高中数学必修二模块综合测试卷(一).pdf
高中数学人教A版必修二 模块综合测评 Word版含答案
模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．过点A(3，－4)，B(－2，m)的直线l的斜率为－2，则m的值为() A．6 B．1C．2 D．4【解析】由题意知k AB＝m＋4－2－3＝－2，∴m＝6.【答案】 A2．在x轴、y轴上的截距分别是－2、3的直线方程是() A．2x－3y－6＝0 B．3x－2y－6＝0C．3x－2y＋6＝0 D．2x－3y＋6＝0【解析】由直线的截距式得，所求直线的方程为x－2＋y3＝1，即3x－2y＋6＝0.【答案】 C3．已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于()A．2 2 B.22 3C.423 D.433【解析】设正方体的棱长为a，球的半径为R，则43πR3＝323π，∴R＝2.又∵3a＝2R＝4，∴a＝43 3.【答案】 D4．关于空间直角坐标系Oxyz中的一点P(1,2,3)有下列说法：①点P 到坐标原点的距离为13； ②OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，32；③与点P 关于x 轴对称的点的坐标为(－1，－2，－3)； ④与点P 关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2，－3)； ⑤与点P 关于坐标平面xOy 对称的点的坐标为(1,2，－3)． 其中正确的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5【解析】 点P 到坐标原点的距离为12＋22＋32＝14，故①错；②正确；与点P 关于x 轴对称的点的坐标为(1，－2，－3)，故③错；与点P 关于坐标原点对称的点的坐标为(－1，－2，－3)，故④错；⑤正确，故选A.【答案】 A5．如图1，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱BB 1、B 1C 1的中点，若∠CMN ＝90°，则异面直线AD 1和DM 所成角为( )图1A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【解析】 因为MN ⊥DC ，MN ⊥MC ， 所以MN ⊥平面DCM . 所以MN ⊥DM .因为MN ∥AD 1，所以AD 1⊥DM . 【答案】 D6．(2015·福建高考)某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的表面积等于( )图2A．8＋2 2 B．11＋2 2C．14＋2 2 D．15【解析】由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示．直角梯形斜腰长为12＋12＝2，所以底面周长为4＋2，侧面积为2×(4＋2)＝8＋22，两底面的面积和为2×12×1×(1＋2)＝3，所以该几何体的表面积为8＋22＋3＝11＋2 2.【答案】 B7．已知圆x2＋y2＋2x＋2y＋k＝0和定点P(1，－1)，若过点P的圆的切线有两条，则k的取值范围是()A．(－2，＋∞) B．(－∞，2)C．(－2,2) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)【解析】因为方程x2＋y2＋2x＋2y＋k＝0表示一个圆，所以4＋4－4k＞0，所以k＜2.由题意知点P(1，－1)在圆外，所以12＋(－1)2＋2×1＋2×(－1)＋k＞0，解得k＞－2，所以－2＜k＜2.【答案】 C8．在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°【解析】如图，取BC的中点E，连接DE、AE、AD.依题设知AE⊥平面BB1C1C.故∠ADE为AD与平面BB1C1C所成的角．设各棱长为2，则AE＝32×2＝3，DE＝1.∵tan∠ADE＝AEDE＝31＝3，∴∠ADE＝60°，故选C.【答案】 C9．(2015·开封高一检测)若m、n为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列说法中正确的是()①若直线m、n都平行于平面α，则m、n一定不是相交直线；②若直线m、n都垂直于平面α，则m、n一定是平行直线；③已知平面α、β互相垂直，且直线m、n也互相垂直，若m⊥α，则n⊥β；④若直线m、n在平面α内的射影互相垂直，则m⊥n.A．②B．②③C．①③D．②④【解析】对于①，m与n可能平行，可能相交，也可能异面；对于②，由线面垂直的性质定理可知，m与n一定平行，故②正确；对于③，还有可能n∥β；对于④，把m，n放入正方体中，如图，取A1B为m，B1C为n，平面ABCD为平面α，则m与n在α内的射影分别为AB与BC，且AB⊥BC.而m与n所成的角为60°，故④错．因此选A.【答案】 A10．(2015·全国卷Ⅱ)已知三点A(1,0)，B(0，3)，C(2，3)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A.53 B.213C.253 D.43【解析】在坐标系中画出△ABC(如图)，利用两点间的距离公式可得|AB|＝|AC|＝|BC|＝2(也可以借助图形直接观察得出)，所以△ABC为等边三角形．设BC的中点为D，点E为外心，同时也是重心．所以|AE|＝23|AD|＝233，从而|OE|＝|OA|2＋|AE|2＝1＋43＝213，故选B.【答案】 B11．(2016·重庆高一检测)已知P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k＞0)上一点，P A 是圆C：x2＋y2－2y＝0的一条切线，A是切点，若P A长度的最小值为2，则k的值是()【导学号：09960153】A．3 B.21 2C．2 2 D．2【解析】圆C：x2＋y2－2y＝0的圆心是(0,1)，半径是r＝1，∵P A 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的一条切线，A 是切点，P A 长度的最小值为2，∴圆心到直线kx ＋y ＋4＝0的最小距离为5，由点到直线的距离公式可得|1＋4|k 2＋1＝5，∵k ＞0，∴k ＝2，故选D. 【答案】 D12．(2016·德州高一检测)将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD ＝a ，则三棱锥D -ABC 的体积为( )A.212a 3 B.a 312 C.24a 3D.a 36【解析】 取AC 的中点O ，如图，则BO ＝DO ＝22a ，又BD ＝a ，所以BO ⊥DO ，又DO ⊥AC ， 所以DO ⊥平面ACB ， V D -ABC＝13S △ABC ·DO ＝13×12×a 2×22a ＝212a 3. 【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知两条平行直线的方程分别是2x ＋3y ＋1＝0，mx ＋6y －5＝0，则实数m ＝________.【解析】 由于两直线平行，所以2m ＝36≠1－5，∴m ＝4.【答案】 414．一个横放的圆柱形水桶，桶内的水漫过底面周长的四分之一，那么当桶直立时，水的高度与桶的高度的比为________．【解析】 设圆柱形水桶的底面半径为R ，高为h ，桶直立时，水的高度为x . 横放时水桶底面在水内的面积为⎝ ⎛⎭⎪⎫14πR 2－12R 2，水的体积为V 水＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14πR 2－12R 2h .直立时水的体积不变，则有V 水＝πR 2x ， ∴x ∶h ＝(π－2)∶4π. 【答案】 (π－2)∶4π15．已知一个等腰三角形的顶点A (3,20)，一底角顶点B (3,5)，另一顶点C 的轨迹方程是________．【解析】 设点C 的坐标为(x ，y )， 则由|AB |＝|AC |得 (x －3)2＋(y －20)2 ＝(3－3)2＋(20－5)2，化简得(x －3)2＋(y －20)2＝225.因此顶点C 的轨迹方程为(x －3)2＋(y －20)2＝225(x ≠3)． 【答案】 (x －3)2＋(y －20)2＝225(x ≠3)16．(2015·湖南高考)若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则r ＝__________.【解析】 如图，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，则|OD |＝532＋(－4)2＝1.∵∠AOB＝120°，OA＝OB，∴∠OBD＝30°，∴|OB|＝2|OD|＝2，即r＝2.【答案】 2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2且l1与l2的距离为5，求l1，l2的方程．【解】若直线l1，l2的斜率都不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，此时l1，l2之间距离为5，符合题意；若l1，l2的斜率均存在，设直线的斜率为k，由斜截式方程得直线l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，由点斜式可得直线l2的方程为y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0，在直线l1上取点A(0,1)，则点A到直线l2的距离d＝|1＋5k|1＋k2＝5，∴25k2＋10k＋1＝25k2＋25，∴k＝125.∴l1的方程为12x－5y＋5＝0，l2的方程为12x－5y－60＝0.综上知，满足条件的直线方程为l1：x＝0，l2：x＝5或l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0.18．(本小题满分12分)已知圆C1：x2＋y2－4x＋2y＝0与圆C2：x2＋y2－2y－4＝0.(1)求证：两圆相交；(2)求两圆公共弦所在直线的方程．【导学号：09960154】【解】(1)证明：圆C1：x2＋y2－4x＋2y＝0与圆C2：x2＋y2－2y－4＝0化为标准方程分别为圆C1：(x－2)2＋(y＋1)2＝5与圆C2：x2＋(y－1)2＝5，则圆心坐标分别为C1(2，－1)与C2(0,1)，半径都为5，故圆心距为(2－0)2＋(－1－1)2＝22，又0<22<25，故两圆相交．(2)将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在直线的方程，即(x2＋y2－4x ＋2y)－(x2＋y2－2y－4)＝0，得x－y－1＝0.19．(本小题满分12分)如图3，在三棱锥A-BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M 为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形．图3(1)求证：DM∥平面APC；(2)求证：平面ABC⊥平面APC.【证明】(1)∵M为AB的中点，D为PB的中点，∴MD∥AP.又∵DM⊄平面APC，AP⊂平面APC，∴DM∥平面APC.(2)∵△PMB为正三角形，D为PB中点，∴MD⊥PB.又∵MD∥AP，∴AP⊥PB.又∵AP⊥PC，PC∩PB＝P，∴AP⊥平面PBC.∵BC⊂平面PBC，∴AP⊥BC.又∵AC⊥BC，且AC∩AP＝A，∴BC⊥平面APC.又∵BC ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面APC .20．(本小题满分12分)已知△ABC 的顶点A (0,1)，AB 边上的中线CD 所在的直线方程为2x －2y －1＝0，AC 边上的高BH 所在直线的方程为y ＝0.(1)求△ABC 的顶点B 、C 的坐标；(2)若圆M 经过A 、B 且与直线x －y ＋3＝0相切于点P (－3,0)，求圆M 的方程． 【解】 (1)AC 边上的高BH 所在直线的方程为y ＝0，所以AC 边所在直线的方程为x ＝0，又CD 边所在直线的方程为2x －2y －1＝0， 所以C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，设B (b,0)，则AB 的中点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，12，代入方程2x －2y －1＝0， 解得b ＝2， 所以B (2,0)．(2)由A (0,1)，B (2,0)可得，圆M 的弦AB 的中垂线方程为4x －2y －3＝0，① 由与x －y ＋3＝0相切，切点为(－3,0)可得，圆心所在直线方程为y ＋x ＋3＝0，②①②联立可得，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－52，半径|MA |＝14＋494＝502，所以所求圆方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋522＝252.21．(本小题满分12分)如图4，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点．图4(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面ABE；(3)求三棱锥E-ABC的体积．【解】(1)证明：在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，所以BB1⊥AB.又因为AB⊥BC，所以AB⊥平面B1BCC1，又AB⊂平面ABE，所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)证明：取AB的中点G，连接EG，FG.因为E，F分别是A1C1，BC的中点，所以FG∥AC，且FG＝12AC.因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，所以FG∥EC1，且FG＝EC1，所以四边形FGEC1为平行四边形．所以C1F∥EG. 又因为EG⊂平面ABE，C1F⊄平面ABE，所以C 1F ∥平面ABE .(3)因为AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，AB ⊥BC ，所以AB ＝AC 2－BC 2＝ 3.所以三棱锥E -ABC 的体积V ＝13S △ABC ·AA 1＝13×12×3×1×2＝33.22．(本小题满分12分)已知圆M 过两点A (1，－1)，B (－1，1)，且圆心M 在x ＋y －2＝0上．(1)求圆M 的方程；(2)设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PC 、PD 是圆M 的两条切线，C 、D 为切点，求四边形PCMD 面积的最小值.【导学号：09960155】【解】 (1)法一 线段AB 的中点为(0,0)，其垂直平分线方程为x －y ＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y －2＝0.所以圆M 的圆心坐标为(1,1)，半径r ＝(1－1)2＋(－1－1)2＝2. 故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.法二 设圆M 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，(r ＞0)，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧ (1－a )2＋(－1－b )2＝r 2，(－1－a )2＋(1－b )2＝r 2，a ＋b －2＝0.解得a ＝b ＝1，r ＝2. 故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.(2)由题知，四边形PCMD 的面积为S ＝S △PMC ＋S △PMD ＝12|CM |·|PC |＋12|DM |·|PD |.又|CM |＝|DM |＝2，|PC |＝|PD |，所以S ＝2|PC |，而|PC |＝|PM |2－|CM |2 ＝|PM |2－4，即S ＝2|PM |2－4. 因此要求S 的最小值，只需求|PM |的最小值即可，即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ，使得|PM |的值最小，所以 |PM |min ＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，所以四边形PCMD 面积的最小值为S ＝2|PM |2－4＝232－4＝2 5.。
必修二综合测试题(一)含详细答案
9.已知点P(2,-3)、Q(3,2),直线ax-y+2=0与线段PQ相交,则a的取值范围是( )
A.a≥ B.a≤
C. ≤a≤0D.a≤ 或a≥
10.圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
11.直线l与直线3x+4y-15=0垂直，与圆x2+y2-18x+45=0相切，则l的方程是( )
解析：本题考查长方体和正四棱柱的关系以及球的表面积的计算.由题意可得该正四棱柱的底面面积为4,边长为2.因正四棱柱属于长方体,因此所求球的球心在该长方体的中心即球的直径为 ,根据球的表面积公式,可得球的表面积为24π.
答案：C
8.将若干毫升水倒入底面半径为4cm的圆柱形器皿中,量得水面高度为8cm,若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中,则水面的高度是( )
A.2条B.3条C.4条D.6条
解析：原点在圆C外,过原点的两条切线在坐标轴上的截距也是相等的;若切线不过原点,设为x+y=a,圆心为(0,-5),半径为 ,
∴ .
∴a=-5± .
∴在两轴上截距相等、斜率为-1的直线又有两条,共有4条.
答案：C
6.(2006高考天津卷,文7)若l为一条直线，α、β、γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：①α⊥γ,β⊥γ α⊥β；②α⊥γ,β∥γ α⊥β；③l∥α,l⊥β α⊥β.
答案： πr2(a+b)
16.过圆x2+y2-6x+4y-3=0的圆心,且平行于x+2y+11=0的直线方程是___________.
解：圆x2+y2-6x+4y-3=0的圆心为(3,-2).
高中数学必修第二册第十章综合测试01含答案解析
加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！第十章综合测试一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向，事件“甲向南”与事件“乙向南”的关系为（）A.互斥但非对立事件B.对立事件C.相互独立事件D.以上都不对2.甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“《论语》知识大赛”，决出了第1名到第5名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“虽然你的成绩比乙好，但是你俩都没得到第一名”；对乙说“你当然不会是最差的”从上述回答分析，丙是第一名的概率是（）A.15B.13C.14D.163.甲骑自行车从A地到B地，途中要经过4个十字路口，已知甲在每个十字路口遇到红灯的概率都是，且在每个路口是否遇到红灯相互独立，那么甲在前两个十字路口都没有遇到红灯，直到第三个路口才首次遇到红灯的概率是（）A.13B.427C.49D.1274.从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于（）A.110B.18C.16D.155.有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A.13B.12C.23D.346.某袋中有编号为1，2，3，4，5，6的6个球（小球除编号外完全相同），甲先从袋中摸出一个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是（）A.15B.16C.56D.35367.从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（）A.15B.25C.825D.9258.四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前都放着一枚完全相同的硬币，所有人同时抛出自己的硬币.若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着.那么没有相邻的两个人站起来的概率为（）A.14B.716C.12D.9169.在2，0，1，5这组数据中，随机取出三个不同的数，则数字2是取出的三个不同数的中位数的概率为（）A .34B .58C .12D .1410.设一元二次方程20x Bx C ++=，若B ，C 是一枚质地均匀的骰子连续投掷两次出现的点数，则方程有实数根的概率为（ ）A .112B .736C .1336D .1936二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中的横线上）11.某中学青年教师、中年教师和老年教师的人数比例为451：：，其中青年教师有120人.现采用分层抽样的方法从这所学校抽取容量为30的教师样本以了解教师的工作压力情况，则每位老年教师被抽到的概率为________.12.甲、乙、丙三人独立破译同一份密码.已知甲、乙、丙各自独立破译出密码的概率分别为12，13，14且他们是否破译出密码互不影响，则至少有1人破译出密码的概率是________.13.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________.14.如图10-4-6所示的茎叶图是甲、乙两人在4次模拟测试中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为________. 三、解答题（本大题共4小题，共50分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.[12分]围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235，求从中任意取出2粒恰好是同一色的概率.16.[12分]某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X 依次为1，2，3，4，5，现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到如下频率分布表：X 1 2 3 4 5 fa0.20.45bc（1）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a ，b ，c 的值； （2）在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为1x ，2x ，3x ，等级系数为5的2件日用品记为1y ，2y ，现从1x ，2x ，3x ，1y ，2y 这5件日用品中任取2件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这2件日用品的等级系数恰好相等的概率.17.[13分]某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团 8 5 未参加演讲社团230（1）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；（2）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学1A ，2A ，3A ，4A ，5A ，3名女同学1B ，2B ，3B .现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求1A 被选中且1B 未被选中的概率.18.[13分]一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同，随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，c .（1）求“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率； （2）求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率. （注：若三个数a ，b ，c 满足a b c ≤≤，则称b 为这三个数的中位数）第十章综合测试答案解析一、 1.【答案】A 2.【答案】B 3.【答案】B 4.【答案】D 5.【答案】A 6.【答案】C 7.【答案】B【解析】从甲、乙等5名学生中随机选2人共有10种情况，甲被选中有4种情况，则甲被选中的概率为42105=. 8.【答案】B【解析】四个人按顺序围成一桌，同时抛出自己的硬币，抛出的硬币正面记为0，反面记为1，则总的样本点为（0，0，0，0），（0，0，0，1），（0，0，1，0），（0，0，1，1），（0，1，0，0），（0，1，0，1），（0，1，1，0），（0，1，1，1），（1，0，0，0），（1，0，0，1），（1，0，1，0），（1，0，1，1），（1，1，0，0），（1，1，0，1），（1，1，1，0），（1，1，1，1），共有16种情况.若四个人同时坐着，有1种情况；若三个人坐着，一个人站着，有4种情况；若两个人坐着，两个人站着，此时没有相邻的两个人站起来有2种情况，所以没有相邻的两个人站起来的情况共有1427++=（种），故所求概率716P =. 9.【答案】C【解析】分析题意可知，共有（0，1，2），（0，2，5），（1，2，5），（0，1，5），4种取法，符合题意的取法有2种，故所求概率12P =. 10.【答案】D【解析】因为B ，C 是一枚质地均匀的骰子连续投掷两次出现的点数，所以一共有36种情况。
高中数学 模块综合测评(二)新人教A版必修2
模块综合测评(二) 必修2(A 版)(时间：90分钟 满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，共50分．1．如图所示，△ABC 为正三角形，AA ′∥BB ′∥CC ′，CC ′⊥平面ABC 且3AA ′＝32BB ′＝CC ′＝AB ，则多面体ABC －A ′B ′C ′的正视图(左视时沿AB 方向)是A. B.C. D.解析：几何体的正视图是该几何体从前向后的正投影． 答案：D2．已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A ′O ′＝32，那么原△ABC 中∠ABC 的大小是A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：根据“斜二测画法”可得BC ＝B ′C ′＝2，AO ＝2A ′O ′＝ 3. 故原△ABC 是一个等边三角形． 答案：C3．已知直线l 的倾斜角为α，若cos α＝－45，则直线l 的斜率为A.34B.43 C ．－34D ．－43解析：由cos α＝－45得sin α＝35，所以tan α＝－34，即直线l 的斜率为－34.答案：C4．点A (3，－2,4)关于点(0,1，－3)的对称点的坐标为 A ．(－3,4，－10) B ．(－3,2，－4) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，12D ．(6，－5,11)解析：设点A 关于点(0,1，－3)的对称点的坐标为A ′(x 0，y 0，z 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧3＋x 02＝0，－2＋y2＝1，4＋z 02＝－3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝4，z 0＝－10.∴A ′(－3,4，－10)． 答案：A5．已知平面α，β和直线a ，b ，若α∩β＝l ，a ⊂α，b ⊂β，且平面α与平面β不垂直，直线a 与直线l 不垂直，直线b 与直线l 不垂直，则A ．直线a 与直线b 可能垂直，但不可能平行B ．直线a 与直线b 可能垂直，也可能平行C ．直线a 与直线b 不可能垂直，但可能平行D ．直线a 与直线b 不可能垂直，也不可能平行解析：①当a ∥l ；b ∥l 时，a ∥b ；②当a 与b 在α内的射影垂直时a 与b 垂直． 答案：B6．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱BB 1、B 1C 1的中点，若∠CMN ＝90°，则异面直线AD 1和DM 所成角为A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：因为MN ⊥DC ，MN ⊥MC ， 所以MN ⊥面DCM . 所以MN ⊥DM .因为MN ∥AD 1，所以AD 1⊥DM . 答案：D7．若某多面体的三视图(单位：cm)如图所示，则此多面体的体积是A ．2 cm 3B ．4 cm 3C ．6 cm 3D ．12 cm 3解析：由三视图知该几何体为三棱锥，它的高等于2，底面是等腰三角形，底边边长等于3，底边上的高为2，所以几何体的体积V ＝13×12×3×2×2＝2(cm 3)．答案：A8．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx －2y ＝0的两个交点恰好关于y 轴对称，则k ＝ A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＋y 2＋kx －2y ＝0，得(1＋k 2)·x 2＋kx －1＝0， ∵两交点恰好关于y 轴对称． ∴x 1＋x 2＝－k1＋k 2＝0.∴k ＝0. 答案：A9．已知球的直径SC ＝4，A ，B 是该球球面上的两点，AB ＝2，∠ASC ＝∠BSC ＝45°，则棱锥S－ABC 的体积为A.33B.233 C.433D.533解析：如图所示，连接OA ，OB (O 为球心)．∵AB ＝2，∴△OAB 为正三角形．又∵∠BSC ＝∠ASC ＝45°，且SC 为直径， ∴△ASC 与△BSC 均为等腰直角三角形． ∴BO ⊥SC ，AO ⊥SC .又AO ∩BO ＝O ，∴SC ⊥面ABO . ∴V S －ABC ＝V C －OAB ＋V S －OAB ＝13·S △OAB ·(SO ＋OC ) ＝13×34×4×4 ＝433，故选C.答案：C10．若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值范围是 A ．[－1,1＋22] B ．[1－22，1＋22] C ．[1－22，3]D ．[1－2，3]解析：曲线y ＝3－4x －x 2表示圆(x －2)2＋(y －3)2＝4的下半圆，如图所示，当直线y ＝x ＋b 经过点(0,3)时，b 取最大值3，当直线与半圆相切时，b 取最小值，由|2－3＋b |2＝2⇒b ＝1－22或1＋22(舍)，故b min ＝1－22，b 的取值范围为[1－22，3]．答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．已知两条平行直线的方程分别是2x ＋3y ＋1＝0，mx ＋6y －5＝0，则实数m ＝__________. 解析：由于两直线平行，所以2m ＝36≠1－5，∴m ＝4. 答案：412．将棱长为3的正四面体的各顶点截去四个棱长为1的小正四面体(使截面平行于底面)，所得几何体的表面积为__________．解析：原正四面体的表面积为4×934＝93，每截去一个小正四面体，表面减小三个小正三角形，增加一个小正三角形，故表面积减少4×2×34＝23，故所得几何体的表面积为7 3. 答案：7 313．已知一个等腰三角形的顶点A (3,20)，一底角顶点B (3,5)，另一顶点C 的轨迹方程是__________．解析：设点C 的坐标为(x ，y )， 则由|AB |＝|AC |得x －32＋y －202＝3－32＋20－52，化简得(x －3)2＋(y －20)2＝225.因此顶点C 的轨迹方程为(x －3)2＋(y －20)2＝225(x ≠3)． 答案：(x －3)2＋(y －20)2＝225(x ≠3)14．已知m ，l 是直线，α、β是平面，给出下列命题：①若l 垂直于α内的两条相交直线，则l ⊥α；②若l 平行于α，则l 平行α内所有直线；③若m ⊂α，l ⊂β，且l ⊥m ，则α⊥β；④若l ⊂β，且l ⊥α，则α⊥β；⑤若m ⊂α，l ⊂β，且α∥β，且m ∥l .其中正确命题的序号是__________(把你认为正确的命题的序号都填上)． 解析：通过正方体验证． 答案：①④三、解答题：本大题共4小题，满分50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(12分)△ABC 中，A (0,1)，AB 边上的高线方程为x ＋2y －4＝0，AC 边上的中线方程为2x ＋y －3＝0，求AB ，BC ，AC 边所在的直线方程．解：由题意知直线AB 的斜率为2， ∴AB 边所在的直线方程为2x －y ＋1＝0. (4分)直线AB 与AC 边中线的交点为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2， 设AC 边中点D (x 1,3－2x 1)，C (4－2y 1，y 1)，∵D 为AC 的中点，由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＝4－2y 1，23－2x 1＝1＋y 1，∴y 1＝1，∴C (2,1)，∴BC 边所在的直线方程为2x ＋3y －7＝0， (8分)AC 边所在的直线方程为y ＝1.(12分)16．(12分)如图，在三棱锥S －ABC 中，已知点D 、E 、F 分别为棱AC ，SA ，SC 的中点．(1)求证：EF ∥平面ABC ；(2)若SA ＝SC ，BA ＝BC ，求证：平面SBD ⊥平面ABC . 证明：(1)∵EF 是△SAC 的中位线， ∴EF ∥AC .又∵EF ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， ∴EF ∥平面ABC .(6分)(2)∵SA ＝SC ，AD ＝DC ，∴SD ⊥AC ， 又∵BA ＝BC ，AD ＝DC ，∴BD ⊥AC ，又∵SD ⊂平面SBD ，BD ⊂平面SBD ，SD ∩DB ＝D ， ∴AC ⊥平面SBD ，(10分) 又∵AC ⊂平面ABC ，∴平面SBD ⊥平面ABC .(12分)17．(12分)已知点P (2,0)，及圆C ：x 2＋y 2－6x ＋4y ＋4＝0. (1)当直线l 过点P 且与圆心C 的距离为1时，求直线l 的方程；(2)设过点P 的直线与圆C 交于A 、B 两点，当|AB |＝4时，求以线段AB 为直径的圆的方程． 解：(1)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的斜率为k ，则方程为y －0＝k (x －2)，又圆C 的圆心为(3，－2)，r ＝3，由|3k －2k ＋2|k 2＋1＝1⇒k ＝－34.(4分)所以直线l 的方程为y ＝－34(x －2)，即3x ＋4y －6＝0，当k 不存在时，l 的方程为x ＝2，符合题意． (6分)(2)由弦心距d ＝r 2－⎝⎛⎭⎪⎫|AB |22＝5，又|CP |＝5，知P 为AB 的中点，故以AB 为直径的圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4.(12分) 18．(14分)多面体P －ABCD 的直观图及三视图如图所示，其中正视图、侧视图是等腰直角三角形，俯视图是正方形，E 、F 、G 分别为PC 、PD 、BC 的中点．(1)求证：PA∥平面EFG；(2)求三棱锥P－EFG的体积．解：(1)方法一：如图，取AD的中点H，连接GH，FH. ∵E，F分别为PC，PD的中点，∴EF∥CD.(2分)∵G、H分别为BC、AD的中点，∴GH∥CD.∴EF∥GH.∴E，F，H，G四点共面．(4分)∵F，H分别为DP、DA的中点，∴PA∥FH.∵PA⊄平面EFG，FH⊂平面EFG，∴PA∥平面EFG.(6分)方法二：∵E，F，G分别为PC，PD，BC的中点．∴EF ∥CD ，EG ∥PB .(2分) ∵CD ∥AB ， ∴EF ∥AB .∵PB ∩AB ＝B ，EF ∩EG ＝E ， ∴平面EFG ∥平面PAB . ∵PA ⊂平面PAB ， ∴PA ∥平面EFG .(6分)(2)由三视图可知，PD ⊥平面ABCD ， 又∵GC ⊂平面ABCD ， ∴GC ⊥PD .∵四边形ABCD 为正方形， ∴GC ⊥CD . ∵PD ∩CD ＝D ， ∴GC ⊥平面PCD .(8分) ∵PF ＝12PD ＝1，EF ＝12CD ＝1，∴S △PEF ＝12EF ·PF ＝12.(10分)∵GC ＝12BC ＝1，∴V P －EFG ＝V G －PEF ＝13S △PEF ·GC ＝13×12×1 ＝16.(14分)。
2020-2021人教版数学第二册模块综合测评含解析
2020-2021学年新教材人教A版数学必修第二册模块综合测评含解析模块综合测评(时间:120分钟，满分：150分)一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数z满足（z－1)i＝1＋i，则z等于（)A．－2－i B．－2＋iC．2－i D．2＋iC[由(z－1)i＝1＋i,两边同乘以－i，则有z－1＝1－i,所以z ＝2－i.]2．已知向量a与b的夹角为30°，且｜a｜＝1，|2a－b｜＝1，则｜b｜等于（)A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!C［由题意可得a·b＝|b|cos 30°＝错误!|b｜,4a2－4a·b＋b2＝1，即4－2错误!｜b|＋b2＝1,由此求得|b｜＝错误!，故选C．］3．设z＝11＋i＋i，则｜z|等于（）A．12B．错误!C．错误!D．2B[∵z＝错误!＋i＝错误!＋i＝错误!＋i＝错误!＋错误!i，∴|z|＝错误!＝错误!.]4．某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为[20,40），[40，60)，［60,80)，[80，100］．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是（）A．45 B．50C．55 D．60B[由频率分布直方图，知低于60分的频率为（0.01＋0.005)×20＝0.3。
∴该班学生人数n＝错误!＝50。
］5．已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为（)A．1 cm B．2 cmC．3 cm D．错误!cmB［S＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4，∴r＝表2(cm)．]6．已知向量a＝(cos θ－2，sin θ），其中θ∈R，则|a|的最小值为(）A．1 B．2 C． 5 D．3A［因为a＝(cos θ－2，sin θ)，所以|a|＝错误!＝错误!＝错误!，因为θ∈R，所以－1≤cos θ≤1，故|a｜的最小值为错误!＝1。
新教材苏教版高中数学必修第二册模块综合测评
模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求)1．复数z 满足(3－2i)z ＝4＋3i(i 为虚数单位)，则复数在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限A [由题意得，z ＝4＋3i 3－2i ＝(4＋3i )(3＋2i )(3－2i )(3＋2i )＝613＋17i 13，则复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，故选A.]2．将一颗质地均匀的骰子(一种各个面分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为大于8的偶数的概率为( )A.112B.19C.16D.14B [将先后两次的点数记为有序实数对(x ，y )，则共有6×6＝36(个)基本事件，其中点数之和为大于8的偶数有(4,6)，(6,4)，(5,5)，(6,6)，共4种，则满足条件的概率为436＝19.故选B. ]3．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的恰有一名女同学的概率为( )A ．0.3B ．0.4C ．0.5D ．0.6D [设2名男生为a ，b,3名女生为A ，B ，C, 则任选2人的种数为ab ，aA ，aB ，aC ，bA ，bB ，bC ，AB ，AC ，BC 共10种，其中恰有一名女生为aA ，aB ，aC ，bA ，bB ，bC 共6种， 故恰有一名女同学的概率P ＝610＝0.6 .故选D.]4．已知△ABC 为等腰三角形，满足AB ＝AC ＝3，BC ＝2，若P 为底边BC上的动点，则AP→(AB →＋AC →)( ) A ．有最大值8B ．是定值2C ．有最小值1D ．是定值4D [如图，设AD 是等腰三角形底边BC 上的高，长度为3－1＝ 2.故AP →·(AB →＋AC →)＝(AD →＋DP →)·2AD→＝2AD →2＋2DP →·AD→＝2AD →2＝2×(2)2＝4.故选D.] 5．在△ABC 中，若lg sin A －lg cos B －lg sin C ＝lg 2，则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形A [因为lg sin A －lg cosB －lg sinC ＝lg 2，所以lg sin A cos B sin C＝lg 2. 所以sin A ＝2cos B sin C .因为∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，所以sin(B ＋C )＝2cos B sin C ，所以sin(B －C )＝0.所以∠B ＝∠C ，所以△ABC 为等腰三角形．]6．《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳌臑．在鳌臑P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，P A ＝4，AB ＝BC ＝2，鳌臑P -ABC 的四个顶点都在同一个球上，则该球的表面积是( )A ．16πB ．20πC ．24πD ．64πC [四棱锥P -ABC 的四个面都是直角三角形，∵AB ＝BC ＝2，∴AB ⊥BC ，又P A ⊥平面ABC ，∴AB 是PB 在平面ABC上的射影，P A ⊥CA ，∴BC ⊥PB ，取PC 中点O ，则O 是P -ABC外接球球心．由AB ＝BC ＝2得AC ＝22，又P A ＝4，则PC ＝8＋16＝26，OP ＝6， 所以球表面积为S ＝4π(OP )2＝4π×(6)2＝24π.故选C.]7．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知三个向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，cos A 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，cos B 2，p ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，cos C 2共线，则△ABC 的形状为( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 A [∵向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，cos A 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，cos B 2共线， ∴a cos B 2＝b cos A 2.由正弦定理得sin A cos B 2＝sin B cos A 2.∴2sin A 2cos A 2 cos B 2＝2sin B 2cos B 2cos A 2.则sin A 2＝sin B 2.∵0<A 2<π2，0<B 2<π2，∴A 2＝B 2，即A ＝B .同理可得B ＝C .∴△ABC 的形状为等边三角形．故选A.]8．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别为棱BB 1，CC 1的中点，点O 为上底面的中心，过E ，F ，O 三点的平面把正方体分为两部分，其中含A 1的部分为V 1，不含A 1的部分为V 2，连接A 1和V 2的任一点M ，设A 1M 与平面A 1B 1C 1D 1所成角为α，则sin α的最大值为( )A.22B.255C.265D.266B [连接EF ，因为EF ∥平面ABCD ，所以过EFO 的平面与平面ABCD 的交线一定是过点O且与EF 平行的直线，过点O 作GH ∥BC 交CD 于点G ，交AB 于H 点，则GH ∥EF ，连接EH ，FG ，则平行四边形EFGH 即为截面，则五棱柱A 1B 1EHA -D 1C 1FGD 为V 1，三棱柱EBH -FCG 为V 2，设M 点为V 2的任一点，过M 点作底面A 1B 1C 1D 1的垂线，垂足为N ，连接A 1N ， 则∠MA 1N 即为A 1M 与平面A 1B 1C 1D 1所成的角，所以∠MA 1N ＝α.因为sin α＝MN A 1M ，要使α的正弦值最大，必须MN 最大，A 1M 最小，当点M 与点H 重合时符合题意．故(sin α)max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫MN A 1M max ＝HN A 1H ＝255.故选B.] 二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．如图是2020年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图，给出下列4个结论其中结论正确的是( )A ．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高；B ．深圳和厦门往返机票的平均价格同去年相比有所下降；C ．平均价格从高到低位于前三位的城市为北京，深圳，广州；D ．平均价格的涨幅从高到低位于前三位的城市为天津，西安，上海．ABC [对于A.由图可知深圳对应的小黑点最接近0%，故变化幅度最小，北京对应的条形图最高，则北京的平均价格最高，故A 正确；对于B.由图可知深圳和厦门对应的小黑点在0%以下，故深圳和厦门的价格同去年相比有所下降，故B 正确； 对于C 由图可知条形图由高到低居于前三位的城市为北京、深圳和广州，故C 正确；对于D 由图可知平均价格的涨幅由高到低分别为天津、西安和南京，故D 错误．故选ABC.]10．已知圆锥的顶点为P ，母线长为2，底面半径为3，A ，B 为底面圆周上两个动点，则下列说法正确的是( )A ．圆锥的高为1B ．三角形P AB 为等腰三角形C．三角形P AB面积的最大值为3D．直线P A与圆锥底面所成角的大小为π6ABD[如图所示：PO＝22－()32＝1，A正确；P A＝PB＝2，B正确；易知直线P A与圆锥底面所成的角为∠P AO＝π6，D正确；取AB中点为C，设∠P AC＝θ，则θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2，S△P AB＝2sin θ·2cos θ＝2sin 2θ，当θ＝π4时，面积有最大值为2，C错误．故选ABD.]11．以下对各事件发生的概率判断正确的是()A．连续抛两枚质地均匀的硬币，有3个基本事件，出现一正一反的概率为1 3B．每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如12＝5＋7，在不超过15的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为1 15C．将一个质地均匀的骰子先后抛掷2次，记下两次向上的点数，则点数之和为6的概率是5 36D．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是12BCD[对于A，连续抛两枚质地均匀的硬币，其样本区间为Ω＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}；有4个基本事件，出现一正一反事件A包含的样本点为(正，反)，(反，正)，所以A错误；对于B，从集合{2,3,5,7, 11,13}中取出两个数，其样本空间Ω＝{(2,3)，(2,5)，(2,7)，(2,11)，(2,13)，(3,5)，(3,7)，(3,11)，(3,13)，(5,7)，(5,11)，(5,13)，(7,11)，(7,13)，(11,13)}，即包含15个基本等可能事件，“两个数的和为14”的事件B仅包含一个样本点(3,11)，所以P(B)＝115，所以B正确；对于C，样本空间有36个样本点，“点数和为6”的事件C包含5个样本点(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，即P(C)＝536，所以C正确；对于D，从四件产品中取出两件，其样本空间为Ω＝{(正1，正2)，(正2，正3)，(正1，正3)，(正1，次)，(正2，次)，(正3，次)}，故共有6个基本等可能事件，“全是正品”的事件的样本点为3个，所以P(D)＝12，所以故选BCD.]12．已知复数z对应复平面内点A，则下列关于复数z，z1，z2结论正确的是()A. |z＋2i|表示点A到点(0,2)的距离B. 若|z－1|＝|z＋2i|，则点A的轨迹是直线C. ||z1|－|z2||≤|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|D. |z1z2|＝|z1||z2|BCD[对于A，|z＋2i|表示点A到点(0，－2)的距离，所以A错误；对于B, |z－1|＝|z＋2i|表示A点到M(1,0)和N(0，－2)的距离相等，所以A的轨迹是MN的垂直平分线，是一条直线，所以B正确；由复数模的性质知，C、D均正确，故选BCD.]三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．2019年国际山地旅游大会于8月29日在贵州黔西南州召开，据统计有来自全世界的4 000名女性和6 000名男性徒步爱好者参与徒步运动，其中抵达终点的女性与男性徒步爱好者分别为1 000名和2 000名，抵达终点的徒步爱好者可获得纪念品一份．若记者随机电话采访参与本次徒步运动的1名女性和1名男性徒步爱好者，其中恰好有1名徒步爱好者获得纪念品的概率是________．512[“男性获得纪念品，女性没有获得纪念品”的概率为2 0006 000×3 0004 000＝14，“男性没有获得纪念品，女性获得纪念品”的概率为4 0006 000×1 0004 000＝16，故“恰好有1名徒步爱好者获得纪念品”的概率为14＋16＝512.]14．已知向量a＝(1，－2)，b＝(x,3y－5)，且a∥b，若x，y均为正数，则xy 的最大值是________．2524[∵a∥b，∴(3y－5)×1＋2x＝0，即2x＋3y＝5.∵x＞0，y＞0，∴5＝2x＋3y≥26xy，∴xy≤2524，当且仅当3y＝2x时取等号．]15．掷红、白两颗骰子，事件A＝{红骰子点数小于3}，事件B＝{白骰子点数小于3}，则事件P(AB)＝__________，P(A＋B)＝________.1 959[由掷红、白两颗骰子，向上的点数共6×6＝36种可能，红色骰子的点数分别记为红1，红2，…，白色骰子的点数分别记为白1，白2，…其中红骰子点数小于3的有1,2二种可能，其中白骰子点数小于3的有1,2二种可能，事件A＝{红1，白1}，{红1，白2}，{红1，白3}，{红1，白4}，{红1，白5}，{红1，白6}，{红2，白1}，{红2，白2}，{红2，白3}，{红2，白4}，{红2，白5}，{红2，白6}，共12种事件B＝{白1，红1}，{白1，红2}，{白1，红3}，{白1，红4}，{白1，红5}，{白1，红6}，{白2，红1}，{白2，红2}，{白2，红3}，{白2，红4}，{白2，红5}，{白2，红6}，共12种，事件AB＝{红1，白1}，{红1，白2}，{红2，白1}，{红2，白2}，共4种，故P(AB)＝436＝19，事件A＋B共有12＋12－4＝20种，故P(A＋B)＝2036＝59.]16．如图，四棱锥P-ABCD中，ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，P A＝AB＝1，BC＝2，四棱锥外接球的球心为O，点E是棱AD上的一个动点．给出如下命题：①直线PB与直线CE是异面直线；②BE与PC一定不垂直；③三棱锥E-BCO的体积为定值；④CE＋PE的最小值为2 2.其中正确命题的序号是________．(将你认为正确的命题序号都填上)①③④[对于①，∵直线PB经过平面ABCD内的点B，而直线CE在平面ABCD内不过B，∴直线PB与直线CE是异面直线，故①正确；对于②，当E在线AD上且AE＝14AD位置时，BE⊥AC，因为P A⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以P A⊥BE，又P A∩AC＝A，P A⊂平面P AC，AC⊂平面P AC，∴BE⊥平面P AC，则BE垂直PC，故②错误；对于③，由题意知，四棱锥P-ABCD的外接球的球心为O是PC的中点，则△BCE的面积为定值，且O到平面ABCD的距离为定值，∴三棱锥E-BCO的体积为定值，故③正确；对于④，设AE＝x，则DE＝2－x，∴PE＋EC＝1＋x2＋1＋(2－x)2.由其几何意义，即平面内动点(x,1)与两定点(0,0)，(2,0)距离和的最小值知，其最小值为22，故④正确．故答案为①③④.]四、解答题(本大题共6小题，共10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算)17．(本小题满分10分)benti从青岛市统考的学生数学考试试卷中随机抽查100份数学试卷作为样本，分别统计出这些试卷总分，由总分得到如下的频率分布直方图．(1)求这100份数学试卷成绩的中位数；(2)从总分在[55,65)和[135,145)的试卷中随机抽取2份试卷，求抽取的2份试卷中至少有一份总分少于65分的概率．[解](1)记这100份数学试卷成绩的中位数为x(95<x<105)，则0.002×10＋0.008×10＋0.013×10＋0.015×10＋(x－95)×0.024＝0.5，解得x＝100，所以中位数为100.(2)总分在[55,65)的试卷共有0.002×10×100＝2(份)，记为A，B，总分在[135,145)的试卷共有0.004×10×100＝4(份)，记为a，b，c，d，则从上述6份试卷中随机抽取2份的结果为{A，B}，{A，a}，{A，b}，{A，c}，{A，d}，{B，a}，{B，b}，{B，c}，{B，d}，{a ，b }，{a ，c }，{a ，d }，{b ，c }，{b ，d }，{c ，d }，共计15个样本点，且是等可能的．至少有一份总分少于65分的有：{A ，B }，{A ，a }，{A ，b }，{A ，c }，{A ，d }，{B ，a }，{B ，b }，{B ，c }，{B ，d }，共计9个样本点，所以抽取的2份至少有一份总分少于65分的概率P ＝915＝35.18．(本小题满分12分)已知向量m ＝(cos α，sin α)，n ＝(－1,2)．(1)若m ∥n ，求sin α－2cos αsin α＋cos α的值； (2)若|m －n |＝2，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值． [解] (1)因为m ∥n ，所以sin α＝－2cos α.所以原式＝－2cos α－2cos α－2cos α＋cos α＝－4cos α－cos α＝4. (2)因为 |m －n |＝2，所以2sin α－cos α＝2.所以cos 2α＝4(sin α－1)2，所以1－sin 2α＝4(sin α－1)2，所以α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 所以sin α＝35，cos α＝－45. 所以原式＝－7210.19．(本小题满分12分)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A .(1)证明：sin B ＝cos A ；(2)若sin C －sin A cos B ＝34，且B 为钝角，求A ，B ，C .[解] (1)证明：由正弦定理知a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，∴a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，代入a ＝b tan A 得sin A ＝sin B ·sin A cos A ，又∵A ∈(0，π)，∴sin A >0，∴1＝sin B cos A ，即sin B ＝cos A .(2)由sin C －sin A cos B ＝34知，sin(A ＋B )－sin A cos B ＝34，∴cos A sin B ＝34.由(1)知，sin B ＝cos A ，∴cos 2A ＝34，由于B 是钝角，故A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos A ＝32，A ＝π6. sin B ＝32，B ＝2π3，∴C ＝π－(A ＋B )＝π6.20．(本小题满分12分)如图，E 是以AB 为直径的半圆上异于A ，B 的点，矩形ABCD 所在的平面垂直于该半圆所在的平面，且AB ＝2AD ＝2.(1)求证：EA ⊥EC ；(2)设平面ECD 与半圆弧的另一个交点为F .①证明：EF ∥AB ；②若EF ＝1，求三棱锥E -ADF 的体积．[解] (1)证明：∵平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD ∩平面ABE ＝AB ，BC ⊥AB ，BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥平面ABE .又∵AE ⊂平面ABE ，∴BC ⊥AE .∵E 在以AB 为直径的半圆上，∴AE ⊥BE ，又∵BE ∩BC ＝B ，BC ，BE ⊂平面BCE ，∴AE ⊥平面BCE .又∵CE ⊂平面BCE ，∴EA ⊥EC .(2)①证明：∵AB ∥CD ，AB ⊄平面CED ，CD ⊂平面CED ，∴AB ∥平面CED .又∵AB ⊂平面ABE ，平面ABE ∩平面CED ＝EF ，∴AB ∥EF .②取AB 的中点O ，EF 的中点O ′，在Rt △OO ′F 中，OF ＝1，O ′F ＝12，∴OO ′＝32.由(1)得BC ⊥平面ABE ，又已知AD ∥BC ，∴AD ⊥平面ABE .故V E -ADF ＝V D -AEF ＝13·S △AEF ·AD ＝13·12·EF ·OO ′·AD ＝312.21．(本小题满分12分)已知△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .(1)证明：a cos B ＋b cos A ＝c ；(2)在①2c －b cos B ＝a cos A ，②c cos A ＝2b cos A －a cos C ，③2a －b cos C cos A ＝c cos B cos A 这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答若a ＝7，b ＝5，________，求△ABC 的周长．[解] (1)根据余弦定理：a cos B ＋b cos A ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac ＋b ·b 2＋c 2－a 22bc＝a 2＋c 2－b 2＋b 2＋c 2－a 22c＝c ，所以a cos B ＋b cos A ＝c . (2)选①：因为2c －b cos B ＝a cos A ，所以2c ·cos A ＝b cos A ＋a cos B ，所以由(1)中所证结论可知，2c cos A ＝c ，即cos A ＝12，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3；选②：因为c cos A ＝2b cos A －a cos C ，所以2b cos A ＝a cos C ＋c cos A ， 由(1)中的证明过程同理可得，a cos C ＋c cos A ＝b ，所以2b cos A ＝b ，即cos A ＝12，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3；选③：因为2a －b ·cos C cos A ＝c ·cos B cos A ，所以2a cos A ＝b cos C ＋c cos B ，由(1)中的证明过程同理可得，b cos C ＋c cos B ＝a ，所以2a cos A ＝a ，即cos A ＝12，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3.在△ABC 中，由余弦定理知，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋c 2－10c ·12＝49，即c 2－5c －24＝0，解得c ＝8或c ＝－3(舍)，所以a ＋b ＋c ＝7＋5＋8＝20，即△ABC 的周长为20.22. (本小题满分12分)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，小区的两个出入口设置在点 A 及点 C 处，且小区里有一条平行于 BO 的小路CD .(1)已知某人从 C 沿 CD 走到 D 用了10分钟，从D 沿DA 走到 A 用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长(精确到1米)(2)若该扇形的半径为OA ＝a ，已知某老人散步，从 C 沿CD 走到D ，再从D 沿DO 走到O ，试确定C 的位置，使老人散步路线最长．[解] (1)法一：设该扇形的半径为r 米，连接CO . 由题意，得CD ＝500(米)，DA ＝300(米)，∠CDO ＝60°，在△CDO 中，CD 2＋OD 2－2CD ·OD ·cos 60 °＝OC 2，即5002＋()r －3002－2×500×()r －300×12＝r 2， 解得r ＝4 90011≈445(米)．法二：连接AC ，作OH ⊥AC ，交AC 于H ，由题意，得CD ＝500(米)， AD ＝300(米)，∠CDA ＝120° ，在△CDA 中，AC 2＝CD 2＋AD 2－2·CD ·AD ·cos 120°＝5002＋3002＋2×500×300×12＝7002.AC ＝700(米). cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22·AC ·AD＝1114. 在直角△HAO 中，AH ＝350(米)，cos ∠HAO ＝1114，OA ＝AH cos ∠HAO＝4 90011≈445(米)． (2)连接OC ，设∠DOC ＝θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3， 在△DOC 中，由正弦定理得CD sin θ＝DO sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝OC sin π3＝2a 3， 于是CD ＝2a 3sin θ，DO ＝2a 3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－θ，则 DC ＋DO ＝2a 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6 ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3 所以当θ＝π3时，DC ＋DO 最大为2a ，此时C 在弧AB 的中点处．。
人教版高中数学选择性必修第二册 全册模块综合检测1(含解析)
人教版高中数学选择性必修第二册全册模块综合检测1(原卷版)(时间：120分钟，分值：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1．数列{a n}满足a n＋1＝3a n＋1，a1＝1，则此数列的第3项是()A．13B．10C．7D．42．{a n}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d＝()A．－2B．－12D．2C．123．已知函数f(x)＝3x2＋2，则f′(5)＝()A．15B．30C．32D．774．设等比数列{a n}满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则S6＝()A．－63B．－21C．21D．635．函数f(x)＝xx2＋1的单调递增区间是()A．(－∞，－1)B．(－1,1)C．(1，＋∞)D．(－∞，－1)和(1，＋∞)6．数列{a n}满足a1＝1，log2a n＋1＝log2a n＋1(n∈N*)，它的前n项和为S n，则满足S n>1025的最小n值是()A．9B．10C．11D．127．函数f(x)＝ln xx＋1的图象大致是()8．函数f (x )＝ln x ＋ax 有小于1的极值点，则实数a 的取值范围是()A ．(0,1)B ．(－∞，－1)C ．(－1,0)D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)9．过点P (2，－6)作曲线f (x )＝x 3－3x 的切线，则切线方程可能是()A ．3x ＋y ＝0B ．24x －y －54＝0C ．9x －y －24＝0D ．12x －y －24＝010．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1＋3a 5＝S 7，则以下结论一定正确的是()A ．a 4＝0B ．S n 的最大值为S 3C ．S 1＝S 6D ．|a 3|<|a 5|11．在数列{a n }中，若a 2n －a 2n －1＝p (n ≥2，n ∈N *，p 为常数)，则{a n }称为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断，其中正确的为()A ．若{a n }是等方差数列，则{a 2n }是等差数列B ．若{a n }是等方差数列，则{a 2n }是等方差数列C ．{(－1)n }是等方差数列D ．若{a n }是等方差数列，则{a kn }(k ∈N *，k 为常数)也是等方差数列12．设f (x )＝x a ·cos x ，x ∈π6，π3的最大值为M ，则()A ．当a ＝－1时，M <3B ．当a ＝2时，M <33C ．当a ＝1时，M >32D ．当a ＝3时，M <12三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝9，S 99－S 55＝－4，则a n ＝________.14.设函数f (x )＝x 3＋ax 2，若曲线y ＝f (x )在点P (1，f (1))处的切线方程为x ＋y ＝0，则实数a ＝________.15.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝pn 2－2n ＋q (p ，q ∈R ，n ∈N *)，则q ＝______；若a 1与a 5的等差中项为8，则p ＋q ＝________.16.设a ，b ∈R ，若x ≥0时恒有0≤x 4－x 3＋ax ＋b ≤(x 2－1)2，则ab 等于________．四、解答题(本题共6小题，共70分)17.(10分)在等差数列{a n}中，已知a1＋a2＋a3＝21，a1a2a3＝231.(1)求该数列中a2的值；(2)求该数列的通项公式a n.18.(12分)(1)求曲线y＝1x在点(－1，－1)处的切线方程；(2)求经过点(4,0)且与曲线y＝1x相切的直线方程．19.(12分)设f(x)＝a ln x＋12x－32x＋1，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处取得极值．(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间和极值．20.(12分)设数列{a n}满足：a1＝1，且2a n＝a n＋1＋a n－1(n≥2)，a3＋a4＝12.(1)求{a n}的通项公式；(2)n项和．21.(12分)已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a2＝13，a na n＋1＝2a n＋1(n∈N*且n≥2)．(1)(2)n项和T n.22.(12分)已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)e x(x∈R)．(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围．人教版高中数学选择性必修第二册全册模块综合检测1(解析版)(时间：120分钟，分值：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1．数列{a n }满足a n ＋1＝3a n ＋1，a 1＝1，则此数列的第3项是()A ．13B ．10C ．7D ．4A解析：因为a n ＋1＝3a n ＋1，a 1＝1，所以a 2＝3a 1＋1＝3×1＋1＝4，所以a 3＝3a 2＋1＝3×4＋1＝13.故选A ．2．{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d ＝()A ．－2B ．－12C ．12D ．2B解析：∵a 7－2a 4＝－1，∴a 3＋4d －2(a 3＋d )＝－1，∴4d －2d ＝－1，∴d ＝－12.3．已知函数f (x )＝3x 2＋2，则f ′(5)＝()A ．15B ．30C ．32D ．77B解析：依题意f ′(x )＝6x ，所以f ′(5)＝30.故选B ．4．设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则S 6＝()A ．－63B ．－21C ．21D ．63B解析：设数列{a n }的公比为q ，∵a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，1＋a 1q ＝－1，1－a 1q 2＝－3，1＝1，＝－2，∴S 6＝a 1(1－q 6)1－q ＝1－643＝－21.故选B ．5．函数f (x )＝xx 2＋1的单调递增区间是()A ．(－∞，－1)B ．(－1,1)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)和(1，＋∞)B解析：f (x )的定义域为R ，且f ′(x )＝x 2＋1－2x ·x (x 2＋1)2＝1－x 2(x 2＋1)2＝(1＋x )(1－x )(x 2＋1)2，所以当－1<x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以f (x )的单调递增区间为(－1,1)．故选B ．6．数列{a n }满足a 1＝1，log 2a n ＋1＝log 2a n ＋1(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，则满足S n >1025的最小n 值是()A ．9B ．10C ．11D ．12C 解析：数列{log 2a n }是以0为首项，公差为1的等差数列，log 2a n ＝0＋(n －1)×1＝n －1，a n＝2n －1，Sn＝1＋2＋22＋23＋…＋2n －1＝1－2n1－2＝2n －1>1025，2n >1026.因为210＝1024,211＝2048，所以，最小n 值是11.选C ．7．函数f (x )＝ln xx ＋1的图象大致是()C解析：由f (x )＝ln xx ＋1，得f ′(x )＝1＋1x －ln x(x ＋1)2(x >0)．令g (x )＝1＋1x－ln x ，则g ′(x )＝－1x 2－1x ＝－1＋x x 2<0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减．又g (e)＝1e >0，g (e 2)＝1＋1e 2－ln e 2＝1e 2－1<0，所以存在x 0∈(e ，e 2)，使得g (x 0)＝0，所以当x ∈(0，x 0)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0；当x ∈(x 0，＋∞)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0.所以f (x )在(0，x 0)上单调递增，在(x 0，＋∞)上单调递减．故选C ．8．函数f (x )＝ln x ＋ax 有小于1的极值点，则实数a 的取值范围是()A ．(0,1)B ．(－∞，－1)C ．(－1,0)D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B解析：因为f(x)＝ln x＋ax，所以函数定义域为{x|x>0}．由f′(x)＝1x＋a＝0，得a≠0，x＝－1a.又函数f(x)＝ln x＋ax有小于1的极值点，所以－1a<1且a<0，所以a<－1.故选B．二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)9．过点P(2，－6)作曲线f(x)＝x3－3x的切线，则切线方程可能是()A．3x＋y＝0B．24x－y－54＝0C．9x－y－24＝0D．12x－y－24＝0AB解析：∵y′＝3x2－3.设曲线的切点为(x0，y0)，则k＝3x20－3，y0＝x30－3x0.∴切线方程为y－(x30－3x0)＝(3x20－3)(x－x0)．又切线经过点P(2，－6)，则－6－(x30－3x0)＝(3x20－3)(2－x0)，解得x0＝0或x0＝3，∴切点为(0,0)时，切线方程为3x＋y＝0；切点为(3,18)时，切线方程为24x－y－54＝0.10．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a1＋3a5＝S7，则以下结论一定正确的是() A．a4＝0B．S n的最大值为S3C．S1＝S6D．|a3|<|a5|AC解析：设等差数列{a n}的公差为d，则a1＋3(a1＋4d)＝7a1＋21d，解得a1＝－3d，所以a n＝a1＋(n－1)d＝(n－4)d，所以a4＝0，故A正确；因为S6－S1＝5a4＝0，所以S1＝S6，故C正确；由于无法确定d的正负，故S3可能为最大值，也可能为最小值，故B不正确；因为a3＋a5＝2a4＝0，所以a3＝－a5，即|a3|＝|a5|，故D不正确．故选AC．11．在数列{a n}中，若a2n－a2n－1＝p(n≥2，n∈N*，p为常数)，则{a n}称为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断，其中正确的为()A．若{a n}是等方差数列，则{a2n}是等差数列B．若{a n}是等方差数列，则{a2n}是等方差数列C．{(－1)n}是等方差数列D．若{a n}是等方差数列，则{a kn}(k∈N*，k为常数)也是等方差数列ACD解析：对于A，{a n}是等方差数列，可得a2n－a2n－1＝p(n≥2，n∈N*，p为常数)，即有{a2n}是首项为a21，公差为d的等差数列，故正确；对于B，例如：数列{n}是等方差数列，但是数列{n}不是等方差数列，所以B不正确；对于C，数列{(－1)n}中，a2n－a2n－1＝[(－1)n]2－[(－1)n－1]2＝0(n≥2，n∈N)，所以数列{(－1)n}是等方差数列，故C正确；对于D,数列{a n}中的项列举出来是：a1，a2，…，a k…，a2k，…，数列{a kn}中的项列举出来是：a k，a2k，a3k，….∵a2kn＋k－a2kn＋k－1＝a2kn＋k－1－a2kn＋k－2＝…＝a2kn＋1－a2kn＝p，∴a2kn＋k－a2kn＝(a2kn＋k－a2kn＋k－1)＋(a2kn＋k－1－a2kn＋k－2)＋…＋(a2kn＋1－a2kn)＝kp，∴a2k(n＋1)－a2kn＝kp,所以，数列{a kn}是等方差数列，故D 正确．故选ACD．12．设f(x)＝x a·cos x，x∈π6，π3的最大值为M，则()A．当a＝－1时，M<3B．当a＝2时，M<33C．当a＝1时，M>32D．当a＝3时，M<12AB解析：对于选项A，当a＝－1时，f(x)＝cos xx在区间π6，π3上递减，所以M＝cosπ6π6＝33π<3，故选项A正确．对于选项B，当a＝2时，f(x)＝x2·cos x，则f′(x)＝x cos x(2－xtanx)>0，∴f(x)在区间π6，π3上递增，即M＝π218<33，故选项B正确．对于选项C，当a＝1时，x<tan x恒成立，所以f(x)＝x cos x<tan x cos x＝sin x≤32，所以M<32，故选项C 错误．对于选项D，当a＝3时，f(x)＝x3·cos x，则f′(x)＝x2cos x(3－xtan x)>0，∴f(x)在区间π6，π3上递增，∴M＝12·>12，故选项D错误．故选AB．三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝9，S99－S55＝－4，则a n＝________.－2n＋11解析：设公差为d，因为S99－S55＝－4，所以4d－2d＝－4，即d＝－2.所以a n＝a1＋(n－1)d＝9－2(n－1)＝－2n＋11.14.设函数f(x)＝x3＋ax2，若曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线方程为x＋y＝0，则实数a＝________.－2解析：因为点P(1，f(1))在该切线上，所以f(1)＝－1，则f(1)＝1＋a＝－1，解得a＝－2.15.已知等差数列{a n}的前n项和为S n＝pn2－2n＋q(p，q∈R，n∈N*)，则q＝______；若a1与a5的等差中项为8，则p＋q＝________.02解析：由等差数列的性质可得q＝0.又a1与a5的等差中项为8，所以a1＋a5＝16，即S5＝(a1＋a5)×52＝40，所以25p－10＝40，解得p＝2，即p＋q＝2＋0＝2.16.设a ，b ∈R ，若x ≥0时恒有0≤x 4－x 3＋ax ＋b ≤(x 2－1)2，则ab 等于________．－1解析：验证发现，当x ＝1时，将1代入不等式有0≤a ＋b ≤0，所以a ＋b ＝0，当x ＝0时，可得0≤b ≤1，结合a ＋b ＝0可得－1≤a ≤0.令f (x )＝x 4－x 3＋ax ＋b ，即f (1)＝a ＋b ＝0.又f ′(x )＝4x 3－3x 2＋a ，f ′′(x )＝12x 2－6x ，令f ′′(x )＞0，可得x ＞12，则f ′(x )＝4x 3－3x 2＋a 在0，12上递减，在12，＋∞上递增．又－1≤a ≤0，所以f ′(0)＝a ＜0，f ′(1)＝1＋a ≥0.又x ≥0时恒有0≤x 4－x 3＋ax ＋b ，结合f (1)＝a ＋b ＝0知，1必为函数f (x )＝x 4－x 3＋ax ＋b 的极小值点，也是最小值点．故有f ′(1)＝1＋a ＝0，由此得a ＝－1，b ＝1.所以ab ＝－1.四、解答题(本题共6小题，共70分)17.(10分)在等差数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋a 3＝21，a 1a 2a 3＝231.(1)求该数列中a 2的值；(2)求该数列的通项公式a n .解：(1)由等差数列性质得a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝21，∴a 2＝7.(2)设等差数列公差为d ，∴a 1a 2a 3＝(a 2－d )a 2·(a 2＋d )＝7(7－d )(7＋d )＝7(49－d 2)＝231.解得d ＝±4，∴a n ＝a 2＋(n －2)d ，即a n ＝4n －1或a n ＝－4n ＋15.18.(12分)(1)求曲线y ＝1x在点(－1，－1)处的切线方程；(2)求经过点(4,0)且与曲线y ＝1x 相切的直线方程．解：∵y ＝1x ，∴y ′＝－1x2.(1)当x ＝－1时，得在点(－1，－1)处的切线的斜率为－1，∴切线方程为y ＋1＝－(x ＋1)，即x ＋y ＋2＝0.(2)设切点为x 0，1x 0，则切线的斜率为－1x 20，∴切线方程为y －1x 0＝－1x 20(x －x 0)，∵切线过点(4,0)，∴－1x 0＝－1x 20(4－x 0)，解得x 0＝2，∴所求切线方程为y －12＝－14(x －2)，即x ＋4y －4＝0.19.(12分)设f (x )＝a ln x ＋12x －32x ＋1，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处取得极值．(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间和极值．解：(1)因为f (x )＝a ln x ＋12x －32x ＋1，所以f ′(x )＝a x －12x 2－32.由f ′(1)＝0，可得a －2＝0，解得a ＝2.(2)由(1)可知，f (x )＝2ln x ＋12x －32x ＋1，f ′(x )＝－(3x －1)(x －1)2x 2.令f ′(x )＝0，解得x 1＝13，x 2＝1，又因为函数f (x )定义域为(0，＋∞)，所以f (x )(1，＋∞)故f (x )的极大值为f (1)＝0，f (x )的极小值为2－2ln 3.20.(12分)设数列{a n }满足：a 1＝1，且2a n ＝a n ＋1＋a n －1(n ≥2)，a 3＋a 4＝12.(1)求{a n }的通项公式；(2)n 项和．解：(1)由2a n ＝a n ＋1＋a n －1(n ≥2)可知数列{a n }是等差数列，设公差为d ，因为a 1＝1，所以a 3＋a 4＝a 1＋2d ＋a 1＋3d ＝12，解得d ＝2，所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)由(1)知1a n a n ＋2＝1(2n －1)(2n ＋3)＝n 项和S n …＋＋13－12n ＋1－＝13－n ＋1(2n ＋1)(2n ＋3).21.(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝13，a na n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N *且n ≥2)．(1)(2)n 项和T n .(1)证明：因为a na n ＋1＝2a n ＋1，所以a n ＝a n ＋1＋2a n a n ＋1，即a n －a n ＋1＝2a n a n ＋1，等式两边同时除以a n a n ＋1，得1a n ＋1－1a n＝2(n ≥2)，且1a 2－1a 1＝2，1，公差为2的等差数列．(2)解：由(1)得1a n ＝2n －1，3na n ＝(2n －1)3n ，则T n ＝1×3＋3×32＋…＋(2n －1)3n ①，3T n ＝1×32＋…＋(2n －3)3n ＋(2n －1)3n ＋1②，①－②得－2T n ＝3＋2(32＋…＋3n )－(2n －1)3n ＋1＝3＋2×9×(1－3n －1)1－3－(2n －1)3n ＋1＝2(1－n )3n ＋1－6，故T n ＝(n －1)3n ＋1＋3.22.(12分)已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R )．(1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在(－1,1)上单调递增，求a 的取值范围．解：(1)a ＝2时，f (x )＝(－x 2＋2x )·e x 的导数为f ′(x )＝e x (2－x 2)．由f′(x)＞0，解得－2<x<2，由f′(x)＜0，解得x＜－2或x> 2.即有函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)，单调递增区间为(－2，2)．(2)函数f(x)＝(－x2＋ax)·e x的导数为f′(x)＝e x[a－x2＋(a－2)x]．由函数f(x)在(－1,1)上单调递增，则有f′(x)≥0在(－1,1)上恒成立，即为a－x2＋(a－2)x≥0，即有x2－(a－2)x－a≤0，则有1＋(a－2)－a≤0且1－(a－2)－a≤0，解得a≥3 2，则a的取值范围为3 2，＋。
2020-2021学年北师大版高中数学必修二模块综合测评(一)及答案解析
最新（新课标）北师大版高中数学必修二模块综合测评(一)(时间：90分钟 满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，共50分．1．过点(－1,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程是( ) A ．x －2y ＋7＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．x －2y －5＝0D ．2x ＋y －5＝0解析：设所求直线方程为－2x －y ＋m ＝0，则－2×(－1)－3＋m ＝0，所以m ＝1，即－2x －y ＋1＝0，故直线方程为2x ＋y －1＝0.答案：B2．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.8π3B ．3πC.10π3D ．6π解析：显然由三视图我们易知原几何体为一个圆柱体的一部分，并且由正视图知是一个34的圆柱体，底面圆的半径为1，圆柱体的高为4，则V＝34×π×12×4＝3π. 答案：B3．长方体一个顶点上的三条棱长分别为3、4、5，若它的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是( )A ．202πB ．252πC ．50πD ．200π解析：设长方体的体对角线长为l ，球半径为R ，则⎩⎪⎨⎪⎧l ＝2R ，l 2＝32＋42＋52，所以R ＝522，所以S 球＝4πR 2＝50π.答案：C4．在空间直角坐标系中，O 为坐标原点，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，12，12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，12，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13，13，13，则( ) A ．OA ⊥AB B ．AB ⊥AC C ．AC ⊥BCD ．OB ⊥OC解析：|AB|＝12，|AC|＝36，|BC|＝66，因为|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，所以AC⊥BC.答案：C5．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是( )A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n解析：A中还可能m，n相交或异面，所以A不正确；B、C中还可能α，β相交，所以B、C不正确．很明显D正确．答案：D6．若P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程为( )A．x－y－3＝0 B．2x＋y－3＝0C．x＋y－1＝0 D．2x－y－5＝0解析：设圆心为C(1,0)，则AB⊥CP，∵k CP＝－1，∴k AB＝1，∴y＋1＝x －2，即x－y－3＝0.答案：A7．在三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是( ) A．30°B．45°C ．60°D ．90°解析：过A 作AE ⊥BC 于点E ，则易知AE ⊥面BB 1C 1C ，则∠ADE 即为所求，又tan ∠ADE ＝AEDE＝3，故∠ADE ＝60°.答案：C8．过点M(－2,4)作圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，且直线l 1：ax ＋3y ＋2a ＝0与l 平行，则l 1与l 间的距离是( )A.85B.25C.285D.125解析：因为点M(－2,4)在圆C 上，所以切线l 的方程为(－2－2)(x －2)＋(4－1)(y －1)＝25，即4x －3y ＋20＝0.因为直线l 与直线l 1平行，所以－a 3＝43，即a ＝－4，所以直线l 1的方程是－4x ＋3y －8＝0，即4x －3y ＋8＝0.所以直线l 1与直线l 间的距离为|20－8|42＋(－3)2＝125. 答案：D9．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，半径为5的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0解析：令a ＝0，a ＝1，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ －x －y ＋1＝0，－y ＋2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，所以C(－1,2)．则圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0.答案：C10．设P(x ，y)是圆x 2＋(y ＋4)2＝4上任意一点，则(x －1)2＋(y －1)2的最小值为( )A.26＋2B.26－2 C ．5D ．6解析：如图，设A(1,1)，(x －1)2＋(y －1)2＝|PA|，则|PA|的最小值为|AC|－r ＝26－2.答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．如图所示，Rt △A ′B ′C ′为水平放置的△ABC 的直观图，其中A′C ′⊥B ′C ′，B ′O ′＝O ′C ′＝1，则△ABC 的面积为__________．解析：由直观图画法规则将△A ′B ′C ′还原为△ABC ，如图所示，则有BO ＝OC ＝1，AO ＝2 2.∴S △ABC ＝12BC ·AO＝12×2×2 2 ＝2 2.答案：2 212．经过点P(1,2)的直线，且使A(2,3)，B(0，－5)到它的距离相等的直线方程为__________．解析：x ＝1显然符合条件；当A(2,3)，B(0，－5)在所求直线同侧时，所求直线与AB 平行，∵k AB ＝4，∴y －2＝4(x －1)，即4x －y －2＝0. 答案：4x －y －2＝0或x ＝113．与x 轴相切并和圆x 2＋y 2＝1外切的圆的圆心的轨迹方程是__________．解析：设M(x ，y)为所求轨迹上任一点，则由题意知1＋|y|＝x 2＋y 2，化简得x 2＝2|y|＋1.答案：x 2＝2|y|＋114．圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0关于直线l 1：x －y ＋4＝0与直线l 2：x ＋3y ＝0都对称，则D ＝__________，E ＝__________.解析：由题设知直线l 1，l 2的交点为已知圆的圆心．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋4＝0，x ＋3y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝1，所以－D 2＝－3，D ＝6，－E2＝1，E ＝－2.答案：6；－2三、解答题：本大题共4小题，满分50分．15．(12分)直线l 经过点P(2，－5)，且到点A(3，－2)和B(－1,6)的距离之比为1∶2，求直线l 的方程．解：∵直线l 过P(2，－5)，∴可设直线l 的方程为y ＋5＝k ·(x －2)， 即kx －y －2k －5＝0.(2分) ∴A(3，－2)到直线l 的距离为 d 1＝|k ·3－(－2)－2k －5|k 2＋1＝|k －3|k 2＋1. B(－1,6)到直线l 的距离为d 2＝|k ·(－1)－6－2k －5|k 2＋1＝|3k ＋11|k 2＋1. (6分)∵d 1∶d 2＝1∶2，∴|k －3||3k ＋11|＝12.化简得k 2＋18k ＋17＝0.(10分) 解得k 1＝－1，k 2＝－17.∴所求直线方程为x ＋y ＋3＝0或17x ＋y －29＝0.(12分)16．(12分)如图所示，已知四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的菱形，且∠ABC＝120°，PC⊥平面ABCD，PC＝a，E为PA的中点．(1)求证：平面EBD⊥平面ABCD；(2)求点E到平面PBC的距离．(1)证明：如图所示，连接AC，设AC∩BD＝O，连接OE，在△PAC中，E为PA的中点，O为AC的中点，∴OE∥PC.(2分)又PC⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD.又OE⊂平面EBD，∴平面EBD⊥平面ABCD.(4分)(2)解：∵OE∥PC，PC⊂面PBC，而OE⊄面PBC，∴OE∥面PBC，∴E到平面PBC的距离等于O到平面PBC的距离．过O在底面ABCD内作OG⊥BC于G，又平面PBC⊥面ABCD，且面PBC ∩面ABCD＝BC，∴OG ⊥面PBC ，即线段OG 的长度为点O 到平面PBC 的距离．(8分) 在菱形ABCD 中，∵∠ABC ＝120°，∴∠BCD ＝60°，∴△BCD 为正三角形，且BC ＝a ，由余弦定理可得AC ＝3a ， ∴OB ＝a 2，OC ＝32a.(10分)在Rt △BOC 中，OG ·BC ＝OB ·OC ， 即OG ·a ＝a 2·32a ，∴OG ＝34a.即E 到平面PBC 的距离为34a.(12分)17．(12分)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9内有一点P(2,2)，过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点．(1)当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程； (2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线l 的方程； (3)当直线l 的倾斜角为45°时，求弦AB 的长．解：(1)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9的圆心为C(1,0)，因直线l 过点P 、C ，所以直线l 的斜率为2.故直线l 的方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.(4分)(2)当弦AB 被点P 平分时，l ⊥PC ，直线l 的方程为y －2＝－12(x －2)，即x ＋2y －6＝0.(8分)(3)当直线l 的倾斜角为45°时，其斜率为1，直线l 的方程为y －2＝x －2，即x －y ＝0，圆心C 到直线l 的距离为12，圆的半径为3，弦AB 的长为232－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＝34.(12分)18．(14分)如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点O 、E 分别是A 1C 1、AA 1的中点，AO ⊥平面A 1B 1C 1.已知∠BCA ＝90°，AA 1＝AC ＝BC ＝2.(1)证明：OE ∥平面AB 1C 1；(2)求异面直线AB 1与A 1C 所成的角； (3)求A 1C 1与平面AA 1B 1所成角的正弦值． (1)证明：∵点O 、E 分别是A 1C 1、AA 1的中点， ∴OE ∥AC 1，又∵EO ⊄平面AB 1C 1，AC 1⊂平面AB 1C 1， ∴OE ∥平面AB 1C 1.(4分)(2)解：∵AO ⊥平面A 1B 1C 1，∴AO ⊥B 1C 1， 又∵A 1C 1⊥B 1C 1，且A 1C 1∩AO ＝O ，∴B 1C 1⊥平面A 1C 1CA ， ∴A 1C ⊥B 1C 1. 又∵AA 1＝AC ，∴四边形A 1C 1CA 为菱形， ∴A 1C ⊥AC 1，且B 1C 1∩AC 1＝C 1， ∴A 1C ⊥平面AB 1C 1，∴AB 1⊥A 1C ，即异面直线AB 1与A 1C 所成的角为90°.(9分) (3)解：设点C 1到平面AA 1B 1的距离为d ， ∵VA －A 1B 1C 1＝VC 1－AA 1B 1，即13·12·A 1C 1·B 1C 1·AO ＝13·S △AA 1B 1·d. 又∵在△AA 1B 1中，A 1B 1＝AB 1＝22， ∴S △AA 1B 1＝7. ∴d ＝2217，∴A 1C 1与平面AA 1B 1所成角的正弦值为217.(14分)。
2019_2020学年高中数学模块综合检测(含解析)新人教A版必修2
模块综合检测(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．过点A (3，－4)，B (－2，m )的直线l 的斜率为－2，则m 的值为( ) A ．6 B ．1 C ．2D ．4解析：选A 由题意知k AB ＝m ＋4－2－3＝－2，∴m ＝6. 2．圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心坐标和半径分别是( ) A ．(1，－2)，5 B ．(1，－2)， 5 C ．(－1,2)，5D ．(－1,2)， 5解析：选D 圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，其圆心是(－1,2)，半径为 5. 3．在空间直角坐标系O xyz 中，点A 在z 轴上，它到点(22，5，1)的距离是13，则点A 的坐标是( )A ．(0,0，－1)B ．(0,1,1)C ．(0,0,1)D ．(0,0,13)解析：选C 由点A 在z 轴上，可设A (0,0，z )，∵点A 到点(22，5，1)的距离是13，∴(22－0)2＋(5－0)2＋(z －1)2＝13，解得z ＝1，故A 的坐标为(0,0,1)，故选C.4．过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是( ) A ．x ＋2y －5＝0 B ．2x ＋y －4＝0 C ．x ＋3y －7＝0D ．x －2y ＋3＝0解析：选A 结合图形可知，所求直线为过点(1,2)且与原点和点(1,2)连线垂直的直线，其斜率为－12，直线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.5．若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )A ．l 与l 1，l 2都不相交B ．l 与l 1，l 2都相交C ．l 至多与l 1，l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1，l 2中的一条相交解析：选D 由直线l 1和l 2是异面直线可知l 1与l 2不平行，故l 1，l 2中至少有一条与l 相交．6．若点P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是( )A ．x －y －3＝0B ．2x ＋y －3＝0C ．x ＋y －1＝0D ．2x －y －5＝0解析：选A 设圆心为C (1,0)，则AB ⊥CP ，∵k CP ＝－1，∴k AB ＝1，∴直线AB 的方程是y ＋1＝x －2，即x －y －3＝0.7．某几何体的三视图如图所示，它的体积为( )A ．72πB ．48πC ．30πD ．24π解析：选C 根据三视图知该几何体是由半球与圆锥构成，球的半径R ＝3，圆锥半径R ＝3，高为4，所以V 组合体＝V 半球＋V 圆锥＝12×43π×33＋13π×32×4＝30π.8．直线l ：y ＝kx －1与曲线y －2x －1＝12不相交，则k 的取值是( ) A.12或3 B.12C ．3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3 解析：选A 曲线y －2x －1＝12表示直线x －2y ＋3＝0(去掉点(1,2))，则直线l ：y ＝kx －1与曲线y －2x －1＝12不相交，即直线l 与x －2y ＋3＝0平行或直线l 过点(1,2)，所以k 的取值为12或3.9．在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，若AB ＝2，AA 1＝1，则点A 到平面A 1BC 的距离为( ) A.34 B.32C.334D. 3解析：选B 因为ABC A 1B 1C 1是正三棱柱，AB ＝2，所以底面三角形ABC 的面积为3，所以VA 1ABC ＝13×3×1＝33.如图，在△A 1BC 中，A 1B ＝A 1C＝12＋22＝5，所以BC 边上的高为(5)2－1＝2，所以S △A 1BC ＝12×2×2＝2.设点A 到平面A 1BC 的距离为h ，所以13·S △A 1BC ·h ＝VA 1ABC ，解得h ＝32.10．过点P (－2,4)作圆(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，直线l 1：ax ＋3y ＋2a ＝0与l 平行，则l 1与l 间的距离是( )A.285B.125C.85D.25解析：选B 直线l 1的斜率k ＝－a3，l 1∥l ，又l 过P (－2,4)，∴l 的直线方程为y －4＝－a3(x ＋2)，即ax ＋3y ＋2a －12＝0.又直线l 与圆相切， ∴|2a ＋3×1＋2a －12|a 2＋9＝5，∴a ＝－4，∴l 1与l 的距离为d ＝125.11．若圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称，则由点(a ，b )所作的圆的切线长的最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析：选C 将圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝2，∴圆心C (－1,2)，半径r ＝ 2.∵圆C 关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称，∴直线2ax ＋by ＋6＝0过圆心，将x ＝－1，y ＝2代入直线方程得－2a ＋2b ＋6＝0，即a ＝b ＋3.∵点(a ，b )与圆心的距离d ＝(a ＋1)2＋(b －2)2，∴由点(a ，b )向圆C 所作切线长l ＝d 2－r 2＝(a ＋1)2＋(b －2)2－2＝(b ＋4)2＋(b －2)2－2＝2(b ＋1)2＋16≥4，当且仅当b ＝－1时切线长最小，最小值为4. 12．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选B 由正视图和俯视图可知，该几何体是一个半球和一个半圆柱的组合体，圆柱的半径和球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为12×4πr 2＋πr ×2r ＋πr 2＋2r ×2r ＝5πr 2＋4r 2＝16＋20π，解得r ＝2，故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若直线l 1：ax ＋y ＋2a ＝0与l 2：x ＋ay ＋3＝0互相平行，则实数a ＝________.解析：由两直线平行的条件A 1B 2－A 2B 1＝0且A 1C 2－A 2C 1≠0得⎩⎨⎧a 2－1＝0，3a －2a ≠0，得a ＝±1.答案：±114．(2018·全国卷Ⅰ)直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＋2y －3＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析：由x 2＋y 2＋2y －3＝0，得x 2＋(y ＋1)2＝4.∴圆心C (0，－1)，半径r ＝2.圆心C (0，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|1＋1|2＝2，∴|AB |＝2r 2－d 2＝24－2＝2 2. 答案：2 215．若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则r ＝________.解析：由直线与圆的位置及圆的性质，可求得圆心(0,0)到直线3x －4y ＋5＝0的距离为r2，∴|5|32＋42＝r2，∴r ＝2. 答案：216．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A BD C ，有如下三个结论． ①AC ⊥BD ；②△ACD 是等边三角形； ③AB 与平面BCD 成60°的角． 说法正确的命题序号是________．解析：如图所示，①取BD 中点E ，连接AE ，CE ，则BD ⊥AE ，BD ⊥CE ，而AE ∩CE ＝E ，∴BD ⊥平面AEC ，AC ⊂平面AEC ，故AC ⊥BD ，故①正确．②设正方形的边长为a ，则AE ＝CE ＝22a .由①知∠AEC 是直二面角A BD C 的平面角，∴∠AEC ＝90°，∴AC ＝a ，∴△ACD 是等边三角形，故②正确．③由题意及①知，AE ⊥平面BCD ，故∠ABE 是AB 与平面BCD 所成的角，而∠ABE ＝45°，所以③不正确．答案：①②三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知两条直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0，试确定m 、n 的值，使(1)l 1与l 2相交于点(m ，－1)； (2)l 1∥l 2；(3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1. 解：(1)因为l 1与l 2相交于点(m ，－1)，所以点(m ，－1)在l 1、l 2上，将点(m ，－1)代入l 2，得2m －m －1＝0，解得m ＝1. 又因为m ＝1，把(1，－1)代入l 1，所以n ＝7. 故m ＝1，n ＝7.(2)要使l 1∥l 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－16＝0，m ×(－1)－2n ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ≠－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ≠2.(3)要使l 1⊥l 2，则有m ·2＋8·m ＝0，得m ＝0. 则l 1为y ＝－n8，由于l 1在y 轴上的截距为－1， 所以－n8＝－1，即n ＝8.故m ＝0，n ＝8.18．(本小题满分12分)如图，长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝D 1F ＝4.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．解：(1)交线围成的正方形EHGF 如图所示．(2)作EM ⊥AB ，垂足为M ，则AM ＝A 1E ＝4，EB 1＝12，EM ＝AA 1＝8. 因为EHGF 为正方形，所以EH ＝EF ＝BC ＝10. 于是MH ＝EH 2－EM 2＝6，AH ＝10，HB ＝6. 故S 四边形A 1EHA ＝12×(4＋10)×8＝56，S 四边形EB 1BH ＝12×(12＋6)×8＝72.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱， 所以其体积的比值为97⎝ ⎛⎭⎪⎫79也正确. 19．(本小题12分)如图，在直三棱柱ABC A1B 1C 1中，已知AC ⊥BC ，BC＝CC 1.设AB 1的中点为D ，B 1C ∩BC 1＝E .求证：(1)DE ∥平面AA 1C 1C ； (2)BC 1⊥AB 1.证明：(1)∵B 1C 1CB 为正方形，∴E 为B 1C 的中点，又D 为AB 1中点，∴DE 为△B 1AC 的中位线，∴DE ∥AC ，又DE ⊄平面A 1C 1CA ，AC ⊂平面A 1C 1CA ，∴DE ∥平面AA 1C 1C .(2)在直三棱柱中，平面ACB ⊥平面B 1C 1CB ，又平面ACB ∩平面B 1C 1CB ＝BC ，AC ⊂平面ABC ，且AC ⊥BC ，∴AC ⊥平面B 1C 1CB ， ∴AC ⊥BC 1， 又B 1C 1CB 为正方形， ∴B 1C ⊥BC 1，AC ∩B 1C ＝C ，∴BC 1⊥平面ACB 1，又AB 1⊂平面ACB 1，∴BC 1⊥AB 1.20．(本小题满分12分)已知直线x －y ＋1＝0与圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋m ＝0交于A ，B 两点．(1)求线段AB 的垂直平分线的方程； (2)若|AB |＝22，求m 的值；(3)在(2)的条件下，求过点P (4,4)的圆C 的切线方程．解：(1)由题意，线段AB 的垂直平分线经过圆心(2,1)，斜率为－1， ∴该直线方程为y －1＝－(x －2)，即x ＋y －3＝0.(2)圆x 2＋y 2－4x －2y ＋m ＝0可化为(x －2)2＋(y －1)2＝－m ＋5. ∵|AB |＝22，∴圆心到直线的距离为－m ＋5－2＝3－m . ∵圆心(2,1)到直线的距离为d ＝|2－1＋1|2＝2，∴3－m ＝2， ∴m ＝1.(3)由题意，知圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0，即(x －2)2＋(y －1)2＝4.则点P (4,4)在圆外，过点P 的圆C 的切线有两条．①当所求切线的斜率存在时，设切线方程为y －4＝k (x －4)，即kx －y －4k ＋4＝0. 由圆心到切线的距离等于半径，得|2k －1－4k ＋4|k 2＋1＝2，解得k ＝512，所以所求切线的方程为5x －12y ＋28＝0.②当所求切线的斜率不存在时，切线方程为x ＝4. 综上，所求切线的方程为x ＝4或5x －12y ＋28＝0.21．(本小题满分12分)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．(1)请将字母F ，G ，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)； (2)判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系，并证明你的结论； (3)证明：直线DF ⊥平面BEG . 解：(1)点F ，G ，H 的位置如图所示．(2)平面BEG ∥平面ACH .证明如下：因为ABCD EFGH 为正方体，所以BC ∥FG ，BC ＝FG . 又FG ∥EH ，FG ＝EH ，所以BC ∥EH ，BC ＝EH ， 于是四边形BCHE 为平行四边形， 所以BE ∥CH .又CH ⊂平面ACH ，BE ⊄平面ACH ， 所以BE ∥平面ACH . 同理BG ∥平面ACH . 又BE ∩BG ＝B ，所以平面BEG ∥平面ACH .(3)证明：连接FH ，与EG 交于点O ，连接BD . 因为ABCD EFGH 为正方体， 所以DH ⊥平面EFGH .因为EG ⊂平面EFGH ，所以DH ⊥EG .又EG ⊥FH ，DH ∩FH ＝H ，所以EG ⊥平面BFH D. 又DF ⊂平面BFHD ，所以DF ⊥EG . 同理DF ⊥BG . 又EG ∩BG ＝G ， 所以DF ⊥平面BEG .22．(本小题满分12分)已知以点C ⎝⎛⎭⎪⎫t ，3t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆过原点O .(1)设直线3x ＋y －4＝0与圆C 交于点M ，N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程；(2)在(1)的条件下，设B (0,2)，且P ，Q 分别是直线l ：x ＋y ＋2＝0和圆C 上的动点，求|PQ |－|PB |的最大值及此时点P 的坐标．解：(1)∵|OM |＝|ON |，∴原点O 在线段MN 的垂直平分线上．设MN 的中点为H ，则CH ⊥MN ，∴C ，H ，O 三点共线． ∵直线MN 的方程是3x ＋y －4＝0，∴直线OC 的斜率k ＝3t t ＝3t 2＝13，解得t ＝3或t ＝－3，∴圆心为C (3,1)或C (－3，－1)．∴圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝10.由于当圆的方程为(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝10时，圆心到直线3x ＋y －4＝0的距离d ＞r ，此时不满足直线与圆相交，故舍去．∴圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.(2)由题意可知|PQ |－|PB |≤|BQ |，当B ，P ，Q 三点共线时，等号成立． 又B ，C ，Q 三点共线且|BQ |＝|BC |＋|CQ |时|BQ |最大， 此时|BQ |＝|BC |＋10＝210.∵B (0,2)，C (3,1)，∴直线BC 的方程为y ＝－13x ＋2，∴直线BC 与直线x ＋y ＋2＝0的交点的坐标为(－6,4)． 故|PQ |－|PB |的最大值为210，此时点P 的坐标为(－6,4)．。
高中数学必修二模块综合测试卷(1)
高中数学必修二模块综合测试卷(一)一、选择题：（共10小题，每小题5分）1. 在平面直角坐标系中，已知(1,2)A -，(3,0)B ，那么线段AB 中点的坐标为（ ） A ．(2,1)- B ． (2,1) C ．(4,2)- D ．(1,2)-2. 直线y kx =与直线21y x =+垂直，则k 等于（ ） A ．2- B ．2 C ．12-D ．133．圆2240x y x +-=的圆心坐标和半径分别为（ ）A ．(0,2),2B ．(2,0),4C ．(2,0),2-D ．(2,0),2 4. 在空间直角坐标系中，点(2,1,4)-关于x 轴的对称点的坐标为（ ） A ．(2,1,4)-- B ．(2,1,4)- C ．(2,1,4)--- D ．(2,1,4)- 5. 将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为（ ）A ．2πB ．4πC ．8πD ．16π6. 下列四个命题中错误的．．．是（ ） A ．若直线a 、b 互相平行，则直线a 、b 确定一个平面 B ．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线 C ．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线 D ．两条异面直线不可能垂直于同一个平面7. 关于空间两条直线a 、b 和平面α，下列命题正确的是（ ） A ．若//a b ，b α⊂，则//a α B ．若//a α，b α⊂，则//a b C ．若//a α，//b α，则//a b D ．若a α⊥，b α⊥，则//a b8. 20y +-=截圆224x y +=得到的弦长为（ ）A ．1B ．C ．D ． 29. 如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，且直角三角形的直角边 长为1，那么这个几何体的体积为（ ） A ．16 B ．13 C ．12D ．1 10．如右图，定圆半径为a ，圆心为(,)b c ，则直线0ax by c ++= 与直线10x y +-=的交点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 二、填空题：（共4小题，每小题5分）11. 点(2,0)到直线1y x =-的距离为_______.12. 已知直线a 和两个不同的平面α、β，且a α⊥，a β⊥，则α、β的位置关系是_____.13. 圆2220x y x +-=和圆2240x y y ++=的位置关系是________.14. 将边长为1的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得平面ADC ⊥平面ABC ，在折起后形成的三棱锥D ABC -中，给出下列三个命题：①面DBC 是等边三角形； ②AC BD ⊥； ③三棱锥D ABC -的体积是6. 其中正确命题的序号是_________.（写出所有正确命题的序号）三、解答题：（共6小题）15. （本小题满分12分）如图四边形ABCD 为梯形，//AD BC ，90ABC ∠=︒，求图中阴影部分绕AB 旋转一周所形成的几何体的表面积和体积。
2022届高中数学新教材同步选择性必修第二册 综合检测试卷(一)
综合检测试卷(一)(时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．等比数列{a n }中，a 5，a 7是函数f (x )＝x 2－4x ＋3的两个零点，则a 3·a 9等于( ) A ．－3 B ．3 C ．－4 D ．4 答案 B解析 ∵a 5，a 7是函数f (x )＝x 2－4x ＋3的两个零点，∴a 5，a 7是方程x 2－4x ＋3＝0的两个根， ∴a 5·a 7＝3，由等比数列的性质可得a 3·a 9＝a 5·a 7＝3. 2．设函数f (x )＝ax 3＋b ，若f ′(－1)＝3，则a 的值为( ) A ．－1 B.12 C ．1 D.13答案 C解析 ∵f ′(x )＝3ax 2 ， ∴f ′(－1)＝3a ＝3， ∴a ＝1.3．S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12为( )A.310B.13C.18D.19 答案 A解析 设S 3＝a ，S 6＝3a ，根据S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9是一个首项为a ，公差为a 的等差数列， 各项分别为a ,2a ,3a ,4a ， 故S 6S 12＝3a a ＋2a ＋3a ＋4a ＝310. 4．函数f (x )＝e x －x (e 为自然对数的底数)在区间[－1,1]上的最大值是( ) A ．1＋1e B ．1 C ．e ＋1 D ．e －1答案 D解析 f ′(x )＝e x －1，令f ′(x )＝0，得x ＝0.又f (0)＝e 0－0＝1，f (1)＝e －1>1，f (－1)＝1e ＋1>1，且e －1－⎝⎛⎭⎫1＋1e ＝e －1e －2＝e 2－2e －1e>0， 所以f (x )max ＝f (1)＝e －1.5．函数y ＝1ln x的大致图象可能是( )答案 D解析 当x ＝e 时，y ＝1，即函数过点(e,1)，排除A ； ∵y ＝1ln x ，∴y ′＝－1x (ln x )2，x >0且x ≠1，当x >1时，函数单调递减；当0<x <1时，函数单调递减，排除B ，C.6．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＋a 4＝94，S 6＝9S 3.若b n ＝log 2a n ，则数列{b n }的前10项和是( )A ．－35B ．－25C ．25D ．35 答案 C解析设等比数列{a n}的公比为q .由题意知q ≠1，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q 3)＝94，a 11－q (1－q 6)＝9a11－q (1－q 3)，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，q ＝2，所以a n ＝14×2n －1＝2n －3，所以b n ＝n －3，所以数列{b n }的前10项和T 10＝10(b 1＋b 10)2＝5×(－2＋7)＝25. 7．中国明代商人程大位对文学和数学颇感兴趣，他于60岁时完成杰作《直指算法统宗》．这是一本风行东亚的数学名著，该书第五卷有问题云：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”翻译成现代文为：今有白米一百八十石，甲、乙、丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少石米？请你计算甲应该分得( ) A ．78石 B ．76石 C ．75石 D ．74石答案 A解析 今有白米一百八十石，甲、乙、丙三个人来分，设他们分得的米数构成等差数列{a n }，只知道甲比丙多分三十六石，因此公差d ＝a 3－a 13－1＝－362＝－18，则前3项和S 3＝3a 1＋3×22×(－18)＝180，解得a 1＝78.所以甲应该分得78石．8．已知f (x )为定义在R 上的可导函数，f ′(x )为其导函数，且f (x )<f ′(x )恒成立，其中e 是自然对数的底数，则( ) A ．f (2 020)<e f (2 021) B ．e f (2 020)<f (2 021) C ．e f (2 020)＝f (2 021) D ．e f (2 020)>f (2 021)答案 B解析 令F (x )＝f (x )e x ，则F ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x ，由于f (x )<f ′(x )，所以F ′(x )>0，故函数F (x )在R 上单调递增，所以F (2 021)>F (2 020)， 故f (2 021)e 2 021>f (2 020)e2 020， 即e f (2 020)<f (2 021)．二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9．如图是导数y ＝f ′(x )的图象，下列说法正确的是( )A ．(－1,3)为函数y ＝f (x )的单调递增区间B ．(3,5)为函数y ＝f (x )的单调递减区间C ．函数y ＝f (x )在x ＝0处取得极大值D ．函数y ＝f (x )在x ＝5处取得极小值 答案 ABD解析 由题图，可知当x <－1或3<x <5时，f ′(x )<0；当x >5或－1<x <3时，f ′(x )>0，所以函数y ＝f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，(3,5)，单调递增区间为(－1,3)，(5，＋∞)，所以函数y ＝f (x )在x ＝－1，x ＝5处取得极小值，在x ＝3处取得极大值，故选项C 说法错误，A ，B ，D 正确．10．等差数列{a n }是递增数列，满足a 7＝3a 5，前n 项和为S n ，下列选项正确的是( ) A ．d >0B ．a 1<0C ．当n ＝5时，S n 最小D ．S n >0时，n 的最小值为8答案 ABD解析 由题意，设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 7＝3a 5，可得a 1＋6d ＝3(a 1＋4d )，解得a 1＝－3d ，又由等差数列{a n }是递增数列，可知d >0，则a 1<0，故A ，B 正确； 因为S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ＝d 2n 2－7d 2n ＝d 2⎝⎛⎭⎫n －722－49d8， 由n ∈N *可知，当n ＝3或4时，S n 最小，故C 错误；令S n ＝d 2n 2－7d2n >0，解得n <0或n >7，即S n >0时，n 的最小值为8，故D 正确．11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 15>0，S 16<0，则( ) A ．a 8>0 B ．a 9<0C.S 1a 1，S 2a 2，…，S 15a 15中最大的项为S 9a 9 D.S 1a 1，S 2a 2，…，S 15a 15中最大的项为S 8a 8 答案 ABD解析 由S 15＝15(a 1＋a 15)2＝15a 8>0，得a 8>0，A 正确；由S 16＝16(a 1＋a 16)2＝16(a 9＋a 8)2<0，得a 9＋a 8<0，所以a 9<0，且d <0，B 正确；因为d <0，所以数列{a n }为递减数列，所以a 1，…，a 8为正，a 9，…，a n 为负，且S 1，…，S 15为正，S 16，…，S n 为负，则S 1a 1，…，S 8a 8为正，S 9a 9，…，S 15a 15为负，C 错误；当n ≤8时，S n 单调递增，a n 单调递减，所以S n a n 单调递增，所以S 1a 1，S 2a 2，…，S 15a 15中最大的项为S 8a 8，D 正确． 12．若函数f (x )＝e x －1与g (x )＝ax 的图象恰有一个公共点，则实数a 的可能取值为( ) A ．2 B ．0 C ．1 D ．－1答案 BCD解析 f (x )＝e x －1与g (x )＝ax 恒过(0,0)，如图，当a ≤0时，两函数图象恰有一个公共点，当a >0时，函数f (x )＝e x －1与g (x )＝ax 的图象恰有一个公共点， 则g (x )＝ax 为f (x )＝e x －1的切线，且切点为(0,0)， 由f ′(x )＝e x ，所以a ＝f ′(0)＝e 0＝1， 综上所述，a 的可能取值为0，－1或1.三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．若函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，则a ＝________. 答案 3解析 由f (x )＝－x 3＋ax 2－4， 可得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，因为x ＝2是函数f (x )的极值点，可得f ′(2)＝0， 所以－3×4＋2a ×2＝0，解得a ＝3.14．若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n －1，则它的通项公式a n ＝________. 答案 2×3n －1解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n －1－(3n －1－1)＝2×3n －1， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，也满足式子a n ＝2×3n －1， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2×3n －1.15．在数列{a n }中，已知a 1＝2，a n a n －1＝2a n －1－1(n ≥2，n ∈N *)，记数列{a n }的前n 项之积为T n ，若T n ＝2 021，则n 的值为________． 答案 2 020 解析 由a n a n －1＝2a n －1－1(n ≥2，n ∈N *)及a 1＝2，得a 2＝32，a 3＝43，a 4＝54，…，a n ＝n ＋1n.数列{a n }的前n 项之积为 T n ＝21×32×43×…×n ＋1n＝n ＋1.∴当T n ＝2 021时，n 的值为2 020.16．若函数f (x )＝ax 3－32x 2＋1存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，－22解析 当a ＝0时，f (x )＝－32x 2＋1有两个零点，不符合题意；当a ≠0时，f ′(x )＝3ax 2－3x ＝3x (ax －1)， 令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝1a.①若a >0，则1a >0，令f ′(x )>0，得x <0或x >1a ；令f ′(x )<0，得0<x <1a，则f (x )在(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递减；又f (－1)＝－a －12<0，f (0)＝1，则此时f (x )在(－∞，0)上存在零点，不符合题意．②若a <0，则1a <0，令f ′(x )>0，得1a <x <0；令f ′(x )<0，得x <1a 或x >0，则f (x )在⎝⎛⎭⎫1a ，0上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－∞，1a ，(0，＋∞)上单调递减． 要使存在唯一的零点x 0且x 0>0，则满足f ⎝⎛⎭⎫1a ＝1－12a 2>0，解得a <－22， 综上，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－22. 四、解答题(本题共6小题，共70分)17．(10分)已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝3，a n b n ＋b n ＝nb n ＋1. (1)求{a n }的通项公式； (2)求{b n }的前n 项和．解 (1)由已知b 1＝1，b 2＝3，a 1b 1＋b 1＝b 2，得a 1＝2， ∴数列{a n }是以2为首项，3为公差的等差数列， ∴a n ＝2＋3(n －1)＝3n －1(n ∈N *)． (2)由(1)知，(3n －1)b n ＋b n ＝nb n ＋1， 即b n ＋1＝3b n ，∴数列{b n }是以1为首项，3为公比的等比数列，记{b n }的前n 项和为S n ， 则S n ＝1－3n 1－3＝3n －12(n ∈N *)．18．(12分)已知函数f (x )＝12x 2＋a ln x .(1)若a ＝－1，求函数f (x )的极值，并指出是极大值还是极小值； (2)若a ＝1，求函数f (x )在[1，e]上的最大值和最小值． 解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 当a ＝－1时，f ′(x )＝x －1x ＝(x ＋1)(x －1)x ，令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1(舍去)， 当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0， 函数f (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0， 函数f (x )单调递增，所以f (x )在x ＝1处取得极小值，极小值为12，无极大值．(2)当a ＝1时，易知函数f (x )在[1，e]上单调递增， 所以f (x )min ＝f (1)＝12，f (x )max ＝f (e)＝12e 2＋1.19．(12分)在等差数列{a n }中，a 2＝3，a 5＝9，在等比数列{b n }中，b 1＝a 2，b 2＝a 5. (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)若c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和T n .解 (1)在等差数列{a n }中，设首项为a 1，公差为d . 由a 2＝3，a 5＝9，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝a 1＋d ＝3，a 5＝a 1＋4d ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.所以a n ＝2n －1. 又设{b n }的公比为q ，由b 1＝a 2＝3，b 2＝a 5＝9，得q ＝3， 所以b n ＝3n .(2)c n ＝a n b n ＝(2n －1)·3n ，T n ＝3＋3×32＋5×33＋…＋(2n －1)·3n ，①3T n ＝32＋3×33＋5×34＋…＋(2n －3)×3n ＋(2n －1)·3n ＋1，② 由①－②得－2T n ＝3＋2(32＋33＋34＋…＋3n )－(2n －1)·3n ＋1 ＝3＋2×9(1－3n －1)1－3－(2n －1)·3n ＋1＝－6＋2(1－n )·3n ＋1， 所以T n ＝3＋(n －1)·3n ＋1.20．(12分)正项数列{a n }的前n 项和S n 满足S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝n ＋1(n ＋2)2a 2n，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：对于任意的n ∈N *，都有T n <564. (1)解 由S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0，得[S n －(n 2＋n )](S n ＋1)＝0.由于数列{a n }是正项数列，所以S n >0，所以S n ＝n 2＋n . 则a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n ， 又a 1＝2＝2×1满足上式．综上，数列{a n }的通项公式为a n ＝2n (n ∈N *)．(2)证明 因为a n ＝2n ，所以b n ＝n ＋1(n ＋2)2a 2n＝n ＋14n 2(n ＋2)2＝116⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n 2－1(n ＋2)2.T n ＝116⎣⎡⎦⎤1－132＋122－142＋132－152＋…＋1(n －1)2－1(n ＋1)2＋1n 2－1(n ＋2)2＝116⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋122－1(n ＋1)2－1(n ＋2)2<116⎝⎛⎭⎫1＋122＝564. 所以对于任意的n ∈N *，都有T n ＜564.21．(12分)某商场销售某件商品的经验表明，该商品每日的销量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求实数a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出最大值． 解 (1)∵当x ＝5时，y ＝11， ∴由函数式y ＝ax －3＋10(x －6)2， 得a2＋10＝11， ∴a ＝2.(2)由(1)知该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(x －6)2，∴商场每日销售该商品所获得的利润为f (x )＝(x －3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10(x －6)2＝2＋10(x －3)(x －6)2,3<x <6， f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)] ＝30(x －4)(x －6)， 令f ′(x )＝0，得x ＝4，当3<x <4时，f ′(x )>0，函数f (x )在(3,4)上单调递增； 当4<x <6时，f ′(x )<0，函数f (x )在(4,6)上单调递减，∴当x ＝4时，函数f (x )取得最大值f (4)＝42，∴当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42. 22．(12分)已知函数f (x )＝3(x －1)－2x ln x . (1)求f (x )的单调递增区间；(2)当x ≥1时，f (x )≤a ln x 恒成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)因为函数f (x )＝3(x －1)－2x ln x ， 所以f ′(x )＝1－2ln x ， 令f ′(x )>0， 解得0<x <12e ，所以f (x )的单调递增区间为120,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭.(2)因为当x ≥1时，f (x )≤a ln x 恒成立，所以当x ≥1时，3(x －1)－2x ln x －a ln x ≤0恒成立， 令g (x )＝3(x －1)－2x ln x －a ln x ，则g (1)＝0， 且g ′(x )＝x －a －2x ln xx ，令h (x )＝x －a －2x ln x ，则h ′(x )＝－1－2ln x ，h (1)＝1－a ， 因为当x ≥1 时，h ′(x )≤0恒成立， 所以h (x )在[1，＋∞)上单调递减．当a ≥1时，h (x )≤h (1)≤0，g (x )在[1，＋∞)上单调递减， 故g (x )≤g (1)＝0, 符合要求；当a ∈(－e,1)时，h (1)>0，h (e)＝－e －a <0，h (x )单调递减， 故存在x 0∈(1，e)使得h (x 0)＝0，则当x ∈(1，x 0)时，h (x )>0，g (x )单调递增，g (x )>g (1)＝0，不符合要求；当a ∈(－∞，－e]时，12e a h -⎛⎫ ⎪⎝⎭＝12e 1a a -⎛⎫- ⎪⎝⎭<0，h (x )单调递减，故存在x0∈121,ea-⎛⎫⎪⎝⎭使得h(x0)＝0,则当x∈(1，x0) 时，h(x)>0，g(x)单调递增，g(x)>g(1)＝0，不符合要求．综上a≥1.。
2021-2022学年人教版高中数学必修二教材用书：模块综合检测(一) Word版含答案
模块综合检测(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(共10小题，每小题6分，共60分)1．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为()答案：C2．如图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是()A．6πB．12πC．18π D．24π答案：B3．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2 cm，则球的表面积是()A．8π cm2B．12π cm2C．2π cm2D．20π cm2答案：B4．已知高为3的直棱柱ABC-A′B′C′的底面是边长为1的正三角形(如图所示)，则三棱锥B′-ABC 的体积为()A.14 B.12C.36 D.34答案：D5．已知直线l1经过两点(－1，－2)，(－1,4)，直线l2经过两点(2,1)，(x,6)，且l1∥l2，则等于() A．2 B．－2C．4 D．1答案：A6．一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其体积等于()A．6 B．2C. 3 D．2 3答案：C7．当0＜r≤8时，两圆x2＋y2＝9与(x－3)2＋(y－4)2＝r2的位置关系为()A．相交B．相切C．相交或相切D．相交、相切或相离答案：D8．过点(0，－1)的直线l与半圆C：x2＋y2－4x＋3＝0(y≥0)有且只有一个交点，则直线l的斜率k的取值范围为()A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫kk＝0或k＝43B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫k13≤k＜1C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫kk＝43或13≤k＜1D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫kk＝43或13≤k≤1答案：C9．在四周体A-BCD中，棱AB，AC，AD两两相互垂直，则顶点A在底面BCD上的投影H为△BCD的()A．垂心B．重心C．外心D．内心答案：A10．过直线y＝x上的一点作圆(x－5)2＋(y－1)2＝2的两条切线l1，l2，当直线l1，l2关于y＝x对称时，它们之间的夹角为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案：C二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)11．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．答案：12π12．已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α⊥β；⑤α∥β.(1)当满足条件________时，有m∥β；(2)当满足条件________时，有m⊥β.(填所选条件的序号)答案：(1)③⑤(2)②⑤13．如图，将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得平面ADC⊥平面ABC，在折起后形成的三棱锥D-ABC中，给出下列三种说法：①△DBC是等边三角形；②AC⊥BD；③三棱锥D-ABC 的体积是2 6.其中正确的序号是________(写出全部正确说法的序号)．答案：①②14．已知直线l经过点P(－4，－3)，且被圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝25截得的弦长为8，则直线l的方程是________．答案：4x＋3y＋25＝0或x＝－4三、解答题(共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分10分)已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l经过点D(－2,0)，且斜率为k.(1)求以线段CD为直径的圆E的方程；(2)若直线l与圆C相离，求k的取值范围．解：(1)将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0配方得标准方程为x2＋(y－4)2＝4，则此圆的圆心为C(0,4)，半径为2.所以CD的中点E(－1,2)，|CD|＝22＋42＝25，所以r＝5，故所求圆E的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5.(2)直线l的方程为y－0＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.若直线l与圆C相离，则有圆心C到直线l的距离|0－4＋2k|k2＋1＞2，解得k＜34.所以k的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，34.16．(本小题满分12分)某几何体的三视图如图所示，P是正方形ABCD对角线的交点，G是PB的中点．(1)依据三视图，画出该几何体的直观图．(2)在直观图中，①证明：PD∥平面AGC；②证明：平面PBD⊥平面AGC.解：(1)该几何体的直观图如图①所示．(2)证明：如图②.①连接AC，BD交于点O，连接OG，由于G为PB的中点，O 为BD的中点，所以OG∥PD.又OG⊂平面AGC，PD⊄平面AGC，所以PD∥平面AGC.②连接PO，由三视图，PO⊥平面ABCD，所以AO⊥PO.又AO⊥BO，BO∩PO＝O，所以AO ⊥平面PBD .由于AO ⊂平面AGC ，所以平面PBD ⊥平面AGC .17．(本小题满分12分)已知点P (2,0)，及圆C ：x 2＋y 2－6x ＋4y ＋4＝0. (1)当直线l 过点P 且与圆心C 的距离为1时，求直线l 的方程；(2)设过点P 的直线与圆C 交于A 、B 两点，当|AB |＝4时，求以线段AB 为直径的圆的方程． 解：(1)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的斜率为k ，则方程为y －0＝k (x －2)， 又圆C 的圆心为(3，－2)，r ＝3，由|3k －2k ＋2|k 2＋1＝1⇒k ＝－34.所以直线l 的方程为y ＝－34(x －2)，即3x ＋4y －6＝0，当k 不存在时，l 的方程为x ＝2，符合题意． (2)由弦心距d ＝ r 2－⎝⎛⎭⎫|AB |22＝5，又|CP |＝5，知P 为AB 的中点，故以AB 为直径的圆的方程为(x－2)2＋y 2＝4.18．(本小题满分12分)多面体P -ABCD 的直观图及三视图如图所示，其中正视图、侧视图是等腰直角三角形，俯视图是正方形，E 、F 、G 分别为PC 、PD 、BC 的中点．(1)求证：PA ∥平面EFG ； (2)求三棱锥P -EFG 的体积．解：(1)法一：如图，取AD 的中点H ，连结GH ，FH . ∵E ，F 分别为PC ，PD 的中点，∴EF ∥CD . ∵G 、H 分别为BC 、AD 的中点，∴GH ∥CD . ∴EF ∥GH .∴E ，F ，H ，G 四点共面．∵F ，H 分别为DP 、DA 的中点，∴PA ∥FH .∵PA ⊄平面EFG ，FH ⊂平面EFG ， ∴PA ∥平面EFG .法二：∵E ，F ，G 分别为PC ，PD ，BC 的中点． ∴EF ∥CD ，EG ∥PB . ∵CD ∥AB ， ∴EF ∥AB .∵PB ∩AB ＝B ，EF ∩EG ＝E ， ∴平面EFG ∥平面PAB . ∵PA ⊂平面PAB ， ∴PA ∥平面EFG .(2)由三视图可知，PD ⊥平面ABCD ， 又∵GC ⊂平面ABCD ， ∴GC ⊥PD .∵四边形ABCD 为正方形， ∴GC ⊥CD . ∵PD ∩CD ＝D ，∴GC ⊥平面PCD .∵PF ＝12PD ＝1，EF ＝12CD ＝1，∴S △PEF ＝12EF ·PF ＝12.∵GC ＝12BC ＝1，∴V P －EFG ＝V G －PEF ＝13S △PEF ·GC ＝13×12×1＝16.19．(本小题满分12分)已知圆C ：x 2＋(y －a )2＝4，点A (1,0)．(1)当过点A 的圆C 的切线存在时，求实数a 的取值范围； (2)设AM ，AN 为圆C 的两条切线，M ，N 为切点，当MN ＝455时，求MN 所在直线的方程． 解：(1)过点A 的切线存在，即点A 在圆外或圆上， ∴1＋a 2≥4，∴a ≥ 3或a ≤－ 3.即实数a 的取值范围是(－∞，－3]∪[3，＋∞)．(2)如图所示，设MN 与AC 交于点D . ∵MN ＝455，∴DM ＝255.又MC ＝2，∴CD ＝4－45＝455. ∴cos ∠MCA ＝4552＝255，∴AC ＝2255＝5，OC ＝2，AM ＝1，MN 是以A 为圆心，半径AM ＝1的圆A 与圆C 的公共弦，圆A 的方程为(x －1)2＋y 2＝1， 圆C 的方程为x 2＋(y －2)2＝4或x 2＋(y ＋2)2＝4，∴MN 所在直线方程为(x －1)2＋y 2－1－x 2－(y －2)2＋4＝0，即x －2y ＝0，或(x －1)2＋y 2－1－x 2－(y ＋2)2＋4＝0，即x ＋2y ＝0.因此，MN 所在的直线方程为x －2y ＝0或x ＋2y ＝0.20．(本小题满分12分)(四川高考)如图，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠PAB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD .(1)在平面PAD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PAB ，并说明理由；(2)证明：平面PAB ⊥平面PBD .解：(1)取棱AD 的中点M (M ∈平面PAD )，点M 即为所求的一个点．理由如下：连接MC ，由于AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以BC ∥AM ，且BC ＝AM .所以四边形AMCB 是平行四边形， 所以CM ∥AB .又AB ⊂平面PAB ，CM ⊄平面PAB ， 所以CM ∥平面PAB .(说明：取棱PD 的中点N ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点) (2)证明：由已知，PA ⊥AB ，PA ⊥CD ，由于AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以直线AB 与CD 相交，所以PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥BD .连接BM .由于AD ∥BC ，BC ＝12AD ，M 为AD 的中点，所以BC ∥MD ，且BC ＝MD ，所以四边形BCDM 是平行四边形， 所以BM ＝CD ＝12AD ，所以BD ⊥AB .又AB ∩AP ＝A ，所以BD ⊥平面PAB . 又BD ⊂平面PBD ，所以平面PAB ⊥平面PBD .。
高中数学必修二模块综合测试卷-6页精选文档
高中数学必修二模块综合测试卷(一) 满分：150分 时间：120分钟一、选择题：（共10小题，每小题5分）1. 在平面直角坐标系中，已知(1,2)A -，(3,0)B ，那么线段AB 中点的坐标为（ ） A ．(2,1)- B ． (2,1) C ．(4,2)- D ．(1,2)-2. 直线y kx =与直线21y x =+垂直，则k 等于（ ） A ．2- B ．2 C ．12-D ．133．圆2240x y x +-=的圆心坐标和半径分别为（ ）A ．(0,2),2B ．(2,0),4C ．(2,0),2-D ．(2,0),2 4. 在空间直角坐标系中，点(2,1,4)-关于x 轴的对称点的坐标为（ ） A ．(2,1,4)-- B ．(2,1,4)- C ．(2,1,4)--- D ．(2,1,4)- 5. 将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为（ ）A ．2πB ．4πC ．8πD ．16π 6. 下列四个命题中错误的．．．是（ ） A ．若直线a 、b 互相平行，则直线a 、b 确定一个平面 B ．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线C ．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线D ．两条异面直线不可能垂直于同一个平面7. 关于空间两条直线a 、b 和平面α，下列命题正确的是（ ） A ．若//a b ，b α⊂，则//a α B ．若//a α，b α⊂，则//a b C ．若//a α，//b α，则//a b D ．若a α⊥，b α⊥，则//a b8.20y +-=截圆224x y +=得到的弦长为（ ）A ．1B ．C ．D ． 2 9. 如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，且直角三角形的直角边 长为1，那么这个几何体的体积为（ ） A ．16 B ．13 C ．12D ．1主视图左视图俯视图10．如右图，定圆半径为a ，圆心为(,)b c ，则直线0ax by c ++= 与直线10x y +-=的交点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 二、填空题：（共4小题，每小题5分）11. 点(2,0)到直线1y x =-的距离为_______.12. 已知直线a 和两个不同的平面α、β，且a α⊥，a β⊥，则α、β的位置关系是_____. 13. 圆2220x y x +-=和圆2240x y y ++=的位置关系是________.14. 将边长为1的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得平面ADC ⊥平面ABC ，在折起后形成的三棱锥D ABC -中，给出下列三个命题：①面DBC 是等边三角形； ②AC BD ⊥； ③三棱锥D ABC -的体积是6. 其中正确命题的序号是_________.（写出所有正确命题的序号）三、解答题：（共6小题）15. （本小题满分12分）如图四边形ABCD 为梯形，//AD BC ，90ABC ∠=︒，求图中阴影部分绕AB 旋转一周所形成的几何体的表面积和体积。
2021学年高中数学模块综合检测1含解析新人教A版必修第二册
模块综合检测(一)(满分：150分 时间：120分钟)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在等比数列{a n }中，若a 2＝4，a 5＝－32，则公比q 应为( )A ．±12B ．±2C ．12D ．－2 D [因为a 5a 2＝q 3＝－8，故q ＝－2.]2．若f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(0)等于( )A ．2B ．0C ．－2D ．－4D [∵f ′(x )＝2f ′(1)＋2x ，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋2，f ′(1)＝－2，f ′(0)＝2f ′(1)＝－4，选D.]3．在等差数列{a n }中，a 1＝1，且a 2－a 1，a 3－a 1，a 4＋a 1成等比数列，则a 5＝( )A ．7B ．8C ．9D ．10C [设等差数列{a n }的公差为d ，由a 2－a 1，a 3－a 1，a 4＋a 1成等比数列，则(a 3－a 1)2＝(a 2－a 1)(a 4＋a 1)，即(2d )2＝d ·(2＋3d )，解得d ＝2或d ＝0(舍去)，所以a 5＝a 1＋4d ＝1＋4×2＝9，故选C.]4．设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax .若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝xD [因为函数f (x )是奇函数，所以a －1＝0，解得a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，f (0)＝0，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y －f (0)＝f ′(0)x ，化简可得y ＝x ，故选D.]5．据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多n (n 为常数)盏，底层的灯数是顶层的13倍，则塔的底层共有灯( )A ．2盏B ．3盏C ．26盏D ．27盏C [设最顶层有x 盏灯，则最下面一层有(x ＋8n )盏，x ＋8n ＝13x ，8n ＝13x －x ，8n ＝12x ，x ＝23n ，x ＋(x ＋n )＋(x ＋2n )＋(x ＋3n )＋…＋(x ＋8n )＝126，9x ＋(1＋2＋3＋…＋8)n ＝126，9x ＋36n ＝126，9×23n ＋36n ＝126，6n ＋36n ＝126，42n ＝126，n ＝126÷42＝3，x ＝3×23＝2(盏)，所以最下面一层有灯13×2＝26(盏)，故选C.]6．若函数f (x )＝e x (sin x ＋a )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A ．[)2，＋∞B ．[1，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(－2，＋∞)B [由题意得：f ′(x )＝e x (sin x ＋a )＋e x cos x ＝e x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a . ∵f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递增，∴f ′(x )≥0在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上恒成立． 又e x ＞0，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a ≥0在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上恒成立．当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2时，x ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，3π4， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－22，1. ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a ∈(－1＋a ，2＋a ]，∴－1＋a ≥0，解得a ∈[1，＋∞)．故选B.]7．若数列{a n }的前n 项和是S n ＝n 2－4n ＋2，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝( )A ．15B ．35C ．66D ．100 C [易得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －5，n ≥2.|a 1|＝1，|a 2|＝1，|a 3|＝1，令a n >0则2n －5>0，∴n ≥3.∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝1＋1＋a 3＋…＋a 10＝2＋(S 10－S 2)＝2＋[(102－4×10＋2)－(22－4×2＋2)]＝66.]8．若函数f (x )＝12x 2－2x ＋a ln x 有唯一一个极值点，则实数a 的取值范围是( )A ．a ＜0B ．a ＜0或a ＝1C ．a ≤0D ．a ≤0或a ＝1 C [函数f (x )＝12x 2－2x ＋a ln x 有唯一一个极值点，则导函数有唯一的大于0的变号零点，f ′(x )＝x －2＋a x ＝0，变形为－a ＝x 2－2x (x ＞0)．画出y ＝x 2－2x (x ＞0)，y ＝－a 的图象，使得两个函数图象有唯一一个交点，并且交点的横坐标大于0，故－a ≥0或－a ＝－1，化简为a ≤0或a ＝1.因为a ＝1时，f ′(x )＝(x －1)2x ≥0不符合题意，所以a ≤0.故选C.]二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．若S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝2a n ＋1(n ∈N *)，则下列说法正确的是( )A ．a 5＝－16B ．S 5＝－63C ．数列{}a n 是等比数列D ．数列{}S n ＋1是等比数列AC [因为S n 为数列{}a n 的前n 项和，且S n ＝2a n ＋1(n ∈N *)，所以S 1＝2a 1＋1，因此a 1＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1，所以数列{}a n 是以－1为首项，以2为公比的等比数列，故C 正确；因此a 5＝－1×24＝－16，故A 正确；又S n ＝2a n ＋1＝－2n ＋1，所以S 5＝－25＋1＝－31，故B 错误；因为S 1＋1＝0，所以数列{}S n ＋1不是等比数列，故D 错误．故选AC.]10．定义在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，4上的函数f (x )的导函数f ′(x )图象如图所示，则下列结论正确的是( )A ．函数f (x )在区间(0，4)单调递增B ．函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0单调递减 C ．函数f (x )在x ＝1处取得极大值D ．函数f (x )在x ＝0处取得极小值ABD [根据导函数图象可知，f (x )在区间(－12，0)上，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，在区间(0，4)上，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，所以f (x )在x ＝0处取得极小值，没有极大值，所以A 、B 、D 选项正确，C 选项错误．故选ABD]11．已知数列{}a n 是等比数列，有下列四个命题，其中正确的命题有( )A ．数列{}||a n 是等比数列B ．数列{}a n a n ＋1是等比数列C ．数列{}lg a 2n 是等比数列 D ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等比数列 ABD [根据题意，数列{}a n 是等比数列，设其公比为q ，则a n ＋1a n＝q ， 对于A ，对于数列{}|a n |，则有||a n ＋1||a n ＝||q ，为等比数列，A 正确； 对于B ，对于数列{}a n a n ＋1，有a n a n ＋ 1 a n －1 a n ＝ q 2，为等比数列，B 正确； 对于C ，对于数列{}lg a 2n ，若a n ＝1，数列{}a n 是等比数列，但数列{}lg a 2n 不是等比数列，C 错误；对于D ，对于数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，有1a n 1a n －1＝a n －1a n＝1q ，为等比数列，D 正确．故选ABD.] 12．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx ＋c ，下列结论中正确的是( )A ．∃x 0∈R ，f (x 0)＝0B ．若f (x )有极大值M ，极小值m ，则必有M ＞mC ．若x 0是f (x )极小值点，则f (x )在区间(－∞，x 0)上单调递减D ．若f ′(x 0)＝0，则x 0是f (x )的极值点ABC [因为当x →＋∞时，f (x )→－∞，当x →－∞时，f (x )→＋∞，由零点存在性定理知∃x 0∈R ，f (x 0)＝0，故A 正确；因为f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，若f (x )有极大值M ，极小值m ，则f ′(x )＝0有两根x 1，x 2，不妨设x 1＜x 2，易得f (x )在(x 1，x 2)上单调递增，在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)单调递减，所以f (x 2)＝M ＞f (x 1)＝m ，故B 、C 正确；导数为0的点不一定是极值点，故D 错误．故选ABC.]三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．在等比数列{a n }中，已知a 7a 12＝5，则a 8a 9a 10a 11的值为________． 25 [因为a 7a 12＝a 8a 11＝a 9a 10＝5，所以a 8a 9a 10a 11＝25.]14．已知函数f (x )＝e x ln x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(1)的值为________． e [∵f (x )＝e x ln x ，∴f ′(x )＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x ， ∴f ′(1)＝e 1×(ln 1＋1)＝e.]15．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝2S n S n ＋1，则a 2＝________，S n ＝________.(本题第一空2分，第二空3分)23 S n ＝11－2n[S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝2S n S n ＋1，令n＝1，则a 2＝2a 1(a 1＋a 2)，∴a 2＝－2(－1＋a 2)，解得a 2＝23.又S n ＋1－S n ＝2S n S n ＋1，整理得1S n －1S n ＋1＝2(常数)， 即1S n ＋1－1S n ＝－2(常数)， 故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1＝1a 1＝－1为首项，－2为公差的等差数列．所以1S n ＝－1－2()n －1＝1－2n ， 故S n ＝11－2n.] 16．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，且f ′(x )＞f (x )(x ∈R )，f (2)＝e 2(e 为自然对数的底数)，则不等式f (x )＜e x 的解集为________．(－∞，2) [构造F (x )＝f (x )e x ∴F ′(x )＝f ′(x )e x －e x f (x )e 2x ＝f ′(x )－f (x )e x . 由于f ′(x )＞f (x )，故F ′(x )＞0 ，即F (x )在R 上单调递增．又f (2)＝e 2，故F (2)＝f (2)e 2＝1，f (x )＜e x ，即F (x )＝f (x )e x ＜1＝F (2)，即x ＜2.]四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设{a n }是公比为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝a 2＋4.(1)求{a n }的通项公式；(2)设{b n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n .[解] (1)设q (q >0)为等比数列{a n }的公比，则由a 1＝2，a 3＝a 2＋4得2q 2＝2q ＋4，即q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)，因此q ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝2·2n －1＝2n .(2)S n ＝2(1－2n )1－2＋n ×1＋n (n －1)2×2＝2n ＋1＋n 2－2. 18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x ＋x 2.(1)求h (x )＝f (x )－3x 的极值；(2)若函数g (x )＝f (x )－ax 在定义域内为增函数，求实数a 的取值范围．[解] (1)由已知可得h (x )＝f (x )－3x ＝ln x ＋x 2－3x ，h ′(x )＝2x 2－3x ＋1x(x ＞0)， 令h ′(x )＝2x 2－3x ＋1x ＝0，可得x ＝12或x ＝1，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(1，＋∞)时，h ′(x )＞0， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1时，h ′(x )＜0， ∴h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，(1，＋∞)上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上为减函数， 则h (x )极小值＝h (1)＝－2，h (x )极大值＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－54－ln 2. (2)g (x )＝f (x )－ax ＝ln x ＋x 2－ax ，g ′(x )＝1x ＋2x －a (x ＞0)，由题意可知g ′(x )≥0(x ＞0)恒成立，即a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x min ， ∵x ＞0时，2x ＋1x ≥22，当且仅当x ＝22时等号成立，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x min ＝22， ∴a ≤22，即实数a 的取值范围为(－∞，22]．19．(本小题满分12分)各项均为正数的数列{}a n 前n 项和为S n ，且4S n ＝a 2n ＋2a n ＋1，n ∈N ＋.(1)求数列{}a n 的通项公式；(2)已知公比为q ()q ∈N ＋的等比数列{}b n 满足b 1＝a 1，且存在m ∈N ＋满足b m ＝a m ，b m ＋1＝a m ＋3，求数列{}b n 的通项公式．[解] (1)当n ＝1时，4S 1＝4a 1＝a 21＋2a 1＋1，整理得()a 1－12＝0，∴a 1＝1.∵4S n ＝a 2n ＋2a n ＋1，∴4S n ＋1＝a 2n ＋1＋2a n ＋1＋1，两式相减得4a n ＋1＝a 2n ＋1－a 2n ＋2a n ＋1－2a n ，即a 2n ＋1－a 2n －2a n ＋1－2a n ＝0， 即()a n ＋1＋a n ()a n ＋1－a n －2＝0，∵数列{}a n 各项均为正数，∴a n ＋1＋a n >0，∴a n ＋1－a n ＝2， ∴数列{}a n 是首项为1，公差为2的等差数列，故a n ＝1＋2()n －1＝2n －1.(2)∵b 1＝a 1＝1，∴b n ＝b 1q n －1＝q n －1，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧q m －1＝2m －1，q m ＝2m ＋5，相除得q ＝2m ＋52m －1＝1＋62m －1∈N ＋， ∴2m －1＝1或2m －1＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1，q ＝7 或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，q ＝3，当m ＝1时，b n ＝7n －1；当m ＝2时，b n ＝3n －1.综上所述，b n ＝7n －1或b n ＝3n －1.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x ＋1x －a ，a ∈R ，试讨论函数f (x )的零点个数．[解] 函数f (x )的定义域为{x |x ≠a }．(1)当x ＞a 时，e x ＞0，x －a ＞0，∴f (x )＞0，即f (x )在(a ，＋∞)上无零点．(2)当x ＜a 时，f (x )＝e x (x －a )＋1x －a ， 令g (x )＝e x (x －a )＋1，则g ′(x )＝e x (x －a ＋1)．由g ′(x )＝0得x ＝a －1.当x ＜a －1时，g ′(x )＜0；当x ＞a －1时，g ′(x )＞0，∴g (x )在(－∞，a －1)上单调递减，在(a －1，＋∞)上单调递增， ∴g (x )min ＝g (a －1)＝1－e a －1.∴当a ＝1时，g (a －1)＝0，∴x ＝a －1是f (x )的唯一零点； 当a ＜1时，g (a －1)＝1－e a －1＞0，∴f (x )没有零点；当a ＞1时，g (a －1)＝1－e a －1＜0，∴f (x )有两个零点．21．(本小题满分12分)已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4.(1)求{a n }的通项公式；(2)设c n ＝a n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和．[解] (1)设数列{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，由⎩⎪⎨⎪⎧ b 2＝b 1q ＝3，b 3＝b 1q 2＝9，得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝1，q ＝3.∴{b n }的通项公式b n ＝b 1q n －1＝3n －1，又a 1＝b 1＝1，a 14＝b 4＝34－1＝27，∴1＋(14－1)d ＝27，解得d ＝2.∴{a n }的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×2＝2n －1(n ∈N *)．(2)设数列{c n }的前n 项和为S n .∵c n ＝a n ＋b n ＝2n －1＋3n －1，∴S n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n＝2×1－1＋30＋2×2－1＋31＋2×3－1＋32＋…＋2n －1＋3n －1＝2(1＋2＋…＋n )－n ＋30×(1－3n )1－3＝2×(n ＋1)n 2－n ＋3n －12＝n 2＋3n －12.即数列{c n }的前n 项和为n 2＋3n －12.22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ln x ＋12x 2－(1＋a )x ，a ∈R .(1)当a ＝1时，求函数y ＝f (x )的图象在x ＝1处的切线方程；(2)讨论函数f (x )的单调性；(3)若对任意的x ∈(e ，＋∞)都有f (x )＞0成立，求a 的取值范围．[解] (1)f ′(x )＝x 2－2x ＋1x，f ′(1)＝0，f (1)＝－32， 所以所求切线方程为y ＝－32.(2)f ′(x )＝x 2－(a ＋1)x ＋a x ＝(x －1)(x －a )x. 当a ＝1时，f (x )在(0，＋∞)递增；当a ≤0时，f (x )在(0，1)递减，(1，＋∞)递增；当0＜a ＜1时，f (x )在(0，a )递增，(a ，1)递减，(1，＋∞)递增； 当a ＞1时，f (x )在(0，1)递增，(1，a )递减，(a ，＋∞)递增．(3)由f (x )＞0得(x －ln x )a ＜12x 2－x .注意到y ＝x －ln x ，y ′＝x －1x ，于是y ＝x －ln x 在(0，1)递减，(1，＋∞)递增，最小值为1，所以∀x ∈(e ，＋∞)，x －ln x ＞0.于是只要考虑∀x ∈(e ，＋∞)，a ＜12x 2－xx －ln x .设g(x)＝12x2－xx－ln x，g′(x)＝12(x－1)(x＋2－2ln x)(x－ln x)2，注意到h(x)＝x＋2－2ln x，h′(x)＝x－2x，于是h(x)＝x＋2－2ln x在(e，＋∞)递增，h(x)＞h(e)＝e＞0，所以g(x)在(e，＋∞)递增，于是a≤g(e)＝e2－2e 2(e－1).。
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高中数学必修二模块综合测试卷(一)一、选择题：（共10小题，每小题5分）1. 在平面直角坐标系中，已知(1,2)A −，(3,0)B ，那么线段AB 中点的坐标为（ ） A ．(2,1)− B ． (2,1) C ．(4,2)− D ．(1,2)−2. 直线y kx =与直线21y x =+垂直，则k 等于（ ） A ．2− B ．2 C ．12−D ．133．圆2240x y x +−=的圆心坐标和半径分别为（ ）A ．(0,2),2B ．(2,0),4C ．(2,0),2−D ．(2,0),2 4. 在空间直角坐标系中，点(2,1,4)−关于x 轴的对称点的坐标为（ ） A ．(2,1,4)−− B ．(2,1,4)− C ．(2,1,4)−−− D ．(2,1,4)− 5. 将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为（ ）A ．2πB ．4πC ．8πD ．16π6. 下列四个命题中错误的．．．是（ ） A ．若直线a 、b 互相平行，则直线a 、b 确定一个平面 B ．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线 C ．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线 D ．两条异面直线不可能垂直于同一个平面7. 关于空间两条直线a 、b 和平面α，下列命题正确的是（ ） A ．若//a b ，b α⊂，则//a α B ．若//a α，b α⊂，则//a b C ．若//a α，//b α，则//a b D ．若a α⊥，b α⊥，则//a b8. 20y +−=截圆224x y +=得到的弦长为（ ）A ．1B ．C ．D ． 29. 如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，且直角三角形的直角边 长为1，那么这个几何体的体积为（ ） A ．16B ．13C ．12D ．110．如右图，定圆半径为a ，圆心为(,)b c ，则直线0ax by c ++= 与直线10x y +−=的交点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 二、填空题：（共4小题，每小题5分）11. 点(2,0)到直线1y x =−的距离为_______.12. 已知直线a 和两个不同的平面α、β，且a α⊥，a β⊥，则α、β的位置关系是_____. 13. 圆2220x y x +−=和圆2240x y y ++=的位置关系是________.14. 将边长为1的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得平面ADC ⊥平面ABC ，在折起后形成的三棱锥D ABC −中，给出下列三个命题：①面DBC 是等边三角形； ②AC BD ⊥； ③三棱锥D ABC −的体积是6. 其中正确命题的序号是_________.（写出所有正确命题的序号）三、解答题：（共6小题）15. （本小题满分12分）如图四边形ABCD 为梯形，//AD BC ，90ABC ∠=︒，求图中阴影部分绕AB 旋转一周所形成的几何体的表面积和体积。
主视图左视图俯视图16、（本小题满分12分）已知直线l 经过两点(2,1)，(6,3). （1）求直线l 的方程；（2）圆C 的圆心在直线l 上，并且与x 轴相切于(2,0)点，求圆C 的方程.17. （本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C −中，AC BC ⊥，点D 是AB 的中点. 求证：（1）1AC BC ⊥；（2）1//AC 平面1B CD .18. （本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD −中，ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，2PD AB ==， ,,E F G 分别是,,PC PD BC 的中点．（1）求证：平面//PAB 平面EFG ；（2）在线段PB 上确定一点Q ，使PC ⊥平面ADQ ，并给出证明；（3）证明平面EFG ⊥平面PAD ，并求出D 到平面EFG 的距离.A 1 C 1B 1A B C D ABDEF PG C19、（本小题满分14分）已知ABC ∆的顶点(0,1)A ，AB 边上的中线CD 所在的直线方程为2210x y −−=，AC 边上的高BH 所在直线的方程为0y =.（1）求ABC ∆的顶点B 、C 的坐标；（2）若圆M 经过不同的三点A 、B 、(,0)P m ，且斜率为1的直线与圆M 相切于点P ，求圆M 的方程.20、（本小题满分14分）设有半径为3km 的圆形村落，,A B 两人同时从村落中心出发，B 向北直行，A 先向东直行，出村后不久，改变前进方向，沿着与村落周界相切的直线前进，后来恰与B 相遇.设,A B 两人速度一定，其速度比为3:1，问两人在何处相遇？高中数学必修二模块综合测试卷(一)参考答案一、选择题：（共10小题，每小题5分）1. A;2. C;3. D;4. C;5. B;6. C;7. D;8. B ;9. A; 10. D . 二、填空题：（共4小题，每小题5分）11.2; 12.平行; 13.相交; 14.①②. 三、解答题：15. 108S π=V = 16、解：（1）由已知，直线l 的斜率311622k −==−， 所以，直线l 的方程为20x y −=.（2）因为圆C 的圆心在直线l 上，可设圆心坐标为(2,)a a ， 因为圆C 与x 轴相切于(2,0)点，所以圆心在直线2x =上， 所以1a =，所以圆心坐标为(2,1)，半径为1， 所以，圆C 的方程为22(2)(1)1x y −+−=.17. 证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C −中，1CC ⊥平面ABC ，所以，1CC AC ⊥，又AC BC ⊥，1BC CC C =I ， 所以，AC ⊥平面11BCC B ， 所以，1AC BC ⊥.（2）设1BC 与1B C 的交点为O ，连结OD ，11BCC B 为平行四边形，所以O 为1B C 中点，又D 是AB 的中点，所以OD 是三角形1ABC 的中位线，1//OD AC ，又因为1AC ⊄平面1B CD ，OD ⊂平面1B CD ，所以1//AC 平面1B CD .18 （1）,E F 分别是线段,PC PD 的中点，所以//EF CD ，又ABCD 为正方形，//AB CD ，A 1C 1 B 1A BCDO所以//EF AB ，又EF ⊄平面PAB ，所以//EF 平面PAB .因为,E G 分别是线段,PC BC 的中点，所以//EG PB ， 又EG ⊄平面PAB ，所以，//EG 平面PAB . 所以平面//EFG 平面PAB .（2）Q 为线段PB 中点时，PC ⊥平面ADQ . 取PB 中点Q ，连接,,DE EQ AQ ，由于////EQ BC AD ，所以ADEQ 为平面四边形， 由PD ⊥平面ABCD ，得AD PD ⊥，又AD CD ⊥，PD CD D =I ，所以AD ⊥平面PDC ， 所以AD PC ⊥，又三角形PDC 为等腰直角三角形，E 为斜边中点，所以DE PC ⊥，AD DE D =I ，所以PC ⊥平面ADQ .（3）因为CD AD ⊥，CD PD ⊥，AD PD D =I ，所以CD ⊥平面PAD ， 又//EF CD ，所以EF ⊥平面PAD ，所以平面EFG ⊥平面PAD .取AD 中点H ，连接,FH GH ，则////HG CD EF ，平面EFGH 即为平面EFG ， 在平面PAD 内，作DO FH ⊥，垂足为O ，则DO ⊥平面EFGH ，DO 即为D 到平面EFG 的距离，在三角形PAD 中，,H F 为,AD PD中点，sin 452DO FD ==o. 即D 到平面EFG的距离为2. 19、解：（1）AC 边上的高BH 所在直线的方程为0y =，所以，:0AC x =， 又:2210CD x y −−=，所以，1(0,)2C −，设(,0)B b ，则AB 的中点1(,)22b D ，代入方程2210x y −−=， 解得2b =，所以(2,0)B .ABDEF PG C QHO（2）由(0,1)A ，(2,0)B 可得，圆M 的弦AB 的中垂线方程为4230x y −−=， 注意到BP 也是圆M 的弦，所以，圆心在直线22m x +=上， 设圆心M 坐标为2(,)2m n +， 因为圆心M 在直线4230x y −−=上，所以2210m n −+=…………①， 又因为斜率为1的直线与圆M 相切于点P ，所以1MP k =−，即122nm m =−+−，整理得220m n −−=…………②，由①②解得3m =−，52n =−，所以，15(,)22M −−，半径14950442MA =+=， 所以所求圆方程为22560x y x y +++−=。
20、解：如图建立平面直角坐标系，由题意可设,A B 两人速度分别为3v 千米/小时，v 千米/小时，再设出发0x 小时，在点P 改变方向，又经过0y 小时，在点Q 处与B 相遇.则,P Q 两点坐标为()()0003,0,0,vx vx vy +由222OP OQ PQ +=知，()()()222000033vx vx vy vy ++=,即()()0000540x y x y +−=.00000,54x y x y +>∴=Q ……①将①代入0003OQ x y k x +=−，得34PQ k =− 又已知PQ 与圆O 相切，直线PQ 在y 轴上的截距就是两个相遇的位置.设直线34y x b =−+与圆22:9O x y +=相切，153,4b =∴=。
答：,A B 相遇点在离村中心正北334千米处。