画法几何：第六周 投影变换

投 影：O1X1轴⊥面上投影面平行线反映实长的投O影1
新投影：投影面平行线积聚为点，面积聚为线(垂直面)
且反映平面的某倾角实际大小
结论：一般位置平面变换成投影面垂直面—变换一次即可
《画法几何》
第6讲 投影变换
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b'
• 一般位置平面变换成投影面平行面
空 间：P1⊥面(且P1⊥H)
a'
1'
投 影：X1轴⊥面上投影面平行线
V
反映实长的投影
X H
新投影：投影面平行线积聚为点，
面积聚为线(垂直面)
X1 H P1
空 间：P2∥面(即P2⊥P1)
a
c' O
b
1 c
投 影：O2X2轴∥积聚为线 b1
的投影 新投影：反映图形的实际
X2 P1 P2
形状、及夹角实
a1,11 c1
a2
O2 O1
际大小(平行面)
结论：一般位置平面旋转成 投影面平行面—旋转两次 b2
第 6讲
投影变换
内容
6.1 换面法 6.2 旋转法
《画法几何》
第6讲 投影变换
2
6.1 换面法
6.1.1 投影变换的目的
研究如何改变空间几何元素
V a'
b'
• P1∥AB BbP1 1 • P1 H
与投影面的相对位置，借助所得 X 到的新投影进行简便地图解作图。
使空间几何元素与投影面处
A a1
b O O1a1b1 =AB
O2
.
aX2
a2
• 二次换面
• a1a2 ⊥ O2X2轴
• a2aX2=aaX1
P1 P2 X2
P2 P1
《画法几何》
第6讲 投影变换
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6.1.5 四个基本问题
a'
• 一般位置直线→平行线
• 一般位置直线→垂直线 • 一般位置平面→垂直面 • 一般位置平面→平行面
• 一般位置直线变换成 投影面平行线
△实形
c2
《画法几何》
第6讲 投影变换
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• 例：已知直线AB的水平投影ab，点A的正面投影a’，以及直 线AB的实长L。求直线AB的正面投影a’b’。
L
b'
a' x
o bo1
a x1 a’1
b1’
L
《画法几何》
第6讲 投影变换
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• 例： 过线外一点作直线与一般位置直线正交
《画法几何》
m'
b'
X
θ与∠NMD互为余角
步骤3： 换面法? 如何换? 换几次?
d’ e’
n’ b’
m’
2’
a'
1’
c' b
m 2
e an
d
1 c
《画法几何》
第6讲 投影变换
《画法几何》
第6讲 投影变换
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• 一般位置平面变换成投影面垂直面
b'
面的投影变换，应以 面上的某一条线为主。
当该线⊥某投影面时， 则此面在该投影面上的投 影积聚为一直线。
为简化作图，此线应
a'
V XH
X1 H P1
a
1'
c' O
b 1 c
为面上一投影面平行线。
b1
空 间：P1⊥面，且 P1⊥H
a1,11 c1
V Hm
a'
k'
b
ak
a1' k1'
b1'
m1'
第6讲 投影变换
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• 例：已知平面ABC和平面外一点D，求点D到平面
•
ABC的距离，并求出垂线的投影。
c’
a’
X
V H
a
dk∥o1x1 k’kx=k1’kx1
k’ b’ kx d’
d
kc
01
b
d1’ kx1
H
a1’ b1’ k1’
c1’
《画法几何》
d e
《画法几何》
d
第6讲 投影变换
N
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例：已知点E在平面ABC上，距离 A、B为15，求点E的投影。
15 b2
a2 e2
e1
d2
c2
e d
ed
例：求已知直线与平面的 夹角θ的实际大小。
步骤1： •求MN与△ABC的交点K(求交) •过M作MD ⊥ △ABC •求 MD与 △ABC的交点L(求交) •求∠MKL(△MKL)的实形即θ 步骤2： •过M作MD ⊥ △ABC •求∠ NMD(△MND)的实形
V X
H a
新投影：反映直线的实长及某
倾角实际大小
a2≡b2
对于投影面平行线：
X1 H X2 P1 P2 P1
a1
空 间：P2⊥直线，且P2⊥P1 投 影：O2X2轴⊥直线的某投影
L
b1
新投影：积聚为一点
O2
O b
wk.baidu.comO1
结论：一般位置直线变换成投影面垂直线—变换两次，即： 一般位置直线→投影面平行线→投影面垂直线
bd a
c
b1
H
k1
X1 P1 l1 的位置？
c1
l1
KL为何P2种的位平置行线线？！ a1
k1 l1 // O2X2轴。
继续，返回到原投影！
O1
O2
l2k2 为距离实长。
b2
d1
.k2
c2,d2
l2
a2
P1 P2 X2
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《画法几何》
第6讲 投影变换
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例：已知点E到平面ABC的距离为N，求点E的正面投影e 。
第6讲 投影变换
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• 例： 求两平面之间的夹角
c' V X Hc
b'
d'
a'
b
P
B a(b)
A
D
θd
c
C
a
d
d1´
a1´
c1´
b1´ d2
θ
V1
a2(b2)
c2
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第6讲 投影变换
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例：求两异面直线的距离。
分析： 只需将其中的一条 a'
直线变换为投影面
垂直线即可。
c'
V
XH
d'
b' O
X
新投影面
b' BbP1 1
A
O 新投影
a1 b O1
面替换原有的某一投影面，使
a H
得几何元素对新的投影面处于
X1 新投影轴
有利解题的位置。
6.1.3
选择新投影面的原则
展平方法：
• 新投影面P1绕O1X1轴向外旋转90°
• 有利于解题
• 再随H面绕OX轴向下旋转90°
如：新投影面 ∥ (or ⊥) 几何元素 (应熟练掌握特殊位置几何元素的特性)
V X
H a
X1 H P1
a1
空 间：P1∥直线 投 影：O1X1轴∥直线的某投影
L
b1
新投影：反映直线的实长及某倾角
b' O
b O1
结论：一般位置直线变换成投影面平行线—变换一次即可
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第6讲 投影变换
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• 一般位置直线变换成投影面 垂直线
a' b'
空 间：P1∥直线，且P1⊥H 投 影：O1X1轴∥直线的某投影
• 新投影面须垂直某一原投影面
《画法几何》
第6讲 投影变换
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6.1.4 点的换面
a'
• 一次换面
新、旧投影的关系： • aa1 ⊥ O1X1轴 • a1aX1=a'ax (新投影与新轴的距离等于
被替代的投影与原轴的距离 同时向两轴的外侧度量)
V
.
X H ax
O
a
.
aX1
H X1 P1
a1
O1 P1 H
a
H
X1
于有利解题的位置，简化作图。
例如，求一般位置直线的实长，可用直角三
角形法，也可用投影变换完成(换面法或旋转法)。
投影变换的原理极其易懂。但要因题而异、 灵活运用，其方法是变化多端的。
《画法几何》
第6讲 投影变换
3
3
6.1.2 换面法的概念 被替换投影 V
换面法—空间几何元素的
a'
位置保持不变，用一新的投影