2010年大学物理竞赛试题答案及评分标准
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nx a
八 、 粒 子 在 无 限 深 方 势 阱 [-a/2 ， a/2] 内 作 一 维 运 动 的 波 函 数 为 n A cos
（n=1,2,3,……） 。求：(1) 归一化常数 A；(2) 粒子的零点能；(3) 第一激发态，粒子在 [a/8， a/2] 间出现的几率； (4) 粒子运动的坐标不确定度 x
2n x a a dx A2 1 2 2
A 2/a
1分
所以，归一化的波函数为： n （2）零点能即基态能，这是 n 1
2 / a cos
n x n 1, 2,3 a
ˆ E 可由 H 1 1 1
1分
2 2 2 2 ( 2 / a cos x) 1 E1 1 即 a 2m x 2 2m a 2
2010 年“拓普杯”天津市大学生物理竞赛参考答案及评分标准
一、请写出国际单位制中七个基本物理量单位的名称和量纲。 答： 长度（m）2 分 质量（kg）2 分 时间（s）2 分 电流（A）1 分 热力学温度（K）1 分 发光 强度（cd）1 分 物质的量（mol）1 分
二、一列静止长度为 600 米的超快速火车通过一个封闭式的火车站，据站长讲车站全长为 450 米，火车通过时正好装进车站，即站长观察到火车后端刚好在进口处的同时其前端刚好 在出口处。求: （1）火车的速率是多少？ (2) 对火车上的乘务员来说，他观测到的车站 长度是多少？
解： （1） L L0 1
V2 C2
4分
V 1
L2 7 C 2 L0 4
2分
（2） L L 1
V2 C2
2分 2分
337.5m
三、航天英雄乘坐的神州六号舱容积为 9.0 立方米，在标准状态下，求： （1）舱内空气的质 量是多少？（2）舱内氮气的分压是多少？（3）在正常照度下，人眼瞳孔直径为 3.0mm， 在可见光中眼最敏感的波长 λ=550nm。若晴好白天飞船位于长城正上方 350 公里处，设长 城宽度 5.0 米，航天英雄能直接看清长城吗？（按质量百分比计，氮气 76﹪，氧气 23﹪， 氩气 1﹪，其它气体可略，它们的分子量分别为 28， 32， 40） 解：标准状态，气化 P0=1atm,气温为 0 0c，空气平均 mol 质量 28.9 10 3 千克/摩尔。 1. 内质量：
（2 分） 即 S 0 。此过程熵增加。 水在等压绝热的混合过程，系统变化时自发宏观过程，总是向熵增加的方向进行。
五、 在两正交偏振片 M、 N 之间， 放置一厚度为 0.5mm 的石英晶片 （ne 主 =1.5534， no=1.5443） ， 0 其光轴 Z 与 M、N 之间夹角均为 45 ，垂直入射到 M 的 A 自然光的波长为 0.5μm，设所有元件对光没有散射和吸 收， 问： (1) 在偏振片 N 后能看见多少条等厚干涉条纹？ (2) 如果所放置的石英晶片为如图所示的劈尖形状（其 劈背厚度 a=0.5mm，光轴不变） ，则在偏振片 N 后 A 处 （对应于劈尖最顶端处）观测到的光强度为多少？ 解：.M 的投射光为线偏光，设光强为 I m ，它振动的方 向与晶轴夹角 45 ，故晶体出射光强：
E1
2 2 h2 2m a 2 8ma 2
1分
（3）第二激发态 n 2 波函数为
2 2 / a cos
a 2
2 x a
1分
0.5 分
a2 2 dx
8
Байду номын сангаас
a2 ( 2 / a cos
8
a
2 2 3 1 x) dx 0.296 a 8 4
实验设计图……………………………………….3
七、在光滑水平桌面上，有一长为 L 质量为 m 的匀质金属棒，绕一端在桌面上旋转，棒的 另一端在半径为 L 的光滑金属圆环上滑动，接触良好。旋转中心的一端与圆环之间连接一 电阻 R（不影响棒转动） ，若在垂直桌面加一均匀磁场 B，当 t=0，起始角 θ=0 处，金属棒 （1）任意时刻 t 金属棒的角速度 ω ； （2）金属棒停下来时转过的 获得初角速度为 ω0。求： 角度 θ=？（其它电阻、摩擦力不计） 。 解： （1）某时刻大，棒的角速度为 ， 此时，棒切割磁力线获得电动势：
.........................................2 分
（ 2）
d d dt ........................2 分 dt
0
d
0
0e
3B 2 L2 t 4 Rm
dt
4 R m 0 .........................................2 分 3 B 2 L2
'
极化面电荷： a p n
'
r a
1 1 k (r p) (r ) 0 1 分 r r r r r k k p r0 0.5 分 r a r r a a
0.5 分
b'
k b
圆筒表面单位长度的极化电荷：
M
V 9 103 28.9 103 11.6 （千克） V0 22.4
3分 2分 1分
2. 由气体状态方程可得： P0V M RT
PN 2 V M N2
N
RT
2
PN 2 P0
M N2 M
28.9 0.76 0.7844 N 28
2
PN 2 0.7844P0 0.7844 atm
1 0.5 103 1 (1.5534 1.5443) 9.6 （2 分） 6 2 0.5 10 2
可看到 10 条条纹 （2）在劈尖的最顶端 A 处，其 d=0mm 为暗纹（2 分） 则： 则其光强 I 0 （1 分） 六、空气折射率 n 约为 1.0003。用下列给定装置：一台迈克尔逊干涉仪；扩展钠光灯面光 源（平均波长为 λ） ；两个完全相同的长度为 L 的玻璃管，侧面带有阀门都是打开的，其内 为一个大气压的空气；一台高精度真空泵及真空管、阀等配件；若干个可升降光学支架。 设计一个可行方案，要求： （1）画出实验设计光路图； （2）简略写出主要操作步骤； （3 ） 推算出空气折射率 n 的数学表达式。 解：
0(r a ) k E E ' ( a r b) r 0 0(r b)
0.5 分
（4）基态下： x
a /2
a /2
x 1 dx
2
a/2
a /2
x( 2 / a cos
a
x) 2 dx 0
1分
x2
a /2
a /2
x 2 1 dx
2
2 a /2 2 a2 a2 2 x xdx cos a a / 2 a 12 2 2
I eN 与 I oN 又有附加光程 ，在 N 后看劈背出来 I eN ， I oN 的相位差：
（2k+1） （k=0，1，2，3….） 暗纹
2 d
( ne主 no )
2k （k=0，1，2，3….） 明纹
（5 分）
若是明纹： k
d
(ne no )
d 1 （转动惯量J mL2 ) dt 3 ( d 0) dt
B 2 L4 d 1 mL dt 4R 3 2 2 d B L dt 分量变量： 4 Rm d t B 2 L2 dt 积分: 0 0 4 Rm
0e
3B 2 L2 t 4 Rm
（2）.由： S CP ln
T12 T22 2T1T2 4T1T2
T1 T2 ,T12 T22 2T1T2
S CP ln
T12 T22 2T1T2 2T T 2T1T2 CP ln 1 2 0 （2 分） 4T1T2 4T1T2
x 2 x （ x 为位移平均值，x 2
2
为位移平方的平均值） ， 由不确定关系， 估算在基态时相应的动量不确定度 p 不小于多少？ 解： （1）由归一化条件：
a /2
a/2
n dx 1
1 cos
2
1分
a /2 2 2 n 得 A cos xdx A2 a /2 a /2 a a /2
' a' 2 a 1 a 2 k
1分 0.5 分
b' 2 b 1 b' 2 k
由高斯定理求极化电荷产生附加场 E ' 分布：
0(r a) k ' 1分 E' a ( a r b) 0r 2 0 r 0(r b) 由于 E0 0 ，故 E E0 E ' E ' ，故介质内外电场分布：
。
I e I m cos 2 45。
1 Im 2 1 I o I m sin 2 45。 I m 2 2 d (ne主 no )
M
→|a|← 图 1
N
此时 o，e 光（在劈背）光程差：
o，e 光出射后的光强：
I eN I e cos 2 45。 I oN
1 Im 4 1 I o cos 2 45。 I m 4
Cp dQ p ndT
T1 T2 .设摩尔等 2
则: dQ p C p dT （3 分） 总的熵变应等于两杯水熵变之和： 对第一杯水熵变： S1
T1 T2 2 T1 T2 2
T1
dQ T
dQ T
T1
CP dT
T
CP ln
T1 T2 2T1
（1 分）
1分
3. 依瑞利判据知人眼的最小分辨角为
1.22
D
2.2 10 5 rad
2分 1分
可分辨最小间距： y L 350000 2.2 105 77 (米) 看不到长城！
（1）此系统达 四、将质量相同、温度分别为 T1、T2 的两杯水在等压下绝热地混合，试问： 到最后状态，计算此过程的熵变。 （2）分析判断熵是增加、减少、还是未变？要有推算过 程并对结论说明理由。 （设水的摩尔等压热容量为 Cp，每杯水的量为 ν 摩尔） 解： （1）两杯水在等压下绝热的混合，可视为不可逆过程，为了求出两杯水的熵变，可以设想 这样一个可逆过程，令两杯水经可逆等压过程，温度分别为 T1 和 T2 变为 压热容量为 C P ，每杯水为 mol。
1 B L2 ， 2
棒中电流： I
R
B L2 2R
2分
棒中（r-r+dr）所受安培力为： ： dF dr 所受的磁力矩： dM 合力矩： M
L
IBdr ，
IBrdr ；
L
dM
0
0
1 2 B 2 L4 IBrdr IBL 2 4R
2分
由力学转动方程：M J
对第二杯水熵变： S 2
T1 T2 2
T2
T1 T2 2
T2
CP dT
T
CP ln
T1 T2 （1 分） 2T2
2
T T T T T T 总熵变为： S S1 S 2 C P ln 1 2 ln 1 2 CP ln 1 2 （1 分） 2T1 2T2 4T1T2
1分
x x 2 ( x ) 2 x 2
由不确定关系： x p
1 1 2a 12 2
2
6 2 p 2 2 a ( 6)
p 不小于
6 2 a 2 ( 2 6)
1分
九、有一不带自由电荷铁电体（去掉外电场仍然保持极化状态的电介质）长圆筒，其长度 为 L，内外半径为 a、b，极化强度矢量 p=kr/r2 (k 为常数，介质内部无极化电荷)，相对介 电常数为 εr、相对磁导率为 μr，求： （1）圆筒内外的电场强度 E、电位移矢量 D 分布； （2） 若圆筒绕其中心轴以匀角速 ω 转动，圆筒内外的磁场强度 H、磁感应强度 B 分布。 解： 极化体电荷密度： D1 p
八 、 粒 子 在 无 限 深 方 势 阱 [-a/2 ， a/2] 内 作 一 维 运 动 的 波 函 数 为 n A cos
（n=1,2,3,……） 。求：(1) 归一化常数 A；(2) 粒子的零点能；(3) 第一激发态，粒子在 [a/8， a/2] 间出现的几率； (4) 粒子运动的坐标不确定度 x
2n x a a dx A2 1 2 2
A 2/a
1分
所以，归一化的波函数为： n （2）零点能即基态能，这是 n 1
2 / a cos
n x n 1, 2,3 a
ˆ E 可由 H 1 1 1
1分
2 2 2 2 ( 2 / a cos x) 1 E1 1 即 a 2m x 2 2m a 2
2010 年“拓普杯”天津市大学生物理竞赛参考答案及评分标准
一、请写出国际单位制中七个基本物理量单位的名称和量纲。 答： 长度（m）2 分 质量（kg）2 分 时间（s）2 分 电流（A）1 分 热力学温度（K）1 分 发光 强度（cd）1 分 物质的量（mol）1 分
二、一列静止长度为 600 米的超快速火车通过一个封闭式的火车站，据站长讲车站全长为 450 米，火车通过时正好装进车站，即站长观察到火车后端刚好在进口处的同时其前端刚好 在出口处。求: （1）火车的速率是多少？ (2) 对火车上的乘务员来说，他观测到的车站 长度是多少？
解： （1） L L0 1
V2 C2
4分
V 1
L2 7 C 2 L0 4
2分
（2） L L 1
V2 C2
2分 2分
337.5m
三、航天英雄乘坐的神州六号舱容积为 9.0 立方米，在标准状态下，求： （1）舱内空气的质 量是多少？（2）舱内氮气的分压是多少？（3）在正常照度下，人眼瞳孔直径为 3.0mm， 在可见光中眼最敏感的波长 λ=550nm。若晴好白天飞船位于长城正上方 350 公里处，设长 城宽度 5.0 米，航天英雄能直接看清长城吗？（按质量百分比计，氮气 76﹪，氧气 23﹪， 氩气 1﹪，其它气体可略，它们的分子量分别为 28， 32， 40） 解：标准状态，气化 P0=1atm,气温为 0 0c，空气平均 mol 质量 28.9 10 3 千克/摩尔。 1. 内质量：
（2 分） 即 S 0 。此过程熵增加。 水在等压绝热的混合过程，系统变化时自发宏观过程，总是向熵增加的方向进行。
五、 在两正交偏振片 M、 N 之间， 放置一厚度为 0.5mm 的石英晶片 （ne 主 =1.5534， no=1.5443） ， 0 其光轴 Z 与 M、N 之间夹角均为 45 ，垂直入射到 M 的 A 自然光的波长为 0.5μm，设所有元件对光没有散射和吸 收， 问： (1) 在偏振片 N 后能看见多少条等厚干涉条纹？ (2) 如果所放置的石英晶片为如图所示的劈尖形状（其 劈背厚度 a=0.5mm，光轴不变） ，则在偏振片 N 后 A 处 （对应于劈尖最顶端处）观测到的光强度为多少？ 解：.M 的投射光为线偏光，设光强为 I m ，它振动的方 向与晶轴夹角 45 ，故晶体出射光强：
E1
2 2 h2 2m a 2 8ma 2
1分
（3）第二激发态 n 2 波函数为
2 2 / a cos
a 2
2 x a
1分
0.5 分
a2 2 dx
8
Байду номын сангаас
a2 ( 2 / a cos
8
a
2 2 3 1 x) dx 0.296 a 8 4
实验设计图……………………………………….3
七、在光滑水平桌面上，有一长为 L 质量为 m 的匀质金属棒，绕一端在桌面上旋转，棒的 另一端在半径为 L 的光滑金属圆环上滑动，接触良好。旋转中心的一端与圆环之间连接一 电阻 R（不影响棒转动） ，若在垂直桌面加一均匀磁场 B，当 t=0，起始角 θ=0 处，金属棒 （1）任意时刻 t 金属棒的角速度 ω ； （2）金属棒停下来时转过的 获得初角速度为 ω0。求： 角度 θ=？（其它电阻、摩擦力不计） 。 解： （1）某时刻大，棒的角速度为 ， 此时，棒切割磁力线获得电动势：
.........................................2 分
（ 2）
d d dt ........................2 分 dt
0
d
0
0e
3B 2 L2 t 4 Rm
dt
4 R m 0 .........................................2 分 3 B 2 L2
'
极化面电荷： a p n
'
r a
1 1 k (r p) (r ) 0 1 分 r r r r r k k p r0 0.5 分 r a r r a a
0.5 分
b'
k b
圆筒表面单位长度的极化电荷：
M
V 9 103 28.9 103 11.6 （千克） V0 22.4
3分 2分 1分
2. 由气体状态方程可得： P0V M RT
PN 2 V M N2
N
RT
2
PN 2 P0
M N2 M
28.9 0.76 0.7844 N 28
2
PN 2 0.7844P0 0.7844 atm
1 0.5 103 1 (1.5534 1.5443) 9.6 （2 分） 6 2 0.5 10 2
可看到 10 条条纹 （2）在劈尖的最顶端 A 处，其 d=0mm 为暗纹（2 分） 则： 则其光强 I 0 （1 分） 六、空气折射率 n 约为 1.0003。用下列给定装置：一台迈克尔逊干涉仪；扩展钠光灯面光 源（平均波长为 λ） ；两个完全相同的长度为 L 的玻璃管，侧面带有阀门都是打开的，其内 为一个大气压的空气；一台高精度真空泵及真空管、阀等配件；若干个可升降光学支架。 设计一个可行方案，要求： （1）画出实验设计光路图； （2）简略写出主要操作步骤； （3 ） 推算出空气折射率 n 的数学表达式。 解：
0(r a ) k E E ' ( a r b) r 0 0(r b)
0.5 分
（4）基态下： x
a /2
a /2
x 1 dx
2
a/2
a /2
x( 2 / a cos
a
x) 2 dx 0
1分
x2
a /2
a /2
x 2 1 dx
2
2 a /2 2 a2 a2 2 x xdx cos a a / 2 a 12 2 2
I eN 与 I oN 又有附加光程 ，在 N 后看劈背出来 I eN ， I oN 的相位差：
（2k+1） （k=0，1，2，3….） 暗纹
2 d
( ne主 no )
2k （k=0，1，2，3….） 明纹
（5 分）
若是明纹： k
d
(ne no )
d 1 （转动惯量J mL2 ) dt 3 ( d 0) dt
B 2 L4 d 1 mL dt 4R 3 2 2 d B L dt 分量变量： 4 Rm d t B 2 L2 dt 积分: 0 0 4 Rm
0e
3B 2 L2 t 4 Rm
（2）.由： S CP ln
T12 T22 2T1T2 4T1T2
T1 T2 ,T12 T22 2T1T2
S CP ln
T12 T22 2T1T2 2T T 2T1T2 CP ln 1 2 0 （2 分） 4T1T2 4T1T2
x 2 x （ x 为位移平均值，x 2
2
为位移平方的平均值） ， 由不确定关系， 估算在基态时相应的动量不确定度 p 不小于多少？ 解： （1）由归一化条件：
a /2
a/2
n dx 1
1 cos
2
1分
a /2 2 2 n 得 A cos xdx A2 a /2 a /2 a a /2
' a' 2 a 1 a 2 k
1分 0.5 分
b' 2 b 1 b' 2 k
由高斯定理求极化电荷产生附加场 E ' 分布：
0(r a) k ' 1分 E' a ( a r b) 0r 2 0 r 0(r b) 由于 E0 0 ，故 E E0 E ' E ' ，故介质内外电场分布：
。
I e I m cos 2 45。
1 Im 2 1 I o I m sin 2 45。 I m 2 2 d (ne主 no )
M
→|a|← 图 1
N
此时 o，e 光（在劈背）光程差：
o，e 光出射后的光强：
I eN I e cos 2 45。 I oN
1 Im 4 1 I o cos 2 45。 I m 4
Cp dQ p ndT
T1 T2 .设摩尔等 2
则: dQ p C p dT （3 分） 总的熵变应等于两杯水熵变之和： 对第一杯水熵变： S1
T1 T2 2 T1 T2 2
T1
dQ T
dQ T
T1
CP dT
T
CP ln
T1 T2 2T1
（1 分）
1分
3. 依瑞利判据知人眼的最小分辨角为
1.22
D
2.2 10 5 rad
2分 1分
可分辨最小间距： y L 350000 2.2 105 77 (米) 看不到长城！
（1）此系统达 四、将质量相同、温度分别为 T1、T2 的两杯水在等压下绝热地混合，试问： 到最后状态，计算此过程的熵变。 （2）分析判断熵是增加、减少、还是未变？要有推算过 程并对结论说明理由。 （设水的摩尔等压热容量为 Cp，每杯水的量为 ν 摩尔） 解： （1）两杯水在等压下绝热的混合，可视为不可逆过程，为了求出两杯水的熵变，可以设想 这样一个可逆过程，令两杯水经可逆等压过程，温度分别为 T1 和 T2 变为 压热容量为 C P ，每杯水为 mol。
1 B L2 ， 2
棒中电流： I
R
B L2 2R
2分
棒中（r-r+dr）所受安培力为： ： dF dr 所受的磁力矩： dM 合力矩： M
L
IBdr ，
IBrdr ；
L
dM
0
0
1 2 B 2 L4 IBrdr IBL 2 4R
2分
由力学转动方程：M J
对第二杯水熵变： S 2
T1 T2 2
T2
T1 T2 2
T2
CP dT
T
CP ln
T1 T2 （1 分） 2T2
2
T T T T T T 总熵变为： S S1 S 2 C P ln 1 2 ln 1 2 CP ln 1 2 （1 分） 2T1 2T2 4T1T2
1分
x x 2 ( x ) 2 x 2
由不确定关系： x p
1 1 2a 12 2
2
6 2 p 2 2 a ( 6)
p 不小于
6 2 a 2 ( 2 6)
1分
九、有一不带自由电荷铁电体（去掉外电场仍然保持极化状态的电介质）长圆筒，其长度 为 L，内外半径为 a、b，极化强度矢量 p=kr/r2 (k 为常数，介质内部无极化电荷)，相对介 电常数为 εr、相对磁导率为 μr，求： （1）圆筒内外的电场强度 E、电位移矢量 D 分布； （2） 若圆筒绕其中心轴以匀角速 ω 转动，圆筒内外的磁场强度 H、磁感应强度 B 分布。 解： 极化体电荷密度： D1 p