十种典型的三角变换方法

十种典型的三角变换方法

尚宇林

三角变换的一般技术颇多。本文就一些特殊条件下的特有变换技术，归纳如下。

1. 条件中有“sin cos αα+=m ”或要求“sin cos αα+”，方法是平方。 例：设()απαα∈+=

0713，，sin cos ，求tan α的值。 2. 已知tan α，求a b c sin sin cos cos 22αααα++的值，方法是

将a b c sin sin cos cos 22

αααα++写成a b c sin sin cos cos sin cos 2222αααααα+++，然后分子、分母同除以cos 2α。

例1. 已知tan α=2，求sin

sin cos 234ααα++的值。 例2. 求函数y x x x x =-++325122sin sin cos cos 的值域。

3. 化简1111+-+-sin sin cos cos αααα，，，的方法是用1的平方代换或倍角公式。

例：已知x 是第二象限角，且sin x 2320+⎛⎝ ⎫⎭⎪>π，则122

--sin cos sin x x x 为（ ） A. 1 B. -1 C. 12 D. -12

4. 化简11111111-++-+--+sin sin cos cos sin sin cos cos αααααααα

，，，的方法是将分式的分子、分母同乘以其分子（或分母）。

例：已知f x x x

()=-+11，又αππ∈⎛⎝ ⎫⎭⎪2，，化简()()f f cos cos αα+-。 5. 问题中同时出现tan tan tan tan αβαβ+，，方法是从()tan αβ+的展开式入手。 例1. 求值tan tan tan tan 174331743︒+︒+︒︒。

例2. △ABC 中，证明tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=。

6. 由a b m a b n sin sin cos cos αβαβ+=+=，，求()cos αβ-的方法是平方相加。 例：sin sin sin cos cos cos αβγαβγ++=++=00，，求()cos αβ-的值。

7. 化简cos cos cos cos αααα2222…n

，方法是将其分子分母同乘以21n +sin α。 例1. 化简cos cos cos 204080︒︒︒。

例2. 化简cos cos cos cos π

πππ17217417817

8. 由()()sin sin αβαβ+=-=m n ，，求

tan tan αβ，方法是视sin cos cos sin αβαβ、为整体。

例：已知sin cos αβ=12

，求cos sin αβ的取值范围。 9. 变形a b sin cos αβ+的方法是引进辅助角。

例1. △ABC 中，b ac 2=，求y B B =+sin cos 的范围。

例2. 求y x x =-+2135

cos sin 的值域。 10. 问题中同时出现“sin cos sin cos x x x x ，±”，方法是“换元”，即令“sin cos x x t +=”。 例：求y x x x x =++sin cos sin cos 的值域。