2021届湖南长郡中学新高考模拟考试(三)理科数学
湖南省长郡中学2021届高三数学第三次适应性考试试题 理.doc
湖南省长郡中学2021届高三数学第三次适应性考试试题理本试题卷共8页，全卷满分150分。
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一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合{x∈N*|12x∈Z}中含有的元素个数为A.4B.6C.8D.122.设a，b∈R，i是虚数单位，则“复数z＝a＋bi为纯虚数”是“ab＝0”的A.充要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充分不必要条件3.2021年10月1日上午，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵仪式在天安门广场隆重举行。
这次阅兵不仅展示了我国的科技军事力量，更是让世界感受到了中国的日新月异。
今年的阅兵方阵有一个很抢眼，他们就是院校科研方阵。
他们是由军事科学院、国防大学、国防科技大学联合组建.若已知甲、乙、丙三人来自上述三所学校，学历分别有学士、硕士、博士学位。
现知道：①甲不是军事科学院的；②来自军事科学院的不是博士；③乙不是军事科学院的；④乙不是博士学位；⑤国防科技大学的是研究生。
则丙是来自哪个院校的，学位是什么A.国防大学，博士B.国防科技大学，研究生C.国防大学，研究生D.军事科学院，学士4.(1x＋x＋y2)8的展开式中x－1y2的系数为A.160B.240C.280D.3205.已知a＝ln3，b＝log3e，c＝logπe(注：e为自然对数的底数)，则下列关系正确的是A.c<b<aB.a<b<cC.b<a<cD.b<c<a6.函数()()2ln1x xe ef xx--=+，在[－3，3]的图象大致为7.一个几何体的三视图及尺寸如下图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，该几何体的表面积是A.828πB.8216π+ C.1628π D.16216π8.已知a∈(0，2π)，β∈(－2π，0)，且cos(4π＋α)＝13，cos(4π－2β)3，则cos(α＋2β)＝3353D.69.已知F1，F2是双曲线C：2221(0)xy aa-=>的两个焦点，过点F1且垂直于x轴的直线与C 相交于A，B两点，若|AB|2，则△ABF2的内切圆的半径为23222310.已知数列{a n}的通项公式为a n＝＝2n＋2，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵。
2021年湖南省高考数学第三次考试试卷(三模)(附答案详解)
2021年湖南省高考数学第三次考试试卷（三模）1.已知集合M={x|x−1>0}，N={x|x2<10}，则M∩N=()A. {x|x>−√10}B. {x|1<x<10}C. {x|x>√10}D. {x|1<x<√10}2.已知z在复平面内对应的点的坐标为(2,−1)，则2zz−1=()A. 1−3iB. 3+iC. 1−iD. 2−i3.每年的3月15日是“国际消费者权益日”，某地市场监管局在当天对某市场的20家肉制品店、100家粮食加工品店和15家乳制品店进行抽检，要用分层抽样的方法从中抽检27家，则粮食加工品店需要被抽检()A. 20家B. 10家C. 15家D. 25家4.已知抛物线C：y=mx2(m>0)上的点A(a,2)到其准线的距离为4，则m=()A. 14B. 8 C. 18D. 45.《周髀算经》是我国古代的天文学和数学著作，其中有一个问题大意如下：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同(即太阳照射物体的影子长度增加和减少的大小相同).二十四个节气及晷长变化如图所示，若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸(注：一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则立秋晷长为()A. 五寸B. 二尺五寸C. 三尺五寸D. 四尺五寸6.已知数列{a n}满足2a n=3a n+1−a n+2，a2−a1=1．(1)证明：数列{a n+1−a n}是等比数列；(2)若a1=12，求数列{a n}的通项公式．7.P为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上一点，F1，F2分别为其左、右焦点，O为坐标原点.若|OP|=b，且sin∠PF2F1=3sin∠PF1F2，则C的离心率为()A. √2B. √3C. 2D. √68.在一次“概率”相关的研究性活动中，老师在每个箱子中装了10个小球，其中9个是白球，1个是黑球，用两种方法让同学们来摸球.方法一：在20箱中各任意摸出一个小球；方法二：在10箱中各任意摸出两个小球.将方法一、二至少能摸出一个黑球的概率分别记为p1和p2，则()A. p1<p2B. p1=p2C. p1>p2D. 以上三种情况都有可能9.在(3x√x)n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则()A. 二项式系数和为64B. 各项系数和为64C. 常数项为−135D. 常数项为13510.已知函数f(x)=2alnx+x2+b.()A. 当a=−1时，f(x)的极小值点为(1,1+b)B. 若f(x)在[1,+∞)上单调递增，则a∈[−1,+∞)C. 若f(x)在定义域内不单调，则a∈(−∞,0)D. 若a=−32且曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与曲线y=−e x相切，则b=−211.如图，在平行四边形ABCD中，AB=1，AD=2，∠A=60°，沿对角线BD将△ABD折起到△PBD的位置，使得平面PBD⊥平面BCD，下列说法正确的有()A. 平面PCD⊥平面PBDB. 三棱锥P−BCD四个面都是直角三角形C. PD与BC所成角的余弦值为√34D. 过BC的平面与PD交于M，则△MBC面积的最小值为√21712.已知函数f(x)=2asinωxcosωx−2cos2ωx+1(ω>0,a>0)，若f(x)的最小正周期为π，且对任意的x∈R，f(x)≥f(x0)恒成立，下列说法正确的有()A. ω=2B. 若x0=−π6，则a=√3C. 若f(x0−π2)=2，则a=√3D. 若g(x)=f(x)−2|f(x)|在(x0−3π4,x0−θ)上单调递减，则π2⩽θ<3π413.已知单位向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗−2b⃗ |=√3，则a⃗与b⃗ 的夹角为______ ．14.函数概念最早出现在格雷戈里的文章《论圆和双曲线的求积》(1667年)中.他定义函数是这样一个量：它是从一些其他量出发，经过一系列代数运算而得到的，或者经过任何其他可以想象到的运算得到的.若一个量c=a+b，而c所对应的函数值f(c)可以通过f(c)=f(a)⋅f(b)得到，并且对另一个量d，若d>c，则都可以得到f(d)>f(c).根据自己所学的知识写出一个能够反映f(c)与c的函数关系式：______ ．15.直线l：(2a−1)x+(a−3)y+4−3a=0与圆(x−2)2+y2=9相交于A，B两点，则|AB|的最小值为______ ；此时a=______ ．16.数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，所谓等腰四面体，就是指三组对棱分别相等的四面体.关于“等腰四面体”，以下结论正确的序号是______ ．①“等腰四面体”每个顶点出发的三条棱一定可以构成三角形；②“等腰四面体”的四个面均为全等的锐角三角形；③三组对棱长度分别为5，6，7的“等腰四面体”的体积为2√95；④三组对棱长度分别为a，b，c的“等腰四面体”的外接球直径为√a2+b2+c2．17.a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边.已知a=3bsinA，a=3，c=3√2．(1)若b<c，求b；(2)求cos2C．18.为了解华人社区对接种新冠疫苗的态度，美中亚裔健康协会日前通过社交媒体，进行了小规模的社区调查，结果显示，多达73.4%的华人受访者最担心接种疫苗后会有副作用.其实任何一种疫苗都有一定的副作用，接种新型冠状病毒疫苗后也是有一定副作用的，这跟个人的体质有关系，有的人会出现副作用，而有的人不会出现副作用.在接种新冠疫苗的副作用中，有发热、疲乏、头痛等表现.为了了解接种某种疫苗后是否会出现疲乏症状的副作用，某组织随机抽取了某地200人进行调查，得到统计数据如下：(1)求2×2列联表中的数据x，y，m，n的值，并确定能否有85%的把握认为有疲乏症状与接种此种疫苗有关．(2)从接种疫苗的n人中按是否有疲乏症状，采用分层抽样的方法抽出8人，再从8人中随机抽取3人做进一步调查.若初始总分为10分，抽到的3人中，每有一人有疲乏症状减1分，每有一人没有疲乏症状加2分，设得分结果总和为X，求X的分布列和数学期望．19.已知S n是数列{a n}的前n项和，a n+1−3a n+2a n−1=1，a1=1，a2=4．(1)证明：数列{a n+1−a n+1}是等比数列；(2)求S n．20.如图，在四棱台ABCD−A1B1C1D1中，底面为矩形，平面AA1D1D⊥平面CC1D1D，C1D1=1．且CC1=CD=DD1=12(1)证明：AD⊥平面CC1D1D；(2)若A1C与平面CC1D1D所成角为π，求二面角C−AA1−D的余弦值．321.已知函数f(x)=1x +alnx(a∈R)，g(x)=x2−x−1x．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若函数F(x)=f(x)+g(x)存在两个极值点x1，x2，且曲线y=F(x)在x=√x1x2处的切线方程为y=G(x)，求使不等式F(x)<G(x)成立的x的取值范围．22.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(c,0)，离心率e=12．(1)若P为椭圆C上一动点，证明P到F的距离与P到直线x=a2c的距离之比为定值，并求出该定值；(2)设c=1，过定点(0,c)且斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点，在y轴上是否存在一点Q，使得y轴始终平分∠MQN？若存在，出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵M={x|x>1},N={x|−√10<x<√10}，∴M∩N={x|1<x<√10}．故选：D．可求出集合M，N，然后进行交集的运算即可．本题考查了集合的描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：因为z在复平面内对应的点的坐标为(2,−1)，所以z=2−i，故2zz−1=2(2−i)1−i=2(2−i)(1+i)(1−i)(1+i)=3+i．故选：B．先利用复数的几何意义求出z，然后由复数的除法运算求解即可．本题考查了复数几何意义的应用以及复数除法的运算法则的运用，考查了运算能力，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：根据分层抽样原理知，粮食加工品店需要被抽检27×10020+100+15=20(家)．故选：A．根据分层抽样原理求出粮食加工品店需要被抽检的家数．本题考查了分层抽样原理应用问题，是基础题．4.【答案】C【解析】解：抛物线C：y=mx2(m>0)开口向上，直线方程为y=−14m，抛物线C：y=mx2(m>0)上的点A(a,2)到其准线的距离为4，可得：14m+2=4，解得m=18．故选：C．利用抛物线的定义，列出方程，求解即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题．5.【答案】D【解析】解：设从夏至到冬至，每个节气晷长为a n，则a1=15，冬至晷长a13=135，=10，由题意得{a n}为等差数列，则d=a13−a112故a4=a1+3d=15+30=45，故选：D．由已知结合等差数列的通项公式及性质即可直接求解．本题主要考查了等差数列的通项公式在实际问题中的应用，属于基础题．6.【答案】解：(1)证明：由2a n=3a n+1−a n+2可得，a n+2−a n+1=2(a n+1−a n)，又∵a2−a1=1，∴数列{a n+1−a n}是以1为首项，2为公比的等比数列．(2)由(1)可知a n+1−a n=2n−1，∴a2−a1=1；a3−a2=2；a4−a3=22；…a n−a n−1=2n−2；∴a n−a1=1+2+22+⋯+2n−2=2n−1−1，∴a n=2n−1−1．2【解析】(1)利用题中的条件，由2a n=3a n+1−a n+2，a2−a1=1.可以确定数列{a n+1−a n}为等比数列；(2)利用(1)的结论，累和法即可解出结果．本题考查了数列通项公式的解法，学生的数学运算能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：由sin∠PF 2F 1=3sin∠PF 1F 2，以及正弦定理可得|PF 1|=3|PF 2|， 因为|PF 1|−|PF 2|=2a ，所以|PF 1|=3a ，|PF 2|=a ，因为|OF 2|=c ，|OP|=b ，所以∠OPF 2=π2，所以cos∠OF 2P =ac ， 在△F 1F 2P 中，cos∠F 1F 2P =a 2+(2c)2−(3a)22a⋅2c=cos∠OF 2P =ac ．化简可得c =√3a ，所以C 的离心率e =c a =√3． 故选：B ．sin∠PF 2F 1=3sin∠PF 1F 2利用正弦定理可得|PF 1|=3|PF 2|，结合双曲线的定义，结合余弦定理转化求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，三角形的解法，余弦定理以及正弦定理的应用，是中档题．8.【答案】A【解析】解：根据题意，按方法一抽取，每箱中黑球被抽取的概率为110，则没有抽到黑球的概率为1−110=910，则至少能摸出一个黑球的概率P 1=1−(910)20，按方法一抽取，每箱中黑球被抽取的概率为15，则没有抽到黑球的概率为1−15=45， 则至少能摸出一个黑球的概率P 2=1−(45)10，则有P 1−P 2=[1−(910)20]−[1−(45)10]=(45)10−(910)20=(45)10−(81100)10<0， 故P 1<P 2， 故选：A ．根据题意，由相互独立事件的概率公式计算两种方法抽取过程中，至少能摸出一个黑球的概率，比较可得答案．本题考查相互独立事件的概率计算，涉及对立事件和互斥事件的性质，属于基础题．9.【答案】ABD【解析】解：(3x √x )n 的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为2n +2n =128，∴n =6，故二项式系数和为26=64，二项式系数和之和为2n =26=64，故A 、B 正确；故展开式的通项公式为T r+1=C 6r ⋅(−1)r ⋅36−r ⋅x 6−3r 2，令6−3r 2=0，求得r =4，故常数项为C 64⋅32=135，故D 正确，故选：ABD ．由题意利用二项式系数的性质，求得n 的值，再利用二项展开式的通项公式， 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．10.【答案】BC【解析】解：根据极值点定义可知，极小值是一个实数，A 错误； 由f′(x)=2a x+2x ≥0得a ≥−x 2，因为x ≥1，所以a ≥−1，B 正确； 因为f′(x)=2a x+2x =2a+2x 2x，当a ≥0时，f′(x)>0恒成立，当a <0时，f′(x)>0不恒成立，函数不单调，C 正确； a =−32，f′(x)=−3x +2x 2， 所以f′(1)=−1，f(1)=1+b ，所以切线方程为y −(1+b)=−(x −1)，即y =−x +b +2， 设切点横坐标为x 0，则−e x 0=−1，故x 0=0，切点(0,−1)，代入y =−x +b +2得b =−3，D 错误． 故选：BC ．根据函数极值点的概念检验选项A ；结合导数与单调性关系检验B ，C ；结合导数的几何意义检验选项D ．本题主要考查了函数极值点的概念，导数与单调性关系，导数的几何意义的应用，属于中档题．11.【答案】ABD【解析】解：△BCD 中，CD =1，BC =2，∠A =60°，所以BD =√3，故BD 2+CD 2=BC 2， 所以BD ⊥CD ，因为平面PBD ⊥平面BCD 且平面PBD ∩平面BCD =BD ，所以CD ⊥平面PBD ，CD ⊥PD ； 同理PB ⊥平面CBD ， 因为CD ⊂平面PCD ，所以平面PCD ⊥平面BPD ，A ，B 正确；以D 为原点，联立如图所示的空间直角坐标系，则B(√3,0，0)，C(0,1，0)，P(√3,0，1)， 因为DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0，1)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,1，0)，所以cos <BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DP ⃗⃗⃗⃗⃗ >=BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=−34，即PD 与BC 所成角的余弦值为34，C 错误； 因为M 在线段PD 上，设M(√3a,0，a)，则MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3−√3a,0，−a)，所以点M 到BC 的距离d =√MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−(MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |)2=√7a 24−3a 2+34=√74(a −37)2+37， 当a =37时，d 取得最小值√217，此时△MBC 面积取得最小值12BC ×√217=√217，D 正确．故选：ABD ．结合线线垂直，线面垂直与面面垂直的相互转化关系检验A ，B ；结合空间直角坐标系及空间角及空间点到直线的距离公式检验CD 即可判断．本题以命题真假关系为载体，主要考查了垂直关系的相互转化，线面角的求解，空间点到直线的距离的求解，属于中档题．12.【答案】BCD【解析】解：f(x)=2asinωxcosωx −2cos 2ωx +1=asin2ωx −cos2ωx =√1+a 2sin(2ωx −φ)，因为f(x)的最小正周期为π，故ω=1，A 错误； 因为对任意的x ∈R ，f(x)≥f(x 0)恒成立， 所以f(x 0)为函数f(x)的最小值，若x 0=−π6，则−π3−φ=−π2+2kπ，k ∈Z ， 所以φ=π6−2kπ，k ∈Z ， 所以cosφ=√32=√1+a 2，解得a =√3，B 正确；因为f(x 0)为函数f(x)的最小值，所以f(x 0−π2)为函数f(x)的最大值，即√1+a 2=2， 所以a =√3，C 正确；x∈(x0−3π4,x0−π2)时，f(x)>0，g(x)=−f(x)，因为f(x)在(x0−3π4,x0−π2)上单调递增，所以g(x)在(x0−3π4,x0−π2)上单调递减，当x∈(x0−3π4,x0−π2)时，f(x)>0，g(x)=−f(x)，x∈(x0−π2,x0−π4)时，f(x)>0，g(x)=−f(x)，因为f(x)在(x0−π2,x0−π4)上单调递减，所以g(x)在(x0−π2,x0−π4)上单调递增，所以x0−3π4<x0−θ≤x0−π2，所以π2≤θ<3π4，D正确．故选：BCD．先利用二倍角公式及辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的性质分别检验各选项即可判断．本题以命题真假判断为载体，主要考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题．13.【答案】π3【解析】解：根据题意，设a⃗与b⃗ 的夹角为θ，单位向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗−2b⃗ |=√3，则有(a⃗−2b⃗ )2=a⃗2+4b⃗ 2−4a⃗⋅b⃗ =3，变形可得：cosθ=12，又由0≤θ≤π，则θ=π3，故答案为：π3．根据题意，设a⃗与b⃗ 的夹角为θ，由数量积的计算公式可得(a⃗−2b⃗ )2=a⃗2+4b⃗ 2−4a⃗⋅b⃗ =3，变形可得cosθ的值，结合θ的范围分析可得答案．本题考查向量数量积的性质以及应用，涉及平面向量夹角的计算，属于基础题．14.【答案】f(c)=2c(单调递增的指数函数都可以)【解析】解：若f(x)=2x，得f(c)=2c，f(a)⋅f(b)=2a⋅2b=2a+b，而f(c)=f(a)⋅f(b)，即2c=2a+b，则c=a+b成立①，又由f(x)=2x在R上是增函数，而d>c，则f(d)>f(c)成立②，结合①②f(c)与c 的函数关系式为：f(c)=2c ． 故答案为：f(c)=2c (单调递增的指数函数都可以)．若f(x)=2x ，得f(c)=2c ，满足f(c)=f(a)⋅f(b)，且f(x)=2x 在R 上是增函数，满足题意，所以单调递增的指数函数都可以．本题主要考查了函数的实际应用，考查了指数函数的单调性以及指数的运算性质，是基础题．15.【答案】2√7 43【解析】解：∵直线l ：(2a −1)x +(a −3)y +4−3a =0恒过定点(1,1)， ∴当圆心与点(1,1)的连线与直线AB 垂直时，弦长|AB|最小，∵圆心(2,0)与点(1,1)间的距离为√(2−1)2+(0−1)2=√2，半径为3， ∴弦长|AB|的最小值为2√9−2=2√7．∵圆心(2,0)与点(1,1)连线的斜率为1−01−2=−1，∴此时直线l 的斜率为1， 由−2a−1a−3=1，解得a =43．故答案为：2√7；43．由直线方程求得直线所过定点坐标，由两点间的距离公式求出圆心与定点的距离，再由垂径定理求弦长，再由直线垂直与斜率的关系列式求得a 值．本题考查直线与圆的位置关系，正确理解题意是关键，考查运算求解能力，是中档题．16.【答案】①②③【解析】解：将等腰四面体补成长方体，设等腰四面体的对棱棱长分别为a ，b ，c ，与之对应的长方体的长宽高分别为x ，y ，z ， 则{x 2+y 2=a 2y 2+z 2=b 2x 2+z 2=c 2，故x 2=a 2+c 2−b 22，y 2=a 2+b 2−c 22，z 2=b 2+c 2−a 22，结合图像易得①②正确；三组对棱长度分别为a =5，b =6，c =7，则x =√19，y =√6，z =√30，因为等腰四面体的体积是对应长方体体积减去四个小三棱锥的体积， 所以等腰四面体的体积xyz −14×13×12xyz =13xyz =2√95，③正确；三组对棱长度分别为a ，b ，c 的“等腰四面体”的外接球直径2R =√x 2+y 2+z 2≠√a 2+b 2+c 2，④错误． 故答案为：①②③．将等腰四面体补成长方体，设等腰四面体的对棱棱长分别为a ，b ，c ，与之对应的长方体的长宽高分别为x ，y ，z ，然后结合长方体的性质分别检验各选项即可判断． 本题以命题真假关系判断为载体，主要考查了等腰四面体及长方体关系的应用，还考查了长方体的性质，属于中档题．17.【答案】解：(1)因为a =3bsinA ，所以sinA =3sinBsinA ， 因为sinA >0，所以sinB =13，因为b <c ，所以B <C ，所以B 为锐角，可得cosB =2√23， 由余弦定理可得b =√a 2+c 2−2accosB =√3． (2)由(1)可知，cosB =±2√23， 当cosB =2√23时，b =√3，cosC =a 2+b 2−c 22ab=−√33，可得cos2C =2cos 2C −1=−13；当cosB =−2√23时，b =√51，cosC =a 2+b 2−c 22ab=√51，可得cos2C =2cos 2C −1=4751；【解析】(1)利用正弦定理化简已知等式可得sinB =13，利用同角三角函数基本关系式可求cos B 的值，根据余弦定理可求b 的值． (2)由(1)可知cosB =±2√23，分类讨论，利用余弦定理可求cos C 的值，根据二倍角公式即可求解cos2C 的值．本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理，二倍角公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】解：(1)由题意得：m =200−160=40，y =m −20=20，x =160−100=60，n =x +y =60+20=80， 因为K 2=200×(100×20−20×60)2160×40×120×80=2512≈2.083>2.072．所以有85%的把握认为有疲乏症状与接种此种疫苗有关．(2)从接种疫苗的n 人中按是否有疲乏症状，采用分层抽样的方法抽出8人，可知8人中无疲乏症状的有6人，有疲乏症状的有2人，再从8人中随机抽取3人，当这3人中恰有2人有疲乏症状时，X =10；当这3人中恰有1人有疲乏症状时，X =13；当这3人中没有人有疲乏症状时，X =16． 因为P(X =10)=C 22C 61C 83=328；P(X =13)=C 21C 62C 83=1528；P(X =16)=C 20C 63C 83=514．所以X 的分布列如下：期望E(X)=10×328+13×1528+16×514=554．【解析】(1)由2×2列联表中的数据求出x ，y ，m ，n 的值，得出K 2≈2.083>2.072，即可得出结论；(2)随机变量X 所有可能取的值为10，13，16，求出对应的概率，得到分布列，然后求解期望即可．本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，独立性检验的应用，是中档题，19.【答案】(1)证明：∵a n+1−3a n +2a n−1=1，∴(a n+1−a n +1)=2(a n −a n−1+1)， ∵a 1=1，a 2=4， ∴a 2−a 1+1=4．∴数列{a n+1−a n +1}是公比为2的等比数列，首项为4． (2)解：由(1)可得：a n+1−a n +1=4×2n−1， ∴a n+1−a n =2n+1−1，∴a n =(a n −a n−1)+(a n−1−a n−2)+⋯…+(a 2−a 1)+a 1 =2n −1+2n−1−1+⋯…+22−1+1 =2n +2n−1+⋯…+22−(n −1)+1 =4(2n−1−1)2−1−n +2=2n+1−n −2．∴S n =2n+1+2n +2n−1+⋯…+22−(1+2+⋯…+n)−2n =4(2n −1)2−1−n(n +1)2−2n=2n+2−n 2+5n 2−4．【解析】(1)由a n+1−3a n +2a n−1=1，变形为(a n+1−a n +1)=2(a n −a n−1+1)，即可证明结论．(2)由(1)利用等比数列的通项公式可得：a n+1−a n +1=4×2n−1，即a n+1−a n =2n+1−1，再利用累加求和方法、等比数列与等差数列的求和公式即可得出． 本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、累加求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.【答案】(1)证明：在梯形CC 1D 1D 中，因为CC 1=CD =DD 1=12C 1D 1=1， 所以∠DD 1C 1=π3，连结DC 1，由余弦定理可求得DC 1=√3，因为DC 12+DD 12=D 1C 12，所以DC 1⊥DD 1， 因为平面AA 1D 1D ⊥平面CC 1D 1D 且交于DD 1， 所以DC 1⊥平面AA 1D 1D ，因为AD ⊂平面AA 1D 1D ，所以AD ⊥DC 1， 因为AD ⊥DC ，DC ∩DC 1=D ， 所以AD ⊥平面CC 1D 1D ；(2)解：连结A 1C 1，由(1)可知，A 1D 1⊥平面CC 1D 1D ， 以D 1为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，因为A 1D 1⊥平面CC 1D 1D ，所以A 1C 在平面CC 1D 1D 内的射影为D 1C ， 所以A 1C 与平面CC 1D 1D 所成的角为∠A 1CD 1，即∠A 1CD 1=π3， 在Rt △A 1CD 1中，因为CD 1=√3，所以A 1D 1=3，则D 1(0,0，0)，A 1(3,0，0)，D(0,12,√32)，C(0,32,√32)，C 1(0,2，0)，所以D 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,12,√32)，D 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0,0),A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,2,0),A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,32,√32)， 设平面AA 1D 1D 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 则有{m ⃗⃗⃗ ⋅D 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅D 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{12y +√32z =03x =0， 令y =3，则x =0，z =−√3，故m ⃗⃗⃗ =(0,3,−√3)， 设平面AA 1C 1C 的法向量为n⃗ =(a,b,c)， 则有{n ⃗ ⋅A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−3a +2b =0−3a +32b +√32c =0， 令a =2，则b =3，c =√3，故n ⃗ =(2,3,√3)，所以|cos<m⃗⃗⃗ ,n⃗>|=|m⃗⃗⃗ ⋅n⃗⃗ ||m⃗⃗⃗ ||n⃗⃗ |=2√3×4=√34，由图可知，二面角C−AA1−D锐二面角，故二面角C−AA1−D的余弦值为√34．【解析】(1)在梯形CC1D1D中，求出∠DD1C1=π3，连结DC1，由余弦定理求得DC1=√3，由勾股定理可证DC1⊥DD1，再由面面垂直的性质定理证明DC1⊥平面AA1D1D，从而得到AD⊥DC1，结合AD⊥DC，由线面垂直的判断定理证明即可；(2)利用线面角的定义确定A1C与平面CC1D1D所成的角为∠A1CD1，由此求解线段的长度，建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，利用待定系数法求出两个平面的法向量，然后由向量的夹角公式求解即可．本题考查了线面垂直的判定定理的应用以及二面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．21.【答案】解：(1)f′(x)=ax−1x2，当a≤0时，f′(x)<0恒成立，函数f(x)在(0,+∞)上单调递减，当a>0时，易得当x>1a 时，f′(x)>0，当0<x<1a时，f′(x)<0，故f(x)在(1a ,+∞)上单调递增，在(0,1a)上单调递减，(2)F(x)=f(x)+g(x)=alnx+x2−x，所以F′(x)=ax +2x−1=2x2−x+ax，x>0，因为F(x)=f(x)+g(x)存在两个极值点x1，x2，所以F′(x)=2x2−x+ax=0有两个不等正实数解，即2x2−x+a=0有两个不等式正根，所以{△=1−8a>0a2>0，解得0<a<18，因为x1x2=a2，x=√x1x2=√a2，所以F′(√a2)=2√2a−1，F(√a2)=a2+a2ln a2−√a2，所以曲线y=F(x)在x=√x1x2处的切线方程为y−(a2+a2ln a2−√a2)=(2√2a−1)(x−√a2)，即G(x)=y=(2√2a−1)x+a2ln a2−3a2，令ℎ(x)=F(x)−G(x)=x2+alnx−2√2ax+3a2−a2ln a2，ℎ′(x)=2x2−2√2ax+ax =(√2x−√a)2x>0，故ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，且ℎ(√a2)=0，故当0<x<√a2时，ℎ(x)<0，即F(x)<G(x)，故x的范围(0,√a2).【解析】(1)先对函数求导，然后结合导数与单调性关系对a进行分类讨论，确定导数符号，进而确定函数的单调性；(2)先对F(x)求导，然后结合极值存在条件可转化为F′(x)=0有两个不等正实数解，结合二次方程根的存在条件及方程的根与系数关系及导数几何意义求出切线方程，构造函数ℎ(x)=F(x)−G(x)，结合导数与单调性关系进而可求．本题主要考查了导数与单调性关系及利用导数及函数性质证明不等式，体现了转化思想及分类讨论思想的应用，属于中档题．22.【答案】解：(1)设点P(x0,y0)，则根据题意可得x02a2+y02b2=1，∵F(c,0)，∴|PF|=√(x0−c)2+y02=√(x0−c)2+b2−b2a2x02=a−cax0，又∵点P到直线x=a2c 的距离为：d=a2c−x0，∴|PF|d =a−cax0a2c−x0=ca=e=12，即得点P到点F的距离与点P到直线x=a2c 的距离之比为定值12．(2)由(1)可得，设c=1，则a=2，即得b=√3，因此可得椭圆的标准方程即为：x24+y23=1，根据题意，假设存在这样的一点Q(0,t)，设直线l的方程为：y=kx+1，联立椭圆方程得到方程组：{x24+y23=1y=kx+1⇒(3−4k2)x2+8kx−8=0，结合题意，设点M(x1,y1)，N(x2,y2)，则有x1+x2=−8k3+4k2,x1x2=−83+4k2，因为y轴平分∠MQN，所以直线QM与QN的斜率互为相反数，即得k QM+k QN=kx1+1−tx1+kx2+1−tx2=2kx1x2+(1−t)(x1+x2)x1x2=0，化简可得，8k(t−3)3+4k2=0，∵3+4k2>0，∴8k(t−3)=0⇒t=3，即得存在点Q(0,3)，使得y轴始终平分∠MQN．【解析】(1)根据题意，使用待定系数法求解得出结论；(2)设出直线方程，联立方程组，求解得出结论．本题考查直线与圆锥曲线的位置关系的探究型题目，其中侧重考查学生的运算能力，属于中档题．。
湖南省长郡中学2021届高三数学入学摸底考试试题
2 2 sin
(II)设∠BAD＝α，∠DAC＝β，若△ADC 的面积为 ，求
的值。
3
sin
19.(本小题满分 12 分) 据相关部门统计，随着电商网购的快速普及，快递包装业近年来实现了超过 50%的高速年均增 长，针对这种大好形式，某化工厂引进了一条年产量为 1000 万个包装胶带的生产线。已知该 包装胶带的质量以某项指标值 k 为衡量标准。为估算其经济效益，该化工厂先进行了试生产， 并从中随机抽取了 1000 个包装胶带，统计了每个包装胶带的质量指标值 k，并分成以下 5 组， 其统计结果及产品等级划分如下表所示：
＝1 相切。若存在定点 P，使得当 A 运动时，|MA|－|MP|为定值，则点 P 的坐标为
。
16.在三棱锥 P－ABC 中，PA＝PB＝PC＝2，二面角 A－PB－C 为直二面角，∠APB＝2∠BPC(∠
BPC< )，M，N 分别为侧棱 PA，PC 上的动点，设直线 MN 与平面 PAB 所成的角为α。当 tanα
平行四边形，则四边形 ABCD 的面积是
A. 26 5
B. 26 3
C. 52 5
D. 52 3
8.设数列{an}的前 n 项和为 Sn，当 n∈N*时，an，n＋ 1 ，an＋1 成等差数列，若 Sn＝2020，且 a2<3， 2
则 n 的最大值为
A.63 B.64 C.65 D.66
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符
假定该化工厂所生产的包装胶带都能销售出去，且这一年的总投资为 5000 万元(含引进生产 线、兴建厂房等等一切费用在内)，问：该化工厂能否在一年之内通过生产包装胶带收回投资?
2021届湖南长郡中学新高考模拟考试(十一)数学(理)试题
2021届湖南长郡中学新高考模拟考试（十一）理科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I 卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 为虚数单位，复数z 满足()1z i i ⋅-=，则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】 【分析】求出复数z ，得出其对应点的坐标，确定所在象限． 【详解】由题意(1)111(1)(1)22i i i z i i i i +===-+--+,对应点坐标为11(,)22- ，在第二象限． 故选：B ．【点睛】本题考查复数的几何意义，考查复数的除法运算，属于基础题．2.已知集合{(,)|A x y y =，{}(,)|2B x y y x ==，则AB 中元素的个数为( )A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】C【解析】 【分析】集合A 表示半圆上的点，集合B 表示直线上的点，联立方程组求得方程组解的个数，即为交集中元素的个数.【详解】由题可知：集合A 表示半圆上的点，集合B 表示直线上的点，联立y 2y x =，2x =，整理得215x =，即5x =±，当x =时，20y x =<，不满足题意；故方程组有唯一的解⎝⎭.故A B ⎧⎫⎪⎪⋂=⎨⎬⎪⎪⎝⎭⎩⎭. 故选：C.【点睛】本题考查集合交集的求解，涉及圆和直线的位置关系的判断，属基础题.3.已知条件:1p a =-，条件:q 直线10x ay -+=与直线210x a y +-=平行，则p 是q 的( ) A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】先根据直线10x ay -+=与直线210x a y +-=平行确定a 的值，进而即可确定结果.【详解】因为直线10x ay -+=与直线210x a y +-=平行， 所以20a a +=，解得0a =或1a =-；即0q a =：或1a =-； 所以由p 能推出q ；q 不能推出p ； 即p 是q 的充分不必要条件. 故选C【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判定，熟记概念即可，属于基础题型.4.函数21()cos 2f x x x =+的大致图象是（ ）. A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和利用导数得出其单调性，即可得出答案.【详解】函数21()cos 2f x x x =+的定义域为R 21()()2f x x -=-21cos()cos ()2x x x f x +-=+=，所以函数21()cos 2f x x x =+为偶函数，函数图象关于y 轴对称，排除A ，D ；()sin f x x x '=-，令()sin g x x x =-，()1cos 0g x x '=-≥，故函数()g x 在R 上单调递增由(0)0sin 00g =-=可知，当0x >时，()sin 0f x x x '=->，函数21()cos 2f x x x =+单调递增，排除B ，只有C 选项中的图象符合. 故选：C【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，函数的图象可以从定义域、值域、增减性、奇偶性、图象经过的特殊点等方面判断，属于中档题.5.已知数列 {}n a 是公比为 q 的等比数列，且 1a ， 3a ， 2a 成等差数列，则公比 q 的值为（ ） A. 12-B. 2-C. 1- 或12D. 1 或 12-【答案】D 【解析】 【分析】由132a a a ，，成等差数列得3122a =a +a ，利用等比数列的通项公式展开即可得到公比q 的方程. 【详解】由题意3122a =a +a ，∴2a 1q 2=a 1q+a 1，∴2q 2=q+1，∴q=1或q=1-2故选D ．【点睛】本题考查等差等比数列的综合，利用等差数列的性质建立方程求q 是解题的关键，对于等比数列的通项公式也要熟练．6.5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为( ) A. －30 B. －40 C. 40 D. 50【答案】C 【解析】 【分析】先写出()52x y -的通项公式，再根据33x y 的产生过程，即可求得. 【详解】对二项式()52x y -，其通项公式为()()()555155221r rrrr rr r r T C x y C x y ---+=-=-5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数是()52x y -展开式中23x y 的系数与32x y 的系数之和.令3r =，可得23x y 的系数为()33252140C -=-；令2r =，可得32x y 的系数为()22352180C -=；故5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为804040-=. 故选：C .【点睛】本题考查二项展开式中某一项系数的求解，关键是对通项公式的熟练使用，属基础题.7.已知A 类产品共两件12,A A ，B 类产品共三件123,,B B B ，混放在一起，现需要通过检测将其区分开来，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件A 类产品或者检测出3件B 类产品时，检测结束，则第一次检测出B 类产品，第二次检测出A 类产品的概率为（ ） A.12B.35C.25D.310【答案】D 【解析】 【分析】根据分步计数原理，由古典概型概率公式可得第一次检测出B 类产品的概率，不放回情况下第二次检测出A 类产品的概率，即可得解.【详解】A 类产品共两件12,A A ，B 类产品共三件123,,B B B ， 则第一次检测出B 类产品的概率为35；不放回情况下，剩余4件产品，则第二次检测出A 类产品的概率为2142=； 故第一次检测出B 类产品，第二次检测出A 类产品的概率为3135210⨯=；故选：D.【点睛】本题考查了分步乘法计数原理的应用，古典概型概率计算公式的应用，属于基础题. 8.设长方体的长、宽、高分别为2,,a a a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 A. 3πa 2 B. 6πa 2C. 12πa 2D. 24πa 2【答案】B 【解析】【详解】方体的长、宽、高分别为2,,a a a ,其顶点都在一个球面上,长方体的对角线的，，所以球的表面积是22462a a ππ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，故选B9.给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅做一项工作，甲不能安排木工工作，则不同的安排方法共有（ ） A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 64种【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分2步进行分析：①，将4人分成3组，②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】解：根据题意，分2步进行分析： ①，将4人分成3组，有246C =种分法；②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，有2种情况，将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，有222A =种情况，此时有224⨯=种情况，则有2446=⨯种不同的安排方法； 故选C ．【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题． 10.关于函数()cos sin f x x x =+有下述四个结论： ①()f x 是偶函数；②()f x 的最大值为2； ③()f x 在[],ππ-有3个零点；④()f x 在区间0,4π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增. 其中所有正确结论的编号是（ ） A. ①② B. ①③C. ②④D. ①④【答案】D 【解析】 【分析】利用偶函数的定义可判断出命题①的正误；分222k x k πππ-≤≤和()222k x k k Z πππ<≤+∈两种情况，去绝对值，利用辅助角公式以及正弦函数的最值可判断命题②的正误；分0x π-≤≤和0x π<≤两种情况讨论，求出函数()y f x =的零点，可判断命题③的正误；去绝对值，将函数()y f x =的解析式化简，结合正弦型函数的单调性可判断出命题④的正误.【详解】对于命题①，函数()y f x =的定义域为R ，关于原点对称，且()()cos sin f x x x -=-+-()cos sin cos sin x x x x f x =+-=+=，该函数的为偶函数，命题①正确；对于命题②，当函数()y f x =取最大值时，cos 0x ≥，则()2222k x k k Z ππππ-≤≤+∈.当()222k x k k Z πππ-≤≤∈时，()cos sin 4x x x f x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，此时，()22444k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，当()24x k k Z ππ+=∈，函数()y f x =.当()222k x k k Z πππ<≤+∈时，()cos sin 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，此时，()32244k x k k Z ππππ+<≤+∈，当()242x k k Z πππ+=+∈，函数()y f x =.所以，函数()y f x =，命题②错误；对于命题③，当0x π-≤≤时，令()cos sin 0f x x x =-=，则tan 1x =，此时34x π=-； 当0x π<≤时，令()cos sin 0f x x x =+=，则tan 1x =-，此时34x π=.所以，函数()y f x =在区间[],ππ-上有且只有两个零点，命题③错误；对于命题④，当04x π<<时，()cos sin 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则442x πππ<+<.所以，函数()y f x =在区间0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，命题④错误. 因此，正确的命题序号为①④. 故选D.【点睛】本题考查三角函数基本性质，解题的关键在于对自变量的取值范围进行分类讨论，并去绝对值，结合辅助角公式以及三角函数的基本性质来进行判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.11.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，点()00,P x y 是直线40bx ay a -+=上任意一点，若圆()()22001x x y y -+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是（ ）． A. (]1,2 B. (]1,4C. [)2,+∞D. [)4,+∞ 【答案】B 【解析】 【分析】先求出双曲线的渐近线方程，可得则直线bx ay 2a 0-+=与直线bx ay 0-=的距离d ，根据圆()()2200x x y y 1-+-=与双曲线C 的右支没有公共点，可得d 1≥，解得即可．【详解】由题意，双曲线2222x y C :1(a 0,b 0)a b-=>>的一条渐近线方程为b y x a =，即bx ay 0-=，∵()00P x ,y 是直线bx ay 4a 0-+=上任意一点， 则直线bx ay 4a 0-+=与直线bx ay 0-=的距离4ad c==， ∵圆()()2200x x y y 1-+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则d 1≥， ∴41a c ≥，即4ce a=≤，又1e > 故e 的取值范围为(]1,4， 故选：B ．【点睛】本题主要考查了直线和双曲线的位置关系，以及两平行线间的距离公式，其中解答中根据圆与双曲线C 的右支没有公共点得出d 1≥是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．12.已知函数()ln 1f x x =+，()122x g x e -=，若()()f m g n =成立，则m n -的最小值是（ ）A.1ln 22+ B. 2e - C. 1ln 22-12【答案】A 【解析】分析：设()()f m g n t ==，则0t >，把,m n 用t 表示，然后令()h t m n =-，由导数求得()h t 的最小值．详解：设()()f m g n t ==，则0t >，1t m e -=，11lnln ln 2222t n t =+=-+， ∴11ln ln 22t m n e t --=-+-，令11()ln ln 22t h t e t -=-+-，则11'()t h t e t -=-，121"()0t h t e t-=+>，∴'()h t 是(0,)+∞上的增函数，又'(1)0h =，∴当(0,1)t ∈时，'()0h t <，当(1,)t ∈+∞时，'()0h t >， 即()h t 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，()h 1是极小值也是最小值，1(1)ln 22h =+，∴m n -的最小值是1ln 22+． 故选A ．点睛：本题易错选B ，利用导数法求函数的最值，解题时学生可能不会将其中求b a -的最小值问题，通过构造新函数，转化为求函数()h t 的最小值问题，另外通过二次求导，确定函数的单调区间也很容易出错．第II 卷 非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知随机变量ζ服从正态分布()22,N δ，则()2P ζ<=___________.【答案】12【解析】 【分析】根据正态曲线的对称性,直接求解即可.【详解】解:因为随机变量ζ服从正态分布()22,N δ,所以正态曲线关于2ζ=对称,所以()122P ζ<=. 故答案为:12.【点睛】本题考查了由正态曲线的对称性求概率,属基础题.14.已知实数x ，y 满足205y x x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩，则2yz x =+的最大值为______.【答案】1011【解析】 【分析】画出不等式组表示的平面区域，将目标函数理解为点(),x y 与()2,0-构成直线的斜率，数形结合即可求得. 【详解】不等式组表示的平面区域如下所示：因为2yz x =+可以理解为点(),x y 与()2,0-构成直线的斜率， 数形结合可知，当且仅当目标函数过点510,33B ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，斜率取得最大值， 故z 的最大值为1010351123=+.故答案为：1011.【点睛】本题考查目标函数为斜率型的规划问题，属基础题.15.已知()||f x x x =，则满足(21)()0f x f x -+≥的x 的取值范围为_______． 【答案】1[,)3+∞ 【解析】 【分析】将f （x ）写成分段函数形式，分析得f （x ）为奇函数且在R 上为增函数，利用奇偶性和单调性解不等式即可得到答案.【详解】根据题意，f （x ）＝x |x |＝22,0,0x x x x ⎧≥⎨-<⎩， 则f （x ）为奇函数且在R 上为增函数，则f （2x ﹣1）+f （x ）≥0⇒f （2x ﹣1）≥﹣f （x ）⇒f （2x ﹣1）≥f （﹣x ）⇒2x ﹣1≥﹣x ，解可得x ≥13，即x 的取值范围为[13，+∞）； 故答案为[13，+∞）．【点睛】本题考查分段函数的奇偶性与单调性的判定以及应用，注意分析f （x ）的奇偶性与单调性． 16.函数32()sin 3cos ,32f x x x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈-⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的值域为_________．【答案】⎤⎥⎣⎦【解析】 【分析】利用换元法，得到()32g t t 3t 3,t 2⎡⎤=-+∈-⎢⎥⎣⎦，利用导数求得函数()g t 的单调性和最值，即可得到函数的值域，得到答案．【详解】由题意，可得()3232ππf x sin x 3cos x sin x 3sin x 3,x ,,32⎡⎤=+=-+∈-⎢⎥⎣⎦，令t sinx =，t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即()32g t t 3t 3=-+，t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则()()2g't 3t 6t 3t t 2=-=-，当t 0<<时，()g't 0>，当0t 1<<时，()g't 0>，即()y g t =在⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数，在[]0,1为减函数，又6g 28⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭，()g 03=，()g 11=，故函数的值域为：6,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题主要考查了三角函数的最值，以及利用导数研究函数的单调性与最值，其中解答中合理利用换元法得到函数()g t ，再利用导数求解函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了推理与预算能力，属于基础题．三．解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分17.△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且()sin sin sin =+-C B A B ． (1)求角A 的大小 (2)若a =ABC的面积S =求△ABC 的周长． 【答案】（I ）3A π=；（II）5+．【解析】 【详解】试题分析：（I ）由已知可得sin sin()sin sin()C A B B A B =+=+-⇒2cos ?sin sin A B B =⇒1cos 2A =⇒3A π=；（II）依题意得：2221·sin {222cos ABC S bc A a b c bc A∆===+-⇒226{13bc b c =+=⇒222()225+=++=b c b c bc ⇒5b c +=⇒5a b c ++=⇒ABC ∆的周长为5+．试题解析：（I ）∵A B C π++=，∴()C A B π=-+． ∴sin sin()sin sin()C A B B A B =+=+-，∴sin ?cos cos ?sin sin sin ?cos cos sin A B A B B A B A B +=+-， ∴2cos ?sin sin A B B =， ∴1cos 2A =， ∴3A π=．（II）依题意得：2221·sin {22cos ABC S bc A a b c bc A∆===+-∴226{13bc b c =+=，∴222()225+=++=b c b c bc ， ∴5b c +=，∴5a b c ++=+ ∴ABC ∆的周长为5考点：1、解三角形；2、三角恒等变换．18.某百货商店今年春节期间举行促销活动，规定消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动，随着抽奖活动的有效开展，参与抽奖活动的人数越来越多，该商店经理对春节前7天参加抽奖活动的人数进行统计，y 表示第x 天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下：（1）经过进一步统计分析，发现y 与x 具有线性相关关系．请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （2）该商店规定：若抽中“一等奖”，可领取600元购物券；抽中“二等奖”可领取300元购物券；抽中“谢谢惠顾”，则没有购物券．已知一次抽奖活动获得“一等奖”的概率为16，获得“二等奖”的概率为13．现有张、王两位先生参与了本次活动，且他们是否中奖相互独立，求此二人所获购物券总金额X 的分布列及数学期望．参考公式：1221ˆni ii n i i x ynx ybx nx==-=-∑∑，ˆˆay bx =-，71364i i i x y ==∑，721140i i x ==∑． 【答案】（1）ˆ23y x =+；（2）见解析【解析】 试题分析：（I ）由题意可得4x =，11y =，则ˆ2b =，ˆ3a =，y 关于x 的线性回归方程为ˆ23yx =+． （II ）由题意可知二人所获购物券总金额X 的可能取值有0、300、600、900、1200元，它们所对应的概率分别为：()104P X ==，()13003P X ==，()560018P X ==，()190036P X ==．据此可得分布列，计算相应的数学期望为400EX =元． 试题解析： （I ）依题意：()1123456747x =++++++=， ()158810141517117y =++++++=，721140i i x ==∑，71364i i i x y ==∑，7172217364741121407167ˆi i i i i x y xy b x x ==--⨯⨯===-⨯-∑∑，11243ˆˆa y bx =-=-⨯=， 则y 关于x 的线性回归方程为ˆ23yx =+． （II ）二人所获购物券总金额X 的可能取值有0、300、600、900、1200元，它们所对应的概率分别为：()1110224P X ==⨯=，()1113002233P X ==⨯⨯=，()111156002332618P X ==⨯+⨯⨯=，()1119002369P X ==⨯⨯=，()11112006636P X ==⨯=． 所以，总金额X 的分布列如下表：总金额X 的数学期望为11511030060090012004004318936EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=元． 19.如图在直角ABC ∆中，B 为直角，2AB BC =，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，将AEF ∆沿EF 折起，使点A 到达点D 的位置，连接BD ，CD ，M 为CD 的中点． （Ⅰ）证明：MF ⊥面BCD ；（Ⅱ）若DE BE ⊥，求二面角E MF C --的余弦值．【答案】（Ⅰ）详见解析；3【解析】 【分析】（Ⅰ）取DB 中点N ，连结MN 、EN ，四边形EFMN 是平行四边形，由EF BE ⊥，EF DE ⊥，得EF BDE ⊥平面，从而EF EN ⊥，MF MN ⊥，求出MF CD ⊥，由此能证明MF BCD ⊥平面．（Ⅱ）以E 为原点，BE 、EF 、ED 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E MF C --的余弦值．【详解】证明：（Ⅰ ）取DB 中点N ，连结MN 、EN ， ∵ 12MNBC =，12EF BC =， ∴ 四边形EFMN 是平行四边形， ∵ EF BE ⊥，EF DE ⊥，BE EF E =，∴ EF BDE ⊥平面，∴ EF EN ⊥，∴MF MN ⊥， 在DFC ∆中，DF FC =，又∵ M 为CD 的中点，∴MF CD ⊥， 又∵ MFMN M =，∴MF BCD ⊥平面．解：（Ⅱ）∵DE BE ⊥，DE EF ⊥，BE EF E =，∴ DE BEF ⊥平面，以E 为原点，BE 、EF 、ED 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 设2BC =，则()000E ，，，()010F ，，，()220C -，，，()111M -，，， ∴ ()0,1,0EF =，()1,0,1FM =-，()2,1,0CF =-， 设面EMF 的法向量(),,m x y z =，则00m EF y m FM x z ⎧⋅==⎨⋅=-+=⎩，取1x =，得()1,0,1m =，同理，得平面CMF 的法向量()1,2,1n =， 设二面角E MF C --的平面角为θ， 则3cosm n m nθ⋅==⋅，∴ 二面角E MF C --的余弦值为33．【点睛】本题考查面面垂直及线面垂直性质定理、线面垂直判定与性质定理以及利用空间向量求线面角与二面角，考查基本分析求解能力，属中档题．20.已知抛物线()21:20C x py p =>和圆()222:12C x y ++=，倾斜角为45°的直线1l 过抛物线1C 的焦点，且1l 与圆2C 相切． （1）求p的值；（2）动点M 在抛物线1C 的准线上，动点A 在1C 上，若1C 在A 点处的切线2l 交y 轴于点B ，设MN MA MB =+．求证点N 在定直线上，并求该定直线的方程．【答案】（1）6p ；（2）点N 在定直线3y =上．【解析】 【分析】（1）设出直线1l 的方程为2py x =+，由直线和圆相切的条件：d r =，解得p ； （2）设出(,3)M m -，运用导数求得切线的斜率，求得A 为切点的切线方程，再由向量的坐标表示，可得N 在定直线上；【详解】解：（1）依题意设直线1l 的方程为2py x =+， 由已知得：圆222:(1)2C x y ++=的圆心2(1,0)C -，半径2r =因为直线1l 与圆2C 相切，所以圆心到直线1:2pl y x =+的距离d ===6p 或2p =-（舍去）．所以6p ；（2）依题意设(,3)M m -，由（1）知抛物线1C 方程为212x y =，所以212x y =，所以6x y '=，设11(,)A x y ，则以A 为切点的切线2l 的斜率为16x k =，所以切线2l 的方程为1111()6y x x x y =-+．令0x =，211111111266y x y y y y =-+=-⨯+=-，即2l 交y 轴于B 点坐标为1(0,)y -，所以11(,3)MA x m y =-+， 1(,3)MB m y =--+，∴()12,6MN MA MB x m =+=-， ∴1(,3)ON OM MN x m =+=-．设N 点坐标为(,)x y ，则3y =， 所以点N 在定直线3y =上．【点睛】本题考查抛物线方程和性质，直线与圆的位置关系的判断，考查直线方程和圆方程的运用，以及切线方程的求法，考查化简整理的运算能力，属于综合题． 21.已知函数()()222ln ,2af x ax xg x ax ax x=+-=-+ (1)若0,a ≥讨论()f x 的单调性;(2)当0a >时,若函数()f x 与()g x 的图象有且仅有一个交点()00,x y ,求[]0x 的值(其中[]x 表示不超过x 的最大整数,如[[][0.3710,0.37 1.2.92])=-=-=.参考数据:20.693 ,3 1.099 ,5 1.609,7 1.946ln ln ln ln ====【答案】（1）当0a =时， ()f x 在()0,∞+单调递减；当0a >时，()f x 在⎛ ⎝⎭单调递减；()f x 在⎫+∞⎪⎪⎝⎭单调递增． （2）2 【解析】【分析】（1）对()f x 进行求导，讨论a 的取值范围，令()0f x '>或()0f x '<，解不等式即可求解.（2）两函数有且仅有一个交点 ()00,x y ，则方程222ln 2aax x ax ax x+-=-+ 即方程22ln 0a ax x x +-=在()0,∞+只有一个根, 令()22ln a F x ax x x=+-，研究 ()F x 的单调性，求出()F x 的零点，然后根据零点存在性定理判断零点所在的区间即可.【详解】解：（1）()2222122'2a ax x af x a x x x--=-+-= 对于函数()222,h x ax x a =--21160a ∆=+>当0a =时，则()1'0,f x x=-<()f x ∴在()0,∞+单调递减；当0a >时，令()0f x '<，则2220ax x a --<，解得0x <<∴()f x 在⎛ ⎝⎭单调递减；令()0f x '>，解得14x a >，所以()f x 在⎫+∞⎪⎪⎝⎭单调递增． （2）0a >且两函数有且仅有一个交点 ()00,x y ，则方程222ln 2aax x ax ax x+-=-+ 即方程22ln 0aax x x+-=在()0,∞+只有一个根 令()22ln a F x ax x x =+-，则()3222'ax x a F x x--= 令()[)322,0,x ax x a x ϕ=--∈+∞，则()2'61x ax ϕ=-()0,a x ϕ>∴在⎛ ⎝单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，故()min x ϕϕ=注意到()()020,a x ϕϕ=-<∴在⎛ ⎝无零点，在⎫+∞⎪⎪⎭仅有一个变号的零点m()F x ∴在()0.m 单调递减，在(),m +∞单调递增，注意到()130F a =>根据题意m 为 ()F x 的唯一零点即0m x =20003002ln 0220aax x x ax x a ⎧+-=⎪∴⎨⎪--=⎩消去a ，得：3003300232ln 111x x x x +==+--令()332ln 11H x x x =---，可知函数()H x 在()1,+∞上单调递增 ()101022ln 220.693077H =-=⨯-<，()292932ln 32 1.00902626H =-=⨯->()[]002,3,2x x ∴∈∴=【点睛】本题主要考查了导函数在研究函数单调性、最值中的应用，考查了分类讨论的思想以及零点存在性定理，综合性比较强，难度较大.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程13cos ,23sin x t y t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），在极坐标系（与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴）中，直线l的方程为()sin 4m m R πθ⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭.（1）求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； （2）若圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值.【答案】（1）圆的普通方程为()()22129x y -++=；0x y m --=；（2）2m=-32. 【解析】 试题分析：(Ⅰ)消去参数可得圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程分别为()()22129x y -++=,0x y m -+= ；(Ⅱ)由题意结合点到直线距离公式得到关于实数m的方程，解方程可得3m =-±试题解析：（Ⅰ）消去参数t ，得到圆C 的普通方程为()()22129x y -++=.πsin 4m θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得sin cos 0m ρθρθ--=.所以直线l 的直角坐标方程为0x y m -+=. （Ⅱ）依题意，圆心C 到直线l 的距离等于2，2=，解得3m =-±.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()|21|f x x =- （1）解不等式()||3f x x <+； （2）若对于x ，y R ∈，有1|31|3x y -+≤，1|21|6y -≤，求证：(67)f x ≤. 【答案】（1）{|24}x x -<<；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）分0x ≤，102x <<，12x ≥三种情况讨论；（2）()|21||2(31)3(21)|f x x x y y =-=-++-，再利用绝对值三角不等式即可证明. 【详解】（1）由()||3f x x <+，得|21|||3x x -<+，则12213x x x ⎧≥⎪⎨⎪-<+⎩，或102123x x x ⎧<<⎪⎨⎪-<+⎩，或012 3.x x x ≤⎧⎨-<-+⎩， 解得142x ≤<，或102x <<，或20x -<≤， 即24x -<<，所以不等式()||1f x x <+的解集为{|24}x x -<<. （2）证明：由1|31|3x y -+≤，1|21|6y -≤， 所以217()|21||2(31)3(21)|2|31|3|21|326f x x x y y x y y =-=-++-≤-++-≤+=. 【点睛】本题考查解绝对值不等式以及证明不等式，考查学生的运算能力，是一道容易题.。
2021届湖南长郡中学新高考模拟考试(一)数学(理)试题
即 ，
可知，循环变量 的初值为1，终值为1011， 的步长值为1，循环共执行1011次，
可得②中填入的可以是 ，
又 的值为正奇数倒数正负交错相加，
可得①中填入的可以是 .
故选：D．
【点睛】本题考查由循环程序框图的输出值选择条件，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
8.已知函数 的图象如图所示，则函数 的图象可能（）
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
所以 ≥ ，即 ≤ ，当且仅当 时取等号，
所以 的最大值为 ，
故选：B
【点睛】此题考查两直线垂直的性质，利用基本不等式求最值，属于基础题.
7.2019年11月26日，联合国教科文组织宣布3月14日为“国际数学日”（昵称： ），2020年3月14日是第一个“国际数学日”．圆周率 是圆的周长与直径的比值，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数． 有许多奇妙性质，如莱布尼兹恒等式 ，即为正奇数倒数正负交错相加等．小红设计了如图所示的程序框图，要求输出的 值与 非常近似，则①、②中分别填入的可以是（）
9.中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地.中国茶的发现和利用已有四千七百多年的历史，且长盛不衰，传遍全球.为了弘扬中国茶文化，某酒店推出特色茶食品“金萱排骨茶”，为了解每壶“金萱排骨茶”中所放茶叶量 克与食客的满意率 的关系，通过试验调查研究，发现可选择函数模型 来拟合 与 的关系，根据以下数据：
2021届湖南长郡中学新高考原创预测试卷(三)数学
（1）化简 ；
（2）若 ，求 的值．
19.（本小题满分12分）
已知函数 .
（1）求 的单调减区间；
（2）当 时，求 的最大值和最小值.
20．（本小题满分12分）
如图，在 中， ，点 在 边上，
（1）求 的度数；
（2）求 的长度.
21.（本小题满分12分）
已知函数 图象上在点 处的切线与直线 平行，
C．向右平移 个单位长度D．向右平移 个单位长度
6．在△ABC中，a2tanB=b2tanA，则△ABC是（）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
7．已知函数 的导函数为 ，且满足关系式 ，则 的值等于（）
A．2B． C． D．
8．已知函数的定义域为R，且对任意的 且 都有 成立，若 对 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
2．设 则“ ”是“ ”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要
3．已知函数 ，若 ，则 的值为（）
A． B． C． D．
4．函数 的部分图象大致为（）
A． B．
C． D．
5．为了得到函数 的图象，只需把函数 图象上所有的点（）
A．向左平移 个单位长度B．向左平移 个单位长度
（2）①若 ，则 恒成立， 在 上单调递增．
②若 ，令 ，得 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增．
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。请把答案填涂在答题卷相应位置上。
2021届湖南长郡中学新高考模拟试卷(三)物理试题
2021届湖南长郡中学新高考模拟试卷（三）物理试卷★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题共126分）二、选择题：本题共8小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，第14～18题只有一项符合题目要求，第19～21题有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。
1.下列关于原子核的叙述中正确的是（）A. 居里夫人通过 粒子轰击铝原子核，首次发现了中子B. 核反应堆中的“慢化剂”是为了减慢反应速度，防止反应过于剧烈C. 轻核聚变过程中，会有质量亏损，要释放能量D. 原子核的质量越大，比结合能就越小【答案】C【解析】【详解】A．查德威克在α粒子轰击铍核实验中发现了中子，故A错误；B．核反应堆中的“慢化剂”是减慢中子速度，故B错误；C ．轻核聚变过程中，会有质量亏损，由爱因斯坦质能方程可知，要释放能量，故C 正确；D ．比结合能为结合能与核子数的比值，则原子核的质量越大，比结合能不一定越小，故D 错误。
2021届湖南长郡中学新高考模拟考试(十三)数学(理)试题
2021届湖南长郡中学新高考模拟考试（十三）理科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数31iz i =+，则复数z 的虚部为（ ） A.12B. 12iC. 12-D. 12i -【答案】C 【解析】 【分析】根据虚数的性质以及复数的乘除法运算法则化简复数z ，根据共轭复数的概念可得其共轭复数，再根据复数的概念可得结果. 【详解】因为31i z i =+(1)11(1)(1)2i i i i i i i +-+===--+1122i =-+， 所以1122z i =--，所以复数z 的虚部为12-. 故选：C.【点睛】本题考查了复数的乘除法运算法则，考查了共轭复数的概念，属于基础题.2.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后某组抽到的号码为41.抽到的32人中，编号落入区间[401,731]的人数为( ) A. 10 B. 11C. 12D. 13【答案】C 【解析】 【分析】根据系统抽样的特征可知，抽出的号码成等差数列，由题意即可写出通项公式，解不等式即可求出. 【详解】∵9603230÷=，∴每组30人，∴由题意可得抽到的号码构成以30为公差的等差数列， 又某组抽到的号码为41，可知第一组抽到的号码为11，∴由题意可得抽到的号码构成以11为首项、以30为公差的等差数列， ∴等差数列的通项公式为11(1)303019n a n n =+-=-， 由4013019731n ≤-≤，n 为正整数可得1425n ≤≤， ∴编号落入区间[401,731]的人数2514112-+=. 故选：C.【点睛】本题主要考查系统抽样的特征应用，以及等差数列的通项公式的应用，属于基础题. 3.有一散点图如图所示，在5个(,)x y 数据中去掉(3,10)D 后，下列说法正确的是（ ）A. 残差平方和变小B. 相关系数r 变小C. 相关指数2R 变小D. 解释变量x 与预报变量y 的相关性变弱【答案】A 【解析】 【分析】由散点图可知，去掉(3,10)D 后，y 与x 的线性相关性加强，由相关系数r ，相关指数2R 及残差平方和与相关性的关系得出选项.【详解】∵从散点图可分析得出：只有D 点偏离直线远，去掉D 点，变量x 与变量y 的线性相关性变强， ∴相关系数变大，相关指数变大，残差的平方和变小，故选A.【点睛】该题考查的是有关三点图的问题，涉及到的知识点有利用散点图分析数据，判断相关系数，相关指数，残差的平方和的变化情况，属于简单题目.4.等比数列{}n a 的前项和为n S ，若1,3,2,S S S 成等差数列，则{}n a 的公比q 等于 A. 1 B.12C. -12D. 2【答案】C 【解析】【详解】因为1,3,2,S S S 成等差数列，所以123112232311=+2(202)2a a a a a a a a S q S S ∴++=++∴+=∴=-，选C 5.函数()2ln xf x x x =-的图象大致为（ ） A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】根据函数()f x 的奇偶性和单调性，排除错误选项，从而得出正确选项. 【详解】因为()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数，排除C 和D.当0x >时，()2ln x x f x x =-，()332ln 1'x x f x x=+-， 令()'0f x <，得01x <<，即()f x 在()0,1上递减；令()'0f x >，得1x >，即()f x 在()1,+∞上递增.所以()f x 在1x =处取得极小值，排除B. 故选：A【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查利用导数研究函数的单调区间和极值，属于中档题. 6.已知2a =，2b =，且()b a b ⊥-，则向量a 在b 方向上的投影为（ ）A. 1B.C. 2D.2【答案】B 【解析】 【分析】设a 和b 的夹角为α，根据已知得cos α=，再求出向量a 在b 方向上的投影. 【详解】设a 和b 的夹角为α， 因为()b a b ⊥-，所以2()=22cos 20,cos b a b a b b αα⋅-⋅-=-=∴=所以向量a 在b 方向上的投影为2cos α=故选：B【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的计算，考查向量投影的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 7.在101()2x x-的展开式中，4x 的系数为( ) A. -120 B. 120C. -15D. 15【答案】C 【解析】【分析】写出101()2x x -展开式的通项公式1021101()2r r r r T C x -+=-，令1024r -=，即3r =，则可求系数． 【详解】101()2x x -的展开式的通项公式为101021101011()()22r r r r r r r T C x C x x --+=-=-，令1024r -=，即3r =时，系数为33101()152C -=-．故选C 【点睛】本题考查二项式展开的通项公式，属基础题．8.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ B. 若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n C. 若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥ D. 若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥ 【答案】D 【解析】 试题分析：m α⊥，,n βαβ∴⊥,故选D.考点：点线面的位置关系.9.在ABC 中，3sin()sin 2A B C -+=，3BC AC =，则B =（ ） A.3πB.6π C.6π或3π D.2π 【答案】B 【解析】 【分析】利用两角和的正弦公式以及3sin()sin 2A B C -+=可得3sin cos 4A B =①，再由3BC AC =得到sin 3sin A B ②，联立①②解方程组即可.【详解】因为3sin()sin 2A B C -+=，所以3sin()sin()2A B A B -++=，化简得32sin cos 2A B =，即3sin cos 4A B=①，又3BC AC =及正弦定理可得 sin 3sin AB ②，由①②可得33sin cos 4B B =，即3sin 2B =， 又(0,)B π∈，所以6B π=或3π，注意到sin 3sin 1A B =≤，所以3sin 3B ≤， 所以6B π=.故选：B【点睛】本题考查正弦定理解三角形，涉及到两角和的正弦公式，本题容易错选C ，要注意题中隐含的信息，是一道中档题. 10.函数()cos 2xf x π=与()g x kx k =-在[]6,8-上最多有n 个交点，交点分别为(),i i x y （1i =，……，n ），则()1nii i xy =+=∑（ ）A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】C 【解析】 【分析】根据直线()g x 过定点()1,0，采用数形结合，可得最多交点个数， 然后利用对称性，可得结果. 【详解】由题可知：直线()g x kx k =-过定点()1,0 且()cos 2xf x π=在[]6,8-是关于()1,0对称 如图通过图像可知：直线()g x 与()f x 最多有9个交点 同时点()1,0左、右边各四个交点关于()1,0对称所以()912419iii x y =+=⨯+=∑故选：C【点睛】本题考查函数对称性的应用，数形结合，难点在于正确画出图像，同时掌握基础函数cos y x =的性质，属难题.11.已知不等式1ln ax x a x x e++≥对()1,x ∈+∞恒成立，则实数a 的最小值为（ ）A. B. e 2- C. e - D. 2e -【答案】C 【解析】 【分析】将不等式变形,通过构造函数()ln g x x x =-,求导数后,结合函数的单调性即可得解. 【详解】不等式1ln a x x a x x e++≥对()1,x ∈+∞恒成立 可变形为1ln ax x x a x e≥-+, 即n n l l x x a a e x x e ----≥对()1,x ∈+∞恒成立设()ln g x x x =- 则()11'1x g x x x-=-= 当()1,x ∈+∞时,()'0g x >,即()ln g x x x =-在()1,x ∈+∞时单调递增 当()0,1x ∈时,()'0g x <,即()ln g x x x =-在()0,1x ∈时单调递减 因而()()xa g eg x -≥在()1,x ∈+∞上恒成立即可当()1,x ∈+∞时, 10,xee -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭而当0a <时(因四个选项都小于0,所以只需讨论0a <的情况)()0,1a x ∈因为()ln g x x x =-在()0,1x ∈时单调递减,若()()x a g e g x -≥只需x a e x -≤不等式两边同取自然底数的对数,可得ln x a x -≤ 当()1,x ∈+∞时, 0ln x < 化简不等式可得ln xa x-≤只需maxln x a x -⎛⎫≤ ⎪⎝⎭ 令()ln xh x x-=,()1,x ∈+∞ 则()()21ln 'ln xh x x -=,令()'0h x =解得x e =当()1,x e ∈时, ()'0h x >,则()ln xh x x -=在()1,e 内单调递增 当(),x e ∈+∞时, ()'0h x <,则()ln xh x x-=在(),e +∞内单调递减所以()ln x h x x -=在x e =处取得最大值, ()max ln eh x e e-==- 故e a -≤所以实数a 的最小值为e - 故选:C【点睛】本题考查了导数在研究函数单调性与最值中的综合应用,根据不等式恒成立问题求参数的取值,利用构造函数法求最值,对函数式的变形尤为重要,属于难题.12.已知双曲线221221(0,0)x y C a b a b ：-=>>的一个焦点F 与抛物线22:2(0)C y px p =>的焦点相同，1C 与2C 交于A ，B 两点，且直线AB 过点F ，则双曲线1C 的离心率为（ ）A.B.C. 2D.1【答案】D 【解析】 【分析】由图形的对称性及题设条件AF ⊥x 轴，且,22p c p c ==，不难得到,2p A p ⎛⎫⎪⎝⎭，将其代入双曲线方程化简可得22241c e b-=，再化简整理可得212e e -=，解之即可得到结果.【详解】由图形的对称性及题设条件AF ⊥x 轴，且,22p c p c ==，不妨设交点1,2p A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入22y px =可得1y p =，故,2p A p ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入双曲线方程化简可得222214p p a b -=，即22241c e b -=，也即222241c e c a-=-，由此可得()22214e e -=，即212e e -=，也即2(1)2e -=，所以1e =+.所以本题应选D.【点睛】圆锥曲线是平面解析几何的重要内容，也是高考和各级各类考试的重要内容和考点，解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息，探寻出,22pc p c ==，及AF ⊥x 轴等条件，这些都是解答本题的重要条件和前提.解答时，将,2p A p ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入双曲线方程化简得到222214p p a b-=后化简并求出双曲线的离心率仍是一个难点，因为22241c e b-=距离求出离心率的目标仍然较远，解这个方程不是很简单，这需引起足够的重视.第Ⅱ卷 非选择题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量(,4),(3,2)a m b ==-，且a b ∥，则m =___________. 【答案】6- 【解析】 【分析】由向量平行的坐标表示得出2430m --⨯=，求解即可得出答案. 【详解】因为a b ∥，所以2430m --⨯=，解得6m =-. 故答案为：6-【点睛】本题主要考查了由向量共线或平行求参数，属于基础题.14.已知cos θ=，且,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan 2θ=__________．【答案】43【解析】分析：根据cos θ的值得到tan θ的值，再根据二倍角公式得到tan 2θ的值．详解：因此cos 5θ=-且,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故tan 2θ=-，所以()()2224tan 2312θ⨯-==--，故填43．点睛：三角函数的化简求值问题，可以从四个角度去分析：（1）看函数名的差异；（2）看结构的差异；（3）看角的差异；（4）看次数的差异．对应的方法是：弦切互化法、辅助角公式（或公式的逆用）、角的分拆与整合（用已知的角表示未知的角）、升幂降幂法．15.我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式11111+++中“…”既代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程11xx+=求得x=，类似上述过程，则=__________．【解析】【分析】()0m m=>，平方可得方程23m m+=，解方程即可得到结果.()0m m=>，则两边平方得，得23m+=即23m m+=，解得：m=m=【点睛】本题考查新定义运算的问题，关键是读懂已知条件所给的方程的形式，从而可利用换元法来进行求解.16.设1F，2F分别是椭圆C：22221x ya b+=（0a b>>）的左、右焦点，直线l过1F交椭圆C于A，B两点，交y轴于E点，若满足112F E AF=，且1260EF F∠=，则椭圆C的离心率为______.【答案】13【解析】【分析】采用数形结合，计算1F E以及1AF，然后根据椭圆的定义可得2AF，并使用余弦定理以及cea=，可得结果.【详解】如图由1260EF F ∠=，所以12cos60c F E c == 由112F E AF =，所以1112AF F E c == 又122AF AF a +=，则22AF a c =- 所以222121212121cos 2AF F F AF AF F AF F F +-∠= 所以()()22222cos12022c c a c c c+--=⋅ 化简可得：()227227c a c a c c =-⇒-= 则7171c a -==+ 71- 【点睛】本题考查椭圆的定义以及余弦定理的使用，关键在于根据角度求出线段的长度，考查分析能力以及计算能力，属中档题.三．解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17.某火锅店为了解气温对营业额的影响，随机记录了该店四月份中5天的日营业额y （单位：千元）与该地当日最低气温x （单位：C ︒）的数据，如下表： x 2 5 8 9 11（Ⅰ）求y关于x的回归方程y bx a=+；（Ⅱ）设该地区4月份最低气温()2,X Nμσ，其中μ近似为样本平均数x，2σ近似为样本方差2s，求()0.610.2P X<<.附：（1）回归方程y bx a=+中，1221ni iiniix y nx ybx nx==-⋅=-∑∑，a y bx=-；（2 3.2≈ 1.8≈；（3）若()2,X Nμσ，则()0.6827P Xμσμσ-<<+=，()220.9545P Xμσμσ-<<+=.【答案】（Ⅰ）0.5612.92y x=-+（Ⅱ）0.8186【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意计算x、y，求出回归系数，写出回归直线方程；（Ⅱ）由题意知平均数μ和方差2σ，利用正态分布计算(0.610.2)P X<<的值．【详解】解：（Ⅰ）根据题意，计算1(258911)75x=⨯++++=，1(1210887)95y=⨯++++=，22212875790.5629557ni iiniix y nx ybx nx==--⨯⨯===--⨯-∑∑，9(0.56)712.92a y bx=-=--⨯=，y∴关于x回归直线方程为0.5612.92y x=-+；（Ⅱ）由题意知平均数7μ=，计算方差210σ=，~(7,10)X N∴，(0.610.2)(0.67)(710.2)P X P X P X∴<<=<<+<<110.95450.682722=⨯+⨯0.8186=．【点睛】本题考查了线性回归方程与正态分布的应用问题，属于中档题．18.已知等差数列{}n a 的公差0d >，其前n 项和为n S ，若36S =,且1a ，2a ，31a +成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2n a n n b a -=+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）n a n =.（2）(1)1122n n n n T +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据等差数列公式得到()213212316a a a a a a ⎧⋅+=⎨++=⎩，计算得到答案. （2）12nn b n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用分组求和法计算得到答案.【详解】（1）依题意，得()213212316a a a a a a ⎧⋅+=⎨++=⎩即()()2111121336a a d a d a d ⎧++=+⎪⎨+=⎪⎩，整理得220d d +-=. ∵0d >，∴1d =，11a =.∴数列{}n a 的通项公式()11n a n n =+-=即数列{}n a 的通项公式n a n =.（2）1222n na nn n b a n n --⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭， 12n n T b b b =+++211221122n n ⎛⎫⎛⎫ ⎪=+++ +++⎪⎝⎭⎝⎭， ()231111122222n n T n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦11122(1)1212n n n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=+- 11122(1)1212n n n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=+-(1)1122n n n +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭故(1)1122n n n n T +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了等差数列通项公式，分组求和法求前n 项和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.19.如图，在平行四边形ABCD 中，2=AD AB ，60A ∠=︒，现沿对角线BD 将ABD ∆折起，使点A 到达点P ，点M ，N 分别在直线PC ，PD 上，且A ，B ，M ，N 四点共面.（1）求证：MN BD ⊥；（2）若平面PBD ⊥平面BCD ，二面角M AB D --平面角大小为30，求直线PC 与平面BMN 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（215 【解析】【分析】（1）根据余弦定理，可得AB BD ⊥，利用AB //CD ，可得CD //平面ABMN ，然后利用线面平行的性质定理，CD //MN ，最后可得结果.（2）根据二面角M AB D --平面角大小为30，可知N 为PD 的中点，然后利用建系，计算PC 以及平面BMN 的一个法向量，利用向量的夹角公式，可得结果.【详解】（1）不妨设2AB =，则4=AD ，在ABD ∆中, 2222cos BD AB AD AB AD A =++⋅⋅， 则23BD =因为22241216AB BD AD +=+==，所以AB BD ⊥，因为AB //CD ，且A 、B 、M 、N 四点共面，所以CD //平面ABMN .又平面ABMN 平面PCD MN =，所以CD //MN .而CD BD ⊥，MN BD ⊥.（2）因为平面PBD ⊥平面BCD ，且PB BD ⊥，所以PB ⊥平面BCD ，PB AB ⊥，因为AB BD ⊥，所以AB ⊥平面PBD ，BN AB ⊥，因为BD AB ⊥，平面BMN 与平面BCD 夹角为30，所以30DBN ∠=︒，在Rt PBD ∆中，易知N 为PD 的中点，如图，建立空间直角坐标系，则()0,0,0B ，()002P ,,，()2,23,0C ， ()3,1N ，()3,1M ， ()1,0,0NM =，()0,3,1BN =，()2,23,2PC =-，设平面BMN 的一个法向量为(),,n x y z =， 则由00030x n NM n BN z =⎧⎧⋅=⎪⇒⎨⎨⋅=+=⎪⎩⎩， 令1y =，得(0,1,3n =-.设PC 与平面BMN 所成角为θ，则()15sin cos 905n PCn PC θθ⋅=︒-==⋅. 【点睛】本题考查线面平行的性质定理以及线面角，熟练掌握利用建系的方法解决几何问题，将几何问题代数化，化繁为简，属中档题.20.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过点F ，斜率为1的直线与抛物线C 交于点A ，B ，且8AB =．（1）求抛物线C 的方程；（2）过点Q （1，1）作直线交抛物线C 于不同于R （1，2）的两点D 、E ，若直线DR ，ER 分别交直线:22l y x =+于M ，N 两点，求|MN|取最小值时直线DE 的方程．【答案】（1）24y x =；（2）20x y +-=．【解析】【分析】（1）过点F 且斜率为1的直线方程与抛物线的方程联立，利用8AB =求得p 的值，即可求得抛物线C 的方程；（2）设D （x 1，y 1），E （x 2，y 2），直线DE 的方程为(1)1,0x m y m =-+≠，直线DR 的方程为1(1)2y k x =-+，由题意求出,M N x x 得值，建立MN 的解析式，再求出MN 的最小值以及直线DE 的方程．【详解】（1）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为(,0)2p F ， 直线方程为：2p y x =-， 代入22(0)y px p =>中，消去y 得： 22304p x px -+=， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则有123x x p +=，由8AB =，得128x x p ++=，即38p p +=，解得2p =，所以抛物线C 的方程为：24y x =；（2）设D （x 1，y 1），E （x 2，y 2），直线DE 的方程为(1)1,0x m y m =-+≠，如图所示， 由2(1)14x m y y x=-+⎧⎨=⎩，消去x ，整理得：244(1)0y my m -+-=，∴12124,4(1)y y m y y m +==-，设直线DR 的方程为1(1)2y k x =-+，由()11222y k x y x ⎧=-+⎨=+⎩，解得点M 的横坐标112M k x k =-， 又k 1=1121y x --=142y +，∴x M =112k k -=-12y ， 同理点N 的横坐标22N x y =-， 1221212()4y y y y y y +--==421m m -+，∴|MN|=5|x M -x N |=5|-12y +22y |=25|2112y y y y -|=285141m m m ⋅-+-=22511m m m ⋅-+-， 令1,0m t t -=≠，则1m t =+，∴|MN|=25•221t t t++=25•211()1t t ++=25•2113()24t ++≥25•34=15， 所以当2t =-，即01x ≠时，|MN|取最小值为15，此时直线DE 的方程为20x y +-=．【点睛】本题主要考查了抛物线线的标准方程的求解、及直线与抛物线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．21.已知函数21()ln ()2f x x ax x a R =-+∈，函数()23g x x =-+. （Ⅰ）判断函数1()()()2F x f x ag x =+的单调性；（Ⅱ）若21a -≤≤-时，对任意12,[1,2]x x ∈，不等式1212()()()()f x f x t g x g x -≤-恒成立，求实数t 的最小值.【答案】(1) 故函数()y F x =在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减;(2)114. 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据题意得到()F x 的解析式和定义域，求导后根据导函数的符号判断单调性．（Ⅱ）分析题意可得()()()()2211f x tg x f x tg x +≤+对任意21a -≤≤-，1212x x ≤≤≤恒成立，构造函数()()()()21ln 1232h x f x tg x x ax t x t =+=-+-+，则有()()1120h x ax t x'=-+-≤对任意[]2,1a ∈--，[]1,2x ∈恒成立，然后通过求函数的最值可得所求．试题解析：（I ）由题意得()()()()2113ln 1222F x f x ag x x ax a x a =+=-+-+，()x 0,∈+∞， ∴()()21111ax a x F x ax a x x-+-+=-+-=' ()()11ax x x -++=. 当0a ≤时，()0F x '≥，函数()y F x =在()0,+∞上单调递增；当0a >时，令()0F x '>，解得10x a <<；令()0F x '<，解得1x a>. 故函数()y F x =在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. 综上，当0a ≤时，函数()y F x =在()0,+∞上单调递增；当0a >时，函数()y F x =在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. （II ）由题意知0t ≥. ()2111ax x f x ax x x-+=='+-+， 当21a -≤≤-时，函数()y f x =单调递增．不妨设1≤ 122x x ≤≤，又函数()y g x =单调递减，所以原问题等价于：当21a -≤≤-时，对任意1212x x ≤≤≤，不等式()()21f x f x -≤ ()()12t g x g x ⎡⎤-⎣⎦恒成立，即()()()()2211f x tg x f x tg x +≤+对任意21a -≤≤-，1212x x ≤≤≤恒成立.记()()()()21ln 1232h x f x tg x x ax t x t =+=-+-+， 由题意得()h x 在[]1,2上单调递减. 所以()()1120h x ax t x'=-+-≤对任意[]2,1a ∈--，[]1,2x ∈恒成立. 令()()112H a xa t x=-++-，[]2,1a ∈--， 则()()max 122120H a H x t x =-=++-≤在()0,x ∈+∞上恒成立. 故max 1212t x x ⎛⎫-≥+ ⎪⎝⎭， 而12y x x=+在[]1,2上单调递增， 所以函数12y x x =+在[]1,2上的最大值为92. 由9212t -≥，解得114t ≥. 故实数t 的最小值为114． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22.在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为1x t y t=-+⎧⎨=-⎩（t 为参数）,以原点O 为极点,x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ-,直线l 与曲线C 交于A 、B 两点.（1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若(1,0)P -,求11AP BP +值.【答案】（1）10x y ++=；22(2)4x y ++=（2）3【解析】【分析】(1)相加消去参数t 可得直线l 的普通方程,对=4cos ρθ-两边乘以ρ再根据极坐标与,x y 的关系化简可得曲线C 的直角坐标方程.(2)将直线l 写成过(1,0)P -的标准直线参数方程,再联立圆的方程化简求得关于t 的二次方程,进而根据t 的几何意义,结合韦达定理求解11AP BP+即可. 【详解】（1）因为1x t y t =-+⎧⎨=-⎩,相加可得直线的普通方程为10x y ++=,. 又=4cos ρθ-,即2224cos 40x y x ρρθ=-⇒++=,化简可得曲线C 的直角坐标方程22(2)4x y ++=. （2）直线的参数方程可化为12x y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）,代入曲线()2224x y ++=可得2214⎛⎫⎫-+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,化简可得230t -=,由韦达定理有1212123,t t t t t t +==--==所以121211||||3t t AP BP t t -+== 【点睛】本题主要考查了参数方程与极坐标和直角坐标方程的互化,同时也考查了直线参数的几何意义,属于中档题. 23.已知函数()211f x x x =-++.（1）求不等式()2f x x ≤+的解集；（2）若函数()y f x =的最小值记为m ，设0a >，0b >，且有a b m +=.求1212a b +++的最小值. 【答案】（1）[]0,1（2【解析】【分析】（1）作出函数图象，数形结合即可得到答案；（2）32a b +=⇒9122a b +++=，()()112121212912a b a b a b ⎛⎫+=++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝⎭，在乘开，利用基本不等式即可.【详解】解（1）因为()3,1,1 2112,1,213,.2x xf x x x x xx x⎧⎪-<-⎪⎪=-++=-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩从图可知满足不等式()2f x x≤+的解集为[]0,1.（2）由图可知函数()y f x=的最小值为32，即32m=.所以32a b+=，从而9122a b+++=，从而()()112121212912a ba b a b⎛⎫+=++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝⎭()()21212222642332912912a ab ba b a b⎡⎡⎤+-⎛⎫+++=++≥+⋅=⎢⎢⎥⎪++++⎢⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣当且仅当()21212aba b++=++，即92111492,22a b-==时，等号成立，∴1212a b+++的最小值为6429+.【点睛】本题考查解绝对值不等式以基本不等式求最值的问题，是一道中档题.。
2021届湖南长郡中学新高考原创预测试卷(二十二)数学
2021届湖南长郡中学新高考原创预测试卷（二十二）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知复数z 满足()14i z i z -⋅==，则 2B.2C.2D.82.已知集合{}{}20,10A x x x B x x x =-<=><或，则 A.B A ⊆B.A B ⊆C.A B R ⋃=D.A B ⋂=∅3.已知集合0.130.2log 0.2,log 0.3,10,a b c ===则A.a b c <<B.a c b <<C.c a b <<D.b c a <<4.()()311x x -+的展开式中，3x 的系数为 A.2B.2-C.3D.3-5.函数()()32sin12xf xg xxπ⎛⎫--⎪⎝⎭=与的图象关于y轴对称，则函数()f x的部分图象大致为6．在3世纪中期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”．这可视为中国古代极限观念的佳作．割圆术可以视为将一个圆内接正n边形等分成n个等腰三角形(如图所示)，当n变得很大时，等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积．运用割圆术的思想，可得到sin3°的近似值为(π取近似值3.14)A.0.012B.0.052C.0.125D.0.2357.已知函数()()3211f x xg x x=+++，若等差数列{}n a的前n项和为n S，且()()220202020110,110=f a f a S-=--=，则A.4040- B.0C.2020D.40408.在四面体2,90ABCD BC CD BD AB ABC====∠=中，，二面角A BC D--的平面角为150°，则四面体ABCD外接球的表面积为A.313π B.1243πC.31πD.124π二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分。
(解析版)湖南省长沙市长郡中学高三第三次月考数学(理科)
长郡中学2021届高三月测试卷〔数学〔理科〕第I卷〔共60分〕一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1 .集合｛y E N|y = -/十6〕E M｝的真子集的个数是〔〕A. 3B. 4C. 7D. 8【答案】C【解析】二函数y =-工之l•3KE^^ x = 0. 1,2时,y分别等于63 2在［0,十面上是减函数,,*二3 时,y ＜0, J. ｛y EN¥=-/+0K EN｝=｛工5,6｝一,该集合的所有真子集为@闭,⑸,⑹：口5｝#2,6*5⑹,,该集合的真子集个数为7,应选C.2 .变量X?■成负相关,且由观测数据算得样本平均数",y =3.5,那么由该观测数据算得的线性回归方程可能是〔〕A. y .1三B. .:,-'C. V - ；：D. ■■』■!【答案】C【解析】由变量x、y负相关,知A, B不正确,把代入C, D方程只有C满足,应选C.3.命题P：% E 〔y,0〕, 2%工3%,命题卬队E 〔o,|j, tanx ＞或ux,那么以下命题为真命题的个数是〔〕①口*q；②pv「q〕；③④pZF.A. 1个B. 2 个C. 3 个D. 4 个【答案】B2 靠【解析】•「当x＜.时,总有〔广1 ,即八命题P为假,从而不为真,■■■当匹吟|时,tanx-sinx --- ---------------- ＞.,即面ix＞Wnx.又命题q为真,二〔¥〕八9, pVq为真,真命题的个数cosx是工应选B.4 .复数工满足小1 = ।十］〔:为虚数单位〕,那么工的共轲复数工A. । - -B.C. T 十D. ।【解析】由于Z7 = l十］,所以(1+1)(-1) , gPz= 1-1, E的共轲复数』=1十i,应选A.5 .执行如下图的程序框图,那么输出的结果是( )A. 14B. 15C. 16D. 17【答案】C2 2 3【解析】第一次循环,S = log^,口= 2 ；第二次循环,S = log3- + = 3 ；第三次循环,J 3 45 = log3- ।匕g%- log2-Ji = <..,第n次需环,.234 , n , 2 2.一一.S = 10g3- + l0g2-卜iQg广1-- + ——一= ------ 浦=n + 1 ,令Wgr ------ < 一己,解得口> 1 5,八输出M 5 F + 1 F + 1 n- 1的结果是n十1 = 16,应选C.6 .f(x)为奇函数,函数［(X)与虱K)的图象关于直线丫=工十1对称,假设2⑴=4,那么£(-3)=( )A. -2B. 2C. -1D. 4【解析】解析：由题意设P〔1冉关于y = x+I的对称点Mo,那么,解之得二;那么｝』〔32〕在函数y = f〔x〕的图像上,故f〔3〕= 2,那么f〔-3〕= -2,应选答案B.7 .实数x;y满足|x| < y + I ,且T M y M I ,那么z = 2x十y的最大值〔〕A. 2B. 4C. 5D. 6jn11* ■:c、f y > X-1 T x > 0根据题意,约束条件为：y<-x-Lx<0 约束条件围成的图形如图 A.ABC ,,-1 <y< 1z = 2x + >化为y =-2x+z,平移予=-2x十乙当二;时,y =-六+ z在Y轴上的截距m取得最大值,z = 2x + y = 2x2+ 1 = 5,应选C.【方法点晴】此题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值,属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求〞：〔1〕作出可行域〔一定要注意是实线还是虚线〕；〔2〕找到目标函数对应的最优解对应点〔在可行域内平移变形后的目标函数,最先通过或最后通过的顶点就是最优解〕；〔3〕将最优解坐标代入目标函数求出最值.8 .某空间几何体的三视图如下图,那么该几何体的体积为〔〕【解析】解析：由三视图中提供的数据信息和几何特征可知该几何体是一个四棱锥去掉以半圆锥的组合体,其体积 型=,2小2E 应选答案B . 3 3 3「 3兀9 .假设函数 f(x) = sinsx 斗小CQSSK R E R),又®) = -2 , f(p)=.,且o.-fJ|的最小值为一,那么正数m 的 值是()A. B. C. D.3 2 3 3【答案】D/ 7C\ 乳 7T 二(冗 5jt 【解析】f(x) = 2洞ox 4,由 f(o) = -2,得切口 । - =的兀一出 E Z ,口 = ------------- ,由 f(p) =.,3/ 3 2 co 6o) 3.工 2时,|a-p 取得最小值—,那么—=一,解得团=-,应选D.2<0 4 310.如图,正三棱柱AB .A[Bgi 的各条棱长均相等,D 为AA1的中点,M,N 分别是线段口蜕和 线段CJ 上的动点(含端点),且满足BM = gN .当M,N 运动时,以下结论中不正确的选项是()A.平面DMN 1平面BCCBB. 三棱锥A 】DMS 的体积为定值C. ADMN 可能为直角三角形D. 平面DMN 与平面ABC 所成的锐二面角范围为(0,三【答案】C如图,当M,N 分别在上运动时,假设满足BM = C[N,那么线段MN 必过正方形BCCiE .的中央.,而D0 1平面BCCiB]/平面DMN1平面BCC|B 「A 正确；当MN 分别在 BBpCC]上运动时,AA 】DM 的面积不变,N 到平面A 】DM 的距离不变,的棱锥N-AQM 的体积不..,了 ： . . ； .|, 那么 a B _ 2<k r k ^ ,八」dR --------------- co71 2©4(k 「kr)兀 f2<o、kWZ ,变,即三棱维A 「DMN 的体积为定值,E 正确；假设为直角三角形,那么必是以 AfDN 为直 角的直角三角形,但的最大值为BG ,而此时DMDX 的长大于BBp 二Z\DMN 不可能为直角三角形,C 错误；当M,N 分别为BBpCC ］中点时,平面DMN 与平面ABC 所成的角为0,当M 与B 重 7E合,N 与G 重合时,平面DMN 与平面ABC 所成的锐二面角最大,为 ,C|BC 等于j, ,•.平面DMN 与n 7Txf-1) sin ----- 1- 2dx E [组2tl + l\(nEN),假设数列｛4｝满足11 .i- i . 7CX(—1)“+ 2n + 2,x E [2n + l,2n - 2),a m = ^mXmEN*〕,数列｛鼠〔的前加项的和为兀,那么瓦通一与小 〔 〕A. 909B. 910C. 911D. 912 【答案】A7tx1(-l)nsin — + 2ax E [2n,2n + 1)【解析】函数f(x)=」,n E N ,数列k J 满足(—I/1 siny - 2口 ▼ 2,x E [2n 十[,2n 十 2)斗u = f ⑹(m EN"),二斯/一蹑二的7十%吕+…十%5 二.4M , 49JF . 52?c .. . “、人. sin,— । 2 x 48 + 2-sm ----- + 2 x 49 । ... । sm — । 2 乂 52 4 2 = 909 ,应选 A.2 2 2 12.函数f(、) = x + /F , g(x) = iMx 十2)-4 ,其中1c 为自然对数的底数,假设存在实数 4,使口与)-虱飞)=3成立,那么实数a 的值为( )A.B. In...C. .D. .【答案】B_ ___ , 一 , 1 K + 1 ,, 【解析】令 Rx 〕-g 〔K 〕=x-i e - ln 〔x -I 2〕'I 4e ,令丁 = x- ln 〔x + 2〕 y 1 = l -- -- ----- ,故x + 2 x + 2y =x-ln 〔x +2〕在上是减函数,〔-1,十◎上是增函数,故当K = T 时,y 有最小值-1-0 =-1 , 由根本不等式得『一〞十命一〞之4〔当且仅当= 4/一",即x = a 十足之时,等号成立〕；故f 〔x 〕-g〔x 〕=3〔当且仅当等号同时成立时,等号成立〕,故x=a 十ln2=-1,即a = Tn2-1,应选B.【方法点睛】此题主要考查利用导数求最值、根本不等式求最值以及转化与划归思想的应用, 属于难题.利用根本不等式求最值时,一定要正确理解和掌握“一正, 二定,三相等〞的内涵：平面ABC 所成的锐二面角范围为〔0,： D 正确,应选C.11.函数Rx 〕一正是,首先要判断参数是否为正；二定是,其次要看和或积是否为定值〔和定积最大,积定和最小〕；三相等是,最后一定要验证等号能否成立〔主要注意两点,一是相等时参数否在定义域内,二是屡次用3或•工时等号能否同时成立〕第n卷〔共90分〕二、填空题〔每题5分,总分值20分,将答案填在做题纸上〕13.抹展开式的常数项为15,贝।sin2x〕dx =., -a【答案】23 -—1 十_j- q【解析】由题意得：T _] = 〔96-『,〔_火〕『=〔_]〕『.产,c：• x之,令3i；r = 0,即r = X D a C「15,,a - --7=15, /.a4= 1. ■■ a> 0, = 1 ,2 乂1H 1 I I 1'JG1 + sin2x〕dx = Jjl -x2d x + J sin2xdx = 法,根据定积分的几何意义可得Jjl—x?dK-a -1 -1 -1 -1表示半径为I的半圆的面积,【方法点晴】此题主要考查二项展开式定理的通项与系数以及定积分的几何意义,属于中档题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一,关于二项式定理的命题方向比拟明确,主要从以下几个方面命题：〔1〕考查二项展开式的通项公式T『+i = C/LE ;〔可以考查某一项,也可考查某一项的系数〕〔2〕考查各项系数和和各项的二项式系数和；〔3〕二项展开式定理的应用.14 .向量满足：|a| = |b| = I ,且「E = L 假设c = xa十yl 其中x>0 , y >0且x+y = 2 ,那么|c 的最小值是.【答案】忑【解析】v|a| =|b| =1 ,且a -〔? = -,当c = xa 十?后时,c2= x2a3I 2xya - b I y气,,= x2+xy +/=〔x + y〕2-xy,又x>0,y > 0 且x i y = 2, - xy r< | = 1 ,当且仅当x = y = I 时取“=",二/ > 〔x r广笥丫= 231 = 3-、向的最小值是后,故答案为忑.15 .将正整数12分解成两个正整数的乘积有I第12, 2 乂6, 3三种,其中3,4是这三种分解中两数差的绝对值最小的,我们称3丈4为12的最正确分解.当P'q 〔PWq且p,qEN* 〕是正整数口的最正确分解时,我们定义函数f〔n〕= q—p,例如f〔12〕= 4-3 = I .数列/⑨?的前100项和为【解析】当口为偶数时,耳片=0;当n 为奇数时,丁〞、,' ' f(3n ) = 3 2 一3 二S1翼=2(3°-31+…十3勺=2 x --------- = 3,0-1,故答案为产7.3_1 16 .如图,正方体ABCD-AjBgiD]的棱长为3,在面对角线A 】D 上取点M,在面对角线CD 】上取点N ,使得MN II 平面AAgg ,当线段YN 长度取到最小值时,三棱锥 AI-MND]的体积为【答案】1【解析】试题分析：如以下图所示,建立空间直角坐标系,从而可设,Y(m0m) , NB ,n,3-n),• - XdN = (-m,n n 3_n m),而面•工CC-看 的■个法向量是 n=( 1,1,0) , •1- XIN ■ n = O^m = n , 「• xfrj2 = 十 n* 十(3一口-m)* = 2m* 十I 9 = 6(m -])1 + 3 > 3 , 当且仅当m = 1时,等号成立,此时%%/加]=V N -AM D]乂 2" = ],故填：। .考点：立体几何中的最值问题.【思路点睛】立体几何的综合应用问题中常涉及最值问题,处理时常用如下两种方法：1 .结合条件与 图形恰当分析取得最值的条件；2 .直接建系后,表示出最值函数,转化为求最值问题.三、解做题 (本大题共6小题,共70分.解容许写出文字说明、证实过程或演算步骤.)n-1 n-1口=2x3?,17.某高校在今年的自主招生测试成绩中随机抽取100名考生的笔试成绩,分为 5组制出频率分布直方图如下图〔1〕求4d 的值;〔2〕该校决定在成绩较好的 3、4、5组用分层抽样抽取 6名学生进行面试,那么每组应各抽多 少名学生？〔3〕在〔2〕的前提下,面试有 4位考官,被抽到的 6名学生中有两名被指定甲考官面试,其余4名那么随机分配给3位考官中的一位对其进行面试,求这 4名学生分配到的考官个 数X 的分布列和期望.【答案】〔1〕前,03, 20, 0.2; 〔2〕第三组应抽3人,第四组应抽2人,第五组应抽I 人；〔3〕 65 . 27【解析】试题分析：〔1〕由频率分布直方图,求出成绩有 [85,90〕中的频率,由此根据频率与频数的关系能求出abc 的值；〔2〕组的学生数分别为3d20,10 ,由此能求出用分层抽样抽取6名学生进行面试,每组应各抽多少名学生；〔3〕由得X 的可能取值为123,分别求出相应的概率,由此能求出这 4名学生分配到的考官个数X 的分布列和期望. 试题解析：〔1〕由题意知 b = o.oe X 5 = 0.3 , a = 100 x 0.3 = 30 , d = I -0.05-035 -03-0.1 =0.2 c= 100x0.2=20 ..30〔2〕三个组共60人,所以第三组应抽人, 20 10第四组应抽6、二=1人,第五组应抽6乂二=1人.60 60 （3） X 的所有可以取的值分别为 1,2,3叱=】)=#=万/+ 14 -P(X = 2) =-------- ----- =—(或 P(X = 2) =27组号分组；粮教 频率1 [75,80) 产30.05 2 [80,85) 350,353 [85,90) a4 [90,95) r d5[95JOO)100, 1C ■设一 2) 144 一P(X = 3)=——=-(或 P(X = 3) = IT 9 所以X 的分布列为:14 27所以X 的数学期望E 〔X 〕 = 1【方法点睛】此题主要考查直方图的应用以及离散型随机变量的分布列与数学期望,属于中 档题.求解该类问题,首项要正确理解问题,其次要准确无误的随机变量的所以可能值,计 算出相应的概率,写出随机变量的分布列,正确运用均值、方差的公式进行计算,也就是要 过三关：〔1〕阅读理解关；〔2〕概率计算关；〔3〕公式应用关.就18.在3ABe 1中,内角A,B,C 所对的边分别为 电b,c,.=2,〔3 = §. 〔1〕当 2sin2A ++ C 〕 = siriC 时,求 AABC 的面积；〔2〕求.AABC 周长的最大值.【答案】〔1〕亍；〔2〕6.【解析】试题分析：〔1〕由二倍角的正弦公式以及两角和的正弦公式化简可得23mAeosA = sinBcosA ,分类讨论先分别求出 久,B ,再求出a,b 的值,利用三角形面积公式即可计 算得解；〔2〕由余弦定理及条件可得：/十产rb = 4,利用根本不等式可得〔a + b 〕3 = 4 । 3册玉4 + 3史型-,解得a 『bW4,从而可求周长的最大值.由 2sm2A + sin(2B + C) = sinC得 241nAe 口SA = sinBeosA ,当时,sinB = 2sinA ,由正弦定理b = 2日,联立 2点4小解得b=?T,, 一,―…1 2小故二角形的面积为试题解析:a -+b - - ab = 4b = 2a〔2〕由余弦定理及条件可得：.由〔g+= 4十3处三4十3〔a；b〕得& ± b < 4 ,故AABC周长的最大值为6,当且仅当三角形为正三角形取到 .19.如下图,直三棱柱ABC-中,AB=AC = 2, 0为-G的中点,E为的中点.B 民〔1〕求证：C^ill 面ARD；〔2〕假设AB[J-面A]DB,求二面角B %D瓦的余弦值.【答案】〔1〕证实见解析；〔2〕—.4【解析】试题分析：〔1〕设AB1与AR交于F,连接DF.EF, •••EFIIBBJICC],那么EF与CQ平行且相等..♦・四边形EgDF为平行四边形,由线面平行的判定定理可得结果；〔2〕以BC的中点口为原点,分别以OE. OA方向为x轴和工轴正方向,以方向为y轴正方向,建立空间直角坐标系,分别求出平面与平面的一个法向量,根据空间向量夹角余弦公式,可得结果 ^试题解析：〔1〕设居1与交于F,连接DF、EF,••• EFII BB仲CC1?那么EF与C]D平行且相等..•・四边形EC]DF为平行四边形..CjE IDF,又DF 匚面A]DB, C】E仁面ARB ,,C]E II 面ARD.〔2〕以BC的中点.为原点,分别以OB、OA方向为x轴和工轴正方向,以CC]方向为y轴正方向, 建系如图,设8=K, AAj = y,那么有H〔xaO〕, A〔0A^4^'〕, E]〔xy0〕, 一冬〔.邛<777〕, D卜.•・班= 〔-2x:0〕,..叫=〔-居媪匚♦,,赢1 =〔x,y-J4.x方由AB[,面A]DB ,那么H；A ■ BAj = 0,E；A liD = 0.那么1尸.、解得门.所以面ARD的法向量为_0]=〔12.我,又设面ARD的法向量为S =〔a,b,c〕, 口云「QI.〕,A自=〔】.,我,A1B1n = O, DB1 n = O,所以隹.二;,令a =收那么s瑜」〕,J7.、下-5出击..•",•.・■1 - .S ,尽44所以二面角的余弦值为—.4【方法点晴】此题主要考查线面平行的判定定理、利用空间向量求二面角,属于难题.证实线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理,使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与直线平行的直线,可利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证实两直线平行.②利用面面平行的性质,即两平面平行,在其中一平面内的直线平行于另一平面.此题〔1〕是就是利用方法①证实的.20.数列kn｝满足为7, %+]=相1卜产1-4口〔武短〕.〔1〕是否能找到一个定义在因’的函数Rn〕=A,2n T I 〔4B、C1是常数〕使得数列｛日口一出口〕｝是公比为3的等比数列,假设存在,求出｛%｝的通项公式；假设不存在,说明理由；〔2〕ifiS1]=a l i-a2 iq 一। %,假设不等式'r?>p x非对任意“ E N〞都成立,求实数p的取值范围.【解析】试题分析：1「由即+1 = 3a n + 2n 1- 4n可得(n + 1) - 3f(n) = 2n-1 - 4n ,纪合f(n 4- 1) - 3f(n) = - A ' 2n 1 - 2Bn + (B - 20 ,对应项系数相等列不等式组求解即可；⑶ 先利用分组求和法求得£门二2n + r? + 2rv化简5n -n2> px 3rl可得p < \ ." +工口= 1,中II I 11 I ■3n试题解析：(1) 8n(口 + l)=地1r氏项,•.•%+[= 3% । Rn 7)-3f(n),所以只需.,■, i,■,二二匕1 '二,•二? ?.即::二T.‘‘」：・； 1 ・3〞一.：一•.7 ,,1 - 一.二"'' 「二n .(2 ：：.二：i- 3.•一：1：・；I ・二•••二：・二. ・n • .「' + ..：二,2 + 2n 2 - 2n=. ________2n-2n 2n- 4n + 2 2n-2(2n- I)当n"时,/=〔I + 1广十u/] 一…十黑；十C：；三2十五n- l〕= 2n>2n- I 二.n"时,％ + 产%.容易验证,当15W3时,% + ]三,,73一 ,O 1・•.p的取值范围为〔-叫\ 81 /21 .f(x) = e'(ax,- x 十］).〔1〕当aWO时,求证：f〔x〕< I ;〔2〕当a >0时,试讨论方程f〔x〕=］的解的个数.【答案】〔1〕证实见解析；〔2〕林」时,方程一个解；当林J且4.时,方程两个解.2 , 2【解析】试题分析：〔1〕f〔x〕三l=e*〞〔ax,十x十】〕01等价于e x - ax3 - X - I > 0 ,令h㈤= 利用导数研究函数的单调性求出h〔x〕En = h〔0〕= 0 ,即可得结论；〔2〕问题转化为函数h〔x〕= e x- ax2- x - 1的零点个数,通过两次求导,讨论三种情况,分别判断函数Mx〕单调性及最值情况,从而可得方程解的个数试题解析：〔1〕要证Rx〕三l=e*'〔ax"十犬十】〕三1 ,只要证e x- ax2- x - I > 0 (* )令h(x) =,- ax" - x - 1 ,贝U h(K)=/- - 1 ,而h"〔*〕=£-%>.,所以h&l在〔-8,十⑼上单调递增,又4〔0〕= 口, 所以Mx〕在上单调递减,在〔0,十⑼上单调递增,,h〔K〕min , h〔0〕= 0 ,即hg 至.,〔* 〕式成立所以原不等式成立.〔2〕问题转化为函数h〔x〕= e x-ax2-x - 1的零点个数.而h (x)=它*= 2ax - 1 , h (x) = e x- 2a.令h"(x) = O,解得x = ln2n所以h'〔x〕在「8血㈤上单调递减,在包十⑼上单调递增.所以h(x)mg = h (ln2a) = 2a - 2aln2a - 1 ,设m = 2a,, g(m) = m - mlnm - 1 ,而, 那么g〔x〕在〔L十刈上单调递减,在〔0,D上单调递增,所以虱m%«= gQ〕= Q,即成刈讪不.〔当m = l即l,时取等〕.1 1 ,1°当/=寸寸,h〔乂〕Mn =.,那么h〔x〕3.恒成立.所以Mx〕在R上单调递增,又h〔o〕= o,那么Mx〕有一个零点;2当时,ln2a > 0 , h(x) = h(In2a.) <0,、* n ■ LIIIJ, /有在। - 上单调递减,在(ln2a,十W上单调递增,且XT+ 馍时,h (x)=已、=2ax - 1 > 0那么存在乂1,()使得h(Kj = 0,又h"(0) = D这时M2在(-皿0)上单调递增,在(0明)上单调递减,h(x)在㈤)上单调递增所以卜的)之履0) = 0,又XT +M时,岭)=金一/.工.]>Q, h(0) = 0所以这时Mx)有两个零点；3 当时,hi2a <0, h(x)mjl]= h(ln2a)<0.有h&)在।-81n*i)上单调递减,在(In知十田上单调递增,且XT - 8时,h(x) =/- 2ax - 1 > 0,那么存在x z -「,)使得h(x2) = 0.又h(0) = 0 ,这时Mx)在(-qxj上单调递增,在(■与⑼上单调递减,Mx)在◎十⑼上单调递增.所以h(xj > h(0} = 0.又XT - 9时,h(x) = e x - ax^ - x - 1, < 0, h(0) = 0.所以这时h(x)有两个零点；,一 1 ,〜, 1 一 ,〜、〜〜…综上：H =-时,原方程一个斛；当：af-且时,原方程两个斛. 2 2请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,那么按所做的第一题记分.选彳4-4 :坐标系与参数方程22 .直线仃匕祟二(L为参数),圆黑e为参数),兀(1)当u=,时,求C]与％的交点坐标；(2)过坐标原点.作J的垂线,垂足为A, P为.A的中点,当M变化时,求P点轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线.【答案】(1) (Z0)；(2) ! x = giiTs 圆心为(I.]半径为’的圆.[y = -cosasina \2 / 2【解析】试题分析：(I )求得Ci. G的普通方程, 联立方程组堂]？,解之得正解；(x y(n)求得Cj的普通方程n A点坐标为Qsin%, - 2coscisina)P点轨迹的参数方程为[)]皿" (口为参数)=P点轨迹的普通方程为仅二『卜y2：=故P点是圆心为&口),半(y=- cos as in ci 2 4 2径为I的圆.2试题解析：(I)当Q =:时,Ci的普通方程为丫二击仅一),G的普通方程为xJ『= 4.联立方程组F；后厂2)解得％与Q的交点为口,一回,Q0)J [ x —v1 = 4(II) %的普通方程为xsma - ycosa -左inct= 0. A点坐标为Q出i%, - 2cosasina),故当以变化时, P点轨迹的参数方程为[x-suAi (也为参数)ly = - cosasmaP点轨迹的普通方程为(x ；故P点是圆心为?.),半径为；的圆.选彳4- 4-5 :不等式选讲23. (1)函数R X)=|K/1|十|x-2|-旨-冽.假设函数f(x)的图象恒在x轴上方,求实数n的取值范围.(2)f(x} = J]十长,a#b,求证：f(b)| < |Ei-b|.【答案】(1) sE(-lJ) ; (2)证实见解析.【解析】试题分析：(1)求出f(x)的最小值,根据函数f(x)的图象恒在x轴上方,可得3-方炉0,|a-b||a + b|即可求实数a的取值范围；(2)不等式的左边化简为一/=;,利用忖十b|W|a|十|b和Jl 十a - Jl + b右品乒3舟后,即可证得不等式成立.试题解析：(1) fM的最小值为3-|『-冽,由题设,得力卜3,解得aE(-IJ).(2)证实：.「.,|a2|a- b||a i-b|।Jl +) Jl + H 1Jl +b2又. ■..|a I b| 一, . ----------------------------- --- 1 ----------------------------- ----- ।v11 + a + J ।b 'a^b, ..|a-b|>0.。
2021届湖南长郡中学新高三原创预测试卷(二)数学
2021届湖南长郡中学新高三原创预测试卷（二）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数z 满足，i iiz +=++12，则复数z= A ．2+i B ．1 +2i C ．3 +i D ．3-2i 2．已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+-=031x x xA ，{}2<=x x B ，则A∩B=A ．{}12<<-x xB ．{}23<<-x xC ．{}12≤<-x xD ．{}12≤≤-x x 3．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，21=a ，02432=++a a a ，则5S =A ．2B ．0C ． -2D ． -4 4．若某几何体的三视图如下，则该几何体的体积为 A ．2 B ．4C ．24D ．D ．34 5．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布)0)(,1(2>σσN ，若ξ在（0，2）内取值的概率为0.8，则ξ在),0(+∞内取值的概率为A ．0.9B ．0.1C ．0.5D ．0.4 6．已知函数)22)(3cos()(πϕπϕ<<-+=x x f 图象关于直线185π=x 对称，则函数f （x ）在区间[0，π]上零点个数为A ．1B ．2C ．3D ．47．已知向量，是互相垂直的单位向量，向量满足1=⋅，1=⋅= A ．2 B ．5 C ．3 D ．78．已知等差数列{}n a 满足：82521=+a a ，则21a a +的最大值为A ．2 C ．4B ．3 D ．5 9．已知直线21-=x y PQ ：与y 轴交于P 点，与曲线)0(:2≥=y x y C 交于M Q ，成为线段PQ 上一点，过M 作直线t x =交C 于点N ，则△MNP 面积取到最大值时，t 的值为 A ．161 B ．41 C ．1 D ．45 10．已知函数)(1)(1R a eax ex f x ∈--=-的图象与x 轴有唯一的公共点，则实数a 的取值范围为A ．{}0≤a a B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧=≤e a a a 10，或C ．{}e a a a =≤，或0D ．{}10=≤a a a ，或11．已知A ，B 分别为双曲线1322=-Γy x ：实轴的左右两个端点，过双曲线Γ的左焦点F 作直线PQ 交双曲线于P ，Q 两点（点P ，Q 异于A ，B ） ，则直线AP ，BQ 的斜率之比BQ AP k k := A ．31-B ．3-C ．32-D ．23- 12．在四棱锥ABCD P -中，2=PA ，7===PD PC PB ，7==AD AB ，2==CD BC ，则四棱锥ABCD P -的体积为A ．32B ．3C ．5D ．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13．函数ln 1xy x =+在点P （1，0）处的切线方程为 ． 14．一种药在病人血液中的量保持1500 mg 以上才有疗效；而低于500 mg 病人就有危险。
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2021届湖南长郡中学新高考模拟考试（三）理科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合A={x|x-2＜0}，B={x|log2(x-1)＜1}，则A∩B=（）A.（-∞，2）B.（1,3）C.（-∞，3）D.（1,2）2、已知复数ii Z 212017-=，则复数Z 的虚部为（ ）A.52-B. 51-C. i 51D. 513、n xa x )(-展开式中所有二项式系数之和是512，常数项为-84，则实数a 的值是（ ） A. 1 B. -1 C. ±1 D. 24、设a=4.05.0,4.0log ,3.0log 84.0==c b ,则a,b,c 的大小关系是（ ） A. a<b<c B. c<b<a C. c<a<b D. b<c<a5、运行如图所示的程序框图，若输出的S=－46， 则①处应填（ ） A. k<4？ B. k>4？C. k<5？D. k>5？6、已知ΔABC 中，内角A,B,C 的对边分别为A,b,c ，若4,222=-+=bc bc c b a ，则ΔABC 的面积（ ）A.21B. 1C. 3D. 27、已知圆9:22=+y x c ，一个直径为1的小圆E 与 是 圆C 相内切且在圆C 内滚动，若在圆C 内任取一点P ， 否 则P 能被小圆E 覆盖的概率为（ ）A.31B.32C.94D. 95开 始K=1，S=2K=k+1S=2S -3k①输出S结束8、已知实数x,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥++≥+-≤--0122304202y x y x y x ， 直线(2+λ)x+(λ-1)y+λ+8=0（λϵR ）过定点A （00,y x ），则0x x y y Z --=的取值范围为（ ） A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,114 B. [)+∞,2 C. ⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-114, D. [)+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-,2114,9、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 610、已知焦点为F 的抛物线)0(22＞p px y =上有一点A （m,22）, 以A 为圆心，|AF|为半径的圆被y 轴截得的弦长为52， 则m=（ ）A. 2或-2B. 2C. 1D. 1或-111、已知数列{}n a 的首项1a =3，对任意m, n ϵ*N ，都有n m nm a a a +=.，则当n ≥1时，=+++-1233313log log log n a a a （ ）A. n(2n -1)B. 2)1(+nC. 2nD. 2)1(-n12、已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=102),4sin(2x 0,log )(2x x x x f π＜＜，若存在实数4321,,,x x x x ，满足4321x x x x ＜＜＜，且)()()()(4321x f x f x f x f ===，则2143)2()2(x x x x ⋅-⋅-的取值范围是（ ）A. （0,12）B. （4,16）C. （9,21）D. （15,25）132二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、已知=+-===a c b a c b x a则若（,//)2),5,1(),2,1(),1,( 14、=-+-⎰dx x x )41(222π15、已知函数)22sin()(ππ-=x A x f ，)0(),7()(＞k x k x g -=，已知A=1时，函数)()()(x g x f x h -=的所有零点和为21，则当A=2时，函数)()()(x g x f x h -= 的所有零点的和为16、我国古代数学名著《九章算术》的轮割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不能割，则与圆合体而无所失矣”它体现了一种无限与有限转化过程。
比如在表达式+++11111中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程)0(11＞x x x=+求得251+=x ，类似上述过程，则=++ 2017201820172018 。
三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选做题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分17、（12分）在等比数列{a n }中，a 1>0，n ∈N *，且a 3－a 2＝8，又a 1、a 5的等比中项为16.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 4a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，是否存在正整数k ，使得1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n <k 对任意n ∈N *恒成立．若存在，求出正整数k 的最小值；不存在，请说明理由．9 8 16 1 2 4 5 8男 女18、（12分）第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年在北京--张家口举行，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者。
将这30名志愿者的身高变成如右所示的茎叶图（单位：cm）：若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”。
（1）如果分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中提取5人，在从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？（2）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望。
19、（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E为PC中点，底面ABCD是直角梯形，AB⊥CD，⊥ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．（1）求证：BE⊥平面PAD；（2）求证：BC⊥平面PBD；（3）设Q为侧棱PC上一点，，试确定λ的值，使得二面角Q﹣BD﹣P为45°．20、（12分）过抛物线)0(22＞p px y =的对称轴上的定点 M （m ，0）（m ＞0），作直线AB 与抛物线相交于A 、B 两点。
（1）证明：A 、B 两点的纵坐标之积为定值；（2）若点N 是定直线m x l -=:上的任一点，设三条直线AN,MN,BN 的斜率分别为BN MN AN k k k ,,，证明MN BN AN k k k 2=+21、（12分）设函数b ex ax e x f x +--=2)(，其中e 为自然对数的底数。
（1）若曲线)(x f 在y 轴上的截距为﹣1，且在点x=1处的切线垂直于直线x y 21=，求实数a,b 的值；（2）记)(x f 的导函数为)(x g ，求)(x g 在区间[]1,0的最小值)(a h 。
（二）选考题：共10分。
请考生在第22、23题中选一题作答。
22、（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为（a ＞b ＞0，φ为参数），以Ο为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知曲线C 1上的点M （2，）对应的参数φ=．θ=与曲线C 2交于点D （，）．（1）求曲线C 1，C 2的直角坐标方程；（2）A （ρ1，θ），B （ρ2，θ+）是曲线C 1上的两点，求+的值．23、（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲）已知函数f (x )＝|2x －a |＋a ，a ∈R ，g (x )＝|2x －1|. (1)若当g (x )≤5时，恒有f (x )≤6，求a 的最大值；(2)若当x ∈R 时，恒有f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围高考冲刺卷（数学）答案一，选择题 1-6 D D A C B C 7-12 D D B B C A 二，填空题 13、10 14、2 15、 35 16、2018 三，解答题17，(1)设数列{a n }的公比为q ，由题意可得a 3＝16. 又a 3－a 2＝8，则a 2＝8，∴q ＝2.∴a n ＝2n ＋1. (2)∵b n ＝log 42n ＋1＝n ＋12，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n n ＋34.∵1S n＝4n n ＋3＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋3，∴1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫11－14＋12－15＋13－16＋…＋1n －1n ＋3＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13－1n ＋1－1n ＋2－1n ＋3<229， ∴正整数k 的最小值为3.18、解：（I ）根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人 用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是61305=，所以选中的“高个子” 有12×=2人，“非高个子”有18×61=3人．用事件A 表示“至少有一名高个子”被选中”，则它的对立事件A ¯表示“没有一名“高个子”被选中”，则P （A ）=10712523=-c c ，因此，至少有一人是“高个子”的概率是107．（Ⅱ）依题意，ξ的取值为0，1，2，3．5514)0(31238===c c P ξ，P （ξ=1）=55283122814=c c c ， P （ξ=2）=55123122824=c c c ，P （ξ=3）=55131234=c c ．因此，ξ的分布列如下：∴E ξ=0×+1×+2×+3×=1．19，解：（1）取PD 的中点F ，连接EF ，AF ， ∵E 为PC 中点，∴EF ∥CD ，且，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=1，∴EF ∥AB ，EF=AB ，∴四边形ABEF 为平行四边形， ∴BE ∥AF ，∵BE ⊄平面PAD ，AF ⊂平面PAD ， ∴BE ∥平面PAD ．（2）∵平面PCD ⊥底面ABCD ，PD ⊥CD ，∴PD ⊥平面ABCD ， ∴PD ⊥AD ．（5分）如图，以D 为原点建立空间直角坐标系D ﹣xyz ． 则A （1，0，0），B （1，1，0），C （0，2，0），P （0，0，1）．，，∴，BC ⊥DB ，又由PD ⊥平面ABCD ，可得PD ⊥BC ，∴BC ⊥平面PBD ． （3）由（Ⅱ）知，平面PBD 的法向量为，ξ∵，，且λ∈（0，1）∴Q （0，2λ，1﹣λ），设平面QBD 的法向量为=（a ，b ，c ），，，由，，得， ∴，∴，因λ∈（0，1），解得．20、（1）证明：由题意设直线AB 的方程为x=ty+m ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）⎩⎨⎧=+=pxy mty x 2消x 得：y 2-2pty-2pm=0 ∴y 1y 2=-2pm 为定值． （2）解：三条直线AN ，MN ，BN 的斜率成等差数列，下证之：设点N （-m ，n ），则直线AN 的斜率为，直线BN 的斜率为，∴===又∵直线MN 的斜率为，∴k AN +k BN =2k MN21、（Ⅰ）曲线f （x ）在y 轴上的截距为-1，则过点（0，-1），代入 f （x ）=ex-ax2-ex+b ，则1+b=-1，则b=-2，求导f ′（x ）=ex-2ax-e ， 由f ′（1）=-2，即e-2a-e=-2，则a=1， ∴实数a ，b 的值分别为1，-2；（Ⅱ）f （x ）=ex-ax2-ex+b ，g （x ）=f ′（x ）=ex-2ax-e ，g ′（x ）=ex-2a ，（1）当a ≤21时，∵x ∈[0，1]，1≤ex ≤e ，∴2a ≤ex 恒成立，即g ′（x ）=ex-2a ≥0，g （x ）在[0，1]上单调递增， ∴g （x ）≥g （0）=1-e ．（2）当a>2e时，∵x ∈[0，1]，1≤ex ≤e ，∴2a>ex 恒成立，即g ′（x ）=ex-2a<0，g （x ）在[0，1]上单调递减， ∴g （x ）≥g （1）=-2a（3）当21<a ≤2e时，g ′（x ）=ex-2a=0，得x=ln （2a ），g （x ）在[0，ln2a]上单调递减，在[ln2a ，1]上单调递增， 所以g （x ）≥g （ln2a ）=2a-2aln2a-e ，∴h （a ）=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-≤≤-≤-222212ln 22211e a a e a a a a a e ＞，∴当a ≤21时，h （a ）=1-e ，当21<a ≤2e时，h （a ）=2a-2aln2a-e ，求导，h ′（a ）=2-2ln2a-2=2ln2a ， 由21<a ≤2e时，h ′（a ）<0，∴h （a ）单调递减，h （a ）∈（1-e ，-e]， 当a>2e时，h （a ）=-2a ，单调递减，h （a ）∈（-∞，-e ），h （a ）的最大值1-e ．22，解：（1）将曲线C 1上的点M （2，）对应的参数φ=．代入曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），得：解得：，∴曲线C1的方程为：（φ为参数），即：．设圆C2的半径R，则圆C2的方程为：ρ=2Rcosθ，将点D（，）代入得： =2R×，∴R=1∴圆C2的方程为：ρ=2cosθ即：（x﹣1）2+y2=1．（2）将A（ρ1，θ），Β（ρ2，θ+）代入C1得：，∴+=（）+（）=．23、解：（1）(1)g(x)≤5⇔|2x－1|≤5⇔－5≤2x－1≤5⇔－2≤x≤3；f(x)≤6⇔|2x－a|≤6－a⇔a－6≤2x－a≤6－a⇔a－3≤x≤3.依题意有a－3≤－2，a≤1.故a的最大值为1.(2)f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋|2x－1|＋a≥|2x－a－2x＋1|＋a≥|a＋1|＋a 当且仅当(2x－a)(2x－1)≥0时等号成立．解不等式|a－1|＋a≥3，得a的取值范围是[2，＋∞)．。