材料力学第8章组合变形

MB
M
2 yB
M
2 zB
(364 N m)2 (1000N m)2 1064N m
•由Mz图和My图可知， B截面上的总弯矩最大， 并且由扭矩图可见B截 面上的扭矩与CD段其 它横截面上相同，TB ＝-1000 N·m，于是判 定横截面B为危险截面。
3. 根据MB和TB按第四强度理论建立的强度条件为
Wp
r4
M 2 0.75T 2
W
300N.m 1400N
300N.m
1500N 200
150
300N.m
128.6N.m
120N.m
（2）作内力图
危险截面E 左处
T 300N.m
M
M
2 y
M
2 z
176N.m
（3）由强度条件设计d
r3
M2 T2 W
W d 3
32
32 M 2 T 2
第8章 组合变形
8.1 组合变形和叠加原理 8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合 8.3 偏心压缩和截面核心 8.4 扭转与弯曲的组合 8.5 组合变形的普遍情况
8.1 组合变形和叠加原理
组合变形——实际构件由外力所引起的变形包含两种或两 种以上的基本变形。如压力框架、烟囱、传动轴、有吊车 的立柱。 叠加原理——如果内力、应力、变形等与外力成线性关系， 则在小变形条件下，复杂受力情况下组合变形构件的内力， 应力，变形等力学响应可以分成几个基本变形单独受力情 况下相应力学响应的叠加，且与各单独受力的加载次序无 关。 前提条件：
即 亦即 于是得
r4
M 2 0.75T 2 [ ]
W
•请同学们按
照第三强度理 (1064 N m)2 0.75(1000 N m)2 100106 Pa W
论求轴径d 1372 N m πd 3
100 106
Pa
32
d 3 321372 N m 0.0519 m 51.9 mm π(100106 Pa)
P (1 A
yP y0 iz2
zP z0 iy2
)
0
z
P(zP ,yP )
1
yP y0
i
2 z
zP z0
i
2 y
0
中性轴 y
四、危险点
（距中性轴最远的点）
max
P A
Mz Wz
My Wy
max
P A
Mz Wz
My Wy
例8-2-1 具有切槽的正方形木杆，受力 如图。求：
（1）m-m截面上的最大拉应力σt max和 最大压应力σcmax； （2）此σtmax是截面削弱前的σt值的几 倍？
FN A
M max W
40 103 N 26.110-4 m2
12 103 141106 m3
15325670 85106383 100.43MPa
结果表明，最大压应力与许用应力接近相等，故无须重新选 择，说明所选工字钢合适。
例 8-2-4 图示钢板受力P=100kN，试求最大正应力；若将缺口移
P A
(1
y
Py
i
2 z
0
z
Pz0
i
2 y
) 0
y
Py0
i
2 z
z
Pz
i
2 y
0
1
—直线方程
②中性轴在y、z轴上的截 距分别为：
ay
i
2 z
yP
，az
i
2 y
zP
1)ay、az分别与yP、zP符号相反，故中性轴与偏心压力P的 作用点位于截面形心的两侧。
2)中性轴将截面分成两个区，压力P所在区受压，另一区 受拉。在截面周边上，D1和D2两点切线平行于中性轴，它们是 离中性轴最远的点，应力取极值。
至板宽的中央，且使最大正应力保持不变，则挖空宽度为多少？
解：内力分析如图
P
y yC
坐标如图，挖孔处的形心
z P 20 20 100
zC
201020 5mm 100102010
N M
I
yC
10100 12
3
1010052
[10203 1020252 ] 12
P
7.27105 mm 4
M 5P103500Nm
例8-4-2 传动轴左端的轮子由电机带动，传入的扭转力偶矩
Me=300N.m。两轴承中间的齿轮半径R=200mm，径向 啮合力F1=1400N，轴的材料许用应力〔σ〕=100MPa。 试按第三强度理论设计轴的直径d。
解：（1）外力分析，作 计算简图
F2R Me
F2
Me R
300 0.2
1500N
d 3
3
32 1762 3002
100106
32.8103 m 32.8mm
教材P273例8.5
图8.14a是某滚齿机传动轴AB的示意图。轴的直 径为35mm，材料为45钢，许用应力[σ]=85MPa 。轴由P=2.2kW的电动机通过带轮C带动，转速 为n=966r/min。带轮的直径D=132mm，带拉力 约为F+F′=600N。齿轮E的节圆直径为d1=50mm， F1为相啮合齿轮给轮E的工作阻力与切线方向成 20°夹角。试校核轴的强度。
P
P
200
300
200
图（1）
图（2）
d P 解：两柱均为压应力
1m
ax
P A1
M Wz1
350000 350 50 6
0.2 0.3
0.2 0.32
11.7MPa
P
2m
ax
P A
M
3500008.75MPa
0.20.2
8.4 扭转与弯曲的组合
作弯矩图和扭矩 图，可知危险截面 为固定端截面：
M Fl,T Fa
A
B
图 图
危险截面上的1点和 2点有最大弯曲正应 力和最大扭转切应 力：
Fl
W
Fa
WP
围绕1点取单元体，可见1点处于平面应力状态，
其三个主应力为：
1 3
2
2
2
2
, 2
0
由第三强度理论建立强度条件：
r3 1 3 2 4 2
（1）
P
P
y
yC
N
20 20
M
100
P
z 应力分析如图
N M z max
max A
I yc
100103 5005510 3
80010
6
7.2710 7
孔移至板中间时
12537.8162.8MPa
A N
max
116020.8110036
631.9mm2
10(100x)
x36.8mm
例8-2-5 图示一夹具。在夹紧零件时，夹具受到的外力为P ＝2kN。已知： 外力作用线与夹具竖杆轴线间的距离为 e=60mm，竖杆横截面的尺寸为b=10mm，h=22mm， 材料的许用应力[σ]＝170MPa。试校核此夹具竖杆的强度。
解：(1) tmax N M cmax A W
8P
a2
4P a2
Pa
P a2 2
4
a
a 2
2
6
截面削弱前的σt值为
t
N A
=
P a2
截面削弱后的最大拉应力为
t max
8P a2
则
•截面削弱后的σtmax是截面削弱前的σt值的8倍。
例8-2-2 已知：P 15kN, e 300mm, 许用拉应力
例6.2图
•3.应力分析和强度计算，
•按弯曲强度条件可得：
W
M
12 103 100 10 6
120 cm3
查型钢表（教材P352），可选用16号
钢， W
141cm3
=141
10-6
m3
,
， A
26.1cm2
26.1104 m2
按弯压组合强度条件，可知C点左侧截面下边缘各点压
应力最大：
c max
1 32MPa, 试设计立柱直径d。
解：将力P向立柱轴线简 化，立柱承受拉伸和弯曲 两种基本变形，任意横截 面上的轴力和弯矩为：
FN P 15kN
M Pe 45N m
横截面上与 FN 对应的拉应力均匀分布，
P A
4P
d 2
横截面上与 M 对应的弯曲正应力按线性分布，
M 32 Pe Wz d 3
两种应力叠加后应满足强度条件:
4P
d 2
32Pe
d 3
1
415 103 32 15 103 300
d 2
d 3
32
d 114mm
例8-2-3 图a所示起重机的最大吊重F=12kN•视，为许铰用应
力 100，M试Pa为横梁AB选择合适的工字钢。支
解：1.外力分析，根据横梁AB 的受力图，由平衡方程可得：
解：
N P 2kN 2000N M z mz Pe 120N m
竖杆的危险点在横截面的内侧边 缘处。危险点处的正应力为:
tmax
N A
Mz Wz
158 MPa
强度条件满足，所以竖杆在强度 上是安全的。
例8-2-6 图示压力机，最大压力P=1400kN，机架 用铸铁作成，许用拉应力[sL]=35MPa，许用压应力 [sy]=140MPa，试校核该压力机立柱部分的强度。立 柱截面的几何性质如下：yc=200mm，h=700mm， A=1.8×105mm2，Iz=8.0×109mm4。
r4
M W
2
3
T WP
2
M 2 0.75T 2
W
（5）
例8-4-1 图a所示钢制实心圆轴其两个齿轮上作用
有切向力和径向力，齿轮C 的节圆（齿轮上传递切向 力的点构成的圆）直径dC=400 mm,齿轮D的节圆直 径dD=200 mm。已知许用应力 [s ]=100 MPa。试
五、（偏心拉、压问题的）截面核心：
压力作用区域。
当压力作用在此区域内时，横截面上无拉应力。
az 中性轴
ay
截面核心
1
yP y0 iz2
zP z0
i
2 y
0
已知 ay， az 后 ，
z
P(zP ,yP )
1
yPay iz2
0
1
zPaz
i
2 y
0
y
可求 P力的一个作用点(zP ,yP )
例8-3-1 图示不等截面与等截面杆，受力P=350kN，试 分别求出两柱内的绝对值最大正应力。
My=PzP
O
zP
AMz
e yP
=PyP
y
' P
A
" M z y PyP y
Iz
Iz
"' M y z PzP z
I
z
y
Iy
zB
D1
zP
A
ay
O y yP
y
O
az
D2
' " "'
P (1 A
yP y iz2
zP z iy2
)
3.中性轴方程：
①利用中性轴处的正应力为零，得中性轴方程y0=f(z0)为：
z yc
c
y
h
e
M=Pe MN=Pe
N=NP =Pa a'
b
ca P
b
b' y2 yc
N
P A
a'
Peyc Iz
b
'
Pey2 Iz
a
N
a'
P A
Peyc IzbN Nhomakorabeab'
P A
Pey2 Iz
8.3 偏心压缩和截面核心
•偏心拉伸或偏心压 缩是指外力的作用线 与直杆的轴线平行但 不重合的情况。
x Pz
P
x
Py
P
z My
x z Mz
Py My
二、应力分析：
x
P
MZ
My
z Mz P y
My
x
P
P A
x
M
z
M I
z z
y
x
P A
M I
z z
y
M I
y y
z
xM
y
M I
y y
z
三、中性轴方程
x
对于偏心拉压问题
P M z y0
A
Iz
M y z0 Iy
0
P A
PyP y0 Aiz2
PzP z0
Ai
2 y
300N.m
300N.m 1400N
1500N
150 200
300N.m 1400N
300N.m
1500N
150
200
300N.m
128.6N.m
（2）内力分析，作内力图 危险截面E 左处
120N.m
（3）应力分析，求σ、т
•第几强 度理论
r3
M 2 T 2
W
M•度第理几论强
W T
①线弹性材料，加载在弹性范围内，即服从胡克定律；
②必须是小变形，保证能按构件初始形状或尺寸进行分解 与叠加计算，且能保证与加载次序无关。
组合变形工程实例
压弯组合变形
组合变形工程实例
拉弯组合变形
8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合
一、拉(压)弯组合变形：杆件同时受横向力和轴向
力的作用而产生的变形。
P R
P P 500
z yc
c
y
h
解：由图可见，载荷P偏离立柱轴线，其偏心距为： e=yc+500=200+500=700mm。
最大组合正应力发生在截面内、外侧边缘a、b处， 其值分别为
a b
P A
P A
Pey
Iz Pey
Iz
c 2
32.3MPa 53.5MPa
可见，立柱符合强度要求。
P P 500
对于圆轴有
M
W
T
WP
WP 2W （2）
将(2)代入(1) 式得：
r3
M W
2
4
T WP
2
M 2 T 2 （3）
W
由第四强度理论建立强度条件：
r4
1 2
1
2 2
2
3 2
3
1 2
2 3 2
（4）
对于圆轴有
M
W
T
WP
WP 2W
（2）
将(2)代入(4）式得：
M A 0, Fcy 18kN, Fcx 24kN
2.内力分析，做弯矩图和轴力 图，危险截面为C点左侧截面。
注意：求工字钢截面几何尺寸 时，因为A、W不可能同时获 得，所以不能同时考虑弯矩与 轴力条件，可先按弯曲强度条 件试算，再按弯压组合进行强 度校核。
1.5ｍ
2ｍ
1ｍ
12kN .m
24kN
按第四强度理论求轴的直径。
解：
1. 作该传动轴的受力 图（图b），并作弯 矩图－－Mz图和My 图（图c, d）及扭矩 图－－T 图（图e）。
•2. 由于圆截面的任何形心轴均为形心主惯性轴，且惯性 矩相同，故可将同一截面上的弯矩Mz和My按矢量相加。