材料固态相变与扩散 第2章_菲克定律应用(3学时)
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β相形成时的浓度分布
B原子扩散方向
相界移动 主要方向
Fe-C相图中在温度T时的平衡浓度值
采用稳态扩散的近似方法，估算β相中的浓度梯度：
dx dy
x l
使B原子由β/γ界面迁移到α/β界面的速率为：
dm dt
AD
dC dy
AD Vm
dx dy
AD Vm
x l
设dt时间,在α/β相界面上，增厚 dl,1在β/γ相界面上增
dmB
dt
Adl Vm
x x / dt
D Vm
A
dx dy
近似地取： dx / dy x / S
Δx为过饱和度。S可由两块阴影面积来估计。
(l )2
(x
D (x)2 x )(x
x
/
)
Vm Vm
2
t
四 新相在原两旧相间形核长大
这种情况如钢的加热转变奥氏体化。作为一般讨论，设 A-B二元系，有中间相β。 在一定温度时，可以在界面上形成 一层β相，并以一定速率长大，其长大速率决定于通过β相层 的扩散速率。如图所示。建立局部平衡时浓度分布曲线。
C2 r2
C1 r1
4Dr1r2
C2
C1 l
二、 在两相系统中的稳态扩散
假设有两组元组成一体系，一层是α相，扩散系数为Dα， 另一层为β相，扩散系数为Dβ。有两种情况：
（1）两层厚度与扩散物质的出现无关； （2）两相存在决定于扩散物质，且两相层的相对厚度取 决于扩散过程
1．两层厚度与扩散物质出现无关 如图，事先给出两层厚度分别用lα和lβ表示（例碳钢/A
当 Dβ＜＜Dα时,
1 dm D C
A dt
l
三 晶界薄膜的沉淀
A-B二元合金，在T1的均匀相冷至T0时有相析出。设晶界 是平面直线形，且当晶界上开始有β相析出时，沿晶界铺展 极快，形成一层薄膜。由相图可画出浓度分布。
图 晶界薄膜沉淀时的浓度分布
β相的长大主要取决于B原子在α相中的扩散。B原子向 β相薄膜扩散，在其附近α相中有一浓度梯度。经扩散， 在dt时间内增加了dlβ厚，则流量可得：
2C z 2
C t
D
2C r 2
1 r
C r
三维球坐标：
C t
1
D
r
2
r
r 2
C r
1 r 2Sin
Sin
C
1 r 2Sin
2C
2
一维球坐标：
C t
D
2C r 2
2 C
r
r
几个重要解：
高斯（Gauss）解： C
S
4Dt
exp
( y h)2 4Dt
a1 a2
l f D
l f D
扩散物质的流量主要决定于具有最大值的那个相，这 个相对扩散具有最大的阻力，这就象双层墙的热传导那 样，其散热主要取决于最好的绝热层。
2．两相存在与扩散过程有关 研究B组元通过A-B合金墙的扩散。在墙的一侧，B的 活度很高，例与纯B的气相保持平衡,而在墙的另一侧B的 活度很低。如下图
一般表达式： C Aexp y2 / B2
宽度 B 4Dt 振幅
A S
4Dt
分布规律是：宽度B随t而增宽，而A随t增加而衰减， B、A的匹配变化保持总面积不变，如图。 当t=0 时，B=0 ，A→∞ 。说明起始时，所有原子都集中
在一起。 → 适合于表面涂覆的扩散。 当t>0时，所有原子对扩散都有贡献。 →与事实不符。
(
y2
y1
)
D
A(C2
C1)
dm D A C2 C1
dt
l
2 二维扩散
二维稳态时所有半径方向上的流量均相同,如图所示.设内 径为r1，浓度c1，外径为r2，浓度c2 ，则：
dm DA dC D l 2 r dC
dt
dy
dy
dm r2 dr D l 2 C2 dC
dt r1 r
C1
dm 2 l D C2 C1
dt
ln(r2 / r1 )
3 三维扩散
如图为一球壳，内径为r1，浓 度C1，外径为r2，浓度C2。
dm DA dC
dt
dy
dm r2 dr 4D C2 dC
dt r r1 2
C1
dm 4D C2 C1
dt
(1/ r1) (1/ r2 )
4Dr1r2
厚 dl2 ,因为 :
dm dt
Adl1 Vm dt
( X
X)
根据质量平衡，在α/β界面上有：
Adl1 Vm dt
(x
x )
AD Vm
x l
同理在β/γ相界面上也有：
Adl2
Vm dt
x x
AD x Vm l
两侧的长大对β相均有贡献，所以：
dl dt
dl1
dl
2
图 B组元在A-B合金中扩散时的浓度分布
设墙厚为l ,在建立稳态后，
1 dm A dt
D
C l
D
C l
D
Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ l l
整个厚度是恒定的，但α/β厚随扩散而变化的，可 求得：
l
l D
D C C D C
1 dm D C D C
A dt
l
因此，可知道扩散元素的流量主要决定于具有最大 D·ΔC的相，就是对扩散具有最小阻力的相。
不锈钢），扩散物质用H表示（例氢气），H在稳态建立 后，在界面上的活度可用下式表示：
a f c
a f c
α/γ
α/γ
图 两相扩散层中的活度和浓度分布
所以，有：
1 dm D A dt l
ai a1 f
D l
a2
f
ai
ai
a1l f D
a2l f D
/
l
f D
l f D
1 A
dm dt
试件单面涂覆: 利用迭加原理和反射原理有：
dt
D x l
1
x
x
x
1
x
D l
x (x
(
x x x )(x
x x
) )
2.2 Fick第二定律及应用
各种表达式：(设D为常数)
三维直角坐标： 三维柱坐标：
一维柱坐标：
C t
D
2C x 2
2C y 2
2C z 2
C t
D
1 r
r
r
C r
1 r2
2C
2
误差解：
C A Berf y 4Dt
正弦（Sine）解： C Aexp(K 2Dt) sin(Ky)
一维球坐标高斯方程解: (t=0时，浓质集中在r=0处)
C(r,t)
A t3
exp
r2 4Dt
平方平均值:
y2 6Dt
用数学方法都可证明上述解都符合Fick第二定律。
1 高斯解及应用
第2章 Fick定律的应用
2.1 Fick第一定律及应用
dmB dt
DB
A dCB dy
J
1 A
dmB dt
DB
dxB Vmdy
一 在单相系统中的稳态扩散
1 一维扩散
dm/dt＝常数.对Fick第一定律积 分，积分限为：y1 ,y2 ,C1 , C2
dm dy D A dC dt
dm dt
B原子扩散方向
相界移动 主要方向
Fe-C相图中在温度T时的平衡浓度值
采用稳态扩散的近似方法，估算β相中的浓度梯度：
dx dy
x l
使B原子由β/γ界面迁移到α/β界面的速率为：
dm dt
AD
dC dy
AD Vm
dx dy
AD Vm
x l
设dt时间,在α/β相界面上，增厚 dl,1在β/γ相界面上增
dmB
dt
Adl Vm
x x / dt
D Vm
A
dx dy
近似地取： dx / dy x / S
Δx为过饱和度。S可由两块阴影面积来估计。
(l )2
(x
D (x)2 x )(x
x
/
)
Vm Vm
2
t
四 新相在原两旧相间形核长大
这种情况如钢的加热转变奥氏体化。作为一般讨论，设 A-B二元系，有中间相β。 在一定温度时，可以在界面上形成 一层β相，并以一定速率长大，其长大速率决定于通过β相层 的扩散速率。如图所示。建立局部平衡时浓度分布曲线。
C2 r2
C1 r1
4Dr1r2
C2
C1 l
二、 在两相系统中的稳态扩散
假设有两组元组成一体系，一层是α相，扩散系数为Dα， 另一层为β相，扩散系数为Dβ。有两种情况：
（1）两层厚度与扩散物质的出现无关； （2）两相存在决定于扩散物质，且两相层的相对厚度取 决于扩散过程
1．两层厚度与扩散物质出现无关 如图，事先给出两层厚度分别用lα和lβ表示（例碳钢/A
当 Dβ＜＜Dα时,
1 dm D C
A dt
l
三 晶界薄膜的沉淀
A-B二元合金，在T1的均匀相冷至T0时有相析出。设晶界 是平面直线形，且当晶界上开始有β相析出时，沿晶界铺展 极快，形成一层薄膜。由相图可画出浓度分布。
图 晶界薄膜沉淀时的浓度分布
β相的长大主要取决于B原子在α相中的扩散。B原子向 β相薄膜扩散，在其附近α相中有一浓度梯度。经扩散， 在dt时间内增加了dlβ厚，则流量可得：
2C z 2
C t
D
2C r 2
1 r
C r
三维球坐标：
C t
1
D
r
2
r
r 2
C r
1 r 2Sin
Sin
C
1 r 2Sin
2C
2
一维球坐标：
C t
D
2C r 2
2 C
r
r
几个重要解：
高斯（Gauss）解： C
S
4Dt
exp
( y h)2 4Dt
a1 a2
l f D
l f D
扩散物质的流量主要决定于具有最大值的那个相，这 个相对扩散具有最大的阻力，这就象双层墙的热传导那 样，其散热主要取决于最好的绝热层。
2．两相存在与扩散过程有关 研究B组元通过A-B合金墙的扩散。在墙的一侧，B的 活度很高，例与纯B的气相保持平衡,而在墙的另一侧B的 活度很低。如下图
一般表达式： C Aexp y2 / B2
宽度 B 4Dt 振幅
A S
4Dt
分布规律是：宽度B随t而增宽，而A随t增加而衰减， B、A的匹配变化保持总面积不变，如图。 当t=0 时，B=0 ，A→∞ 。说明起始时，所有原子都集中
在一起。 → 适合于表面涂覆的扩散。 当t>0时，所有原子对扩散都有贡献。 →与事实不符。
(
y2
y1
)
D
A(C2
C1)
dm D A C2 C1
dt
l
2 二维扩散
二维稳态时所有半径方向上的流量均相同,如图所示.设内 径为r1，浓度c1，外径为r2，浓度c2 ，则：
dm DA dC D l 2 r dC
dt
dy
dy
dm r2 dr D l 2 C2 dC
dt r1 r
C1
dm 2 l D C2 C1
dt
ln(r2 / r1 )
3 三维扩散
如图为一球壳，内径为r1，浓 度C1，外径为r2，浓度C2。
dm DA dC
dt
dy
dm r2 dr 4D C2 dC
dt r r1 2
C1
dm 4D C2 C1
dt
(1/ r1) (1/ r2 )
4Dr1r2
厚 dl2 ,因为 :
dm dt
Adl1 Vm dt
( X
X)
根据质量平衡，在α/β界面上有：
Adl1 Vm dt
(x
x )
AD Vm
x l
同理在β/γ相界面上也有：
Adl2
Vm dt
x x
AD x Vm l
两侧的长大对β相均有贡献，所以：
dl dt
dl1
dl
2
图 B组元在A-B合金中扩散时的浓度分布
设墙厚为l ,在建立稳态后，
1 dm A dt
D
C l
D
C l
D
Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ l l
整个厚度是恒定的，但α/β厚随扩散而变化的，可 求得：
l
l D
D C C D C
1 dm D C D C
A dt
l
因此，可知道扩散元素的流量主要决定于具有最大 D·ΔC的相，就是对扩散具有最小阻力的相。
不锈钢），扩散物质用H表示（例氢气），H在稳态建立 后，在界面上的活度可用下式表示：
a f c
a f c
α/γ
α/γ
图 两相扩散层中的活度和浓度分布
所以，有：
1 dm D A dt l
ai a1 f
D l
a2
f
ai
ai
a1l f D
a2l f D
/
l
f D
l f D
1 A
dm dt
试件单面涂覆: 利用迭加原理和反射原理有：
dt
D x l
1
x
x
x
1
x
D l
x (x
(
x x x )(x
x x
) )
2.2 Fick第二定律及应用
各种表达式：(设D为常数)
三维直角坐标： 三维柱坐标：
一维柱坐标：
C t
D
2C x 2
2C y 2
2C z 2
C t
D
1 r
r
r
C r
1 r2
2C
2
误差解：
C A Berf y 4Dt
正弦（Sine）解： C Aexp(K 2Dt) sin(Ky)
一维球坐标高斯方程解: (t=0时，浓质集中在r=0处)
C(r,t)
A t3
exp
r2 4Dt
平方平均值:
y2 6Dt
用数学方法都可证明上述解都符合Fick第二定律。
1 高斯解及应用
第2章 Fick定律的应用
2.1 Fick第一定律及应用
dmB dt
DB
A dCB dy
J
1 A
dmB dt
DB
dxB Vmdy
一 在单相系统中的稳态扩散
1 一维扩散
dm/dt＝常数.对Fick第一定律积 分，积分限为：y1 ,y2 ,C1 , C2
dm dy D A dC dt
dm dt