线性变换的矩阵

解 因为 σ(E11)=a E11+0 E12+c E21+0 E22,
σ(E12)=0 E11+a E12+0 E21+c E22,
σ(E21)=b E11+0 E12+d E21+0 E22,
σ(E22)=0 E11+b E12+0 E21+d E22,
故σ在基｛E11, E12, E21, E22｝下的矩阵是
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2) 任给β1，β2，…，βn∈V，必存在V的惟一 线性变换σ，使σ(αi)= βi ( i = 1, 2, …, n). 证 只须证2）． 设ξ=x1α1+ x2α2+…+ xnαn 是V的任意向量， 规定V的一个变换σ:
σ(ξ)= x1β1+ x2β2, …, xnβn . 这时，有σ(αi)= βi , i=1, 2, …, n. 以下我们证明σ是V的线性变换．
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1)( σ+τ)( αi)= σ(αi)+ τ(αi) =(a1i+b1i) α1+(a2i+b2i) α2+…+(ani+bni) αn, i=1,2, …,n.
由此可得 (( σ+τ)( α1), ( σ+τ)( α2), …, ( σ+τ)( αn)) = ( α1, α2, …, αn)(A+B), 即 Φ( σ+τ)=A+B=Φ(σ)+ Φ(τ).
x2
M
xn
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另方面，由假设知 σ（ξ）=(α1，α2，…，αn)
y1
y2
M
yn
比较（4）与（5）两式，有
y1 x1
y2
A
x2
.
□
M M
yn
xn
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三. 矩阵的相似 1. 同一线性变换在不同基下的矩阵之间的关系
线性变换的矩阵显然依赖于基的选择．同一 线性变换在不同基下的矩阵一般是不同的．我们 来看线性变换在不同基下的矩阵之间的关系．
定理6.3.4 线性空间V的线性变换σ在V的两个基
｛α1，α2，…，αn｝ ｛β1，β2，…，βn｝
（6） （7）
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下的矩阵分别是A和B，从（6）到（7）的过渡矩 阵是T，那么B=T-1AT.
证 因为 （σ（α1），σ（α2），…，σ（αn））
=(α1，α2，…，αn)A, （σ（β1），σ（β2），…，σ（βn））
在L(V)与Mn(F)之间建立了一个映射Φ，它把 每个σ∈L(V)映成σ在该基下的矩阵A∈Mn(F)． Φ：σ aA 1. Φ的性质
定理6.3.1的2）说明Φ是双射．
这个映射的重要性还在于它能保持加法、数乘
和乘法运算．
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定理6.3.2 L(V)到Mn(F)的上述映射Φ具有 以下性质： 1)对任意的σ，τ∈L(V)，有
σ∈L(V)，σ在基{α1，α2，…，αn}下的矩 阵是A，如果V中的向量ξ在这个基下的坐标
是（x1,x2，…，xn），而σ(ξ)在该基下的坐 标是（y1, y2, …，yn）．那么
y1 x1
y2
A
x2
M M
yn
xn
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证 由假设
（σ（α1），σ（α2），…，σ（αn）） =(α1，α2，…，αn)A
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2.相似矩阵及其性质 定义2 设A,B是数域F上的两个n阶方阵．如果 存在F上的一个n阶可逆矩阵T，使B=T-1AT，则 称B与A相似或A相似于B，记为A~B.
根据这个定义，定理6.3.4说的是，n维线性 空间V的同一线性变换在两个基下的矩阵是相 似的．
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矩阵的相似关系具有如下性质： 1)自反性．A~A．因为A=I-1AI; 2)对称性．如果A~B,那么B~A,这是因为当
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设η=y1α1+ y2α2+…+ ynαn∈V , ξ+η=(x1+y1) α1+(x2+y2) α2+…+(xn+yn) αn.
于是σ(ξ+η) = (x1+y1) β1+(x2+y2) β2+…+(xn+yn) βn =(x1β1+ x2β2+…+ xnβn)+(y1β1+ y2β2+…+ ynβn) = σ(ξ)+ σ(η), σ(kξ)=k x1β1+k x2β2+…+k xnβn=kσ(ξ). 所以，σ是V的满足定理所要求的条件和的线性 变换．
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如果τ∈L(V),且τ(αi)= βi, i=1,2, …,n, ξ=x1α1+ x2α2+…+ xnαn∈V, 则τ(ξ)=x1τ(α1)+ x2τ(α2)+ …+ xnτ(αn)
= x1β1+ x2β2+…+ xnβn=σ(ξ). 所以，σ＝τ．
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2. 线性变换矩阵的定义
Φ（σ+τ）＝Φ（σ）+Φ（τ）； 2)对任意的σ∈L(V), k∈F,有Φ(kσ)=kΦ(σ); 3）对任意的σ，τ∈L(V)，，有
Φ（στ）＝Φ（σ）Φ（τ）；
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4) 若σ∈L(V)，σ可逆，则 Φ（σ）＝A是可逆矩阵，且Φ（σ-1）＝A-1．
反之，若A可逆，则σ也可逆． 证 令Φ(σ)=A=(aij)n n，Φ(τ)=B=(bij)nn ,即 (σ(α1), σ(α2), …, σ(αn))=( α1, α2, …, αn)A, (τ(α1), τ(α2)), …, σ(αn))=( α1, α2, …, αn)B.
B=T-1AT时，A=(T-1)-1BT-1; 3)传递性．如果A~B,B~C,那么A~C．
这是因为当B=T1-1AT1，且 C= T2-1BT2时，有 C= T2-1 (T1-1AT1)T2=(T1T2)-1A(T1T2).
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3.相似类的实际意义 由于上述性质，我们可以把集合M n (F)中
4）σ可逆时，σ-1∈L(V), σσ-1=ι. Φ(σσ-1)= Φ(σ) Φ(σ-1) =AΦ(σ-1)= Φ(ι)=In, 所以，A可逆，且A-1=Φ(σ-1 ). 若A可逆，有AA-1=In ．设Φ(τ)=A-1, Φ(ι)=In=AA-1=Φ(σ) Φ(τ) = Φ(στ)=A-1A=Φ(τ) Φ(σ)= Φ(τσ). 于是有ι=στ=τσ，即σ可逆．□
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2)(kσ)(αi)=ka1iα1+ka2iα2+…+kan iαn, i=1,2, …,n. 由此可得 ((kσ)( α1), (kσ)( α2), …, (kσ)( αn)) = ( α1, α2, …, αn)(kA), 即 Φ(kσ)=kA=kΦ(σ).
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3)στ(αj)=σ(τ(αj))
(σ(α1), σ(α2), …, σ(αn))
=(α1, α2, …, αn) A
(2)
其中
a11 a12 L
A
a21
a22
L
L L L
an1
an2
L
a1n
a2n
L
ann
矩阵A称为线性变换σ在基 {α1，α2，…，αn}下的矩阵．
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3. 几个例子 例1 求F3[x]的线性变换σ： σ(f(x))=2 f(x)- f′(x)在基{1,x,x2,x3}下的矩阵． 解 因为
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定理6.3.2说明，双射Φ除了是F上的两个 线性空间L(V)和Mn(F)之间的一个同构映射外， 还保持乘法运算和可逆性．这样，我们在L(V) 与Mn(F)之间建立了十分密切的联系． 2. 线性变换矩阵的一个应用 利用线性变换的矩阵可以直接计算向量的象．
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定理6.3.3 设V是数域F上的一个n维线性空间，
a 0 b 0
A
0
a
0
b
c 0 d 0
0
c
0
d
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例3 设σ是F3的一个线性变换， ε1＝（1，0，0），ε2＝（0，1，0）， ε3＝（0，0，1）， σ(ε1)＝（2，-1，3），σ(ε2)＝（-1，0，4）， σ(ε3)＝（0，-5，5）． 求σ在标准基｛ε1，ε2，ε3｝下的矩阵． 解 由于 σ(ε1) = 2ε1- ε2 + 3ε3,
6.3 线性变换的矩阵 授课题目： 6.1 线性变换的矩阵 授课时数：4学时 教学目标：掌握线性变换的矩阵的定义与性质 教学重点：线性变换矩阵的定义 教学难点：线性变换矩阵的性质
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一. 线性变换的矩阵表示 1. 线性变换对基的作用的重要性 定理6.3.1 设V是数域F上的一个 n 维线性空间， {α1，α2，…，αn }是V的一个基． 1) V的任一线性变换σ，由它在基 {α1，α2，…，αn }上的作用惟一确定，即如果 σ(αi )＝τ (αi ) (τ∈L ( V ) , i= 1, 2, …, n), 则σ= τ;
定义1 设{α1，α2，…，αn}是数域F上 的n维线性空间V的一个基，σ∈L(V)． 基向量的象可由基线性表示：
(1 ) a111 a212 L an1n
(
2
) L
a121 a222 L
LLLLLLL
an 2 n
(n ) a1n1 a2n2 L annn
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我们把（1）写成矩阵等式的形式
σ(ε2) = -ε1+0ε2 + 4ε3, σ(ε3) = 0ε1-5ε2 + 5ε3,
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有 （σ(ε1)，σ(ε2)，σ(ε3)）
＝（ε1，ε2，ε3）
2 1 0
1 3
0 4
5 5
即σ在基{ε1，ε2，ε3 }下的矩阵是
2 1 0
A
1 3
0 4
5 5
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2 1 0 0
A
0
2
2
0
0 0 2 3
0
0
0
2
采用矩阵形式的写法为
(σ(1), σ(x), σ(x2), σ(x3))=(1, x, x2, x3)A
例2 求M2(F)的线性变换σ：
σ(X) =
a
c
b
d
X
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在基｛E11, E12, E21, E22｝下的矩阵．
ξ=x1α1+ x2α2+…+ xnαn
=(α1，α2，…，αn)
x1
x2
M
xn
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σ是V的线性变换，所以 σ(ξ)=x1σ(α1)+x2σ(α2)+…+xnσ(αn)
=(σ(α1)，σ(α2)，…，σ(αn))
=(α1，α2，…，αn)A
x1
x2
M
xn
x1
=(β1，β2，…，βn)B, (β1，β2，…，βn)
=( α1，α2，…，αn)T,
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所以 (β1，β2，…，βn)B
=（σ（β1），σ（β2），…，σ（βn）） =（σ（α1），σ（α2），…，σ（αn））T =(α1，α2，…，αn)AT =(β1，β2，…，βn)T-1AT 故B=T-1AT. □
n
n
=σ(
bijai ) = bij (i )
i 1
i 1
j=1,2, …wenku.baidu.comn.
由此可得
(στ(α1), στ(α2), …, στ(αn)) =( σ(α1), σ(α2), …, σ(αn))B =( α1, α2, …, αn)(AB), 即Φ(στ)=AB=Φ(σ) Φ(τ).
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的元素按相似关系分类，凡是彼此相似的矩阵 属于同一类，不同的相似类之间没有公共元素． 下面的定理阐明了相似类的实际意义． 定理6.3.5 设A,B∈Mn(F), A~B的充分必要条 件是，它们是某个σ∈L(V)在两个基下的矩阵．
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证 充分性已由定理6.3.4证明． 由定理6.3.1知, 存在F上的n维线性空间V的一个
线性变换σ,使它在V的基 {α1,α2, …,αn｝ 下的矩阵为A．因为A～B,存在可逆矩阵T使 B= T-1AT.令 (β1，β2，…，βn) ＝（α1，α2，…，αn）T， ｛β1，β2，…，βn｝也是V的一个基． 由定理6.3.4，σ在这个基下的矩阵就是 T-1AT＝B．□
一般地，Fn的一个线性变换σ在标准基 {ε1，ε2，…，εn}下的矩阵 A 就是把 σ(εi)的分量作列排成的 n 阶方阵. 例4 单位变换ι在任何基下的矩阵都是单位 矩阵I．数乘变换kι在任何基下的矩阵都是 数量矩阵kI．
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二. L(V)与Mn(F)之间的密切关系 在V中取定一个基后，通过（2）式，我们
σ(1) = 2 = 2 + 0x + 0x2 + 0x3, σ(x) = 2 x-1 = -1 + 2 x + 0 x2 + 0 x3 σ(x2) = 2 x2 -2 x=0 -2 x + 2 x2 + 0 x3 σ(x3) = 2 x3 -3 x2 = 0 + 0 x -3 x2 + 2 x3, 所以σ在基{ 1 , x , x2 , x3 }下的矩阵是