2021届湖南长郡中学新高考模拟考试(三)理科数学
2021届湖南长郡中学新高考模拟考试(三)
理科数学
★祝你考试顺利★
注意事项:
1、考试范围:高考考查范围。
2、答题前,请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答:每个小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答:用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁,不折叠,不破损。
7、本科目考试结束后,请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项
只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合A={x|x-2<0},B={x|log2(x-1)<1},则A∩B=()
A.(-∞,2)
B.(1,3)
C.(-∞,3)
D.(1,2)
2、已知复数i
i Z 212017
-=,则复数Z 的虚部为( )
A.52-
B. 51-
C. i 51
D. 5
1
3、n x
a x )(-展开式中所有二项式系数之和是512,
常数项为-84,则实数a 的值是( ) A. 1 B. -1 C. ±1 D. 2
4、设a=4.05.0,4.0log ,3.0log 84.0==c b ,则a,b,c 的大小关系是( ) A. a
5、运行如图所示的程序框图,若输出的S=-46, 则①处应填( ) A. k<4? B. k>4?
C. k<5?
D. k>5?
6、已知ΔABC 中,内角A,B,C 的对边分别为A,b,c ,
若4,2
22=-+=bc bc c b a ,则ΔABC 的面积( )
A.
2
1
B. 1
C. 3
D. 2
7、已知圆9:2
2
=+y x c ,一个直径为1的小圆E 与 是 圆C 相内切且在圆C 内滚动,若在圆C 内任取一点P , 否 则P 能被小圆E 覆盖的概率为( )
A.31
B.32
C.9
4
D. 9
5
开 始
K=1,S=2
K=k+1
S=2S -3k
①
输出S
结束
8、已知实数x,y 满足??
???≥++≥+-≤--012230
420
2y x y x y x , 直线(2+λ)x+(λ-1)y+λ+8=0(λ?R )过定点A (00,y x ),则0
x x y y Z --=
的取值范围为( ) A. ??????2,114 B. [)+∞,2 C. ??? ?
?∞-114, D. [)+∞???? ?
?
∞-,2114,
9、某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 6
10、已知焦点为F 的抛物线)0(22>p px y =上有一点A (m,22), 以A 为圆心,|AF|为半径的圆被y 轴截得的弦长为52, 则m=( )
A. 2或-2
B. 2
C. 1
D. 1或-1
11、已知数列{}n a 的首项1a =3,对任意m, n ?*N ,都有n m n
m a a a +=.,则当n ≥1时,
=+++-1233313log log log n a a a ( )
A. n(2n -1)
B. 2)1(+n
C. 2n
D. 2)1(-n
12、已知函数??
??
?≤≤=102),4sin(2
x 0,log )(2x x x x f π<<,若存在实数4321,,,x x x x ,满足4321x x x x <<<,且)()()()(4321x f x f x f x f ===,则
2
143)
2()2(x x x x ?-?-的取值范围是( )
A. (0,12)
B. (4,16)
C. (9,21)
D. (15,25)
1
3
2
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13、已知=+-===a c b a c b x a
则若(,//)2),5,1(),2,1(),1,( 14、=-+-?
dx x x )41(222π
15、已知函数)2
2
sin()(ππ-=x A x f ,)0(),7()(>k x k x g -=,已知A=1时,函数
)()()(x g x f x h -=的所有零点和为21,则当A=2时,函数)()()(x g x f x h -= 的所有零点的和为
16、我国古代数学名著《九章算术》的轮割圆术中有:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不能割,则与圆合体而无所失矣”它体现了一种无限与有限转化过程。比如在表达式
++
+
11
111中“…”即代表无限次重复,但原式却是个定值,它可以通过
方程
)0(1
1>x x x
=+
求得
2
51+=
x ,类似上述过程,则
=++ 2017201820172018 。
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选做题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共60分
17、(12分)在等比数列{a n }中,a 1>0,n ∈N *,且a 3-a 2=8,又a 1、a 5的等
比中项为16.
(1)求数列{a n }的通项公式;
(2)设b n =log 4a n ,数列{b n }的前n 项和为S n ,是否存在正整数k ,使得1S 1+
1S 2+1S 3+…+1S n 9 8 16 1 2 4 5 8 男 女 18、(12分)第24届冬季奥林匹克运动会将 于2022年在北京--张家口举行,为了搞好接 待工作,组委会在某学院招募了12名男志 愿者和18名女志愿者。将这30名志愿者的 身高变成如右所示的茎叶图(单位:cm): 若身高在175cm以上(包括175cm)定 义为“高个子”,身高在175cm以下(不包 括175cm)定义为“非高个子”,且只有 “女高个子”才能担任“礼仪小姐”。 (1)如果分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中提取5人,在从这5人中选2人,那么至少有一人是“高个子”的概率是多少? (2)若从所有“高个子”中选3名志愿者,用ξ表示所选志愿者中能担任“礼 仪小姐”的人数,试写出ξ的分布列,并求ξ的数学期望。 19、(12分)在四棱锥P﹣ABCD中,侧面PCD⊥底面ABCD,PD⊥CD,E为PC中点, 底面ABCD是直角梯形,AB⊥CD,⊥ADC=90°,AB=AD=PD=1,CD=2. (1)求证:BE⊥平面PAD; (2)求证:BC⊥平面PBD; (3)设Q为侧棱PC上一点,, 试确定λ的值,使得二面角Q﹣BD﹣P为45°. 20、(12分)过抛物线)0(22 >p px y =的对称轴上的定点 M (m ,0)(m >0),作直 线AB 与抛物线相交于A 、B 两点。 (1)证明:A 、B 两点的纵坐标之积为定值; (2)若点N 是定直线m x l -=:上的任一点,设三条直线AN,MN,BN 的斜率分别为 BN MN AN k k k ,,,证明MN BN AN k k k 2=+ 21、(12分)设函数b ex ax e x f x +--=2)(,其中e 为自然对数的底数。 (1)若曲线)(x f 在y 轴上的截距为﹣1,且在点x=1处的切线垂直于直线x y 2 1 = ,求实数a,b 的值; (2)记)(x f 的导函数为)(x g ,求)(x g 在区间[]1,0的最小值)(a h 。 (二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中选一题作答。 22、(本题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,曲线C 1的参数方程为(a >b >0,φ为参数),以Ο为 极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2是圆心在极轴上且经过极点的圆,已知曲线C 1上的点M (2, )对应的参数φ= .θ= 与曲线C 2交于点D ( , ). (1)求曲线C 1,C 2的直角坐标方程; (2)A (ρ1,θ),B (ρ2,θ+)是曲线C 1上的两点,求+的值. 23、(本题满分10分)选修4-5:不等式选讲) 已知函数f (x )=|2x -a |+a ,a ∈R ,g (x )=|2x -1|. (1)若当g (x )≤5时,恒有f (x )≤6,求a 的最大值; (2)若当x ∈R 时,恒有f (x )+g (x )≥3,求a 的取值范围 高考冲刺卷(数学) 答案 一,选择题 1-6 D D A C B C 7-12 D D B B C A 二,填空题 13、10 14、2 15、 35 16、2018 三,解答题 17,(1)设数列{a n }的公比为q ,由题意可得a 3=16. 又a 3-a 2=8,则a 2=8,∴q =2.∴a n =2n +1. (2)∵b n =log 42 n +1 = n +12 ,∴S n =b 1+b 2+…+b n = n n +3 4 . ∵1S n = 4n n +3 =43? ????1n - 1n +3,∴1S 1+1S 2+1S 3+…+1S n =43? ????11-14+12-15+13-1 6+…+1n - 1n +3=43? ????1+12+13-1n +1-1n +2-1n +3<229, ∴正整数k 的最小值为3. 18、解:(I )根据茎叶图,有“高个子”12人,“非高个子”18人 用分层抽样的方法,每个人被抽中的概率是 6 1 305=,所以选中的“高个子” 有12×=2人,“非高个子”有18×6 1 =3人.用事件A 表示“至少有一名 高个子”被选中”,则它的对立事件A ˉ表示“没有一名“高个子”被选中”, 则P (A )=107 1252 3=-c c , 因此,至少有一人是“高个子”的概率是107. (Ⅱ)依题意,ξ的取值为0,1,2,3. 5514)0(31238= ==c c P ξ,P (ξ=1)=5528 3122 814=c c c , P (ξ=2)=55123122824=c c c ,P (ξ=3)=55 1 31234=c c . 因此,ξ的分布列如下: ∴E ξ=0×+1×+2×+3×=1. 19,解:(1)取PD 的中点F ,连接EF ,AF , ∵E 为PC 中点,∴EF ∥CD ,且, 在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AB=1, ∴EF ∥AB ,EF=AB ,∴四边形ABEF 为平行四边形, ∴BE ∥AF ,∵BE ?平面PAD ,AF ?平面PAD , ∴BE ∥平面PAD . (2)∵平面PCD ⊥底面ABCD ,PD ⊥CD ,∴PD ⊥平面ABCD , ∴PD ⊥AD .(5分)如图,以D 为原点建立空间直角坐标系D ﹣xyz . 则A (1,0,0),B (1,1,0),C (0,2,0),P (0,0,1). , ,∴ ,BC ⊥DB , 又由PD ⊥平面ABCD ,可得PD ⊥BC ,∴BC ⊥平面PBD . (3)由(Ⅱ)知,平面PBD 的法向量为 , ξ ∵,,且λ∈(0,1) ∴Q (0,2λ,1﹣λ),设平面QBD 的法向量为=(a ,b ,c ), , ,由 , ,得 , ∴, ∴, 因λ∈(0,1),解得. 20、(1)证明:由题意设直线AB 的方程为x=ty+m ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2) ?? ?=+=px y m ty x 2消x 得:y 2-2pty-2pm=0 ∴y 1y 2=-2pm 为定值. (2)解:三条直线AN ,MN ,BN 的斜率成等差数列,下证之: 设点N (-m ,n ),则直线AN 的斜率为,直线BN 的斜率为, ∴= = = 又∵直线MN 的斜率为, ∴k AN +k BN =2k MN 21、(Ⅰ)曲线f (x )在y 轴上的截距为-1,则过点(0,-1),代入 f (x )=ex-ax2-ex+b , 则1+b=-1,则b=-2,求导f ′(x )=ex-2ax-e , 由f ′(1)=-2,即e-2a-e=-2,则a=1, ∴实数a ,b 的值分别为1,-2; (Ⅱ)f (x )=ex-ax2-ex+b ,g (x )=f ′(x )=ex-2ax-e ,g ′(x )=ex-2a , (1)当a ≤2 1 时,∵x ∈[0,1],1≤ex ≤e ,∴2a ≤ex 恒成立, 即g ′(x )=ex-2a ≥0,g (x )在[0,1]上单调递增, ∴g (x )≥g (0)=1-e . (2)当a>2 e 时,∵x ∈[0,1],1≤ex ≤e ,∴2a>ex 恒成立, 即g ′(x )=ex-2a<0,g (x )在[0,1]上单调递减, ∴g (x )≥g (1)=-2a (3)当21 e 时,g ′(x )=ex-2a=0,得x=ln (2a ), g (x )在[0,ln2a]上单调递减,在[ln2a ,1]上单调递增, 所以g (x )≥g (ln2a )=2a-2aln2a-e , ∴h (a )=??? ?? ???? -≤≤-≤-222212ln 22211e a a e a a a a a e > , ∴当a ≤21 时,h (a )=1-e ,