利用向量法求点到平面的距离

利用平面的法向量求点到平面的距离

甘肃省 彭长军

如图1，设n 是平面α的一个法向量，P 是α外一点，Q 是α内任意一点，则向量PQ 在法向量n 方向上的射影长d=PQ cos PQ,n =PQ n

n

就是点P 到平面α的距离.下面举几例予以说明.

例1．已知A(2,3,1)、B(4,1,2)、C(6,3,7)、D(-5,-4,8)

是空间不共面的四点,求点D 到平面ABC 的距离.

解：设),,(z y x n =是平面ABC 的一个法向量，则由0n AB =及10n BC =,得

2x 2y z 02x 2y 5z 0--+=⎧⎨++=⎩⇒2y x 32z x 3⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩

,取x=3,得)2,2,3(-=n ,于是点D 到平面ABC 的距离为d=DA n n = 17

49=171749. 例2．已知四边形ABCD 是边长为4的正方形，E 、F 分别是AB 和AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC=2，求点B 到平面EFG 的距离.

解：建立如图2所示的空间直角坐标系C-xyz ，则

G(0,0,2),E(2,4,0),B(0,4,0), F(4, 2,0)，∴GE =(2,4,-2),

GF =(4,2,-2),BE =(2,0,0).

设平面EFG 的一个法向量为),,(z y x n =，则由

0n GE =及0n GF =，得2x+4y 2z 04x 2y 2z 0-=⎧⎨+-=⎩

⇒ x=y z 3y

⎧⎨=⎩,取y=1,得(1,1,3)n =,于是点B 到平面EFG 的距离为d=BE n n =11112112=. 例3.在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求点C 1到平面A 1BD 的距离。

解：建立如图3所示的空间直角坐标系D-xyz ，则A 1(1,0,1),B(1,1,0),C 1 (0, 1,1).

设平面A 1BD 的一个法向量为),,(z y x n =，则由1DA 0n =及DB 0n =，得x z 0x y 0

+=⎧⎨+=⎩⇒ z=-x y=-x ⎧⎨⎩,取x=-1,得n =(-1,1, 1),于是点C 1到平面A 1BD 的距离为d=1C D n n =3233. 例4．(06年福建高考题)如图4，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，CA=CB=CD=BD=2，2，求点E 到平面ACD 的距离.

解：由题设易知AO ⊥BD ，OC ⊥BD ，∴OA=1，3OA 2+OC 2=AC 2，∴∠AOC=90︒，即

OA ⊥OC.

以O 为原点，OB 、OC 、OA 所在直线为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系O-xyz ，则A(0,0,1),B(1,0,0),C(0, 3,∴ E(12,32,0), AD =(-1,0,-1), AC =(0, 3ED =(-32,-32

,0). 设平面ACD 的一个法向量为),,(z y x n =，则由AD 0n =及AC 0n =，得x z 03y z 0

+=⎧⎪-=⇒ x=-z 3⎧⎪⎨⎪⎩,取3得n 33于是点E 到平面ACD 的距离为d=D E n n =37

=217.