物理竞赛漫谈
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' ''
U AB
29 I1R I 2 2R IR 24
29 R 所以 RAB 24
例、试求平面无穷网络的等效电阻RAB ，已 知每一小段导体的电阻均为r 。
变式1：若AB之间的电阻去掉，则AB间电阻为多少？ 变式2：若AB之间的电阻换为R，则AB间电阻为多少？
变式、试求平面无穷网络的等效电阻RAB ， 已知每一小段导体的电阻均为r 。
变式1：每条边的电阻均为R，求RAB
2’Hale Waihona Puke Baidu3’
B
2’
R/2 R/2
3’
R/2 R/2
B
1’
3
1’
R/2 R/2
A 1
2
A
RAB=3R/2
变式2：每条边电阻为R，求RAB，RMN
4’
3’
5’
2’
6’
5
1’
4 6
1
2
3
4’ 3’ 2’
5’
6’
5
1’
6
4
1
2
3
13 RAB R 7 5 RMN R 7
桥式电路的分析
R1
a
R2
问：R1，R2， R3， R4满足什么关系时， 灯泡上无电流？
R3
b
R4
K
R2 Ua E R1 R2 R4 Ub E R3 R4
E，r=0
R1R4 R2 R3
英国物理学家惠斯通曾将图中的灯泡换 成灵敏电流计G，将R2或R4换成待测电阻、将 R1、R3换成电阻箱，通过调节变阻箱的阻值， 当电流计示数为零时，可以测电阻Rx的值， 这种测量电阻的方案,历史上称之为“惠斯通 电桥”。
?
例:在一条笔直的公路上依次设置三盏交通信号灯L1、 L2和L3，L2与L1相距80m，L3与L1相距120m．每盏信 号灯显示绿色的时间间隔都是20s，显示红色的时间 间隔都是40s. L1与L3同时显示绿色，L2则在L1显示 红色经历了10s时开始显示绿色，规定车辆通过三盏 信号灯经历的时间不得超过150s．若有一辆匀速向 前行驶的汽车通过L1的时刻正好是L1刚开始显示绿 色的时刻，则此汽车能不停顿地通过三盏信号灯的 最大速率 ____ 2 m/s。若一辆匀速向前行驶的自行 车通过L1的时刻是L1显示绿色经历了10s的时刻，则 此自行车能不停顿地通过三盏信号灯的最小速率是 ____ m/s.
S
e
一、太阳能
物理模型：设太阳的辐射功率为P0，太阳到地球球 心间的距离为r，地球面积为R，则地球上吸收到太 阳能的总功率为多少？若地球上有一太阳能电池板， 面积为S,垂直于太阳光放置，且电池板将太阳能转 化为电能的效率为η，则电池板的发电功率为多少？
S
e
P0 P S 电 2 4 r
二、风力发电 物理模型：某地强风的风速v=20 m/s，设空气 密度ρ=1.3 kg/m3．如果把通过横截面积为S=20 m2的风的动能有η=20%转化为电能，则利用上述 已知量计算电功率的公式应为P=______，大小 约为______ W．（取一位有效数字） 4
初中物理竞赛漫谈
柯桥中学 孙国标
话题1：等效电阻的计算
话题2：能源问题：利用能量守恒的观点解题 话题3：匀速直线运动的求解技巧 话题4：组合平面镜的反射与成像问题 话题5：浮力的理解与计算 话题6：杠杆原理在生活中的应用
话题1：等效电阻的计算
方法一：对称法
方法二：递推法 方法三：电流叠加原理
例：R1=R2=R3=R4=R5=R6=R7=R8=R,求RAB
变3：一正方体，每一条边的电阻为R，求RAC，RAD，RAG
求RAC
A
R R/2
E(B)
R/2
R/2
F
R
C
R/2
R/2
H(D)
G
RAC=(R+R/2//2R)//R=7R/12
求RAD
A E H F G
B
C
D
RAD=3R//R=3R/4
求RAG
A
G
RAG=5R/6
【变4】 如图所示的平面电阻丝网络中，每一直线段和 每一弧线段电阻丝的电阻均为r．试求A、B两点间的等效 电阻． 【解析】
1、建立时间轴，理清时间关系
t1=0
68m
t2=0.2s
t3=1s
58m
t4=1.15s
V=17/0.95=17.9m/s
1、建立时间轴，理清时间关系 例:在一条笔直的公路上依次设置三盏交通信号灯L1、 L2和L3，L2与L1相距80m，L3与L1相距120m．每盏信 号灯显示绿色的时间间隔都是20s，显示红色的时间 间隔都是40s. L1与L3同时显示绿色，L2则在L1显示 红色经历了10s时开始显示绿色，规定车辆通过三盏 信号灯经历的时间不得超过150s．若有一辆匀速向 前行驶的汽车通过L1的时刻正好是L1刚开始显示绿 色的时刻，则此汽车能不停顿地通过三盏信号灯的 最大速率 ____ m/s。若一辆匀速向前行驶的自行 车通过L1的时刻是L1显示绿色经历了10s的时刻，则 此自行车能不停顿地通过三盏信号灯的最小速率是 ____ m/s.
话题3：匀速直线运动的求解技巧
1、建立时间轴，理清时间关系
例、如图所示为高速公路上用超声测速仪测车速的示意图，测 速仪发出并接收超声波脉冲信号，根据发出和接收到信号间的 时间差，测出被测物体速度，图中 P1 、 P2 是测速仪发出的超声 波信号，n1、n2分别是P1、P2被汽车反射回来的信号，设测速仪 匀速扫描， P1 ， P2 之间的时间间隔Δt=1.0s ，超声波在空气中 传播的速度是340m/s ，若汽车是匀速行驶的，则根据图Ｂ可知 汽车在接收P1、P2两个信号之间的时间内前进的距离是＿＿＿ m， 汽车的速度是_____m/s.
2×10
模型的建立
VΔt
1 2 1 mv Svtv 2 1 3 2 2 P Sv 电 t t 2
S
三、潮汐发电
1、涨潮后打开闸门，海水经通道进入海湾，水轮机转动并带 动发电机发电，如图甲所示； 2、待海湾内外水位高度相同，水轮机停止转动，关闭闸门， 如图乙所示； 3、潮落后再打开闸门，海湾中的水经通道进入大海，水轮机 转动并再次带动发电机发电如图丙所示；待海湾内外水面高度 相同，水轮机停止转动，再关闭闸门。
OD1 D1 D2 OD2 sin(2 ) sin sin( )
D2 D3 OD2 sin
光路等效变换
光走过的路程为
S 2OC sin 45 2m
物理模型：设太阳的辐射功率为P0，太阳到地球球 心间的距离为r，地球面积为R，则地球上吸收到太 阳能的总功率为多少？若地球上有一太阳能电池板， 面积为S,垂直于太阳光放置，且电池板将太阳能转 化为电能的效率为η，则电池板的发电功率为多少？
地球上单位面积吸收到 P0 太阳能的功率为P 4 r 2 地球上吸收到 P0 2 太阳能的总功率为P R 4 r 2
又因对称，E和B应等势，故图（2）BDE部分无电 流．I’1在C点分流，由两部分电阻的3：1关系，可 知图（2）中的I’2应为：
1 I I 2
' 1
1 ' 1 I 2 I1 I 4 8
'
1 I 12
R/2 R/2 R
5 I 12
R/2
R/2
R/2
R
7 I 12
图（3）中，电流I从O流入，从B流出。 其中的电流I’’1与I”2分别为：
1 5 '' I1 I , I2 I 24 24
''
1 I I 2
' 1
1 I I 8
' 2
1 I I 24
'' 1
5 I I 24
'' 2
上述两种电流分布叠加，构成如图（1）所示的 电流。由叠加原理，有：
13 I1 I1 I1 I 24 8 1 ' '' I2 I2 I2 I I 24 3
(2)
L1
t=0
80
L2
20~40s
40 L3
0~10s 10~50s 50~70s 70~110s
V min=12/13
x L3 L2
40~80s 80~100s 100~140s 140~160s
110~130s 130~170s
20
40
60
80
100 120
140
160
t
2、巧选参考系，简化物体运动
R1R4 R2 R3
2R
a
R
2R 4R
b
R 2R R
4R
2R
2R
K a
4R
b
2R
K
启示1：电势(压)相等的两个点可捏成一点（导线 可长可短） 启示2 ：无电流的导线可以去掉（平衡电桥之间 的导线可去掉）。
R
a
R
R
b
2R
K
例：R1=R2=R3=R4=R5=R6=R7=R8=R,求RAB
利用对称法找 到等电势点 或电桥平衡点
B B B A B A B
A
A
RAB
3 r 4
r
A
方法二：递推法
2 2 2 ?
x 2 2 2
x 2 x
2
例：求RAB
RAB
RAB R 2R RAB R
RAB ( 3 1) R
变式：在图甲所示的三维无限网络中，每两 个节点之间的导体电阻均为R ，试求A、B两 点间的等效电阻RAB 。
例： 如图所示，在高空中有四个小球，在同 一位置同时以速率V竖直向上、竖直向下、水 平向左、水平向右被射出，经过1s后四个小球 在空中的位置构成的正确图形是： （ A ）
3、巧用图像分析问题
例：甲乙两地相距60km，从甲地每隔10分钟出发一辆客车， 客车的速度均为60km/h，而乙地在某时刻开出一辆轿车， 1）若轿车与第一辆客车同时出发，途中可与几辆客车相遇？ （途中不包括甲乙两地） 2）为使轿车在途中可与尽可能多的客车相遇，则轿车至少在 第一辆客车出发后多少时间出发,最多相遇几辆？（途中不包 括甲乙两地） x/km 60
方法三、利用叠加原理求解等效电阻
【例】电阻丝网络如图所示，每一小段的电阻均
为R．试求A，B之间的电阻。
RAB
U AB I
电流叠加原理
I AB I A? I ?B
目的：将没有对称性的问题转化为对称性的问题
由于后两种电流流动方式都具有对称性，从 而把原来看似不具有对称性的问题，转化成 具有对称性的问题，使之便于求解．
CO CD1 sin sin( ) CO OD1 sin sin( ) CO sin sin D1D2 sin(2 ) sin( ) CO sin( ) sin OD2 sin(2 ) sin( )
6
60
12
0
10
20 30 40 50 60
70 80 90 100110 120
t/min
话题4：组合平面镜的反射与成像问题
1、等效法求解组合平面镜间的反射问题
[例]两平面镜A和B的镜面分别与图中纸面垂直，两镜面 的交线过图中的O点，两镜面间夹角为α=150，今自A镜 面上的C点处沿与A镜面夹角β=450的方向在纸面内射出 一条光线，此光线在两镜面经多次反射，设两镜面均足 够大，CO=1m，试求： （1）从C点射出的光，经几次反射后又回到C点 ？ （2）该光线从C点发出又回到C点所用的时间？
电流从A流入流到无穷远
I I I AC1 I CB1 3 6 电流从无穷远流入流到 B I I I CB 2 I AC 2 3 6
c
电流从A流入流到B
I AC I 2 I CB I 2
RAB
I I r r 2 r 2 I
话题2：能源问题—— 利用能量守恒的观点解题
一、太阳能
θ 1 θ 2
1
2
2
n
2
( 1 ) 1 2 2 2 2 n
5
当n 0时，光线垂直平面镜， 之后原路返回 , 求得n 3
D3
D1
θ 1
θ 2 D2
CO CD1 OD1 sin( ) sin sin
三、潮汐发电
双向潮汐：若潮差为h，海湾的平均蓄水面积 为S，海水密度为ρ，机械能转变成电能的效 率为η，一天内涨潮退潮各两次，求一天内 的发电量？ h
W shg 4 2
四、水力发电
瀑布
水库
水流落差为h，流量为Q，水的密度为ρ ，转 换效率为η，求发电的平均功率为多少？
P Qgh
例：某人划船逆流而上，当船经过一桥时，船 上一小木块掉在河水里，但一直航行至上游某 处时此人才发现，便立即返航追赶，当他返航 经过1h追上小木块时，发现小木块距离桥有 5400m远，若此人向上和向下航行时船在静水 中前进速率相等。河水的流速为多大？ 2.7km/h
点拨:有些问题在地面参考系研究,显得较为复杂,巧 取参考系分析问题,可以独辟蹊径,事半功倍.
U AB
29 I1R I 2 2R IR 24
29 R 所以 RAB 24
例、试求平面无穷网络的等效电阻RAB ，已 知每一小段导体的电阻均为r 。
变式1：若AB之间的电阻去掉，则AB间电阻为多少？ 变式2：若AB之间的电阻换为R，则AB间电阻为多少？
变式、试求平面无穷网络的等效电阻RAB ， 已知每一小段导体的电阻均为r 。
变式1：每条边的电阻均为R，求RAB
2’Hale Waihona Puke Baidu3’
B
2’
R/2 R/2
3’
R/2 R/2
B
1’
3
1’
R/2 R/2
A 1
2
A
RAB=3R/2
变式2：每条边电阻为R，求RAB，RMN
4’
3’
5’
2’
6’
5
1’
4 6
1
2
3
4’ 3’ 2’
5’
6’
5
1’
6
4
1
2
3
13 RAB R 7 5 RMN R 7
桥式电路的分析
R1
a
R2
问：R1，R2， R3， R4满足什么关系时， 灯泡上无电流？
R3
b
R4
K
R2 Ua E R1 R2 R4 Ub E R3 R4
E，r=0
R1R4 R2 R3
英国物理学家惠斯通曾将图中的灯泡换 成灵敏电流计G，将R2或R4换成待测电阻、将 R1、R3换成电阻箱，通过调节变阻箱的阻值， 当电流计示数为零时，可以测电阻Rx的值， 这种测量电阻的方案,历史上称之为“惠斯通 电桥”。
?
例:在一条笔直的公路上依次设置三盏交通信号灯L1、 L2和L3，L2与L1相距80m，L3与L1相距120m．每盏信 号灯显示绿色的时间间隔都是20s，显示红色的时间 间隔都是40s. L1与L3同时显示绿色，L2则在L1显示 红色经历了10s时开始显示绿色，规定车辆通过三盏 信号灯经历的时间不得超过150s．若有一辆匀速向 前行驶的汽车通过L1的时刻正好是L1刚开始显示绿 色的时刻，则此汽车能不停顿地通过三盏信号灯的 最大速率 ____ 2 m/s。若一辆匀速向前行驶的自行 车通过L1的时刻是L1显示绿色经历了10s的时刻，则 此自行车能不停顿地通过三盏信号灯的最小速率是 ____ m/s.
S
e
一、太阳能
物理模型：设太阳的辐射功率为P0，太阳到地球球 心间的距离为r，地球面积为R，则地球上吸收到太 阳能的总功率为多少？若地球上有一太阳能电池板， 面积为S,垂直于太阳光放置，且电池板将太阳能转 化为电能的效率为η，则电池板的发电功率为多少？
S
e
P0 P S 电 2 4 r
二、风力发电 物理模型：某地强风的风速v=20 m/s，设空气 密度ρ=1.3 kg/m3．如果把通过横截面积为S=20 m2的风的动能有η=20%转化为电能，则利用上述 已知量计算电功率的公式应为P=______，大小 约为______ W．（取一位有效数字） 4
初中物理竞赛漫谈
柯桥中学 孙国标
话题1：等效电阻的计算
话题2：能源问题：利用能量守恒的观点解题 话题3：匀速直线运动的求解技巧 话题4：组合平面镜的反射与成像问题 话题5：浮力的理解与计算 话题6：杠杆原理在生活中的应用
话题1：等效电阻的计算
方法一：对称法
方法二：递推法 方法三：电流叠加原理
例：R1=R2=R3=R4=R5=R6=R7=R8=R,求RAB
变3：一正方体，每一条边的电阻为R，求RAC，RAD，RAG
求RAC
A
R R/2
E(B)
R/2
R/2
F
R
C
R/2
R/2
H(D)
G
RAC=(R+R/2//2R)//R=7R/12
求RAD
A E H F G
B
C
D
RAD=3R//R=3R/4
求RAG
A
G
RAG=5R/6
【变4】 如图所示的平面电阻丝网络中，每一直线段和 每一弧线段电阻丝的电阻均为r．试求A、B两点间的等效 电阻． 【解析】
1、建立时间轴，理清时间关系
t1=0
68m
t2=0.2s
t3=1s
58m
t4=1.15s
V=17/0.95=17.9m/s
1、建立时间轴，理清时间关系 例:在一条笔直的公路上依次设置三盏交通信号灯L1、 L2和L3，L2与L1相距80m，L3与L1相距120m．每盏信 号灯显示绿色的时间间隔都是20s，显示红色的时间 间隔都是40s. L1与L3同时显示绿色，L2则在L1显示 红色经历了10s时开始显示绿色，规定车辆通过三盏 信号灯经历的时间不得超过150s．若有一辆匀速向 前行驶的汽车通过L1的时刻正好是L1刚开始显示绿 色的时刻，则此汽车能不停顿地通过三盏信号灯的 最大速率 ____ m/s。若一辆匀速向前行驶的自行 车通过L1的时刻是L1显示绿色经历了10s的时刻，则 此自行车能不停顿地通过三盏信号灯的最小速率是 ____ m/s.
话题3：匀速直线运动的求解技巧
1、建立时间轴，理清时间关系
例、如图所示为高速公路上用超声测速仪测车速的示意图，测 速仪发出并接收超声波脉冲信号，根据发出和接收到信号间的 时间差，测出被测物体速度，图中 P1 、 P2 是测速仪发出的超声 波信号，n1、n2分别是P1、P2被汽车反射回来的信号，设测速仪 匀速扫描， P1 ， P2 之间的时间间隔Δt=1.0s ，超声波在空气中 传播的速度是340m/s ，若汽车是匀速行驶的，则根据图Ｂ可知 汽车在接收P1、P2两个信号之间的时间内前进的距离是＿＿＿ m， 汽车的速度是_____m/s.
2×10
模型的建立
VΔt
1 2 1 mv Svtv 2 1 3 2 2 P Sv 电 t t 2
S
三、潮汐发电
1、涨潮后打开闸门，海水经通道进入海湾，水轮机转动并带 动发电机发电，如图甲所示； 2、待海湾内外水位高度相同，水轮机停止转动，关闭闸门， 如图乙所示； 3、潮落后再打开闸门，海湾中的水经通道进入大海，水轮机 转动并再次带动发电机发电如图丙所示；待海湾内外水面高度 相同，水轮机停止转动，再关闭闸门。
OD1 D1 D2 OD2 sin(2 ) sin sin( )
D2 D3 OD2 sin
光路等效变换
光走过的路程为
S 2OC sin 45 2m
物理模型：设太阳的辐射功率为P0，太阳到地球球 心间的距离为r，地球面积为R，则地球上吸收到太 阳能的总功率为多少？若地球上有一太阳能电池板， 面积为S,垂直于太阳光放置，且电池板将太阳能转 化为电能的效率为η，则电池板的发电功率为多少？
地球上单位面积吸收到 P0 太阳能的功率为P 4 r 2 地球上吸收到 P0 2 太阳能的总功率为P R 4 r 2
又因对称，E和B应等势，故图（2）BDE部分无电 流．I’1在C点分流，由两部分电阻的3：1关系，可 知图（2）中的I’2应为：
1 I I 2
' 1
1 ' 1 I 2 I1 I 4 8
'
1 I 12
R/2 R/2 R
5 I 12
R/2
R/2
R/2
R
7 I 12
图（3）中，电流I从O流入，从B流出。 其中的电流I’’1与I”2分别为：
1 5 '' I1 I , I2 I 24 24
''
1 I I 2
' 1
1 I I 8
' 2
1 I I 24
'' 1
5 I I 24
'' 2
上述两种电流分布叠加，构成如图（1）所示的 电流。由叠加原理，有：
13 I1 I1 I1 I 24 8 1 ' '' I2 I2 I2 I I 24 3
(2)
L1
t=0
80
L2
20~40s
40 L3
0~10s 10~50s 50~70s 70~110s
V min=12/13
x L3 L2
40~80s 80~100s 100~140s 140~160s
110~130s 130~170s
20
40
60
80
100 120
140
160
t
2、巧选参考系，简化物体运动
R1R4 R2 R3
2R
a
R
2R 4R
b
R 2R R
4R
2R
2R
K a
4R
b
2R
K
启示1：电势(压)相等的两个点可捏成一点（导线 可长可短） 启示2 ：无电流的导线可以去掉（平衡电桥之间 的导线可去掉）。
R
a
R
R
b
2R
K
例：R1=R2=R3=R4=R5=R6=R7=R8=R,求RAB
利用对称法找 到等电势点 或电桥平衡点
B B B A B A B
A
A
RAB
3 r 4
r
A
方法二：递推法
2 2 2 ?
x 2 2 2
x 2 x
2
例：求RAB
RAB
RAB R 2R RAB R
RAB ( 3 1) R
变式：在图甲所示的三维无限网络中，每两 个节点之间的导体电阻均为R ，试求A、B两 点间的等效电阻RAB 。
例： 如图所示，在高空中有四个小球，在同 一位置同时以速率V竖直向上、竖直向下、水 平向左、水平向右被射出，经过1s后四个小球 在空中的位置构成的正确图形是： （ A ）
3、巧用图像分析问题
例：甲乙两地相距60km，从甲地每隔10分钟出发一辆客车， 客车的速度均为60km/h，而乙地在某时刻开出一辆轿车， 1）若轿车与第一辆客车同时出发，途中可与几辆客车相遇？ （途中不包括甲乙两地） 2）为使轿车在途中可与尽可能多的客车相遇，则轿车至少在 第一辆客车出发后多少时间出发,最多相遇几辆？（途中不包 括甲乙两地） x/km 60
方法三、利用叠加原理求解等效电阻
【例】电阻丝网络如图所示，每一小段的电阻均
为R．试求A，B之间的电阻。
RAB
U AB I
电流叠加原理
I AB I A? I ?B
目的：将没有对称性的问题转化为对称性的问题
由于后两种电流流动方式都具有对称性，从 而把原来看似不具有对称性的问题，转化成 具有对称性的问题，使之便于求解．
CO CD1 sin sin( ) CO OD1 sin sin( ) CO sin sin D1D2 sin(2 ) sin( ) CO sin( ) sin OD2 sin(2 ) sin( )
6
60
12
0
10
20 30 40 50 60
70 80 90 100110 120
t/min
话题4：组合平面镜的反射与成像问题
1、等效法求解组合平面镜间的反射问题
[例]两平面镜A和B的镜面分别与图中纸面垂直，两镜面 的交线过图中的O点，两镜面间夹角为α=150，今自A镜 面上的C点处沿与A镜面夹角β=450的方向在纸面内射出 一条光线，此光线在两镜面经多次反射，设两镜面均足 够大，CO=1m，试求： （1）从C点射出的光，经几次反射后又回到C点 ？ （2）该光线从C点发出又回到C点所用的时间？
电流从A流入流到无穷远
I I I AC1 I CB1 3 6 电流从无穷远流入流到 B I I I CB 2 I AC 2 3 6
c
电流从A流入流到B
I AC I 2 I CB I 2
RAB
I I r r 2 r 2 I
话题2：能源问题—— 利用能量守恒的观点解题
一、太阳能
θ 1 θ 2
1
2
2
n
2
( 1 ) 1 2 2 2 2 n
5
当n 0时，光线垂直平面镜， 之后原路返回 , 求得n 3
D3
D1
θ 1
θ 2 D2
CO CD1 OD1 sin( ) sin sin
三、潮汐发电
双向潮汐：若潮差为h，海湾的平均蓄水面积 为S，海水密度为ρ，机械能转变成电能的效 率为η，一天内涨潮退潮各两次，求一天内 的发电量？ h
W shg 4 2
四、水力发电
瀑布
水库
水流落差为h，流量为Q，水的密度为ρ ，转 换效率为η，求发电的平均功率为多少？
P Qgh
例：某人划船逆流而上，当船经过一桥时，船 上一小木块掉在河水里，但一直航行至上游某 处时此人才发现，便立即返航追赶，当他返航 经过1h追上小木块时，发现小木块距离桥有 5400m远，若此人向上和向下航行时船在静水 中前进速率相等。河水的流速为多大？ 2.7km/h
点拨:有些问题在地面参考系研究,显得较为复杂,巧 取参考系分析问题,可以独辟蹊径,事半功倍.