高三复习极坐标系ppt
合集下载
人教版高中数学选修极坐标系课件ppt课件
O
一般地，不作特殊说明时，我们认为≥0， 可取任意实数
例1：说出下图中各点的极坐标，并找到点
2
3
2
4
3
2
3
4
5 6
M
6
C
E
D
B
P
A
O
X
7
6 5
4
N
1 1
F
G
Hale Waihona Puke 7 645 4
3
3
例2.建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标。
解：以A为极点，AB所在的射线为极轴
P O
练习：写出点
答：（－6，
+π）（6的，负）6 极或径（的－极6，坐－标
6
+1π1 ） 6
特别强调：一般情况下（若不作特别说明时），认为 ≥ 0 因为负极径只在极少数情况用。
A(3, 0题)组二：在B极(6坐, 2标系)里描出下C列(3各, 点 )
2
4
D(5, ) 3
5
E(3, ) 6
极坐标系
(ρ,θ) (ρ,θ)
(ρ,θ)
回顾：
直角坐标系
Y
y
·M
O
x
目标在哪？
在以…为X轴 以…为Y轴，
坐标是...
算的太慢了！
你能确定巨响发生的位置吗？
从这向北 2000米。
请问：去?? 中学怎么走？
请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？
从这向北走2000米！
出发点
方向
距离
在生活中，这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思 想，就是极坐标的基本思想。
[4]一般地，我们都用在
极坐标系课件
写出下列各点的直角坐标，并判断所表示的点在第几象限．
(1)2，43π；(2)2，23π；(3)2，－π3；(4)(2，－2)．
【思路探究】
点的极坐标(ρ，θ)―→xy＝ ＝ρρcsions
θ θ
―→点的直角坐标(x，y)―→
判定点所在象限．
【自主解答】
(1) 由 题 意 知
x
＝
2cos
4π 3
＝
2×
【答案】 B
【自主解答】 (1)∵ρ＝ x2＋y2＝ －22＋2 32＝4， tan θ＝yx＝－ 3，θ∈[0,2π)， 由于点(－2,2 3)在第二象限， ∴θ＝23π， ∴点的直角坐标(－2,2 3)化为极坐标为4，23π.
(2)∵ρ＝ x2＋y2＝ 62＋－ 22＝2 2，
tan θ＝yx＝－ 33，θ∈[0,2π)，
极坐标 探究 1 如图 1-2-2 是某校园的平面示意图．假 设某同学在教学楼处，请回答下列问题： ①他向东偏北 60°方向走 120 m 后到达什么位 置？该位置惟一确定吗？ ②如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应 如何描述？
图 1-2-2
【提示】 以 A 为基点，射线 AB 为参照方向，利用与 A 的距离、与 AB 所 成的角，就可以刻画平面上点的位置．①到达图书馆，该位置惟一确定；②体 育馆在正东方向 60 m 处，办公楼在西北方向 50 m 处．
[再练一题] 2．已知下列各点的直角坐标，求它们的极坐标： (1)A(3， 3)；(2)B(－2，－2 3); (3)C(0，－2)；(4)D(3,0)．
【解】 (1)由题意可知：ρ＝ 32＋ 32＝2 3，
tan θ＝ 33，
所以
θ＝π6，所以点
A
人教版高中数学选修4-4 第一讲 坐标系 二 极坐标系 (共34张PPT)教育课件
A. y 1
sin t
1
x t2
C.
1
yt 2
x cos t
B. y 1
cos t
x tan t
D. y 1
tan t
7.极坐标方程
2
arcsin化(为 直0)角坐标方程的形
式是 （ ）
A. x2 y2 x 0
B．y x(1 x)
C. 2x 1 4y2 1 D.．y (x 1)
2.极坐标（,）与(ρ，2kπ+θ)( k )表z 示 同一个点.即一点的极坐标的统一的表达式 为(ρ，2kπ+θ)
3.如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除 极 点外,平面内的点和极坐标就可以一一对 应了。
我们学了直角坐标,也学了极坐 标，那么这两种坐标有什么关系呢? 已知点的直角坐标为,如何用极坐标 表示这个点呢?
M (, )
0
x
2
4
5
6
C
1.如图，在极坐标系中，写出点 AF(,6B, ,4C3 ,)D的, G极(坐5, 标53，所) 并在标的出位E置( 72 , ) ,
E D BA
O
X
4 F
3
G 5
3
解：如图可得A,B,C,D的坐标分别为
(4,0)
(2, )
(3, )
(1, 5 )
4
2
6
点E,F,G的位置如图所示
1
4.极坐标方程ρ=cosθ与ρcosθ= 的2 图形是（ ） B
A
B
C
D
解x=：12把，ρc故os排θ=除A，、12 化D；为又直圆角ρ坐=c程os，θ显得然: 过点 (0,1)，又排除C，故选B。
5、若A、B的两点极坐标为A(4,
高三数学一轮复习课件坐标系与参数方程ppt.ppt
5．(2012·江西模拟)在极坐标系中，圆 ρ＝4cos θ 的圆心 C 到
直线 ρsinθ＋π4＝2 2的距离为________．
解析：注意到圆 ρ＝4cos θ 的直角坐标方程是 x2＋y2
＝4x，圆心 C 的坐标是(2,0)．直线 ρsinθ＋π4＝2 2的
直角坐标方程是 x＋y－4＝0，因此圆心(2,0)到该直线
(1)在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，
分别写出圆 C1，C2 的极坐标方程，并求出圆 C1，C2 的交点 坐标(用极坐标表示)；
(2)求圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程．
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
其普通方程为 x2＋y2＝2y，
ρcos θ＝－1 的普通方程为 x＝－1，
联立xx2＝＋－y21＝，2y， 解得xy＝＝1－，1，
故交点(－1,1)的极坐标为
2，34π.
答案：
2，34π
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
[自主解答] (1)圆 C1 的极坐标方程为 ρ＝2， 圆 C2 的极坐标方程 ρ＝4cos θ. 解ρρ＝ ＝24，cos θ 得 ρ＝2，θ＝±π3， 故圆 C1 与圆 C2 交点的坐标为2，π3，2，－π3. 注：极坐标系下点的表示不惟一．
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
的距离等于|2＋0－4|＝ 2
2.
极坐标系 课件
所以 θ＝34π，所以直角坐标(－2,2)化为极坐标为2 2，34π.
(2)ρ＝ 22＋－2 32＝4，tan θ＝－22 3＝－ 3， θ∈[0,2π)，由于点(2，－2 3)
在第四象限，所以 θ＝53π，所以直角坐标(2，－2 3)化为极坐标为4，53π.
(3)ρ ＝
－ 23π2＋－32π2 ＝
【例题 2】 写出下列各点的直角坐标．
(1)4，23π；(2)2，56π；(3)4，－π3.
思维导引：由公式yx＝＝ρρscions
θ， θ
结合点的极坐标(ρ，θ)求解．
解析：(1)由x＝4cos23π＝4×－12＝－2， y＝4sin23π＝4× 23＝2 3，
得4，23π的直角坐标为(－2,2 3)．
(2)由x＝2cos56π＝2×－ 23＝－ 3， y＝2sin56π＝2×12＝1，
得2，56π的直角坐标为(－ 3，1)． (3)由yx＝＝44scions－－π3π3＝＝44××12－＝223，＝－2 3， 得4，－π3的直角坐标为(2，－2 3)．
•考点三 将点的直角坐标化为极坐标
• (1)牢记将直角坐标化为极坐标的公式； • (2)注意极径和极角的取值范围．
1＋4－4×cosπ3＝ 3.
【例题 3】 分别将下列各点的直角坐标化为极坐标(限定 ρ≥0，0≤θ<2π)． (1)(－2,2)；(2)(2，－2 3)；(3)－ 23π，－32π.
借助ρ＝ x2＋y2求ρ 思维导引：由已知―由―t―an―θ―＝―yx―x≠―0―求―θ→转化为极坐标． 解析：(1)ρ＝ －22＋22＝2 2，tan θ＝－22＝－1，θ∈[0,2π)，由于点(－2,2)在第 二象限，
【例题 1】 在极坐标系中，设点 A4，π6，直线 l 为过极点且垂直于极轴的直线，
(2)ρ＝ 22＋－2 32＝4，tan θ＝－22 3＝－ 3， θ∈[0,2π)，由于点(2，－2 3)
在第四象限，所以 θ＝53π，所以直角坐标(2，－2 3)化为极坐标为4，53π.
(3)ρ ＝
－ 23π2＋－32π2 ＝
【例题 2】 写出下列各点的直角坐标．
(1)4，23π；(2)2，56π；(3)4，－π3.
思维导引：由公式yx＝＝ρρscions
θ， θ
结合点的极坐标(ρ，θ)求解．
解析：(1)由x＝4cos23π＝4×－12＝－2， y＝4sin23π＝4× 23＝2 3，
得4，23π的直角坐标为(－2,2 3)．
(2)由x＝2cos56π＝2×－ 23＝－ 3， y＝2sin56π＝2×12＝1，
得2，56π的直角坐标为(－ 3，1)． (3)由yx＝＝44scions－－π3π3＝＝44××12－＝223，＝－2 3， 得4，－π3的直角坐标为(2，－2 3)．
•考点三 将点的直角坐标化为极坐标
• (1)牢记将直角坐标化为极坐标的公式； • (2)注意极径和极角的取值范围．
1＋4－4×cosπ3＝ 3.
【例题 3】 分别将下列各点的直角坐标化为极坐标(限定 ρ≥0，0≤θ<2π)． (1)(－2,2)；(2)(2，－2 3)；(3)－ 23π，－32π.
借助ρ＝ x2＋y2求ρ 思维导引：由已知―由―t―an―θ―＝―yx―x≠―0―求―θ→转化为极坐标． 解析：(1)ρ＝ －22＋22＝2 2，tan θ＝－22＝－1，θ∈[0,2π)，由于点(－2,2)在第 二象限，
【例题 1】 在极坐标系中，设点 A4，π6，直线 l 为过极点且垂直于极轴的直线，
极坐标的知识点总结PPT
极坐标的知识点总结极坐标是一种描述平面上点的坐标系统，与直角坐标系相对应。
在极坐标中，点的位置由极径和极角表示，极径代表点到原点的距离，极角代表点与正半轴的夹角。
极坐标具有一些独特的性质和应用，下面将逐步介绍极坐标的基本概念、转换公式以及在数学和物理等领域的应用。
一、极坐标的基本概念 1. 极坐标系：极坐标系是由极轴和极角组成的坐标系，其中极轴是由原点O出发的射线，极角是由极轴和射线OP所夹的角度。
2. 极点和极径：极点是极坐标系的原点O，极径是点P到极点O的距离，用r表示。
3.极角：极角是由极轴和射线OP所夹的角度，通常用θ表示，取值范围为0到360度或0到2π弧度。
二、极坐标与直角坐标的转换公式 1. 极坐标到直角坐标的转换： - x = r * cosθ - y = r * sinθ 2. 直角坐标到极坐标的转换： - r = √(x^2 + y^2) - θ = arctan(y / x)三、极坐标的应用 1. 数学中的应用： - 极坐标方程：用极径和极角表示的方程，常用于描述曲线、圆和椭圆等几何图形。
- 极坐标下的微积分：在极坐标下，可以使用极坐标系的雅克比行列式来进行积分运算。
- 极坐标下的曲线积分：极坐标下的曲线积分可以简化对于弧长的计算，常用于求解环形路径上的物理量。
2. 物理中的应用： - 极坐标下的速度和加速度：利用极坐标转换公式，可以将速度和加速度从直角坐标系转换到极坐标系，从而更方便地描述物体的运动状态。
- 极坐标下的力和力矩：在某些情况下，使用极坐标可以更直观地描述物体受力和力矩的情况，尤其是涉及到旋转运动的问题。
总结：极坐标是一种用极径和极角表示点的坐标系统，可以简化某些数学和物理问题的描述和计算。
通过极坐标与直角坐标的转换公式，可以在不同坐标系之间进行转换。
在数学和物理等领域，极坐标具有广泛的应用，如曲线方程、微积分、曲线积分、运动学和动力学等。
了解和掌握极坐标的知识点有助于我们更好地理解和应用相关的数学和物理概念。
高考数学总复习 第十一章 第三节坐标系课件 理
∵ρ0cos θ＝4， ∴ρ＝3cos θ，即为所求的轨迹方程． (2)将ρ＝3cos θ化为直角坐标方程是x2＋y2＝3x，即
直角坐所x标－以方点32程P2＋的是轨yx2＝＝迹4是.32结以2合，图 32形,0易为得圆|R心P，|的半最径小为值为132的. 圆．直线l的
第二十五页，共35页。
考点
解析：抛物线 C 的顶点坐标是(1,2)．
依题意，使用的伸缩变换公式是
x′＝2x，
y′＝y，
所以顶点
(1,2)变为 C1 的顶点(2,2)，使用的平移变换公式是
x″＝x′＋2，
y″＝y′＋3，
所以 C1 的顶点(2,2)变为 C2 的顶点(4,5)．
第十六页，共35页。
考点
极坐标与直角坐标(zhí jiǎo zuò biāo)的互化
圆(x＋2)2＋(y－3)2＝4变为椭圆C，椭圆C的中心在原点，长轴
长为6，短轴长为4.求上述两个变换及这两个变换的合成变换．
思路(sīlù)点拨：先用平移变换把圆心变到原点，再用伸缩 变换把圆变为椭圆．
第十三页，共35页。
解析：用平移变换xy′′＝＝yx－＋32， 把圆(x＋2)2＋(y－3)2
，则曲线
解析：联立解方程组ρρc＝os4cθo＝s θ3， ρ≥0，0≤θ<π2，解
ρ＝2 3， 得θ＝π6，
即两曲线的交点为 2 3，π6.
答案：2 3，π6
第十二页，共35页。
考点探究
考点
平面(píngmiàn)直角坐标系中的伸缩变换
(kǎo diǎn)一【例1】 通过平面直角坐标系中的平移变换和伸缩变换把
α(ρ≥0)
ρcos θ＝a －π2≤θ＜π2
ρsin θ＝a(0＜θ＜π)
直角坐所x标－以方点32程P2＋的是轨yx2＝＝迹4是.32结以2合，图 32形,0易为得圆|R心P，|的半最径小为值为132的. 圆．直线l的
第二十五页，共35页。
考点
解析：抛物线 C 的顶点坐标是(1,2)．
依题意，使用的伸缩变换公式是
x′＝2x，
y′＝y，
所以顶点
(1,2)变为 C1 的顶点(2,2)，使用的平移变换公式是
x″＝x′＋2，
y″＝y′＋3，
所以 C1 的顶点(2,2)变为 C2 的顶点(4,5)．
第十六页，共35页。
考点
极坐标与直角坐标(zhí jiǎo zuò biāo)的互化
圆(x＋2)2＋(y－3)2＝4变为椭圆C，椭圆C的中心在原点，长轴
长为6，短轴长为4.求上述两个变换及这两个变换的合成变换．
思路(sīlù)点拨：先用平移变换把圆心变到原点，再用伸缩 变换把圆变为椭圆．
第十三页，共35页。
解析：用平移变换xy′′＝＝yx－＋32， 把圆(x＋2)2＋(y－3)2
，则曲线
解析：联立解方程组ρρc＝os4cθo＝s θ3， ρ≥0，0≤θ<π2，解
ρ＝2 3， 得θ＝π6，
即两曲线的交点为 2 3，π6.
答案：2 3，π6
第十二页，共35页。
考点探究
考点
平面(píngmiàn)直角坐标系中的伸缩变换
(kǎo diǎn)一【例1】 通过平面直角坐标系中的平移变换和伸缩变换把
α(ρ≥0)
ρcos θ＝a －π2≤θ＜π2
ρsin θ＝a(0＜θ＜π)
极坐标系 课件
4
3
(2)将下列各点的直角坐标化为极坐标(ρ>0,0≤θ<2π):
①( 3, 3); ②(−1, −1); ③(−3,0).
= cos,
分析:根据极坐标与直角坐标的互化公式
= sin
2 = 2 + 2 ,
及
进行求解.
tan = ( ≠ 0)
解:(1)设所求点的直角坐标为(x,y).
(0,0),可以在极坐标平面内确定唯一的一点,即极点,③正确;点M与
π
5π
4
4
点 N 的极角分别是 θ1= , 2 =
, 二者的终边互为反向延长线,④
错误;由于动点M(5,θ)(θ∈R)的极径ρ=5,极角是任意角,故点M的轨
迹是以极点O为圆心,以5为半径的圆,⑤正确.
答案:①③⑤
3.极坐标和直角坐标的互化
(1)互化的前提条件
①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合;②极轴与x轴
的正半轴重合;③在两种坐标系中取相同的长度单位.
(2)互化公式
= cos,
①极坐标化为直角坐标
= sin;
2 = 2 + 2 ,
②直角坐标化为极坐标
tan = ( ≠ 0).
名师点拨1.极坐标与直角坐标的互化,常用方法有代入法、平方
极角,记为θ.有序数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记为M(ρ,θ).
一般地,不作特殊说明时,我们认为ρ≥0,θ可取任意实数.
(2)一般地,极坐标(ρ,θ)与(ρ,θ+2kπ)(k∈Z)表示同一个点.特别地,
极点O的坐标为(0,θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐
标有无数种表示.
3
(2)将下列各点的直角坐标化为极坐标(ρ>0,0≤θ<2π):
①( 3, 3); ②(−1, −1); ③(−3,0).
= cos,
分析:根据极坐标与直角坐标的互化公式
= sin
2 = 2 + 2 ,
及
进行求解.
tan = ( ≠ 0)
解:(1)设所求点的直角坐标为(x,y).
(0,0),可以在极坐标平面内确定唯一的一点,即极点,③正确;点M与
π
5π
4
4
点 N 的极角分别是 θ1= , 2 =
, 二者的终边互为反向延长线,④
错误;由于动点M(5,θ)(θ∈R)的极径ρ=5,极角是任意角,故点M的轨
迹是以极点O为圆心,以5为半径的圆,⑤正确.
答案:①③⑤
3.极坐标和直角坐标的互化
(1)互化的前提条件
①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合;②极轴与x轴
的正半轴重合;③在两种坐标系中取相同的长度单位.
(2)互化公式
= cos,
①极坐标化为直角坐标
= sin;
2 = 2 + 2 ,
②直角坐标化为极坐标
tan = ( ≠ 0).
名师点拨1.极坐标与直角坐标的互化,常用方法有代入法、平方
极角,记为θ.有序数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记为M(ρ,θ).
一般地,不作特殊说明时,我们认为ρ≥0,θ可取任意实数.
(2)一般地,极坐标(ρ,θ)与(ρ,θ+2kπ)(k∈Z)表示同一个点.特别地,
极点O的坐标为(0,θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐
标有无数种表示.
(广东专用)高考数学总复习 第一节 坐标系 文 课件 人教版
x′ 缩变换公式， 得 x＝ 且 y＝2y′， 代入已知直线方程可求 l′的方程． 3
【尝试解答】
(1)设点 A′(x′，y′)，由伸缩变换 φ： x′＝3x， 2
x ′＝ 3 x 得 y 2 y ′＝ y y′＝ ，
－2 1 ∴x′＝ ×3＝1，y′＝ ＝－1. 3 2 ∴点 A′的坐标为(1，－1)． (2)设 P′(x′，y′)是直线 l′上任意一点．
的点的极坐标有多种表示，曲线的极坐标方程不唯一．
1．(教材改编题)点 P 的直角坐标为(1，－ 3)，则点 P 的极坐标 为________．
【解析】 因为点 P(1，－ 3)在第四象限，与原点的距离为 2， π 且 OP 与 x 轴所成的角为－3.
【答案】 π (2，－ ) 3
2．极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是________． 【解析】 由题设，得ρ＝1，或θ＝π， ρ＝1表示圆，θ＝π(ρ≥0)表示一条射线． 【答案】 一个圆和一条射线
x′＝3x， x＝ ， 3 由伸缩变换 φ： 得 2y′＝y，
x′ x′ 代入 y＝6x，得 2y′＝6· ＝2x′， 3 ∴y′＝x′为所求直线 l′的方程．
y＝2y′，
在平面直角坐标系中，求方程 2x ＋ 3y ＝ 0 经过伸缩变换
x′＝2x， 后的图形． y ′＝ 3 y
到OM的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对
M的极坐标．其中
(ρ，θ称为点 )
ρ 称为点 M的极径，θ称为点M的
极角 ．
2．极坐标与直角坐标的互化
3.圆的极坐标方程 (1)圆心在极点，半径为 r 的圆的极坐标方程为 ρ＝r . . .
ρ＝2acosθ (2)圆心在点(a,0)处，且过极点的圆的极坐标方程为
高三第二轮专题复习极坐标与参数方程课件.ppt
x
y
a b
r r
cos sin
(为参数)
其中参数的几何意义为: θ为圆心角
4.椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)的参数方程为:
x
y
a b
cos sin
(为参数)
双基自测
1．极坐标方程 ρ＝cos θ 和参数方程xy＝ ＝2－＋1t－t， (t 为参
数)所表示的图形分别是( )．
A．直线、直线
答案 (－4,0)
4．(2013·广州调研)已知直线 l 的参数方程为：xy＝＝12＋t，4t (t 为参数)， 圆 C 的极坐标方程为 ρ＝2 2sin θ，则直线 l 与圆 C 的位置关系为 ________．
x＝2t，
解析 将直线 l 的参数方程：
化为普通方程得，y＝1＋2x，
y＝1＋4t
圆 ρ＝2 2sin θ 的直角坐标方程为 x2＋(y－ 2)2＝2，圆心(0， 2)到
重点方法：<1>消参的方法；<2>极 坐标方程化为直角坐标方程的方法； <3>设参的方法。
1、过定点 M 0 (x0 , y0 ) 、倾斜角为 的直线 l 的参
数方程为
x
y
x0 y0
t cos t sin
，(t
为参数)
我们把这一形式称为直线参数方程的标准形式，其
中t表示直线l上以定点M0为起点，任意一点M(x,y)为终 点的有向线段的数量M0M。当点M在点M0的上方时， t>0；当点M在点M0的下方时，t<0；当点M与点M0重合 时，t=0。很明显，我们也可以参数t理解为以M0为原点， 直线l向上的方向为正方向的数轴上点M的坐标，其长度
极坐标系的概念 课件
极坐标系的概念
1．极坐标系的概念
图 1－2－1 如图 1－2－1 所示，在平面内取一个定点 O，叫作极点， 从 O 点引一条射线 Ox，叫作极轴，选定一个单位长度和角 的正方向(通常取逆时针方向)．这样就确定了一个平面极坐 标系 ，简称 极坐标系 ．
2．极坐标的概念 对于平面内任意一点 M，用 ρ 表示 线段OM的长 ，θ 表 示以Ox为始边、OM为终边的角度 ，ρ 叫作点 M 的极径，θ 叫作点 M 的 极角，有序实数对 (ρ，θ) 叫作点 M 的极坐标， 记作 M(ρ，θ) . 特别地：当点 M 在极点时，它的极径 ρ＝ 0 ，极角 θ 可以取 任意值 ．
在极坐标系中，由点的位置求极坐标时，随着极角的范 围的不同，点的极坐标的表示也会不同，只有在 ρ＞0，θ∈ [0,2π)的限定条件下，点的极坐标才是唯一的．
【思路探究】 欲写出点的极坐标，首先应确定 ρ 和 θ 的值．
【自主解答】 如图所示，关于极轴的对称点为 B(2， 53π)． 关于直线 l 的对称点为 C(2，23π)． 关于极点 O 的对称点为 D(2，43π)． 四个点 A，B，C，D 都在以极点为圆心，2 为半径的圆 上．
1．点的极坐标不是唯一的，但若限制 ρ>0,0≤θ<2π，则 除极点外，点的极坐标是唯一确定的．
【自主解答】 以点 O 为极点，OA 所在的射线为极轴 Ox(单位长度为 1 m)，建立极坐标系，如图所示．
由|OB|＝600 m，∠AOB＝30°，∠OAB＝90°，得 |AB|＝300 m，|OA|＝300 3 m， 同样求得|OD|＝2|OF|＝300 2m， 所以各点的极坐标分别为 O(0,0)，A(300 3，0)，B(600，6π)，C(300，π2)， D(300 2，34π)，E(300，π)，F(150 2，34π)．
1．极坐标系的概念
图 1－2－1 如图 1－2－1 所示，在平面内取一个定点 O，叫作极点， 从 O 点引一条射线 Ox，叫作极轴，选定一个单位长度和角 的正方向(通常取逆时针方向)．这样就确定了一个平面极坐 标系 ，简称 极坐标系 ．
2．极坐标的概念 对于平面内任意一点 M，用 ρ 表示 线段OM的长 ，θ 表 示以Ox为始边、OM为终边的角度 ，ρ 叫作点 M 的极径，θ 叫作点 M 的 极角，有序实数对 (ρ，θ) 叫作点 M 的极坐标， 记作 M(ρ，θ) . 特别地：当点 M 在极点时，它的极径 ρ＝ 0 ，极角 θ 可以取 任意值 ．
在极坐标系中，由点的位置求极坐标时，随着极角的范 围的不同，点的极坐标的表示也会不同，只有在 ρ＞0，θ∈ [0,2π)的限定条件下，点的极坐标才是唯一的．
【思路探究】 欲写出点的极坐标，首先应确定 ρ 和 θ 的值．
【自主解答】 如图所示，关于极轴的对称点为 B(2， 53π)． 关于直线 l 的对称点为 C(2，23π)． 关于极点 O 的对称点为 D(2，43π)． 四个点 A，B，C，D 都在以极点为圆心，2 为半径的圆 上．
1．点的极坐标不是唯一的，但若限制 ρ>0,0≤θ<2π，则 除极点外，点的极坐标是唯一确定的．
【自主解答】 以点 O 为极点，OA 所在的射线为极轴 Ox(单位长度为 1 m)，建立极坐标系，如图所示．
由|OB|＝600 m，∠AOB＝30°，∠OAB＝90°，得 |AB|＝300 m，|OA|＝300 3 m， 同样求得|OD|＝2|OF|＝300 2m， 所以各点的极坐标分别为 O(0,0)，A(300 3，0)，B(600，6π)，C(300，π2)， D(300 2，34π)，E(300，π)，F(150 2，34π)．
极坐标系ppt课件
28
作业：
P12习题1.2
3、4、5
29
关于负极径
在一般情况下，极径都是取正值。但在某些必要的
情况下，也允许取负值(<0): 当<0时如，何点规M(定(, ,)的)位对置应规的定点：的位置？
点M：在角终边的反向延长线上，且|OM|=||
5 M(-2,5 )
6
6
° O
x
° O
x•
•M(-2,56 )M(, )
出发点
方向
距离
5
情境引入：
参照点、方向（标准、角度）、距离
北
40°300海里
50°
A
东
军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，
如何确定它们的位置以便将它们引爆？ 6
生活中人们在预报台风、 地震、测量、航空、航 海中经常会用方向和距离来确定位置。
用方向和距离表示平面上一点的位置的 思想，就是极坐标的基本思想。
3
B(3, )
3
D(3, 4 ) E(3, 2 )
3
3
24
思考探究：
在极坐标系中,点A的极坐标是(ρ,θ), (规定:ρ＞0, -0π≤≤θθ＜＜2π )则
(1)点A关于极轴对称的点的极坐标是 ((,2,)) ;
(2)点A关于极点对称的点的极坐标是((, ) );
(3)点A关于过极点且与极轴垂直的直线对称
小结： 从比较来看, 负极径比正极径多了一个操作,
将射线OP“反向延长”. 30
23•F
5
6 B•
A•
2
D
•
。 O1
A(-4,0)
4
B(3,56 )
C(-2,2 )
x
作业：
P12习题1.2
3、4、5
29
关于负极径
在一般情况下，极径都是取正值。但在某些必要的
情况下，也允许取负值(<0): 当<0时如，何点规M(定(, ,)的)位对置应规的定点：的位置？
点M：在角终边的反向延长线上，且|OM|=||
5 M(-2,5 )
6
6
° O
x
° O
x•
•M(-2,56 )M(, )
出发点
方向
距离
5
情境引入：
参照点、方向（标准、角度）、距离
北
40°300海里
50°
A
东
军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，
如何确定它们的位置以便将它们引爆？ 6
生活中人们在预报台风、 地震、测量、航空、航 海中经常会用方向和距离来确定位置。
用方向和距离表示平面上一点的位置的 思想，就是极坐标的基本思想。
3
B(3, )
3
D(3, 4 ) E(3, 2 )
3
3
24
思考探究：
在极坐标系中,点A的极坐标是(ρ,θ), (规定:ρ＞0, -0π≤≤θθ＜＜2π )则
(1)点A关于极轴对称的点的极坐标是 ((,2,)) ;
(2)点A关于极点对称的点的极坐标是((, ) );
(3)点A关于过极点且与极轴垂直的直线对称
小结： 从比较来看, 负极径比正极径多了一个操作,
将射线OP“反向延长”. 30
23•F
5
6 B•
A•
2
D
•
。 O1
A(-4,0)
4
B(3,56 )
C(-2,2 )
x
高中数学极坐标 ppt课件
角，有序数对（，）就
叫做M的极坐标。
O
X
特别强调：表示线段OM的长度，即点M到
极点O的距离；表示从OX到OM的角度，即
以OX（极轴）为始边，OM 为终边的角。
ppt课件
5
题组一：说出下图中各点的极坐标
2
4
5
6
C
E
D
B
A
O
X
4 F
G 5
3
ppt课件
3
6
特别规定： 当M在极点时，它的 极坐标=0，可以取任意值。
O
x
M ( 2, ∏ / 3)
12 （ 3）2 2 tan 3 3
ppt课件
1
13
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y)
极坐标是 (ρ,θ)
2 x2 y2 , tan y ( x 0)
x
x=ρcosθ, y=ρsinθ
ppt课件
14
互化公式的三个前提条件： 1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
对应了.
ppt课件
11
极坐标和直角坐标的互化
平面内的一个点的直角坐标是(1, 3 ) 这个点如何用极坐标表示?
ppt课件
12
在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相 同的长度单位
点M的直角坐标为 (1, 3) 设点M的极坐标为(ρ,θ)
y
M (1, 3)
θ
B (2, )
C (1, )
6
2
2
D (3, )
24
E (2, 3 )
4
ppt课件
高中数学课件《极坐标系》
(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点 O，叫做极点；自极点 O 引一条 射线 Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其 正方向 (通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
(2)极坐标：设 M 是平面内一点，极点 O 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的
极径，记为 ρ；以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的角 xOM 叫做点 M 的 极角 ， 记为 θ.有序数对 (ρ，θ) 叫做点 M 的极坐标，记为 M(ρ，θ) ．一般地，不作 特殊说明时，我们认为 ρ≥0，θ 可取任意实数 ．
1．点的极坐标与直角坐标的互化公式的三个前提条件：(1)极点与直角坐标 系的原点重合；(2)极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重合；(3)两种坐标系的长 度单位相同．
2．将点的极坐标(ρ，θ)化为点的直角坐标(x，y)时，运用到求角 θ 的正弦值 和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键．
[小组合作型] 将点的极坐标化为直角坐标
写出下列各点的直角坐标，并判断所表示的点在第几象限．
(1)2，43π；(2)2，23π；(3)2，－π3；(4)(2，－2)．
【思路探究】
点的极坐标(ρ，θ)―→xy＝ ＝ρρcsions
θ θ
―→点的直角坐标(x，y)―→
极坐标系
1．理解极坐标系的概念． 2．能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐 标系中刻画点的位置的区别．(难点) 3．掌握极坐标和直角坐标的互化关系式，能进行极坐标和直角坐标的互 化．(重点、易错点)
[基础·初探] 教材整理 1 极坐标系 阅读教材 P8～P10，完成下列问题． 1．极坐标系的概念
(3)∵x＝ρcos θ＝πcos π＝－π， y＝ρsin θ＝πsin π＝0， ∴点的极坐标(π，π)化为直角坐标为(－π，0)．
(2)极坐标：设 M 是平面内一点，极点 O 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的
极径，记为 ρ；以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的角 xOM 叫做点 M 的 极角 ， 记为 θ.有序数对 (ρ，θ) 叫做点 M 的极坐标，记为 M(ρ，θ) ．一般地，不作 特殊说明时，我们认为 ρ≥0，θ 可取任意实数 ．
1．点的极坐标与直角坐标的互化公式的三个前提条件：(1)极点与直角坐标 系的原点重合；(2)极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重合；(3)两种坐标系的长 度单位相同．
2．将点的极坐标(ρ，θ)化为点的直角坐标(x，y)时，运用到求角 θ 的正弦值 和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键．
[小组合作型] 将点的极坐标化为直角坐标
写出下列各点的直角坐标，并判断所表示的点在第几象限．
(1)2，43π；(2)2，23π；(3)2，－π3；(4)(2，－2)．
【思路探究】
点的极坐标(ρ，θ)―→xy＝ ＝ρρcsions
θ θ
―→点的直角坐标(x，y)―→
极坐标系
1．理解极坐标系的概念． 2．能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐 标系中刻画点的位置的区别．(难点) 3．掌握极坐标和直角坐标的互化关系式，能进行极坐标和直角坐标的互 化．(重点、易错点)
[基础·初探] 教材整理 1 极坐标系 阅读教材 P8～P10，完成下列问题． 1．极坐标系的概念
(3)∵x＝ρcos θ＝πcos π＝－π， y＝ρsin θ＝πsin π＝0， ∴点的极坐标(π，π)化为直角坐标为(－π，0)．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 3 2 （ ）
2 2
3 tanθ= = 3 1
小结
极坐标与直角坐标的互化关系式:
y
M ( x, y )
设点M的直角坐标是 (x, y) 极坐标是 (ρ,θ)
2 2 2
O
θ
x
y x y , tan ( x 0) x
x=ρcosθ, y=ρsinθ
例1. 将点M的极坐标
练一练
题组1：说出下图中各点的极坐标
2
5 6
C E D O B A X
4
4 3
F
G
5 3
特别规定: 当M在极点时，它的极坐标=0，可以 取任意值。
想一想？
①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？
③坐标不唯一是由谁引起的？
④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
[1]给定（,）,就可以在极坐标平面 内确定唯一的一点M。 [2]给定平面上一点M，但却有无数个 极坐标与之对应。
M O P (ρ,θ)… X
原因在于：极角有无数个。
练一练
题组2：在极坐标系里描出下列各点
A(3,0) 4 D(5, ) 3 5 G (6, ) 3
G
3
5 3
极坐标和直角坐标的互化
平面内的一个点的直角坐标是(1, 3 )
这个点如何用极坐标表示?
在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相 同的长度单位
y
θ
M (1, 3)
O
M ( 2, π / 3)
x
点M的直角坐标为 (1, 3) 设点M的极坐标为(ρ,θ)
极坐标
创设情境
从这向 北1000米
请问去农行 路怎么走？
情境分析
请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？
从 这 向 北 走 1 0 0 0 米 ！
出发点
方向
距离
在生活中人们经常用方向和距离来表示一点 的位置。这种用方向和距离表示平面上一点 的位置的思想，就是极坐标的基本思想。
新课讲解
一、极坐标系的建立： 在平面内取一个定点O，叫做极点。 引一条射线Ox，叫做极轴。 再选定一个长度单位和角度单 位及它的正方向（通常取逆时 针方向）。 这样就建立了一个极坐标系。 O
2 (5, ) 3
5 5 3 ) 所以, 点M的直角坐标为( , 2 2
化成直角坐标. 2 5 解: x 5 cos 3 2 2 5 3 y 5 sin 3 2
已知下列点的极坐标，求它们的直 角坐标。
A ( 3, ) 6
B ( 2, ) 2
C (1, ) 2
3 3 D ( , ) E ( 2, ) 2 4 4
练习: 已知点的直角坐标, 求它们 的极坐标.
A ( 3, 3 )
B (1, 3 )
C (5,0) E ( 3,3)
D (0,2)
F (3,0)
π），（3， ） π 例3 已知两点（2，
3 求两点间的距离. B
2
π 解：∠AOB =
6 用余弦定理求 AB的长即可.
A o
x
3 练习：已知两点（3， ），（4， ） 4
求两点间的距离
典型例题
例4： 求经过点
A(a,0), a 0且和极轴垂直的直线的
极坐标方程。 解： 设M , 是直线上任意一点
连接OM，则
OM=，AOM=
M ( , )
cos 或a Nhomakorabeao
x
A(a,0)
a cos
为所求的直线方程
例5： 求一圆过极点且圆心在极轴上，半径为a，求极坐标方程 解： 如图所示， 设动点为（ρ，） 则 或
3 F (0, ) 4
例2. 将点M的直角坐标
( 3, 1)
化成极坐标.
x y x y
2 2 2 2 2
解:
( 3)2 1 2 2 （ ）
7 因为点在第三象限, 所以 6 7 因此, 点M的极坐标为( 2, 6 )
1 3 tan 3 3
B(6, 2 ) 5 E (3, ) 6
C (3, ) 2
F (4, )
A(3, 0) 4 ) 3 5 G (6, ) 3 D(5,
B(6, 2 ) E (3, 5 ) 6
C (3, ) 2 F (4, )
2
43
5 6
E
C
F
A
O
B X
知点的坐标，描出点 4 3
D
新课讲解
三、点的极坐标的表达式的研究: 如图：OM的长度为4，
4
M
X
请说出点M的极坐标的其他表达式 . O 思考：这些极坐标之间有何异同？ 极径相同，不同的是极角。 思考：这些极角有何关系？ 这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们 是终边相同的角。 π 本题点M的极坐标统一表达式： 4， 2kπ+ 4
x
新课讲解
二、极坐标系内一点的极坐标的规定: 对于平面上任意一点M，用 表示线段OM的长度，用 表示从Ox到OM 的角度， 叫做点M的极径， 叫做点M 的极角，有序数对（，） 就叫做M的极坐标。
M
O
极坐标系
x
特别强调：表示线段OM的长度，即点M到极点O的 距离；表示从Ox到OM的角度，即以Ox（极轴）为 始边，OM 为终边的角。
cos
2a
A
A
2a cos
另：若一圆过极点且圆心在垂 直极轴的直线上，半径为a， 则极坐标方程为：
2a sin