人教版高中数学必修二检测：模块质量评估(B卷) Word版含解析

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2020_2021学年新教材高中数学模块素养检测二含解析新人教B版选择性必修第二册.doc

模块素养检测(二)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的)1.二项式(x-2y)5的展开式中x2y3的系数为( )A.10B.-10C.80D.-80【解析】选D.(x-2y)5展开式的通项为T r+1=x5-r(-2y)r，取r=3得到x2y3的系数为·(-2)3=-80.2.将5个相同名额分给3个不同的班级，每班至少得到一个名额的不同分法种数是( )A.60B.50C.10D.6【解析】选D.将5个相同元素分成3组，采用隔板法：即每班至少得到一个名额的不同分法种数是=6.3.为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度，某地区在2015年以前的年均脱贫率(脱贫的户数占当年贫困户总数的比)为70%，2015年开始全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中2019年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比(参加户数占2019年贫困总户数的比)及该项目的脱贫率见表：实施项目种植业养殖业工厂就业参加户数占比45% 45% 10%脱贫率96% 96% 90%那么2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的________倍( )A. B. C. D.【解析】选B.由表可得，2019年的年脱贫率为：0.45×0.96+0.45×0.96+0.1×0.9=0.954，所以2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的=倍.4.张、王夫妇各带一个小孩儿到上海迪士尼乐园游玩，购票后依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外两个小孩要排在一起，则这6个人的入园顺序的排法种数是( )A.12B.24C.36D.48【解析】选B.先安排首尾两个位置的男家长，共有种方法；将两个小孩作为一个整体，与剩下的另两位家长安排在两位男家长的中间，共有种方法.由分步乘法计数原理可得所有的排法为=24种.5.两个变量的散点图如图，可考虑用如下函数进行拟合比较合理的是( )A.y=a·x bB.y=a·e bC.y=a+bln xD.y=a·【解析】选C.由散点图可知，此曲线类似对数函数型曲线，因此可用函数y=a+bln x模型进行拟合，而选项A、B、D中函数值只能为负或只能为正，所以不符合散点图.6.由“0”“1”“2”组成的三位数码组中，若用A表示“第二位数字为0”的事件，用B表示“第一位数字为0”的事件，则P(A|B)= ( )A. B. C. D.【解析】选B.P(A|B)===.7.从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，.则某人从甲地到乙地至少遇到2次红灯的概率为( )A. B. C. D.【解析】选B.若从甲地到乙地，遇到1次红灯，则概率为××+××+××=，没有遇到红灯的概率为××=，故某人从甲地到乙地至少遇到2次红灯的概率为1--=.8.在高三下学期初，某校开展教师对学生的家庭学习问卷调查活动，已知现有3名教师对4名学生家庭问卷调查，若这3名教师每位至少到一名学生家中问卷调查，又这4名学生的家庭都能且只能得到一名教师的问卷调查，那么不同的问卷调查方案的种数为( )A.36B.72C.24D.48【解析】选A.根据题意，分2步进行分析：①先把4名学生分成3组，其中1组2人，其余2组各1人，有=6种分组方法；②将分好的3组对应3名任课教师，有=6种情况；根据分步乘法计数原理可得共有6×6=36种不同的问卷调查方案.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9.对于二项式(n∈N*)，以下判断正确的有( )A.存在n∈N*，展开式中有常数项B.对任意n∈N*，展开式中没有常数项C.对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项D.存在n∈N*，展开式中有x的一次项【解析】选AD.设二项式(n∈N*)展开式的通项公式为T r+1，则T r+1=(x3)r=x4r-n，不妨令n=4，则r=1时，展开式中有常数项，故选项A正确，选项B错误；令n=3，则r=1时，展开式中有x的一次项，故C选项错误，D选项正确.10.下列各对事件中，为相互独立事件的是( )A.掷一枚骰子一次，事件M“出现偶数点”；事件N“出现3点或6点”B.袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球”C.袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到黑球”D.甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M“从甲组中选出1名男生”，事件N“从乙组中选出1名女生”【解析】选ABD.在A中，样本空间Ω={1，2，3，4，5，6}，事件M={2，4，6}，事件N={3，6}，事件MN={6}，所以P(M)==，P(N)==，P(MN)=×=，即P(MN)=P(M)P(N)，故事件M与N相互独立，A正确.在B中，根据事件的特点易知，事件M是否发生对事件N发生的概率没有影响，故M与N是相互独立事件，B正确；在C中，由于第1次摸到球不放回，因此会对第2次摸到球的概率产生影响，因此不是相互独立事件，C错误；在D中，从甲组中选出1名男生与从乙组中选出1名女生这两个事件的发生没有影响，所以它们是相互独立事件，D正确.11.下列命题中正确的是( )A.标准差越小，则反映样本数据的离散程度越大B.在回归直线方程=-0.4x+3中，当解释变量x每增加1个单位时，则预报变量y减少0.4个单位C.对分类变量X与Y来说，它们的随机变量χ2的值越小，“X与Y有关系”的把握程度越大D.在回归分析模型中，相关系数绝对值越大，说明线性模型的拟合效果越好【解析】选BD.标准差越小，则反映样本数据的离散程度越小，因此A不正确；在回归直线方程=-0.4x+3中，当解释变量x每增加1个单位时，则预报变量y减少0.4个单位，B正确；对分类变量X与Y来说，它们的随机变量χ2越小，“X与Y有关系”的把握程度越小，因此C 不正确；在回归分析模型中，相关系数的绝对值越大，说明线性模型的拟合效果越好，D正确.12.有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是 ( )A.分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有90种分法B.分给甲、乙、丙三人中，一人4本，另两人各1本，有90种分法C.分给甲、乙每人各2本，分给丙、丁每人各1本，有180种分法D.分给甲、乙、丙、丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有2 160种分法【解析】选ABC.对A，先从6本书中分给甲2本，有种方法；再从其余的4本书中分给乙2本，有种方法；最后的2本书给丙，有种方法.所以不同的分配方法有=90种，故A正确；对B，先把6本书分成3堆：4本、1本、1本，有种方法；再分给甲、乙、丙三人，所以不同的分配方法有=90种，故B正确；对C，6本不同的书先分给甲、乙每人各2本，有种方法；其余2本分给丙、丁，有种方法.所以不同的分配方法有=180种，故C正确；对D，先把6本不同的书分成4堆：2本、2本、1本、1本，有·种方法；再分给甲、乙、丙、丁四人，所以不同的分配方法有··=1 080种，故D错误.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)13.盒中有大小相同的5个白球和3个黑球，从中随机摸出3个小球，记摸到黑球的个数为X，则P(X=2)=________，E(X)=________.【解析】P(X=2)==，P(X=0)==，P(X=1)==，P(X=3)==，所以E(X)=0×+1×+2×+3×=.答案：14.有两个分类变量x和y，其中一组观测值为如下的2×2列联表：y1y2总计x1 a 15-a 15x220-a 30+a 50总计20 45 65其中a，15-a均为大于5的整数，则a=________时，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“x和y之间有关系”.附：χ2=P(χ2≥k) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879【解析】由题意知：χ2≥6.635，则=≥6.635，解得a≥8.65或a≤0.58，因为a>5且15-a>5，a∈Z，综上得8.65≤a<10，a∈Z，所以a=9.答案：915.(2020·天津高考)在的展开式中，x2的系数是________.【解析】因为的展开式的通项公式为T r+1=x5-r=·2r·x5-3r(r=0，1，2，3，4，5)，令5-3r=2，解得r=1.所以x2的系数为×2=10.答案：1016.国产杀毒软件进行比赛，每个软件进行四轮考核，每轮考核中能够准确对病毒进行查杀的进入下一轮考核，否则被淘汰.已知某个软件在四轮考核中能够准确杀毒的概率依次是，，，，且各轮考核能否通过互不影响，则该软件至多进入第三轮考核的概率为________. 【解析】设事件A i(i=1，2，3，4)表示“该软件能通过第i轮考核”，由已知得P(A1)=，P(A2)=，P(A3)=，P(A4)=，设事件C表示“该软件至多进入第三轮”，则P(C)=P(+A1+A1A2)=P()+P(A1)+P(A1A2)=+×+××=.答案：四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知(1+2x)n的展开式中，第六项和第七项的二项式系数最大，(1)求n的值；(2)求展开式中系数最大的项.【解析】(1)因为第六项和第七项的二项式系数最大即=且最大，所以n=11；(2)设(1+2x)11展开式中系数最大的项为第r+1项，T r+1=2r x r，令t r+1=2r，则，解得r=7或r=8，当r=7时T8=27x7=42 240x7，当r=8时，T9=28x8=42 240x8，展开式中系数最大的项有两项，即第八项42 240x7和第九项42 240x8.18.(12分)现有甲、乙等5人排成一排照相，按下列要求各有多少种不同的排法？求：(1)甲、乙不能相邻；(2)甲、乙相邻且都不站在两端；(3)甲、乙之间仅相隔1人；(4)按高个子站中间，两侧依次变矮(五人个子各不相同)的顺序排列.【解析】(1)先将除甲、乙外三人全排列，有种；再将甲、乙插入4个空档中的2个，有种，由分步乘法计数原理可得，完成这件事情的方法总数为N=·=6×12=72种；(2)将甲、乙两人“捆绑”看成一个整体，排入两端以外的两个位置中的一个，有·种；再将其余3人全排列有种，故共有N=··=24种不同排法；(3)先从另外三人中选一人插在甲、乙之间，则甲、乙之间仅相隔1人共有N=··=36种不同排法；(4)按高个子站中间，两侧依次变矮(五人个子各不相同)的顺序排列共有N=··=6种不同的排法.19.(12分)某高中志愿者男志愿者5人，女志愿者3人，这些人要参加社区服务工作.从这些人中随机抽取4人负责文明宣传工作，另外4人负责卫生服务工作.(1)设M为事件：“负责文明宣传工作的志愿者中包含女志愿者甲但不包含男志愿者乙”，求事件M发生的概率；(2)设X表示参加文明宣传工作的女志愿者人数，求随机变量X的分布列与数学期望.【解析】(1)从8人中随机抽取4人负责文明宣传的基本事件的总数为=70，事件M包含基本事件的个数为，则P(M)===.(2)由题意知X可取的值为：0，1，2，3.则P(X=0)===，P(X=1)===，P(X=2)===，P(X=3)===，因此X的分布列为X 0 1 2 3PX的数学期望是E(X)=0×P(X=0)+1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)=.20.(12分)追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数(AQI)的检测数据，结果统计如下：AQI[0，50] (50，100](100，150](150，200](200，250](250，300]空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染天数 6 14 18 27 25 10(1)从空气质量指数属于[0，50]，(50，100]的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率.(2)已知某企业每天因空气质量造成的经济损失y(单位：元)与空气质量指数x的关系式为y=假设该企业所在地7月与8月每天空气质量为优、良、轻度污染、中度污染、重度污染、严重污染的概率分别为，，，，，，9月每天的空气质量对应的概率以表中100天的空气质量的频率代替.①记该企业9月每天因空气质量造成的经济损失为X元，求X的分布列；②试问该企业7月、8月、9月这三个月因空气质量造成的经济损失总额的数学期望是否会超过2.88万元？说明你的理由.【解析】(1)设ξ为选取的3天中空气质量为优的天数，则P(ξ≥2)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=+=.(2)①X的可能取值为0，220，1 480，P(X=0)=P(0≤x≤100)==，P(X=220)=P(100<x≤250)==，P(X=1 480)=P(250<x≤300)==，则X的分布列为X 0 220 1 480P②由①知E(X)=0×+220×+1 480×=302(元)，故该企业9月的经济损失的数学期望为30E(X)=9 060(元).设该企业7月与8月每天因空气质量造成的经济损失为Y元，则P(Y=0)=+=，P(Y=220)=++=，P(Y=1 480)=，所以E(Y)=0×+220×+1 480×=320(元)，所以7月与8月因空气质量造成经济损失的总额为320×(31+31)=19 840(元).因为19 840+9 060=28 900>2.88万，所以这3个月经济损失总额的数学期望会超过2.88万元.21.(12分)流行性感冒(简称流感)是流感病毒引起的急性呼吸道感染，是一种传染性强、传播速度快的疾病.其主要通过空气中的飞沫、人与人之间的接触或与被污染物品的接触传播.流感每年在世界各地均有传播，在我国北方通常呈冬春季流行，南方有冬春季和夏季两个流行高峰.儿童相对免疫力低，在幼儿园、学校等人员密集的地方更容易被传染.某幼儿园将去年春季该园患流感小朋友按照年龄与人数统计，得到如下数据：年龄(x) 2 3 4 5 6患病人数(y) 22 22 17 14 10(1)求y关于x的回归直线方程；(2)计算变量x，y的相关系数r(计算结果精确到0.01)，并回答是否可以认为该幼儿园去年春季患流感人数与年龄负相关很强？(若|r|∈[0.75，1]，则x，y相关性很强；若|r|∈[0.3，0.75)，则x，y相关性一般；若|r|∈[0，0.25]，则x，y相关性较弱.)参考数据：≈5.477.参考公式：==，相关系数r=.【解析】(1)由题意得，==4，==17，===-3.2，=-=17+3.2×4=29.8，故y关于x的回归直线方程为=-3.2x+29.8.(2)r===≈-0.97，因为r<0，说明x，y负相关，又|r|∈[0.75，1]，说明x，y相关性很强.因此可以认为该幼儿园去年春季患流感人数与年龄负相关很强.22.(12分)生男生女都一样，女儿也是传后人.由于某些地区仍然存在封建传统思想，头胎的男女情况可能会影响生二孩的意愿，现随机抽取某地200户家庭进行调查统计.这200户家庭中，头胎为女孩的频率为0.5，生二孩的频率为0.525，其中头胎生女孩且生二孩的家庭数为60.(1)完成下列2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关；生二孩不生二孩总计头胎为女孩60头胎为男孩总计200(2)在抽取的200户家庭的样本中，按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了7户进一步了解情况，在抽取的7户中再随机抽取4户，求抽到的头胎是女孩的家庭户数X的分布列及数学期望.附：P(χ2≥k) 0.15 0.05 0.01 0.001k 2.072 3.841 6.635 10.828χ2=(其中n=a+b+c+d).【解析】(1)因为头胎为女孩的频率为0.5，所以头胎为女孩的总户数为200×0.5=100.因为生二孩的概率为0.525，所以生二孩的总户数为200×0.525=105.2×2列联表如下：生二孩不生二孩总计头胎为女孩60 40 100头胎为男孩45 55 100总计105 95 200χ2==>3.841，故有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关.(2)在抽取的200户家庭的样本中，按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了7户，则这7户家庭中，头胎生女孩的户数为4，头胎生男孩的户数为3，则X的可能取值为1，2，3，4.P(X=1)==；P(X=2)==；P(X=3)==；P(X=4)==.X的分布列为X 1 2 3 4PE(X)=1×+2×+3×+4×=.。

2021-2022学年新教材高中数学模块测评(含解析)新人教B版必修第二册

模块综合测评(时间：120分钟满分：150分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．计算lg 4＋lg 25＝( ) A ．2 B ．3C ．4D ．10A [lg 4＋lg 25＝lg(4×25)＝lg 100＝2.] 2．下列等式中正确的是( ) A ．OA →－OB →＝AB → B ．AB →＋BA →＝0C ．0·AB →＝0D ．AB →＋BC →＋CD →＝AD →D [起点相同的向量相减，则取终点，并指向被减向量，OA →－OB →＝BA →；AB →，BA →是一对相反向量，它们的和应该为零向量，AB →＋BA →＝0；0·AB →＝0才对，故选D ．]3．甲、乙两人有三个不同的学习小组A ，B ，C 可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为( )A ．13 B ．14C ．15D ．16A [因为甲、乙两人参加学习小组的所有事件有(A ，A )，(A ，B )，(A ，C )，(B ，A )，(B ，B )，(B ，C )，(C ，A )，(C ，B )，(C ，C )，共9个，其中两人参加同一个小组事件有(A ，A )，(B ，B )，(C ，C )，共3个，所以两人参加同一个小组的概率为39＝13.选A ．]4．设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x －1，则当x ＜0时，f (x )＝( ) A ．e －x －1 B ．e －x ＋1 C ．－e －x －1D ．－e －x ＋1D [当x <0时，－x >0，∵当x ≥0时，f (x )＝e x －1，∴f (－x )＝e －x －1．又∵f (x )为奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－e －x ＋1．故选D ．]5．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝( ) A ．23 B ．－23C ．25D ．13A [由题意知CD →＝CA →＋AD →，① CD →＝CB →＋BD →，②且AD →＋2BD →＝0.①＋②×2得3CD →＝CA →＋2CB →， ∴CD →＝13CA →＋23CB →，∴λ＝23.]6．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( )A ．23B ．35C ．25D ．15B [设5只兔子中测量过某项指标的3只为a 1，a 2，a 3，未测量过这项指标的2只为b 1，b 2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a 1，a 2，a 3)，(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 3，b 1)，(a 1，a 3，b 2)，(a 1，b 1，b 2)，(a 2，a 3，b 1)，(a 2，a 3，b 2)，(a 2，b 1，b 2)，(a 3，b 1，b 2)，共10种可能．其中恰有2只测量过该指标的情况为(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 3，b 1)，(a 1，a 3，b 2)，(a 2，a 3，b 1)，(a 2，a 3，b 2)，共6种可能．故恰有2只测量过该指标的概率为610＝35.故选B ．]7．质点P 在平面上做匀速直线运动，速度向量v ＝(4，－3)(即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为|v |个单位)．设开始时点P 的坐标为(－10,10)，则5秒后点P 的坐标为( )A ．(－2,4)B ．(－30,25)C ．(10，－5)D ．(5，－10)C [设(－10,10)为A ，设5秒后P 点的坐标为A 1(x ，y )，则AA 1→＝(x ＋10，y －10)，由题意有AA 1→＝5v .即(x ＋10，y －10)＝(20，－15)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋10＝20，y －10＝－15⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝－5.]8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)D [当x ≤0时，函数f (x )＝2－x 是减函数，则f (x )≥f (0)＝1．作出f (x )的大致图像如图所示，结合图像可知，要使f (x ＋1)<f (2x )，则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0，所以x <0，故选D ．]二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．9．设O 是平行四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD 的交点，则可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的向量组是( )A ．AD →与AB → B ．DA →与BC → C ．CA →与DC →D ．OD →与OB →AC [平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，如图：对于A ，AD →与AB →不共线，可作为基底；对于B ，DA →与BC →为共线向量，不可作为基底；对于C ，CA →与DC →是两个不共线的向量，可作为基底；对于D ，OD →与OB →在同一条直线上，是共线向量，不可作为基底．]10．对于函数f (x )定义域中任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，当f (x )＝2－x 时，下列结论中正确的是( )A ．f (x 1＋x 2)＝f (x 1)f (x 2)B ．f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)C ．(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0D ．f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜fx 1＋f x 22ACD [f (x )＝2－x ，f (x 1＋x 2)＝2－(x 1＋x 2)，f (x 1)f (x 2)＝2－x 1·2－x 2＝2－(x 1＋x 2)，故A 对； f (x 1·x 2)＝2－(x 1＋x 2)≠2－x 1＋2－x 2＝f (x 1)＋f (x 2)，故B 错；∵f (x )＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x为减函数，所以(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0，故C 对；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝2－(x 1＋x 2)，f x 1＋f x 22＝2－x 1＋2－x 22，由基本不等式，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜f x 1＋f x 22，故D 对．故选ACD ．]11．某地区经过一年的建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区建设前后农村的经济收入构成比例，得到如图所示的饼图：则下面结论中正确的是( ) A ．建设后，种植收入减少B ．建设后，其他收入增加了一倍以上C ．建设后，养殖收入增加了一倍D ．建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半BCD [设建设前经济收入为a ，则建设后经济收入为2a ，则由饼图可得建设前种植收入为0.6a ，其他收入为0.04a ，养殖收入为0.3a .建设后种植收入为0.74a ，其他收入为0.1a ，养殖收入为0.6a ，养殖收入与第三产业收入的总和为1.16a ，所以建设后，种植收入减少是错误的．故选BCD ．]12．若把定义域不同，但值域相同的函数叫作“同族函数”，其中与函数g (x )＝x ＋1x，x ∈(0，＋∞)为“同族函数”的是( ) A ．f (x )＝2x －1x，x ∈(1，＋∞)B ．f (x )＝11＋x 2，x ∈RC ．f (x )＝log 2(2|x |＋1)，x ∈RD ．f (x )＝4x ＋2x ＋1＋1，x ∈R AD [函数g (x )＝x ＋1x ＝1＋1x，定义域是(0，＋∞)，值域是(1，＋∞)．对于A ，f (x )＝2x －1x，当x ∈(1，＋∞)时，f (x )是单调增函数，且f (x )＞2－1＝1，∴f (x )的值域是(1，＋∞)，值域相同，是“同族函数”；对于B ，f (x )＝11＋x 2，当x ∈R 时，f (x )的值域是(0,1]，值域不同，∴不是“同族函数”；对于C ，f (x )＝log 2(2|x |＋1)，当x ∈R 时，2|x |≥1，∴log 2(2|x |＋1)≥1，∴f (x )的值域是[1，＋∞)，值域不同，不是“同族函数”；对于D ，f (x )＝4x ＋2x ＋1＋1＝(2x ＋1)2，当x ∈R 时，f (x )的值域是(1，＋∞)，值域相同，是“同族函数”．]三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上． 13．已知函数f (x )＝log 2(x 2＋a )．若f (3)＝1，则a ＝________. －7 [由f (3)＝1得log 2(32＋a )＝1，所以9＋a ＝2，解得a ＝－7.]14．某学校举行课外综合知识比赛，随机抽取400名同学的成绩，成绩全部在50分至100分之间，将成绩按如下方式分成五组．第一组，成绩大于等于50分且小于60分；第二组，成绩大于等于60分且小于70分；……；第五组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图．则400名同学中成绩优秀(大于等于80分)的学生有________名．100 [成绩优秀的频率为1－(0.005＋0.025＋0.045)×10＝0.25，所以成绩优秀的学生有0.25×400＝100(名)．]15．已知定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，且2f (x )－e x －m ≥0在x ∈[1,2]上恒成立，则实数m 的取值范围为________．(－∞，e－2] [由f(x)＋g(x)＝e x，①可得f(－x)＋g(－x)＝e－x，即f(x)－g(x)＝e－x，②由①②，解得f(x)＝e x＋e－x2.2f(x)－e x－m≥0在x∈[1,2]上恒成立，即m≤2f(x)－e x＝e－x在x∈[1,2]上恒成立．又函数y＝e－x在[1,2]上单调递减，所以y min＝e－2，所以m≤e－2，即实数m的取值范围为(－∞，e－2]．]16．已知平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|a－b|＝|a＋b－c|＝1，则|c|的最大值M＝________，|c|的最小值m＝________.(本题第一空2分，第二空3分) 3＋1 3－1 [因为|a|＝|b|＝|a－b|＝1．所以a，b，a－b可构成等边三角形，且|a＋b|＝3，因为|a＋b－c|＝1，所以如图所示，c的终点在以a＋b的终点为圆心、半径为1的圆上，故M＝3＋1，m＝3－1．]四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知向量a＝(2,0)，b＝(1,4)．(1)求2a＋3b，a－2b；(2)若向量k a＋b与a＋2b平行，求k的值．[解] (1)∵a＝(2,0)，b＝(1,4)，∴2a＋3b＝2(2,0)＋3(1,4)＝(4,0)＋(3,12)＝(7,12)，a－2b＝(2,0)－2(1,4)＝(2,0)－(2,8)＝(0，－8)．(2)依题意得k a＋b＝(2k,0)＋(1,4)＝(2k＋1,4)，a＋2b＝(2,0)＋(2,8)＝(4,8)．∵向量k a ＋b 与a ＋2b 平行， ∴8(2k ＋1)－4×4＝0，解得k ＝12.18．(本小题满分12分)为了了解中学生的体能情况，抽取了某校七年级的部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图如图，已知第1组的频数为5.(1)求第4组的频率；(2)参加这次测试的学生有多少人？(3)若次数在75以上(含75次)为达标，试估计该年级跳绳测试的达标率是多少？ [解] (1)第4组频率为0.008×(149.5－124.5)＝0.2. (2)设参加这次测试的人数为x ，则5x＝0.004×(74.5－49.5)＝0.1，∴x ＝50，故参加这次测试的学生有50人．(3)估计这次跳绳测试的达标率为[1－0.004×(74.5－49.5)]×100%＝90%. 19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)．(1)若f (x )的图像如图①所示，求a ，b 的值； (2)若f (x )的图像如图②所示，求a ，b 的取值范围；(3)在①中，若|f (x )|＝m 有且仅有一个实数解，求出m 的取值范围．[解] (1)由图像知，f (0)＝1＋b ＝－2，所以b ＝－3.又f (2)＝a 2－3＝0，所以a ＝3(负值舍去)，因此a ＝3，b ＝－3. (2)f (x )单调递减，所以0<a <1，又f (0)<0，即a 0＋b <0，所以b <－1．(3)由(1)得f (x )＝(3)x －3，在同一坐标系中画出函数y ＝|f (x )|和y ＝m 的图像．观察图像可知，当m ＝0或m ≥3时，两图像仅有一个交点，故|f (x )|＝m 有且仅有一个实数解时，m 的取值范围是{m |m ＝0或m ≥3}．20．(本小题满分12分)如图所示，在△ABC 中，BC ＝4BD ，AC ＝3CE .(1)用AB →，AC →表示AD →，BE →；(2)M 为△ABC 内一点，且AM →＝23AB →＋29AC →，证明：B ，M ，E 三点共线．[解] (1)因为BC ＝4BD ，所以BD →＝14BC →＝14(AC →－AB →)＝14AC →－14AB →，所以AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋14AC →－14AB →＝34AB →＋14AC →.因为AC ＝3CE ，所以AE →＝23AC →，所以BE →＝AE →－AB →＝23AC →－AB →. (2)证明：因为AM →＝23AB →＋29AC →，所以BM →＝AM →－AB → ＝－13AB →＋29AC →.因为BE →＝23AC →－AB → ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫－13AB →＋29AC →，所以BE →＝3BM →，即BE →与BM →共线．又因为BE →与BM →有公共点B ，所以B ，M ，E 三点共线．21．(本小题满分12分)某校团委会组织该校高中一年级某班以小组为单位利用周末时间进行了一次社会实践活动，且每个小组有5名同学，在实践活动结束后，学校团委会对该班的所有同学都进行了测试，该班的A ，B 两个小组所有同学所得分数(百分制)的茎叶图如图所示，其中B 组一同学的分数已被污损，但知道B 组学生的平均分比A 组学生的平均分高1分．(1)若在B 组学生中随机挑选1人，求其得分超过85分的概率；(2)现从A 组这5名学生中随机抽取2名同学，设其分数分别为m ，n ，求|m －n |≤8的概率．[解] (1)A 组学生的平均分为94＋88＋86＋80＋775＝85(分)，∴B 组学生平均分为86分．设被污损的分数为x ，则91＋93＋83＋x ＋755＝86，解得x ＝88，∴B 组学生的分数分别为93,91,88,83,75，其中有3人的分数超过85分， ∴在B 组学生随机选1人，其所得分超过85分的概率为35.(2)A 组学生的分数分别是94,88,86,80,77，在A 组学生中随机抽取2名同学，其分数组成的基本事件(m ，n )有(94,88)，(94,86)，(94,80)，(94,77)，(88,86)，(88,80)，(88,77)，(86,80)，(86,77)，(80,77)，共10个．随机抽取2名同学的分数m ，n 满足|m －n |≤8的基本事件有(94,88)，(94,86)，(88,86)，(88,80)，(86,80)，(80,77)，共6个．∴|m －n |≤8的概率为610＝35. 22．(本小题满分12分)已知a ∈R ，函数f (x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a . (1)当a ＝1时，解不等式f (x )>1；(2)若关于x 的方程f (x )＋log 2(x 2)＝0的解集中恰有一个元素，求a 的值；(3)设a >0，若对任意t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．[解] (1)由log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1>1，得1x ＋1>2，解得{x |0<x <1}． (2)log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a ＋log 2(x 2)＝0有且仅有一解，等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a x 2＝1有且仅有一解，等价于ax 2＋x －1＝0有且仅有一解．当a ＝0时，x ＝1，符合题意；当a ≠0时，Δ＝1＋4a ＝0，a ＝－14. 综上，a ＝0或a ＝－14. (3)当0<x 1<x 2时，1x 1＋a >1x 2＋a ， log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋a >log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋a ，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减．函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上的最大值与最小值分别为f (t )，f (t ＋1)．f (t )－f (t ＋1)＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋a －log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋1＋a ≤1，即at 2＋(a ＋1)t －1≥0对任意t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1成立．因为a >0，所以函数y ＝at 2＋(a ＋1)t －1在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递增，所以t ＝12时，y 有最小值34a －12，由34a －12≥0，得a ≥23.故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞.。

高中数学章末质量评估2 新人教B版必修2

章末质量评估(二)(时间：90分钟满分：120分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线kx －y ＋1＝3k ，当k 变动时，所有直线都通过定点( )．A ．(0,0)B ．(0,1)C ．(3,1)D ．(2,1)解析由kx －y ＋1＝3k ，得k (x －3)＝y －1，对于任何k ∈R 都成立，则⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝0，y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1.答案 C2．圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程为( )．A ．x ＋3y －2＝0B ．x ＋3y －4＝0C ．x －3y ＋4＝0D ．x －3y ＋2＝0解析设切线方程为y －3＝k (x －1)，由于圆心坐标为C (2,0)，则k CP ＝－3，从而k ＝13，故所求切线方程为y －3＝13(x －1)，即x －3y ＋2＝0.答案 D3．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( )．A ．1B ．－1C ．－2或－1D ．－2或1解析由题意得，a ＋2＝a ＋2a，解得a ＝－2或a ＝1. 答案 D4．已知直线ax ＋4y －2＝0与2x －5y ＋b ＝0互相垂直，垂足为(1，c )，则a ＋b ＋c 的值为( )．A ．－4B ．20C ．0D ．24解析由直线互相垂直可得－a 4·25＝－1，∴a ＝10，所以直线方程为5x ＋2y －1＝0，又垂足(1，c )在直线上，所以代入得c ＝－2，再把点(1，－2)代入另一方程可得b ＝－12，所以a ＋b ＋c ＝－4.故选A.答案 A5．圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析 ∵x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0，∴(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到x ＋y ＋1＝0的距离为d ＝|－1－2＋1|2＝2＝r2，∴有三个点，故选C.答案 C6．设圆x 2＋y 2＋2x ＋23y －5＝0与x 轴交于A ，B 两点，则|AB |的长是( )．A. 6 B ．2 6 C ．2 3D ．3解析当y ＝0时，方程为x 2＋2x －5＝0，此方程的两根为－1±6，所以|AB |＝2 6. 答案 B7．若△ABC 在空间直角坐标系中的位置及坐标如图所示，则BC 边上的中线的长是( )．A. 2 B ．2 C. 3D ．3解析 A (0,0,1)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，BC 中点坐标为(1,1,0)，由距离公式得12＋12＋12＝ 3.故选C. 答案 C8．由方程x 2＋y 2＋x ＋(m －1)y ＋12m 2＝0所确定的圆中，最大面积是( )．A.32π B.34π C ．3πD ．不存在解析所给圆的半径为r ＝1＋m －12－2m22＝12－m ＋12＋3.所以当m ＝－1时，半径r 取最大值32，此时最大面积是34π.故选B.答案 B 9．当点P 在圆x 2＋y 2＝1上变动时，它与定点Q (3,0)相连，线段PQ 的中点M 的轨迹方程是( )．A ．(x ＋3)2＋y 2＝4 B ．(x －3)2＋y 2＝1 C ．(2x －3)2＋4y 2＝1D ．(2x ＋3)2＋4y 2＝1解析设M (x ，y )，则P (2x －3,2y )，代入x 2＋y 2＝1，得(2x －3)2＋4y 2＝1. 答案 C10．若直线y ＝kx －1与曲线y ＝－1－x －22有公共点，则k 的取值范围是( )．A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，43B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，43 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 D ．[0,1]解析曲线y ＝－1－x －22的图形是一个半圆，直线y ＝kx －1过定点(0，－1)，在同一坐标系中画出直线和半圆的草图，由图可知，k 的取值范围是[0,1]，故选D.答案 D11．已知A (2,4)与B (3,3)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( )．A ．x ＋y ＝0B ．x －y ＝0C ．x ＋y －6＝0D ．x －y ＋1＝0解析由已知得直线l 是线段AB 的垂直平分线，所以直线l 的斜率为1，且过线段中点⎝ ⎛⎭⎪⎫52，72，由点斜式得方程为y －72＝x －52，化简得x －y ＋1＝0.故选D. 答案 D12．等腰Rt △ABC 的直角顶点为C (3,3)，若点A 的坐标为(0,4)，则点B 的坐标可能是( )．A ．(2,0)或(4,6)B ．(2,0)或(6,4)C ．(4,6)D ．(0,2)解析根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧k AC ·k BC ＝－1，|BC |＝|AC |，即⎩⎪⎨⎪⎧3－43－0·y －3x －3＝－1，x －32＋y －32＝0－32＋4－32.整理可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝6，所以B (2,0)或B (4,6)．答案 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上) 13．在空间中点A (3,4，－5)关于z 轴对称的点的坐标是________．解析空间中关于z 轴对称的点的坐标的特点是：竖坐标不变，横、纵坐标变为原来的相反数．答案 (－3，－4，－5)14．若点P (1，－1)在圆(x ＋2)2＋y 2＝m 的内部，则实数m 的取值范围是________．解析 (1＋2)2＋(－1)2＜m ，即m ＞10，∴m 的取值范围是(10，＋∞)．答案 (10，＋∞)15．已知点A (－2,4)与直线l ：x ＋y ＋4＝0.P 是直线l 上一动点，则|PA |的最小值为________．解析当PA ⊥l 时，PA 最小，即为点A 到直线l 的距离，所以|PA |的最小值为|－2＋4＋4|2＝3 2.答案 3 216．若直线ax －2y ＋2＝0与直线x ＋(a －3)y ＋1＝0平行，则实数a 的值为________．解析由两直线平行的条件得a (a －3)＝－2，解得a ＝1或2，经检验，a ＝2时两直线重合，所以两直线平行时，实数a 的值为1.答案 1三、解答题(本大题共4小题，共40分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．解 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距都为零，当然相等，则(a ＋1)×0＋0＋2－a ＝0， ∴a ＝2，方程即3x ＋y ＝0. 若a ≠2，由于截距相等，∴a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1.∴a ＝0，方程即x ＋y ＋2＝0. ∴l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，∴l 不经过第二象限，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋1≥0，a －2≤0.∴a ≤－1，综上可知，a 的取值范围是a ≤－1.18．(10分)已知两条直线l 1：x ＋m 2y ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3my ＋2m ＝0，当m 为何值时，l 1与l 2(1)相交；(2)平行；(3)重合．解当m ＝0时，l 1：x ＋6＝0，l 2：x ＝0，∴l 1∥l 2；当m ＝2时，l 1：x ＋4y ＋6＝0，l 2：3y ＋2＝0，∴l 1与l 2相交；当m ≠0且m ≠2时，由1m －2＝m 23m ，得m ＝－1或m ＝3，由1m －2＝62m ，得m ＝3.故(1)当m ≠－1且m ≠3且m ≠0时，l 1与l 2相交； (2)当m ＝－1或m ＝0时，l 1∥l 2； (3)当m ＝3时，l 1与l 2重合．19．(10分)如图所示，在空间直角坐标系中，BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫32，12，0，点D 在平面yOz 内，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，求点D 的坐标并判断△ABC 的形状．解过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，在Rt △BDC 中，∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，BC ＝2，则BD ＝1，CD ＝3，∴DE ＝CD sin 30°＝32， OE ＝OB －BE ＝OB －BD cos 60°＝1－12＝12.∴D 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，32.∵B (0，－1,0)，C (0,1,0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0， ∴|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝⎛⎭⎪⎫12＋12＋02＝3，|AC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝⎛⎭⎪⎫12－12＋02＝1，∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2＝4 ∴△ABC 是直角三角形．20．(10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x －4)2＋(y －5)2＝4和圆C 2：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4.(1)若直线l 1过点A (2,0)，且与圆C 1相切，求直线l 1的方程．(2)若直线l 2过点B (4,0)，且被圆C 2截得的弦长为23，求直线l 2的方程； (3)直线l 3的方程是x ＝52，证明：直线l 3上存在点P ，满足过P 的无穷多对互相垂直的直线l 4和l 5，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 4被圆C 1截得的弦长与直线l 5被圆C 2截得的弦长相等．解 (1)若直线斜率不存在，x ＝2符合题意；当直线斜率存在时，设其斜率为k 则直线l 1的方程为：y ＝k (x －2)，即kx －y －2k ＝0由条件得：|4k －5－2k |k 2＋1＝2，解得：k ＝2120，所以直线l 1的方程：x ＝2或y ＝2120(x －2)，即x ＝2或21x －20y －42＝0.(2)由题意知直线l 2的斜率存在，设直线l 2的方程为：y ＝k (x －4)，即kx －y －4k ＝0，由条件得：圆心C 2到直线l 2的距离d ＝22－⎝⎛⎭⎪⎫2322＝1，结合点到直线的距离公式，得：|－3k －1－4k |k 2＋1＝1，化简得：24k 2＋7k ＝0， k ＝0或k ＝－724，所以直线l 2的方程为：y ＝0或y ＝－724(x －4)，即y ＝0或7x ＋24y －28＝0.(3)由题意知，直线l 4，l 5的斜率存在，设直线l 4的斜率为k ，则直线l 5的斜率为－1k，设点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，n ，互相垂直的直线l 4，l 5的方程分别为y －n ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52，y －n ＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52，即kx －y ＋n －52k ＝0，－1k x －y ＋n ＋52k＝0，根据直线l 4被圆C 1截得的弦长与直线l 5被圆C 2截得的弦长相等，两圆半径相等．由垂径定理得，圆心C 1到直线l 4与圆心C 2到直线l 5的距离相等．故有⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k －5＋n －52k k 2＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3k －1＋n ＋52k 1k 2＋1，化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫52－n k ＝212－n 或⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋n k ＝－n －12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋n .关于k 的方程有无穷多解，有12＋n ＝0，即n ＝－12，即直线l 3上满足条件的点P 是存在的，坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－12.。

2021_2022学年新教材高中数学模块质量检测含解析新人教B版选择性必修第二册

模块质量检测(时间120分钟，总分为150分)一、选择题(本大题共12小题，每一小题5分，共60分．在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1．某公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有( )A．510种B．105种C．50种D．3 024种2．(1－x)6展开式中x的奇次项系数和为( )A．32 B．－32C．0 D．－643．一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，数据如下表．由此建立的身高与年龄的回归模型为y^x＋73.93.用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，如此正确的表示是( )B．身高在145.83 cm以上C．身高在145.83 cm左右D．身高在145.83 cm以下4．随机变量X的分布列如下表，如此E(5X＋4)等于( )A.16 B．115．正态分布密度函数为f(x)＝122π2(1)-8ex，x∈R，如此其标准差为( )A．1 B．2C．4 D．86．独立性检验中，假设H0：变量x与变量Y没有关系，如此在H0成立的情况下，P(χ2≥6.635)＝0.01表示的意义是( )A．变量x与变量Y有关系的概率为1%B．变量x与变量Y没有关系的概率为99.9%C．变量x与变量Y没有关系的概率为99%D．变量x与变量Y有关系的概率为99%7．用数字1,2,3,4,6可以组成无重复数字的五位偶数有( )A．48个B．64个C．72个D．90个8．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，如此该同学通过测试的概率为( )9．李教师乘车到学校，途中有3个交通岗，假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.5，如此他上班途中遇见红灯次数的数学期望是( )310．盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次取出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为( )A.35B.110C.59D.2511．用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( ) A ．24 B ．48 C ．60 D ．7212．在如下列图的电路中，5只箱子表示保险匣，箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，假如各保险匣之间互不影响，如此当开关合上时，电路畅通的概率是( )A.551720B.29144C.2972D.2936二、填空题(本大题共4小题，每一小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上) 13．口袋内装有一些大小一样的红球、黄球、白球，从中摸出一个球，摸出红球的概率为0.4，摸出黄球的概率为0.35，如此摸出白球的概率是__________．14．某服装厂的产品产量x (单位：万件)与单位本钱y (单位：元/件)之间的回归直线方程是y ^x ，当产量每增加一万件时，单位本钱约下降________元.15．(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，如此a ＝________.16．将一个半径适当的小球放入如下列图的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，如此小球落入A 袋中的概率为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)6男4女站成一排，求满足如下条件的排法： (1)任何2名女生都不相邻有多少种排法？ (2)男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？ (3)男生甲、乙、丙排序一定，有多少种排法？(4)男甲在男乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法？18．(12分)口袋中有2个白球和4个红球，现从中随机地不放回连续抽取两次，每次抽取1个，如此(1)第一次取出的是红球的概率是多少？(2)第一次和第二次取出的都是红球的概率是多少？(3)在第一次取出红球的条件下，第二次取出的也是红球的概率是多少？19．(12分)甲、乙、丙三支足球队进展比赛，根据规如此：每支队伍比赛两场，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局．乙队胜丙队的概率为15，甲队获得第一名的概率为16，乙队获得第一名的概率为115.(1)求甲队分别胜乙队和丙队的概率P 1，P 2；(2)设在该次比赛中，甲队得分为ξ，求ξ的分布列与数学期望、方差．20．(12分)为推动乒乓球运动的开展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．(1)设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会〞，求事件A 发生的概率；(2)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．21．(12分)“每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子．〞一科研单位为了解员工爱好运动是否与性别有关，从单位随机抽取30名员工进展了问卷调查，得到了如如下联表：在这30人中随机抽取1人抽到爱好运动的员工的概率是.15(1)请将上面的列联表补充完整，并据此资料分析能否有把握认为爱好运动与性别有关？(2)假如从这30人中的女性员工中随机抽取2人参加活动，记爱好运动的人数为X，求X的分布列、数学期望．22．(12分)2019年底，2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人．现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进展英语水平测试，所得成绩(单位：分)统计结果用茎叶图记录如下：(1)试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数；(2)从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X，求X 的分布列和数学期望；(3)为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成假如干组(每组人数不少于5 000)，并在每组中随机选取m个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据，以频率作为概率，给出m的最小值．(结论不要求证明)模块质量检测1．解析：每位乘客都有5种不同的下车方式，根据分步乘法计数原理，共有510种可能的下车方式，应当选A.答案：A2．解析：(1－x )6＝1－C 16x ＋C 26x 2－C 36x 3＋C 46x 4－C 56x 5＋C 66x 6，所以x 的奇次项系数和为－C 16－C 36－C 56＝－32，应当选B.答案：B3．解析：将x ＝10代入得y ＝145.83，但这种预测不一定准确，应该在这个值的左右．答案：C4．解析：由表格可求E (X )＝0×0.3＋2×0.2＋4×0.5＝2.4，故E (5X ＋4)＝5E (X )＋4＝5×2.4＋4＝16.应当选A.答案：A5．解析：根据f (x )＝1σ2π22()2x u e σ--，比照f (x )＝122π·2(1)8x e--知σ＝2.答案：B6．解析：由题意知变量x 与Y 没有关系的概率为0.01，即认为变量x 与Y 有关系的概率为99%.答案：D7．解析：满足条件的五位偶数有A 13·A 44＝72.应当选C.答案：C8．解析：3次投篮投中2次的概率为P (k ＝2)＝C 23×2×(1－0.6)，投中3次的概率为P (k 3，所以通过测试的概率为P (k ＝2)＋P (k ＝3)＝C 23×2×3＝0.648.应当选A.答案：A9．解析：遇到红灯的次数服从二项分布X ～B (3,0.5)， ∴E (X )＝3×0.5＝1.5. 答案：B10．解析：把问题看成用10个不同的球排前两位，第一次为新球的根本事件数为6×9＝54，两次均为新球的根本事件数为A 26＝30，所以在第一次摸到新球条件下，第二次也摸到新球的概率为3054＝59.答案：C11．解析：第一步，先排个位，有C 13种选择；第二步，排前4位，有A 44种选择．由分步乘法计数原理，知有C 13·A 44＝72(个)．答案：D12．解析：“左边并联电路畅通〞记为事件A ，“右边并联电路畅通〞记为事件B .P (A )＝1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×14＝56.P (B )＝1－15×16＝2930.“开关合上时电路畅通〞记为事件C . P (C )＝P (A )·P (B )＝56×2930＝2936，应当选D.答案：D13．解析：记事件A ，B ，C 分别为“摸出一球是红球〞“摸出一球是黄球〞“摸出一球是白球〞，如此A ，B ，C 互斥，且A ∪B ∪C 为必然事件，故P (C )＝1－P (A )－P (B )＝1－0.4－0.35＝0.25. 答案：14．解析：对于回归直线方程：y ^x ，其回归系数为19.5，x 单位为万件，当每增加一万件的时候，单位本钱y ^约下降19.5.答案：15．解析：设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5. 令x ＝1，得(a ＋1)×24＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5.① 令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5.② ①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×32，∴a ＝3. 答案：316．解析：记“小球落入A 袋中〞为事件A ，“小球落入B 袋中〞为事件B ，如此事件A 的对立事件为B ，假如小球落入B 袋中，如此小球必须一直向左落下或一直向右落下，故P (B )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝14，从而P (A )＝1－P (B )＝1－14＝34.答案：3417．解析：(1)任何2名女生都不相邻，如此把女生插空，所以先排男生再让女生插到男生的空中，共有A 66·A 47＝604 800(种)不同排法． (2)方法一：甲不在首位，按甲的排法分类，假如甲在末位，如此有A 99种排法，假如甲不在末位，如此甲有A 18种排法，乙有A 18种排法，其余有A 88种排法，综上共有(A 99＋A 18A 18A 88)＝2 943 360(种)排法．方法二：无条件排列总数 A1010－{甲在首，乙在末A 88，甲在首，乙不在末A 99－A 88，甲不在首，乙在末A 99－A 88，甲不在首，乙不在末，共有A 1010－2A 99＋A 88＝2 943 360(种)排法．(3)10人的所有排列方法有A 1010种，其中甲、乙、丙的排序有A 33种，又对应甲、乙、丙只有一种排序，所以甲、乙、丙排序一定的排法有A 1010A 33＝604 800(种)．(4)男甲在男乙的左边的10人排列与男甲在男乙的右边的10人排列数相等，而10人排列数恰好是这二者之和，因此满足条件的有12A 1010＝1 814 400(种)排法．18．解析：记事件A ：第一次取出的是红球；事件B ：第二次取出的是红球． (1)第一次取出红球的概率 P (A )＝4×56×5＝23.(2)第一次和第二次取出的都是红球的概率P (A ∩B )＝4×36×5＝25.(3)在第一次取出红球的条件下，第二次取出的也是红球的概率为P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )＝2523＝35. 19．解析：(1)设“甲队胜乙队〞的概率为P 1，“甲队胜丙队〞的概率为P 2.根据题意，甲队获得第一名，如此甲队胜乙队且甲队胜丙队，所以甲队获得第一名的概率为P 1×P 2＝16.①乙队获得第一名，如此乙队胜甲队且乙队胜丙队，所以乙队获得第一名的概率为(1－P 1)×15＝115.②解②，得P 1＝23，代入①，得P 2＝14，所以甲队胜乙队的概率为23，甲队胜丙队的概率为14.(2)ξ的可能取值为0,3,6.当ξ＝0时，甲队两场比赛皆输，其概率为P (ξ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝14；当ξ＝3时，甲队两场只胜一场，其概率为 P (ξ＝3)＝23×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝712；当ξ＝6时，甲队两场皆胜，其概率为 P (ξ＝6)＝23×14＝16.所以ξ的分布列为所以E (ξ)＝0×4＋3×12＋6×6＝4.D (ξ)＝⎝⎛⎭⎪⎫0－1142×14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－1142×712＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6－1142×16＝5916.20．解析：(1)由，有P (A )＝C 22C 23＋C 23C 23C 48＝635.所以，事件A 发生的概率为635. (2)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4.P (X ＝k )＝C k 5C 4－k 3C 48(k ＝1,2,3,4)．所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E (X )＝1×14＋2×7＋3×7＋4×14＝2.21．解析：(1)由数据可求得：χ2＝30×(10×8－6×6)216×14×16×14≈1.158<3.841，所以没有把握认为爱好运动与性别有关．(2)X 的取值可能为0,1,2.P (X ＝0)＝C 28C 214＝413， P (X ＝1)＝C 16C 18C 214＝4891，P (X ＝2)＝C 26C 214＝1591.所以X 的分布列为：X E (X )＝0×413＋1×4891＋2×1591＝67.22．解析：(1)在茎叶图中，女生一共有12人，其中英语成绩在80分以上者共有2人，所以在这个抽样的12人中，英语成绩在80分以上者比例为212＝16.因为20人中女生的占比为1220＝35，由此得到50万青年志愿者中女生的人数为50×35＝30万，如果以抽取的20人中的女生中成绩在80分以上的比例作为30万女青年志愿者的英语成绩在80分以上的比例估计，如此有30万女青年志愿者中英语成绩在80分以上的人数为30×16＝5万人．(2)因为从8名男生中抽取2人，其中英语成绩在70分以上者共有3人，所以X 的取值X 围为0,1,2，所以有P (X ＝0)＝C 25C 28，P (X ＝1)C 15C 13C 28，P (X ＝2)＝C 23C 28.于是可得随机变量X 的分布列如下：所以X 的数学期望为E (X )＝0×25C 28＋1×1513C 28＋2×23C 28＝8＝4(3)在抽取的20人中，英语成绩在70分以上者共计10人，所以在这20人中随机抽取一人，其英语成绩在70分以上的概率为1020＝12.在超过5 000人的青年志愿者中抽取m 人，其英语成绩在70分以上至少一人为事件A ，如此P (A －)＝C m m (12)m <0.1＝110，由此得到m >3，所以m 的最小值为4.。

高中数学学期综合测评(二)(含解析)新人教B版必修2

学期综合测评(二)对应学生用书P89 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知圆x 2＋y 2－2x ＋my －4＝0上两点M ，N 关于直线2x ＋y ＝0对称，则圆的半径为( )A ．9B ．3C ．2 3D ．2 答案 B解析由题意知圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－m 2，又点M ，N 关于直线2x ＋y ＝0对称，所以该直线过圆心，即2－m 2＝0，解得m ＝4．此时该圆方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9，所以该圆的半径为3．2．用一个平面去截一个所有棱长均为1的五棱锥，其截面图形不可能是( ) A ．钝角三角形 B ．等腰梯形 C ．平行四边形 D ．正五边形答案 C解析 ①若截面过棱PB ，PE ，则截面△PBE 与△ABE 是全等三角形，且∠BAE＝108°，所以截面△PBE 是钝角三角形，如图1．②在平面PAB 内作MN∥AB，交PA ，PB 于点M ，N ，连接CE ，则CE∥AB，所以MN∥CE，且MN≠CE．又由题意及作图知ME ＝NC ，所以四边形CEMN 是等腰梯形，如图2．③用平行于底面的平面截该棱锥，其截面图形是正五边形，如图3．综上所述，不可能的截面图形是平行四边形．3．△OAB 的斜二测直观图如图所示，则原△OAB 的面积为( )A ．22B ．1C ．2D ．4 答案 C解析原三角形OAB 为直角三角形，OB ＝2，OA ＝2，∴S＝12OA·OB＝2．4．过不重合的A(m 2＋2，m 2－3)，B(3－m －m 2，2m)两点的直线l 的倾斜角为45°，则m 的值为( )A ．－1B ．－2C ．－1或2D ．1或－2 答案 B解析过A(m 2＋2，m 2－3)，B(3－m －m 2，2m)两点的直线l 的斜率k ＝m 2－3－2mm 2＋2－3＋m ＋m2＝m 2－2m －32m 2＋m －1．且⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2≠3－m －m 2，m 2－3≠2m，即m≠－1．∵直线l 的倾斜角为45°，∴k＝m 2－2m －32m 2＋m －1＝1，化为整式方程为m 2＋3m ＋2＝0，解得m ＝－1(舍)或m ＝－2，∴m＝－2．5．圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0与直线y －2tx ＋2t ＋1＝0(t∈R )的位置关系为( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．以上都有可能答案 C解析圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0的圆心为(1，－2)，半径为5．因为y －2tx ＋2t ＋1＝0(t∈R )，所以直线恒过点(1，－1)．因为－2＋－2＋2＝1＜5，所以点(1，－1)在圆内，故直线与圆相交．6．在三棱锥A －BCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AC ＝BD ＝2，且直线BD 与AC 所成的角为60°，则线段EF 的长度为( )A ．1B ． 2C ．1或 2D ．1或 3 答案 D解析如图，取BC 的中点G ，连接EG ，FG ，则∠EGF(或其补角)为BD 与AC 所成的角．∵BD 与AC 所成的角为60°，∴∠EGF＝60°或∠EGF＝120°．∵BD＝AC ＝2，∴EG＝FG ＝1．∴当∠EGF＝60°时，EF ＝1；当∠EGF＝120°时，EF ＝1×32×2＝3．故EF ＝1或EF ＝3． 7．方程x 2＝y 2表示的图形是( ) A ．两条相交而不垂直的直线 B ．一个点 C ．两条垂直的直线 D ．两条平行直线答案 C解析 x 2＝y 2即(x ＋y)(x －y)＝0，∴y＝±x．8．将一张边长为6 cm 的正方形纸片按如图1所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形，余下的部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥(底面是正方形，顶点在底面的射影为底面正方形的中心)模型，如图2放置．若正四棱锥的主视图是正三角形(如图3)，则正四棱锥的体积是( )A ．863 cm 3B ．463 cm 3C ．823 cm 3D ．423 cm 3答案 A解析 ∵正四棱锥的主视图是正三角形，设该正三角形的边长为a ，则正四棱锥的高为32a ，斜高为a ．∵将一张边长为6 cm 的正方形纸片按题图1的阴影部分截去四个全等的等腰三角形，∴12×62＝a ＋a 2，a ＝22(cm)，∴正四棱锥的体积为13×a 2×32a ＝863(cm 3)．9．到定点(1，0，0)的距离小于或等于1的点的集合为( ) A ．{(x ，y ，z)|(x －1)2＋y 2＋z 2≤1} B ．{(x ，y ，z)|(x －1)2＋y 2＋z 2＝1} C ．{(x ，y ，z)|(x －1)2＋y 2＋z 2<1} D ．{(x ，y ，z)|(x －1)2≤1} 答案 A解析设动点坐标为(x ，y ，z)，则－2＋－2＋－2≤1，即(x －1)2＋y 2＋z 2≤1，故选A ．10．过点(3，1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为( ) A ． 2 B ．2 2 C ．2 D ．4 答案 B解析点(3，1)在圆内，要使弦长最短，须圆心C(2，2)与点N(3，1)所在直线与弦垂直，此时|CN|＝2，则弦长为24－2＝22．11．在四棱锥P －ABCD 中，PA⊥底面ABCD ，底面四边形ABCD 是矩形，且AD ＝3AB ，E 是底面的边BC 上的动点，设BEBC＝λ(0<λ<1)，则满足PE⊥DE 的λ的值有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个答案 C解析如图，连接AE ．∵PA⊥底面ABCD ，DE ⊂平面ABCD ，∴PA⊥DE．又∵PE⊥DE，PA∩PE ＝P ，∴DE⊥平面PAE ，∴DE⊥AE，∴点E 在以AD 为直径的圆上．∵AD＝3AB ，∴以AD 为直径的圆与BC 有两个交点，∴满足PE⊥DE 的λ的值有2个．故选C ．12．在空间直角坐标系Oxyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(1，0，2)，(1，2，0)，(1，2，1)，(0，2，2)，若主视图以yOz 平面为投射面，则该四面体左视图面积为( )A ．12 B ．1 C ．2 D ．4 答案 B解析若主视图以yOz 平面为投射面，则该四面体左视图为三角形，底高分别为1，2，面积为1．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为________．答案 3∶1∶2解析设球的直径为2R ，则V 柱＝πR 2·2R＝2πR 3，V 锥＝13πR 2·2R＝2π3R 3，V 球＝43πR 3．V柱∶V 锥∶V 球＝3∶1∶2．14．设圆C ：(x －3)2＋(y －5)2＝5，过圆心C 作直线l 交圆于A ，B 两点，交y 轴于点P ，若A 恰好为线段BP 的中点，则直线l 的方程为________．答案 2x －y －1＝0或2x ＋y －11＝0解析因为点A 为PB 的中点，而点C 为AB 的中点，因此，点C 为PB 的一个四等分点．而C(3，5)，P 点的横坐标为0，因此A ，B 的横坐标分别为2，4，将A 的横坐标代入圆的方程，可得A(2，3)或A(2，7)，根据直线的两点式得到直线l 的方程为2x －y －1＝0或2x ＋y －11＝0．15．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且仅有三个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的值为________．答案 ±13解析由圆x 2＋y 2＝4，可知圆心为坐标原点，半径长为2．由于圆上有且仅有三个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，故圆心到直线的距离为1，即d ＝|c|122＋52＝1，解得c ＝±13．16．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF ＝22．给出下列命题：①AC⊥BE；②EF∥平面ABCD ；③三棱锥A －BEF 的体积为定值．其中正确的命题的序号为________．答案 ①②③解析 ①连接DB ，由题意知AC⊥平面DD 1B 1B ，故AC⊥BE，正确；②由正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的两个底面平行，且EF ⊂平面A 1B 1C 1D 1，得EF 与平面ABCD 无公共点，故有EF∥平面ABCD ，正确；③由几何体的性质及题图知，△BEF 的面积是定值，点A 到面DD 1B 1B 距离是定值，故三棱锥A －BEF 的体积为定值，正确．综上可知，①②③正确．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知一个组合体的三视图如下图所示，请根据具体数据来求此几何体的体积(单位：cm)．解由三视图知，此几何体是下面是一个圆柱中间是一个圆柱，上面是一个与中间圆柱同底的圆锥的组合体．由条件中尺寸可知V 圆锥＝13Sh ＝13π×22×2＝83π(cm 3)．V 圆柱中＝Sh ＝π×22×10＝40π(cm 3)， V 圆柱下＝Sh ＝π×62×2＝72π(cm 3)． ∴此组合体的体积V ＝V 圆锥＋V 圆柱中＋V 圆柱下＝83π＋40π＋72π＝3443π(cm 3)． 18．(本小题满分12分)如图，C ，D 是以AB 为直径的圆上两点，AB ＝2AD ＝23，AC ＝BC ，F 是AB 上一点，且AF ＝13AB ，将圆沿直径AB 折起，使点C 在平面ABD 内的射影E 在BD上，已知CE ＝2．(1)求证：AD⊥BC；(2)求三棱锥A －CFD 的体积．解 (1)证明：依题意，得AD⊥BD，CE⊥平面ABD ，∴CE⊥AD． ∵BD∩CE＝E ， ∴AD⊥平面BCD ， ∴AD⊥BC．(2)由题意可知∠ADB＝90°，AB ＝2AD ＝23， ∴AD＝3， ∴DB＝AB 2－AD 2＝32－32＝3．∴S △ABD ＝12×3×3＝332．又∵AF＝13AB ，∴S △FAD ＝13S △ABD ＝32．∵CE⊥平面ABD ，∴V A －CFD ＝V C －AFD ＝13·S △FAD ·CE＝13×32×2＝66．19．(本小题满分12分)如图，已知圆O ：x 2＋y 2＝1和定点A(2，1)，由圆O 外一点P(a ，b)向圆O 引切线PQ ，切点为Q ，且满足|PQ|＝|PA|．(1)求实数a ，b 间满足的等量关系； (2)求线段PQ 长的最小值；(3)若以P 为圆心的圆P 与圆O 有公共点，试求圆P 的半径长最小时圆P 的方程．解 (1)如图，连接OP ．∵Q 为切点，∴PQ⊥OQ．由勾股定理，有|PQ|2＝|OP|2－|OQ|2．又由题意知|PQ|＝|PA|，故|PQ|2＝|PA|2，即(a 2＋b 2)－12＝(a －2)2＋(b －1)2，化简得实数a ，b 间满足的等量关系为2a ＋b －3＝0． (2)解法一：由2a ＋b －3＝0，得b ＝－2a ＋3．|PQ|＝a 2＋b 2－1 ＝a 2＋－2a ＋2－1＝5a 2－12a ＋8 ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫a －652＋45．当a ＝65时，|PQ|min ＝255，即线段PQ 长的最小值为255．解法二：由(1)知，点P 在直线l ：2x ＋y －3＝0上，所以|PQ|min ＝|PA|min ，即求点A 到直线l 的距离．所以|PQ|min ＝|2×2＋1－3|22＋12＝255． (3)解法一：设圆P 的半径长为R ．∵圆P 与圆O 有公共点，圆O 的半径长为1， ∴|R－1|≤|OP|≤R＋1，即R≥||OP|－1|且R≤|OP|＋1．而|OP|＝a 2＋b 2＝a 2＋－2a ＋2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫a －652＋95．当a ＝65时，|OP|min ＝355．此时，b ＝－2a ＋3＝35，R min ＝355－1．故半径长取最小值时圆P 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －652＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －352＝⎝ ⎛⎭⎪⎫355－12．解法二：∵圆P 与圆O 有公共点，∴圆P 半径长r 最小时，与圆O 外切(取小者)，而这些半径长的最小值为圆心O 到直线l 的距离减去1，圆心P 为过原点与l 垂直的直线l′与l 的交点P 0．∴r min ＝322＋12－1＝355－1．又直线l′的方程为x －2y ＝0，结合直线l ：2x ＋y －3＝0，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，2x ＋y －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝65，y ＝35，即P 0⎝ ⎛⎭⎪⎫65，35．故所求圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －652＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －352＝⎝⎛⎭⎪⎫355－12． 20．(本小题满分12分)已知以点P 为圆心的圆经过点A(－1，0)和B(3，4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD|＝410．(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程；(3)设点Q 在圆P 上，问：使△QAB 的面积等于8的点Q 共有几个？证明你的结论．解 (1)∵A(－1，0)和B(3，4)∴k AB ＝1，由题意知直线AB 与CD 垂直，故k CD ·k AB ＝－1，∴k CD ＝－1．又由题意知，线段CD 经过线段AB 的中点(1，2)，所以CD 的直线方程为x ＋y －3＝0． (2)设圆心P(a ，b)，则由P 在CD 上，得 a ＋b －3＝0．①∵直径|CD|＝410，∴|PA|＝210． ∴(a＋1)2＋b 2＝40．②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝6，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.∴圆心P(－3，6)或P(5，－2)．∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40． (3)圆P 上共有两个点Q 使△QAB 的面积为8．证明：∵|AB|＝42＋42＝42，∴当△QAB 的面积为8时，点Q 到直线AB 的距离为22．又圆心P 到直线AB 的距离为42，圆P 的半径长r ＝210，且42＋22＞210， ∴圆P 上共有两个点Q 使△QAB 的面积为8．21．(本小题满分12分)某几何体的三视图如图所示，P 是正方形ABCD 对角线的交点，G 是PB 的中点．(1)根据三视图，画出该几何体的直观图； (2)在直观图中，①证明：PD∥面AGC ； ②证明：平面PBD⊥平面AGC ．解 (1)该几何体的直观图如图所示．(2)证明：如图，①连接AC ，BD 交于点O ，连接OG ，因为G 为PB 的中点，O 为BD 的中点，所以OG∥PD．又OG ⊂平面AGC ，PD ⊄平面AGC ，所以PD∥平面AGC ．②连接PO ，由三视图，PO⊥平面ABCD ，所以AO⊥PO．又AO⊥BO，BO∩PO＝O ，所以AO⊥平面PBD ．因为AO ⊂平面AGC ，所以平面PBD⊥平面AGC ．22．(本小题满分12分)已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，是否存在斜率为1的直线l ，使以l 被圆C 所截得的弦AB 为直径的圆经过原点？若存在，写出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解假设直线l 存在，设l 的方程为y ＝x ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，得2x 2＋2(m ＋1)x ＋m 2＋4m －4＝0．(*) 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝－(m ＋1)，x 1x 2＝m 2＋4m －42．∵以AB 为直径的圆为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0，若它经过原点，则x 1x 2＋y 1y 2＝0．又y1y2＝(x1＋m)(x2＋m)＝x1x2＋m(x1＋x2)＋m2，∴2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝0，∴m2＋3m－4＝0，解得m＝－4或m＝1．当m＝－4或m＝1时，(*)式的Δ>0，∴所求直线l的方程是x－y－4＝0或x－y＋1＝0．。

2018-2019高中数学必修2人教B版模块综合测试题卷二及答案解析

必修2人教B 版模块综合测试题卷二(满分150分；考时120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．下列说法正确的是()A ．圆锥的侧面展开图是一个等腰三角形B ．棱柱的两个底面全等且其余各面都是矩形C ．任何一个棱台的侧棱必交于同一点D ．过圆台侧面上一点有无数条母线2．在封闭的直三棱柱ABC —A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是()A ．4π B.9π2C ．6π D.32π33．直线ax ＋by ＝1(ab ≠0)与两坐标轴围成的面积是()A.12abB.12|ab |C.12abD.12|ab |4．过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于()A.33B ．－33C ．±33D ．－35．以(2,1)为圆心且与直线y ＋1＝0相切的圆的方程为()A ．(x －2)2＋(y －1)2＝4B ．(x －2)2＋(y －1)2＝2C ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝26．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的十二条棱中，与面对角线AC 垂直且异面的棱的条数是()A ．8B ．4C ．6D ．27．用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中梯形的上底是下底的12，若原平面图形的面积为32，则OA 的长为()A ．2 B.2C.3D.3228．已知m ，l 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m ⊥α，l ∥β，则下列说法正确的是()A ．若m ∥l ，则α∥βB ．若α⊥β，则m ∥lC ．若m ⊥l ，则α∥βD ．若α∥β，则m ⊥l9．过点P (－1,1)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝4在第一象限的部分有交点，则直线l 斜率k 的取值范围是()A.－14，1 B.－14，2 C.－13，2 D.－13，110．过点A (3，1)的直线l 1：3x ＋ay －2＝0与过点B (3，4)的直线l 2交于点C ，若△ABC 是以AB 为底边的等腰三角形，则l 2的方程为()A.3x ＋y －7＝0B.3x －y ＋7＝0C ．x ＋3y －7＝0D ．x －3y －7＝011．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”意思为：“今有底面为矩形的屋脊形状的多面体(如图)”，下底面宽AD ＝3丈，长AB ＝4丈，上棱EF ＝2丈，EF ∥平面ABCD .EF 与平面ABCD 的距离为1丈，则它的体积是()A ．4立方丈B ．5立方丈C ．6立方丈D ．8立方丈12．在平面直角坐标系xOy 中，设直线l ：kx －y ＋1＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OAMB ，若点M 在圆C 上，则实数k 等于()A ．1B ．2C ．0D ．－1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．一个圆锥的表面积是底面积的4倍，则轴截面的面积是底面积的________倍．14．已知圆C：x2＋y2＋6y－a＝0的圆心到直线x－y－1＝0的距离等于圆C半径的12，则a＝______. 15．已知l1，l2是分别经过点A(1,1)，B(0，－1)的两条平行直线，则当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是________________________．16．如图，在棱长为4的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，DD1的中点，点P是DD1上一点，且PB∥平面CEF，则四棱锥P－ABCD外接球的表面积为______．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知直线l1：y＝k(x＋1)－1，k∈R.(1)证明：直线l1过定点；(2)若直线l1与直线l2：3x－(k－2)y＋2＝0平行，求k的值并求此时两直线之间的距离．18．(12分)已知两条直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，试确定m，n的值，使(1)l1与l2相交于点(m，－1)；(2)l1∥l2；(3)l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.19．(12分)如图，在三棱锥P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠BAC＝60°，E，F分别是AP，AC 的中点，点D在棱AB上，且AD＝AC.求证：(1)EF∥平面PBC；(2)DF⊥平面P AC.20．(12分)已知圆心为N(3,4)的圆被直线x＝1截得的弦长为25.(1)求圆N的方程；(2)点B(3，－2)与点C关于直线x＝－1对称，求以C为圆心且与圆N外切的圆的方程．21．(12分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，E，F分别是A1C1，BC的中点．(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面ABE.22．(12分)已知圆M：x2＋(y－4)2＝1，直线l：2x－y＝0，点P在直线l上，过点P作圆M的切线PA，PB，切点分别为A，B.(1)若∠APB＝60°，求P点的坐标；(2)若点P的坐标为(1,2)，过点P作一条直线与圆M交于C，D两点，当|CD|＝2时，求直线CD的方程；(3)求证：经过A，P，M三点的圆与圆M的公共弦必过定点，并求出此定点的坐标．【解析卷】必修2人教B 版模块综合测试题卷二(满分150分；考时120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．下列说法正确的是()A ．圆锥的侧面展开图是一个等腰三角形B ．棱柱的两个底面全等且其余各面都是矩形C ．任何一个棱台的侧棱必交于同一点D ．过圆台侧面上一点有无数条母线考点空间几何体题点空间几何体结构应用答案C解析在A 中，圆锥的侧面展开图是一个扇形，不是等腰三角形，故A 错误；在B 中，棱柱的两个底面全等且其余各面都是平行四边形，故B 错误；在C 中，由棱台的定义得任何一个棱台的侧棱必交于同一点，故C 正确；在D 中，过圆台侧面上一点有且只有1条母线，故D 错误．故选D.2．在封闭的直三棱柱ABC —A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是()A ．4π B.9π2C ．6π D.32π3答案B解析由题意知，底面三角形的内切圆直径为4.三棱柱的高为3，所以球的最大直径为3，V 的最大值为9π2.3．直线ax ＋by ＝1(ab ≠0)与两坐标轴围成的面积是()A.12abB.12|ab |C.12abD.12|ab |考点直线的斜截式方程题点直线斜截式方程的应用答案D解析由ab ≠0，得到a ≠0且b ≠0，所以令x ＝0，解得y ＝1b ；令y ＝0，解得x ＝1a ，则直线与两坐标轴围成的面积S ＝12×|1b |×|1a |＝12|ab |.故选D.4．过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于()A.33B ．－33C ．±33D ．－3答案B解析∵S △AOB ＝12|OA ||OB |sin ∠AOB ＝12sin ∠AOB ≤12.当∠AOB ＝π2时，△AOB 的面积最大．此时O 到AB 的距离d ＝22.设AB 的方程为y ＝k (x －2)(k <0)，即kx －y －2k ＝0.由d ＝|2k |k 2＋1＝22，得k ＝－33.k ＝－tan ∠OPH5．以(2,1)为圆心且与直线y ＋1＝0相切的圆的方程为()A ．(x －2)2＋(y －1)2＝4B ．(x －2)2＋(y －1)2＝2C ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝2考点圆的标准方程题点求与某直线相切的圆的标准方程答案A解析∵圆心到切线的距离d ＝r ，即r ＝d ＝1＋1＝2，圆心C (2,1)，∴圆C 方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.故选A6．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的十二条棱中，与面对角线AC 垂直且异面的棱的条数是()A ．8B ．4C ．6D ．2考点异面直线的判定题点异面直线的判定答案D解析如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的十二条棱中，与面对角线AC 垂直且异面的棱有BB 1和DD 1，∴与面对角线AC 垂直且异面的棱的条数是2.故选D.7．用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中梯形的上底是下底的12，若原平面图形的面积为32，则OA 的长为()A ．2 B.2C.3D.322考点平面图形的直观图题点与直观图有关的计算答案B解析由题意知，原平面图形与斜二测画法得到的直观图的面积比为1∶24，设OA ＝x ，则直观图的面积为12x ·x ＋x2＝34x 2，∴22×34x 2＝32，∴x ＝ 2.故选B.8．已知m ，l 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m ⊥α，l ∥β，则下列说法正确的是()A ．若m ∥l ，则α∥βB ．若α⊥β，则m ∥lC ．若m ⊥l ，则α∥βD ．若α∥β，则m ⊥l考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的判定答案D解析若m ∥l ，m ⊥α，则l ⊥α，又l ∥β，则α⊥β，即A 不正确；若α⊥β，则m ，l 位置不确定，即B 不正确；若m ⊥l ，则α∥β或α，β相交，即C 不正确；若m ⊥α，α∥β，则m ⊥β，又l ∥β，则m ⊥l ，即D 正确，故选D.9．过点P (－1,1)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝4在第一象限的部分有交点，则直线l 斜率k 的取值范围是()－14，－14，－13，－13，考点直线与圆的位置关系题点已知直线与圆的位置关系求参数的值或范围答案D解析如图，圆C ：x 2＋y 2＝4与x 轴的正半轴的交点为A (2,0)，与y 轴正半轴的交点为B (0,2)，∵直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝4在第一象限的部分有交点，∴k P A <k <k PB ，即1－0－1－2<k <1－2－1－0，∴－13<k <1.故选D.10．过点A (3，1)的直线l 1：3x ＋ay －2＝0与过点B (3，4)的直线l 2交于点C ，若△ABC 是以AB 为底边的等腰三角形，则l 2的方程为()A.3x ＋y －7＝0 B.3x －y ＋7＝0C ．x ＋3y －7＝0D ．x －3y －7＝0考点数形结合思想的应用题点数形结合思想的应用答案A解析∵直线过点A(3，1)，∴3＋a－2＝0，解得a＝－1；∴直线l1的斜率为3；∵△ABC是以AB为底边的等腰三角形，∴直线l2的斜率为－3；∴直线l2的方程为y－4＝－3(x－3)，化为一般式为3x＋y－7＝0.故选A.11．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”意思为：“今有底面为矩形的屋脊形状的多面体(如图)”，下底面宽AD＝3丈，长AB＝4丈，上棱EF＝2丈，EF∥平面ABCD.EF与平面ABCD的距离为1丈，则它的体积是()A．4立方丈B．5立方丈C．6立方丈D．8立方丈考点组合几何体的表面积与体积题点柱、锥、台、球切割的几何体的表面积与体积答案B解析过E作EG⊥平面ABCD，垂足为G，过F作FH⊥平面ABCD，垂足为H，过G作PQ∥AD，交AB于Q，交CD于P，过H作MN∥BC，交AB于N，交CD于M，则它的体积V ＝V 四棱锥E －AQPD ＋V 三棱柱EPQ －FMN ＋V 四棱锥F －NBCM＝13×EG ×S AQPD ＋S △EPQ ·NQ ＋13×FH ×S NBCM ＝13×1×1×3＋12×3×1×2＋13×1×1×3＝5(立方丈)．12．在平面直角坐标系xOy 中，设直线l ：kx －y ＋1＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OAMB ，若点M 在圆C 上，则实数k 等于()A ．1B ．2C ．0D ．－1考点直线和圆的位置关系题点直线和圆的位置关系答案C解析∵四边形OAMB 为平行四边形，且OA ＝OB ，∴四边形OAMB 为菱形，∴△OAM 为等边三角形，且边长为2，解得弦AB 的长为23，又直线过定点N (0,1)，且过N 的弦的弦长最小值为23，此时此弦平行x 轴，即k ＝0.故选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．一个圆锥的表面积是底面积的4倍，则轴截面的面积是底面积的________倍．考点柱体、锥体、台体的表面积题点锥体的表面积答案22π解析设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，高为h ，依题意πr 2＋πrl ＝4πr 2，∴l ＝3r ，圆锥的高h ＝l 2－r 2＝(3r )2－r 2＝22r ，故S 轴＝122r ×22r ＝22r 2，∴S 轴S 底＝22r 2πr 2＝22π.14．已知圆C ：x 2＋y 2＋6y －a ＝0的圆心到直线x －y －1＝0的距离等于圆C 半径的12，则a ＝______.考点直线和圆的位置关系题点直线和圆的位置关系答案－1解析把圆的方程化为标准方程得x 2＋(y ＋3)2＝a ＋9，∴圆心坐标为(0，－3)，则圆心到直线x －y －1＝0的距离d ＝|3－1|2＝12a ＋9，∴a ＝－1.15．已知l 1，l 2是分别经过点A (1,1)，B (0，－1)的两条平行直线，则当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是________________________．考点直线的一般式方程与直线的平行关系题点根据平行求直线方程答案x ＋2y －3＝0解析当直线AB 与l 1，l 2均垂直时，l 1，l 2间的距离最大．∵A (1,1)，B (0，－1)，∴k AB ＝－1－10－1＝2，∴kl 1＝－12.∴直线l 1的方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.16．如图，在棱长为4的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB ，DD 1的中点，点P 是DD 1上一点，且PB ∥平面CEF ，则四棱锥P －ABCD 外接球的表面积为______．考点球的表面积题点其他球的表面积计算问题答案41π解析连接BD 交CE 于O ，则BO OD ＝BE CD ＝12，连接OF ，则当BP ∥OF 时，PB ∥平面CEF ，则PF FD ＝12，∵F 是DD 1的中点，DD 1＝4，∴DP ＝3，又四棱锥P －ABCD 外接球就是三棱锥P －ABC 的外接球，∴四棱锥P －ABCD 外接球的半径为32＋42＋422＝412.外接球的表面积为4π＝41π.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知直线l 1：y ＝k (x ＋1)－1，k ∈R .(1)证明：直线l 1过定点；(2)若直线l 1与直线l 2：3x －(k －2)y ＋2＝0平行，求k 的值并求此时两直线之间的距离．考点两条平行直线间的距离公式及应用题点求两条平行直线间的距离(1)证明由直线l 1：y ＝k (x ＋1)－1(k ∈R )，令x ＝－1，可得y ＝－1，∴直线l 1过定点(－1，－1)．(2)解∵直线l 1与直线l 2：3x －(k －2)y ＋2＝0平行，∴3k －2＝k ，解得k ＝－1或k ＝3，经检验k ＝－1满足条件，此时l 1：y ＝－x －2，l 2：y ＝－x －23，∴两直线之间的距离d ＝223.18．(12分)已知两条直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0，试确定m ，n 的值，使(1)l 1与l 2相交于点(m ，－1)；(2)l 1∥l 2；(3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.考点两条直线平行和垂直的综合应用题点有关平行和垂直的综合问题解(1)因为l 1与l 2相交于点(m ，－1)，所以点(m ，－1)在l 1，l 2上，将点(m ，－1)代入l 2，得2m －m －1＝0，解得m ＝1.又因为m ＝1，把(1，－1)代入l 1，所以n ＝7.故m ＝1，n ＝7.(2)要使l 1∥l 22－16＝0，×(－1)－2n ≠0，＝4，≠－2＝－4，≠2.(3)要使l 1⊥l 2，则有m ·2＋8·m ＝0，得m ＝0.则l 1为y ＝－n 8，由于l 1在y 轴上的截距为－1，所以－n 8＝－1，即n ＝8.故m ＝0，n ＝8.19．(12分)如图，在三棱锥P －ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，∠BAC ＝60°，E ，F 分别是AP ，AC 的中点，点D 在棱AB 上，且AD ＝AC .求证：(1)EF ∥平面PBC ；(2)DF ⊥平面P AC .考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行、垂直综合问题的证明证明(1)在△PAC 中，因为E ，F 分别是AP ，AC 的中点，所以EF ∥PC .又因为EF ⊄平面PBC ，PC ⊂平面PBC ，所以EF ∥平面PBC .(2)连接CD.因为∠BAC＝60°，AD＝AC，所以△ACD为正三角形．因为F是AC的中点，所以DF⊥AC.因为平面P AC⊥平面ABC，DF⊂平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，所以DF⊥平面PAC.20．(12分)已知圆心为N(3,4)的圆被直线x＝1截得的弦长为25.(1)求圆N的方程；(2)点B(3，－2)与点C关于直线x＝－1对称，求以C为圆心且与圆N外切的圆的方程．考点直线和圆的位置关系题点直线和圆的位置关系解(1)由题意得，圆心N(3,4)到直线x＝1的距离等于3－1＝2.∵圆N被直线x＝1截得的弦长为25，∴圆N的半径r＝(5)2＋22＝3.∴圆N的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝9.(2)∵点B(3，－2)与点C关于直线x＝－1对称，∴点C的坐标为(－5，－2)，设所求圆的方程为(x＋5)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)，∵圆C与圆N外切，∴r ＋3＝(3＋5)2＋(4＋2)2＝10，得r ＝7.∴圆C 的方程为(x ＋5)2＋(y ＋2)2＝49.21．(12分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点．(1)求证：平面ABE ⊥平面B 1BCC 1；(2)求证：C 1F ∥平面ABE .考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行、垂直综合问题的证明证明(1)由题设知，B 1B ⊥AB ，又AB ⊥BC ，B 1B ，BC ⊂平面B 1BCC 1，B 1B ∩BC ＝B ，所以AB ⊥平面B 1BCC 1.因为AB ⊂平面ABE ，所以平面ABE ⊥平面B 1BCC 1.(2)取AB 中点G ，连接EG ，FG .因为E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点，所以FG ∥AC ，且FG ＝12AC .因为AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1，所以FG ∥EC 1，且FG ＝EC 1，所以四边形FGEC 1为平行四边形，所以C 1F ∥EG .又因为C 1F ⊄平面ABE ，EG ⊂平面ABE ，所以C 1F ∥平面ABE .22．(12分)已知圆M ：x 2＋(y －4)2＝1，直线l ：2x －y ＝0，点P 在直线l 上，过点P 作圆M 的切线PA ，PB ，切点分别为A ，B .(1)若∠APB ＝60°，求P 点的坐标；(2)若点P 的坐标为(1,2)，过点P 作一条直线与圆M 交于C ，D 两点，当|CD |＝2时，求直线CD 的方程；(3)求证：经过A ，P ，M 三点的圆与圆M 的公共弦必过定点，并求出此定点的坐标．考点直线和圆的位置关系题点直线和圆的位置关系解(1)由条件可知|PM |＝2，设P 点坐标为(a,2a )，则|PM |＝a 2＋(2a －4)2＝2，解得a ＝2或a ＝65，所以P (2,4)或(2)由条件可知圆心到直线CD 的距离d ＝＝22.易知直线CD 的斜率存在，设直线CD 的方程为y －2＝k (x －1)，则由点到直线的距离公式得|k ＋2|k 2＋1＝22，解得k ＝－7或k ＝－1.所以直线CD 的方程为x ＋y －3＝0或7x ＋y －9＝0.(3)设P (a,2a )，过A ，P ，M 三点的圆即以PM 为直径的圆，其方程为x (x －a )＋(y －4)(y －2a )＝0，整理得x 2＋y 2－ax －4y －2ay ＋8a ＝0，与x 2＋(y －4)2－1＝0相减得公共弦的方程为(4－2a )y －ax ＋8a －15＝0，即(－x －2y ＋8)a ＋4y －15＝0.2018-2019高中数学必修2人教B 版模块综合测试题卷二及答案解析21y －15＝0，x －2y ＋8＝0，＝12，＝154，。

高中数学模块综合检测新人教B版必修2

模块综合检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1若a,b是异面直线,b,c是异面直线,则a,c的位置关系为()A.相交、平行或异面B.相交或平行C.异面D.平行或异面与c可以相交、平行或异面,分别如图中的①,②,③.2已知直线l1:(k-3)x+(4-2k)y+1=0与l2:2(k-3)x-2y+3=0平行,则k的值是()A.1或3B.1或C.3或D.1或2k=3时,l1:-2y+1=0,l2:-2y+3=0,显然平行;当k=2时,l1:-x+1=0,l2:-2x-2y+3=0,显然不平行;当k≠3,且k≠2时,要使l1∥l2,应有⇒k=.综上所述k=3或k=,故选C.3由三视图可知,该几何体是()A.三棱锥B.四棱锥C.四棱台D.三棱台,其中有一侧棱垂直于底面,底面为直角梯形.4在直线3x-4y-27=0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标为()A.(5,-3)B.(9,0)C.(-3,5)D.(-5,3)P(2,1)向此直线引垂线,其垂足即为所求的点,过点P作直线3x-4y-27=0的垂线方程为4x+3y+m=0.因为点P(2,1)在此垂线上,所以4×2+3×1+m=0.所以m=-11.由联立求解,得所求的点的坐标为(5,-3).5若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,则m=()A.21B.19C.9D.-11C1的圆心是原点(0,0),半径r1=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=25-m,圆心C2(3,4),半径r2=,由两圆相外切,得|C1C2|=r1+r2,即1+=5,解得m=9.故选C.6某几何体的三视图(单位:cm)如图,则该几何体的体积是()A.72 cm3B.90 cm3C.108 cm3D.138 cm3,其体积为6×4×3+×3×4×3=90 (cm3).7若圆C:x2+y2+2x-4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称,则由点(a,b)向圆所作的切线长的最小值是()A.2B.3C.4D.6(x+1)2+(y-2)2=2,则圆心为(-1,2),半径为.因为圆关于直线2ax+by+6=0对称,所以圆心在直线2ax+by+6=0上,所以-2a+2b+6=0,即b=a-3,点(a,b)到圆心的距离为d=.所以当a=2时,d有最小值=3,此时切线长最小,为=4,故选C.8一块石材表示的几何体的三视图如图,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于()A.1B.2C.3D.4,石材为一个三棱柱(相对应的长方体的一半),则可知能得到的最大球为三棱柱的内切球.由题意可知主视图三角形的内切圆的半径即为球的半径,可得R==2.9垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=4相切于第三象限的直线方程是()A.x+y+2=0B.x+y+2=0C.x+y-2=0D.x+y-2=0y=-x+k(k<0),又圆心(0,0)到直线y=-x+k的距离为2,即=2,∴k=±2,又k<0,∴k=-2.故直线方程为y=-x-2,即x+y+2=0.10如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,BB1=4,长为1的线段PQ在棱AA1上移动,长为3的线段MN在棱CC1上移动,点R在棱BB1上移动,则四棱锥R-PQMN的体积是 ()A.12B.10C.6D.不确定R-PQMN的高为d,则d=,S四边形PQMN=×(1+3)×3=6,V R-PQMN=S四边形PQMN·d=×6=6,故选C.11已知点A,B,C,D为同一球面上的四点,且AB=AC=AD=2,AB⊥AC,AC⊥AD,AD⊥AB,则这个球的表面积是()A.16πB.20πC.12πD.8π,且该正方体的八个顶点都在球面上,即球为正方体的外接球,所以2=2R,R=,S=4πR2=12π,故选C.12已知A(-2,0),B(0,2),实数k是常数,M,N是圆x2+y2+kx=0上两个不同点,P是圆x2+y2+kx=0上的动点,如果点M,N关于直线x-y-1=0对称,则△PAB面积的最大值是()A.3-B.4C.3+D.6x2+y2+kx=0的圆心位于直线x-y-1=0上,于是有--1=0,即k=-2,因此圆心坐标是(1,0),半径是1.由题意可得|AB|=2,直线AB的方程是=1,即x-y+2=0,圆心(1,0)到直线AB的距离等于,点P到直线AB的距离的最大值是+1,△PAB面积的最大值为×2=3+,故选C.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13正方体不在同一表面上的两个顶点的坐标分别为A(1,3,1),B(5,7,5),则正方体的棱长为.,|AB|为正方体的对角线长.设正方体的棱长为x,则|AB|=x.∵|AB|==4,∴4x,即x=4.14经过点P(2,-3)作圆x2+y2=20的弦AB,且使|AB|=8,则弦AB所在的直线方程为.,因为|AB|=8,所以|OC|==2.当直线AB的斜率存在时,设AB所在直线方程为y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0,圆心O到AB的距离为=2,解得k=-.此时,AB所在的直线方程为5x+12y+26=0.当直线AB的斜率不存在时,可知AB所在的直线方程为x=2时,符合题意.故所求弦AB所在直线的方程是5x+12y+26=0或x=2.x+12y+26=0或x=215设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1,S2,体积分别为V1,V2.若它们的侧面积相等,且,则的值是.,所以.又圆柱的侧面积S侧=2πrh,所以S侧1=2πr1h1=S侧2=2πr2h2,则,故.16在三棱锥P-ABC中,底面是边长为2 cm的正三角形,PA=PB=3 cm,转动点P时,三棱锥的最大体积为.P到平面ABC距离最大时体积最大,此时平面PAB⊥平面ABC,如图,易求得PD=2 cm.所以V=×4×2(cm3).cm3三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)过点P(1,2)的直线l被两平行线l1:4x+3y+1=0与l2:4x+3y+6=0截得的线段长|AB|=,求直线l的方程.l与l1,l2不垂直,则设直线l的方程为y-2=k(x-1).由解得A;由解得B.∵|AB|=,∴,整理,得7k2-48k-7=0,解得k1=7或k2=-.因此,所求直线l的方程为x+7y-15=0或7x-y-5=0.18(本小题满分12分)如图,AA1B1B是圆柱的轴截面,C是底面圆周上异于A,B的一点,AA1=AB=2.(1)求证:平面A1AC⊥平面BA1C;(2)求的最大值.C是底面圆周上异于A,B的一点,且AB为底面圆的直径,∴BC⊥AC.又AA1⊥底面ABC,∴BC⊥AA1,又AC∩AA1=A,∴BC⊥平面A1AC.又BC⊂平面BA1C,∴平面A1AC⊥平面BA1C.Rt△ACB中,设AC=x,∴BC=(0<x<2),∴S△ABC·AA1=AC·BC·AA1=(0<x<2).∵0<x<2,∴0<x2<4.∴当x2=2,即x=时,的值最大,且的最大值为.19(本小题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,AP⊥平面PCD,AD∥BC,AB=BC=AD,E,F分别为线段AD,PC的中点.求证:(1)AP∥平面BEF;(2)BE⊥平面PAC.设AC∩BE=O,连接OF,EC.因为E为AD的中点,AB=BC=AD,AD∥BC,所以AE∥BC,AE=AB=BC,所以O为AC的中点.又在△PAC中,F为PC的中点,所以AP∥OF.又OF⊂平面BEF,AP⊄平面BEF,所以AP∥平面BEF.(2)由题意知,ED∥BC,ED=BC,所以四边形BCDE为平行四边形,所以BE∥CD.又AP⊥平面PCD,所以AP⊥CD,所以AP⊥BE.因为四边形ABCE为菱形,所以BE⊥AC.又AP∩AC=A,AP,AC⊂平面PAC,所以BE⊥平面PAC.20(本小题满分12分)已知圆C过点M(0,-2),N(3,1),且圆心C在直线x+2y+1=0上.(1)求圆C的方程;(2)设直线ax-y+1=0与圆C交于A,B两点,是否存在实数a,使得过点P(2,0)的直线l垂直平分弦AB?若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.设圆C的方程为:x2+y2+Dx+Ey+F=0,则有故圆C的方程为x2+y2-6x+4y+4=0.(2)设符合条件的实数a存在,因为l垂直平分弦AB,故圆心C(3,-2)必在l上,所以l的斜率k PC=-2.k AB=a=-,所以a=.把直线ax-y+1=0即y=ax+1,代入圆C的方程,消去y,整理得(a2+1)x2+6(a-1)x+9=0.由于直线ax-y-1=0交圆C于A,B两点,则Δ=36(a-1)2-36(a2+1)>0,即-2a>0,解得a<0.则实数a的取值范围是(-∞,0).由于∉(-∞,0),故不存在实数a,使得过点P(2,0)的直线l垂直平分弦AB.21(本小题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形,∠ABC=60°,PA⊥底面ABCD,PA=AB=2,E为PA的中点.(1)求证:PC∥平面EBD;(2)求三棱锥C-PAD的体积V C-PAD;(3)在侧棱PC上是否存在一点M,满足PC⊥平面MBD,若存在,求PM的长;若不存在,说明理由.AC,BD相交于点F,连接EF,∵四棱锥P-ABCD底面ABCD为菱形,∴F为AC的中点,又∵E为PA的中点,∴EF∥PC.又∵EF⊂平面EBD,PC⊄平面EBD,∴PC∥平面EBD.底面ABCD为菱形,∠ABC=60°,∴△ACD是边长为2的正三角形,又∵PA⊥底面ABCD,∴PA为三棱锥P-ACD的高,∴V C-PAD=V P-ACD=S△ACD·PA=×22×2=.PC上存在一点M,满足PC⊥平面MBD,下面给出证明.∵四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形,∴AC⊥BD,∵PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,∴BD⊥PA.∵AC∩PA=A,∴BD⊥平面PAC,∴BD⊥PC.在△PBC内,可求PB=PC=2,BC=2,在平面PBC内,作BM⊥PC,垂足为M,设PM=x,则有8-x2=4-(2-x)2,解得x=<2.连接MD,∵PC⊥BD,BM⊥PC,BM∩BD=B,BM⊂平面BDM,BD⊂平面BDM.∴PC⊥平面BDM.∴满足条件的点M存在,此时PM的长为.22(本小题满分12分)已知以点C(t∈R,t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O和点A,与y轴交于点O和点B,其中O为原点.(1)求证:△OAB的面积为定值;(2)设直线y=-2x+4与圆C交于点M,N,若OM=ON,求圆C的方程.圆C过原点O,∴OC2=t2+.设圆C的方程是(x-t)2+=t2+,令x=0,得y1=0,y2=;令y=0,得x1=0,x2=2t,∴S△OAB=OA·OB=×|2t|=4,即△OAB的面积为定值.OM=ON,CM=CN,∴OC垂直平分线段MN.∵k MN=-2,∴k OC=.∴t,解得t=2或t=-2.当t=2时,圆心C的坐标为(2,1),OC=,此时,C到直线y=-2x+4的距离d=,圆C与直线y=-2x+4相交于两点.符合题意,此时,圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.当t=-2时,圆心C的坐标为(-2,-1),OC=,此时C到直线y=-2x+4的距离d=.圆C与直线y=-2x+4不相交,因此,t=-2不符合题意,舍去.故圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.。

2024学年高中数学选择性必修第二册(人教B版2019)全册综合检测(Word练习)(全解全析)

全册综合检测(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知随机变量X 的分布列如下表，则P (|X －1|＝1)＝()X 012P141214A.18B.14C.38D.12解析：选D依题意，得P (|X －1|＝1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝2)＝14＋14＝12.2．4名同学分别报名参加学校的手工、绘画、机器人设计三个校本课程，每人限报其中一个课程，不同报名方案的种数是()A ．81B ．64C ．24D ．16解析：选A ∵每名同学都有3种报名方案，∴四名同学共有3×3×3×3＝81(种)报名方案．3．为调查某企业环境污染整治情况，得到了7组成对数据如下表所示：由上表中数据求得Y 关于x 的回归直线方程为Y ^＝－0.475x ＋a ，据此计算样本点(2,5.2)处的残差(残差＝实际值－预测值)为()A ．－0.25B ．0.25C ．0.15D ．－0.15解析：选D由题表中数据可得x ＝17(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，y ＝17(6.1＋5.2＋4.5＋4.7＋3.8＋3.4＋3.1)＝4.4.将样本中心(4,4.4)代入Y ^＝－0.475x ＋a ^得a ^＝6.3，Y ^＝－0.475x ＋6.3.因此当x ＝2时，Y ^＝－0.475×2＋6.3＝5.35，所以样本点(2，5.2)处的残差为5.2－5.35＝－0.15.4．有甲、乙、丙、丁、戊五位同学排队，若丙在甲、乙的中间(可不相邻)，则不同的排法有()A ．20种B ．40种C ．60种D ．80种解析：选B满足条件的排法可分步完成，第一步，从五个位置中任取三个位置，并将甲、乙、丙排入其中，有C35A22＝20种方法，第二步，将丁、戊排入余下的两个位置，有A22＝2种方法，由分步乘法计数原理可得共有40种排法．5．甲、乙两位同学各自独立地解答同一个问题，他们能够正确解答该问题的概率分别是35和13，在这个问题已被正确解答的条件下，甲、乙两位同学都能正确解答该问题的概率为()A.4 15B.11 15C.2 11D.3 11解析：选D设事件A表示“甲能正确解答该问题”，事件B表示“乙能正确解答该问题”，事件C表示“这个问题被正确解答”，则P(A)＝35，P(B)＝13，故P(C)＝P(AB)＋P(A B)＋P(AB)＝35××13＋35×13＝1115.所以在这个问题已被正确解答的条件下，甲、乙两位同学都能正确解答该问题的概率为P＝P(AB)P(C)＝35×131115＝311.6．流感病毒分为甲、乙、丙三型，甲型流感病毒最容易发生变异，流感大流行就是甲型流感病毒出现新亚型或旧亚型重现引起的．根据以往的临床记录，某种诊断甲型流感病毒的试验具有如下的效果：若以A表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被诊断者患有甲型流感”，则有P(A|C)＝0.9，P(A|C)＝0.9.现对自然人群进行普查，设被试验的人患有甲型流感的概率为0.005，即P(C)＝0.005，则P(C|A)＝()A.9 208B.19 218C.1 22D.7 108解析：选A因为P(A|C)＝0.9，所以P(A|C)＝1－P(A|C)＝0.1.因为P(C)＝0.005，所以P(C)＝0.995.所以P(C|A)＝P(AC)P(A)＝P(A|C)·P(C)P(A|C)·P(C)＋P(A|C)·P(C)＝0.9×0.0050.9×0.005＋0.1×0.995＝9208.7．已知ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1，则P(ξ＝1)＝()A.1 11B.411C.611D.711解析：选C若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有C18C23对相交棱，因此P(ξ＝0)＝C18C23C212＝8×366＝411；若两条棱平行，则它们之间的距离为1或2，其中距离为2的共有6对，故P(ξ＝2)＝6C212＝111，于是P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝2)＝1－411－111＝611.8．若(x2＋x＋2y)5的展开式中x4y2的系数为M展开式中各项系数和为N，则M，N大小关系为()A．M>N B．M<NC．M＝N D．无法确定解析：选B(x2＋x＋2y)5＝[(x2＋x)＋2y]5，T k＋1＝C k5·(x2＋x)5－k·(2y)k＝2k·C k5(x2＋x)5－k·y k.令k＝2，则(x2＋x)3的展开式的通项公式为T′k′＋1＝C k′3·(x2)3－k′·x k′＝C k′3·x6－k′，令6－k′＝4，得k′＝2，所以M＝22C25·C23＝120.又N＝27＝128，所以M<N.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9．一个不透明箱子中有大小形状均相同的2个红球，2个白球，从中不放回地任取2个球，每次取1个．记事件A i为“第i次取到的球是红球(i＝1,2)”，事件B为“两次取到的球颜色相同”，事件C为“两次取到的球颜色不同”，则()A．A1与A2互斥B．P(A2)＝12C．P(A1|C)＝12D．A1与B相互独立解析：选BCD A1与A2可以同时发生，即两次取到的都是红球，则A1与A2不互斥，故A错误．箱子中有大小形状均相同的2个红球，2个白球，则P(A2)＝2×1＋2×24×3＝12，故B正确．P(C)＝2×2＋2×24×3＝23，P(A1C)＝2×24×3＝13，则P(A1|C)＝P(A1C)P(C)＝1323＝12，故C正确．P(A1)＝12，P(B)＝1－P(C)＝13，P(A1B)＝2×14×3＝16，则有P(A1)P(B)＝P(A1B)，所以A1与B相互独立，故D正确．10．已知随机变量X 的概率密度函数为φ(x )＝12πa e－(x －b )22a 2(a >0，b >0)，且φ(x )的极大值点为x ＝2a ，记f (k )＝P (X <k )，g (k )＝P (X >k ＋a )，则()A ．X ～N (b ，a )B ．X ～N (2a ，a 2)C ．f (a )＝g (2a )D ．f (2a )＋g (2a )＝f (a )＋g (a )解析：选BCD根据已知可得，μ＝b ，σ＝a .因为φ(x )的极大值点为x ＝2a ，所以有b ＝2a ，所以X ～N (2a ，a 2)，故A 错误，B 正确．由A 分析可知，μ＝2a .又f (a )＝P (X <a )，g (2a )＝P (X >2a ＋a )＝P (X >3a )，根据正态分布的对称性，可知P (X <a )＝P (X >3a )，所以f (a )＝g (2a )，故C 正确．因为μ＝2a ，所以f (2a )＝P (X <2a )＝12，g (a )＝P (X >2a )＝12.所以f (2a )＋g (2a )＝12＋f (a )＝f (a )＋g (a )，故D 正确．11．已知(n ≥3，n ∈N ＋)的展开式中，第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的3倍，则()A ．n ＝7B ．展开式中有理项有2项C ．第4项为－358x54D ．第3项二项式系数最大解析：选ABC 第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的3倍，故有C 2n ＝3C 1n ，即n (n －1)2×1＝3n ，化简整理得n 2－7n ＝0，解得n ＝7或n ＝0(舍)，故A 正确．T r ＋1＝C r 7(x )7－＝C x 7－r 2x －r 4C x 14－3r 4.当r ＝2和r ＝6时，14－3r 4为整数，故当r ＝2和r ＝6时，展开式为有理项，故B 正确．T 4＝C x 14－3×34＝－358x 54，故C 正确．令f (r )＝C r 7，根据二项式系数性质可知当r ＝3或r ＝4时，二项式系数C r7最大，即第4或第5项的二项式系数C r 7最大，故D 错误．12．某中学共有三栋女生宿舍楼，分别为1号楼、2号楼、3号楼，学校在本周安排了甲、乙、丙、丁、戊5名女教师去这三栋宿舍楼协助宿管阿姨值守，每栋宿舍楼至少安排一名教师，每名教师只能去其中一栋楼，则下列说法正确的是()A ．共有300种不同的安排方法B．若其中1号楼需要有两名教师去，则共有60种不同的安排方法C．若甲、乙两名教师不能去同一栋宿舍楼，则共有114种不同的安排方法D．若学校新购入25个相同型号的灭火器，准备全部分配给这三栋女生宿舍楼作为应急使用，每栋宿舍楼至少6个，则共有15种不同的分配方法解析：选BC5名教师按1∶1∶3去到三栋楼有C35A33种方法；按1∶2∶2去到三栋楼有C25C23A22·A33种方法，因此不同的安排方法种数是C35A33＋C25C23A22·A33＝60＋90＝150，A错误；安排2名教师去1号楼，不同的安排方法种数是C25C23A22＝60，B正确；甲、乙两名教师去同一栋宿舍楼，另3名教师去另两栋楼有C23A33种，另3名教师去三栋楼有C13A33种，则不同的安排方法种数是C23A33＋C13A33＝36，由选项A知，共有150种不同安排方法，所以甲、乙两名教师不能去同一栋宿舍楼，安排方法种数是150－36＝114，C正确；每栋宿舍楼先放5个灭火器，再将余下10个灭火器排成一排，在9个间隙中插入2块板子，有C29＝36种，D错误．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．(1＋x)(2－x)4的展开式中x2的系数为________．(用数字作答)解析：(1＋x)(2－x)4＝(2－x)4＋x(2－x)4，所以展开式中x2的系数为C24·22－C14·23＝－8.答案：－814．现有6个三好学生名额，计划分到三个班级，则恰有两个班分到三好学生名额的概率为________．解析：将6个三好学生名额分到三个班级，有3种类型：第一种是只有一个班分到名额，有3种情况，第二种是恰好有两个班分到名额，由隔板法知有C15C13＝15种情况，第三种是三个班都分到了名额，由隔板法得有C25＝10种情况，则恰有两个班分到三好学生名额的概率为15 28 .答案：15 2815．某种品牌手机的使用寿命ξ(单位：年)服从正态分布，且使用寿命不少于3年的概率为0.78，使用寿命不少于7年的概率为0.22.某人同时购买了3部该种品牌的手机，则在5年内这3部手机至少有2部手机能正常使用的概率为________．解析：由题意知P(ξ≥3)＝0.78，P(ξ≥7)＝0.22，所以P(ξ<3)＝P(ξ>7)＝0.22，所以正态分布曲线的对称轴为ξ＝5，即P(ξ≤5)＝12，即1部该种品牌的手机在5年内能正常使用的概率为12.所以这3部手机中至少有2部手机能正常使用的概率为C＋C＝12.答案：1216．一离散型随机变量X 的分布列为X 0123P0.1abc其中a ，b 为变数，c 为正常数，且当a ＝b ≠0时方差D (X )有最大值，则c 的值为________．解析：由题意得，a ＋b ＋c ＝0.9，E (X )＝a ＋2b ＋3c ＝0.9＋b ＋2c ，E (X 2)＝a ＋4b ＋9c ＝0.9＋3b ＋8c ，D (X )＝E (X 2)－[E (X )]2＝0.9＋3b ＋8c －(0.9＋b ＋2c )2＝－b 2＋(1.2－4c )b ＋0.09＋4.4c －4c 2.∴当b ＝0.6－2c 时有最大值，此时1.2－4c ＋c ＝0.9，解得c ＝0.1.答案：0.1四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)(1)已知m ，n 是正整数，f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n 的展开式中x 的系数为7，对于使f (x )的x 2的系数为最小的m ，n ，求出此时x 3的系数；(2)已知(1＋2x )8展开式的二项式系数的最大值为a ，系数的最大值为b ，求b a.解：(1)根据二项式定理可知，f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n 的展开式的通项为T r ＋1＝C r m ×1m －r×x r ＋C r n ×1n －r ×x r ＝(C r m ＋C r n )x r ，r 0,1,2，…，min {m ，n }.根据题意，得C 1m ＋C 1n ＝7，即m ＋n ＝7，①f (x )中的x 2的系数为C 2m ＋C 2n ＝m (m －1)2＋n (n －1)2＝m 2＋n 2－m －n2.将①变形为n ＝7－m ，代入上式得x 2的系数为m 2－7m ＋21＋354，故当m ＝3或m ＝4时，x 2的系数最小．当m ＝3，n ＝4时，x 3的系数为C 33＋C 34＝5；当m ＝4，n ＝3时，x 3的系数为C 34＋C 33＝5.故当x 2系数最小时，x 3的系数为5.(2)由题意可得a ＝C 48＝70.(1＋2x )8展开式的通项为T r ＋1＝C r 8×18－r ×(2x )r ＝2r ·C r 8·x r .设第r ＋1项的系数最大，r 8·2r ≥C r ＋18·2r ＋1，r 8·2r ≥C r －18·2r －1，≥5，≤6.又r ∈N ＋，所以r ＝5或6，此时b ＝25×C 58＝1792，所以ba＝179270＝1285.18．(12分)中国国家流感中心3月2日发布的2023年第8周流感检测周报称：本周南、北方省份流感病毒检测阳性率继续上升．某医院用甲、乙两种疗法治疗流感患者，为了解两种治疗方案的效果，现随机抽取105名患者，调查每人的恢复期，得到如下列联表．(注：恢复期大于7天为恢复期长)恢复期长恢复期短甲1045乙2030(1)是否有95%的把握认为恢复期长短与治疗方案有关；(2)现按分层随机抽样的方法，从采用乙治疗方案的样本中随机抽取10人，从这10人中再随机抽取3人，求其中恢复期长的人数X的分布列和均值；(3)假设甲方案治疗的恢复期为Y，统计发现Y近似服从正态分布N(5,1)，若某患者采用甲方案治疗，则7天后是否有大于95%的把握恢复健康？请说明理由．附：χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)P(χ2≥x0)0.10.050.0100.001 x0 2.706 3.841 6.63510.828若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.9544(μ－3σ<ξ<μ＋3σ)＝0.9974.解：(1)由题意可得如下列联表：恢复期长恢复期短总计甲104555乙203050总计3075105因为χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)＝105×(10×30－45×20)255×50×30×75＝33655≈6.11>3.841，所以有95%的把握认为恢复期长短与治疗方案有关．(2)由分层随机抽样得，抽取恢复期长的为4人，恢复期短的为6人．根据题意X的可能取值为0,1,2,3，则P(X＝0)＝C36C310＝20120＝16，P(X＝1)＝C14C26C310＝60120＝12，P(X＝2)＝C24C16C310＝36120＝310，P(X＝3)＝C34C310＝4120＝130，所以X的分布列为X0123P 1612310130E(X)＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝1.2.(3)因为Y～N(5,1)，所以μ＝5，σ＝1.又因为P(5－2<Y<5＋2)＝0.9544，所以7天后有大于95%的把握恢复健康．19．(12分)为了解汉服体验店广告支出和销售额之间的关系，在洛阳洛邑古城附近抽取7家汉服体验店，得到了广告支出与销售额数据如下：体验店A B C D E F G广告支出/万元3468111516销售额/万元6101517233845对进入G体验店的400名游客进行统计得知，其中女性游客有280人，女性游客中体验汉服的有180人，男性游客中没有体验汉服的有80人．(1)请将下列2×2列联表补充完整，依据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否认为体验汉服与性别有关联？性别是否体验汉服总计体验汉服没有体验汉服女180280男80总计400(2)设广告支出为变量x(单位：万元)，销售额为变量y(单位：万元)，根据统计数据计算相关系数r，并据此说明可用线性回归模型拟合y与x的关系(若|r|>0.75，则线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合)；(3)建立y 关于x 的回归方程，并预测广告支出为18万元时的销售额(精确到0.1)．参考数据及公式：错误!2i ＝727，错误!2i ＝4648，错误!i y i ＝1827，14≈3.74，10≈3.16，7≈2.64，解：(1)根据题意，列联表完成如下.性别是否体验汉服总计体验汉服没有体验汉服女180100280男4080120总计220180400根据列联表数据，经计算得χ2＝400×(180×80－100×40)2280×120×220×180≈32.516>10.828＝x 0.001.根据小概率值α＝0.001的独立性检验，认为体验汉服与性别之间有关联，此推断犯错误的概率不超过0.001.(2)由数据可知，x ＝17(3＋4＋6＋8＋11＋15＋16)＝9，y ＝17(6＋10＋15＋17＋23＋38＋45)＝22，r ＝错误!＝1827－7×9×22727－7×924648－7×222＝441160·1260＝44112014≈0.98.因为0.98>0.75，所以线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系．(3)由数据及公式可得b ^＝错误!＝441160≈2.8，a ^＝y －b ^x＝22－2.8×9＝－3.2，故y 关于x 的回归直线方程为y ^＝2.8x －3.2.当x ＝18万元时，销售额预计为y ^＝2.8×18－3.2＝47.2万元．20．(12分)随着人口老龄化的到来，我国的劳动力人口在不断减少，“延迟退休”已经成为人们越来越关注的话题．为了了解公众对“延迟退休”的态度，某校课外研究性学习小组对某社区随机抽取了50人进行调查，将调查情况进行整理后制成下表：年龄[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)人数45853年龄[45,50)[50,55)[55,60)[60,65)[65,70]人数67354年龄在[25,30)，[55,60)的被调查者中赞成人数分别是3人和2人，现从这两组的被调查者中各随机选取2人，进行跟踪调查．(1)求年龄在[25,30)的被调查者中选取的2人都是赞成的概率；(2)求选中的4人中，至少有3人赞成的概率；(3)若选中的4人中，不赞成的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．解：(1)设“年龄在[25,30)的被调查者中选取的2人都赞成”为事件A，所以P(A)＝C23 C25＝3 10 .(2)设“选中的4人中，至少有3人赞成”为事件B，所以P(B)＝C23C12C11C25C23＋C13C12C22C25C23＋C23C22C25C23＝12.(3)X的可能取值为0,1,2,3所以P(X＝0)＝C23C22C25C23＝110，P(X＝1)＝C13C12C22＋C23C12C11C25C23＝25，P(X＝2)＝C22C22＋C13C12C12C11C25C23＝1330，P(X＝3)＝C22C12C11C25C23＝115.所以X的分布列为X0123P110251330115E(X)＝0×110＋1×25＋2×1330＋3×115＝2215.21．(12分)已知外形完全一样的某品牌电子笔6支装一盒，每盒中的电子笔次品最多一支，每盒电子笔有次品的概率是1 10 .(1)现有一盒电子笔，抽出两支来检测．①求抽出的两支均是正品的概率；②已知抽出的两支是正品，求剩余产品有次品的概率．(2)已知甲、乙两盒电子笔均有次品，由于某种原因将两盒笔完全随机的混合在了一起，现随机选3支电子笔进行检测，记ξ为选出的3支电子笔中次品的数目，求ξ的分布列和期望．解：(1)①记事件A ：该盒有次品；事件B ：抽出的两支均是正品，则P (A )＝110，P (B |A )＝C 25C 26＝1015＝23，P (B |A )＝1，∴P (B )＝P (A )P (B |A )＋P (A )·P (B |A )＝110×23＋910×1＝2930.②P (A |B )＝P (A )P (B |A )P (B )＝110×232930＝229.(2)由题意知，两盒笔中共有10支正品，2支次品，∴ξ所有可能的取值为0,1,2，P (ξ＝0)＝C 310C 312＝120220＝611，P (ξ＝1)＝C 210C 12C 312＝90220＝922，P (ξ＝2)＝C 110C 22C 312＝10220＝122.∴ξ的分布列为E (ξ)＝0×611＋1×922＋2×122＝1122＝12.22．(12分)一企业生产某种产品，通过加大技术创新投入降低了每件产品成本，为了调查年技术创新投入x (单位：千万元)对每件产品成本y (单位：元)的影响，对近10年的年技术创新投入x i 和每件产品成本y i (i ＝1,2,3，…，10)的数据进行分析，得到如图所示的散点图，并计算得x ＝6.8，y ＝70，错误!1x i3，错误!1x 2i ＝1.6，错误!y i x i＝350.(1)根据散点图可知，可用函数模型y ＝b x ＋a 拟合y 与x 的关系，试建立y 关于x 的回归方程；(2)已知该产品的年销售额m (单位：千万元)与每件产品成本y 的关系为m ＝－y 210＋2y ＋100.该企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本10千万元，根据(1)的结果回答：当年技术创新投入为何值时，年利润的预报值最大？(注：年利润＝年销售额－年投入成本)参考公式：对于一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ^＝错误!，a ^＝y －b ^x .解：(1)令u ＝1x，则y 关于u 的回归直线方程为y ^＝b ^u ＋a ^，则y ＝70，u ＝110错误!1x i ＝0.3，错误!2i ＝错误!1x 2i＝1.6，错误!i y i ＝错误!y ix i＝350.由题意可得b ^＝错误!＝350－2101.6－0.9＝200，a ^＝y －b ^u ＝70－200×0.3＝10.所以y ^＝200u ＋10.所以y 关于x 的回归方程为y ^＝200x＋10.(2)由(1)得y ＝200x ＋10可得x ＝200y －10，y >10.所以年利润M ＝m －x －10＝－y 210＋2y ＋100－200y －10－10＝－(y －10)210＋200y －10＋100＝－(y －10)210＋100y －10＋100y －10＋100≤－33(y －10)210·100y －10·100y －10＋100＝－30＋100＝70，当且仅当(y －10)210＝100y －10，即y ＝20时，年利润M 取得最大值，此时x ＝20020－10＝20.所以当年技术创新投入为20千万元时，年利润的预报值最大。

必修二高中数学人教B版模块综合测试(附答案)

必修二高中数学人教B 版模块综合测试(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.在某几何体的三视图中,主视图、左视图、俯视图是三个全等的圆，圆的半径为R ，则这个几何体的体积是( ) A.31πR 3 B.32πR 3 C.πR 3 D.334R π 解析：由题意,这个几何体是球,故体积为34πR 3. 答案：D2.在空间直角坐标系中，方程x 2-4(y-1)2=0表示的图形是( )A.两个点B.两条直线C.两个平面D.一条直线和一个平面解析：由原方程可得(x+2y-2)(x-2y+2)=0，∴x+2y-2=0或x-2y+2=0.答案：C3.长方体各面上的对角线所确定的平面个数是( )A.20B.14C.12D.6解析：相对两平行平面中有两组平行对角线,可以确定两个平面,这样有6个平面.又因为每个顶点对应一个符合条件的平面,这样又有8个平面,共有14个平面.答案：B4.与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线方程是( )A.3x-2y+2=0B.2x+3y+7=0C.3x-2y-12=0D.2x+3y+8=0解：设(x 0,y 0)是直线2x+3y-6=0上任一点,其关于点(1,-1)的对称点的坐标是(x,y),则2x 0+3y 0-6=0.(*) 又由对称性知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=+.12,1200y y x x∴⎩⎨⎧--=-=.2,200y y x x 代入(*)式得2(2-x)+3(-2-y)-6=0,即2x+3y+8=0. 答案：D5.与圆C:x 2+(y+5)2=3相切,且纵截距和横截距相等的直线共有( )A.2条B.3条C.4条D.6条解析：原点在圆C 外,过原点的两条切线在坐标轴上的截距也是相等的;若切线不过原点,设为x+y=a,圆心为(0,-5),半径为3, ∴32|50|=--a .∴a=-5±6.∴在两轴上截距相等、斜率为-1的直线又有两条,共有4条.答案：C6.(2020高考天津卷,文7)若l 为一条直线，α、β、γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：①α⊥γ,β⊥γ⇒α⊥β；②α⊥γ,β∥γ⇒α⊥β；③l ∥α,l ⊥β⇒α⊥β.其中正确的命题有( )A.0个B.1个C.2个D.3个解析：本题考查线面和面面的垂直平行垂直关系.①中可由长方体的一角证明是错误的;②③易证明是正确的.答案：C7.(2020高考全国卷Ⅰ,理7文9)已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A.16πB.20πC.24πD.32π 解析：本题考查长方体和正四棱柱的关系以及球的表面积的计算.由题意可得该正四棱柱的底面面积为4,边长为2.因正四棱柱属于长方体,因此所求球的球心在该长方体的中心即球的直径为62,根据球的表面积公式,可得球的表面积为24π. 答案：C 8.将若干毫升水倒入底面半径为4 cm 的圆柱形器皿中,量得水面高度为8 cm,若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中,则水面的高度是( )A.36B.6C.3184D.398 解：设水面高度为h.由42×8π=31×(33h)2πh ， ∴h=3184.故选C. 答案：C9.已知点P(2,-3)、Q(3,2),直线ax-y+2=0与线段PQ 相交,则a 的取值范围是( )A.a≥34 B.a≤34- C.25-≤a≤0 D.a≤34-或a≥21 解析：直线ax-y+2=0可化为y=ax+2,斜率k=a,恒过定点A(0,2).如图,直线与线段PQ 相交,0≥k≥k A P,即25-≤a≤0.答案：C10.圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有( )A.1个B.2个C.3个D.4个解：圆心(3,3)到直线3x+4y-11=0的距离为d=5|113433|-⨯+⨯=2，圆的半径是3. ∴圆上的点到直线3x+4y-11=0的距离为1的点有3个.答案：C11.直线l 与直线3x+4y-15=0垂直，与圆x 2+y 2-18x+45=0相切，则l 的方程是( )A.4x-3y-6=0B.4x-3y-66=0C.4x-3y-6=0或4x-3y-66=0D.4x-3y-15=0解：由直线l 与直线3x+4y-15=0垂直，则可设l 的方程是4x-3y+b=0.由圆x 2+y 2-18x+45=0，知圆心O′(9，0)，半径r=6，∴5|0394|b +⨯-⨯=6,|36+b|=30. ∴b=-6或b=-66.故l 的方程为4x-3y-6=0或4x-3y-66=0.答案：C12.直线3x-2y+m=0和直线(m 2-1)x+3y-3m+2=0的位置关系是( )A.平行B.重合C.相交D.不能确定解析：因为3×3-2(m 2-1)=0，m 无解,可得3×3≠2(m 2-1)，即两直线斜率不相等,所以这两条直线不平行或重合,由两直线相交的条件,可得两直线相交.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上)13.已知A(-1，-2，1)、B(2，2，2)，点P 在z 轴上，且d(P,A)=d(P,B),则点P 的坐标为___________. 解：∵P 在z 轴上，∴设P 点坐标为(0，0，z).又∵|PA|=|PB|，∴利用距离公式得z=3.答案：(0，0，3)14.若P 在坐标平面xOy 内,A 点坐标为(0,0,4),且d(P,A)=5,则点P 组成的曲线为___________. 解析：考查两点距离公式的应用和探究问题的能力.设P(x,y,0)，则d(P,A)=222)40()0()0(-+-+-y x ，因为|PA|=5,所以x 2+y 2+16=25,即x 2+y 2=9.所以P 点在xOy 坐标面上形成一个以(0,0)为圆心，以3为半径的圆.答案：以(0,0)为圆心，以3为半径的圆15.如图1，已知底面半径为r 的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a ，最小值为b ，那么圆柱被截后剩下部分的体积是___________.图1解析：可以考虑用一个与原来全等的几何体，倒过来拼接到原几何体上，得到一个底面半径为r ，母线长为(a+b)的圆柱，其体积为πr 2(a+b)，故所求体积为21πr 2(a+b).答案：21πr 2(a+b) 16.过圆x 2+y 2-6x+4y-3=0的圆心,且平行于x+2y+11=0的直线方程是___________. 解：圆x 2+y 2-6x+4y-3=0的圆心为(3,-2).设所求直线斜率为k,则k=21-. ∴方程为y+2=21-(x-3),即x+2y+1=0. 答案：x+2y+1=0三、解答题(共74分)17.(本小题12分)如图2，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,求证:图2(1)A 1D ∥平面CB 1D 1;(2)平面A 1BD ∥平面CB 1D 1.证明：(1)∵A 1B 1∥CD 且A 1B 1=CD,∴四边形A 1B 1CD 是平行四边形,故A 1D ∥B 1C.又B 1C ⊂平面CB 1D 1且A 1D ⊂平面CB 1D 1,∴A 1D ∥平面CB 1D 1.(2)由(1)A 1D ∥平面CB 1D 1,同理可得A 1B ∥平面CB 1D 1,又A 1D∩A 1B=A 1,且A 1D 和A 1B 都在平面A 1BD 内,所以平面A 1BD ∥平面CB 1D 1.18.(本小题12分)如图3，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB 1⊥BC 1,AB=CC 1=1,BC=2.图3(1)求证：A 1C 1⊥AB ；(2)求点B 1到平面ABC 1的距离.(1)证明：连结A 1B ，则A 1B ⊥AB 1.又∵AB 1⊥BC 1,∴AB 1⊥平面A 1BC 1.∴AB 1⊥A 1C 1.又∵A 1C 1⊥BB 1,∴A 1C 1⊥平面ABB 1.∴A 1C 1⊥AB.(2)解：由(1)知AB ⊥AC ，∵AB ⊥AC 1,又∵AB=1,BC=2，∴AC=3,AC 1=2.∴1ABC S ∆=1.设所求距离为d ，∴1111ABB C ABC B V V --=. ∴31S △ABC 1·d=131ABB S ∆·A 1C 1. ∴31·1·d=31·21·3. ∴d=23. 19.(本小题12分)设圆上的点A(2,3)关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上,且与直线x-y+1=0相交的弦长为22,求圆的方程.解：设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2.∵圆上的点A(2,3)关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上,∴圆心在x+2y=0上.∴a+2b=0. ① ∵圆被直线截得的弦长为22,∴(2|1|+-b a )2+(2)2=r 2. ② 由点A(2,3)在圆上,得(2-a)2+(3-b)2=r 2. ③联立①②③,解得⎪⎩⎪⎨⎧=-==⎪⎩⎪⎨⎧=-==.244,7,1452,3,622r b a r b a 或∴圆的方程为(x-6)2+(y+3)2=52或(x-14)2+(y+7)2=244.20.(本小题12分)已知圆C ：(x-1)2+y 2=9内有一点P(2，2)，过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点.(1)当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程；(2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线l 的方程；(3)当直线l 的倾斜角为45°时，求弦AB 的长.解：(1)已知圆C ：(x-1)2+y 2=9的圆心为C(1，0)，因直线过点P 、C ，所以直线l 的斜率为2，直线l 的方程为y=2(x-1),即2x-y-2=0.(2)当弦AB 被点P 平分时，l ⊥PC ，直线l 的方程为y-2=21-(x-2),即x+2y-6=0. (3)当直线l 的倾斜角为45°时，斜率为1，直线l 的方程为y-2=x-2,即x-y=0.圆心到直线l 的距离为21，圆的半径为3，弦AB 的长为34. 21.(本小题12分)如图4，在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是AA 1、D 1C 1的中点，过D 、M 、N 三点的平面与正方体的下底面相交于直线l ；图4(1)画出直线l ；(2)设l∩A 1B 1=P,求PB 1的长；(3)求D 到l 的距离.解：(1)连结DM 并延长交D 1A 1的延长线于Q.连结NQ ，则NQ 即为所求的直线l.(2)设QN∩A 1B 1=P,△A 1MQ ≌△MAD,∴A 1Q=AD=A 1D 1,A 1是QD 1的中点.∴A 1P=21D 1N=4a .∴PB 1=43a. (3)作D 1H ⊥l 于H ，连结DH ，可证明l ⊥平面DD 1H ，则DH ⊥l,则DH 的长就是D 到l 的距离.在Rt △QD 1N 中，两直角边D 1N=2a ,D 1Q=2a,斜边QN=a 217,∴D 1H·QN=D 1N·D 1Q,即D 1H=a 17172,DH=a a a 17357)17172(22=+,∴D 1到l 的距离为a 17357. 22.(本小题14分)设有半径为3 km 的圆形村落，A 、B 两人同时从村落中心出发，B 向北直行，A 先向东直行，出村后不久，改变前进方向，沿着与村落周界相切的直线前进，后来恰与B 相遇，设A 、B 两人速度一定，其速度比为3∶1，问两人在何处相遇.解：如图，建立平面直角坐标系，由题意可设A 、B 两人速度分别为3V 千米/小时、V 千米/小时，再设出发x 0小时，在点P 改变方向，又经过y 0小时，在点Q 处与B 相遇，则P 、Q 两点坐标为(3Vx 0,0)、(0,Vx 0+y 0).由|OP|2+|OQ|2=|PQ|2,知(3Vx 0)2+(Vx 0+y 0)2=(3Vy 0)2，即(x 0+y 0)(5x 0-4y 0)=0.∵x 0+y 0＞0，∴5x 0=4y 0. ① 将①代入k PQ =0003x y x +-,得k PQ =43-. 又已知PQ 与圆O 相切，直线PQ 在y 轴上的截距就是两人相遇的位置. 设直线y=43-x+b 与圆O ：x 2+y 2=9相切，则有2243|4|+b =3， ∴b=415.。

2016-2017学年高中数学人教B版必修二模块综合测评含

模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．过点A(3，－4)，B(－2，m)的直线l的斜率为－2，则m的值为() A．6 B．1C．2 D．4【解析】由题意知k AB＝m＋4－2－3＝－2，∴m＝6.【答案】 A2．在x轴、y轴上的截距分别是－2、3的直线方程是() A．2x－3y－6＝0 B．3x－2y－6＝0C．3x－2y＋6＝0 D．2x－3y＋6＝0【解析】由直线的截距式得，所求直线的方程为x－2＋y3＝1，即3x－2y＋6＝0.【答案】 C3．已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于()A．2 2 B.22 3C.423 D.433【解析】设正方体的棱长为a，球的半径为R，则43πR3＝323π，∴R＝2.又∵3a＝2R＝4，∴a＝43 3.【答案】 D4．关于空间直角坐标系Oxyz中的一点P(1,2,3)有下列说法：①点P到坐标原点的距离为13；②OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，32；③与点P 关于x 轴对称的点的坐标为(－1，－2，－3)； ④与点P 关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2，－3)； ⑤与点P 关于坐标平面xOy 对称的点的坐标为(1,2，－3)．其中正确的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5【解析】点P 到坐标原点的距离为12＋22＋32＝14，故①错；②正确；与点P 关于x 轴对称的点的坐标为(1，－2，－3)，故③错；与点P 关于坐标原点对称的点的坐标为(－1，－2，－3)，故④错；⑤正确，故选A.【答案】 A5．如图1，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱BB 1、B 1C 1的中点，若∠CMN ＝90°，则异面直线AD 1和DM 所成角为( ) 【导学号：60870092】图1A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【解析】因为MN ⊥DC ，MN ⊥MC ，所以MN ⊥平面DCM . 所以MN ⊥DM .因为MN ∥AD 1，所以AD 1⊥DM . 【答案】 D6．(2015·福建高考)某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的表面积等于( )图2A ．8＋2 2B ．11＋2 2C ．14＋2 2D ．15【解析】由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示．直角梯形斜腰长为12＋12＝2，所以底面周长为4＋2，侧面积为2×(4＋2)＝8＋22，两底面的面积和为2×12×1×(1＋2)＝3，所以该几何体的表面积为8＋22＋3＝11＋2 2.【答案】 B7．已知圆x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋k ＝0和定点P (1，－1)，若过点P 的圆的切线有两条，则k 的取值范围是( )A ．(－2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(－2,2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)【解析】因为方程x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋k ＝0表示一个圆，所以 4＋4－4k ＞0，所以k ＜2.由题意知点P (1，－1)在圆外，所以12＋(－1)2＋2×1＋2×(－1)＋k ＞0，解得k ＞－2，所以－2＜k ＜2.【答案】 C8．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面BB 1C 1C 的中心，则AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【解析】如图，取BC 的中点E ，连接DE 、AE 、AD .依题设知AE ⊥平面BB 1C 1C .故∠ADE 为AD 与平面BB 1C 1C 所成的角．设各棱长为2，则AE ＝32×2＝3，DE ＝1.∵tan∠ADE＝AEDE＝31＝3，∴∠ADE＝60°，故选C.【答案】 C9．(2015·开封高一检测)若m、n为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列说法中正确的是()①若直线m、n都平行于平面α，则m、n一定不是相交直线；②若直线m、n都垂直于平面α，则m、n一定是平行直线；③已知平面α、β互相垂直，且直线m、n也互相垂直，若m⊥α，则n⊥β；④若直线m、n在平面α内的射影互相垂直，则m⊥n.A．②B．②③C．①③D．②④【解析】对于①，m与n可能平行，可能相交，也可能异面；对于②，由线面垂直的性质定理可知，m与n一定平行，故②正确；对于③，还有可能n∥β；对于④，把m，n放入正方体中，如图，取A1B为m，B1C为n，平面ABCD为平面α，则m与n在α内的射影分别为AB与BC，且AB⊥BC.而m与n所成的角为60°，故④错．因此选A.【答案】 A10．(2015·全国卷Ⅱ)已知三点A(1,0)，B(0，3)，C(2，3)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A.53 B.213C.253 D.43【解析】在坐标系中画出△ABC(如图)，利用两点间的距离公式可得|AB|＝|AC|＝|BC|＝2(也可以借助图形直接观察得出)，所以△ABC为等边三角形．设BC的中点为D，点E为外心，同时也是重心．所以|AE|＝23|AD|＝233，从而|OE|＝|OA|2＋|AE|2＝1＋43＝213，故选B.【答案】 B11．(2016·重庆高一检测)已知P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k ＞0)上一点，P A 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的一条切线，A 是切点，若P A 长度的最小值为2，则k 的值是( )A ．3 B.212 C ．2 2D ．2【解析】圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的圆心是(0,1)，半径是r ＝1，∵P A 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的一条切线，A 是切点，P A 长度的最小值为2，∴圆心到直线kx ＋y ＋4＝0的最小距离为5，由点到直线的距离公式可得|1＋4|k 2＋1＝5， ∵k ＞0，∴k ＝2，故选D. 【答案】 D12．(2016·德州高一检测)将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD ＝a ，则三棱锥D -ABC 的体积为( )A.212a 3B.a 312C.24a 3D.a 36 【解析】取AC 的中点O ，如图，则BO ＝DO ＝22a ，又BD ＝a ，所以BO ⊥DO ，又DO ⊥AC ，所以DO ⊥平面ACB ， V D -ABC＝13S △ABC ·DO ＝13×12×a 2×22a ＝212a 3. 【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知两条平行直线的方程分别是2x ＋3y ＋1＝0，mx ＋6y －5＝0，则实数m ＝________.【解析】由于两直线平行，所以2m ＝36≠1－5，∴m ＝4.【答案】 414．一个横放的圆柱形水桶，桶内的水漫过底面周长的四分之一，那么当桶直立时，水的高度与桶的高度的比为________．【解析】设圆柱形水桶的底面半径为R ，高为h ，桶直立时，水的高度为x . 横放时水桶底面在水内的面积为⎝ ⎛⎭⎪⎫14πR 2－12R 2，水的体积为V 水＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14πR 2－12R 2h .直立时水的体积不变，则有V 水＝πR 2x ， ∴x ∶h ＝(π－2)∶4π. 【答案】 (π－2)∶4π15．已知一个等腰三角形的顶点A (3,20)，一底角顶点B (3,5)，另一顶点C 的轨迹方程是________．【解析】设点C 的坐标为(x ，y )，则由|AB |＝|AC |得 (x －3)2＋(y －20)2 ＝(3－3)2＋(20－5)2，化简得(x －3)2＋(y －20)2＝225.因此顶点C 的轨迹方程为(x －3)2＋(y －20)2＝225(x ≠3)．【答案】 (x －3)2＋(y －20)2＝225(x ≠3)16．(2015·湖南高考)若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则r ＝__________. 【导学号：60870093】【解析】如图，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，则|OD |＝532＋(－4)2＝1. ∵∠AOB ＝120°，OA ＝OB ， ∴∠OBD ＝30°，∴|OB|＝2|OD|＝2，即r＝2.【答案】 2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2且l1与l2的距离为5，求l1，l2的方程．【解】若直线l1，l2的斜率都不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，此时l1，l2之间距离为5，符合题意；若l1，l2的斜率均存在，设直线的斜率为k，由斜截式方程得直线l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，由点斜式可得直线l2的方程为y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0，在直线l1上取点A(0,1)，则点A到直线l2的距离d＝|1＋5k|1＋k2＝5，∴25k2＋10k＋1＝25k2＋25，∴k＝125.∴l1的方程为12x－5y＋5＝0，l2的方程为12x－5y－60＝0.综上知，满足条件的直线方程为l1：x＝0，l2：x＝5或l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0.18．(本小题满分12分)已知圆C1：x2＋y2－4x＋2y＝0与圆C2：x2＋y2－2y－4＝0.(1)求证：两圆相交；(2)求两圆公共弦所在直线的方程．【解】(1)证明：圆C1：x2＋y2－4x＋2y＝0与圆C2：x2＋y2－2y－4＝0化为标准方程分别为圆C1：(x－2)2＋(y＋1)2＝5与圆C2：x2＋(y－1)2＝5，则圆心坐标分别为C1(2，－1)与C2(0,1)，半径都为5，故圆心距为(2－0)2＋(－1－1)2＝22，又0<22<25，故两圆相交．(2)将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在直线的方程，即(x2＋y2－4x ＋2y)－(x2＋y2－2y－4)＝0，得x－y－1＝0.19．(本小题满分12分)如图3，在三棱锥A-BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M 为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形．图3(1)求证：DM ∥平面APC ； (2)求证：平面ABC ⊥平面APC .【证明】 (1)∵M 为AB 的中点，D 为PB 的中点， ∴MD ∥AP .又∵DM ⊄平面APC ，AP ⊂平面APC ， ∴DM ∥平面APC .(2)∵△PMB 为正三角形，D 为PB 中点， ∴MD ⊥PB .又∵MD ∥AP ，∴AP ⊥PB . 又∵AP ⊥PC ，PC ∩PB ＝P ，∴AP ⊥平面PBC . ∵BC ⊂平面PBC ，∴AP ⊥BC .又∵AC ⊥BC ，且AC ∩AP ＝A ，∴BC ⊥平面APC . 又∵BC ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面APC .20．(本小题满分12分)已知△ABC 的顶点A (0,1)，AB 边上的中线CD 所在的直线方程为2x －2y －1＝0，AC 边上的高BH 所在直线的方程为y ＝0.(1)求△ABC 的顶点B 、C 的坐标；(2)若圆M 经过A 、B 且与直线x －y ＋3＝0相切于点P (－3,0)，求圆M 的方程．【解】 (1)AC 边上的高BH 所在直线的方程为y ＝0，所以AC 边所在直线的方程为x ＝0，又CD 边所在直线的方程为2x －2y －1＝0，所以C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，设B (b,0)，则AB 的中点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，12，代入方程2x －2y －1＝0，解得b ＝2，所以B (2,0)．(2)由A (0,1)，B (2,0)可得，圆M 的弦AB 的中垂线方程为4x －2y －3＝0，① 由与x －y ＋3＝0相切，切点为(－3,0)可得，圆心所在直线方程为y ＋x ＋3＝0，②①②联立可得，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－52，半径|MA |＝14＋494＝502，所以所求圆方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋522＝252.21．(本小题满分12分)如图4，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点．图4(1)求证：平面ABE ⊥平面B 1BCC 1； (2)求证：C 1F ∥平面ABE ；(3)求三棱锥E -ABC 的体积. 【导学号：60870094】【解】 (1)证明：在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中， BB 1⊥底面ABC ，所以BB 1⊥AB . 又因为AB ⊥BC ，所以AB ⊥平面B 1BCC 1，又AB ⊂平面ABE ，所以平面ABE ⊥平面B 1BCC 1.(2)证明：取AB 的中点G ，连接EG ，FG . 因为E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点，所以FG ∥AC ，且FG ＝12AC .因为AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1，所以FG ∥EC 1，且FG ＝EC 1，所以四边形FGEC 1为平行四边形．所以C 1F ∥EG . 又因为EG ⊂平面ABE ，C 1F ⊄平面ABE ，所以C 1F ∥平面ABE .(3)因为AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，AB ⊥BC ，所以AB ＝AC 2－BC 2＝ 3.所以三棱锥E -ABC 的体积V ＝13S △ABC ·AA 1＝13×12×3×1×2＝33.22．(本小题满分12分)已知圆M 过两点A (1，－1)，B (－1,1)，且圆心M 在x ＋y －2＝0上．(1)求圆M 的方程；(2)设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PC 、PD 是圆M 的两条切线，C 、D 为切点，求四边形PCMD 面积的最小值．【解】 (1)法一线段AB 的中点为(0,0)，其垂直平分线方程为x －y ＝0. 解方程组⎩⎨⎧x －y ＝0，x ＋y －2＝0.所以圆M 的圆心坐标为(1,1)，半径r ＝(1－1)2＋(－1－1)2＝2. 故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.法二设圆M 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，(r ＞0)，根据题意得⎩⎨⎧(1－a )2＋(－1－b )2＝r 2，(－1－a )2＋(1－b )2＝r 2，a ＋b －2＝0.解得a ＝b ＝1，r ＝2.故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. (2)由题知，四边形PCMD 的面积为 S ＝S △PMC ＋S △PMD ＝12|CM |·|PC |＋12|DM |·|PD |. 又|CM |＝|DM |＝2，|PC |＝|PD |，所以S＝2|PC|，而|PC|＝|PM|2－|CM|2＝|PM|2－4，即S＝2|PM|2－4.因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x＋4y＋8＝0上找一点P，使得|PM|的值最小，所以|PM|min＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，所以四边形PCMD面积的最小值为S＝2|PM|2－4＝232－4＝2 5.。

高中数学人教B版必修二模块综合测评 Word版含答案

模块综合测评(时间分钟，满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．过点(，－)，(－，)的直线的斜率为－，则的值为( )．．．．【解析】由题意知＝＝－，∴＝.【答案】．在轴、轴上的截距分别是－、的直线方程是( )．－－＝．－－＝．－＋＝．－＋＝【解析】由直线的截距式得，所求直线的方程为＋＝，即－＋＝.【答案】．已知正方体外接球的体积是π，那么正方体的棱长等于( )．【解析】设正方体的棱长为，球的半径为，则π＝π，∴＝.又∵＝＝，∴＝.【答案】．关于空间直角坐标系中的一点()有下列说法：①点到坐标原点的距离为；②的中点坐标为；③与点关于轴对称的点的坐标为(－，－，－)；④与点关于坐标原点对称的点的坐标为(，－)；⑤与点关于坐标平面对称的点的坐标为(，－)．其中正确的个数是( )．．．．【解析】点到坐标原点的距离为＝，故①错；②正确；与点关于轴对称的点的坐标为(，－，－)，故③错；与点关于坐标原点对称的点的坐标为(－，－，－)，故④错；⑤正确，故选.【答案】．如图，在长方体-中，、分别是棱、的中点，若∠＝°，则异面直线和所成角为( ) 【导学号：】图．°．°．°．°【解析】因为⊥，⊥，所以⊥平面.所以⊥.因为∥，所以⊥.【答案】．(·福建高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于( )图．＋．＋．．＋【解析】由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示．直角梯形斜腰长为＝，所以底面周长为＋，侧面积为×(＋)＝＋，两底面的面积和为×。

人教版高中数学必修二检测：模块质量评估(A卷)Word版含解析

点,AP= , 过 P,M,N 的平面交上底面于 PQ,Q在, 并且在两坐标轴上截距相等的直线方程
是
.
16.(2019 ·江苏高考 ) 在平面直角坐标系 xOy 中, 以点 (1,0) 为圆心且与
直线 mx-y-2m-1=0(m∈ R)相切的所有圆中 , 半径最大的圆的标准方程
答案 : 3x-2y=0 或 x+y-5=0 【补偿训练】已知直线 l 经过点(1,3), 且与圆 x2+y2=1 相切 , 直线 l 的方
程为
.
【解析】当斜率存在时, 设切线的斜率为 k, 则切线方程为 y-3=k(x-1),
由圆心到切线的距离等于半径得
=1, 解得 k= , 切
距离为 d=
= =5, 由题意得 d-r=1, 即 r=d-
1=5-1=4. 12.A 将两方程联立消去 y 后得 (k 2+1)x 2+2kx-9=0, 由题意知此方程两根之和为 0, 故 k=0.
13. 【解析】设圆锥的底面半径为 r, 则有 l=2πr, 故 l=3r, 所以
(2) 若点 P(a,1) 到直线 l 的距离为
, 求实数 a 的值 .
19.(12 分)(2019 ·长沙高一检测 ) 已知圆 C:x 2+y2-8y+12=0, 直线 l 经过点 D(-2,0), 且斜率为 k. (1) 求以线段 CD为直径的圆 E 的方程 . (2) 若直线 l 与圆 C相离 , 求 k 的取值范围 .
22.(2019 ·北京高考题 )(12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知圆心在
x 轴上 , 半径为 2 的圆 C位于 y 轴右侧 , 且与直线 x-

2021_2022学年高中数学模块综合测评B作业含解析新人教A版必修2

模块综合测评(B )(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若直线经过两点A (m ,2),B (-m ,2m-1),且倾斜角为45°,则m 的值为( ) A.3B.1C.2D.12A (m ,2),B (-m ,2m-1)的直线的斜率为k=2m -1-2-m -m .又直线的倾斜角为45°,∴2m -1-2-m -m =tan45°=1,即m=34.故选A .2.已知△ABC 的顶点A (0,1),B (4,3),C (1,-1),则AB 边上的中线方程是( ) A.x+2y-3=0 B.3x+y-4=0 C.3x-y-4=0D.3x-y+3=0中点为(2,2),由C (1,-1),得直线方程为y -2-1-2=x -21-2,化简得3x-y-4=0.故选C .3.已知直线l :ax+y-2-a=0在x 轴和y 轴上的截距相等,则a 的值是( ) A.1 B.-1 C.-2或-1D.-2或1a ≠0.当x=0时,y=a+2.当y=0时,x=a+2a,∴a+2a=a+2,解得a=-2或a=1.4.已知m 是平面α的一条斜线,点A ∉平面α,直线l 为过点A 的一条动直线,那么下列情形中可能出现的是( ) A.l ∥m ,l ⊥α B.l ⊥m ,l ⊥α C.l ⊥m ,l ∥αD.l ∥m ,l ∥α,l 可以垂直m ,且l 平行α.5.若圆x 2+y 2+2x-4y=0关于直线l :3x+y+a=0对称,则直线l 在y 轴上的截距为( ) A.-1B.1C.3D.-3x 2+y 2+2x-4y=0,化简为:(x+1)2+(y-2)2=5,若圆x 2+y 2+2x-4y=0关于直线3x+y+a=0对称,则圆心(-1,2)在直线3x+y+a=0上,故有-3+2+a=0,解得a=1,所以直线l 的方程为3x+y+1=0,故直线l 在y 轴上的截距为-1,故选A .6.如图所示,四边形ABCD 中,AD ∥BC ,AD=AB ,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD 沿BD 折起,使面ABD ⊥面BCD ,连接AC ,则下列命题正确的是( )A.平面ABD ⊥平面ABCB.平面ADC ⊥平面BDCC.平面ABC ⊥平面BDCD.平面ADC ⊥平面ABC,在四边形ABCD 中,CD ⊥BD.在三棱锥A-BCD 中,平面ABD ⊥平面BCD ,两平面的交线为BD ,所以CD ⊥平面ABD ,因此AB ⊥CD.又因为AB ⊥AD ,AD ∩DC=D ,所以AB ⊥平面ADC ,于是平面ADC ⊥平面ABC.故选D .7.若圆(x-a )2+(y-a )2=4上总存在两点到原点的距离为1,则实数a 的取值范围是( ) A.-√22,0∪0,√22 B.-2√2,-√2∪√2,2√2 C.-3√22,-√22∪√22,3√22D.-∞,-3√22∪√2,+∞,圆(x-a )2+(y-a )2=4与圆x 2+y 2=1相交,两圆的圆心距为d=√a 2+a 2=√2|a|.所以2-1<√2|a|<2+1,解得√22<|a|<3√22.所以-3√22<a<-√22或√22<a<3√22.故选C .8.已知点P (x ,y )在直线2x+y+5=0上,则x 2+y 2的最小值为( ) A.√5B.2√5C.5D.2√102+y 2的最小值可看成直线2x+y+5=0上的点与原点连线长度的平方最小值,即为原点到该直线的距离的平方d 2, 由点到直线的距离公式,易得d=√22+12=√5.故x 2+y 2的最小值为5.9.如图,ABCD-A 1B 1C 1D 1是长方体,O 是B 1D 1的中点,直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M ,则下列结论正确的是( )A.A ,M ,O 三点共线B.A ,M ,O ,A 1不共面C.A ,M ,C ,O 不共面D.B ,B 1,O ,M 共面A 1C 1,AC ,则A 1C 1∥AC ,所以A 1,C 1,C ,A 四点共面,所以A 1C ⊂平面ACC 1A 1,因为M ∈A 1C ,所以M ∈平面ACC 1A 1,又M ∈平面AB 1D 1,所以M 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上,同理O 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上,所以A ,M ,O 三点共线.故选A .10.在如图的空间直角坐标系中,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,P 是线段BD 1上的一点,且BP=2PD 1,则点P 的坐标是( )A.(13,23,23) B.(23,13,23) C.(23,23,23) D.(13,13,23),B (1,0,0),D 1(0,1,1),设P (x ,y ,z ),∵BP=2PD 1,∴(x-1,y ,z )=2(-x ,1-y ,1-z ),∴{x -1=-2x ,y =2-2y ,z =2-2z ,∴x=13,y=23,z=23, ∴P (13,23,23).故选A .11.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )A.2√33+π B.2√33+2π C.2√3+π D.2√3+2π.∵圆柱的底面直径为2,高为2,棱柱的底面是边长为2的等边三角形,高为2,∴该几何体的体积为V=[12(π×12)+12×2×√3]×2=π+2√3.故选C .12.已知在四面体ABCD 中,E ,F 分别是AC ,BD 的中点,若CD=2AB=4,EF ⊥AB ,则EF 与CD 所成的角为 ( )A.90°B.45°C.60°D.30°G 为AD 的中点,连接GF ,GE ,则GF ,GE 分别为△ABD ,△ACD 的中线.∴GF ∥AB ,且GF=2AB=1,GE ∥CD ,且GE=12CD=2,∠GEF 就是异面直线EF 与CD 所成的角.又EF ⊥AB ,∴EF ⊥GF ,∴△GEF 为直角三角形,且sin ∠GEF=12, ∴∠GEF=30°.故选D .二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上) 13.若直线l 1:ax+2y+6=0与直线l 2:x+(a-1)y+(a 2-1)=0平行,则实数a= .直线l 1:ax+2y+6=0与直线l 2:x+(a-1)y+(a 2-1)=0平行,∴a (a-1)-2×1=0,解得a=-1或a=2.经验证当a=2时,直线重合,故a=-1符合题意.114.设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为a ,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为 .,该三棱柱为正三棱柱,且侧棱与底面边长相等,均为a.如图,P 为三棱柱上底面的中心,O 为球心,易知AP=23×√32a=√33a ,OP=12a ,所以球的半径R=OA ,满足R 2=(√33a)2+(12a)2=712a 2,故S 球=4πR 2=7π3a 2.215.(2018·天津卷)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为 .O ,A ,B 的坐标分别为(0,0),(1,1),(2,0),则AO=AB ,所以点A 在线段OB 的垂直平分线上.又因为OB 为该圆的一条弦,所以圆心在线段OB 的垂直平分线上,可设圆心坐标为(1,y ),所以(y-1)2=1+y 2,解得y=0,所以该圆的半径为1,其方程为(x-1)2+y 2=1,即x 2+y 2-2x=0.2+y 2-2x=016.如图,PA ⊥圆O 所在的平面,AB 是圆O 的直径,C 是圆O 上的一点,E ,F 分别是点A 在PB ,PC 上的正投影,给出下列结论:①AF ⊥PB ;②EF ⊥PB ;③AF ⊥BC ;④AE ⊥平面PBC.其中正确结论的序号是 .PA ⊥平面ABC ,∴PA ⊥BC.又AC ⊥BC ,PA ∩AC=A ,∴BC ⊥平面PAC.∴BC ⊥AF.∵AF ⊥PC ,BC ∩PC=C ,∴AF ⊥平面PBC ,∴AF ⊥PB ,AF ⊥BC.又AE ⊥PB ,AE ∩AF=A ,∴PB ⊥平面AEF. ∴PB ⊥EF.故①②③正确.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)已知△ABC 的顶点坐标为A (-1,5),B (-2,-1),C (4,3). (1)求AB 边上的高线所在的直线方程; (2)求△ABC 的面积.由题意可得k AB =-1-5-2-(-1)=-6-1=6,∴AB 边高线斜率k=-16,∴AB 边上的高线的点斜式方程为y-3=-16(x-4),化为一般式可得x+6y-22=0.(2)由(1)知直线AB 的方程为y-5=6(x+1),即6x-y+11=0,∴C 到直线AB 的距离为d=√36+1=√37=3237√37.又∵|AB|=√(-1+2)2+(5+1)2=√37,∴△ABC 的面积S=12|AB|d=12√37×3237√37=16.18.(本小题满分12分)(2018·浙江卷)如图,已知多面体ABCA 1B 1C 1,A 1A ,B 1B ,C 1C 均垂直于平面ABC ,∠ABC=120°,A 1A=4,C 1C=1,AB=BC=B 1B=2. (1)证明:AB 1⊥平面A 1B 1C 1;(2)求直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值.证明:由AB=2,AA 1=4,BB 1=2,AA 1⊥AB ,BB 1⊥AB ,得AB 1=A 1B 1=2√2,所以A 1B 12+A B 12=A A 12,故AB 1⊥A 1B 1.由BC=2,BB 1=2,CC 1=1,BC 1⊥BC ,CC 1⊥BC ,得B 1C 1=√5, 由AB=BC=2,∠ABC=120°,得AC=2√3,由CC 1⊥AC ,得AC 1=√13,所以A B 12+B 1C 12=A C 12,故AB 1⊥B 1C 1.因此AB 1⊥平面A 1B 1C 1.(2)如图,过点C 1作C 1D ⊥A 1B 1,交直线A 1B 1于点D ,连接AD.由AB 1⊥平面A 1B 1C 1,得平面A 1B 1C 1⊥平面ABB 1, 由C 1D ⊥A 1B 1,得C 1D ⊥平面ABB 1, 所以∠C 1AD 是AC 1与平面ABB 1所成的角. 由B 1C 1=√5,A 1B 1=2√2,A 1C 1=√21, 得cos ∠C 1A 1B 1=√6√7,sin ∠C 1A 1B 1=√7,所以C 1D=√3,故sin ∠C 1AD=C 1DAC 1=√3913.因此,直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值是√3913.(1)证明:如图,以AC 的中点O 为原点,分别以射线OB ,OC 为x ,y 轴的正半轴,建立空间直角坐标系O-xyz.由题意知各点坐标如下:A (0,-√3,0),B (1,0,0),A 1(0,-√3,4),B 1(1,0,2),C 1(0,√3,1). 因此AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,2),A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,-2),A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2√3,-3). 由AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得AB 1⊥A 1B 1. 由AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得AB 1⊥A 1C 1. 所以AB 1⊥平面A 1B 1C 1.(2)设直线AC 1与平面ABB 1所成的角为θ. 由(1)可知AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2√3,1),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,0),BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2). 设平面ABB 1的法向量n =(x ,y ,z ).由{n ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{x +√3y =0,2z =0,可取n =(-√3,1,0).所以sin θ=|cos <AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >|=|AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|·|n |=√3913. 因此,直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值是√3913.19.(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中,以坐标原点O 为圆心的圆与直线:x-√3y=4相切. (1)求圆O 的方程;(2)若圆O 上有两点M ,N 关于直线x+2y=0对称,且|MN|=2√3,求直线MN 的方程.依题意,圆O 的半径r 等于原点O 到直线x-√3y=4的距离,即r=√1+3=2,得圆O 的方程为x 2+y 2=4.(2)由题意,可设直线MN 的方程为2x-y+m=0, 则圆心O 到直线MN 的距离d=√5.由垂径分弦定理得m 25+(√3)2=22,即m=±√5,所以直线MN 的方程为2x-y+√5=0或2x-y-√5=0.20.(本小题满分12分)已知四棱锥P-ABCD 的正视图(图①)是一个底边长为4、腰长为3的等腰三角形,图②、图③分别是四棱锥P-ABCD 的侧视图和俯视图.(1)求证:AD ⊥PC ;(2)求四棱锥P-ABCD 的侧面积.,可知点P 在平面ABCD 上的正射影是线段CD 的中点E ,连接PE ,则PE ⊥平面ABCD.∵AD ⊂平面ABCD ,∴AD ⊥PE.∵AD ⊥CD ,CD ∩PE=E ,CD ⊂平面PCD ,PE ⊂平面PCD , ∴AD ⊥平面PCD.∵PC ⊂平面PCD ,∴AD ⊥PC.,在等腰三角形PCD 中,PC=PD=3,DE=EC=2.在Rt △PED 中,PE=√PD 2-DE 2=√5. 过E 作EF ⊥AB ,垂足为F ,连接PF.∵PE ⊥平面ABCD ,AB ⊂平面ABCD , ∴AB ⊥PE.∵EF ⊂平面PEF ,PE ⊂平面PEF ,EF ∩PE=E , ∴AB ⊥平面PEF.∵PF ⊂平面PEF ,∴AB ⊥PF.依题意得EF=AD=2.在Rt △PEF 中,PF=√PE 2+EF 2=3,∴四棱锥P-ABCD 的侧面积S △PAB +S △PBC +S △PCD +S △PAD =12×4×3+2×12×2×3+12×4×√5=12+2√5.21.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中,已知圆M :x 2+y 2+ay=0(a>0),直线l :x-7y-2=0,且直线l 与圆M 相交于不同的两点A ,B. (1)若a=4,求弦AB 的长;(2)设直线OA ,OB 的斜率分别为k 1,k 2,若k 1+k 2=16,求圆M 的方程.由题意知,a=4时圆心M 坐标为(0,-2),半径为2,圆心到直线距离d=√1+49=6√25, 所以弦|AB|=2√4-7225=4√75;(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 联立{x -7y -2=0,x 2+y 2+ay =0,得50y 2+(28+a )y+4=0.∵Δ=(28+a )2-16×50>0, ∴a>20√2-28,y 1,2=-(28+a )±√(28+a )2-800100.则y 1+y 2=-28+a 50,y 1·y 2=450.于是k 1+k 2=y 1x 1+y 2x 2=y 1x 2+y 2x 1x 1x 2=(7y 2+2)y 1+(7y 1+2)y 2(7y 1+2)(7y 2+2)=14y 1y 2+2(y 1+y 2)49y 1y 2+14(y 1+y 2)+4=-2a-14a+4=16,∴a=2,所以圆的方程为x 2+y 2+2y=0.22.(本小题满分12分)如图,在底面为菱形的四棱锥P-ABCD 中,∠ABC=60°,PA=AC=1,PB=PD=√2,点E 在PD 上,且PEED =2.(1)求证:PA ⊥平面ABCD ;(2)在棱PC 上是否存在点F 使得BF ∥平面EAC ?若存在,指出F 的位置;若不存在,请说明理由.∵在菱形ABCD 中,∠ABC=60°,∴AB=AD=AC=1.∵PB=PD=√2,PA=1,∴PA 2+AB 2=PB 2,PA 2+AD 2=PD 2. ∴PA ⊥AB ,PA ⊥AD ,又AB ∩AD=A , ∴PA ⊥平面ABCD.(2)在棱PC 上存在点F 使得BF ∥平面EAC ,理由如下: 取PE ,PC 的中点M ,F ,连接BD 交AC 于O , 则O 是BD 的中点,连接OE ,BM ,BF ,MF ,∵PE=2,∴E,M是PD的三等分点,ED∴OE是△BDM的中位线,∴BM∥OE,BM⊄平面AEC,OE⊂平面AEC,∴BM∥平面AEC,同理MF∥平面AEC,又BM∩MF=M,BM,MF⊂平面BMF, ∴平面BMF∥平面AEC,∵BF⊂平面BMF,∴BF∥平面AEC,∴在棱PC上存在PC的中点F,使得BF∥平面AEC.。

人教版高中数学必修二检测模块质量评估(A卷) Word版含解析

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模块质量评估（卷）
(第一至第四章)
(分钟分)
一、选择题(本大题共小题,每小题分,共分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)
.(·石家庄高一检测)如图是一个几何体的三视图,其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为和,腰长为的等腰梯形,则该几何体的侧面积是
( )
ππππ
.(·广州高一检测)一个球的内接正方体的表面积为,则球的表面积为
( ) ππ
ππ
.(·浙江高考)设是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面( ) .若⊥∥α,则⊥α
.若∥β,β⊥α,则⊥α
.若⊥β⊥β⊥α,则⊥α
.若⊥⊥β,β⊥α,则⊥α
.(·大连高一检测)若直线()()与()()互相垂直,则的值为( )
.如图所示,四边形中∥,∠°,∠°,将△沿折起,使平面⊥平面,构成四面体,则在四面体中,下列说法正确的是( )
.平面⊥平面
.平面⊥平面
.平面⊥平面
.平面⊥平面
.与直线平行,且与直线交于轴上的同一点的直线方程是
( )
.若直线与圆有公共点,则( )
≤≥
≤≥
.(·厦门高一检测)若圆的半径为,圆心在第一象限,且与直线和轴都相。

2020人教版B数学必修2 模块综合测评

模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．计算lg 4＋lg 25＝( )A ．2B ．3C ．4D ．10A [lg 4＋lg 25＝lg(4×25)＝lg 100＝2.]2．若，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C ．(－∞，1) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 B [∵函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上为减函数，∴2a ＋1>3－2a ，∴a >12.] 3．下列计算正确的个数是( )①(－3)·2a ＝－6a ；②2(a ＋b )－(2b －a )＝3a ；③(a ＋2b )－(2b ＋a )＝0.A ．0B ．1C ．2D ．3C [因为(－3)·2a ＝－6a ，故①正确；②中左边＝2a ＋2b －2b ＋a ＝3a 成立，故②正确；③中左边＝a ＋2b －2b －a ＝0≠0，故③错误．]4．甲、乙两人有三个不同的学习小组A ，B ，C 可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为( )A.13B.14C.15D.16A [因为甲、乙两人参加学习小组的所有事件有(A ，A )，(A ，B )，(A ，C )，(B ，A )，(B ，B )，(B ，C )，(C ，A )，(C ，B )，(C ，C )，共9个，其中两人参加同一个小组事件有(A ，A )，(B ，B )，(C ，C )，共3个，所以两人参加同一个小组的概率为39＝13.选A.]5．函数y ＝a －x 与y ＝log a (－x )的图像可能是( )A B C DC [∵在y ＝log a (－x )中，－x ＞0，∴x ＜0，∴图像只能在y 轴的左侧，故排除A ，D ；当a ＞1时，y ＝log a (－x )是减函数，y ＝a －x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 是减函数，故排除B ；当0＜a ＜1时，y ＝log a (－x )是增函数，y ＝a －x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 是增函数，∴C 满足条件，故选C.] 6．某地区经过一年的建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区建设前后农村的经济收入构成比例，得到如图所示的饼图：则下面结论中不正确的是( )A ．建设后，种植收入减少B ．建设后，其他收入增加了一倍以上C ．建设后，养殖收入增加了一倍D ．建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半A [设建设前经济收入为a ，则建设后经济收入为2a ，则由饼图可得建设前种植收入为0.6a ，其他收入为0.04a ，养殖收入为0.3a .建设后种植收入为0.74a ，其他收入为0.1a ，养殖收入为0.6a ，养殖收入与第三产业收入的总和为1.16a ，所以建设后，种植收入减少是错误的．故选A.]7．设函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)D [当x ≤0时，函数f (x )＝2－x 是减函数，则f (x )≥f (0)＝1.作出f (x )的大致图像如图所示，结合图像可知，要使f (x ＋1)<f (2x )，则需⎩⎨⎧ x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎨⎧x ＋1≥0，2x <0，所以x <0，故选D.]8．已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且OP →＝3OA →－OB →2，则( ) A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的反向延长线上C ．点P 在线段AB 的延长线上D ．点P 不在直线AB 上B [∵2OP →＝3OA →－OB →，∴2(OP →－OA →)＝OA →－OB →，∴2AP →＝BA →，∴AP →＝－12AB →，∴点P 在线段AB 的反向延长线上．]9．已知P ，Q 为△ABC 内的两点，且AQ →＝14AC →＋12AB →，AP →＝12AC →＋14AB →，则△APQ 的面积与△ABC 的面积之比为( )A.116B.112C.18D.316D [如图，根据题意，AQ →－AP →＝PQ →＝14AC →＋12AB →－12AC →－14AB →＝14AB →－14AC →＝14CB →，P ，Q 为△ABC 中位线DE ，DF 的中点，PQ ＝12EF ＝14BC ，从而A 到PQ的距离是到BC 距离的34，根据三角形的面积公式可知，S △APQ ＝316S △ABC .]10．甲、乙两棉农，统计了连续五年的单位面积产量(kg/亩)如下表：棉农甲 68 72 70 69 71棉农乙 69 71 68 68 69A ．棉农甲，棉农甲B ．棉农甲，棉农乙C ．棉农乙，棉农甲D ．棉农乙，棉农乙B [x －甲＝15×(68＋72＋70＋69＋71)＝70，x －乙＝15×(69＋71＋68＋68＋69)＝69，s 2甲＝15×[(68－70)2＋(72－70)2＋(70－70)2＋(69－70)2＋(71－70)2]＝2， s 2乙＝15×[(69－69)2＋(71－69)2＋(68－69)2＋(68－69)2＋(69－69)2]＝1.2，则棉农甲的产量高，棉农乙的产量较稳定．]11．有2个人从一座10层大楼的底层进入电梯，设他们中的每一个人自第二层开始在每一层离开是等可能的，则2个人在不同层离开的概率为( )A.19B.29C.49D.89D [法一：设2个人分别在x 层，y 层离开，则记为(x ，y )．基本事件构成集合Ω＝{(2,2)，(2,3)，(2,4)，…，(2,10)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，…，(3,10)，…，(10,2)，(10,3)，(10,4)，…，(10,10)}，所以除了(2,2)，(3,3)，(4,4)，…，(10,10)以外，都是2个人在不同层离开，故所求概率P＝9×9－99×9＝89.法二：其中一个人在某一层离开，考虑另一个人，也在这一层离开的概率为19，故不在这一层离开的概率为8 9.]12．已知函数f(n)＝log n＋1(n＋2)(n∈N*)，定义：使f(1)×f(2)×f(3)×…×f(k)为整数的数k(k∈N*)叫作企盼数，则在区间[1,1 000]内这样的企盼数的个数为()A．7 B．8 C．9 D．10B[ 因为函数f(n)＝log n＋1(n＋2)(n∈N*)，所以f(1)＝log23，f(2)＝log34，…，f(k)＝log k＋1(k＋2)．所以f(1)×f(2)×…×f(k)＝log23·log34·…·log k＋1(k＋2)＝log2(k＋2)．若f(1)×f(2)×…×f(k)为整数，则k＋2＝2n(n∈Z)，又因为k∈[1,1 000]，故k∈{2,6,14,30,62,126,254,510}．所以在区间[1,1 000]内这样的企盼数共有8个．]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．已知函数f(x)＝log2(x2＋a)．若f(3)＝1，则a＝________.－7[由f(3)＝1得log2(32＋a)＝1，所以9＋a＝2，解得a＝－7.]14．某学校举行课外综合知识比赛，随机抽取400名同学的成绩，成绩全部在50分至100分之间，将成绩按如下方式分成五组．第一组，成绩大于等于50分且小于60分；第二组，成绩大于等于60分且小于70分；……；第五组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图．则400名同学中成绩优秀(大于等于80分)的学生有________名．100[成绩优秀的频率为1－(0.005＋0.025＋0.045)×10＝0.25，所以成绩优秀的学生有0.25×400＝100(名)．]15．地震的震级R与地震释放的能量E的关系为R＝23(lg E－11.4)．A地地震级别为9.0级，B 地地震级别为8.0级，那么A 地地震的能量是B 地地震能量的________倍．1010 [由R ＝23(lg E －11.4)，得32R ＋11.4＝lg E ，故E ＝1032R ＋11.4.设A 地和B 地地震能量分别为E 1，E 2，即A 地地震的能量是B 地地震能量的1010倍．]16．如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 的延长线和AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为________．2 [因为O 是BC 的中点，所以AO →＝12(AB →＋AC →)＝m 2AM →＋n 2AN →，所以MO →＝AO →－AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2－1AM →＋n 2AN →. 又因为MN →＝AN →－AM →，MN →与MO →共线．所以存在实数λ，使得MO →＝λMN →＝λ(AN →－AM →)，即⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－1＝－λ，n 2＝λ.化简，得m ＋n ＝2.]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知向量a ＝(2,0)，b ＝(1,4)．(1)求2a＋3b，a－2b；(2)若向量k a＋b与a＋2b平行，求k的值．[解](1)∵a＝(2,0)，b＝(1,4)，2a＋3b＝2(2,0)＋3(1,4)＝(4,0)＋(3,12)＝(7,12)，a－2b＝(2,0)－2(1,4)＝(2,0)－(2,8)＝(0，－8)．(2)依题意得k a＋b＝(2k,0)＋(1,4)＝(2k＋1,4)，a＋2b＝(2,0)＋(2,8)＝(4,8)．∵向量k a＋b与a＋2b平行，∴8(2k＋1)－4×4＝0，解得k＝1 2.18．(本小题满分12分)为了了解中学生的体能情况，抽取了某校七年级的部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图如图，已知第1组的频数为5.(1)求第4组的频率；(2)参加这次测试的学生有多少人？(3)若次数在75以上(含75次)为达标，试估计该年级跳绳测试的达标率是多少？[解](1)第4组频率＝0.008×(149.5－124.5)＝0.2.(2)设参加这次测试的人数为x，则5x＝0.004×(74.5－49.5)＝0.1，∴x＝50，故参加这次测试的学生有50人．(3)估计这次跳绳测试的达标率为[1－0.004×(74.5－49.5)]×100%＝90%. 19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝a x＋b(a>0，a≠1)．(1)若f (x )的图像如图①所示，求a ，b 的值；(2)若f (x )的图像如图②所示，求a ，b 的取值范围；(3)在①中，若|f (x )|＝m 有且仅有一个实数解，求出m 的取值范围．[解] (1)由图像知，f (0)＝1＋b ＝－2，所以b ＝－3.又f (2)＝a 2－3＝0，所以a ＝3(负值舍去)，因此a ＝3，b ＝－3.(2)f (x )单调递减，所以0<a <1，又f (0)<0，即a 0＋b <0，所以b <－1.(3)由(1)得f (x )＝(3)x －3，在同一坐标系中画出函数y ＝|f (x )|和y ＝m 的图像．观察图像可知，当m ＝0或m ≥3时，两图像仅有一个交点，故|f (x )|＝m 有且仅有一个实数解时，m 的取值范围是{m |m ＝0或m ≥3}．20．(本小题满分12分)如图，已知在△ABC 中，AC 的中点为E ，AB 的中点为F ，延长BE 至点P ，使BE ＝EP ，延长CF 至点Q ，使CF ＝FQ .试用向量方法证明P ，A ，Q 三点共线．[证明] 因为E 是AC 的中点，F 是AB 的中点，所以AE →＝EC →，AF →＝FB →.又因为BE ＝EP ，CF ＝FQ ，所以BE →＝EP →，CF →＝FQ →.所以AP →＝AE →＋EP →＝EC →＋BE →＝BC →.所以AP →＝BC →.而QA →＝F A →＋QF →＝BF →＋FC →＝BC →，所以QA →＝BC →.所以AP →＝QA →.又因为向量AP →与QA →有公共点A ，所以P ，A ，Q 三点共线．21．(本小题满分12分)某校团委会组织该校高中一年级某班以小组为单位利用周末时间进行了一次社会实践活动，且每个小组有5名同学，在实践活动结束后，学校团委会对该班的所有同学都进行了测试，该班的A ，B 两个小组所有同学所得分数(百分制)的茎叶图如图所示，其中B 组一同学的分数已被污损，但知道B 组学生的平均分比A 组学生的平均分高1分．(1)若在B 组学生中随机挑选1人，求其得分超过85分的概率；(2)现从A 组这5名学生中随机抽取2名同学，设其分数分别为m ，n ，求|m －n |≤8的概率．[解] (1)A 组学生的平均分为94＋88＋86＋80＋775＝85(分)， ∴B 组学生平均分为86分．设被污损的分数为x ，则91＋93＋83＋x ＋755＝86，解得x ＝88， ∴B 组学生的分数分别为93,91,88,83,75，其中有3人的分数超过85分，∴在B 组学生随机选1人，其所得分超过85分的概率为35.(2)A 组学生的分数分别是94,88,86,80,77，在A 组学生中随机抽取2名同学，其分数组成的基本事件(m ，n )有(94,88)，(94,86)，(94,80)，(94,77)，(88,86)，(88,80)，(88,77)，(86,80)，(86,77)，(80,77)，共10个．随机抽取2名同学的分数m ，n 满足|m －n |≤8的基本事件有(94,88)，(94,86)，(88,86)，(88,80)，(86,80)，(80,77)，共6个．∴|m －n |≤8的概率为610＝35.22．(本小题满分12分)已知a ∈R ，函数f (x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a . (1)当a ＝1时，解不等式f (x )>1；(2)若关于x 的方程f (x )＋log 2(x 2)＝0的解集中恰有一个元素，求a 的值；(3)设a >0，若对任意t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．[解] (1)由log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1>1，得1x ＋1>2，解得{x |0<x <1}． (2)log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a ＋log 2(x 2)＝0有且仅有一解，等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a x 2＝1有且仅有一解，等价于ax 2＋x －1＝0有且仅有一解．当a ＝0时，x ＝1，符合题意；当a ≠0时，Δ＝1＋4a ＝0，a ＝－14.综上，a ＝0或a ＝－14.(3)当0<x 1<x 2时，1x 1＋a >1x 2＋a ， log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋a >log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋a ，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减．函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上的最大值与最小值分别为f (t )，f (t ＋1)．f (t )－f (t ＋1)＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋a －log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋1＋a ≤1，即at 2＋(a ＋1)t －1≥0对任意t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1成立．因为a >0，所以函数y ＝at 2＋(a ＋1)t －1在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递增，所以t ＝12时，y 有最小值34a －12，由34a －12≥0，得a ≥23.故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞.。

2020人教B版高中数学必修二综合测试B含解析

本册综合测试(B)时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．已知空间两点P(－1,2，－3)，Q(3，－2，－1)，则P、Q两点间的距离是( ) A．6 B．2 2C．36 D．2 5[答案] A[解析]由空间两点间距离公式，得|PQ|＝3＋12＋－2－22＋－1＋32＝6.2．在数轴上从点A(－2)引一线段到B(3)，再延长同样的长度到C，则点C的坐标为( )A．13 B．0C．8 D．－2[答案] C[解析]设点C的坐标为x，由题意，得d(A，B)＝3－(－2)＝5；d(B，C)＝x－3＝5，∴x＝8.3．空间中到A、B两点距离相等的点构成的集合是( )A．线段AB的中垂线B．线段AB的中垂面C．过AB中点的一条直线D．一个圆[答案] B[解析]空间中线段AB的中垂面上的任意一点到A、B两点距离相等．4．若一个三角形的平行投影仍是三角形，则下列命题：①三角形的高线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的高线；②三角形的中线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的中线；③三角形的角平分线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的角平分线；④三角形的中位线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的中位线．其中正确的命题有( )A．①②B．②③C．③④D．②④[解析]垂直线段的平行投影不一定垂直，故①错；线段的中点的平行投影仍是线段的中点，故②正确；三角形的角平分线的平行投影，不一定是角平分线，故③错；因为线段的中点的平行投影仍然是线段的中点，所以中位线的平行投影仍然是中位线，故④正确．选D.5．在圆柱内有一个内接正三棱锥，过一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是( )[答案] D[解析]如图所示，由图可知选D.6．已知圆x2＋y2－2x＋my＝0上任意一点M关于直线x＋y＝0的对称点N也在圆上，则m的值为( )A．－1 B．1C．－2 D．2[解析] 由题可知，直线x ＋y ＝0过圆心(1，－m2)，∴1－m2＝0，∴m ＝2.7．若圆心在x 轴上，半径为5的圆C 位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，则圆C 的方程是( )A ．(x －5)2＋y 2＝5 B ．(x ＋5)2＋y 2＝5 C ．(x －5)2＋y 2＝5 D ．(x ＋5)2＋y 2＝5[答案] D[解析] 设圆心C (a,0)，由题意r ＝5＝|a |5，∴|a |＝5，∵a <0，∴a ＝－5，∴圆C 的方程为(x ＋5)2＋y 2＝5.8．对于直线m 、n 和平面α、β，能得出α⊥β的一个条件是 ( ) A ．m ⊥n ，m ∥α，n ∥β B ．m ⊥n ，α∩β＝m ，n ⊂α C ．m ∥n ，n ⊥β，m ⊂α D ．m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β[答案] C[解析] 对于选项C ，∵m ∥n ，n ⊥β，∴m ⊥β，又∵m ⊂α，∴α⊥β.9．(2015·宁夏银川市唐徕回民中学高一月考)若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的体积为( )A ．3πB ．3π3 C ．3π D ．3π2[答案] B[解析] 设圆锥的母线长为l ，则34l 2＝3，∴l ＝2. ∴圆锥的底面半径r ＝1，高h ＝3，故其体积V ＝13πr 2h ＝3π3.10．(2015·宁夏银川一中高一期末测试)有一个几何体的三视图及其尺寸如下(单位：cm)，其侧视图和主视图是全等的三角形，则该几何体的表面积为( )A ．12π cm 2B ．15π cm 2C ．24π cm 2D ．36π cm 2[答案] C[解析] 由三视图可知，该几何体是底面半径为3，母线长为5的圆锥，其表面积S ＝S侧＋S 底＝πrl ＋πr 2＝3×5π＋9π＝24π cm 2.11．点P (5a ＋1,12a )在圆(x －1)2＋y 2＝1的内部，则a 的取值范围是( ) A ．(－1,1)B ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，113 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－113，113D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，15 [答案] C[解析] ∵点P (5a ＋1,12a )在圆(x －1)2＋y 2＝1的内部，∴(5a ＋1－1)2＋(12a 2)<1，即25a 2＋144a 2<1，∴a 2<1169，∴－113<a <113.12．若直线ax ＋by －3＝0和圆x 2＋y 2＋4x －1＝0切于点P (－1,2)，则ab 的值为( ) A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．3[答案] C[解析] 由题意，得点P (－1,2)在直线ax ＋by －3＝0上，∴－a ＋2b －3＝0，即a ＝2b －3.圆x 2＋y 2＋4x －1＝0的圆心为(－2,0)，半径r ＝5，∴|－2a －3|a 2＋b 2＝5，∴a 2－12a ＋5b 2－9＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b －3a 2－12a ＋5b 2－9＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝2.故ab ＝2.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知两条直线l 1：ax ＋8y ＋b ＝0和l 2：2x ＋ay －1＝0(b <0)，若l 1⊥l 2且直线l 1的纵截距为1时，a ＝________，b ＝________.[答案] 0 －8[解析] ∵l 1⊥l 2，∴2a ＋8a ＝0， ∴a ＝0.又直线l 1：ax ＋8y ＋b ＝0，即8y ＋b ＝0的纵截距为1， ∴b ＝－8.14．已知圆M ：x 2＋y 2－2mx －3＝0(m <0)的半径为2，则其圆心坐标为________． [答案] (－1,0)[解析] 方程x 2＋y 2－2mx －3＝0可化为(x －m )2＋y 2＝3＋m 2， ∴3＋m 2＝4，∴m 2＝1，∵m <0，∴m ＝－1.故圆心坐标为(－1,0)．15．(2015·河南郑州市高一期末测试)已知圆锥母线长是10，侧面展开图是半圆，则该圆锥的侧面积为________．[答案] 50π[解析] 设圆锥的底面半径为r ，则2πr ＝10π，∴r ＝5. ∴圆锥的侧面积S ＝πrl ＝50π.16．一个半球的表面积为Q ，一个圆柱与此半球等底等体积，则这个圆柱的表面积是________．[答案]109Q [解析] 设半球的半径为R ，则圆柱的底面半径也为R ，设圆柱的高为h . 由题意得2πR 2＋πR 2＝Q ，∴R 2＝Q3π.又23πR 3＝πR 2h ，∴h ＝23R . ∴圆柱的表面积S ＝2πRh ＋2πR 2＝43πR 2＋2πR 2＝103πR 2＝103π·Q 3π＝109Q .三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)直线l 过点P (43，2)，且与x 轴，y 轴的正方向分别交于A 、B 两点，当△AOB 的面积为6时，求直线l 的方程．[解析] 当斜率k 不存在时，不合题意．设所求直线的斜率为k ，则k ≠0，l 的方程为y －2＝k (x －43)．令x ＝0，得y ＝2－43k >0，令y ＝0，得x ＝43－2k >0，∴k <32.由S ＝12(2－43k )(43－2k )＝6，解得k ＝－3或k ＝－34.故所求直线方程为y －2＝－3(x －43)或y －2＝－34(x －43)，即3x ＋y －6＝0或3x ＋4y －12＝0.18．(本题满分12分)(2015·山东莱州市高一期末测试)已知直线l 1：ax －by －1＝0(a 、b 不同时为0)，l 2：(a ＋2)x ＋y ＋a ＝0.(1)若b ＝0且l 1⊥l 2，求实数a 的值；(2)当b ＝2，且l 1∥l 2时，求直线l 1与l 2之间的距离． [解析] (1)若b ＝0，则l 1：ax －1＝0，l 2：(a ＋2)x ＋y ＋a ＝0，∵l 1⊥l 2，∴a (a ＋2)＝0，∴a ＝－2或0. (2)当b ＝2时，l 1：ax －2y －1＝0，l 2：(a ＋2)x ＋y ＋a ＝0，∵l 1∥l 2，∴a ＝－2(a ＋2)，∴a ＝－43.∴l 1：4x ＋6y ＋3＝0，l 2：2x ＋3y －4＝0，∴l 1与l 2之间的距离d ＝|32＋4|22＋32＝111326. 19．(本题满分12分)已知圆C 与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且经过点A (6,1)，求圆C 的方程．[解析] ∵圆心在直线x －3y ＝0上， ∴设圆心坐标为(3a ，a )，又圆C 与y 轴相切，∴半径r ＝3|a |，圆的标准方程为(x －3a )2＋(y －a )2＝9a 2，又∵过点A (6,1)，∴(6－3a )2＋(1－a )2＝9a 2，即a 2－38a ＋37＝0， ∴a ＝1或a ＝37，∴所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x －111)2＋(y －37)2＝12 321.20．(本题满分12分)如图所示，圆锥的轴截面为等腰直角△SAB ，Q 为底面圆周上一点．(1)若QB 的中点为C ，OH ⊥SC ，求证：OH ⊥平面SBQ ； (2)如果∠AOQ ＝60°，QB ＝23，求此圆锥的体积． [解析] (1)连接OC ，∵SQ ＝SB ，OQ ＝OB ，QC ＝CB ， ∴QB ⊥SC ，QB ⊥OC ，∴QB ⊥平面SOC ． ∵OH ⊂平面SOC ，∴QB ⊥OH ，又∵OH ⊥SC ，∴OH ⊥平面SQB .(2)连接AQ .∵Q 为底面圆周上的一点，AB 为直径， ∴AQ ⊥QB .在Rt △AQB 中，∠QBA ＝30°，QB ＝23， ∴AB ＝23cos60°＝4.∵△SAB 是等腰直角三角形，∴SO ＝12AB ＝2，∴V 圆锥＝13π·OA 2·SO ＝83π.21．(本题满分12分)如图，已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，且∠DAB ＝60°，AD ＝AA 1，F 为棱BB 1的中点，M 为线段AC 1的中点．(1)求证：直线MF∥平面ABCD；(2)求证：平面AFC1⊥平面ACC1A1.[解析](1)延长C1F交CB的延长线于点N，连接AN.∵F是BB1的中点，∴F为C1N的中点，B为CN的中点．又∵M是线段AC1的中点，∴MF∥AN.又∵MF⊄平面ABCD，AN⊂平面ABCD，∴MF∥平面ABCD.(2)连接BD，由直四棱柱ABCD－A1B1C1D1可知，A1A⊥平面ABCD，又∵BD⊂平面ABCD，∴A1A⊥BD.∵四边形ABCD 为菱形， ∴AC ⊥BD .又∵AC ∩A 1A ＝A ，AC 、A 1A ⊂平面ACC 1A 1， ∴BD ⊥平面ACC 1A 1.在四边形DANB 中，DA ∥BN ，且DA ＝BN ， ∴四边形DANB 为平行四边形， ∴NA ∥BD ， ∴NA ⊥平面ACC 1A 1. 又∵NA ⊂平面AFC 1， ∴平面AFC 1⊥平面ACC 1A 1.22．(本题满分14分)如图所示，M 、N 、P 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AB 、BC 、DD 1上的点．(1)若BM MA ＝BN NC，求证：无论点P 在DD 1上如何移动，总有BP ⊥MN ；(2)棱DD 1上是否存在这样的点P ，使得平面APC 1⊥平面ACC 1？证明你的结论． [解析] (1)如图所示，连接B 1M 、B 1N 、AC 、BD ，则BD ⊥AC ． ∵BM MA ＝BN NC，∴MN ∥AC ． ∴BD ⊥MN .∵DD 1⊥平面ABCD ，MN ⊂面ABCD ，∴DD 1⊥MN . ∴MN ⊥平面BDD 1.∵无论P 在DD 1上如何移动，总有BP ⊂平面BDD 1，故总有MN ⊥BP . (2)存在点P ，且P 为DD 1的中点，使得平面APC 1⊥平面ACC 1.∵BD⊥AC，BD⊥CC1，∴BD⊥平面ACC1.取BD1的中点E，连接PE，则PE∥BD.∴PE⊥面ACC1. 又∵PE⊂面APC1，∴面APC1⊥面ACC1.。

2021学年人教A版高中数学必修2检测：模块质量评估(B卷) Word版含解析

模块质量评估 (B卷 )(第|一至|第四章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1.假设长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为3,4,5,那么该长方体的外接球外表积为( )ππππl过点P(,1),圆C:x2+y2=4,那么直线l与圆C的位置关系是( ) 3.一几何体的三视图如下图,那么该几何体的体积为( )A.200 +9πB.200 +18πC.140 +9πD.140 +18πl1经过两点( -1, -2),( -1,4),直线l2经过两点(2,1),(x,6),且l1∥l2,那么x = ( )A.2B. -2C.45.(2021·潍坊高一检测)直线x +ky =0,2x +3y +8 =0和x -y -1 =0交于一点,那么k的值是( )A.6.(2021·郑州高一检测)圆:x2 +y2 -4x +6y =0和圆:x2 +y2 -6x =0交于A,B两点,那么AB的垂直平分线的方程是( )A.x +y +3 =0B.2x -y -5 =0C.3x -y -9 =0D.4x -3y +7 =07.过点P(2,2)的直线与圆(x -1)2 +y2 =5相切,且与直线ax -y +1 =0垂直,那么a =( )D.它的内接正方体的体积为V2,以下说法中最|适宜的是1,( )V2大约多一半1比V2大约多两倍半1比V2大约多一倍1比V2大约多一倍半1比9.如图,在四面体ABCD中,E,F分别是AC与BD的中点,假设CD =2AB =4,EF⊥BA,那么EF与CD所成的角为( )°°°°α,β为不重合的平面,m,n为不重合的直线,那么以下命题正确的选项是( ) α⊥β,α∩β =n,m⊥n,那么m⊥α⊂α,n⊂β,m∥n,那么α∥β∥α,n∥β,m⊥n,那么α⊥β⊥α,n⊥β,m⊥β,那么m⊥α11.(2021·全国卷Ⅱ)三点A(1,0),B(0,),C(2,),那么△ABC外接圆的圆心到原点的距离为( )A. B. C. D.12.(2021·聊城高一检测)过点(3,1)作圆(x -1)2 +y2 =1的两条切线,切点分别为A,B,那么直线AB的方程为( )A.2x +y -3 =0B.2x -y -3 =0C.4x -y -3 =0D.4x +y -3 =0二、填空题(本大题共4个小题,每题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)2 +(y +1)2 =3绕直线kx -y -1 =0旋转一周所得的几何体的外表积为.14.设a,b,c是空间的三条直线,下面给出四个命题:①假设a⊥b,b⊥c,那么a∥c;②假设a,b是异面直线,b,c是异面直线,那么a,c也是异面直线;③假设a和b相交,b和c相交,那么a和c也相交;④假设a和b共面,b和c共面,那么a和c也共面.其中真命题的个数是.15.(2021·大庆高一检测)如图,将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC 折起,使得平面ADC⊥平面ABC,在折起后形成的三棱锥D -ABC中,给出以下三种说法:①△DBC是等边三角形;②AC⊥BD;③三棱锥D -ABC的体积是.其中正确的序号是(写出所有正确说法的序号).16.(2021·杭州高一检测)直线l经过点P( -4, -3),且被圆(x +1)2 +(y +2)2 =25截得的弦长为8,那么直线l的方程是.三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)有一块扇形铁皮OAB,∠AOB =60°,OA =72cm,要剪下来一个扇环形ABCD,作圆台容器的侧面,并且在余下的扇形OCD内能剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台容器的下底面(大底面).试求:(1)AD应取多长?(2)容器的容积为多大?18.(12分)(2021·兰州高一检测)△ABC的顶点A为(3, -1),AB边上的中线所在直线方程为6x +10y -59 =0,∠B的平分线所在直线方程为x -4y +10 =0,求BC边所在直线的方程.19.(12分)(2021·郑州高一检测)圆的半径为,圆心在直线y =2x上,圆被直线x -y =0截得的弦长为4,求圆的方程.20.(12分)(2021·北京高一检测)某几何体的三视图如下图,P是正方形ABCD对角线的交点,G是PB的中点.(1)根据三视图,画出该几何体的直观图.(2)在直观图中,①证明:PD∥平面AGC;②证明:平面PBD⊥平面AGC.21.(12分)如图,四棱锥P -ABCD的底面为正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E,F,H分别为AB,PC,BC的中点.(1)求证:EF∥平面PAD.(2)求证:平面PAH⊥平面DEF.22.(12分)(2021·长春高一检测)点(0,1),(3 +2,0),(3 -2,0)在圆C上.(1)求圆C的方程.(2)假设圆C与直线x -y +a =0交于A,B两点,且OA⊥OB,求a的值.答案解析1.A 设该长方体的外接球半径为R,那么4R2 =32 +42 +52,即R =,故S球 =4πR2 =50π.2.C 因为直线l过点P(,1),而点P在圆C:x2 +y2 =4上,故直线l和圆相交或相切.3.A 由三视图可知该几何体上面是一个半圆柱,下面是一个长方体,因此该几何体的体积为V =·π·32×2 +10×4×5 =200 +9π.【补偿训练】(2021·辽宁高|考)某几何体的三视图如下图,那么该几何体的体积为( )ππ【解题指南】结合三视图的特点可知,该几何体是由一个正方体在相对的两个角上各割去四分之一个圆柱后剩下的.B 截得该几何体的原正方体的体积为2×2×2 =8;截去的圆柱(局部)底面半径为1,母线长为2,截去的两局部体积为(π×12×2)×2 =π,故该几何体的体积为8 -π.4.A 因为直线l1经过两点( -1, -2),( -1,4),所以直线l1的倾斜角为. 而l1∥l2,所以,直线l2的倾斜角也为,又直线l2经过两点(2,1),(x,6),所以,x =2.5.【解题指南】将直线2x +3y +8 =0与x -y -1 =0的交点坐标代入直线x +ky =0,即可求出k的值.B 解方程组得那么点( -1, -2)在直线x +ky =0上,得k = -.6.C AB的垂直平分线即是两圆连心线所在的直线,两圆的圆心为(2, -3),(3,0),那么所求直线的方程为 =,即3x -y -9 =0.7.【解题指南】根据圆的切线的性质确定切线的斜率,再由两直线垂直求a的值.C 因为点P(2,2)为圆(x -1)2 +y2 =5上的点,由圆的切线性质可知,圆心(1,0)与点P(2,2)的连线与过点P(2,2)的切线垂直.因为圆心(1,0)与点P(2,2)的连线的斜率k =2,故过点P(2,2)的切线斜率为 -,所以直线ax -y +1 =0的斜率为2,因此a =2.8.D 设正方体的棱长为a,那么正方体的体积为V2 =a3,那么球半径为a,球体积V1 =πa3,那么V1 -V2 =πa3 -a3 =a3≈3.9.D 取BC的中点H,连接EH,FH,那么∠EFH为所求,可证△EFH为直角三角形,EH⊥EF,FH =2,EH =1,从而可得∠EFH =30°.10.D 选项A的条件中加上m⊂β,那么命题就是正确的,也就是面面垂直的性质定理.选项B错误,容易知道两个平面内分别有一条直线平行,那么这两个平面可能相交也可能平行.选项C错误,因为两个平面各有一条与其平行的直线,如果这两条直线垂直,并不能保证这两个平面垂直.选项D正确,由n⊥α,n⊥β,可得α∥β,又因为m⊥β,所以m⊥α.11.B 圆心在直线BC的垂直平分线即x =1上,设圆心D(1,b),由DA =DB得|b| =,解得b =,所以圆心到原点的距离为d = =.12.A 根据平面几何知识,直线AB一定与点(3,1),(1,0)的连线垂直,这两点连线的斜率为,故直线AB的斜率一定是 -2,只有选项A中直线的斜率为 -2.13.【解析】由题意,圆心为(0, -1),又直线kx -y -1 =0恒过点(0, -1),所以旋转一周所得的几何体为球,球心即为圆心,球的半径即是圆的半径,所以S =4π()2 =12π.答案:12π14.【解析】因为a⊥b,b⊥c,所以a与c可能相交、平行、异面,故①错.因为a,b异面,b,c异面,那么a,c可能异面、相交、平行,故②错.由a,b相交,b,c相交,那么a,c可能异面、相交、平行,故③错.同理④错,故真命题个数为0.答案:015.【解析】取AC的中点E,连接DE,BE,那么DE⊥AC,BE⊥AC,且DE⊥BE.又DE =EC =BE,所以DC =DB =BC,故△DBC是等边三角形.又AC⊥平面BDE,故AC⊥BD.又V D -ABC =S△ABC·DE =××1×1× =,故③错误.答案:①②16.【解析】因为( -4 +1)2 +( -3 +2)2 =10<25,l的斜率不存在时,l的方程为x = -4,将x = -4代入圆的方程,得y =2或y = -6.l的斜率存在时,设l的方程为y +3 =k(x +4),即kx -y +4k -3 =0,当弦长为8时,圆心到直线的距离为 =3,那么 =3, 解得k = -.那么直线l的方程为y +3 = -(x +4),即4x +3y +25 =0. 答案:4x +3y +25 =0或x = -4【补偿训练】假设点P(1,1)为圆(x -3)2 +y2 =9的弦MN的中点,那么弦MN所在直线的方程为.【解析】由题意知,圆心坐标为C(3,0),那么k PC= -,由于MN与PC垂直,故MN的斜率为k =2,故弦MN所在的直线方程为y -1 =2(x -1),即2x -y -1 =0.答案:2x -y -1 =017.【解析】(1)如图,设圆台上、下底面半径分别为r,R,AD =xcm,那么OD =(72 -x)cm.由题意得所以R =12,r =6,x =36,所以AD =36cm.(2)圆台所在圆锥的高H = =12,圆台的高h = =6,小圆锥的高h' =6,所以V容 =V大锥 -V小锥 =πR2H -πr2h'=504π.18.【解析】设B(4y1 -10,y1),由AB中点在6x +10y -59 =0上,可得:6· +10· -59 =0,y1 =5,所以B(10,5).设A点关于x -4y +10 =0的对称点为A'(x',y'), 那么有⇒A'(1,7),因为点A'(1,7),B(10,5)在直线BC上,所以 =,故BC边所在直线的方程为2x +9y -65 =0.19.【解析】设圆的方程是(x -a)2 +(y -b)2 =10. 因为圆心在直线y =2x上,所以b =2a.①解方程组得2x2 -2(a +b)x +a2 +b2 -10 =0,所以x1 +x2 =a +b,x1·x2 =.由弦长公式得· =4, 化简得(a -b)2 =4.②解①②组成的方程组,得a =2,b =4,或a = -2,b = -4.故所求圆的方程是(x -2)2 +(y -4)2 =10,或(x +2)2 +(y +4)2 =10.20.【解析】(1)该几何体的直观图如下图.(2)如图,①连接AC,BD交于点O,连接OG,因为G为PB的中点,O为BD的中点,所以OG∥PD.又OG⊂平面AGC,PD⊄平面AGC,所以PD∥平面AGC.②连接PO,由三视图,PO⊥平面ABCD,所以AO⊥PO.又AO⊥BO,BO∩PO =O,所以AO⊥平面PBD.因为AO⊂平面AGC,所以平面PBD⊥平面AGC.21.【证明】(1)取CD中点N,连接FN,EN.因为在△CPD中,F,N为中点,所以FN∥PD.因为正方形ABCD中,E,N为中点,所以EN∥AD,因为EN⊂平面EFN,FN⊂平面EFN,EN∩FN =N,PD⊂平面PAD,AD⊂平面PAD,PD∩AD =D,所以平面EFN∥平面PAD,因为EF⊂平面EFN,所以EF∥平面PAD.(2)因为侧面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,侧面PAD∩底面ABCD =AD,所以PA⊥底面ABCD,因为DE⊂底面ABCD,所以DE⊥PA,因为E,H分别为正方形ABCD边AB,BC的中点,所以Rt△ABH≌Rt△DAE,那么∠BAH =∠ADE,所以∠BAH +∠AED =90°,那么DE⊥AH,因为PA⊂平面PAH,AH⊂平面PAH,PA∩AH =A,所以DE⊥平面PAH,因为DE⊂平面EFD,所以平面PAH⊥平面DEF.22.【解析】(1)由题意可设圆C的圆心为(3,t),那么有32 +(t -1)2 =(2)2 +t2,解得t =1.那么圆C的圆心为(3,1),半径长为 =3.所以圆C的方程为(x -3)2 +(y -1)2 =9.(2)由消去y,得2x2 +(2a -8)x +a2 -2a +1 =0,此时判别式Δ =56 -16a -4a2.设A(x1,y1),B(x2,y2),那么有①由于OA⊥OB,可得x1x2 +y1y2 =0,又y1 =x1 +a,y2 =x2 +a,所以2x1x2 +a(x1 +x2) +a2 =0,②由①②得a = -1,满足Δ>0,故a = -1.。

2019_2020学年新教材高中数学单元质量测评(含解析)新人教B版必修第二册

第四章指数、对数函数与幂函数单元质量测评本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数y ＝log 12(3x －2)的定义域是( )A ．[1，＋∞)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤23，1 答案 D解析若使函数有意义，则必有log 12 (3x －2)≥0,3x －2>0，即0<3x －2≤1⇒23<x ≤1.故选D.2．下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的奇函数是( ) A ．y ＝x －12B ．y ＝x 4C ．y ＝x －3D ．y ＝x 13答案 D解析函数过点(0,0)，排除A ，C ；函数为奇函数，排除B ，故选D. 3．已知a >0且a ≠1，下列四组函数中表示相等函数的是( ) A ．y ＝log a x 与y ＝(log x a )－1B ．y ＝alog ax与y ＝xC ．y ＝2x 与y ＝log a a 2xD ．y ＝log a x 2与y ＝2log a x 答案 C解析选项A 中函数y ＝log a x 的定义域为(0，＋∞)，函数y ＝(log x a )－1的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)，故不选；选项B 中函数y ＝alog ax的定义域为(0，＋∞)，函数y ＝x 的定义域为R ，故不选；选项C 中，函数y ＝2x 的定义域为R ，函数y ＝log a a 2x可化为y ＝2x ，且定义域也为R ，选C ；选项D 中函数y ＝log a x 2的定义域为{x |x ≠0}，函数y ＝2log a x 的定义域为(0，＋∞)，故不选，所以本题应选C.4．函数f (x )＝x 3－1在区间[1，m ]上的平均变化率为7，则m 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 A解析根据题意，函数f (x )＝x 3－1在区间[1，m ]上的平均变化率为Δf Δx ＝(m 3－1)－(13－1)m －1＝m 2＋m ＋1，则有m 2＋m ＋1＝7，即m 2＋m －6＝0，解得m ＝－3或m ＝2，又由m >1，则m ＝2.故选A.5．已知f (x n)＝ln x ，则f (2)的值是( ) A ．ln 2 B.1nln 2C.12ln 2 D ．2ln 2答案 B解析令x n＝2，则x ＝21n ，∴f (2)＝ln 21n ＝1nln 2.6．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a bx 的图像可能是下图中的( )答案 C解析由选项知0<a b <1，则－b 2a <－12.故选C. 7．函数f (x )＝1x－ln x 的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 B解析如图，在同一坐标系中作出y ＝1x与y ＝ln x 的图像，由图像可知f (x )＝1x－ln x 只有一个零点．8．设9a ＝4b＝6，则1a ＋1b＝( )A ．2B ．log 65C ．log 56 D.56答案 A解析由9a ＝4b＝6，得a ＝log 96，b ＝log 46，所以1a ＋1b ＝1log 96＋1log 46＝log 69＋log 64＝log 636＝2.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0＜x ≤10，－12x ＋6，x ＞10.若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是( )A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24) 答案 C解析设a ＜b ＜c ，由f (a )＝f (b )＝f (c )，得|lg a |＝|lg b |.∵a ，b ，c 互不相等，∴lg a ＝－lg b . ∴ab ＝1.作出函数f (x )的图像如图所示，由图像可知10＜c ＜12，∴10＜abc ＜12.10．下列函数中，随着x 的增长，增长速度最快的是( ) A ．y ＝50 B ．y ＝1000xC ．y ＝0.4·2x －1D ．y ＝11000e x答案 D解析指数函数y ＝a x在a >1时呈爆炸式增长，而且底数a 越大，增长速度越快．故选D.11．设函数f (x )＝ln (1＋x )－ln (1－x )，则f (x )是( ) A ．奇函数，且在(0,1)上是增函数 B ．奇函数，且在(0,1)上是减函数 C ．偶函数，且在(0,1)上是增函数 D ．偶函数，且在(0,1)上是减函数答案 A解析函数f (x )的定义域为(－1,1)，f (－x )＝ln (1－x )－ln (1＋x )＝－f (x )，故f (x )为奇函数．当0＜x ＜1时，y ＝ln (1＋x )是增函数，y ＝ln (1－x )是减函数，故f (x )＝ln (1＋x )－ln (1－x )在(0,1)上是增函数．故选A.12．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x，x ≥1，则满足f [f (a )]＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1B ．[0,1] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．[1，＋∞)答案 C解析因为y ＝2x与y ＝3x －1在(－∞，1)上没有公共点，故由f [f (a )]＝2f (a )可得f (a )≥1，故有⎩⎪⎨⎪⎧a ＜1，3a －1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，2a≥1，解得a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞.故选C.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．若a ＝log 43，则2a＋2－a＝________. 答案433解析由a ＝log 43得4a＝3⇒2a＝3，则2a＋2－a＝3＋13＝433. 14．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________．答案 (1,2]解析当x ≤2时，y ＝－x ＋6≥4，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧3＋log a 2≥4，a ＞1，解得1＜a ≤2，即实数a 的取值范围是(1,2]．15．有以下结论：①函数y ＝log 2(1－x )的增区间是(－∞，1)；②若幂函数y ＝f (x )的图像经过点(2，2)，则该函数为偶函数；③函数y ＝3|x |的值域是[1，＋∞)．其中正确结论的序号是________(把所有正确结论的序号都填上)．答案 ③解析 ①中令u ＝1－x ，则y ＝log 2u ，根据复合函数的单调性可判断①错误；②∵2＝2α，∴α＝12，∴y ＝x 12，x ∈[0，＋∞)，不具有奇偶性，故②错误； ③中|x |≥0， ∴3|x |≥1，∴y ＝3|x |的值域为[1，＋∞)，故③正确．16．已知y ＝log 4(－ax ＋3)在[0,1]上是关于x 的减函数，则实数a 的取值范围是________．答案 (0,3)解析 ⎩⎪⎨⎪⎧－a <0，－a ＋3>0⇒0<a <3.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设0<x <1，a >0且a ≠1.试比较|log a (1－x )|与|log a (1＋x )|的大小．解|log a (1－x )||log a (1＋x )|＝|log (1＋x )(1－x )|，∵0<x <1，∴0<1－x <1,1<1＋x <2,0<1－x 2<1， ∴|log (1＋x )(1－x )|＝－log (1＋x )(1－x ) ＝log (1＋x )11－x ＝log (1＋x )1＋x1－x 2>log (1＋x )(1＋x )＝1.∴|log a (1－x )|>|log a (1＋x )|.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝3x，且f (a )＝2，g (x )＝3ax－4x. (1)求g (x )的解析式；(2)当x ∈[－2,1]时，求g (x )的值域．解 (1)由f (a )＝2，得3a＝2，a ＝log 32， ∴g (x )＝(3a )x－4x＝(3log 32)x－4x＝2x－4x＝－(2x )2＋2x.∴g (x )＝－(2x )2＋2x.(2)设2x＝t ，∵x ∈[－2,1]，∴14≤t ≤2.g (t )＝－t 2＋t ＝－⎝⎛⎭⎪⎫t －122＋14，由g (t )在t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，2上的图像可得，当t ＝12，即x ＝－1时，g (x )有最大值14；当t ＝2，即x ＝1时，g (x )有最小值－2. 故g (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，14.19．(本小题满分12分)定义在(－∞，＋∞)上的任意函数f (x )都可以表示成一个奇函数g (x )和一个偶函数h (x )的和，如果f (x )＝lg (10x ＋1)，x ∈R ，求g (x )和h (x )．解由已知f (x )＝g (x )＋h (x )，且f (－x )＝g (－x )＋h (－x )，又g (x )是奇函数，h (x )是偶函数， ∴g (x )＝－g (－x )，h (－x )＝h (x )． ∴⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＝g (x )＋h (x )，f (－x )＝－g (x )＋h (x ).∴g (x )＝12[f (x )－f (－x )]＝12lg 10x＋110－x ＋1＝x2，h (x )＝12[f (x )＋f (－x )]＝12[lg (10x ＋1)＋lg (10－x＋1)] ＝12lg (10x＋1)210x＝lg (1＋10x )－x 2. 20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0且a ≠1)． (1)求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的最小值为－2，求实数a 的值．解 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，3－x >0.解得－1<x <3.∴函数f (x )的定义域为(－1,3)．(2)∵f (x )＝log a [(1＋x )(3－x )]＝log a (－x 2＋2x ＋3)＝log a [－(x －1)2＋4]，若0<a <1，则当x ＝1时，f (x )有最小值log a 4， ∴log a 4＝－2，a －2＝4，又0<a <1，∴a ＝12.若a >1，则当x ＝1时，f (x )有最大值log a 4，f (x )无最小值．综上可知，a ＝12.21．(本小题满分12分)某企业拟共用10万元投资甲、乙两种商品．已知各投入x 万元时，甲、乙两种商品可分别获得y 1，y 2万元的利润，利润曲线P 1：y 1＝ax n，P 2：y 2＝bx ＋c ，如图所示．(1)求函数y 1，y 2的解析式；(2)为使投资获得最大利润，应怎样分配投资额？解 (1)由图知P 1：y 1＝ax n过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，54，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，52，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 54＝a ·1n ，52＝a ·4n，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝54，n ＝12，∴y 1＝54x 12，x ∈[0，＋∞)．P 2：y 2＝bx ＋c 过点(0,0)，(4,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝0＋c ，1＝4b ＋c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，b ＝14，∴y 2＝14x ，x ∈[0，＋∞)．(2)设用x 万元投资甲商品，那么投资乙商品为(10－x )万元，总利润为y 万元．则y ＝54x ＋14(10－x )＝－14x ＋54x ＋52＝－14⎝⎛⎭⎪⎫x －522＋6516(0≤x ≤10)，当且仅当x ＝52，即x ＝254＝6.25时，y max ＝6516，此时投资乙商品为10－x ＝10－6.25＝3.75万元，故用6.25万元投资甲商品，3.75万元投资乙商品，才能获得最大利润．22．(本小题满分12分)f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (x )在(－1,0)上的解析式； (2)证明：f (x )在(0,1)上是减函数．解 (1)设x ∈(－1,0)，则－x ∈(0,1)，则f (－x )＝2－x 4－x ＋1＝2x4x ＋1.由f (x )是奇函数，知－f (x )＝2x4x ＋1.即f (x )＝－2x4x ＋1.故当x ∈(－1,0)时，f (x )＝－2x4x ＋1.。

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模块质量评估（B卷）(第一至第四章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1.若长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为3,4,5,则该长方体的外接球表面积为( )A.50πB.100πC.150πD.200π2.已知直线l过点P(,1),圆C:x2+y2=4,则直线l与圆C的位置关系是( )A.相交B.相切C.相交或相切D.相离3.一几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.200+9πB.200+18πC.140+9πD.140+18π4.已知直线l1经过两点(-1,-2),(-1,4),直线l2经过两点(2,1),(x,6),且l1∥l2,则x= ( )A.2B.-2C.4D.15.(2016·潍坊高一检测)直线x+ky=0,2x+3y+8=0和x-y-1=0交于一点,则k的值是( )A. B.- C.2 D.-26.(2016·郑州高一检测)圆:x2+y2-4x+6y=0和圆:x2+y2-6x=0交于A,B两点,则AB的垂直平分线的方程是( )A.x+y+3=0B.2x-y-5=0C.3x-y-9=0D.4x-3y+7=07.已知过点P(2,2)的直线与圆(x-1)2+y2=5相切,且与直线ax-y+1=0垂直,则a=( )A.-B.1C.2D.8.设球的体积为V1,它的内接正方体的体积为V2,下列说法中最合适的是( )A.V1比V2大约多一半B.V1比V2大约多两倍半C.V1比V2大约多一倍D.V1比V2大约多一倍半9.如图,在四面体ABCD中,E,F分别是AC与BD的中点,若CD=2AB=4,EF ⊥BA,则EF与CD所成的角为( )A.90°B.45°C.60°D.30°10.设α,β为不重合的平面,m,n为不重合的直线,则下列命题正确的是( )A.若α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则m⊥αB.若m⊂α,n⊂β,m∥n,则α∥βC.若m∥α,n∥β,m⊥n,则α⊥βD.若n⊥α,n⊥β,m⊥β,则m⊥α11.(2015·全国卷Ⅱ)已知三点A(1,0),B(0,),C(2,),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为( )A. B. C. D.12.(2016·聊城高一检测)过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为( )A.2x+y-3=0B.2x-y-3=0C.4x-y-3=0D.4x+y-3=0二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.圆x2+(y+1)2=3绕直线kx-y-1=0旋转一周所得的几何体的表面积为.14.设a,b,c是空间的三条直线,下面给出四个命题:①若a⊥b,b⊥c,则a∥c;②若a,b是异面直线,b,c是异面直线,则a,c也是异面直线;③若a和b相交,b和c相交,则a和c也相交;④若a和b共面,b和c共面,则a和c也共面.其中真命题的个数是.15.(2016·大庆高一检测)如图,将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC 折起,使得平面ADC⊥平面ABC,在折起后形成的三棱锥D-ABC中,给出下列三种说法:①△DBC是等边三角形;②AC⊥BD;③三棱锥D-ABC的体积是.其中正确的序号是(写出所有正确说法的序号).16.(2016·杭州高一检测)已知直线l经过点P(-4,-3),且被圆(x+1)2+(y+2)2=25截得的弦长为8,则直线l的方程是.三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)有一块扇形铁皮OAB,∠AOB=60°,OA=72cm,要剪下来一个扇环形ABCD,作圆台容器的侧面,并且在余下的扇形OCD内能剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台容器的下底面(大底面).试求:(1)AD应取多长?(2)容器的容积为多大?18.(12分)(2016·兰州高一检测)已知△ABC的顶点A为(3,-1),AB边上的中线所在直线方程为6x+10y-59=0,∠B的平分线所在直线方程为x-4y+10=0,求BC边所在直线的方程.19.(12分)(2015·郑州高一检测)已知圆的半径为,圆心在直线y=2x 上,圆被直线x-y=0截得的弦长为4,求圆的方程.20.(12分)(2016·北京高一检测)某几何体的三视图如图所示,P是正方形ABCD对角线的交点,G是PB的中点.(1)根据三视图,画出该几何体的直观图.(2)在直观图中,①证明:PD∥平面AGC;②证明:平面PBD⊥平面AGC.21.(12分)如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E,F,H分别为AB,PC,BC的中点.(1)求证:EF∥平面PAD.(2)求证:平面PAH⊥平面DEF.22.(12分)(2016·长春高一检测)已知点(0,1),(3+2,0),(3-2,0)在圆C上.(1)求圆C的方程.(2)若圆C与直线x-y+a=0交于A,B两点,且OA⊥OB,求a的值.答案解析1.A 设该长方体的外接球半径为R,则4R2=32+42+52,即R=,故S球=4πR2=50π.2.C 因为直线l过点P(,1),而点P在圆C:x2+y2=4上,故直线l和圆相交或相切.3.A 由三视图可知该几何体上面是一个半圆柱,下面是一个长方体,因此该几何体的体积为V=〃π〃32×2+10×4×5=200+9π.【补偿训练】(2014〃辽宁高考)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.8-2πB.8-πC.8-D.8-【解题指南】结合三视图的特点可知,该几何体是由一个正方体在相对的两个角上各割去四分之一个圆柱后剩下的.B 截得该几何体的原正方体的体积为2×2×2=8;截去的圆柱(部分)底面半径为1,母线长为2,截去的两部分体积为(π×12×2)×2=π,故该几何体的体积为8-π.4.A 因为直线l1经过两点(-1,-2),(-1,4),所以直线l1的倾斜角为. 而l1∥l2,所以,直线l2的倾斜角也为,又直线l2经过两点(2,1),(x,6),所以,x=2.5.【解题指南】将直线2x+3y+8=0与x-y-1=0的交点坐标代入直线x+ky=0,即可求出k的值.B 解方程组得则点(-1,-2)在直线x+ky=0上,得k=-.6.C AB的垂直平分线即是两圆连心线所在的直线,两圆的圆心为(2,-3),(3,0),则所求直线的方程为=,即3x-y-9=0.7.【解题指南】根据圆的切线的性质确定切线的斜率,再由两直线垂直求a的值.C 因为点P(2,2)为圆(x-1)2+y2=5上的点,由圆的切线性质可知,圆心(1,0)与点P(2,2)的连线与过点P(2,2)的切线垂直.因为圆心(1,0)与点P(2,2)的连线的斜率k=2,故过点P(2,2)的切线斜率为-,所以直线ax-y+1=0的斜率为2,因此a=2.8.D 设正方体的棱长为a,则正方体的体积为V2=a3,则球半径为a,球体积V1=πa3,则V1-V2=πa3-a3=a3≈1.72a3.9.D 取BC的中点H,连接EH,FH,则∠EFH为所求,可证△EFH为直角三角形,EH⊥EF,FH=2,EH=1,从而可得∠EFH=30°.10.D 选项A的已知条件中加上m⊂β,那么命题就是正确的,也就是面面垂直的性质定理.选项B错误,容易知道两个平面内分别有一条直线平行,那么这两个平面可能相交也可能平行.选项C错误,因为两个平面各有一条与其平行的直线,如果这两条直线垂直,并不能保证这两个平面垂直.选项D正确,由n⊥α,n⊥β,可得α∥β,又因为m⊥β,所以m⊥α.11.B 圆心在直线BC的垂直平分线即x=1上,设圆心D(1,b),由DA=DB得|b|=,解得b=,所以圆心到原点的距离为d==.12.A 根据平面几何知识,直线AB一定与点(3,1),(1,0)的连线垂直,这两点连线的斜率为,故直线AB的斜率一定是-2,只有选项A中直线的斜率为-2.13.【解析】由题意,圆心为(0,-1),又直线kx-y-1=0恒过点(0,-1),所以旋转一周所得的几何体为球,球心即为圆心,球的半径即是圆的半径, 所以S=4π()2=12π.答案:12π14.【解析】因为a⊥b,b⊥c,所以a与c可能相交、平行、异面,故①错.因为a,b异面,b,c异面,则a,c可能异面、相交、平行,故②错.由a,b相交,b,c相交,则a,c可能异面、相交、平行,故③错.同理④错,故真命题个数为0.答案:015.【解析】取AC的中点E,连接DE,BE,则DE⊥AC,BE⊥AC,且DE⊥BE.又DE=EC=BE,所以DC=DB=BC,故△DBC是等边三角形.又AC⊥平面BDE,故AC⊥BD.又V D-ABC=S△ABC〃DE=××1×1×=,故③错误.答案:①②16.【解析】因为(-4+1)2+(-3+2)2=10<25,所以点P在圆内.当l的斜率不存在时,l的方程为x=-4,将x=-4代入圆的方程,得y=2或y=-6.此时弦长为8.当l的斜率存在时,设l的方程为y+3=k(x+4),即kx-y+4k-3=0,当弦长为8时,圆心到直线的距离为=3,则=3,解得k=-.则直线l的方程为y+3=-(x+4),即4x+3y+25=0.答案:4x+3y+25=0或x=-4【补偿训练】若点P(1,1)为圆(x-3)2+y2=9的弦MN的中点,则弦MN所在直线的方程为.【解析】由题意知,圆心坐标为C(3,0),则k PC=-,由于MN与PC垂直,故MN的斜率为k=2,故弦MN所在的直线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0. 答案:2x-y-1=017.【解析】(1)如图,设圆台上、下底面半径分别为r,R,AD=xcm,则OD=(72-x)cm.由题意得所以R=12,r=6,x=36,所以AD=36cm.(2)圆台所在圆锥的高H==12,圆台的高h==6,小圆锥的高h'=6,所以V容=V大锥-V小锥=πR2H-πr2h'=504π.18.【解析】设B(4y1-10,y1),由AB中点在6x+10y-59=0上,可得:6〃+10〃-59=0,y1=5,所以B(10,5).设A点关于x-4y+10=0的对称点为A'(x',y'), 则有⇒A'(1,7),因为点A'(1,7),B(10,5)在直线BC上,所以=,故BC边所在直线的方程为2x+9y-65=0.19.【解析】设圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=10. 因为圆心在直线y=2x上,所以b=2a.①解方程组得2x2-2(a+b)x+a2+b2-10=0,所以x1+x2=a+b,x1〃x2=.由弦长公式得〃=4, 化简得(a-b)2=4.②解①②组成的方程组,得a=2,b=4,或a=-2,b=-4.故所求圆的方程是(x-2)2+(y-4)2=10,或(x+2)2+(y+4)2=10.20.【解析】(1)该几何体的直观图如图所示.(2)如图,①连接AC,BD交于点O,连接OG,因为G为PB的中点,O为BD的中点,所以OG∥PD.又OG⊂平面AGC,PD⊄平面AGC,所以PD∥平面AGC.②连接PO,由三视图,PO⊥平面ABCD,所以AO⊥PO.又AO⊥BO,BO∩PO=O,所以AO⊥平面PBD.因为AO⊂平面AGC,所以平面PBD⊥平面AGC.21.【证明】(1)取CD中点N,连接FN,EN.因为在△CPD中,F,N为中点,所以FN∥PD.因为正方形ABCD中,E,N为中点,所以EN∥AD,因为EN⊂平面EFN,FN⊂平面EFN,EN∩FN=N,PD⊂平面PAD,AD⊂平面PAD,PD∩AD=D,所以平面EFN∥平面PAD,因为EF⊂平面EFN,所以EF∥平面PAD.(2)因为侧面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,侧面PAD∩底面ABCD=AD,所以PA⊥底面ABCD,因为DE⊂底面ABCD,所以DE⊥PA,因为E,H分别为正方形ABCD边AB,BC的中点,所以Rt△ABH≌Rt△DAE,则∠BAH=∠ADE,所以∠BAH+∠AED=90°,则DE⊥AH,因为PA⊂平面PAH,AH⊂平面PAH,PA∩AH=A,所以DE⊥平面PAH,因为DE⊂平面EFD,所以平面PAH⊥平面DEF.22.【解析】(1)由题意可设圆C的圆心为(3,t),则有32+(t-1)2=(2)2+t2,解得t=1.则圆C的圆心为(3,1),半径长为=3.所以圆C的方程为(x-3)2+(y-1)2=9.(2)由消去y,得2x2+(2a-8)x+a2-2a+1=0,此时判别式Δ=56-16a-4a2.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有①由于OA⊥OB,可得x1x2+y1y2=0,又y1=x1+a,y2=x2+a,所以2x1x2+a(x1+x2)+a2=0,②由①②得a=-1,满足Δ>0,故a=-1.关闭Word文档返回原板块。