概率论与数理统计PPT课件第一章习题
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P(A)=P(B)=P(C)<1/2 ， 且 已 知 P(ABC)=9/16, 求P(A)
解：P( A B C) P( A) P(B) P(C) P( AB) P(BC) P( AC) P( ABC )
P( A) P(B) P(C)
P( A)P(B) P(B)P(C) P( A)P(C)
3P( A) 3(P( A))2 9
16
解得：P( A) 1 4
或 P( A) 3 舍掉 4
7
8 设事件A，B相互独立，且A和B都不发生的概
率为1/9，A发生B不发生的概率与B发生A不发
生的概率相等，求P(A)
解：由题意得
(1
P(AB) P( A))(1
1 P9( BP))( AB1
1 设事件A, B满足 P( AB) P( AB) ，且知
P(A) p,(0 p 1), 求P(B)
解： P( AB ) P( A B) 1 P( A B) 1 (P( A) P(B) P( AB)) P( AB) P( A) P(B) 1
P(B) 1 P( A) 1 p
P(A)
1 P( A)
b P( AB) c P( AB) b c(1 a) 1a
P( A B) P( A) P(B) P( AB)
a b (b c(1 a))
a c ca
11
P( A | B) P( AB ) P( A) P( AB)
P(B )
1 P(B)
P( AB)(1 P(B)) (1 P( A B))P(B)
P(B)(1 P(B))
13
P( AB) P( AB)P(B) (1 P( A) P(B) P( AB))P(B)
P(B) (P(B))2 P( AB) P( AB)P(B)
P(B) P(B)P( A) (P(B))2 P(B)P( AB) P(B) (P(B))2
1
2 设随机事件A, B及其和事件AB的概率分别为 0.4,0.3和0.6，求 P( AB )
解： P( A B) P( A) P(B) P( AB) P( AB) P( A) P(B) P( A B) 0.4 0.3 0.6 0.1
P( AB ) P( A) P( AB)
求A，B，C三个事件至少发生一个的概率。
解：P( A B C) 1 P( A)P(B )P(C )
P(A B) 1 P(A)P(B) 1 P(A)P(B) 2 3 3
同理
P( A)P(C ) 2
3
P(B )P(C ) 1 3
(P( A)P(B )P(C ))2 2 2 1 4
ABC AB P( ABC ) P( AB) 0
P( ABC ) 0
P(A B C) 1 1 1 0 1 1 0 1
444
88
2Βιβλιοθήκη Baidu
4
5 已知 P(A)=p, P(B)=q, P(AB)=r, 求下列各事件的
概率：P( A B ), P( AB), P( A B), P( AB )
3
4、已知 P(A)=P(B)=P(C)=1/4, P(AB)=0,
P(AC)=P(BC)=1/8, 求事件A，B，C全不发生的概率
解：P( ABC ) P( A B C ) 1 P( A B C)
P( A B C) P( A) P(B) P(C) P( AB) P(BC) P( AC) P( ABC )
3 3 3 27
9
2 P( A)P(B)P(C )
33 P( A B C) 1 P( A)P(B )P(C )
1 2 33
10
10 已知 P( A) a, P(B) b, P(B | A) c
且a<1，b<1。求 P( A B), P( A | B)
解： P(B | A) P(BA) P(B) P( AB)
解： P( A B ) P( A B) 1 P( AB) 1 r
P( AB) P(B A) q r
P( A B) P( A) P(B) P( AB) 1 p r
P(AB ) 1 P(A B) 1 p q r
5
6 已知事件AB发生, 则事件C一定发生。证明：
P( A) P(B) P(C) 1
解： 因为事件AB发生, 则事件C一定发生。
AB C 即：P( AB) P(C) P( A) P(B) P(C) P( A) P(B) P( AB)
P(A B) 1
6
7 设 事 件 A ， B ， C 两 两 独 立 ， 且 ABC=,
0.4 0.1 0.3
2
3 设A，B为两个事件，求证 P( AB) 1 P( A) P(B ) P( AB )
解： 1 P( A) P(B ) P( AB ) 1 P(A) P(B) P(A B) 1 P(A) P(B) 1 P(A B) P( A) P(B) P( A B) P( A) P(B) (P( A) P(B) P( AB)) P( AB)
)
P( AB)
9
P( A)(1 P(B )) (1 P( A)P(B)
P( A) P(B)
(1 2P( A)) (P( A))2 1
9
解得： P( A) 2 3
或 P( A) 4 舍掉 3
8
9、设事件A，B，C相互独立，且 P(AB)=1/3, P(AC)=1/3，P(BC)=2/3，
a b c(1 a) 1b
12
11 已知 0<P(A)<1, 0< P(B)<1,
P(A| B) P(A | B) 1
问A与B是否独立？ 解：
P( A | B) P( A | B ) P( AB) P( AB ) 1 P(B) P(B)
P( AB)P(B ) P( AB )P(B) P(B)P(B )
P( AB) P( A)P(B)
即A和B互相独立
14
12、设甲、乙两名射手轮流独立地向同一目标射击， 其命中率分别为p1和p2。甲先射，谁先命中谁获胜， 试分别求甲获胜的概率和乙获胜的概率。
解：P( A B C) P( A) P(B) P(C) P( AB) P(BC) P( AC) P( ABC )
P( A) P(B) P(C)
P( A)P(B) P(B)P(C) P( A)P(C)
3P( A) 3(P( A))2 9
16
解得：P( A) 1 4
或 P( A) 3 舍掉 4
7
8 设事件A，B相互独立，且A和B都不发生的概
率为1/9，A发生B不发生的概率与B发生A不发
生的概率相等，求P(A)
解：由题意得
(1
P(AB) P( A))(1
1 P9( BP))( AB1
1 设事件A, B满足 P( AB) P( AB) ，且知
P(A) p,(0 p 1), 求P(B)
解： P( AB ) P( A B) 1 P( A B) 1 (P( A) P(B) P( AB)) P( AB) P( A) P(B) 1
P(B) 1 P( A) 1 p
P(A)
1 P( A)
b P( AB) c P( AB) b c(1 a) 1a
P( A B) P( A) P(B) P( AB)
a b (b c(1 a))
a c ca
11
P( A | B) P( AB ) P( A) P( AB)
P(B )
1 P(B)
P( AB)(1 P(B)) (1 P( A B))P(B)
P(B)(1 P(B))
13
P( AB) P( AB)P(B) (1 P( A) P(B) P( AB))P(B)
P(B) (P(B))2 P( AB) P( AB)P(B)
P(B) P(B)P( A) (P(B))2 P(B)P( AB) P(B) (P(B))2
1
2 设随机事件A, B及其和事件AB的概率分别为 0.4,0.3和0.6，求 P( AB )
解： P( A B) P( A) P(B) P( AB) P( AB) P( A) P(B) P( A B) 0.4 0.3 0.6 0.1
P( AB ) P( A) P( AB)
求A，B，C三个事件至少发生一个的概率。
解：P( A B C) 1 P( A)P(B )P(C )
P(A B) 1 P(A)P(B) 1 P(A)P(B) 2 3 3
同理
P( A)P(C ) 2
3
P(B )P(C ) 1 3
(P( A)P(B )P(C ))2 2 2 1 4
ABC AB P( ABC ) P( AB) 0
P( ABC ) 0
P(A B C) 1 1 1 0 1 1 0 1
444
88
2Βιβλιοθήκη Baidu
4
5 已知 P(A)=p, P(B)=q, P(AB)=r, 求下列各事件的
概率：P( A B ), P( AB), P( A B), P( AB )
3
4、已知 P(A)=P(B)=P(C)=1/4, P(AB)=0,
P(AC)=P(BC)=1/8, 求事件A，B，C全不发生的概率
解：P( ABC ) P( A B C ) 1 P( A B C)
P( A B C) P( A) P(B) P(C) P( AB) P(BC) P( AC) P( ABC )
3 3 3 27
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2 P( A)P(B)P(C )
33 P( A B C) 1 P( A)P(B )P(C )
1 2 33
10
10 已知 P( A) a, P(B) b, P(B | A) c
且a<1，b<1。求 P( A B), P( A | B)
解： P(B | A) P(BA) P(B) P( AB)
解： P( A B ) P( A B) 1 P( AB) 1 r
P( AB) P(B A) q r
P( A B) P( A) P(B) P( AB) 1 p r
P(AB ) 1 P(A B) 1 p q r
5
6 已知事件AB发生, 则事件C一定发生。证明：
P( A) P(B) P(C) 1
解： 因为事件AB发生, 则事件C一定发生。
AB C 即：P( AB) P(C) P( A) P(B) P(C) P( A) P(B) P( AB)
P(A B) 1
6
7 设 事 件 A ， B ， C 两 两 独 立 ， 且 ABC=,
0.4 0.1 0.3
2
3 设A，B为两个事件，求证 P( AB) 1 P( A) P(B ) P( AB )
解： 1 P( A) P(B ) P( AB ) 1 P(A) P(B) P(A B) 1 P(A) P(B) 1 P(A B) P( A) P(B) P( A B) P( A) P(B) (P( A) P(B) P( AB)) P( AB)
)
P( AB)
9
P( A)(1 P(B )) (1 P( A)P(B)
P( A) P(B)
(1 2P( A)) (P( A))2 1
9
解得： P( A) 2 3
或 P( A) 4 舍掉 3
8
9、设事件A，B，C相互独立，且 P(AB)=1/3, P(AC)=1/3，P(BC)=2/3，
a b c(1 a) 1b
12
11 已知 0<P(A)<1, 0< P(B)<1,
P(A| B) P(A | B) 1
问A与B是否独立？ 解：
P( A | B) P( A | B ) P( AB) P( AB ) 1 P(B) P(B)
P( AB)P(B ) P( AB )P(B) P(B)P(B )
P( AB) P( A)P(B)
即A和B互相独立
14
12、设甲、乙两名射手轮流独立地向同一目标射击， 其命中率分别为p1和p2。甲先射，谁先命中谁获胜， 试分别求甲获胜的概率和乙获胜的概率。