利用向量法求点到平面的距离
用空间向量求点到面的距离
上的任一点(常选择一个特殊点)的向量在平面的法向量上的射影的
工绝具对值.
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
代入公式
∴d＝|G|An|·n|＝
1＝ 3
33，
即点
A
到平面
EFG
的距离为
3 3.
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
变式练习：已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD， 且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．求点D到平面PEF的距 离；
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
解析：建立以D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x轴， y轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示．
uuur
uuur
∴ EF ＝(1，－2,1)， EG ＝(2，－1，－1)，
uur GA＝(0，－1,0).设 n＝(x，y，z)是平面 EFG 的法向量，
uuur
则n·uEuFur ＝0， n·EG ＝0，
∴x2－ x－2yy＋ －zz＝ ＝00， ，
∴x＝y＝z.可取 n＝(1,1,1)，
uur
用空间向量求点到面的距离
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
P
一、求点到平面的距离
一般方法：
d
利用定义先作出过
这个点到平面的垂
O
线段，再计算这个
垂线段的长度。
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
向量法求点到平面的距离
d
sin u u ur
d| AP|sin
AP
P
r
u u ur r
n
| AP n |
2、求向量—求点到平面内任一点对应的向量AP
向量法求空间点到平面的距离课件
a•b abcos(为a与b的夹角）
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2
二、新课
向量法求点到平面的距离
B
n
A
O
1 、剖析 B O ： 平 ， 如 面垂 图 O ,则 足 ， B 到 点 为 平 的面 距离就是
线 B段 的 O 长度。
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3
例 2、如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E、F
AB ( 2,1, 0), CB ( 2, 0, 0), CP (0, 1,1) ,
设平面 PBC 的法向量为 n ( x, y, z) ,
则
n
CB
0
z
n CP 0
(x, y, z)( 2,0,0) 0
(
x,
y,
z)
(0,
1,1)
0
∴
x y
0 z
x
令 y 1, n (0, 1, 1) ,d= 2
向量法求空间点到平面的距离
B
n
A
O
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1
新课导入： 我们在路上行走时遇到障碍一般会绕过它，在生活中我们知道转弯，那 么在学习上也一样，要想求空间一点到平面距离，就必须找到或间接找 到它，而这样做恰恰是一个比较困难的问题，今天我们就让思维转个弯， 用向量法解决这个难题。
一、复习引入： 1、空间中如何求点到距面离？ 方法1、直接做或找距离； 方法2、等体积法； 方法3、空间向量。
2
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y
7
BE(2,0,0)
设平面 EFG 的一个法向量A
为 n (x, y, z)
E
B
y
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4
练习1
空间向量点到平面距离求法
空间向量点到平面距离求法在三维空间中，我们经常需要计算一个给定点到一个给定平面的距离。
这个问题可以被称为”空间向量点到平面的距离求法”。
本文将详细介绍该求解方法。
1. 定义首先，我们需要明确一些基本的几何概念。
一个平面可以由一个点和一个法向量来唯一确定。
记平面上的一点为P，平面的法向量为n。
对于空间中的任意一点Q，我们定义点Q到平面的距离为点Q到平面的垂直距离，记作d(Q,Pn)。
2. 求解方法为了求解点Q到平面的距离，我们需要以下步骤：2.1 平面的方程首先，我们需要确定平面的方程。
一个平面P可以表示为Ax + By + Cz + D = 0的形式，其中A、B、C为平面的法向量的分量，D为平面的常数项。
2.2 平面法向量的求解平面的法向量可以通过两个非平行的向量的叉乘来求解。
假设平面上的两个向量为v1和v2，则平面的法向量n可以通过n = v1 × v2来计算。
2.3 点到平面的距离公式根据点到平面的距离定义，点Q到平面P的距离可以表示为：d(Q,Pn) = |Ax + By + Cz + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)其中|x|表示x的绝对值。
2.4 距离求解算法根据上述公式，我们可以编写一个求解点到平面距离的函数，输入为点Q的坐标，平面的法向量和常数项，输出为点Q到平面的距离。
function distance_to_plane(Q, n, D) {let [x, y, z] = Q;let [A, B, C] = n;let distance = Math.abs(A * x + B * y + C * z + D) / Math.sqrt(A**2 + B**2+ C**2);return distance;}3. 示例下面我们通过一个示例来演示如何使用上述方法计算点到平面的距离。
假设有一个平面P，其方程为2x + 3y - z + 4 = 0。
点Q的坐标为(1, -2, 3)。
用空间向量求点到面的距离
uuur
uuur
∴ EF ＝(1，－2,1)， EG ＝(2，－1，－1)，
uur GA＝(0，－1,0).设 n＝(x，y，z)是平面 EFG 的法向量，
uuur
则n·uEuFur ＝0， n·EG ＝0，
∴x2－ x－2yy＋ －zz＝ ＝00， ，
∴x＝y＝z.可取 n＝(1,1,1 |
d
AP n
uuur r d | APr n |
n
O
A
uuur
r
其中 AP 为斜向量，n 为法向量。
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第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
练习．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)， 点A(－1,3,0)在α内，则P(－2,1,4)到α的距离为________． 解析： d＝|P→|An·|n|＝|1×－2－＋222×＋－－22＋2＋－124×1| ＝130.
答案：
10 3
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第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
[例1] 正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E,F,G分别 是C1C,D1A1,AB的中点，求点A到平面EFG的距离．
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
解： 建系 如图,建立空间直角坐标系，
求向量 求法向量
则 A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)，G(2,1,0)，
THANK YOU
工具
2019/12/30
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
解析：建立以D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x轴， y轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示．
则P(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)， E1，12，0，F12，1，0， E→F＝－12，12，0，P→E＝1，12，－1， 设平面PEF的法向量n＝(x，y，z)， 则n·E→F＝0，且n·P→E＝0， 所以－12x＋12y＝0， x＋12y－z＝0.
点到平面的距离计算方法
点到平面的距离计算方法在几何学中，计算点到平面的距离是一个常见的问题。
这涉及到确定一个平面上的点与固定平面之间的距离。
本文将介绍两种常用的点到平面距离计算方法：点法向量法和公式法。
1. 点法向量法点法向量法是通过点P到平面上某一点的矢量与该平面的法向量的点积来计算距离的方法。
具体步骤如下：步骤一：确定平面方程首先，需要确定给定平面的方程。
平面方程通常用Ax + By + Cz + D = 0表示，其中A、B、C是平面的法向量，D是一个常数。
步骤二：计算点P到平面的法向量将点P的坐标带入平面方程，可得到一个向量，即点P到平面的法向量。
步骤三：计算点P到平面的距离将点P到平面的法向量与平面的法向量进行点积运算，再除以平面法向量的模长，即可得到点P到平面的距离。
2. 公式法公式法是通过点P到平面的法向量与平面上一点到点P的向量的点积来计算距离的方法。
具体步骤如下：步骤一：确定平面方程同样地，需要确定给定平面的方程。
平面方程通常用Ax + By + Cz + D = 0表示，其中A、B、C是平面的法向量，D是一个常数。
步骤二：计算点P到平面的距离将点P的坐标带入平面方程，计算得到Ax + By + Cz的值，再除以平面法向量的模长，即可得到点P到平面的距离。
这两种方法都可以准确计算点到平面的距离。
选择哪种方法取决于具体的情况和个人偏好。
需要注意的是，当计算距离时，所选取的点必须在平面上。
总结点到平面的距离计算方法有：点法向量法和公式法。
点法向量法通过点P到平面上某一点的矢量与该平面的法向量的点积来计算距离；公式法通过点P到平面的法向量与平面上一点到点P的向量的点积来计算距离。
选择哪种方法取决于具体情况。
在进行计算时，需要确保所选取的点在平面上。
通过本文的介绍，相信读者能够理解并掌握计算点到平面距离的方法，从而应用于实际问题中。
点到面的距离法向量
点到面的距离法向量
点到面的距离法向量是指从给定点到平面上的最短距离的方向向量。
要计算点到面的距离法向量，可以使用以下步骤：
1. 计算给定点到平面的距离，可以使用点到平面的距离公式：distance = |ax + by + cz + d| / √(a^2 + b^2 + c^2)，其中(a, b, c)是平面的法向量，(x, y, z)是给定点的坐标，d是平面的常数项。
2. 根据点到平面的距离公式，计算出点到平面的距离。
3. 将平面的法向量归一化，即将其长度调整为1。
4. 乘以距离的负值，以得到点到面的距离法向量。
这是因为距离的负值是指向平面外部的方向。
因此，点到面的距离法向量可以表示为：-distance * normalized_normal，其中normalized_normal是平面法向量的归一化向量。
3.2立体几何中的向量方法点到平面的距离
C
x
A M
B
y
练习4：
已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面 ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点， z G 求点B到平面GEF的距离。
x
F
D
C
A
E
B
y
解：如图，建立空间直角坐标系 C－xyz． 由题设 C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)， D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)．
立体几何中的向量方法
----点到平面的距离
一、求点到平面的距离
一般方法：
利用定义先作出过 这个点到平面的垂 线段，再计算这个 垂线段的长度。
P
d
O
还可以用等积法求距离.
向量法求点到平面的距离
sin
sin
d A P
| AP n | AP n
d | AP | sin
P
n
d
d
| AP n | n
A
O
其中A P 为斜向量， n 为法向量。
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1， E为D1C1的中点，求： B1到面A1BE的距离；
z
D
A
1
1
E
C
1
B
D
1
A
C
y
x
B
练习1：
已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中， E、F分别是B1C1和C1D1 的中点，求点A1到平 面DBEF的距离。 z D1 F C
x
F A
D
C
E
y
B
2 11 答:点 B 到平面 EFG 的距离为 . 11
向量法求点到面的距离
向量法求点到面的距离介绍在三维空间中，向量法是一种常用的方法来求解点到面的距离。
点到面的距离是指从一个点到一个平面的最短距离。
该方法通过定义向量来计算点到面的距离，通过求解向量的垂直分量实现。
基本原理点到面的距离的基本原理是利用一个向量，从点出发到达平面上的任意一点，然后通过计算该向量在平面法向量上的投影来求解距离。
步骤Step 1: 确定平面的法向量首先，我们需要明确平面的法向量，法向量对于描述平面的方向非常重要。
如果平面已经被定义，法向量通常是已知的；否则，我们需要根据平面上的三个非共线点来计算出法向量。
Step 2: 确定点到平面上的一点我们需要选择一个点，该点将成为我们到平面上距离的参考点。
可以选择平面上的任意一点作为参考点，这取决于具体情况。
Step 3: 计算点到平面的向量通过使用参考点和平面上的一点，我们可以计算出从点到平面的向量。
这个向量的起点是点，终点是平面上的任意一点。
Step 4: 计算向量在法向量上的投影通过计算点到平面向量在法向量上的投影，我们可以得到点到平面的距离。
投影的计算方法是将向量与法向量进行点乘。
Step 5: 求解距离最后，通过计算得到的投影长度，我们可以得到点到平面的最短距离。
这就是点到面的距离。
示例示例平面方程我们假设有一个平面，方程为：x + y + z = 1。
示例点坐标我们选择一个点的坐标为：(2, -1, 3)。
示例步骤1.确定法向量：根据平面方程，法向量为 (1, 1, 1)。
2.确定参考点：我们选择 (0, 0, 1) 作为参考点，但可以选择其他任意点。
3.计算点到平面的向量：从点 (2, -1, 3) 到参考点 (0, 0, 1) 的向量为 (-2, 1, 2)。
4.计算向量在法向量上的投影：将向量 (-2, 1, 2) 与法向量 (1, 1, 1) 进行点乘得到投影长度 1。
5.求解距离：由于投影长度为 1，点 (2, -1, 3) 到平面的距离为 1。
向量法求空间点到平面的距离
向量法求空间点到平面的距离在三维空间中，有时我们需要计算一个点到一个平面的距离。
这个问题可以通过向量法来解决。
本文将介绍向量法以及如何使用它来计算空间点到平面的距离。
首先，让我们明确一下向量法的基本原理。
在三维空间中，一个平面可以由一个法向量和一个点确定。
法向量垂直于平面，并指向平面上的点。
为了计算一个点到平面的距离，我们需要先找到点到平面的垂直距离，然后再根据垂直距离来计算实际距离。
假设我们有一个平面P，它的法向量为n，过平面上一点A。
现在，我们有一个空间点B，我们想要计算它到平面P的距离。
首先，我们需要计算点B到平面P的垂直距离。
设点B到平面P的垂直距离为d，垂直距离可以由点B沿法向量n所得到的向量投影来表示。
点B沿着法向量n的投影向量为B_proj，其长度为d。
那么，我们可以使用向量B_proj和向量BA（由点B指向平面上的点A）来计算点B到平面P的垂直距离d。
首先，我们需要计算向量BA在法向量n上的投影长度。
投影长度可以通过点积来计算。
点积是两个向量的长度乘积与它们之间夹角的余弦值的乘积。
在这种情况下，点积可以用来计算向量BA在法向量n上的投影长度。
设向量BA在法向量n上的投影长度为p。
则有如下公式：p = |BA| * cosθ其中，|BA|表示向量BA的长度，cosθ表示向量BA和法向量n之间夹角的余弦值。
接下来，我们可以使用投影长度p和法向量n，来计算点B到平面P的垂直距离d。
根据定义，d等于向量B_proj的长度，而B_proj可以表示为p * n。
因此，我们有以下关系：d = |B_proj| = |p * n|现在，我们已经得到了点B到平面P的垂直距离d。
最后，我们可以使用垂直距离d和点B到平面上的点A的欧氏距离来计算点B到平面P的实际距离。
设点B到平面上的点A的欧氏距离为e。
则点B到平面P的距离dist可以由以下公式计算：dist = sqrt(d^2 + e^2)综上所述，我们可以通过向量法来计算空间点到平面的距离。
利用向量法求点到平面的距离讲解学习
利用平面的法向量求点到平面的距离甘肃省 彭长军如图1，设n 是平面α的一个法向量，P 是α外一点，Q 是α内任意一点，则向量PQ u u u r 在法向量n 方向上的射影长d=PQ u u u r cos PQ,n <>uuu r u r =PQ n nu u u r r g r 就是点P 到平面α的距离.下面举几例予以说明.例1．已知A(2,3,1)、B(4,1,2)、C(6,3,7)、D(-5,-4,8)是空间不共面的四点,求点D 到平面ABC 的距离.解：设),,(z y x n =是平面ABC 的一个法向量，则由0n AB =g 及10n BC =g ,得2x 2y z 02x 2y 5z 0--+=⎧⎨++=⎩⇒2y x 32z x 3⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,取x=3,得)2,2,3(-=n ,于是点D 到平面ABC 的距离为d=DA n n u u u r r g r = 1749=171749. 例2．已知四边形ABCD 是边长为4的正方形，E 、F 分别是AB 和AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC=2，求点B 到平面EFG 的距离.解：建立如图2所示的空间直角坐标系C-xyz ，则G(0,0,2),E(2,4,0),B(0,4,0), F(4, 2,0)，∴GE =(2,4,-2),GF =(4,2,-2),BE =(2,0,0).设平面EFG 的一个法向量为),,(z y x n =，则由0n GE =g 及0n GF =g ，得2x+4y 2z 04x 2y 2z 0-=⎧⎨+-=⎩⇒ x=y z 3y⎧⎨=⎩,取y=1,得(1,1,3)n =,于是点B 到平面EFG 的距离为d=BE n n u u u r r g r =11112112=. 例3.在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求点C 1到平面A 1BD 的距离。
解：建立如图3所示的空间直角坐标系D-xyz ，则A 1(1,0,1),B(1,1,0),C 1 (0, 1,1).设平面A 1BD 的一个法向量为),,(z y x n =，则由1DA 0n =g 及DB 0n =g ，得x z 0x y 0+=⎧⎨+=⎩⇒ z=-x y=-x ⎧⎨⎩,取x=-1,得n =(-1,1, 1),于是点C 1到平面A 1BD 的距离为d=1C D n n u u u u r r g r 3233. 例4．(06年福建高考题)如图4，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，CA=CB=CD=BD=2，2，求点E 到平面ACD 的距离.解：由题设易知AO ⊥BD ，OC ⊥BD ，∴OA=1，3OA 2+OC 2=AC 2，∴∠AOC=90︒，即OA ⊥OC.以O 为原点，OB 、OC 、OA 所在直线为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系O-xyz ，则A(0,0,1),B(1,0,0),C(0, 3,∴ E(12,32,0), AD =(-1,0,-1), AC =(0, 3ED =(-32,-32,0). 设平面ACD 的一个法向量为),,(z y x n =，则由AD 0n =g 及AC 0n =g ，得x z 03y z 0+=⎧⎪-=⇒ x=-z 3⎧⎪⎨⎪⎩,取3得n 33于是点E 到平面ACD 的距离为d=D E n nu u u r r g r 37=217.。
空间内点到平面的距离公式
空间内点到平面的距离公式
空间内一点到平面的距离公式是指计算一个空间内的点离一个平面的距离的公式。
该公式可以帮助我们计算出一个点与一个平面的距离，从而有助于我们解决一些空间几何问题。
计算空间内点到平面的距离需要使用向量的知识。
假设平面的法向量为N，平面上的一点为P0，空间内的点为P，则点P到平面的距离为：
d = |(P-P0)·N| / |N|
其中，·表示向量的点积运算，|·|表示向量的模长。
上述公式的含义是，将点P-P0表示成一个向量，然后计算该向量在平面法向量N的方向上的投影长度，再除以平面法向量N的模长，即可得到该点到平面的距离。
需要注意的是，如果点P在平面上方（即与平面法向量的方向相同），则距离为正值；如果点P在平面下方（即与平面法向量的方向相反），则距离为负值。
如果点P在平面上，则距离为0。
空间内点到平面的距离公式是解决空间几何问题的重要工具之一，它可以应用于建筑、机械、航空等领域。
- 1 -。
利用向量法求点到平面的距离知识讲解
利用向量法求点到平面的距离利用平面的法向量求点到平面的距离 甘肃省 彭长军 如图1，设n 是平面α的一个法向量，P 是α外一点，Q 是α内任意一点，则向量PQ u u u r 在法向量n 方向上的射影长d=PQ u u u r cos PQ,n <>uuu r u r =PQ n nu u u r r g r 就是点P 到平面α的距离.下面举几例予以说明.例1．已知A(2,3,1)、B(4,1,2)、C(6,3,7)、D(-5,-4,8)是空间不共面的四点,求点D 到平面ABC 的距离.解：设),,(z y x n =是平面ABC 的一个法向量，则由0n AB =g 及10n BC =g ,得2x 2y z 02x 2y 5z 0--+=⎧⎨++=⎩⇒2y x 32z x 3⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,取x=3,得)2,2,3(-=n ,于是点D 到平面ABC 的距离为d=DA n nu u u r r g r = 1749=171749. 例2．已知四边形ABCD 是边长为4的正方形，E 、F 分别是AB 和AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC=2，求点B 到平面EFG 的距离.解：建立如图2所示的空间直角坐标系C-xyz ，则G(0,0,2),E(2,4,0),B(0,4,0), F(4, 2,0)，∴GE =(2,4,-2),GF =(4,2,-2),BE =(2,0,0).设平面EFG 的一个法向量为),,(z y x n =，则由0n GE =g 及0n GF =g ，得2x+4y 2z 04x 2y 2z 0-=⎧⎨+-=⎩⇒ x=y z 3y ⎧⎨=⎩,取y=1,得(1,1,3)n =,于是点B 到平面EFG 的距离为d=BE n n u u u r r g r =11112112=. 例3.在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求点C 1到平面A 1BD 的距离。
点到平面距离空间向量
点到平面距离空间向量“咱们这个点到平面的距离，实际上就是空间向量的一个应用。
你看，咱们先来定义一下，比如说，有一个点A，它在三维空间中的坐标是（x1，y1，z1），那么，咱们再设一个平面，它的法向量是n（n1，n2，n3），那这个点到平面的距离，就用空间向量的点积来计算。
“咱们先来分析一下，这个点A到平面的垂线，设交点为B，那么，这个垂线段AB的长度，就是咱们要计算的点到平面的距离。
这个垂线段AB，其实就是一个向量，它的坐标是（x2-x1，y2-y1，z2-z1），其中B点的坐标是（x2，y2，z2）。
“然后，咱们看这个垂线AB和法线n之间的关系。
由于垂线AB 和法线n垂直，那么它们的点积就是0。
即（x2-x1）*n1+（y2-y1）*n2+（z2-z1）*n3=0。
“咱们知道，向量n是平面的法向量，那么，它就垂直于平面上所有的向量。
所以，我们可以把上面这个点积等式，变形为n与AB 的点积等于0，即n•AB=0。
“接下来，咱们就可以用点积的性质来计算点到平面的距离了。
根据点积的定义，n•AB=n1*(x2-x1)+n2*(y2-y1)+n3*(z2-z1)。
由于n•AB=0，那么这个式子就变为n1*(x2-x1)+n2*(y2-y1)+n3*(z2-z1)=0。
“咱们再来看这个式子，它其实就是平面方程Ax+By+Cz+D=0的一个具体表现形式。
其中，A=n1，B=n2，C=n3，D=-n1*x1-n2*y1-n3*z1。
这个平面方程，就是描述了点A到平面的距离公式。
“那么，咱们就可以根据这个平面方程，来计算点A到平面的距离了。
距离公式是：|Ax+By+Cz+D|/√(A^2+B^2+C^2)。
其中，A、B、C、D的值，刚才咱们已经讨论过了。
“你看，这就是点到平面距离的空间向量计算方法。
其实，咱们生活中的很多问题，都可以用空间向量的方法来解决。
比如，咱们设计一个建筑，需要考虑建筑物的稳定性和美观性，那就可以用空间向量的方法来分析建筑物的受力情况。
点到面的距离公式向量法
点到面的距离公式向量法让我们来了解一下点和面的概念。
在几何学中，一个点被定义为没有长度、宽度或高度的位置。
而一个面则是由无数个相邻的点组成的二维平面。
点和面在几何学中是基本的元素，我们经常需要计算它们之间的距离。
在计算点到面的距离时，我们可以使用向量法。
向量是一个具有方向和大小的量，它可以表示从一个点到另一个点的位移。
在点到面的距离计算中，我们使用向量来表示从点到面的位移。
具体而言，我们可以使用点到面的距离公式来计算点到面的距离。
这个公式可以表示为：d = |(P - A)·n| / |n|其中，d 表示点到面的距离，P 表示点的坐标，A 表示面上的一个点的坐标，n 表示面的法向量，“·”表示向量的点乘运算，“| |”表示向量的模。
这个公式的含义是，首先计算从点到面上某一点的位移向量 P - A，然后将这个向量与面的法向量n 进行点乘运算，最后除以法向量的模即可得到点到面的距离。
为了更好地理解这个公式，让我们通过一个具体的例子来说明。
假设我们有一个平面，其法向量为n = (1, 2, 3)，平面上的一个点为A = (2, 3, 4)，我们需要计算点 P = (1, 1, 1) 到这个平面的距离。
我们计算位移向量P - A，得到(-1, -2, -3)。
然后，将这个向量与法向量 n 进行点乘运算，得到 (-1, -4, -9)。
最后，我们计算法向量n 的模，得到√(1^2 + 2^2 + 3^2) = √(14)。
将点到面的距离公式带入计算，得到点 P 到平面的距离为 |(-1, -4, -9)| / √(14) = √(66) / √(14) = √(66/14) = √(33/7)。
通过这个例子，我们可以看到使用点到面的距离公式向量法可以很方便地计算出点到面的距离。
这个方法的优点是简单直观，并且适用于不同维度的空间。
在实际应用中，点到面的距离计算方法经常被用于计算点到平面的最短距离。
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利用平面的法向量求点到平面的距离
甘肃省 彭长军
如图1，设n 是平面α的一个法向量，P 是α外一点，Q 是α内任意一点，则向量PQ 在法向量n 方向上的射影长d=PQ cos PQ,n =PQ n
n
就是点P 到平面α的距离.下面举几例予以说明.
例1．已知A(2,3,1)、B(4,1,2)、C(6,3,7)、D(-5,-4,8)
是空间不共面的四点,求点D 到平面ABC 的距离.
解：设),,(z y x n =是平面ABC 的一个法向量，则由0n AB =及10n BC =,得
2x 2y z 02x 2y 5z 0--+=⎧⎨++=⎩⇒2y x 32z x 3⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
,取x=3,得)2,2,3(-=n ,于是点D 到平面ABC 的距离为d=DA n n = 17
49=171749. 例2．已知四边形ABCD 是边长为4的正方形，E 、F 分别是AB 和AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC=2，求点B 到平面EFG 的距离.
解：建立如图2所示的空间直角坐标系C-xyz ，则
G(0,0,2),E(2,4,0),B(0,4,0), F(4, 2,0)，∴GE =(2,4,-2),
GF =(4,2,-2),BE =(2,0,0).
设平面EFG 的一个法向量为),,(z y x n =，则由
0n GE =及0n GF =，得2x+4y 2z 04x 2y 2z 0-=⎧⎨+-=⎩
⇒ x=y z 3y
⎧⎨=⎩,取y=1,得(1,1,3)n =,于是点B 到平面EFG 的距离为d=BE n n =11112112=. 例3.在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求点C 1到平面A 1BD 的距离。
解：建立如图3所示的空间直角坐标系D-xyz ，则A 1(1,0,1),B(1,1,0),C 1 (0, 1,1).
设平面A 1BD 的一个法向量为),,(z y x n =，则由1DA 0n =及DB 0n =，得x z 0x y 0
+=⎧⎨+=⎩⇒ z=-x y=-x ⎧⎨⎩,取x=-1,得n =(-1,1, 1),于是点C 1到平面A 1BD 的距离为d=1C D n n =3233. 例4．(06年福建高考题)如图4，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，CA=CB=CD=BD=2，2，求点E 到平面ACD 的距离.
解：由题设易知AO ⊥BD ，OC ⊥BD ，∴OA=1，3OA 2+OC 2=AC 2，∴∠AOC=90︒，即
OA ⊥OC.
以O 为原点，OB 、OC 、OA 所在直线为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系O-xyz ，则A(0,0,1),B(1,0,0),C(0, 3,∴ E(12,32,0), AD =(-1,0,-1), AC =(0, 3ED =(-32,-32
,0). 设平面ACD 的一个法向量为),,(z y x n =，则由AD 0n =及AC 0n =，得x z 03y z 0
+=⎧⎪-=⇒ x=-z 3⎧⎪⎨⎪⎩,取3得n 33于是点E 到平面ACD 的距离为d=D E n n =37
=217.。