第8章 联立方程模型的系统估计方法

§3.5 联立方程计量经济学模型的系统 估计方法 the Systems Estimation Methods
联立方程模型随机误差项方差-协方 差矩阵 三阶段最小二乘法 完全信息最大似然法简介

一、联立方程模型随机误差项方差-协方差 矩阵
1. 随机误差项的同期相关性

随机误差项的相关性不仅存在于每个结构方程 不同样本点之间，而且存在于不同结构方程之 间。 对于不同结构方程的随机误差项之间，不同时 期互不相关，只有同期的随机误差项之间才相 关，称为具有同期相关性。
I
二、三阶段最小二乘法简介 (3SLS,Three Stages Least Squares) 1. 概念

3SLS是由Zellner和Theil于1962年提出的同时 估计联立方程模型全部结构方程参数的系统估 计方法。 其基本思路是 3SLS=2SLS+GLS 即首先用 2SLS 估计模型系统中每一个结构方 程，然后再用GLS估计模型系统。

广义最小二乘法(Generalized Least Squares)
对于模型 Y=X + 如果存在序列相关，同时存在异方差，即有
Cov( , ) E ( ) 2 w11 w 21 wn1 w12 w22 wn 2 w1n w2 n wnn
C(3)
C(4) C(5)
0.466598
-26.80069 0.382692
0.156816
239.3079 0.004722
2.975447
-0.111993 81.04273
0.0048
0.9114 0.0000
• 3SLS的估计结果(2)
Equation: CONS=C(1)+C(2)*GDP+C(3)*CONS(-1)



在该方法中，以下两个概念是重要的：
一是这里的“有限信息”指的是每次估计只考 虑一个结构方程的信息，而没有考虑模型系统 中其它结构方程的信息；
二是“有限信息最大似然法”是针对结构方程 中包含的内生变量的简化式模型的，即应用最 大似然法求得的是简化式参数估计量，而不是 结构式参数估计量。
0 Y1 (Y0 , X 0 ) 1 0
0.996417
0.996255 824.0435 0.758314
Mean dependent var
S.D. dependent var Sum squared resid
14318.54
13464.79 14939049
三、完全信息最大似然法简介 (FIML, Full Information Maximum Likelihood) 1. 概念
I
2
1

1 (2 )
gn 2
Βιβλιοθήκη Baidu
I
1 2
e
L(Y )
1 (2 )
gn 2
I
2
1
~ 21 (Y Z ) ( 1 I )(Y Z ) e Y
1 ( Y Z ) ( 1 I)( Y Z ) 2



对数似然函数对于协方差逆矩阵的元素取极大 值的一阶条件，得到FIML估计量； 对数似然函数对于待估计参数取极大值的一阶 条件，求解该方程系统，即可得到结构参数的 FIML估计量。 研究的重点是如何求解该方程系统。
cov( 1 , n ) 2 E ( n 1 ) var( n )
Cov( i , j ) ij I
Cov ( i1 , 2 j)
1 cov( N1 , N12 ) 1 2 cov( N n , N1 ) 1 2 cov( N1 , Nn ) 12 1 2 cov( N n , N n ) 0
i Z i Y0
OLS 估计


OLS估计
1 i ( ZiZi ) ZiYi
Z Y i i i
il eil yil y
⑵ 求随机误差项方差—协方差矩阵的估计量
ei ei1 ei 2 ein
ij eie j
2 ii
1 cov( ) E ( ) E 1 n var( 1 ) cov( , ) n 1 2 In
n E ( 1n ) 2
• 3SLS的估计结果(1)
Estimation Method: Three-Stage Least Squares Sample: 1979 2002 Included observations: 24 Total system (balanced) observations 48 Linear estimation after one-step weighting matrix Coefficient C(1) C(2) 595.6517 0.260027 Std. Error 180.0949 0.067538 t-Statistic 3.307433 3.850089 Prob. 0.0019 0.0004
• 参数的最大似然估计：
1 ˆ (XX) XY
3. 复习：有限信息最大似然法(LIML， Limited Information Maximum Likelihood )

以最大似然为准则、通过对简化式模型进行最 大似然估计，以得到结构方程参数估计量的联 立方程模型的单方程估计方法。 由 Anderson和Rubin于 1949年提出，早于两阶 段最小二乘法。 适用于恰好识别和过度识别结构方程的估计。
Instruments: GOV CONS(-1) C Observations: 24
R-squared
Adjusted R-squared S.E. of regression Durbin-Watson stat
0.998598
0.998465 631.1315 0.799377
Mean dependent var
ˆ Y ˆi Z i 0

X i0

3. 三阶段最小二乘法估计量的统计性质
⑴ 3SLS估计量比2SLS估计量更有效。为什么？ ⑵如果Σ是对角矩阵，即模型系统中不同结构方程 的随机误差项之间无相关性，那么3SLS估计量 与2SLS估计量是等价的。 ⑶这反过来也说明，3SLS方法主要优点是考虑了 模型系统中不同结构方程的随机误差项之间的相 关性。
yi 0 1 x1i 2 x2i k xki i i 1,2, ,n
Y X

Y的随机抽取的n组样本观测值的联合概率
, 2 ) P( y , y , , y ) L( 1 2 n 1
n (2 )
n 2

1
2 2
e

x x x )) 2 ( yi ( 0 1 1i 2 2i k ki

1
n (2 )
n 2
1
e
2
) (Y X ) ( Y X 2

对数似然函数为
L Ln( L)
*
1 ' ) nLn( 2 ) 2 (Y X) (Y X 2
0 12
12 I n
于是，联立方程模型系统随机误差项方差— 协方差矩阵为：
I 12 I 2 I I 21 22 Cov( ) I I g 1 g 2
2 11
1g I 2g I 2 gg I
是一对称正定矩阵，存在一可逆矩阵D，使得 =DD'
变换原模型： D-1Y=D-1X +D-1 即 Y*=X* + *
ˆ * ( X * X * ) 1 X *Y * (*)式的OLS估计：
(*)
( X ( D 1 ) D 1 X ) 1 X ( D 1 ) D 1Y ( X X ) 1 X Y

2. 具有同期相关性的方差—协方差矩阵
Y X
Y1 yi1 Y y 2 i2 Y Yi Yg yin
Y Z
Yi Zi i i
Zi Y
i 0
X
i 0 i 0

(n gi 1 k i )(n g j 1 k j )
( ij )
I
⑶ 用GLS估计原模型系统
Y Z
得到结构参数的3SLS估计量为：
ˆ 1 ˆ 1 ˆ ˆ 1 ˆ ˆ ˆ ( Z( I) Z) Z( I) Y 1 ˆ 1 ˆ ˆ 1 ˆ ˆ ( Z Z) Z Y
4. 3SLS应用：简单的宏观经济模型
Ct 0 1Yt 2Ct 1 1t I t 0 1Yt 2 t Y I C G t t t t
在Eviews中，新建New object → system cons=c(1)+c(2)*gdp+c(3)*cons(-1) inv=c(4)+c(5)*gdp inst c cons(-1) gov
S.D. dependent var Sum squared resid
17685.46
16106.62 8364865.
Equation: INV=C(4)+C(5)*GDP Instruments: GOV CONS(-1) C Observations: 24
R-squared
Adjusted R-squared S.E. of regression Durbin-Watson stat
i 0

i
假设： 对于一个结构方程的随机误差项，在不同 样本点之间，具有同方差性和序列不相关 性。即
Cov( i ) I
2 ii
• 对于不同结构方程的随机误差项之间，具有 且仅具有同期相关性。即
Cov( i , j ) ij I
Cov( i ) I
1 0 1 (Y0 , X 0 ) 1 0 0
Y X
1 0 1 0
1 0
1 1 1 1 1 1 1 ln L(Y01 ) c n ln tr ( Y X ) ( Y X 0 2 0 0 0 0 0) 2



另一种已有实际应用的联立方程模型的系统估 计方法。 Rothenberg和Leenders于1964年提出一个线性 化的FIML估计量。 FIML 是 ML 的直接推广，是在已经得到样本 观测值的情况下，使整个联立方程模型系统的 似然函数达到最大以得到所有结构参数的估计 量。
2. 复习：多元线性单方程模型的最大似然估计
4. 完全信息最大似然函数
Y Z
~ 正态(0, I )
ML的直接推广
~ 21 (Y Z ) ( 1 I )(Y Z ) e Y
n
1 2 ( Y Z ) ( 1 I )( Y Z )
L(Y )
1 (2 )
gn 2
这是原模型的广义最小二乘估计量(GLS estimators), 是无偏的、有效的估计量。
2. 三阶段最小二乘法的步骤
⑴ 用2SLS估计结构方程
Yi Zi i i

目的是得到方程随机误差项的估计值。
Zi Y
i 0
X
i 0

X
i 0
Y X
i 0 i 0
i 0
i i 1 i Y0 X0 X ( X X ) X Y0