b y f x =∈≤≤三个典型问题

(),[,],y f x x a b =∈1. 设 求曲边梯形 A 的面积 S (A ), 其中

y

x

O

()

x f y =()

S A a b

2. 已知质点运动的速度为 求从时刻 (),[,].v t t a b ∈

3. 已知质量非均匀分布的线状物体的密度函数为

,)(x ρ,],[b a x ∈求线状物体的质量 m .

显然, ()()();f x c S A c b a ≡=-当为常值函数时，0();s v b a =-为匀速运动时,0()v t v ≡当当质量为

,x ρρ()≡均匀分布时，即为常数时).

(a b m -=ρ这就是说,在“常值”、“均匀”、“不变”的情 a 到时刻 b ,质点运动的路程 s.

情况下，可以用简单的乘法进行计算.

以下我们以求曲边梯形的面积为例，把这类问题合 中心思想：

“有变化”的情形, 如何来解决这些问题呢？

理地归为一类特殊和式的极限. 把曲边梯形看作许许多多小的曲边梯形之和， 小曲边梯形面积，可近似地用矩形的面积来替代, 而现在遇到的问题是“非常值” 、“不均匀”、 每个 虽然为此会产生误差， 矩形面积之和就越来越接近于曲边梯形面积.

但当分割越来越细的时候,

一分为四

y

x

O

()

x f y =a

b

1x 2

x 3

x ()

S A

一分为八

y

x

O

()

x f y =a b

81x -1

x 3x ()

S A

过程呢？ 1. 分割： ,

,,,21n A A A a 1x 2

x 1-n x b

即在 上插入

个分点 121{,,,},n x x x -[,]a b 1n -121,

n a x x x b -<<<<<如何严格地定义这一越来越逼近曲边梯形面积的 这可以分三步进行. 0,n x a x b ==为方便起见，记，

1[,],i i i x x ∆-=112,,,,,

i i i x x x i n ∆-=-=把曲边梯形 A 分成 n 个小曲边梯形

{}{}010,,

,Δ,,Δ.

n n T x x x T 用或=来记这个分割=⋅⋅⋅

11[,],[,]()i i i i i x x x x f x ξ在上把近似看作常数

--∈1

1

()()Δ.

n n

i i i i i S A S f x ξ===≈∑∑2. 近似: 1

()Δ.

n

i i i f x ξ上述和式称为积分和或黎曼和=∑i A 把小曲边梯形近似看作矩形，即任取

().i f ξ(),i i i i A S f x ξ∆此时的面积约为所以

3. 逼近： 当分割越来越细时, 和式 1

()Δn

i i i f x ξ=∑问题是：

(1)如何刻画分割越来越细？

1

(2)()Δ?

n

i i i f x S ξ如何刻画越来越逼近于=∑就会越来越小.

S 与的差距下面依次讨论这两个问题.

1

()Δn

i i i f x ξ=∑与曲边梯形的面积 因此黎曼和 不管分割多么细，小曲边梯形终究不是 矩形, S 总有差别.

来表示分割 T 越来越细, n →∞用{}max Δ1,2,

,.

i T x i n ==-1[,]i i x x 区间要保证每个区间

的长度不趋于 0 . 1[,]0,i i x x T 的长度趋于需引细度入分的:

割(模)-0T 则当时,→就能保证分割越来越细.

, )1(100b x x x a T n =<<<= ：对于一般的不能

因为可能某些

都有

1

()Δ.

n

i

i

i f x S

ξε=<∑－对于另外两个实际问题,也可类似地归结为黎曼和 0,ε>给定的 的极限.

1

(2) (),n

i i i f x S ξ=∆∑要刻画能无限逼近需要任意

能够找到 ,0>δ使得当

{}max i T x ∆δ=<时，

1[,],i i i x x ξ-∈对任意总结以上分析，下面给出定积分定义.

定义1

[,]R.f a b J 设是定义在上的函数，∈001:,n T a x x x b =<<<=00,εδ∀>∃>若，对任意分割

[,]f a b 则称在上可积，并称 J 为 f 在 [a ,b ]上的

1[,],1,2,,,i i i x x i n ξ-∈=及任意

1

()d lim ()Δ.

n

b a

T i J f x x f x i i ξ→===∑⎰定积分,

{}max i T x δ∆当时,必有

=<1

(),

n

i

i

i f x

J ξε∆=-<∑记作