线性变换的矩阵

(σ(α1), σ(α2), …, σ(αn))
=(α1, α2, …, αn) A
(2)
其中
a11 a12 L
A
a21
a22
L
L L L
an1
an2
L
a1n
a2n
L
ann
矩阵A称为线性变换σ在基 {α1，α2，…，αn}下的矩阵．
前页 后页 返回
3. 几个例子 例1 求F3[x]的线性变换σ： σ(f(x))=2 f(x)- f′(x)在基{1,x,x2,x3}下的矩阵． 解 因为
6.3 线性变换的矩阵 授课题目： 6.1 线性变换的矩阵 授课时数：4学时 教学目标：掌握线性变换的矩阵的定义与性质 教学重点：线性变换矩阵的定义 教学难点：线性变换矩阵的线性变换对基的作用的重要性 定理6.3.1 设V是数域F上的一个 n 维线性空间， {α1，α2，…，αn }是V的一个基． 1) V的任一线性变换σ，由它在基 {α1，α2，…，αn }上的作用惟一确定，即如果 σ(αi )＝τ (αi ) (τ∈L ( V ) , i= 1, 2, …, n), 则σ= τ;
n
n
=σ(
bijai ) = bij (i )
i 1
i 1
j=1,2, …,n.
由此可得
(στ(α1), στ(α2), …, στ(αn)) =( σ(α1), σ(α2), …, σ(αn))B =( α1, α2, …, αn)(AB), 即Φ(στ)=AB=Φ(σ) Φ(τ).
前页 后页 返回
前页 后页 返回
如果τ∈L(V),且τ(αi)= βi, i=1,2, …,n, ξ=x1α1+ x2α2+…+ xnαn∈V, 则τ(ξ)=x1τ(α1)+ x2τ(α2)+ …+ xnτ(αn)
= x1β1+ x2β2+…+ xnβn=σ(ξ). 所以，σ＝τ．
前页 后页 返回
2. 线性变换矩阵的定义
a 0 b 0
A
0
a
0
b
c 0 d 0
0
c
0
d
前页 后页 返回
例3 设σ是F3的一个线性变换， ε1＝（1，0，0），ε2＝（0，1，0）， ε3＝（0，0，1）， σ(ε1)＝（2，-1，3），σ(ε2)＝（-1，0，4）， σ(ε3)＝（0，-5，5）． 求σ在标准基｛ε1，ε2，ε3｝下的矩阵． 解 由于 σ(ε1) = 2ε1- ε2 + 3ε3,
ξ=x1α1+ x2α2+…+ xnαn
=(α1，α2，…，αn)
x1
x2
M
xn
前页 后页 返回
σ是V的线性变换，所以 σ(ξ)=x1σ(α1)+x2σ(α2)+…+xnσ(αn)
=(σ(α1)，σ(α2)，…，σ(αn))
=(α1，α2，…，αn)A
x1
x2
M
xn
x1
4）σ可逆时，σ-1∈L(V), σσ-1=ι. Φ(σσ-1)= Φ(σ) Φ(σ-1) =AΦ(σ-1)= Φ(ι)=In, 所以，A可逆，且A-1=Φ(σ-1 ). 若A可逆，有AA-1=In ．设Φ(τ)=A-1, Φ(ι)=In=AA-1=Φ(σ) Φ(τ) = Φ(στ)=A-1A=Φ(τ) Φ(σ)= Φ(τσ). 于是有ι=στ=τσ，即σ可逆．□
x2
M
xn
前页 后页 返回
另方面，由假设知 σ（ξ）=(α1，α2，…，αn)
y1
y2
M
yn
比较（4）与（5）两式，有
y1 x1
y2
A
x2
.
□
M M
yn
xn
前页 后页 返回
三. 矩阵的相似 1. 同一线性变换在不同基下的矩阵之间的关系
线性变换的矩阵显然依赖于基的选择．同一 线性变换在不同基下的矩阵一般是不同的．我们 来看线性变换在不同基下的矩阵之间的关系．
前页 后页 返回
定理6.3.2说明，双射Φ除了是F上的两个 线性空间L(V)和Mn(F)之间的一个同构映射外， 还保持乘法运算和可逆性．这样，我们在L(V) 与Mn(F)之间建立了十分密切的联系． 2. 线性变换矩阵的一个应用 利用线性变换的矩阵可以直接计算向量的象．
前页 后页 返回
定理6.3.3 设V是数域F上的一个n维线性空间，
的元素按相似关系分类，凡是彼此相似的矩阵 属于同一类，不同的相似类之间没有公共元素． 下面的定理阐明了相似类的实际意义． 定理6.3.5 设A,B∈Mn(F), A~B的充分必要条 件是，它们是某个σ∈L(V)在两个基下的矩阵．
前页 后页 返回
证 充分性已由定理6.3.4证明． 由定理6.3.1知, 存在F上的n维线性空间V的一个
前页 后页 返回
1)( σ+τ)( αi)= σ(αi)+ τ(αi) =(a1i+b1i) α1+(a2i+b2i) α2+…+(ani+bni) αn, i=1,2, …,n.
由此可得 (( σ+τ)( α1), ( σ+τ)( α2), …, ( σ+τ)( αn)) = ( α1, α2, …, αn)(A+B), 即 Φ( σ+τ)=A+B=Φ(σ)+ Φ(τ).
定理6.3.4 线性空间V的线性变换σ在V的两个基
｛α1，α2，…，αn｝ ｛β1，β2，…，βn｝
（6） （7）
前页 后页 返回
下的矩阵分别是A和B，从（6）到（7）的过渡矩 阵是T，那么B=T-1AT.
证 因为 （σ（α1），σ（α2），…，σ（αn））
=(α1，α2，…，αn)A, （σ（β1），σ（β2），…，σ（βn））
在L(V)与Mn(F)之间建立了一个映射Φ，它把 每个σ∈L(V)映成σ在该基下的矩阵A∈Mn(F)． Φ：σ aA 1. Φ的性质
定理6.3.1的2）说明Φ是双射．
这个映射的重要性还在于它能保持加法、数乘
和乘法运算．
前页 后页 返回
定理6.3.2 L(V)到Mn(F)的上述映射Φ具有 以下性质： 1)对任意的σ，τ∈L(V)，有
定义1 设{α1，α2，…，αn}是数域F上 的n维线性空间V的一个基，σ∈L(V)． 基向量的象可由基线性表示：
(1 ) a111 a212 L an1n
(
2
) L
a121 a222 L
LLLLLLL
an 2 n
(n ) a1n1 a2n2 L annn
前页 后页 返回
我们把（1）写成矩阵等式的形式
前页 后页 返回
2) 任给β1，β2，…，βn∈V，必存在V的惟一 线性变换σ，使σ(αi)= βi ( i = 1, 2, …, n). 证 只须证2）． 设ξ=x1α1+ x2α2+…+ xnαn 是V的任意向量， 规定V的一个变换σ:
σ(ξ)= x1β1+ x2β2, …, xnβn . 这时，有σ(αi)= βi , i=1, 2, …, n. 以下我们证明σ是V的线性变换．
前页 后页 返回
设η=y1α1+ y2α2+…+ ynαn∈V , ξ+η=(x1+y1) α1+(x2+y2) α2+…+(xn+yn) αn.
于是σ(ξ+η) = (x1+y1) β1+(x2+y2) β2+…+(xn+yn) βn =(x1β1+ x2β2+…+ xnβn)+(y1β1+ y2β2+…+ ynβn) = σ(ξ)+ σ(η), σ(kξ)=k x1β1+k x2β2+…+k xnβn=kσ(ξ). 所以，σ是V的满足定理所要求的条件和的线性 变换．
=(β1，β2，…，βn)B, (β1，β2，…，βn)
=( α1，α2，…，αn)T,
前页 后页 返回
所以 (β1，β2，…，βn)B
=（σ（β1），σ（β2），…，σ（βn）） =（σ（α1），σ（α2），…，σ（αn））T =(α1，α2，…，αn)AT =(β1，β2，…，βn)T-1AT 故B=T-1AT. □
前页 后页 返回
2)(kσ)(αi)=ka1iα1+ka2iα2+…+kan iαn, i=1,2, …,n. 由此可得 ((kσ)( α1), (kσ)( α2), …, (kσ)( αn)) = ( α1, α2, …, αn)(kA), 即 Φ(kσ)=kA=kΦ(σ).
前页 后页 返回
3)στ(αj)=σ(τ(αj))
σ(1) = 2 = 2 + 0x + 0x2 + 0x3, σ(x) = 2 x-1 = -1 + 2 x + 0 x2 + 0 x3 σ(x2) = 2 x2 -2 x=0 -2 x + 2 x2 + 0 x3 σ(x3) = 2 x3 -3 x2 = 0 + 0 x -3 x2 + 2 x3, 所以σ在基{ 1 , x , x2 , x3 }下的矩阵是
B=T-1AT时，A=(T-1)-1BT-1; 3)传递性．如果A~B,B~C,那么A~C．
这是因为当B=T1-1AT1，且 C= T2-1BT2时，有 C= T2-1 (T1-1AT1)T2=(T1T2)-1A(T1T2).
前页 后页 返回
3.相似类的实际意义 由于上述性质，我们可以把集合M n (F)中