同济版高数课后习题答案.doc
2019年同济第六版高数答案(高等数学课后习题解答)3.doc
习题11-81. 将下列各周期函数展开成傅里叶级数(下面给出函数在一个周期内的表达式): (1))2121(1)(2<≤--=x x x f ;解 因为f (x )=1-x 2为偶函数, 所以b n =0(n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅), 而611)1(4)1(2/12210221020=-=-=⎰⎰dx x dx x a ,⎰-=21022/1cos )1(2/12dx x n x a n π 2212102)1(2cos )1(4ππn xdx n x n +-=-=⎰(n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),由于f (x )在(-∞, +∞)内连续, 所以∑∞=+-+=12122cos )1(11211)(n n x n n x f ππ, x ∈(-∞, +∞).(2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤-<≤<≤-=121 1210 101 )(x x x x x f ;解 21)(1212100111-=-+==⎰⎰⎰⎰--dx dx xdx dx x f a n ,⎰⎰⎰⎰-+==--1212100111cos cos cos cos )(xdx n xdx n xdx n x xdx n x f a n ππππ 2sin 2])1(1[122πππn n n n +--= (n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),dx x n xdx n xdx n x xdx n x f b n ⎰⎰⎰⎰-+==--121210111sin sin sin sin )(πππππππn n n 12cos 2+-= (n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅). 而在(-∞, +∞)上f (x )的间断点为x =2k , 212+k , k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅, 故 }s i n 2c o s 21c o s ]2s i n 2)1(1{[41)(122x n n n x n n n n x f n n πππππππ-++--+-=∑∞=(x ≠2k , 212+≠k x , k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).(3)⎩⎨⎧<≤<≤-+=30 1 03 12)(x x x x f .解 1])12([31)(313003330-=++==⎰⎰⎰--dx dx x dx x f a ,]3cos 3cos )12([313cos )(31300333⎰⎰⎰--++==dx x n dx x n x dx x n x f a n πππ])1(1[622n n --=π(n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ ), ]3sin 3sin )12([313sin )(31300333⎰⎰⎰--++==dx x n dx x n x dx x n x f b n πππn n )1(6-=π(n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ ),而在(-∞, +∞)上, f (x )的间断点为 x =3(2k +1), k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅,故 }3sin 6)1(3cos])1(1[6{21)(1122∑∞=+-+--+-=n n n x n n x n n x f ππππ,(x ≠3(2k +1), k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).2. 将下列函数分别展开成正弦级数和余弦级数:(1)⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤=lx x l l x x x f 2l20 )(; 解 正弦级数:对f (x )进行奇延拓, 则函数的傅氏系数为 a 0=0(n =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),2sin 4]sin )(sin [22221210ππππn n l dx l x n x l dx l x n x l b l n =-+=⎰⎰(n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ )故 ∑∞==122sin 2sin14)(n l x n n nl x f πππ, x ∈[0, l ].余弦级数:对f (x )进行偶延拓, 则函数的傅氏系数为2])([2212100l dx x l xdx l a l =-+=⎰⎰,⎰⎰-+=l n dx l x n x l dx l x n x l a 21210]cos )(cos [2ππ])1(12cos2[222n n n l ---=ππ(n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ )b n =0(n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ ),故 lx n n n l l x f n n πππcos ])1(12cos2[124)(122∑∞=---+=, x ∈[0, l ].(2)f (x )=x 2(0≤x ≤2).解 正弦级数:对f (x )进行奇延拓, 则函数的傅氏系数为 a 0=0(n =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),]1)1[()(168)1(2sin2231202--+-==+⎰n n n n n dx x n x b πππ,故 2sin }]1)1[()(168)1{()(131x n n n x f n n n πππ∑∞=+--+-=2sin}]1)1[(2)1({811x n n n n n n ππ∑∞=+--+-=, x ∈[0, 2).余弦级数:对f (x )进行偶延拓, 则函数的傅氏系数为38222020==⎰dx x a 2202)(16)1(2cos22ππn dx x n x a n n -==⎰(n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),b n =0(n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),故 2cos)(16)1(34)(12x n n x f n n ππ∑∞=-+=2cos)1(1634122x n n n n ππ∑∞=-+=, x ∈[0, 2].总习题十一 1. 填空: (1)对级数∑∞=1n n u , 0lim =∞→n n u 是它收敛的________条件, 不是它收敛的________条件; 解 必要; 充分.(2)部分和数列{s n }有界是正项级数∑∞=1n n u 收敛的________条件; 解 充分必要. (3)若级数∑∞=1n n u 绝对收敛, 则级数∑∞=1n n u 必定________; 若级数∑∞=1n n u 条件收敛, 则级数∑∞=1||n n u 必定________. 解 收敛; 发散.2. 判定下列级数的收敛性: (1)∑∞=11n n nn ; 解 因为11lim 11lim==∞→∞→n n n n nn n n ,而调和级数∑∞=11n n发散, 故由比较审敛法知, 级数发散. (2)∑∞=1222)!(n nn ;解 因为∞==⋅++=∞→∞→+∞→222221lim )!(2)1(2])!1[(lim lim n n n n n u u n n n n n , 故由比值审敛法知, 级数发散.(3) ∑∞=1223cos n n n n π; 解 因为n n n n n 223cos 2<π, 12121lim 2lim <==∞→∞→n n n n n n n 所以由根值审敛法, 级数∑∞=12n n 收敛; 由比较审敛法, 级数∑∞=1223cos n nn n π收敛. (4)∑∞=110ln 1n n;解 因为∞==∞→∞→nn n u n n n 10ln lim 1lim , 而调和级数∑∞=11n n 发散, 故由比较审敛法知, 原级数发散. 提示: ∞===⋅⋅⋅==⋅=∞→∞→∞→∞→∞→xx x xx x x x x x x x x x 11lim !101ln lim !101 ln lim 1011ln 101lim ln lim 9910 (5)∑∞=1n s n na (a >0, s >0). 解 因为 a n a n a sn n ns n n ==∞→∞→)(lim lim , 故由根值审敛法知, 当a <1时级数收敛, 当a >1时级数发散. 当a =1时, 原级数成为∑∞=11n s n, 这是p =s 的p -级数, 当s >1时级数收敛, 当s ≤1时级数发散. 3. 设正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都收敛, 证明级数∑∞=+12)(n n n v u 与收敛. 证明 因为∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都收敛, 所以0lim =∞→n n u , 0lim =∞→n n v . 又因为0)2(lim 2lim 2=+=+∞→∞→n n n nn n n n v u u v u u , 0lim lim 2==∞→∞→n n n nn v v v ,所以级数∑∞=+12)2(n n n n v u u 和级数∑∞=12n n v 都收敛, 从而级数∑∑∞=∞=+=++12122)(])2[(n n n n n n n n v u v v u u也是收敛的.4. 设级数∑∞=1n n u 收敛, 且1lim =∞→nnn u v , 问级数∑∞=1n n v 是否也收敛？试说明理由. 解 级数∑∞=1n n v 不一定收敛. 当∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 均为正项级数时, 级数∑∞=1n n v 收敛, 否则未必. 例如级数∑∞=-11)1(n n 收敛, 但级数∑∞=+-1]11)1[(n n n 发散, 并且有11)1(11)1(lim=-+-∞→nn n n . 5. 讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性: (1)∑∞=-11)1(n p n n ; 解 ∑∑∞=∞==-111|1)1(|n p n p nnn 是p 级数. 故当p >1时级数∑∞=11n p n 是收敛的, 当p ≤1时级数∑∞=11n p n 发散. 因此当p >1时级数∑∞=-11)1(n p n n 绝对收敛. 当0<p ≤1时, 级数∑∞=-11)1(n p n n 是交错级数, 且满足莱布尼茨定理的条件, 因而收敛, 这时是条件收敛的.当p ≤0时, 由于01)1(lim ≠-∞→p nn n , 所以级数∑∞=-11)1(n p n n 发散.综上所述, 级数∑∞=-11)1(n p n n 当p >1时绝对收敛, 当0<p ≤1时条件收敛, 当p ≤0时发散.(2)∑∞=+++-1111sin )1(n n n n ππ; 解 因为1111|1s i n )1(|+++≤+-n n n n πππ, 而级数∑∞=+111n n π收敛, 故由比较审敛法知级数|1sin )1(|111∑∞=+++-n n n n ππ收敛, 从而原级数绝对收敛.(3)∑∞=+-11ln )1(n n n n ; 解 因为1ln )11ln(lim 1ln lim 1|1ln )1(|lim ==+=+=+-∞→∞→∞→e n n n n n n n n n n n n , 而级数∑∞=11n n发散, 故由比较审敛法知级数|1ln)1(|1∑∞=+-n n n n 发散, 即原级数不是绝对收敛的.另一方面, 级数∑∞=+-11ln )1(n nn n 是交错级数, 且满足莱布尼茨定理的条件, 所以该级数收敛, 从而原级数条件收敛.(4)∑∞=++-11)!1()1(n n n nn . 解 令1)!1()1(++-=n n n n n u . 因为11)11(112lim )1(12lim)!1()1()!2(lim ||||lim 121<=+⋅++=+⋅++=+⋅++∞→∞→++∞→+∞→e nn n n n n n n n n n u u n n n n n n n n n n ,故由比值审敛法知级数|)!1()1(|11∑∞=++-n n n n n 收敛, 从而原级数绝对收敛.6. 求下列级限:(1)∑=∞→+nk k k n k n 12)11(311lim ;解 显然∑=+=nk k k n k s 12)11(31是级数∑∞=+12)11(31n n n n 的前n 项部分和.因为13)11(31lim )11(31lim 2<=+=+∞→∞→e n n n n nn n n , 所以由根值审敛法, 级数∑∞=+12)11(31n n n n 收敛, 从而部分和数列{s n }收敛.因此01lim )11(311lim 12=⋅=+∞→=∞→∑n n nk k k n s n k n .(2)])2( 842[lim 312719131n n ⋅⋅⋅⋅⋅∞→.解n n nn3 27392313127191312)2( 842+⋅⋅⋅+++=⋅⋅⋅⋅⋅.显然n n n s 3 2739231+⋅⋅⋅+++=是级数∑∞=13n n n 的前n 项部分和.设∑∞=-=11)(n n nx x S , 则210)1(1]111[][])([)(x x x dx x S x S n n x-='--='='=∑⎰∞=. 因为43)311(131)31(31)31(3132111=-⋅===∑∑∞=-∞=S n n n n n n , 所以43lim =∞→n n s , 从而4331271913122lim ])2( 842[lim ==⋅⋅⋅⋅⋅∞→∞→n n s n nn .7. 求下列幂级数的收敛域:(1)∑∞=+153n n n n x n ; 解 51)53(5)53(31lim 53153lim ||lim 111=++⋅+=+⋅++=∞→++∞→+∞→n n n n n n n n n n n n n n n a a , 所以收敛半径为51=R . 因为当51=x 时, 幂级数成为]1)53[(11+∑∞=n n n , 是发散的;当51-=x 时, 幂级数成为]1)53[()1(1+-∑∞=n n n n , 是收敛的, 所以幂级数的收敛域为)51 ,51[-. (2)∑∞=+12)11(n n n x n ;解 n n n x n u 2)11(+=, 因为||||)11(lim ||lim x e x nu n n n n n =+=∞→∞→, 由根值审敛法, 当e |x |<1, 即ex e 11<<-时, 幂级数收敛; 当e |x |>1, 时幂级数发散. 当e x 1-=时, 幂级数成为∑∞=+1)1()11(2n n n e n ; 当e x 1=时, 幂级数成为∑∞=+-1)1()11()1(2n n n n e n .因为21)1ln(lim 11)11ln(lim ])11ln([lim 2022-=-+=-+=-++→+∞→+∞→t t t x x x x x x t x x , 所以 0lim )1()11(lim 21)11ln(22≠==+--+∞→∞→e ee n n n n n n n n , 因此级数∑∞=+-1)1()11()1(2n n n n e n 和∑∞=+1)1()11(2n n n e n 均发散, 从而收敛域为)1 ,1(e e -. (3)∑∞=+1)1(n n x n ; 解u n =n (x +1)n . 因为 |1||1|1lim ||lim 1+=++=∞→+∞→x x nn u u n n n n , 根据比值审敛法, 当|x +1|<1, 即-2<x <0时, 幂级数收敛; 当|x +1|>1时, 幂级数发散.又当x =0时, 幂级数成为∑∞=1n n , 是发散的; 当x =-2时, 幂级数成为∑∞=-1)1(n n n , 也是发散的, 所以幂级数的收敛域为(-2, 0). (4)∑∞=122n n n x n .解 n n n x n u 22=. 因为 221121221lim ||lim x x n n u u n n n n n n =⋅⋅+=+∞→+∞→, 根据比值审敛法, 当1212<x , 即22<<-x 时, 幂级数收敛; 当1212>x 时, 幂级数发散. 又当2±=x 时, 幂级数成为∑∞=1n n , 是发散的, 所以收敛域为)2 ,2(-.8. 求下列幂级数的和函数: (1)∑∞=--1)1(2212n n n x n ;解 设幂级数的和函数为S (x ), 则])2(2[]21[])([)(1121120'='='=∑∑⎰∞=-∞=-n n n n xx x x dx x S x S)12( )2(2]2112[22222<-+='-⋅=x x x x x , 即 )22( )2(2)(222<<--+=x x x x S . (2)∑∞=----112112)1(n n n xn ; 解 设幂级数的和函数为S (x ), 则 )1( arctan 11)1()()(20212210<=+=-='=⎰⎰∑⎰∞=--x x dx x xdx x S x S xx n n n x.因为当x =±1时, 幂级数收敛, 所以有 S (x )=arctan x (-1≤x ≤1). (3)∑∞=-1)1(n n x n ; 解 设幂级数的和函数为S (x ), 则 ])1()[1()1()1()1()(1111'--=--=-=∑∑∑∞=∞=-∞=n n n n n nx x x n x x n x S)1|1(| )2(1])1(11)[1(])1()1)[(1(211<---='----='---=∑∞=-x x x x x x x x x n n , 即 )20( )2(1)(2<<--=x x x x S .(4)∑∞=+1)1(n n n n x . 解 易知幂级数的收敛域为[-1, 1].设幂级数的和函数为S (x ), 则当x ≠0时∑∑∞=+∞=+=+=111)1(11)1(1)(n n n n x n n x x n n x Sdx dx x x dx x n x x x n n x n n ][111001101⎰⎰∑⎰∑∞=-∞===dx x x dx dx x x x x x ⎰⎰⎰--=-=000)1ln(1]11[1 )]1ln()1ln([1x x x x x-----= )1ln(11x xx --+=, x ∈[-1, 0)⋃(0, 1], 又显然S (0)=0, 因此⎪⎩⎪⎨⎧=⋃-∈--+=0 0]1 ,0()0 ,1[ )1ln(11)(x x x xx x S .9. 求下列数项级数的和: (1)∑∞=12!n n n ; 解 ∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=+-=+-=11112!!)1(!)1(!n n n n n n n n n n n n n n n .因为n n xx n e ∑∞==1!1, 两边求导得11!-∞=∑=n n x x n n e , 再求导得22!)1(-∞=∑-=n n x x n n n e , 因此x x n n n n n n n n n n e e x x n n x n n n x x n n x n n n x n n +=+-=+-=∑∑∑∑∑∞=∞=-∞=∞=∞=221221112!!)1(!!)1(!,从而 e S n n n 2)1(!12==∑∞=. (2)∑∞=++-0)!12(1)1(n n n n . 解 ∑∑∑∞=∞=∞=+-+++-=++-000)!12(1)1(21)!12(12)1(21)!12(1)1(n n n n n nn n n n n 1sin 211cos 21)!12(1)1(21)!2(1)1(2100+=+-+-=∑∑∞=∞=n n n n n n . 提示: ∑∞=++-=012)!12(1)1(sin n n nx n x , ∑∞=++-=02)!12(12)1(cos n n n x n n x .10. 将下列函数展开成x 的幂级数: (1))1ln(2++x x ;解 ⎰⎰+='++=++xxdx x dx x x x x 0202211])1[ln()1ln(, 因为 ∑∞=---+=+=+122122!)!2(!)!12()1(1)1(11n n x n n x x , |x |≤1,故 ∑∞=++--+=++1122)12(!)!2(!)!12()1()1ln(n n n x n n n x x x (-1≤x ≤1).(2)2)2(1x -.解 ∑∞='='-='-=-02])2([21)211(21)21()2(1n n x x x x ∑∑∞=-+∞=+='=111012]21[n n n n n n x n x (-2≤x ≤2). 11. 设f (x )是周期为2π的函数, 它在[-π, π)上的表达式为 ⎩⎨⎧∈-∈=) ,0[ )0 ,[ 0)(ππx e x x f x. 将f (x )展开成傅里叶级数. 解 πππππππ11)(10-===⎰⎰-e dx e dx x f a x ,n n xn a n e nxdx e nxdx x f a 201)1(cos 1cos )(1---===⎰⎰-πππππππ, 即 ππ)1(1)1(2+--=n e a n n (n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ ), ⎰⎰==-πππππ0sin 1sin )(1nxdx e nxdx x f b x nn x na nxdx e n -=-=⎰ππ0cos 1)((n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ ).因此 ∑∞=-+--+-=12)sin (cos )1(1)1(21)(n n x n nx n e e x f ππππ (-∞<x <+∞且x ≠n π, n =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).12. 将函数 ⎩⎨⎧≤<≤≤=πx h h x x f 00 1)( 分别展开成正弦级数和余弦级数.解 若将函数进行奇延拓, 则傅里叶系数为 a n =0(n =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅), ππππn nh nxdx nxdx x f b h n )cos 1(2sin 2sin )(200-===⎰⎰. 因此, 函数展开成正弦级数为∑∞=-=1sin cos 12)(n nx nnh x f π, x ∈(0, h )⋃(h , π),当x =h 时, 21)(=h f . 若将函数进行偶延拓, 则傅里叶系数为ππππh dx dx x f a h 22)(2000===⎰⎰, ππππn nh nxdx nxdx x f a hn sin 2cos 2cos )(200===⎰⎰(n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅), b n =0(n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),.因此, 函数展开成余弦级数为∑∞=+=1cos sin 2)(n nx nnh h x f ππ, x ∈[0, h )⋃(h , π), 当x =h 时, 21)(=h f .总习题十二1. 填空:(1)xy '''+2x 2y '2+x 3y =x 4+1是______阶微分方程;解 是3阶微分方程.(2)若M (x , y )dx +N (x , y )dy =0是全微分方程, 则函数M 、N 应满足______;解 xN y M ∂∂=∂∂. (3)与积分方程⎰=xx dx y x f y 0),(等价的微分方程初值问题是______; 解 方程两边对x 求导得y '=f (x , y ). 显然当x =x 0时, y =0.因此与积分方程等价的微分方程初值问题是y '=f (x , y ), 0|0==x x y .(4)已知y =1、y =x 、y =x 2是某二阶非齐次线性微分方程的三个解, 则该方程的通解为______.解 容易证明非齐次线性微分方程的任意两个解的差是对应齐次线性微分方程的的解. 因此y 1=x -1和y 2=x 2-1都是对应齐次线性微分方程的的解. 显然y 1与y 2是线性无关. 所以非齐次线性微分方程的通解为y =C 1(x -1)+C 2(x 2-1)+1.2. 求以下列各式所表示的函数为通解的微分方程:(1)(x +C )2+y 2=1(其中C 为任意常数);解 将等式变形21y C x -±=+,两边对x 求导得211yy y -'±=, 从而1-y 2=y 2y '2, 即所求微分方程为y 2(1+y '2)=1.(2)y =C 1e x +C 2e 2x (其中C 1、C 2为任意常数).解 两边对x 求导得y '=C 1e x +2C 2e 2x =y +C 2e 2x ,即 y '=y +C 2e 2x ,⋅ ⋅ ⋅(1)再求导得y ''=y '+2C 2e 2x . ⋅ ⋅ ⋅(2)(2)-(1)⨯2得y ''-2y '=y '-2y ,即所求微分方程为y ''-3y '+2y =0.3. 求下列微分方程的通解:(1)xy y y x 2=+';解 将方程变形为xy x y y 1212=+', 即x y x y 121)(=+'. 其通解为)(1)1(2121C x xC dx e x e y dx x dx x +=+⎰⎰=⎰-, 即原方程的通解为xC x y 2)(+=. (2) xy 'ln x +y =ax (ln x +1);解 将方程变形为)ln 11(ln 1xa y x x y +=+', 其通解为)ln (ln 1])ln 11([ln 1ln 1C x ax x C dx e x a e y dx x x dx x x +=+⎰+⎰=⎰-, 即原方程的通解为xC ax y ln +=. (3))(ln 2x y y dx dy -=; 解 将方程变形为yy x y dy dx ln 22=+, 其通解为)21ln (1)ln 2(22222C y y y y C dy e y y e x dy y dy y +-=+⎰⎰=⎰-, 即原方程的通解为221ln yCy x +-=. (4)033=-+y x xy dxdy ; 解 将方程变形为 3231x xy dxdy y =+-, 即32222)(x xy dx y d -=---, 其通解为)())2([22222322C e e x e C dx e x e y x x x xdx xdx ++=+⎰-⎰=----⎰,即原方程的通解为1222++=-x Ce y x .(5)022=+-++yx xdy ydx ydy xdx ; 解 因为)2(22y x d y d y x d x +=+, 2222)(11y x d y y d x yx y x x d y y d x -⋅+=+- )(a r c t a n )()(112y x d y x d y x =+=,所以原方程可写成0)a r c t a n 22(22=++yx y x d , 从而原方程的通解为C yx y x =++a r c t a n 222.(6) yy ''-y '2-1=0;解 令y '=p , 则dy dp py ='', 原方程化为 012=--p dydp yp , 或 yp y dy p d 22)(22=-, 其通解为1)()2(222222-=+-=+⎰⎰=--⎰Cy C y y C dy e y e p dy y dy y . 于是 12-±='Cy y , 即dx y C dy ±=-1)(21(C =C 12), 积分得 2211)1)(l n (C x y C y C +±=-+, 化简得原方程的通解)(ch 121C x C y +±=. (7) y ''+2y '+5y =sin2x ;解 齐次方程y ''+2y '+5y =0的特征方程为r 2+2r +5=0,其根为r 1, 2=-1±2i .因为f (x )=sin2x , λ+ωi =2i 不是特征方程的根,所以非齐次方程的特解应设为y *=A cos2x +B sin2x ,代入原方程得(A +2B )cos2x +(B -4A )sin2x =sin2x , 比较系数得174-=A , 171=B , x x y 2sin 1712cos 174*+-=. 因此原方程的通解为x x x C x C e y x 2s i n 1712cos 174)2sin 2cos (21+-+=-. (8) y '''+y ''-2y '=x (e x +4);解 齐次方程y '''+y ''-2y '=0的特征方程为r 3+r 2-2r =0,其根为r 1=0, r 2=1, r 3=2.齐次方程y '''+y ''-2y '=0的通解为y =C 1+C 2e x +C 3e -2x .原方程中f (x )=f 1(x )+f 2(x ), 其中f 1(x )=xe x , f 2(x )=4x .对于方程y '''+y ''-2y '=xe x , 因为λ=1是特征方程的根, 故其特解可设为 y 1*=x (Ax +B )e x ,代入y '''+y ''-2y '=xe x 得(6Ax +8A +3b )e x =xe x , 比较系数得61=A , 94-=B , 故x e x x y )9461(*1-=. 对于方程y '''+y ''-2y '=4x , 因为λ=0是特征方程的根, 故其特解可设为 y 2*=x (Cx +D ),代入y '''+y ''-2y '=4x 得-4Cx +2C -2D =4x ,比较系数得C =-1, D =-1, 故y 2*=x (-x -1).因此原方程的通解为x x e x x e C e C C y x x x ---+++=-222321)9461(.(9) (y 4-3x 2)dy +xydx =0;解 将原方程变形为323y x y dy dx x -=-, 或32226)(y x ydy x d -=-, 其通解为)(])2([266362C y y C dy e y e x dy y dy y +=+⎰-⎰=--⎰, 即原方程的通解为x 2=y 4+Cy 6.(10)y x x y +=+'2.解 令y x u +=2, 则y =u 2-x 2, x dxdu u dx dy 22-=, 故原方程化为u x dx du u =-2, 即21)(21+=u x dx du . 这是齐次方程, 因此令z xu =, 则u =xz , dx dz x z dx du +=, 则上述齐次方程化为 2121+=+z dx dz x z , 即)112(21---=zz dx dz x , 分离变量得x dx z z zdz 21122-=--, 积分得 123ln 21)132ln(61C x z z +-=+-, 即 2z 3-3z 2+1=Cx -3)(16C e C =. 将xu z =代入上式得 2u 3-3xu 2+x 3=C , 再代入y x u +=2, 得原方程的通解C xy x y x =--+32)(2332.4. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解:(1) y 3dx +2(x 2-xy 2)dy =0, x =1时y =1;解 原方程变形为2322x yx y dy dx -=-, 即 31222yx y dy dx x -=---, 或 31122)(yx y dy x d =+--, 其通解为)ln 2(1)2(22321C y y C dy e y e x dy +=+⎰⎰=⎰--, 即原方程的通解为y 2=x (2ln y +C ).由y |x =1=1, 得C =1. 故满足所给初始条件的特解为y 2=x (2ln y +1).(2) y ''-ay '2=0, x =0时y =0, y '=-1;解 令y '=p , 则原方程化为02=-ap dxdp .分离变量得a d x p dp =2, 两边积分得11C ax p +=-, 即11C ax y +-='. 代入初始条件y '(0)=-1得C 1=1,故 11+-='ax y . 方程两边积分得2)1l n (1C ax ay ++-=. 代入初始条件y (0)=0得C 2=0.因此满足所给初始条件的特解为)1ln(1+-=ax ay .(3) 2y ''-sin2y =0, x =0时2π=y , y '=1; 解 令y '=p , 则原方程化为02s i n 2=-y dydp p . 分离变量得2pdp =sin2ydy ,两边积分得122c o s 21C y p +-=. 代入初始条件y '(0)=1得211=C , 因而 y y y 22s i n 212c o s 21=+-=', 即 y '=sin y .分离变量得dx ydy =sin , 两边积分得2c o s 1c o s 1ln 21C x yy +=+-.代入初始条件2)0(π=y 得C 2=0. 因此满足所给初始条件的特解为yy x cos 1cos 1ln 21+-=. (4) y ''+2y '+y =cos x , x =0时y =0, 23='y . 解 齐次方程y ''+2y '+y =0的特征方程为r 2+2r +1=0,其根为r 1, 2=-1.齐次方程y ''+2y '+y =0的通解为y =(C 1+C 2x )e -x .因为f (x )=cos x , λ+ωi =i 不是特征方程的根, 所以非齐次方程的特解应设为 y *=A cos x +B sin x ,代入原方程得-2A sin x +2B cos x =cos x ,比较系数得A =0, 21=B . 故x y sin 21*=. 从而原方程的通解为 x e x C C y x s i n 21)(21++=- . 将初始条件代入通解得⎪⎩⎪⎨⎧=++-=23210211C C C , 解之得C 1=0, C 2=1.因此满足所给初始条件的特解为x xe y x sin 21+=-. 5. 已知某曲线经过点(1, 1), 它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标, 求它的方程.解 设点(x , y )为曲线上任一点, 则曲线在该点的切线方程为Y -y =y '(X -x ),其在纵轴上的截距为y -xy ', 因此由已知有y -xy '=x , 即11-=-'y xy . 这是一个一阶线性方程, 其通解为)ln (])1([11C x x C dx e e y dx x dx x +-=+⎰-⎰=⎰-, 即方程的通解为y =x (C -ln x ).由于曲线过点(1, 1), 所以C =1.因此所求曲线的方程为y =x (1-ln x ).6. 已知某车间的容积为30⨯30⨯6m 3, 其中的空气含0.12%的CO 2(以容积计算). 现以含CO 20.04%的新鲜空气输入, 问每分钟应输入多少, 才能在30min 后使车间空气中CO 2的含量不超过0.06%?(假定输入的新鲜空气与原有空气很快混合均匀后, 以相同的流量排出).解 设每分钟应输入的空气为a m 3, t 时刻车间中CO 2的浓度为x (t ), 则车间中CO 2的含量(以体积计算)在t 时刻经过dt min 的改变量为30⨯30⨯6 dx =0.0004adt -axdt ,分离变量得dt a dx x 54000004.01-=-, 由于x >0.0004, 故两边积分得C t a x ln 5400)0004.0ln(+-=-, 即 t a Ce x 54000004.0-+=.由于开始时车间中的空气含0.12%的CO 2, 即当t =0时, x =0.0012, 代入上式得C =0. 0008. 因此t a e x 54000008.00004.0-+=.由上式得0008.0004.0ln 5400--=x t a . 由于要求30min 后车间中CO 2的含量不超过0.06%, 即当t =30时, x ≤0.0006, 将t =30, x =0. 0006代入上式得a =180ln 4≈250.因为054000008.05400<-='-t ae x , 所以x 是a 的减函数, 考试当a ≥250时可保证x ≤0.0006.因此每分钟输入新鲜空气的量不得小于250m 3.7. 设可导函数ϕ(x )满足1s i n )(2c o s )(0+=+⎰x t d t t x x xϕϕ, 求ϕ(x ).解 在等式两边对x 求导得ϕ'(x )cos x -ϕ(x )sin x +2ϕ(x )sin x =1,即 ϕ'(x )+tan x ϕ(x )=sec x .这是一个一阶线性方程, 其通解为)s e c ()(t a n t a n C dx xe e x xdx xdx +⎰⎰=⎰-ϕ=cos x (tan x +C )=sin x +C cos x .在已知等式中, 令x =0得ϕ(0)=1, 代入通解得C =1. 故ϕ(x )=sin x +cos x . 8. 设函数u =f (r ), 222z y x r ++=在r >0内满足拉普拉斯(Laplace)方程0222222=∂∂+∂∂+∂∂z u y u x u , 其中f (r )二阶可导, 且f (1)=f '(1)=1. 试将拉普拉斯方程化为以r 为自变量的常微分方程, 并求f (r ).解 因为rx z y x x x r =++=∂∂22222, 所以 )()(r f rx x r r f x u '=∂∂'=∂∂, )()()()(22322222r f r x r f r x r x r r f r x r f r x r x r x u '+'-=∂∂'+'∂∂-=∂∂. 同理可得)()(2232222r f ry r f r y r y u '+'-=∂∂, )()(2232222r f r z r f r z r z u '+'-=∂∂. 于是 )()(3222232222222222r f rz y x r f r z y x r z u y u x u '+++'---=∂∂+∂∂+∂∂ 22322)()(2dr u d dr du r r f r f rr+='+'=. 因此拉普拉斯方程化为0222=+dr u d dr du r , 即0222=+drdu r dr u d . 令)(r p drdu =, 则以上方程进一步变成 02=+dr dp p r , 即02=+p rdr dp , 其通解为2121rC e C p dr r =⎰=-, 即21r C dr du =. 由于f '(1)=1, 即r =1时1=drdu , 所以C 1=1, 21r dr du =. 在方程21r dr du =的两边积分得21C ru +-=. 又由于f (1)=1, 即r =1时u =1, 所以C 2=2, 从而21+-=r u , 即21)(+-=rr f .9. 设y 1(x )、y 2(x )是二阶齐次线性方程y ''+p (x )y '+q (x )y =0的两个解, 令)()()()()()()()()(21212121x y x y x y x y x y x y x y x y x W '-'=''=, 证明:(1)W (x )满足方程W '+p (x )W =0; 证明 因为y 1(x )、y 2(x )都是方程y ''+p (x )y '+q (x )y =0的解, 所以 y 1''+p (x )y 1'+q (x )y 1=0, y 2''+p (x )y 2'+q (x )y 2=0, 从而 W '+p (x )W =(y 1'y 2'+ y 1y 2''- y 1''y 2- y 1'y 2')+p (x )( y 1y 2'- y 1'y 2) =y 1[y 2''+p (x )y 2']- y 2[y 1''+p (x )y 1'] =y 1[-q (x )y 2]- y 2[-q (x )y 1] =0,即W (x )满足方程W '+p (x )W =0.(2)⎰=-x x dt t p e x W x W 0)(0)()(. 证明 已知W (x )满足方程 W '+p (x )W =0,分离变量得dx x p WdW )(-=. 将上式两边在[x 0, x ]上积分, 得 ⎰-=-x x dt t p x W x W 0)()(ln )(ln 0, 即 ⎰=-x x dt t p ex W x W 0)(0)()(.。
同济大学《高等数学第五版》上下册习题答案(可编辑)
同济大学《高等数学第五版》上下册习题答案习题 1?11. 设 A?∞, ?5∪5, +∞, B[?10, 3, 写出 A∪B, A∩B, A\B及 A\A\B的表达式解 A∪B?∞, 3∪5, +∞, A∩B[?10, ?5, A\B?∞, ?10∪5, +∞, A\A\B[?10, ?5C C C2. 设A、B是任意两个集合, 证明对偶律: A∩B A ∪B证明因为C C C C Cx∈A∩B ?x?A∩B? x?A或x?B? x∈A 或x∈Bx∈A ∪B ,C C C所以 A∩B A ∪B 3. 设映射 f : X →Y, A?X, B?X证明1fA∪BfA∪fB; 2fA ∩B?fA∩fB 证明因为 y∈fA∪B??x∈A∪B, 使 fxy?因为 x∈A 或 x∈B y∈fA或 y∈fB? y∈ fA∪fB,所以 fA∪BfA∪fB 2因为y∈fA∩Bx∈A∩B, 使fxy?因为 x∈A且 x∈B y∈fA且 y∈fB? y∈ fA∩fB,所以 fA∩B?fA∩fB 4. 设映射f : X→Y, 若存在一个映射g: Y→X, 使 g f I , f g I , 其中I 、I 分别是X、X YX YY上的恒等映射, 即对于每一个x∈X, 有I xx; 对于每一个y∈Y, 有I yy. 证明: f是双射, 且gX Y?1是f的逆映射: gf证明因为对于任意的y∈Y, 有xgy∈X, 且fxf[gy]I yy, 即Y中任意元素都是X中某y元素的像, 所以f为X到Y的满射又因为对于任意的x ≠x , 必有fx ≠fx , 否则若fx fx ?g[ fx ]g[fx ]x x1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 因此 f 既是单射, 又是满射, 即 f 是双射对于映射g: Y→X, 因为对每个y∈Y, 有gyx∈X, 且满足fxf[gy]I yy, 按逆映射的y定义, g是f的逆映射 5. 设映射 f : X→Y, A?X证明: ?1 1f fA?A; ?1 2当f是单射时, 有f fAA ?1 ?1 证明 1因为x∈Afxy∈fAf yx∈f fA, ?1 所以 f fA?A1 2由1知f fA?A1 ?1 另一方面, 对于任意的x∈f fA?存在y∈fA, 使f yx?fxy因为y∈fA且f是单1 ?1射, 所以x∈A. 这就证明了f fA?A. 因此f fAA6. 求下列函数的自然定义域: 1 y 3x+2 ;2 2 解由 3x+2≥0 得 x 函数的定义域为[? , +∞3 31 2 y ;21?x2 解由 1?x ≠0得x≠±1函数的定义域为?∞, ?1∪?1, 1∪1, +∞12 3 y 1?x ;x2 解由x≠0 且 1?x ≥0得函数的定义域D[?1, 0∪0, 1]1 4 y ;24?x2 解由 4?x 0 得 |x|2函数的定义域为?2, 2 5 y sin x ;解由 x≥0 得函数的定义 D[0, +∞ 6 ytanx+1;ππx≠kπ + ?1解由 x+1≠ k0, ±1, ±2,得函数的定义域为 k0, ±1, ±2,2 2 7 yarcsinx?3; 解由|x?3|≤1 得函数的定义域 D[2, 4]1 8 y 3? x +arctan ;x 解由 3?x≥0 且 x≠0 得函数的定义域 D?∞, 0∪0, 3 9 ylnx+1; 解由 x+10 得函数的定义域 D?1, +∞1x 10 ye解由 x≠0 得函数的定义域 D?∞, 0∪0, +∞ 7. 下列各题中, 函数 fx和 gx是否相同?为什么? 2 1fxlg x , gx2lg x;2 2 fxx, gx x ;3 34 3 3 f x xx , gx x x?12 2 4fx1, gxsec x?tan x解 1不同因为定义域不同 2不同因为对应法则不同, x0时, gx?x 3相同因为定义域、对应法则均相相同 4不同因为定义域不同π|sin x| |x|πππ3 8. 设?x , 求? , ? , ?? , ??2, 并作出函数 y?x的图形π 64 4?0 |x|≥3ππ 1 ππ 2 ππ 2 解 ? |sin | , ? |sin | , ?? |sin? | , ??206 6 2 4 4 2 4 4 2 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:x 1 y , ?∞, 1;1? x 2yx+ln x, 0, +∞证明 1对于任意的x , x ∈?∞, 1, 有 1?x 0, 1?x 0. 因为当x x 时,1 2 1 2 1 2x x xx1 2 1 2yy 0,1 21? x 1? x 1? x 1? x1 2 1 2x所以函数 y 在区间?∞, 1内是单调增加的1? x 2对于任意的x , x ∈0, +∞, 当x x 时, 有1 2 1 2x1yy x +ln x ?x +ln x xx +ln 0,1 2 1 1 2 2 1 2x2所以函数 yx+ln x 在区间0, +∞内是单调增加的 10. 设 fx为定义在?l, l内的奇函数, 若 fx在0, l内单调增加, 证明 fx在?l, 0内也单调增加证明对于?x , x ∈?l, 0且x x , 有?x , ?x ∈0, l且?x ?x1 2 1 2 1 2 1 2 因为 fx在0, l内单调增加且为奇函数, 所以f?x f?x ,fx ?fx , fx fx ,2 1 2 1 2 1这就证明了对于?x , x ∈?l, 0, 有fx fx , 所以fx在?l, 0内也单调增加1 2 1 2 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间?l, l上的, 证明: 1两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数; 2两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数证明1设Fxfx+gx. 如果fx和gx都是偶函数, 则F?xf?x+g?xfx+gxFx,所以 Fx为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数如果 fx 和 gx都是奇函数, 则 F?xf?x+g?x?fx?gx?Fx,所以 Fx为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数2设Fxfx?gx. 如果fx和gx都是偶函数, 则F?xf?x?g?xfx?gxFx,所以 Fx为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数如果 fx 和 gx都是奇函数, 则 F?xf?x?g?x[?fx][?gx]fx?gxFx,所以 Fx为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数如果fx是偶函数, 而gx是奇函数, 则F?xf?x?g?xfx[?gx]?fx?gx?Fx,所以 Fx为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数 12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数?2 21yx 1?x ;2 32y3x ?x ;21?x3 y ;21+x4yxx?1x+1; 5ysin x?cos x+1;x ?xa +a6 y22 2 2 2 解 1因为f?x?x [1??x ]x 1?x fx, 所以fx是偶函数2 3 2 3 2由f?x3?x ??x 3x +x 可见fx既非奇函数又非偶函数221??x1? x 3因为 f ?x f x , 所以 fx是偶函数221+ x1+x 4因为f?x?x?x?1?x+1?xx+1x?1?fx, 所以fx是奇函数5由f?xsin?x?cos?x+1?sin x?cos x+1 可见 fx既非奇函数又非偶函数?x ??x ?x xa +a a +a 6因为 f ?x f x , 所以 fx是偶函数2 2 13. 下列各函数中哪些是周期函数?对于周期函数, 指出其周期: 1ycosx?2; 2ycos 4x; 3y1+sin πx; 4yx cos x;25ysin x 解 1是周期函数, 周期为 l2ππ 2是周期函数, 周期为 l2 3是周期函数, 周期为 l2 4不是周期函数 5是周期函数, 周期为 lπ 14. 求下列函数的反函数:3 1 y x+1 ;1?x 2 y ;1+xax+b 3 y ad?bc≠0;cx+d 4 y2sin3x; 5 y1+lnx+2;x2 6yx2 +13 33 3 解 1由 y x+1得xy ?1, 所以 y x+1的反函数为yx ?11? y1?x 1?x 1?x 2由 y 得 x , 所以 y 的反函数为 y1+x 1+ y 1+x 1+x?dy+bax+b ax+b ?dx+b 3由 y 得 x , 所以 y 的反函数为 ycy?acx+d cx+d cx?ay1 1 x 4由 y2sin 3x 得 x arcsin, 所以 y2sin 3x的反函数为 y arcsin3 2 3 2y?1 x?1 5由y1+lnx+2得xe ?2, 所以y1+lnx+2的反函数为ye ?2x xy2 2 x 6由 y 得 xlog , 所以 y 的反函数为 ylog2 2x x2 +1 1? y 2 +1 1? x 15. 设函数 fx在数集 X 上有定义, 试证: 函数 fx在 X 上有界的充分必要条件是它在 X上既有上界又有下界证明先证必要性. 设函数 fx在 X 上有界, 则存在正数 M, 使|fx|≤M, 即?M≤fx≤M. 这这就证明了 fx在 X 上有下界?M 和上界 M 再证充分性. 设函数fx在X 上有下界K 和上界K , 即K ≤fx≤ K取M|K |, |K |,1 2 1 2 1 2则M≤ K ≤fx≤ K ≤M ,1 2即 |fx|≤M这就证明了 fx在 X 上有界 16. 在下列各题中, 求由所给函数复合而成的函数, 并求这函数分别对应于给定自变量值x 和x 的函数值:1 22 ππ 1 yu , usin x, x , x ;1 26 3ππ 2 ysin u, u2x, x , x ;1 28, 42 3 y u, u1+x , x 1, x 2;1 2u 2 4 ye , ux , x 0, x 1;1 22 x 5 yu , ue , x 1, x ?11 22 π 1 1 π3 32 2 2 2 解 1ysin x, y sin , y sin1 26 2 4 3 2 4ππ 2 ππ 2ysin2x, y sin2? sin , y sin2? sin 11 28 4 2 4 22 2 23 y, 1+ x y 1+1 2 , y 1+2 51 22 2 2x 0 1 4 y e , y e 1 , y e e1 22x 2?1 2 2??1 ?2 5ye , y e e , y e e1 2 17. 设 fx的定义域 D[0, 1], 求下列各函数的定义域:2 1 fx ; 2 fsinx; 3 fx+aa0; 4fx+a+fx?aa02 2 解 1由 0≤x ≤1 得|x|≤1, 所以函数fx 的定义域为[?1, 1] 2由0≤sin x≤1 得 2nπ≤x≤2n+1π n0, ±1, ±2 ?, 所以函数 fsin x的定义域为[2nπ, 2n+1π] n0, ±1, ±2 ?3由 0≤x+a≤1 得?a≤x≤1?a, 所以函数fx+a的定义域为[?a, 1?a]1 1 1 4由 0≤x+a≤1 且 0≤x?a≤1 得: 当 0a≤时, a≤x≤1?a; 当 a 时, 无解. 因此当 0a≤时2 2 21函数的定义域为[a, 1?a], 当 a 时函数无意义21 |x|1?x18. 设 f x 0 |x|1, gxe , 求f[gx]和g[fx], 并作出这两个函数的图形1 |x|1x1 |e |1 1 x0x解 f [gx] 0 |e |1 , 即 f [gx] 0 x0x1 |e |1 ?1 x0?1e |x| 1 e |x| 1f x 0 g[ f x ]e e |x|1, 即 g[ f x ] 1 |x|11 ?1?e |x|1 e |x|119. 已知水渠的横断面为等腰梯形, 斜角?40°图 1?37. 当过水断面ABCD的面积为定值S 时, 求湿周LLAC+CD+DB与水深h之间的函数关系式, 并说明定义域0图 1?37h 解 AbDC , 又从sin401h[BC +BC +2cot40 ?h]S 得2SBC ?cot40 ?h , 所以hS2?cos40L + hh sin 40 自变量 h 的取值范围应由不等式组Sh0, ?cot40 ?h0h确定, 定义域为 0h S cot400 20. 收敛音机每台售价为 90 元, 成本为 60 元. 厂方为鼓励销售商大量采购, 决定凡是订购量超过 100 台以上的, 每多订购 1台, 售价就降低 1 分, 但最低价为每台 75 元 1将每台的实际售价 p 表示为订购量 x 的函数; 2将厂方所获的利润 P表示成订购量 x 的函数; 3某一商行订购了 1000 台, 厂方可获利润多少?解 1当 0≤x≤100时, p90令 0. 01x ?10090?75, 得x 1600. 因此当x≥1600 时, p750 0 当 100x1600 时, p90?x?100×0. 0191?0. 01x 综合上述结果得到90 0≤ x≤100 p 91?0.01x 100 x1600?75x≥1600 30x 0≤ x≤1002P p?60x 31x?0.01x 100 x1600 215xx≥16002 3 P31×1000?0. 01×1000 21000元习题 1 ?21. 观察一般项x 如下的数列x 的变化趋势, 写出它们的极限:n n1 1 x ;nn21n 2 x ?1 ;nn1x 2 + 3 ;n2nn ?1 4 x ;nn +1n 5 x n ?1n1 1x lim 0 解 1 当 n →∞时, →0,nn nn →∞2 21 1n n 2 当 n →∞时, x ?1 →0, lim ?1 0 nn →∞n n1 1 3 当 n →∞时, x2 + →2,lim2 + 2 n2 2n →∞n nn ?1 2 n ?1x 1lim 1 4 当 n →∞时, →0,nn →∞n +1 n +1 n +1n 5 当n→∞时, x n ?1 没有极限nn πcos2 2. 设数列x 的一般项 x 问 lim x ? 求出N, 使当nN 时, x 与其极限之差的n nn nn →∞n绝对值小于正数ε , 当ε 0.001 时, 求出数N 解 lim x 0nn →∞n π|cos |1 1 1 12 |x ?0| ≤? ε 0, 要使|x ?0| ε , 只要ε , 也就是 n 取 N [ ], nnn nn εε则?nN, 有|x ?0| εn1N [ ] 当ε 0.001 时, 1000ε 3. 根据数列极限的定义证明: 1 1 lim 0 ;2n →∞n3n +1 3lim 2 ;n →∞2n +1 22 2n +a 3 lim 1n →∞n 4 lim 0.999 9 1n →∞n 个1 1 1 12| ?0| ε n 1 分析要使 , 只须 , 即 n2 2εn n ε1 11 证明因为ε0,N [ ], 当 nN 时, 有| ?0| ε , 所以 lim 02 2n →∞1 13n +1 3 1 1 2 分析要使|| ε , 只须ε , 即 n2n +1 2 22n +1 4n4n 4 ε3n +1 31 3n +1 3 证明因为ε0,N [ ] , 当 nN 时, 有|| ε , 所以 lim n →∞4 ε 2n +1 2 2n +1 22 2 2 2 2 2 2n +a n +a ?n a a a 3 分析要使|, ?1| ε只须 n2 2n n n εn n +a +n2 2 2 2 2an +a n +a证明因为? ε0,N [ ] , 当?nN 时, 有| ?1| ε , 所以 lim 1n →∞ε n n11 1 4 分析要使|0.99 9 ?1| , 只须ε , 即 n 1 +lgεn ?1 n ?1ε1证明因为? ε0,N [1 +lg ] , 当?nN 时, 有|0.99 9 ?1| ε , 所以 lim 0.999 9 1n →∞εn 个 4. lim u a , 证明 lim |u | |a|并举例说明: 如果数列|x | 有极限, 但数列x 未必有n nn nn →∞ n →∞极限证明因为 lim u a , 所以? ε0, ?N ∈N, 当 nN 时, 有|u ?a| ε , 从而n nn →∞||u | ?|a|| ≤|u ?a| εn n这就证明了 lim|u | |a|nn →∞n n 数列|x | 有极限, 但数列x 未必有极限. 例如 lim| ?1 | 1, 但lim ?1 不存在n nn →∞ n →∞ 5. 设数列x 有界, 又 lim y 0 , 证明: lim x y 0 nn →∞ n →∞证明因为数列x 有界, 所以存在M, 使?n ∈Z, 有|x | ≤Mn nε又 lim y 0 , 所以ε0, ?N ∈N, 当 nN 时, 有| y | 从而当 nN 时, 有n nn →∞Mε |x y ?0| |x y | ≤M | y | M ε ,n n n n nM所以 lim x y 0n nn →∞ 6. 对于数列x 若x →a k →∞, x →a k →∞, 证明: x →a n →∞n 2k 2k +1 n 证明因为x →a k →∞, x →a k →∞, 所以ε0,2k 2k +1?K , 当 2k2K 时, 有| x ?a | ε ;1 1 2kK , ?当 2k+12K +1 时, 有| x ?a | ε2 2 2k+1取N 2K , 2K +1, 只要nN, 就有|x ?a | ε因此x →a n →∞1 2 n n 习题 1 ?31. 根据函数极限的定义证明: 1 lim3x ?1 8;x →3 2 lim5x +2 12;x →22x ?4 3 lim ?4;x → ?2x +231 ?4x 4 lim 21x →2x +121 证明 1 分析 |3x ?1 ?8| |3x ?9| 3|x ?3|, 要使|3x ?1 ?8| ε , 只须|x ?3| ε31 证明因为ε 0,δε , 当 0 |x ?3| δ时, 有|3x ?1 ?8| ε , 所以 lim3x ?1 8x →331 2 分析 |5x +2 ?12| |5x ?10| 5|x ?2|, 要使|5x +2 ?12| ε , 只须|x ?2| ε51δε证明因为ε 0,, 当 0 |x ?2| δ时, 有|5x +2 ?12| ε , 所以 lim5x +2 12x →252 2 2x ?4 x +4x +4 x ?4 3 分析 ? ?4 |x +2| |x ? ?2| , 要使 ? ?4 ε , 只须x +2 x +2 x +2|x ? ?2| ε2 2x ?4 x ?4 证明因为ε 0,δε , 当 0 |x ? ?2| δ时, 有 ? ?4 ε ,所以 lim ?4x → ?2x +2 x +2331 ?4x 1 1 ?4x 1 1 4 分析 , 要使 ?2 ε , 只须|x ?| ε 2 |1 ?2x ?2| 2|x ?|2x +1 2 2x +1 2 23 31 1 1 ?4x 1 ?4x 证明因为ε 0,δε , 当 0 |x ?| δ时, 有 ?2 ε , 所以 lim 212 2 2x +1 2x +1x →2 2. 根据函数极限的定义证明:31 + x 1 1 ;lim3x →∞22xsin x 2 lim 0x → +∞x33 3 31 + x 1 1 + xx 1 1 + x 1 1 证明 1 分析 , 要使ε , 只须ε , 即3 3 3 3 32 22x 2x 2|x| 2x 2|x|1|x| 32 ε 331 1 + x 11 + x 1 证明因为ε 0,X , 当|x| X 时, 有ε , 所以 lim3 33x →∞2 22x 2x2 εsin x |sin x| 1 sin x 1 1 2 分析 ?0 ≤ , 要使 ?0 ε , 只须ε , 即 x 2εx x x x x1sin x sin x 证明因为ε 0,X , 当 x X 时, 有 ?0 ε , 所以 lim 0 2x → +∞εx x2 3. 当x →2 时, y x →4. 问δ等于多少, 使当|x ?2| δ时, |y ?4|0. 001 ?2 解由于x →2, |x ?2| →0, 不妨设|x ?2| 1, 即 1 x 3. 要使|x ?4| |x +2||x ?2| 5|x ?2| 0. 001, 只要0.0012|x ?2| 0.0002, 取δ 0. 0002, 则当 0 |x ?2| δ时, 就有|x ?4| 0. 00152x ?1 4. 当x →∞时, y →1, 问X 等于多少, 使当|x|X 时, |y ?1|0.012x +32x ?1 44 解要使 ?1 0.01, 只 ,|x| ?3 397 X 3972 20.01x +3 x +3 5. 证明函数 fx |x| 当 x →0 时极限为零x |x| 6. 求 f x , ?x 当 x →0 时的左?右极限, 并说明它们在 x →0 时的极限是否存在x x 证明因为xlim f x lim lim 1 1,x →0 x →0 x x →0xlim f x lim lim 1 1,+ + +x →0 x →0 x x →0lim f x lim f x,? +x →0 x →0所以极限 lim f x 存在x →0 因为|x| ?xlim ?x lim lim ?1,x →0 x →0 x →0x x|x| xlim ?x lim lim 1,+ + +x →0 x →0 x →0x xlim ?x ≠ lim ?x,? +x →0 x →0所以极限 lim ?x 不存在x →0 7. 证明: 若 x →+ ∞及 x →?∞时, 函数 fx 的极限都存在且都等于 A, 则 lim f x Ax →∞证明因为 lim f x A , lim f x A , 所以? ε0,x → ?∞ x →+∞?X 0, 使当x ?X 时, 有|fx ?A| ε ;1 1?X 0, 使当x X 时, 有|fx ?A| ε2 2取XX , X , 则当|x| X时, 有|fx ?A| ε , 即 lim f x A1 2x →∞ 8. 根据极限的定义证明: 函数fx 当x →x 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等证明先证明必要性. 设fx →Ax →x , 则? ε0,δ 0, 使当 0|x ?x | δ时, 有0 0|fx ?A| ε因此当xδxx 和x xx + δ时都有0 0 0 0|fx ?A| ε这说明fx 当x →x 时左右极限都存在并且都等于A0 再证明充分性. 设fx ?0 fx +0 A, 则? ε0,0 0? δ 0, 使当xδ xx 时, 有| fx ?A ε ;1 0 1 0? δ 0, 使当x xx + δ时, 有| fx ?A| ε2 0 0 2取δ min δ , δ , 则当0|x ?x | δ时, 有xδ xx 及x xx + δ , 从而有1 2 0 0 1 0 0 0 2| fx ?A| ε ,即fx →Ax →x0 9. 试给出 x →∞时函数极限的局部有界性的定理, 并加以证明解 x →∞时函数极限的局部有界性的定理 : 如果 fx 当 x→∞时的极限存在 , 则存在 X0 及M 0 , 使当|x|X 时, |fx| M证明设 fx →Ax →∞ , 则对于ε 1 , ?X0 , 当|x| X 时, 有|fx ?A| ε 1所以|fx| |fx ?A+A| ≤|fx ?A| +|A| 1 +|A| 这就是说存在 X0 及 M 0 , 使当|x| X 时, |fx| M , 其中 M 1 +|A|习题1 ?41. 两个无穷小的商是否一定是无穷小?举例说明之解不一定αx 2 αx 例如, 当 x →0 时, αx 2x, βx 3x 都是无穷小, 但 lim , 不是无穷小x →0β x 3 β x 2. 根据定义证明:2x ?9 1 y 当 x →3 时为无穷小;x +31 2 y xsin 当 x →0 时为无穷小x2x ?9 证明 1 当 x ≠3 时| y| |x ?3|因为ε 0,δε , 当 0 |x ?3| δ时, 有x +32x ?9| y| |x ?3| δε ,x +32x ?9所以当 x →3 时 y 为无穷小x +31 2 当 x ≠0 时| y| |x||sin | ≤|x ?0|因为? ε 0,δε , 当 0 |x ?0| δ时, 有x1| y| |x||sin | ≤|x ?0| δε ,x1所以当 x →0 时 y xsin 为无穷小x1 +2x 3. 根据定义证明: 函数 y 为当x →0 时的无穷大. 问x 应满足什么条件, 能使x4|y|10 ?1 +2x 1 1 1 1 证明分析| y|2 + ≥ ?2 , 要使|y| M, 只须 ?2 M , 即|x|x x |x| |x| M +21 1 + 2x 证明因为 ?M 0,δ , 使当 0 |x ?0| δ时, 有 M ,M +2 x1 +2x所以当 x →0 时, 函数 y 是无穷大x1 14 4 取M 10 , 则δ当 0 |x ?0| 时, |y|104 410 +2 10 +2 4. 求下列极限并说明理由:2x +1 1 lim ;n →∞x21x 2 limx →01x2x +1 1 1 2x +1 解 1 因为 2 + , 而当 x→∞时是无穷小, 所以 lim 2n →∞x x x x2 21x 1x 2 因为 1 + x x ≠1, 而当 x →0 时 x 为无穷小, 所以 lim 1 x →01x 1x 5. 根据函数极限或无穷大定义, 填写下表: 6. 函数 y xcos x 在?∞, +∞内是否有界?这个函数是否为当 x →+∞时的无穷大?为什么?解函数 y xcos x 在?∞, +∞内无界这是因为?M 0, 在 ?∞, +∞内总能找到这样的 x, 使得|yx| M. 例如y2k π 2k π cos2k π 2k π k 0, 1, 2,,当 k 充分大时, 就有| y2k π| M 当 x →+ ∞时, 函数 y xcos x 不是无穷大这是因为?M 0, 找不到这样一个时刻 N, 使对一切大于 N 的 x, 都有|yx| M. 例如πππy2k π + 2k π + cos2k π + 0 k 0, 1, 2,,2 2 2π对任何大的 N, 当 k 充分大时, 总有 x 2k π + N , 但|yx| 0 M21 1+ 7. 证明: 函数 y sin 在区间0, 1] 上无界, 但这函数不是当x →0 时的无穷大x x1 1 证明函数 y sin 在区间0, 1] 上无界. 这是因为x xM 0, 在0, 1] 中总可以找到点x , 使yx M. 例如当k k1x k 0, 1, 2,kπ2k π +2时, 有πyx 2k π + ,k2当k 充分大时, yx Mk+当x →0 时, 函数 y sin 不是无穷大. 这是因为x xM 0, 对所有的δ 0, 总可以找到这样的点x , 使 0 x δ, 但yx M. 例如可取k k k1x k 0, 1, 2,,k2k π当k 充分大时, x δ, 但yx 2k πsin2k π 0 Mk k习题 1 ?51. 计算下列极限:2x +5 1 lim ;x →2x ?32 2x +5 2 +5 解 lim ?9x →2x ?3 2 ?32x ?3 2 lim ;2x → 3 x +1223 ?3x ?3 解 lim 02x → 3 x +13 +12x ?2x +1 3 lim ;2x →1x ?122x ?2x +1 x ?1 x ?1 0 解 lim lim lim 0 2x →1 x →1 x →1x ?1 x ?1x +1 x +1 23 24x ?2x +x 4 lim ;2x →03x +2x3 2 24x ?2x +x 4x ?2x +1 1 解 lim lim2x →0 x →03x + 2x 3x + 2 22 2x +h ?x 5 lim ;h →0h2 22 2 2x +h ?xx +2hx +h ?x 解 lim lim lim2x +h 2x h →0 h →0 h →0h h1 1 6 lim2+ ;2x →∞x x1 1 1 1 解 lim2+ 2lim + lim 22 2x →∞ x →∞ x →∞x x x x2x ?1 7 lim ;2x →∞2x ?x ?11122x 解 lim lim2x →∞ x ?xx →∞ 1 1 22 12?2x x2x +x 8 lim ;4 2x →∞x ?3x ?12x +x 解 lim 0 分子次数低于分母次数, 极限为零4 2x →∞x ?3x ?11 1+22 3x +xx x 或 lim lim 04 2x →∞ x →∞ 2 11?2 4x x2x6x + 8 9 lim ;2x →4x5x + 42x ?2x ?4x ?6x +8 x ?2 4 ?2 2lim lim lim 解2x →4 x →4 x →4x ?5x +4 x ?1x ?4 x ?1 4 ?1 31 1 10 lim1 +2 ;2x →∞x x1 1 1 1 解 lim1 +2 lim1 + lim2 1 ×2 22 2x →∞ x →∞ x →∞x x x x1 1 1 11 lim1 + + + + ;nn →∞2 4 21n +11 ?1 1 12 解 lim1 + + + + lim 2 nn →∞ n →∞ 12 4 2121 +2 +3 + +n ?1 12 lim ; 2n →∞nn ?1n1 +2 +3 + +n ?1 1 n ?1 12 解lim lim lim2 2n →∞ n →∞ n →∞n n 2 n 2n +1n +2n +3 13 lim ;3n →∞5nn +1n +2n +3 1 解 lim 分子与分母的次数相同, 极限为最高次项系数之比3n →∞ 5n 5n +1n +2n +31 123 1 或 lim lim1 + 1 + 1 +3n →∞ n →∞5n 5 n n n 51 3 14 lim ;3x →11 ?x 1 ?x21 ?xx +21 3 1 +x +x ?3 x +2lim lim ?lim ?lim ?1 解3 2 2 2x →1 x →1 x →1 x →11 ?x 1 ?x 1 ?x1 +x +x 1 ?x1 +x +x 1 +x +x 2. 计算下列极限:3 2x +2x 1 lim ;2x →223 2x ?20 x +2x 解因为 lim 0 , 所以 lim ∞3 2 2x →2 x →2x +2x 16 x ?22x 2 lim ;x →∞2x +12x 解 lim ∞因为分子次数高于分母次数x →∞2x +13 3 lim2x ?x +1x →∞3 解 lim2x ?x +1 ∞因为分子次数高于分母次数x →∞ 3. 计算下列极限:12 1 limx sin ;x →0x1 2 12 解 limx sin 0 当x →0 时, x 是无穷小, 而 sin 是有界变量x →0arctanx 2 limx →∞xarctanx 1 1 解 lim lim ?arctanx 0 当 x →∞时, 是无穷小, 而arctan x 是有界变量x →∞ x →∞x x x 4. 证明本节定理 3 中的2. 习题 1 ?61. 计算下列极限:sin ωx 1 lim ;x →0xsin ωx sin ωx 解 lim ω lim ωx →0 x →0x ωxtan3x 2 lim ;x →0xtan3x sin3x 1 解 lim 3lim3x →0 x →0x 3x cos3xsin2x 3 lim ;x →0sin5xsin2x sin2x 5x 2 2 解 lim lim?x →0 x →0sin5x 2x sin5x 5 5 4 lim x cot x ;x →0x x 解 lim xcot x lim ?cosx lim ?limcosx 1x →0 x →0 x →0 x →0sin x sin x1 ?cos2x 5 lim ;x →0xsin x21 ?cos2x 1 ?cos2x 2sin x sin x2 解法一 lim lim lim 2lim 22 2x →0 x →0 x →0 x →0xsin x x x x21 ?cos2x 2sin x sin x 解法二 lim lim 2lim 2x →0 x →0 x →0xsin x xsin x xxn 6 lim 2 sin x 为不等于零的常数nn →∞2xsinnxn2 解 lim2 sin lim ?x xnxn →∞ n →∞2n2 2. 计算下列极限:1x 1 lim1 ?x ;x →01 11?1?1?1?x ?xx 解 lim1x lim[1 + ?x] lim[1 + ?x] e x →0 x →0 x →01x 2 lim1 +2x ;x →01 1 1?222x 2x 2x 解 lim1 +2x lim1 +2x [ lim1 +2x ] ex →0 x →0 x →01 + x2x 3 lim ;x →∞x1 + x 1 22x x 2[ ] 解 lim lim1 + ex →∞ x →∞x x1kx 4 lim1 k 为正整数x →∞x1 1kx ?x ?k ?k 解 lim1 lim1 + ex →∞ x →∞xx 3. 根据函数极限的定义, 证明极限存在的准则 I ′解 4. 利用极限存在准则证明:1 1 lim 1 + 1;n →∞ n1 1 证明因为1 1 + 1 + ,n n1而lim1 1 且 lim1 + 1,n →∞ n →∞ n1由极限存在准则 I, lim 1 + 1n →∞n1 1 12 limn + + + 1;2 2 2n →∞n + π n +2 π n +n π证明因为2 2n 1 1 1 nn + + + ,2 2 2 2 2n +n π n + π n +2 π n +n π n + π2 2n n而lim 1, lim 1,2 2n →∞ n →∞n +n π n + π1 1 1所以 limn + + + 12 2 2n →∞ n + π n +2 π n +n π 3 数列 2 , 2 + 2 , 2 + 2 + 2 , 的极限存在; 证明 x 2 , x 2 + x n 1, 2, 3,1 n +1 n 先证明数列x 有界. 当n 1 时 x2 2 , 假定n k 时x 2, 当n k +1 时,n k1x 2 + x 2 +2 2,k +1 k所以x 2n 1, 2, 3,, 即数列x 有界n n 再证明数列单调增22 + xx ?x ?2x +1n n n nxx 2 + xx ,n +1 n n n2 + x + x 2 + x + xn n n n而x ?2 0, x +1 0, 所以x ?x 0, 即数列x 单调增n n n +1 n n 因为数列x 单调增加有上界, 所以此数列是有极限的nnlim 1 + x 1 4 ;x →0 证明当|x| ≤1 时, 则有n 1 +x ≤1 +|x| ≤1 +|x| ,n 1 +x ≥1 ?|x| ≥1 ?|x| ,n从而有 1 ?|x| ≤ 1 + x ≤1 +|x|因为 lim1 ?|x| lim1 +|x| 1,x →0 x →0根据夹逼准则, 有nlim 1 + x 1x →01 5 lim x [ ] 1+x →0 x1 1 1 1 证明因为 ?1 [ ] ≤ , 所以1x x [ ] ≤1x x x x1 又因为 lim 1x lim 1 1 , 根据夹逼准则, 有 lim x [ ] 1+ + +x →0 x →0 x →0x习题 1?72 23 1. 当x→0 时, 2x?x 与x ?x 相比, 哪一个是高阶无穷小?2 3 2x ?x x?x 解因为 lim lim 0,2x→0 x→02?x2x?x2 3 2 3 2所以当x→0 时, x ?x 是高阶无穷小, 即x ?x o2x?x13 2 2. 当x→1 时, 无穷小 1?x 和11?x , 2 1x 是否同阶?是否等价? 23 21?x 1?x1+x+x2 解 1 因为 lim lim lim1+x+x 3,x→1 x→1 x→11?x 1?x3所以当x→1 时, 1?x 和 1?x 是同阶的无穷小, 但不是等价无穷小121?x12 2 因为 lim lim1+x1,x→1 x→11?x 212所以当x→1 时, 1?x 和 1?x 是同阶的无穷小, 而且是等价无穷小2 3. 证明: 当x→0 时, 有: 1 arctanx~x;2x 2 secx?1~2arctanx y 证明 1 因为 lim lim 1 提示: 令yarctan x, 则当x→0 时, y →0,x→0 y→0x tany所以当x→0 时, arctanx~xx x22sin 2sin2secx?1 1?cosx2 2 2 因为 lim 2lim lim lim 1,2 2x→0 x→0 x→0 x→01 x2 x cosx xx2 222x所以当x→0 时, secx?1~2 4. 利用等价无穷小的性质, 求下列极限:tan3x 1 lim ;x→02xnsinx 2 lim n, m 为正整数;mx→0sinxtanx?sinx 3 lim ;3x→0sin xsinx?tanx 4 limx→0 3 21+x ?1 1+sinx ?1tan3x 3x 3 解 1 lim lim x→0 x→02x 2x 21 nmnnsinx x 2 lim lim 0 nmm mx→0 x→0sinx x∞nm1 12sinx ?1 xtanx?sinx 1?cosx 1cosx2 3 lim lim lim lim3 3 2 2x→0 sin x x→0 sin x x→0 cosxsin x x→0x cosx 2 4 因为。
同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案5-2
同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案5-2 1. 试求函数⎰=xtdt y 0sin 当x =0及4π=x 时的导数. 解 x tdt dx d y x sin sin 0=='⎰, 当x =0时, y '=sin0=0; 当4π=x 时, 224sin =='πy . 2. 求由参数表示式⎰=t udu x 0sin , ⎰=tudu y 0cos 所给定的函数y 对x 的导数.解 x '(t )=sin t , y '(t )=cos t , t t x t y dx dy cos )()(=''=. 3. 求由⎰⎰=+x y ttdt dt e 000cos 所决定的隐函数y 对x 的导数dxdy . 解 方程两对x 求导得0cos =+'x y e y ,于是 ye x dx dy cos-=. 4. 当x 为何值时, 函数⎰-=x t dt te x I 02)(有极值？ 解 2)(x xe x I -=', 令I '(x )=0, 得x =0. 因为当x <0时, I '(x )<0; 当x >0时, I '(x )>0,所以x =0是函数I (x )的极小值点.5. 计算下列各导数:(1)⎰+2021x dt t dx d ; (2)⎰+32411x x dt tdx d ; (3)⎰x xdt t dx d cos sin 2)cos(π. 解 (1)dxdu dt t du d u x dt t dx d u x ⋅+=+⎰⎰02202112令 421221x x x u +=⋅+=.(2)⎰⎰⎰+++=+323204044111111x x x x dt tdx d dt t dx d dt t dx d ⎰⎰+++-=3204041111x x dt t dx d dt t dx d )()(11)()(11343242'⋅++'⋅+-=x x x x 12281312xx x x +++-=. (3)⎰⎰⎰+-=x x x x dt t dx d dt t dx d dt t dx d cos 02sin 02cos sin 2)cos()cos()cos(πππ ))(cos cos cos())(sin sin cos(22'+'-=x x x x ππ)cos cos(sin )sin cos(cos 22x x x x ππ⋅-⋅-=)sin cos(sin )sin cos(cos 22x x x x πππ-⋅-⋅-=)sin cos(sin )sin cos(cos 22x x x x ππ⋅+⋅-=)sin cos()cos (sin 2x x x π-=.6. 计算下列各定积分:(1)⎰+-adx x x 02)13(; 解 a a a x x x dx x x a a+-=+-=+-⎰230230221|)21()13(. (2)⎰+2142)1(dx xx ; 解 852)11(31)22(31|)3131()1(333321332142=---=-=+---⎰x x dx x x . (3)⎰+94)1(dx x x ; 解 94223942194|)2132()()1(x x dx x x dx x x +=+=+⎰⎰ 6145)421432()921932(223223=+-+=. (4)⎰+33121x dx ; 解 66331arctan 3arctan arctan 13313312πππ=-=-==+⎰x x dx . (5)⎰--212121x dx ; 解 3)6(6)21arcsin(21arcsin arcsin 1212121212πππ=--=--==---⎰x x dx .(6)⎰+a x a dx 3022; 解 a a a a xa x a dx aa 30arctan 13arctan 1arctan 1303022π=-==+⎰. (7)⎰-1024x dx ; 解 60arcsin 21arcsin 2arcsin 410102π=-==-⎰x x dx . (8)dx x x x ⎰-+++012241133; 解 013012201224|)arctan ()113(1133---+=++=+++⎰⎰x x dx x x dx x x x 41)1arctan()1(3π+=----=. (9)⎰---+211e x dx ; 解 1ln 1ln ||1|ln 12121-=-=+=+------⎰e x x dx e e . (10)⎰402tan πθθd ; 解 4144tan )(tan )1(sec tan 40402402πππθθθθθθπππ-=-=-=-=⎰⎰d d . (11)dx x ⎰π20|sin |; 解 ⎰⎰⎰-=ππππ2020sin sin |sin |xdx xdx dx x πππ20cos cos x x +-==-cos π +cos0+cos2π-cos π=4.(12)⎰20)(dx x f , 其中⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=1 211 1)(2x x x x x f . 解 38|)61(|)21(21)1()(2131022121020=++=++=⎰⎰⎰x x x dx x dx x dx x f . 7. 设k 为正整数. 试证下列各题: (1)⎰-=ππ0cos kxdx ; (2)⎰-=ππ0sin kxdx ; (3)⎰-=πππkxdx 2cos ; (4)⎰-=πππkxdx 2sin . 证明 (1)⎰--=-=--==ππππππ000)(sin 1sin 1|sin 1cos k k k k kx k kxdx . (2))(cos 1cos 1cos 1sin ππππππ-+-=-=--⎰k k k k x k k kxdx 0cos 1cos 1=+-=ππk kk k . (3)πππππππππ=+=+=+=---⎰⎰22|)2sin 21(21)2cos 1(21cos 2kx k x dx kx kxdx . (4)πππππππππ=+=-=-=---⎰⎰22|)2sin 21(21)2cos 1(21sin 2kx k x dx kx kxdx . 8. 设k 及l 为正整数, 且k ≠l . 试证下列各题:(1)⎰-=ππ0sin cos lxdx kx ; (2)⎰-=ππ0cos cos lxdx kx ;(3)⎰-=ππ0sin sin lxdx kx . 证明 (1)⎰⎰----+=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])sin()[sin(21sin cos 0])cos()(21[])cos()(21[=----++-=--ππππx l k l k x l k l k . (2)⎰⎰---++=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])cos()[cos(21cos cos 0])sin()(21[])sin()(21[=--+++=--ππππx l k l k x l k l k . (3)⎰⎰----+-=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])cos()[cos(21sin sin . 0])sin()(21[])sin()(21[=--+++-=--ππππx l k l k x l k l k . 9. 求下列极限:(1)x dt t x x ⎰→020cos lim;(2)⎰⎰→x t x t x dt te dt e 0220022)(lim .解 (1)11cos lim cos lim 20020==→→⎰x x dt t x x x . (2)22222200002200)(2lim )(lim x xt x t x xt x t x xe dt e dt e dtte dt e '⋅=⎰⎰⎰⎰→→ 22222002002lim 2lim x x t x x x xt x xe dt e xe edt e ⎰⎰→→=⋅=2212lim 22lim 2020222=+=+=→→x e x e e x x x x x . 10. 设⎩⎨⎧∈∈=]2 ,1[ ]1 ,0[ )(2x x x x x f . 求⎰=x dt t f x 0)()(ϕ在[0, 2]上的表达式, 并讨论ϕ(x )在(0, 2)内的连续性.解 当0≤x ≤1时, 302031)()(x dt t dt t f x xx ===⎰⎰ϕ; 当1<x ≤2时, 6121212131)()(2211020-=-+=+==⎰⎰⎰x x tdt dt t dt t f x xx ϕ. 因此 ⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤=21 612110 31)(23x x x x x ϕ. 因为31)1(=ϕ, 3131lim )(lim 30101==-→-→x x x x ϕ, 316121)6121(lim )(lim 20101=-=-=+→+→x x x x ϕ, 所以ϕ(x )在x =1处连续, 从而在(0, 2)内连续.11. 设⎪⎩⎪⎨⎧><≤≤=ππx x x x x f 或0 00 sin 21)(. 求⎰=x dt t f x 0)()(ϕ在(-∞, +∞)内的表达式.解 当x <0时,00)()(00===⎰⎰xx dt dt t f x ϕ; 当0≤x ≤π时,21cos 21|cos 21sin 21)()(000+-=-===⎰⎰x t tdt dt t f x x xx ϕ; 当x >π时,πππϕ000|cos 210sin 21)()(t dt tdt dt t f x x x -=+==⎰⎰⎰ 10cos 21cos 21=+-=π. 因此 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-<=ππϕx x x x x 10 )cos 1(210 0)(. 12. 设f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导且f '(x )≤0,⎰-=x adt t f a x x F )(1)(. 证明在(a , b )内有F '(x )≤0.证明 根据积分中值定理, 存在ξ∈[a , x ], 使))(()(a x f dt t f x a -=⎰ξ. 于是有)(1)()(1)(2x f ax dt t f a x x F x a -+--='⎰ ))(()(1)(12a x f a x x f a x ----=ξ )]()([1ξf x f ax --=. 由 f '(x )≤0可知f (x )在[a , b ]上是单调减少的, 而a ≤ξ≤x , 所以f (x )-f (ξ)≤0. 又在(a , b )内, x -a >0, 所以在(a , b )内 0)]()([1)(≤--='ξf x f ax x F .。
同济大学《高等数学》第七版上、下册答案(详解),DOC
解得 z 14
9
即所求点为 M（0，0，14 ）.
9
7. 试证：以三点 A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形. 证明：因为|AB|=|AC|=7.且有 |AC|2+|AB|2=49+49=98=|BC|2. 故△ABC 为等腰直角三角形. 8. 验证： (a b) c a (b c) .
3 i 14
1 j 14
2 k.
14
14. 三个力 F1=(1,2,3), F2=(-2,3,-4), F3=(3,-4,5)同时作用于一点. 求合力 R 的大小和方向余弦.
解：R=（1-2+3，2+3-4，3-4+5）=（2，1，4）
| R | 22 12 42 21
cos 2 , cos 1 , cos 4 .
故 A 的坐标为 A(-2, 3, 0).
13. 一向量的起点是 P1（4，0，5），终点是 P2（7，1，3），试求：
（1） P1P2 在各坐标轴上的投影； （2） P1P2 的模；
（3） P1P2 的方向余弦；
（4） P1P2 方向的单位向量.
解：（1） ax Pr jx P1P2 3,
ay Pr jy P1P2 1,
练习 5-2
练习 5-3
练习 5-4
总习题五
练习 6-2
练习 6-3
(2) s 22 (3)2 (4)2 29
(3) s (1 2)2 (0 3)2 (3 4)2 67
(4) s (2 4)2 (1 2)2 (3 3)2 3 5 .
5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离.
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同济六版高等数学课后答案全集第一章习题1-11. 设A =(-∞, -5)⋃(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ⋃B , A ⋂B , A \B 及A \(A \B )的表达式.解 A ⋃B =(-∞, 3)⋃(5, +∞),A ⋂B =[-10, -5),A \B =(-∞, -10)⋃(5, +∞),A \(A \B )=[-10, -5).2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ⋂B )C =A C ⋃B C .证明 因为x ∈(A ⋂B )C ⇔x ∉A ⋂B ⇔ x ∉A 或x ∉B ⇔ x ∈A C 或x ∈B C ⇔ x ∈A C ⋃B C , 所以 (A ⋂B )C =A C ⋃B C .3. 设映射f : X →Y , A ⊂X , B ⊂X . 证明(1)f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B );(2)f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).证明 因为y ∈f (A ⋃B )⇔∃x ∈A ⋃B , 使f (x )=y⇔(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B )⇔ y ∈f (A )⋃f (B ),所以 f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ).(2)因为y ∈f (A ⋂B )⇒∃x ∈A ⋂B , 使f (x )=y ⇔(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )⇒ y ∈ f (A )⋂f (B ),所以 f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射.又因为对于任意的x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2)⇒g [ f (x 1)]=g [f (x 2)] ⇒ x 1=x 2.因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.对于映射g : Y →X , 因为对每个y ∈Y , 有g (y )=x ∈X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射.5. 设映射f : X →Y , A ⊂X . 证明:(1)f -1(f (A ))⊃A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f (A ))=A .证明 (1)因为x ∈A ⇒ f (x )=y ∈f (A ) ⇒ f -1(y )=x ∈f -1(f (A )),所以 f -1(f (A ))⊃A .(2)由(1)知f -1(f (A ))⊃A .另一方面, 对于任意的x ∈f -1(f (A ))⇒存在y ∈f (A ), 使f -1(y )=x ⇒f (x )=y . 因为y ∈f (A )且f 是单射, 所以x ∈A . 这就证明了f -1(f (A ))⊂A . 因此f -1(f (A ))=A . 6. 求下列函数的自然定义域:(1)23+=x y ;解 由3x +2≥0得32->x . 函数的定义域为) ,32[∞+-. (2)211xy -=; 解 由1-x 2≠0得x ≠±1. 函数的定义域为(-∞, -1)⋃(-1, 1)⋃(1, +∞).(3)211x xy --=; 解 由x ≠0且1-x 2≥0得函数的定义域D =[-1, 0)⋃(0, 1].(4)241x y -=; 解 由4-x 2>0得 |x |<2. 函数的定义域为(-2, 2).(5)x y sin =;解 由x ≥0得函数的定义D =[0, +∞).(6) y =tan(x +1);解 由21π≠+x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅)得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).(7) y =arcsin(x -3);解 由|x -3|≤1得函数的定义域D =[2, 4].(8)xx y 1arctan 3+-=;解 由3-x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, 3).(9) y =ln(x +1);解 由x +1>0得函数的定义域D =(-1, +∞).(10)x e y 1=.解 由x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, +∞).7. 下列各题中, 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？(1)f (x )=lg x 2, g (x )=2lg x ;(2) f (x )=x , g (x )=2x ;(3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g .(4)f (x )=1, g (x )=sec 2x -tan 2x .解 (1)不同. 因为定义域不同.(2)不同. 因为对应法则不同, x <0时, g (x )=-x .(3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同.(4)不同. 因为定义域不同.8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3|| 03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, ϕ(-2), 并作出函数y =ϕ(x )的图形.解 21|6sin |)6(==ππϕ, 22|4sin |)4(==ππϕ, 22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ, 0)2(=-ϕ. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:(1)xx y -=1, (-∞, 1); (2)y =x +ln x , (0, +∞).证明 (1)对于任意的x 1, x 2∈(-∞, 1), 有1-x 1>0, 1-x 2>0. 因为当x 1<x 2时, 0)1)(1(112121221121<---=---=-x x x x x x x x y y , 所以函数xx y -=1在区间(-∞, 1)内是单调增加的. (2)对于任意的x 1, x 2∈(0, +∞), 当x 1<x 2时, 有0l n )()l n ()l n (2121221121<+-=+-+=-x x x x x x x x y y , 所以函数y =x +ln x 在区间(0, +∞)内是单调增加的.10. 设 f (x )为定义在(-l , l )内的奇函数, 若f (x )在(0, l )内单调增加, 证明f (x )在(-l , 0)内也单调增加.证明 对于∀x 1, x 2∈(-l , 0)且x 1<x 2, 有-x 1, -x 2∈(0, l )且-x 1>-x 2.因为f (x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以f (-x 2)<f (-x 1), -f (x 2)<-f (x 1), f (x 2)>f (x 1),这就证明了对于∀x 1, x 2∈(-l , 0), 有f (x 1)< f (x 2), 所以f (x )在(-l , 0)内也单调增加. 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l )上的, 证明:(1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明 (1)设F (x )=f (x )+g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=f (x )+g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=-f (x )-g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数.(2)设F (x )=f (x )⋅g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=[-f (x )][-g (x )]=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数.如果f (x )是偶函数, 而g (x )是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )[-g (x )]=-f (x )⋅g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y =x 2(1-x 2);(2)y =3x 2-x 3;(3)2211xxy +-=; (4)y =x (x -1)(x +1);(5)y =sin x -cos x +1;(6)2x x a a y -+=. 解 (1)因为f (-x )=(-x )2[1-(-x )2]=x 2(1-x 2)=f (x ), 所以f (x )是偶函数.(2)由f (-x )=3(-x )2-(-x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数. (3)因为())(111)(1)(2222x f x x x x x f =+-=-+--=-, 所以f (x )是偶函数. (4)因为f (-x )=(-x )(-x -1)(-x +1)=-x (x +1)(x -1)=-f (x ), 所以f (x )是奇函数.(5)由f (-x )=sin(-x )-cos(-x )+1=-sin x -cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(6)因为)(22)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=-----, 所以f (x )是偶函数. 13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期:(1)y =cos(x -2);解 是周期函数, 周期为l =2π.(2)y =cos 4x ;解 是周期函数, 周期为2π=l . (3)y =1+sin πx ;解 是周期函数, 周期为l =2.(4)y =x cos x ;解 不是周期函数.(5)y =sin 2x .解 是周期函数, 周期为l =π.14. 求下列函数的反函数:(1)31+=x y 错误！未指定书签。
同济第六版高数答案(高等数学课后习题解答)1
习题8-31. 求下列函数的全微分: (1)yx xy z +=;解 dy y z dx x z dz ∂∂+∂∂=dy y x x dx y y )()1(2-++=.(2)xy e z =;解 xdy e x dx e x y dy y z dx x z dz y x y 12+-=∂∂+∂∂=.(3) 22y x yz +=;解 因为2/3222322)()(21y x xy y x y x z +-=+-=∂∂-, 2/3222222222)(y x x y x y x yy y x y z +=++⋅-+=∂∂, 所以 dy y x x dx y x xy dz 2/32222/322)()(+++-=)()(2/322xdy ydx y x x -+-=.(4)u =x yz . 解 因为1-⋅=∂∂yz x yz x u , x zx yu yz ln =∂∂, x yx z u yz ln =∂∂,所以 xdz yx xdy zx dx yzx du yz yz yz ln ln 1++=-.2. 求函数z =ln(1+x 2+y 2)当x =1, y =2时的全微分. 解 因为2212y x x x z ++=∂∂, 2212y x y y z ++=∂∂, 3121=∂∂==y x xz, 3221=∂∂==y x y z , 所以 dy dx dz y x 323121⋅+===.3. 求函数xyz =当x =2, y =1, ∆x =0.1, ∆y =-0.2时的全增量和全微分.解 因为xy x x y y z -∆+∆+=∆, y x x x ydz ∆+∆-=12, 所以, 当x =2, y =1, ∆x =0.1, ∆y =-0.2时,119.0211.02)2.0(1-=-+-+=∆z , 125.0)2.0(211.041-=-⨯+⨯-=dz .4. 求函数z =e xy 当x =1, y =1, ∆x =0.15, ∆y =0.1时的全微分. 解 因为y xe x ye y yz x x z dz xy xy ∆+∆=∆∂∂+∆∂∂=所以, 当x =1, y =1, ∆x =0.15, ∆y =0.1时, e e e dz 25.01.015.0=⋅+⋅=.*5. 计算33)97.1()102(+的近似值. 解 设33y x z +=, 由于y yz x x z y x y y x x ∆∂∂+∆∂∂++≈∆++∆+3333)()(332233233yx y y x x y x +∆+∆++=,所以取x =1, y =2, ∆x =0.02, ∆y =-0.03可得95.2212)03.0(2302.0321)97.1()02.1(32333=+-⋅⋅+⋅++≈+. *6. 计算(1.97)1.05的近似值(ln2=0.693). 解 设z =x y , 由于y yz x x z x x x y y y ∆∂∂+∆∂∂+≈∆+∆+)(y x x x yx x y y y ∆+∆+=-ln 1,所以取x =2, y =1, ∆x =-0.03, ∆y =0.05可得(1.97)1.05≈2-0.03+2ln2⋅0.05+1.97+0.0693 ≈2.093.*7( 已知边长为x(6m 与y(8m 的矩形( 如果x 边增加5cm 而y 边减少10cm(问这个矩形的对角线的近似变化怎样？ 解 矩形的对角线为22y x z +=,)(122y y x x yx y dy dz x dx dz dz z ∆+∆+=∆+∆=≈∆,当x =6, y =8, ∆x =0.05, ∆y =-0.1时,05.0)1.0805.06(86122-=⋅-⋅+≈∆z .这个矩形的对角线大约减少5cm .*8. 设有一无盖圆柱形容器, 容器的壁与底的厚度均为0.1cm , 内高为20cm ,内半径为4厘米, 求容器外壳体积的近似值. 解 圆柱体的体积公式为V =πR 2h , ∆V ≈dV =2πRh ∆R +πR 2∆h , 当R =4, h =20, ∆R =∆h =0.1时,∆V ≈2⨯3.14⨯4⨯20⨯0.1+3.14⨯42⨯0.1≈55.3(cm 3), 这个容器外壳的体积大约是55.3cm 3.*9. 设有直角三角形, 测得其两腰的长分别为7±0.1cm 和24±0.1cm , 试求利用上述二值来计算斜边长度时的绝对误差. 解 设两直角边的长度分别为x 和y , 则斜边的长度为22y x z +=.||||||||||||y y z x x z dz z ∆⋅∂∂+∆⋅∂∂≤≈∆|)|||(122y y x x yx ∆+∆+=.令x =7, y =24, |∆x |≤0.1, |∆y |≤0.1, 则得斜边长度z 的绝对误差约为124.0)1.0241.07(247122=⋅+⋅+=z δcm .*10. 测得一块三角形土地的两边长分别为63±0.1m 和78±0.1m ,这两边的夹角为60︒±1︒, 试求三角形面积的近似值, 并求其绝对误差和相对误差.解 设三角形的两边长为x 和y , 它们的夹角z , 为则三角形面积为z xy s sin 21=.zdz xy zdy x zdx y dS cos 21sin 21sin 21++=||cos 21||sin 21||sin 21||||dz z xy dy z x dx z y dS S ++≤≈∆.令x =63, y =78, 3π=z , |dx |=0.1, |dy |=0.1, 180π=dz , 则55.2718021278631.0232631.023278=⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯≈πδs ,82.21273sin 786321=⋅⋅⋅=πS ,%29.182.212755.27==S s δ,所以三角形面积的近似值为2127.82m 2, 绝对误差为27.55m 2, 相对误差为1.29%.*11. 利用全微分证明: 两数之和的绝对误差等于它们各自的绝对误差之和.证明 设u =x +y , 则||||||||||||y x y x y yu x x u du u ∆+∆≤∆+∆=∆∂∂+∆∂∂=≈∆.所以两数之和的绝对误差|∆u |等于它们各自的绝对误差|∆x |与|∆y |的和.*12. 利用全微分证明: 乘积的相对误差等于各因子的相对误差之和; 商的相对误差等于被除数及除数的相对误差之和. 证明 设u =xy , y x v =, 则∆u ≈du =ydx +xdy ,2yxdyydx dv v -=≈∆, 由此可得相对误差;||||||||y dy x dx xy xdy ydx u du u u +=+=≈∆||||||||yyx x y dy x dx ∆+∆=+≤;||||||||2y dy x dx yx y xdy ydx v dv v v -=⋅-==∆||||||||y yx x y dy x dx ∆+∆=+≤.习题8-41. 设z =u 2-v 2, 而u =x +y , v =x -y , 求x z ∂∂, y z ∂∂.解 xv v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=2u ⋅1+2v ⋅1=2(u +v )=4x ,y v v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=2u ⋅1+2v ⋅(-1)=2(u -v )=4y .2. 设z =u 2ln v , 而y x u =, v =3x -2y , 求x z ∂∂, y z ∂∂.解 xv v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂31ln 22⋅+⋅=v u y v u 222)23(3)23ln(2y y x x y x y x -+-=, yv v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂)2()(ln 222-+-⋅=v u y x v u 2232)23(2)23ln(2yy x x y x y x ----=. 3. 设z =e x -2y , 而x =sin t , y =t 3, 求dtdz .解 dtdyy z dt dx x z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=2223)2(cos t e t e y x y x ⋅-⋅+=--)6(cos )6(cos 22sin 223t t e t t e t t y x -=-=--.4. 设z =arcsin(x - y ), 而x +3t , y =4t 3, 求dtdz .解 dt dy y z dt dx x z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=22212)(113)(11t y x y x ⋅---+⋅--= 232)43(1)41(3t t t ---=. 5. 设z =arctan(xy ), 而y =e x , 求dxdz .解 dx dy y z x z dx dz ⋅∂∂+∂∂=xxxe x x e e y x x y x y 2222221)1(11++=⋅+++=.6. 设1)(2+-=a z y e u ax , 而y =a sin x , z =cos x , 求dxdu .解 dxdz dz u dx dyy u x u dx du ⋅∂+⋅∂∂+∂∂=)sin (1cos 11)(222x a e x a a e a z y ae ax ax ax -⋅+-⋅+++-= )sin cos cos sin (122x x a x a x a a e ax ++-+=x e ax sin =. 7. 设yx z arctan =, 而x =u +v , y =u -v , 验证22v u v uv z u z +-=∂∂+∂∂. 证明 )()(v yy z v x x z u y y z u x x z v z u z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂+∂∂)()(111)(11222y x yx y y x -⋅++⋅+=)1()()(111)(11222-⋅-⋅++⋅++y x yx y y x22222v u v u y x y +-=+=. 8. 求下列函数的一阶偏导数(其中f 具有一阶连续偏导数): (1) u =f (x 2-y 2, e xy );解 将两个中间变量按顺序编为1, 2号, 2122212)()(f ye f x xe f x y x f x u xy xy '+'=∂∂⋅'+∂-∂⋅'=∂∂, 212)2212)((f xe f y ye f y y x f y u xy xy '+'-=∂∂⋅'+∂-∂⋅'=∂∂. (2)) ,(zyy x f u =;解 1211)()(f y z yx f y x x f x u '=∂∂⋅'+∂∂⋅'=∂∂,)()(21z yy f y x y f y u ∂∂⋅'+∂∂'=∂∂2121f z f y x '+'-=,)()(21z y z f z x z f z u ∂∂⋅'+∂∂'=∂∂22f z y '⋅-=. (3) u =f (x , xy , xyz ).解 yz f y f f xu ⋅'+⋅'+⋅'=∂∂3211321f yz f y f '+'+'=,3232f xz f x xz f x f y u '+'=⋅'+⋅'=∂∂,33f xy xy f zu '=⋅'=∂∂.9. 设z =xy +xF (u ), 而xyu =, F (u )为可导函数, 证明xy z yz y x z x +=∂∂+∂∂⋅. 证明 y z y x z x ∂∂⋅+∂∂⋅])([])()([y u u F x x y x u u F x u F y x ∂∂'+⋅+∂∂'++=)]([)]()([u F x y u F xyu F y x '+⋅+'-+==xy +xF (u )+xy =z +xy .10. 设)(22y x f yz -=, 其中f (u )为可导函数, 验证 211y z y z y x z x =∂∂+∂∂.证明 ()()u f f xy u f x f y x z 2222'-=⋅'⋅-=∂∂, ()()u f f y u f u f y f y u f y z 2222)(1)2()('-+=-⋅'⋅-=∂∂, 所以 )(11221122u f y u f f y u f f y y z y x z x ⋅+'+'-=∂∂⋅+∂∂⋅211yz zy y =⋅.11. 设z =f (x 2+y 2), 其中f 具有二阶导数, 求22x z ∂∂, y x z ∂∂∂2, 22y z ∂∂.解 令u =x 2+y 2, 则z =f (u ), f x xu u f x z '=∂∂'=∂∂2)(,f y yu u f y z '=∂∂'=∂∂2)(,f x f x u f x f x z ''+'=∂∂⋅''+'=∂∂2224222,f xy yu f x y x z ''=∂∂⋅''=∂∂∂422,f y f yu f y f y z ''+'=∂∂⋅''+'=∂∂422222. 12. 求下列函数的22x z ∂∂,y x z ∂∂∂2,22yz ∂∂(其中f 具有二阶连续偏导数): (1) z =f (xy , y );解 令u =xy , v =y , 则z =f (u , v ).ufy v f y u f x v v f x u u f x z ∂∂=⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂0,vfu f x v f x u f y v v f y u u f y z ∂∂+∂∂=⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂1.因为f (u , v )是u 和v 的函数, 所以u f∂∂和vf ∂∂也是u 和v 的函数, 从而u f∂∂和vf ∂∂是以u 和v 为中间变量的x 和y 的函数. )()()(22uf x y u f y x x z x x z ∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂222222222)0()(u f y v u f y u f y x v v u f x u u f y ∂∂=⋅∂∂∂+⋅∂∂=∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂=,)(1)()(2uf y y u f u f y y x z y y x z ∂∂∂∂+∂∂⋅=∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂ )(222yvv u f y u u f y u f ∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂= v u fy u f xy u f v u f x u f y u f ∂∂∂+∂∂+∂∂=⋅∂∂∂+⋅∂∂+∂∂=222222)1(,)()()()(22vf y u f y x v f u f x y y z y y z∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂+∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂ y vv f y u u v f y v v u f y u u f x ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂=222222)( 1)1(222222⋅∂∂+⋅∂∂∂+⋅∂∂∂+⋅∂∂=vfx u v f v u f x u f x2222222vfv u f x u f x ∂∂+∂∂∂+∂∂=. (2)) ,(yx x f z =;解 令u =x ,yx v =, 则z =f (u , v ).v fy u f x v v f dx du u f x z ∂∂⋅+∂∂=∂∂⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂1,vfy x dy dv v f y z ∂∂⋅-=⋅∂∂=∂∂2.因为f (u , v )是u 和v 的函数, 所以u f∂∂和vf ∂∂也是u 和v 的函数, 从而u f∂∂和vf ∂∂是以u 和v 为中间变量的x 和y 的函数. )(1)()1()(22v f x y u f x v f y u f x x z x x z ∂∂∂∂⋅+∂∂∂∂=∂∂⋅+∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂ )(1)(222222xvv f dx du u v f y x v v u f dx du u f ∂∂⋅∂∂+⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂+⋅∂∂=22222212vfy v u f y u f ∂∂⋅+∂∂∂⋅+∂∂=,)1()(2vf y u f y x z y y x z ∂∂⋅+∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂)(1)1()(v f y y v f y dy d u f y ∂∂∂∂⋅+∂∂⋅+∂∂∂∂= y vv f y v f y y v v u f ∂∂⋅∂∂⋅+∂∂⋅-∂∂⋅∂∂∂=22211 2232221vf y x v f y v u f y x ∂∂⋅-∂∂⋅-∂∂∂⋅-= )()()(2222vf y y x v f y x y y z y y z∂∂∂∂⋅-∂∂⋅-∂∂=∂∂∂∂=∂∂22423222322v f y x v f y x y v v f y x v f y x ∂∂⋅+∂∂⋅=∂∂⋅∂∂⋅-∂∂⋅=. (3) z =f (xy 2, x 2y );解 z x =f 1'⋅y 2+f 2'⋅2xy =y 2f 1'+2xyf 2', z y =f 1'⋅2xy +f 2'⋅x 2=2xyf 1'+x 2f 2';z xx =y 2[f 11''⋅y 2+f 12''⋅2xy ]+2yf 2''+2xy [f 21''⋅y 2+f 22''⋅2xy ] =y 4f 11''+2xy 3f 12''+2yf 2''+2xy 3f 21''+4x 2y 2 f 22'' =y 4f 11''+4xy 3f 12''+2yf 2''+4x 2y 2 f 22'',z xy =2y f 1'+y 2[f 11''⋅2xy +f 12''⋅x 2]+2xf 2'+2xy [f 21''⋅2xy +f 22''⋅x 2] =2y f 1'+2xy 3f 11''+x 2y 2 f 12''+2xf 2'+4x 2y 2f 21''+2x 3yf 22'' =2y f 1'+2xy 3f 11''+5x 2y 2 f 12''+2xf 2'+2x 3yf 22'', z yy =2xf 1'+2xy [f 11''⋅2xy +f 12''⋅x 2]+x 2[f 21''⋅2xy +f 22''⋅x 2] =2xf 1'+4x 2y 2f 11''+2x 3y f 12''+2x 3yf 21''+x 4f 22'' =2xf 1'+4x 2y 2f 11''+4x 3y f 12''+x 4f 22''. (4) z =f (sin x , cos y , e x +y ).解 z x =f 1'⋅cos x + f 3'⋅e x +y =cos x f 1'+e x +y f 3', z y =f 2'⋅(-sin y )+ f 3'⋅e x +y =-sin y f 2'+e x +y f 3', z xx =-sin x f 1'+cos x ⋅(f 11''⋅cos x + f 13''⋅e x +y ) +e x +y f 3'+e x +y (f 31''⋅cos x + f 33''⋅e x +y ) =-sin x f 1'+cos 2x f 11''+e x +y cos x f 13''+e x +y f 3' +e x +y cos x f 31''+e 2(x +y ) f 33''=-sin x f 1'+cos 2x f 11''+2e x +y cos x f 13''+e x +y f 3'+e 2(x +y ) f 33'', z xy =cos x [f 12''⋅(-sin y )+ f 13''⋅e x +y ] +e x +y f 3'+e x +y [f 32''⋅(-sin y )+ f 33''⋅e x +y ] =-sin y cos x f 12''+e x +y cos x f 13' +e x +y f 3'-e x +y sin y f 32'+e 2(x +y )f 33' =-sin y cos x f 12''+e x +y cos x f 13'' +e x +y f 3'-e x +y sin y f 32''+e 2(x +y )f 33'',z yy =-cos y f 2'-sin y [f 22''⋅(-sin y )+ f 23''⋅e x +y ] +e x +y f 3'+e x +y [f 32''⋅(-sin y )+ f 33''⋅e x +y ] =-cos y f 2'+sin 2y f 22''-e x +y sin y f 23'' +e x +y f 3'-e x +y sin y f 32''+ f 33''⋅e 2(x +y )=-cos y f 2'+sin 2y f 22''-2e x +y sin y f 23''+e x +y f 3'+f 33''⋅e 2(x +y ). 13. 设u =f (x , y )的所有二阶偏导数连续, 而23t s x -=,23t s y +=, 证明2222)()()()(t u s u y u x u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂及22222222t u s u y u x u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂.证明 因为y u x u s yy u s x x u s u ∂∂⋅+∂∂⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂2321yu x u t yy u t x x u t u ∂∂⋅+∂∂⋅-=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂2123所以2222)2123()2321()()(y u x u y u x u t u s u ∂∂+∂∂-+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂22)()(y u x u ∂∂+∂∂=. 又因为)2321()(22yu x u s s u s s u∂∂⋅+∂∂⋅∂∂=∂∂∂∂=∂∂ )(23)(21222222s y y u s x x y u s y y x u s x x u ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂= )2321(23)2321(21222222y u x y u y x u x u ∂∂⋅+∂∂∂⋅+∂∂∂⋅+∂∂⋅= 22222432341yu y x u x u ∂∂⋅+∂∂∂⋅+∂∂⋅=,)2123()(22yu x u t t u t t u∂∂⋅+∂∂⋅-∂∂=∂∂∂∂=∂∂ )(21)(23222222t y y u t x x y u t y y x u t x x u ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂-= )2123(21)2123(23222222y u x y u y x u x u ∂∂⋅+∂∂∂⋅-+∂∂∂⋅+∂∂⋅--= 22222412343y u y x u x u ∂∂⋅+∂∂∂⋅-∂∂⋅=, 所以 22222222yu x u t u s u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂.习题8-51. 设sin y +e x -xy 2=0, 求dxdy . 解 令F (x , y )=sin y +e x -xy 2, 则F x =e x -y 2, F y =cos y -2xy ,xyy e y xy y y e F F dx dy xy x 2cos 2cos 222--=---=-=. 2. 设x y y x arctan ln 22=+, 求dxdy .解 令xyy x y x F arctan ln ),(22-+=, 则22222222)()(11221y x y x x y xy y x x y x F x ++=-⋅+-+⋅+=,22222221)(11221y x x y x xy y x y y x F y +-=⋅+-+⋅+=, yx y x F F dx dyy x -+=-=. 3. 设022=-++xyz z y x , 求x z ∂∂及y z ∂∂.解 令xyz z y x z y x F 22),,(-++=, 则 xyz yz F x -=1, xyzxz F y -=2, xyz xyF z -=1, xy xyz xyz yz F F x z z x --=-=∂∂, xy xyz xyz xz F F y z z y --=-=∂∂2. 4. 设y z z x ln =, 求x z ∂∂及y z ∂∂,解 令yz z x z y x F ln ),,(-=, 则 z F x 1=, y y z y z F y 1)(12=-⋅-=, 2211z z x y yz z x F z +-=⋅--=, 所以 z x z F F x z z x +=-=∂∂, )(2z x y z F F yz z y +=-=∂∂.5. 设2sin(x +2y -3z )=x +2y -3z , 证明1=∂∂+∂∂y z x z证明 设F (x , y , z )=2sin(x +2y -3z )-x -2y +3z , 则 F x =2cos(x +2y -3z )-1, F y =2cos(x +2y -3z )⋅2-2=2F x , F z =2cos(x +2y -3z )⋅(-3)+3=-3F x ,313=--=-=∂∂x x z x F F F F x z ,3232=--=-=∂∂x x z y F F F F yz , 于是13231=+=--=∂∂+∂∂z z z x F F F F y z x z . 6. 设x =x (y , z ), y =y (x , z ), z =z (x , y )都是由方程F (x , y , z )=0所确定的具有连续偏导数的函数, 证明1-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂x z z yy x .解 因为x y F F y x -=∂∂, y z F F z y -=∂∂, zx F F x z -=∂∂, 所以 1)()()(-=-⋅-⋅-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂zx y z x y F F F F F F x z z y y x . 7. 设ϕ(u , v )具有连续偏导数, 证明由方程ϕ(cx -az , cy -bz )=0 所确定的函数z =f (x , y )满足 c y z b x z a =∂∂+∂∂.证明 因为vu uv u u b a c b a c x z ϕϕϕϕϕϕ+=⋅-⋅-⋅-=∂∂, vu v v u v b a c b a c y z ϕϕϕϕϕϕ+=⋅-⋅-⋅-=∂∂, 所以 c b a c b b a c a y z b x z a vu vv u u =+++⋅=∂∂+∂∂ϕϕϕϕϕϕ.8. 设e z-xyz =0, 求22xz∂∂.解 设F (x , y , z )=e z -xyz , 则F x =-yz , F z =e z -xy , xye yzF F x z z z x -=-=∂∂,222)()()()(xy e y x z e yz xy e x z y x z x x z z z z --∂∂--∂∂=∂∂∂∂=∂∂ 222)()(xy e xye yzyze xy ye z y zz z z ----+=32232)(22xy e e z y z xy ze y z zz ---=. 9. 设z 3-3xyz =a 3, 求yx z ∂∂∂2. 解 令F (x , y , z )=z 3-3xyz -a 3, 则 xyz yzxy z yz F F x z z x -=---=-=∂∂22333,xyz xzxy z xz F F y z z y -=---=-=∂∂22333, )()(22xyz yz y x z y y x z -∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂ 222)()2())((xy z x yz z yz xy z y z y z --∂∂--∂∂+= 22222)()2()()(xy z x xyz xz z yz xy z xy z xz yz -----⋅-+=322224)()2(xy z y x xyz z z ---=. 10. 求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数: (1)设⎩⎨⎧=+++=203222222z y x y x z , 求dx dy , dx dz ;解 视y =y (x ), z =z (x ), 方程两边对x 求导得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=064222dx dz z dx dy y x dx dy y x dx dz , 即⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=-xdx dzz dxdy y x dx dz dx dy y 3222.解方程组得 )13(2)16(++-=∂∂z y z x x y , 13+=z x dx dz.(2)设⎩⎨⎧=++=++10222z y x z y x , 求dz dx ,dz dy ; 解 视x =x (z ), y =y (z ), 方程两边对z 求导得 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++022201z dz dy y dz dx x dz dy dz dx , 即⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+zdz dy y dzdxx dz dy dz dx 2221.解方程组得y x z y z x --=∂∂, yx xz z y --=∂∂. (3)设⎩⎨⎧-=+=),(),(2y v x u g v y v ux f u , 其中f , g 具有一阶连续偏导数, 求x u ∂∂,xv ∂∂; 解 视u =u (x , y ), v =v (x , y ), 方程两边对x 求偏导得 ⎪⎩⎪⎨⎧∂∂⋅'+-∂∂⋅'=∂∂∂∂⋅'+∂∂+⋅'=∂∂x v yv g xu g x v x vf x u x u f x u 21212)1()( ,即 ⎪⎩⎪⎨⎧'=∂∂⋅⋅-'+∂∂'''-=∂∂⋅'+∂∂-'121121)12()1(g x v g yv xu g f u x v f x u f x .解之得1221221)12)(1()12(g f g yv f x g f g yv f u x u ''--'-'''--''-=∂∂,1221111)12)(1()1(g f g yv f x f u f x g x v ''--'-'-'+''=∂∂.(4)设⎩⎨⎧-=+=vu e y v u e x uu cos sin , 求x u ∂∂, y u ∂∂, x v ∂∂, y v ∂∂. 解 视u =u (x , y ), v =v (x , y ), 方程两边微分得 ⎩⎨⎧+-=++=vdv u vdu du e dy vdv u vdu du e dx uu sin cos cos sin , 即 ⎩⎨⎧=+-=++dy vdv u du v e dx vdv u du v e u u sin )cos (cos )sin (, 从中解出du , dv 得 dy v v e v dx v v e v du uu 1)cos (sin cos 1)cos (sin sin +--++-=, dy v v e u e v dx v v e u e v dv u uuu ]1)cos (sin [sin ]1)cos (sin [cos +-+++--=, 从而1)cos (sin sin +-=∂∂v v e v x u u , 1)cos (sin cos +--=∂∂v v e v y u u, ]1)cos (sin [cos +--=∂∂v v e u e v x v u u , ]1)cos (sin [sin +-+=∂∂v v e u e v y v u u. 11. 设y =f (x , t ), 而t 是由方程F (x , y , t )=0所确定的x , y 的函数, 其中f , F 都具有一阶连续偏导数, 试证明:tF y F t f x F t f t F x f dx dy ∂∂+∂∂⋅∂∂∂∂⋅∂∂-∂∂⋅∂∂=.证明 由方程组⎩⎨⎧==0),,(),(t y x F t x f y 可确定两个一元隐函数⎩⎨⎧==)()(x t t x y y , 方程两边对x 求导可得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅∂∂+⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂=0dx dt t F dx dy y F x F dxdtt f x f dx dy ,移项得 ⎪⎩⎪⎨⎧∂∂-=∂∂+⋅∂∂∂∂=⋅∂∂-x F dx dt t F dx dy y F x f dx dt t f dx dy , 在01≠∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂∂∂∂∂-=y F t f t F tF y F t fD 的条件下 yFt f t F xFt f t F x f t F x F t f x f D dx dy ∂∂⋅∂∂+∂∂∂∂⋅∂∂-∂∂⋅∂∂=∂∂∂∂-∂∂-∂∂⋅=1. 习题8-61. 求曲线x =t -sin t , y =1-cos t , 2sin 4t z =在点)22 ,1 ,12 (-π处的切线及法平面方程.解 x '(t )=1-cos t , y '(t )=sin t , 2cos 2)(t t z ='. 因为点)22 ,1 ,12 (-π所对应的参数为2π=t , 故在点)22 ,1 ,12(-π处的切向量为)2 ,1 ,1(=T . 因此在点)22 ,1 ,12 (-π处, 切线方程为22211121-=-=-+z y x π, 法平面方程为0)22(2)1(1)12(1=-+-⋅++-⋅z y x π, 即422+=++πz y x .2. 求曲线t t x +=1, t t y +=1, z =t 2在对应于t =1的点处的切线及法平面方程. 解 2)1(1)(t t x +=', 21)(t t y -=', z '(t )=2t .在t =1所对应的点处, 切向量)2 ,1 ,41(-=T , t =1所对应的点为)1 ,2 ,21(, 所以在t =1所对应的点处, 切线方程为 21124121-=--=-z y x , 即8142121-=--=-z y x ; 法平面方程为0)1(2)2()21(41=-+---z y x , 即2x -8y +16z -1=0.3. 求曲线y 2=2mx , z 2=m -x 在点(x 0, y 0, z 0)处的切线及法平面方程.解 设曲线的参数方程的参数为x , 将方程y 2=2mx 和z 2=m -x的两边对x 求导, 得m dx dy y 22=, 12-=dxdz z , 所以y m dx dy =, z dxdz 21-=. 曲线在点(x 0, y 0, z 0,)的切向量为)21,,1(00z y m -=T , 所求的切线方程为0000211z z z y m y y x x --=-=-, 法平面方程为0)(21)()(00000=---+-z z z y y y m x x . 4. 求曲线⎩⎨⎧=-+-=-++0453203222z y x x z y x 在点(1, 1, 1)处的切线及法平面方程.解 设曲线的参数方程的参数为x , 对x 求导得,⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-++053203222dx dz dx dy dx dz z dx dy y x , 即⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+2533222dxdz dx dy x dx dz z dx dy y . 解此方程组得z y z x dx dy 61015410----=, zy y x dx dz 610946---+=. 因为169)1,1,1(=dx dy , 161)1,1,1(-=dx dz , 所以)161 ,169 ,1(=T . 所求切线方程为1611169111--=-=-z y x , 即1191161--=-=-z y x ; 法平面方程为0)1(161)1(169)1(=---+-z y x , 即16x +9y -z -24=0. 5. 求出曲线x =t , y =t 2, z =t 3上的点, 使在该点的切线平行于平面x +2y +z =4.解 已知平面的法线向量为n =(1, 2, 1).因为x '=1, y '=2t , z '=3t 2, 所以参数t 对应的点处的切向量为T =(1, 2t , 3t 2). 又因为切线与已知平面平行, 所以T ⋅n =0, 即1+4t +3t 2=0,解得t =-1, 31-=t . 于是所求点的坐标为(-1, 1, -1)和)271 ,91 ,31(--. 6. 求曲面e z -z +xy =3在点(2,1,0)处的切平面及法线方程. 解 令F (x , y , z )=e z -z +xy -3, 则n =(F x , F y , F z )|(2, 1, 0)=(y , x , e z -1)|(2, 1, 0)=(1, 2, 0),点(2,1, 0)处的切平面方程为1⋅(x -2)+2(y -1)+0⋅(z -0)=0, 即x +2y -4=0,法线方程为02112-=-=-z y x . 7. 求曲面ax 2+by 2+cz 2=1在点(x 0, y 0, z 0)处的切平面及法线方程. 解 令F (x , y , z )=ax 2+by 2+cz 2-1, 则n =(F x , F y , F z )=(2ax , 2by , 2cz )=(ax , by , cz ).在点(x 0, y 0, z 0)处, 法向量为(ax 0, by 0, cz 0), 故切平面方程为ax 0(x -x 0)+by 0(y -y 0)+cz 0(z -z 0)=0,即 202020000cz by ax z cz y by x ax ++=++, 法线方程为00000cz z z by y y ax x x -=-=-.8. 求椭球面x 2+2y 2+z 2=1上平行于平面x -y +2z =0的切平面方程.解 设F (x , y , z )=x 2+2y 2+z 2-1, 则n =(F x , F y , F z )=(2x , 4y , 2z )=2(x , 2y , z ).已知切平面的法向量为(1, -1, 2). 因为已知平面与所求切平面平行, 所以2121z y x =-=, 即z x 21=, z y 41-=, 代入椭球面方程得1)4(2)2(222=+-+z z z ,解得1122±=z , 则1122±=x , 11221 =y . 所以切点坐标为)1122,11221,112(±± . 所求切平面方程为0)1122(2)11221()112(=±+-±z y x , 即 2112±=+-z y x . 9. 求旋转椭球面3x 2+y 2+z 2=16上点(-1, -2, 3)处的切平面与xOy 面的夹角的余弦.解 x O y 面的法向为n 1=(0, 0, 1).令F (x , y , z )=3x 2+y 2 +z 2-16, 则点(-1, -2, 3)处的法向量为 n 2=(F x , F y , F z )|(-1, -2, 3)=(6x , 2y , 2z )|(-1, -2, 3)=(-6, -4, 6). 点(-1, -2, 3)处的切平面与xOy 面的夹角的余弦为22364616||||cos 2222121=++⋅=⋅⋅=n n n n θ.10. 试证曲面a z y x =++(a >0)上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a .证明 设a z y x z y x F -++=),,(, 则)21,21,21(zy x =n . 在曲面上任取一点M (x 0, y 0, z 0), 则在点M 处的切平面方程为 0)(1)(1)(1000000=-+-+-z z z y y y x x x ,即 a z y x z z y y x x =++=++000000. 化为截距式, 得1000=++az z ay y ax x , 所以截距之和为a z y x a az ay ax =++=++)(000000.习题8-71. 求函数z =x 2+y 2在点(1, 2)处沿从点(1, 2)到点)32 ,2(+的方向的方向导数.解 因为从点(1, 2)到点)32 ,2(+的向量为)3 ,1(=l , 故 )cos ,(cos )23 ,21(||βα===l l e l . 又因为22)2,1()2,1(==∂∂x x z , 42)2,1()2,1(==∂∂y y z , 故所求方向导数为321234212cos cos +=⋅+⋅=∂∂+∂∂=∂∂βαy z x z l z . 2. 求函数z =ln(x +y )在抛物线y 2=4x 上点(1, 2)处, 沿这抛物线在该点处偏向x 轴正向的切线方向的方向导数.解 方程y 2=4x 两边对x 求导得2yy '=4, 解得yy 2='. 在抛物线y 2=4x 上点(1, 2)处, 切线的斜率为y '(1)=1, 切向量为l =(1, 1), 单位切向量为)cos ,(cos )21 ,21(βα==l e . 又因为31 1)2,1()2,1(=+=∂∂y x x z , 31 1)2,1()2,1(=+=∂∂y x y z , 故所求方向导数为3221312131cos cos =⋅+⋅=∂∂+∂∂=∂∂βαy z x z l z . 3. 求函数)(12222b y a x z +-=在点)2,2(b a 处沿曲线12222=+b y a x 在这点的内法线方向的方向导数.解 令1),(2222-+=by a x y x F , 则22a x F x =, 22b y F y =. 从而点(x , y )处的法向量为)2 ,2() ,(22by a x F F y x ±=±=n . 在)2,2(b a 处的内法向量为 )2 ,2()2 ,2()2,2(22ba b y a x ba-=-=n , 单位内法向量为)cos ,(cos ) ,(2222βα=+-+-=b a a b a b n e . 又因为aa x x zbab a 22)2,2(2)2,2(-=-=∂∂, b b y y zb a b a 22)2,2(2)2,2(-=-=∂∂, 所以 βαcos cos yz x z n z ∂∂+∂∂=∂∂222222b a a b b a b a +⋅++⋅=222b a ab+=.4. 求函数u =xy 2+z 3-xyz 在点(1, 1, 2)处沿方向角为3 πα=, 4 πβ=, 3πγ=的方向的方向导数. 解 因为方向向量为)21 ,22 ,21()cos ,cos ,(cos ==γβαl , 又因为1)()2,1,1(2)2,1,1(-=-=∂∂yz y x u , 0)2()2,1,1()2,1,1(=-=∂∂xz xy y u , 11)3()2,1,1(2)2,1,1(=-=∂∂xy z z u , 所以 γβαcos cos cos zu y u x u l u ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ 5211122021)1(=⋅+⋅+⋅-=. 5. 求函数u =xyz 在点(5,1,2)处沿从点(5, 1, 2)到点(9, 4, 14)的方向的方向导数.解 因为l =(9-5, 4-1, 14-2)=(4, 3, 12),)1312 ,133 ,134(||==l l e l , 并且 2)2,1,5()2,1,5(==∂∂yz xu ,10)2,1,5()2,1,5(==∂∂xz y u , 5)2,1,5()2,1,5(==∂∂xy z u , 所以 γβαcos cos cos zu y u x u l u ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ 139813125133101342=⋅+⋅+⋅=. 6. 求函数u =x 2+y 2+z 2在曲线x =t , y =t 2, z =t 3上点(1, 1, 1)处, 沿曲线在该点的切线正方向(对应于t 增大的方向)的方向导. 解 曲线x =t , y =t 2, z =t 3上点(1, 1, 1)对应的参数为t =1, 在点(1, 1,1)的切线正向为)3 ,2 ,1()3 ,2 ,1(12===t t t l ,)143,142,141(||==l l e l , 又 22)1,1,1()1,1,1(==∂∂x x u , 22)1,1,1()1,1,1(==∂∂y y u , 22)1,1,1()1,1,1(==∂∂z z u , 所以 γβαcos cos cos )1,1,1(zu y u x u l u ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ 1412143214221412=⋅+⋅+⋅=. 7. 求函数u =x +y +z 在球面x 2+y 2+z 2=1上点(x 0, y 0, z 0)处, 沿球面在该点的外法线方向的方向导数.解 令F (x , y , z )=x 2+y 2+z 2-1, 则球面x 2+y 2+z 2=1在点(x 0, y 0, z 0)处的外法向量为)2 ,2 ,2() , ,(000),,(000z y x F F F z y x z y x ==n , )cos ,cos ,(cos ) , ,(||000γβα===z y x n n n e , 又 1=∂∂=∂∂=∂∂zu y u x u , 所以 γβαcos cos cos zu y u x u n u ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ 000000111z y x z y x ++=⋅+⋅+⋅=.8. 设f (x , y , z )=x 2+2y 2+3z 2+xy +3x -2y -6z , 求grad f (0, 0, 0)及grad f (1, 1, 1).解 32++=∂∂y x x f , 24-+=∂∂x y yf , 66-=∂∂z z f . 因为 3)0,0,0(=∂∂x f, 2)0,0,0(-=∂∂yf, 6)0,0,0(-=∂∂z f , 6)1,1,0(=∂∂x f , 3)1,1,0(=∂∂y f, 0)1,1,0(=∂∂z f,所以 grad f (0, 0, 0)=3i -2j -6k ,grad f (1, 1, 1)=6i +3j .9. 设u , v 都是 x , y , z 的函数, u , v 的各偏导数都存在且连续, 证明(1) grad (u +v )=grad u + grad v ;解 k j i zv u y v u x v u v u ∂+∂+∂+∂+∂+∂=+)()()()(grad k j i )()()(zv z u y v y u x v x u ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=)()(k j i k j i zv y v x v z u y u x u ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂= v u grad grad +=.(2) grad (uv )=v grad u +u grad v ;解 k j i zuv y uv x uv uv ∂∂+∂∂+∂∂=)()()()(grad k j i )()()(z v u z u v y v u y u v x v u x u v ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂= )()(k j i k j i zv y v x v u z u y u x u v ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂= =v grad u +u grad v .(3) grad (u 2)=2u grad u .解 k j i z u y u x u u ∂∂+∂∂+∂∂=2222)(grad k j i zu u y u u x u u ∂∂+∂∂+∂∂=222 u u zu y u x u u grad 2)(2=∂∂+∂∂+∂∂=k j i .10. 问函数u =xy 2z 在点p (1, -1, 2)处沿什么方向的方向导数最大? 并求此方向导数的最大值.解 k j i k j i 222 xy xyz z y zu y u x u u ++=∂∂+∂∂+∂∂=grad , k j i k j i +-=++=--42)2()2 ,1 ,1( )2,1,1(22xy xyz z y u grad .grad u (1, -1, 2)为方向导数最大的方向, 最大方向导数为 211)4(2|)2 ,1 ,1( 222=+-+=-u grad |.习题8-81. 求函数f (x , y )=4(x -y )-x 2-y 2的极值.解 解方程组⎩⎨⎧=--==-=024),(024),(y y x f x y x f yx , 求得驻点为(2,-2). f xx =-2, f xy =0, f yy =-2,在驻点(2,-2)处, 因为f xx f yy -f xy 2=(-2)(-2)-0=4>0, f xx =-2<0,所以在点(2, -2)处, 函数取得极大值, 极大值为f (2, -2)=8.2. 求函数f (x , y )=(6x -x 2)(4y -y 2)的极值.解 解方程组⎩⎨⎧=--==--=0)24)(6(),(0)4)(26(),(22y x x y x f y y x y x f yx , 得驻点(0, 0), (0, 4), (3, 2), (6, 0), (6,4).函数的二阶偏导数为f xx (x , y )=-2(4y -y 2), f xy (x , y )=4(3-x )(2-y ), f yy (x , y )=-2(6x -x 2). 在点(0, 0)处, 因为f xx ⋅f yy -f xy 2=0⨯0-242=-242<0,所以f (0, 0)不是极值;在点(0, 4)处, 因为f xx ⋅f yy -f xy 2=0⨯0-(-24)2=-242<0,所以f (0, 4)不是极值.在点(3, 2)处, 因为f xx ⋅f yy -f xy 2=(-8)⨯(-18)-02=8⨯18>0, f xx =-8<0,所以f (3, 2)=36是函数的极大值.在点(6, 0)处, 因为f xx ⋅f yy -f xy 2=0⨯0-(-24)2=-242>0,所以f (6, 0)不是极值.在点(6, 4)处, 因为f xx ⋅f yy -f xy 2=0⨯0-242=-242>0,所以f (6, 4)不是极值.综上所述, 函数只有一个极值, 这个极值是极大值f (3, 2)=36. 3. 求函数f (x , y )=e 2x (x +y 2+2y )的极值.解 解方程组⎩⎨⎧=+==+++=0)22(),(0)1422(),(222y e y x f y y x e y x f x yx x , 得驻点)1 ,21(-. f xx (x , y )=4e 2x (x +y 2+2y +1), f xy (x , y )=4e 2x (y +1), f yy (x , y )=2e 2x . 在驻点)1 ,21(-处, 因为 f xx ⋅f yy -f xy 2=2e ⋅2e -02=4e 2>0, f xx =2e >0, 所以2)1 ,21(e f -=-是函数的极小值. 4. 求函数z =xy 在适合附加条件x +y =1下的极大值.解 由x +y =1得y =1-x , 代入z =xy , 则问题化为求z =x (1-x )的无条件极值.x dxdz 21-=, 222-=dx z d . 令,0=dx dz 得驻点21=x . 因为022122<-==x dx zd , 所以21=x 为极大值点, 极大值为41)211(21=-=z . 5. 从斜边之长为l 的一切直角三角形中, 求有最大周界的直角三角形.解 设直角三角形的两直角边之长分别为x , y , 则周长 S =x +y +l (0<x <l , 0<y <l ).因此, 本题是在x 2+y 2=l 2下的条件极值问题, 作函数 F (x , y )=x +y +l +λ(x 2+y 2-l 2).解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==+=222021021ly x y F x F y x λλ, 得唯一可能的极值点2l y x ==. 根据问题性质可知这种最大周界的直角三角形一定存在, 所以斜边之长为l 的一切直角三角形中, 周界最大的是等腰直角三角形.6. 要造一个容积等于定数k 的长方体无盖水池, 应如何选择水池的尺寸方可使表面积最小.解 设水池的长为x , 宽为y , 高为z , 则水池的表面积为 S =xy +2xz +2yz (x >0, y >0, z >0).本题是在条件xyz =k 下, 求S 的最大值.作函数F (x , y , z )=xy +2xz +2yz +λ(xyz -k ).解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==++==++==++=k xyz xy y x F xz z x F yz z y F z y x 0220202λλλ, 得唯一可能的极值点)221 ,2 ,2(333k k k . 由问题本身可知S 一定有最小值, 所以表面积最小的水池的长和宽都应为.23k 高为3221k . 7. 在平面xOy 上求一点, 使它到x =0, y =0及x +2y -16=0三直线距离平方之和为最小.解 设所求点为(x , y ), 则此点到x =0的距离为|y |, 到y =0的距离为|x |, 到x +2y -16=0的距离为221|162|+-+y x , 而距离平方之和为 222)162(51-+++=y x y x z . 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=∂∂=-++=∂∂0)162(5420)162(522y x y y z y x x x z , 即{03292083=-+=-+y x y x . 得唯一的驻点)516 ,58(, 根据问题的性质可知, 到三直线的距离平方之和最小的点一定存在, 故)516 ,58(即为所求. 8( 将周长为2p 的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体( 问矩形的边长各为多少时( 才可使圆柱体的体积为最大？解 设矩形的一边为x , 则另一边为(p -x ), 假设矩形绕p -x 旋转, 则旋转所成圆柱体的体积为V =πx 2(p -x ).由0)32()(22=-=--=x p x x x p x dx dV πππ, 求得唯一驻点p x 32=. 由于驻点唯一, 由题意又可知这种圆柱体一定有最大值, 所以当矩形的边长为32p 和3p 时, 绕短边旋转所得圆柱体体积最大. 9. 求内接于半径为a 的球且有最大体积的长方体.解 设球面方程为x 2+y 2+z 2=a 2, (x , y , z )是它的各面平行于坐标面的内接长方体在第一卦限内的一个顶点, 则此长方体的长宽高分别为2x , 2y , 2z , 体积为V =2x ⋅2y ⋅2z =8xyz .令 F (x , y , z )=8xyz +λ(x 2+y 2+z 2-a 2) .解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+==+==+=2222028028028a z y x z xy F y xz F x yz F z y x λλλ, 即⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=+=+2222040404a z y x z xy y xz x yz λλλ, 得唯一驻点)3,3,3(a a a . 由题意可知这种长方体必有最大体积, 所以当长方体的长、宽、高都为32a 时其体积最大. 10. 抛物面z =x 2+y 2被平面x +y +z =1截成一椭圆, 求原点到这椭圆的最长与最短距离.解 设椭圆上点的坐标(x , y , z ), 则原点到椭圆上这一点的距离平方为d 2=x 2+y 2+z 2, 其中x , y , z 要同时满足z =x 2+y 2和x +y +z =1. 令 F (x , y , z )=x 2+y 2+z 2+λ1(z -x 2-y 2)+λ2(x +y +z -1).解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++==+-==+-=02022022212121λλλλλλz F y y F x x F z y x , 得驻点231±-==y x , 32 =z . 它们是可能的两个极值点, 由题意这种距离的最大值和最小值一定存在, 所以距离的最大值和最小值在两点处取得, 因为在驻点处359)32()231(2222222 =+±-=++=z y x d , 所以3591+=d 为最长距离;3592-=d 为最短距离.总习题八1. 在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内:(1)f (x , y )在(x , y )可微分是f (x , y )在该点连续的______条件, f (x , y )在点连续是f (x , y )在该点可微分的______条件.解 充分; 必要.(2)z =f (x , y )在点(x , y )的偏导数x z ∂∂及yz ∂∂存在是f (x , y )在该点可微分的______条件, z = f (x , y )在点(x , y )可微分是函数在该点的偏导数x z ∂∂及y z ∂∂存在的______条件. 解 必要; 充分.(3)z =f (x , y )的偏导数x z ∂∂及yz ∂∂在(x , y )存在且连续是f (x , y )在该点可微分的______条件. 解 充分. (4)函数z =f (x , y )的两个二阶偏导数y x z ∂∂∂2及xy z ∂∂∂2在区域D 内连续是这两个二阶混合偏导数在D 内相等的______条件.解 充分.2. 选择下述题中给出的四个结论中一个正确的结论:设函数f (x , y )在点(0, 0)的某邻域内有定义, 且f x (0, 0)=3, f y (0, 0)=-1, 则有______.(A )dz |(0, 0)=3dx -dy .(B )曲面z =f (x , y )在点(0, 0, f (0, 0))的一个法向量为(3, -1, 1).(C )曲线⎩⎨⎧==0),(y y x f z 在点(0, 0, f (0, 0))的一个切向量为(1, 0, 3). (D )曲线⎩⎨⎧==0),(y y x f z 在点(0, 0, f (0, 0))的一个切向量为(3, 0, 1). 解 (C ).3. 求函数)1ln(4),(222y x y x y x f ---=的定义域, 并求),(lim )0,21(),(y x f y x →. 解 函数的定义域为{(x , y )| 0<x 2+y 2<1, y 2≤4x }因为D ∈)0 ,21(, 故由初等函数在定义域内的连续性有 43ln 2)1ln(4)1ln(4lim ),(lim )0,21(222222)0,21(),()0,21(),(=---=---=→→y x y x y x y x y x f y x y x .。
(完整版)高等数学第六版(同济大学)上册课后习题答案解析
y1
y2
x1 1 x1
x2 1 x2
(1
x1 x2 x1)(1
x2)
0
所以函数 y x 在区间( 1)内是单调增加的 1 x
(2)对于任意的 x1 x2(0 ) 当 x1x2 时 有
这就证明了对于x1 x2(l 0) 有 f(x1) f(x2) 所以 f(x)在(l 0)内也单调 增加
11 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(l l)上的 证明 (1)两个偶函数的和是偶函数 两个奇函数的和是奇函数 (2)两个偶函数的乘积是偶函数 两个奇函数的乘积是偶函数 偶函数与奇 函数的乘积是奇函数 证明 (1)设 F(x)f(x)g(x) 如果 f(x)和 g(x)都是偶函数 则
1
(10) y e x
解 由 x0 得函数的定义域 D( 0)(0 ) 7 下列各题中 函数 f(x)和 g(x)是否相同？为什么？ (1)f(x)lg x2 g(x)2lg x
(2) f(x)x g(x) x2
(3) f (x)3 x4 x3 g(x) x3 x 1
(4)f(x)1 g(x)sec2xtan2x 解 (1)不同 因为定义域不同 (2)不同 因为对应法则不同 x0 时 g(x)x (3)相同 因为定义域、对应法则均相相同 (4)不同 因为定义域不同
f(x1)f(x2)g[ f(x1)]g[f(x2)] x1x2 因此 f 既是单射 又是满射 即 f 是双射 对于映射 g YX 因为对每个 yY 有 g(y)xX 且满足 f(x)f[g(y)]Iy
yy 按逆映射的定义 g 是 f 的逆映射 5 设映射 f XY AX 证明 (1)f 1(f(A))A (2)当 f 是单射时 有 f 1(f(A))A 证明 (1)因为 xA f(x)yf(A) f 1(y)xf 1(f(A))
（完整word版）高数答案（下）习题册答案第六版下册同济大学数学系编
（完整word版）高数答案（下）习题册答案第六版下册同济大学数学系编高数答案(下)习题册答案第六版下册同济大学数学系编第八章多元函数的微分法及其应用§ 1 多元函数概念一、设f(x,y)x2y2,(x,y)x2y2,求:f[(x,y),y2]. 答案：f((x,y),y2)(x2y2)2y4x42x2y22y4二、求下列函数的定义域：x2(1y)221、f(x,y){(x,y)|y x1}; 221x yy2、z arcsin {(x,y)|y x,x0}; x三、求下列极限：x2siny 1、lim （0）2(x,y)(0,0)2x y2、y(1)3x (e6) (x,y)(,2)xlimx2y四、证明极限lim不存在. 2(x,y)(0,0)4x y证明：当沿着x轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着y x趋于（0，0）时，极限为二者不相等，所以极限不存在21, 21,(x,y)(0,0)xysin22五、证明函数f(x,y)在整个xoy面上连续。
x y0,(x,y)(0,0)证明：当(x,y)(0,0)时，f(x,y)为初等函数，连续。
当(x,y)(0,0)时，1xysi0f(0,0)，所以函数在（0，0）也连续。
所以函数(x,ylim)(0,0)22x y在整个xoy面上连续。
六、设z x y2f(x y)且当y=0时z x2，求f(x)及z的表达式. 解：f(x)=x2x，z x22y22xy y§ 2 偏导数y z z xy z 1、设z=xy xex ,验证x y x yzy z z z y ex ex,x ex，x y xy xy xex xy z 证明：xx y x yyyyyz x2y212、求空间曲线:在点（,,1）处切线与y轴正向夹角() 1y224 2x23、设f(x,y)xy(y1)arcsin, 求fx(x,1) ( 1) y4、设u x, 求zzy u u u ，，y x zzz uz u1y uzy12xylnx xlnx x 解：，y zy xyy 2u2u2u2 5、设u x y z，证明: x2y2z2u6、判断下面的函数在(0,0) 处是否连续？是否可导（偏导）？说明理由222122xsin,x y022f(x,y)x y220,x y0100 limf(x,y)0f(0,0) 连续；fx(0,0)lim fy(0,0)limsi2 不存在，0 x0y0x0y0xy07、设函数f(x,y)在点（a,b）处的偏导数存在，求limx0f(a x,b)f(a x,b) x（2fx(a,b)）§ 3 全微分1、单选题（1）二元函数f(x,y)在点(x,y)处连续是它在该点处偏导数存在的__________(A) 必要条件而非充分条件（B）充分条件而非必要条件（C）充分必要条件（2）对于二元函数f(x,y)，下列有关偏导数与全微分关系中正确的是___(A) 偏导数不连续，则全微分必不存在（C）全微分存在，则偏导数必连续（D）全微分存在，而偏导数不一定存在2、求下列函数的全微分：yyy11）z ex dz ex(2dx dy) xx22 2）z sin(xy) 解：dz cos(xy)(y2dx2xydy)yz11y 3）u x 解：du xdx xzlnxdy2xzlnxdz zzzyzyyy3、设z ycos(x2y)，求dz(0,)4解：dz ysin(x2y)dx(cos(x2y)2ysin(x2y))dy dz|(0,4)=4dx2dy4、设f(x,y,z)z1(2dx4dy5dz) 求：df(1,2,1)2225x y122(x y)sin5、讨论函数f(x,y)x2y20,,(x,y)(0,0)(x,y)(0,0)在（0，0）点处的连续性、偏导数、可微性1(x2y2)sin0f(0,0) 所以f(x,y)在（0，0）点处连续。
(完整word版)同济大学第六版高等数学课后答案详解全集
同济六版高等数学课后答案全集第一章习题1-11. 设A =(-∞, -5)⋃(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ⋃B , A ⋂B , A\B 及A\(A\B)的表达式.2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ⋂B)C =AC ⋃BC . .3. 设映射f : X →Y , A ⊂X , B ⊂X . 证明(1)f(A ⋃B)=f(A)⋃f(B);(2)f(A ⋂B)⊂f(A)⋂f(B).4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中IX 、IY 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有IX x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有IY y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.5. 设映射f : X →Y , A ⊂X . 证明:(1)f -1(f(A))⊃A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f(A))=A .6. 求下列函数的自然定义域:(1)23+=x y ;. (2)211x y -=; (3)211x x y --=;(4)241x y -=;(5)x y sin =; (6) y =tan(x +1);(7) y =arcsin(x -3); (8)x x y 1arctan 3+-=;. (9) y =ln(x +1);(10)x e y 1=.7. 下列各题中, 函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？(1)f(x)=lg x2, g(x)=2lg x ;(2) f(x)=x , g(x)=2x ;(3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g .(4)f(x)=1, g(x)=sec2x -tan2x .8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3|| 03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, ϕ(-2), 并作出函数y =ϕ(x)的图形.. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:(1)x xy -=1, (-∞, 1);(2)y =x +ln x , (0, +∞).10. 设 f(x)为定义在(-l , l)内的奇函数, 若f(x)在(0, l)内单调增加, 证明f(x)在(-l , 0)内也单调增加.11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l)上的, 证明:(1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y =x2(1-x2);(2)y =3x2-x3;(3)2211x xy +-=;(4)y =x(x -1)(x +1);(5)y =sin x -cos x +1;(6)2x x aa y -+= 13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期:(1)y =cos(x -2);.(2)y =cos 4x ;(3)y =1+sin πx ;(4)y =xcos x ;(5)y =sin2x .14. 求下列函数的反函数:(1)31+=x y 错误!未指定书签。
高等数学下(同济大学第五版)课后习题答案1(精品文档)
第八章 多元函数微分法及其应用第一节 多元函数的基本概念本节主要概念，定理，公式和重要结论理解多元函数的概念，会表达函数，会求定义域； 理解二重极限概念，注意A y x f y x y x =→),(lim),(),(00是点),(y x 以任何方式趋于),(00y x ;注意理解本节中相关概念与一元函数中相应内容的区分与联系。
习题 8－11.求下列函数表达式:(1)xy y x y x f +=),(，求),(y x xy f +解：(,)()x yxy f xy x y xyx y ++=++(2)22),(y x y x y x f -=-+，求),(y x f解：(,)()()(,)f x y x y x y x y f x y xy +-=-+⇒= 2.求下列函数的定义域，并绘出定义域的图形: (1)221)1ln(yx x y x z --+-+=解：22221011010x y x y x y x y x +->⎧+>⎧⎪-->⇒⎨⎨+<⎩⎪≥⎩(2))12ln(2+-=y x z 解：2210x y -+>(3) |)|||1ln(),(y x y x f --= 解：1||||0||||1x y x y -->⇒+< 3.求下列极限:(1)22)1,0(),(1limy x xyx y x ++-→解：22(,)(0,1)1lim1x y x xyx y →-+=+ (2)xyxy y x 42lim)0,0(),(+-→解一：(,)(0,0)(,)(0,0)(,)(0,0)18lim2lim2lim 4x y x y x y xyxy →→→=-=-=-(3)yxy x y x )sin()2(lim )0,1(),(+→(4)2222011limy x y x y x +-+→→解一：(,)(1,0)(,)(1,0)sin()sin()lim (2)lim [(2)]3x y x y xy xy x x x y xy→→+=+=解二：(,)(1,0)(,)(1,0)(,)(1,0)sin()lim (2)lim (2)lim (2)3x y x y x y xy xyx x x x y y →→→+=+=+= (4)22220011limyx y x y x +-+→→解一：2222222200000011lim lim()022x x x y y y x y y x xy x y →→→→→→==⋅=++ 解二：222222000000x x x y y y y x y →→→→→→===+ 4.证明下列函数当)0,0(),(→y x 时极限不存在:(1)2222),(yx y x y x f +-=解：222222222222001lim lim 1x x y kxx y x k x k x y x k x k →→=---==+++ (2)22222)(),(y x y x y x y x f -+= 解：224222400lim lim 1()x x y x x y x x y x y x →→===+- 2222200lim 0()x y x y x y x y →==+- 5.下列函数在何处是间断的? (1) yx z -=1解：x y =(2)x y xy z 2222-+=解：22y x =第二节 偏导数本节主要概念，定理，公式和重要结论1.偏导数：设),(y x f z =在),(00y x 的某一邻域有定义，则xy x f y x x f y x f x x ∆∆∆),(),(lim),(0000000-+=→， yy x f y y x f y x f y y ∆∆∆),(),(lim ),(0000000-+=→. ),(00y x f x 的几何意义为曲线⎩⎨⎧==0),(y y y x f z 在点)),(,,(0000y x f y x M 处的切线对x 轴的斜率.),(y x f 在任意点),(y x 处的偏导数),(y x f x 、),(y x f y 称为偏导函数，简称偏导数.求),(y x f x 时，只需把y 视为常数，对x 求导即可. 2.高阶偏导数),(y x f z =的偏导数),(),,(y x f y x f y x 的偏导数称为二阶偏导数，二阶偏导数的偏导数称为三阶偏导数，如此类推. 二阶偏导数依求导次序不同，有如下4个：xy zy x z y z x z ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂222222,,,，其中后两个称为混合偏导数. 若两个混合偏导数皆为连续函数，则它们相等，即可交换求偏导数的次序.高阶混合偏导数也有类似结果.习题 8－21.求下列函数的一阶偏导数:(1)xy y xz +=解：21,z z xy x x y y y∂∂=+=-+∂∂ (2)xyz arctan =解：2222222111,1()1()z y y z x y y x x x y y x x y x x∂--∂=⋅==⋅=∂+∂+++ (3))ln(22y x x z ++=解：(1z x ∂=+=∂z y ∂==∂ (4))ln(222z y x u ++=解：222222222222,,u x u y u z x x y z y x y z z x y z∂∂∂===∂++∂++∂++ (5)⎰=yzxzt dt e u 2解：22222222,,x z y z y z x z u u u ze ze ye xe x y z∂∂∂=-==-∂∂∂ (6)x y y x z cos sin = 解：2211cos cos sin sin ,cos cos sin sin z x y y x y u x x y x y x y y x x y x y y y x x y x ∂∂=+=--∂∂ (7)y x xy z ++=)1( (8))cos(ϕθϕθ-=+e u解：(1)[ln(1)],(1)[ln(1)]11x y x y z x y u x y xy xy y xy xy x x xy y xy ++∂+∂+=+++=+++∂+∂+ (8))cos(ϕθϕθ-=+e u解：[cos()sin()],[cos()sin()]u u e e θϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕ++∂∂=---=-+-∂∂ 2.求下列函数在指定点处的一阶偏导数: （1）yxy x z arcsin)1(2-+=，求)1,0(x z 解：20(0,1)lim0x x x z x∆→∆==∆ （2）xyx e x z yarctan)1(2-+=，求)0,1(y z 解：01(1,0)lim1y y y e z y∆∆→-==-∆ 3.求下列函数的高阶偏导数:(1))ln(xy x z =， 求22x z ∂∂，22yz ∂∂，y x z∂∂∂2解：ln()1,z z x xy x y y∂∂=+=∂∂ 22222211,,z z x z x x y y x y y∂∂∂==-=∂∂∂∂ (2))2(cos 2y x z +=，求22x z ∂∂，22yz ∂∂，y x z ∂∂∂2，x y z ∂∂∂2解：2cos(2)sin(2)sin 2(2)z x y x y x y x∂=-++=-+∂4cos(2)sin(2)2sin 2(2)zx y x y x y y∂=-++=-+∂ 222222cos 2(2),8cos 2(2),4cos 2(2)z z zx y x y x y x y x y∂∂∂=-+=-+=-+∂∂∂∂ (3)⎰+=22 y x xtdt e z ， 求22x z ∂∂， yx z∂∂∂2解：22222222222,2(12),4x y x x y x x y z z z xe e x e e xye x x x y+++∂∂∂=-=+-=∂∂∂∂ 4.设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-=0 00),(22222233y x y x y x xy y x y x f ，求)0,0(xy f 和)0,0(yx f .解：00(0)(0,0)00(0,0)lim lim 0x x x f x f f x x ∆→∆→∆--===∆∆，00(0,)(0,0)00(0,0)lim lim 0y y y f y f f y y ∆→∆→∆--===∆∆4224222224(,),0()x x x y y f x y y x y x y +-=+≠+ 4224222224(,),0()y x x y y f x y x x y x y --=+≠+ 54000(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1x x xy y y y f y f yf y y∆→∆→-∆-∆-∆===-∆∆54000(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x yx x x x f x f x f x x ∆→∆→∆-∆-∆===∆∆5.设)11(y x e z +-=， 求证z y z y x z x222=∂∂+∂∂ 解: 1111()()2211,x y x y z z e ex x y y-+-+∂∂==∂∂ 111111()()()2222221122x yx y x y z z x y x e y e e z x y x y-+-+-+∂∂+=⋅+⋅==∂∂ 6.设222z y x r ++=， 证明r zr y r x r 2222222=∂∂+∂∂+∂∂证明: 22222223,r x r x r r x r r x x r x r x r r r ∂--∂∂-∂=====∂∂由轮换对称性, 2222222323,r r y r r z y r z r∂-∂-==∂∂ 222222222223321r r r r x y z r x y z r r r∂∂∂---++===∂∂∂ 第三节 全微分本节主要概念，定理，公式和重要结论 1.全微分的定义若函数),(y x f z =在点),(00y x 处的全增量z ∆表示成22),(y x o y B x A z ∆+∆=+∆+∆=∆ρρ则称),(y x f z =在点),(00y x 可微，并称Bdy Adx y B x A +=+∆∆为),(y x f z =在点),(00y x 的全微分，记作dz .2.可微的必要条件：若),(y x f z =在),(00y x 可微，则 （1）),(y x f 在),(00y x 处连续；（2）),(y x f 在),(00y x 处可偏导，且),(),,(0000y x f B y x f A y x ==，从而dy y x f dx y x f dz y x ),(),(0000+=.一般地，对于区域D 内可微函数， dy y x f dx y x f dz y x ),(),(+=.3.可微的充分条件：若),(y x f z =在),(00y x 的某邻域内可偏导，且偏导数在),(00y x 处连续，则),(y x f z =在),(00y x 可微。
同济大学第六版高等数学上册课后答案全集
高等数学第六版上册课后习题答案第一章习题1-11. 设A =(-∞, -5)⋃(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ⋃B , A ⋂B , A \B 及A \(A \B )的表达式.解 A ⋃B =(-∞, 3)⋃(5, +∞),A ⋂B =[-10, -5),A \B =(-∞, -10)⋃(5, +∞),A \(A \B )=[-10, -5).2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ⋂B )C =A C ⋃B C .证明 因为x ∈(A ⋂B )C ⇔x ∉A ⋂B ⇔ x ∉A 或x ∉B ⇔ x ∈A C 或x ∈B C ⇔ x ∈A C ⋃B C , 所以 (A ⋂B )C =A C ⋃B C .3. 设映射f : X →Y , A ⊂X , B ⊂X . 证明(1)f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B );(2)f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).证明 因为y ∈f (A ⋃B )⇔∃x ∈A ⋃B , 使f (x )=y⇔(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B )⇔ y ∈f (A )⋃f (B ),所以 f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ).(2)因为y ∈f (A ⋂B )⇒∃x ∈A ⋂B , 使f (x )=y ⇔(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )⇒ y ∈ f (A )⋂f (B ),所以 f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射.又因为对于任意的x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2)⇒g [ f (x 1)]=g [f (x 2)] ⇒ x 1=x 2.因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.对于映射g : Y →X , 因为对每个y ∈Y , 有g (y )=x ∈X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射.5. 设映射f : X →Y , A ⊂X . 证明:(1)f -1(f (A ))⊃A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f (A ))=A .证明 (1)因为x ∈A ⇒ f (x )=y ∈f (A ) ⇒ f -1(y )=x ∈f -1(f (A )),所以 f -1(f (A ))⊃A .(2)由(1)知f -1(f (A ))⊃A .另一方面, 对于任意的x ∈f -1(f (A ))⇒存在y ∈f (A ), 使f -1(y )=x ⇒f (x )=y . 因为y ∈f (A )且f 是单射, 所以x ∈A . 这就证明了f -1(f (A ))⊂A . 因此f -1(f (A ))=A . 6. 求下列函数的自然定义域:(1)23+=x y ;解 由3x +2≥0得32->x . 函数的定义域为) ,32[∞+-. (2)211xy -=; 解 由1-x 2≠0得x ≠±1. 函数的定义域为(-∞, -1)⋃(-1, 1)⋃(1, +∞).(3)211x xy --=; 解 由x ≠0且1-x 2≥0得函数的定义域D =[-1, 0)⋃(0, 1].(4)241x y -=; 解 由4-x 2>0得 |x |<2. 函数的定义域为(-2, 2).(5)x y sin =;解 由x ≥0得函数的定义D =[0, +∞).(6) y =tan(x +1);解 由21π≠+x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅)得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅⋅).(7) y =arcsin(x -3);解 由|x -3|≤1得函数的定义域D =[2, 4].(8)xx y 1arctan 3+-=; 解 由3-x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, 3).(9) y =ln(x +1);解 由x +1>0得函数的定义域D =(-1, +∞).(10)x e y 1=.解 由x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, +∞).7. 下列各题中, 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？(1)f (x )=lg x 2, g (x )=2lg x ;(2) f (x )=x , g (x )=2x ;(3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g .(4)f (x )=1, g (x )=sec 2x -tan 2x .解 (1)不同. 因为定义域不同.(2)不同. 因为对应法则不同, x <0时, g (x )=-x .(3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同.(4)不同. 因为定义域不同.8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3|| 03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, ϕ(-2), 并作出函数y =ϕ(x )的图形.解 21|6sin |)6(==ππϕ, 22|4sin |)4(==ππϕ, 22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ, 0)2(=-ϕ. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:(1)xx y -=1, (-∞, 1); (2)y =x +ln x , (0, +∞).证明 (1)对于任意的x 1, x 2∈(-∞, 1), 有1-x 1>0, 1-x 2>0. 因为当x 1<x 2时,0)1)(1(112121221121<---=---=-x x x x x x x x y y , 所以函数xx y -=1在区间(-∞, 1)内是单调增加的. (2)对于任意的x 1, x 2∈(0, +∞), 当x 1<x 2时, 有0ln )()ln ()ln (2121221121<+-=+-+=-x x x x x x x x y y , 所以函数y =x +ln x 在区间(0, +∞)内是单调增加的.10. 设 f (x )为定义在(-l , l )内的奇函数, 若f (x )在(0, l )内单调增加, 证明f (x )在(-l , 0)内也单调增加.证明 对于∀x 1, x 2∈(-l , 0)且x 1<x 2, 有-x 1, -x 2∈(0, l )且-x 1>-x 2.因为f (x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以f (-x 2)<f (-x 1), -f (x 2)<-f (x 1), f (x 2)>f (x 1),这就证明了对于∀x 1, x 2∈(-l , 0), 有f (x 1)< f (x 2), 所以f (x )在(-l , 0)内也单调增加. 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l )上的, 证明:(1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明 (1)设F (x )=f (x )+g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=f (x )+g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=-f (x )-g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数.(2)设F (x )=f (x )⋅g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=[-f (x )][-g (x )]=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数.如果f (x )是偶函数, 而g (x )是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )[-g (x )]=-f (x )⋅g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y =x 2(1-x 2);(2)y =3x 2-x 3;(3)2211xx y +-=; (4)y =x (x -1)(x +1);(5)y =sin x -cos x +1;(6)2x x a a y -+=. 解 (1)因为f (-x )=(-x )2[1-(-x )2]=x 2(1-x 2)=f (x ), 所以f (x )是偶函数.(2)由f (-x )=3(-x )2-(-x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222x f x x x x x f =+-=-+--=-, 所以f (x )是偶函数. (4)因为f (-x )=(-x )(-x -1)(-x +1)=-x (x +1)(x -1)=-f (x ), 所以f (x )是奇函数.(5)由f (-x )=sin(-x )-cos(-x )+1=-sin x -cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(6)因为)(22)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=-----, 所以f (x )是偶函数. 13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期:(1)y =cos(x -2);解 是周期函数, 周期为l =2π.(2)y =cos 4x ;解 是周期函数, 周期为2π=l . (3)y =1+sin πx ;解 是周期函数, 周期为l =2.(4)y =x cos x ;解 不是周期函数.(5)y =sin 2x .解 是周期函数, 周期为l =π.14. 求下列函数的反函数:(1)31+=x y 错误！未指定书签。
高等数学同济课后答案
总习题一1. 在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内:(1)数列{x n }有界是数列{x n }收敛的________条件. 数列{x n }收敛是数列{x n }有界的________的条件. (2)f (x )在x 0的某一去心邻域内有界是)(lim 0x f x x →存在的________条件. )(lim 0x f x x →存在是f (x )在x 0的某一去心邻域内有界的________条件. (3) f (x )在x 0的某一去心邻域内无界是∞=→)(lim 0x f x x 的________条件. ∞=→)(lim 0x f x x 是f (x )在x 0的某一去心邻域内无界的________条件.(4)f (x )当x →x 0时的右极限f (x 0+)及左极限f (x 0-)都存在且相等是)(lim 0x f x x →存在的________条件.解 (1) 必要, 充分. (2) 必要, 充分. (3) 必要, 充分. (4) 充分必要.2. 选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论: 设f (x )=2x +3x -2, 则当x →0时, 有( ).(A )f (x )与x 是等价无穷小; (B )f (x )与x 同阶但非等价无穷小; (C )f (x )是比x 高阶的无穷小; (D )f (x )是比x 低阶的无穷小.解 因为x x xx x f x x x x x x x x 13lim 12lim 232lim )(lim 0000-+-=-+=→→→→3ln 2ln )1ln(lim 3ln )1ln(lim2ln 00+=+++=→→u u t t u t (令2x -1=t , 3x -1=u ) .所以f (x )与x 同阶但非等价无穷小, 故应选B . 3. 设f (x )的定义域是[0, 1], 求下列函数的定义域: (1) f (e x ); (2) f (ln x ); (3) f (arctan x ); (4) f (cos x ).解 (1)由0≤e x ≤1得x ≤0, 即函数f (e x )的定义域为(-∞, 0]. (2) 由0≤ ln x ≤1得1≤x ≤e , 即函数f (ln x )的定义域为[1, e ].(3) 由0≤ arctan x ≤1得0≤x ≤tan 1, 即函数f (arctan x )的定义域为[0, tan 1]. (4) 由0≤ cos x ≤1得2222ππππ+≤≤-n x n (n =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅),即函数f (cos x )的定义域为[2,22ππππ+-n n ], (n =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).4. 设⎩⎨⎧>≤=0 00)(x x x x f , ⎩⎨⎧>-≤=0 0 0)(2x x x x g , 求f [f (x )], g [g (x )], f [g (x )], g [f (x )]. 解 因为f (x )≥0, 所以f [f (x )]=f (x )⎩⎨⎧>≤=0 00x x x ;因为g (x )≤0, 所以g [g (x )]=0; 因为g (x )≤0, 所以f [g (x )]=0; 因为f (x )≥0, 所以g [f (x )]=-f 2(x )⎩⎨⎧>-≤=0 002x x x . 5. 利用y =sin x 的图形作出下列函数的图形: (1)y =|sin x |; (2)y =sin|x |; (3)2sin 2x y =.6. 把半径为R 的一圆形铁片, 自中心处剪去中心角为α的一扇形后围成一无底圆锥. 试将这圆锥的体积表为α的函数.解 设围成的圆锥的底半径为r , 高为h , 依题意有 R (2π-α)=2πr ,παπ2)2(-=R r ,παπαπαπ244)2(2222222-=--=-=RR R r R h .圆锥的体积为παπαπαππ244)2(312222-⋅-⋅=RR V22234)2(24a R -⋅-=πααππ(0<α<2π). 7. 根据函数极限的定义证明536lim23=---→x x x x .证明 对于任意给定的ε>0, 要使ε<----|536|2x x x , 只需|x -3|<ε, 取δ=ε, 当0<|x -3|<δ时, 就有|x -3|<ε, 即ε<----|536|2x x x , 所以536lim 23=---→x x x x .8. 求下列极限:(1)221)1(1lim-+-→x x x x ;(2))1(lim 2x x x x -++∞→;(3)1)1232(lim +∞→++x x x x ; (4)30sin tan limx x x x -→;(5)x x x x x c b a 10)3(lim ++→(a >0, b >0, c >0); (6)x x x tan 2)(sin lim π→.解 (1)因为01)1(lim 221=+--→x x x x , 所以∞=-+-→221)1(1lim x x x x .(2))1()1)(1(lim )1(lim 2222x x x x x x x x x x x x ++++-+=-++∞→+∞→211111lim 1lim22=++=++=+∞→+∞→x x x x x x .(3)2121211)1221(lim )1221(lim )1232(lim ++∞→+∞→+∞→++=++=++x x x x x x x x x x21212)1221()1221(lim ++++=+∞→x x x xe x x x x x =++⋅++=∞→+∞→21212)1221(lim )1221(lim .(4)xx x x x x x x x x x x x cos )cos 1(sin lim )1cos 1(sin lim sin tan lim 303030-=-=-→→→21)2(2lim cos 2sin 2sin lim 320320=⋅=⋅=→→xx x x x x x x x (提示: 用等价无穷小换). (5)x c b a c b a xx x x xx xx x x x x x x x c b a c b a 3333010)331(lim )3(lim -++⋅-++→→-+++=++, 因为e c b a x x x c b a x x x x =-+++-++→330)331(lim ,)111(lim 3133lim 00xc x b x a x c b a xx x x x x x x -+-+-=-++→→ ])1ln(1lim ln )1ln(1lim ln )1ln(1lim [ln 31000v c u b t a v u t +++++=→→→3ln )ln ln (ln 31abc c b a =++=,所以3ln 103)3(lim abc e c b a abc x x x x x ==++→.提示: 求极限过程中作了变换a x -1=t , b x -1=u , c x -1=v . (6)xx x x xx x x tan )1(sin 1sin 12tan 2)]1(sin 1[lim )(sin lim -⋅-→→-+=ππ, 因为 e x x x =-+-→1sin 12)]1(sin 1[lim π,x x x x x x x cos )1(sin sin limtan )1(sin lim 22-=-→→ππ01sin cos sin lim )1(sin cos )1(sin sin lim 222=+-=+-=→→x x x x x x x x x ππ, 所以1)(sin lim 0tan 2==→e x x x π.9. 设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=01sin )(2x x a x xx x f , 要使f (x )在(-∞, +∞)内连续, 应怎样选择数a ? 解 要使函数连续, 必须使函数在x =0处连续. 因为 f (0)=a ,a x a x f x x =+=--→→)(lim )(lim 200, 01sin lim )(lim 00==++→→xx x f x x ,所以当a =0时, f (x )在x =0处连续. 因此选取a =0时, f (x )在(-∞, +∞)内连续. 10. 设⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+>=-01 )1ln(0)(11x x x e x f x , 求f (x )的间断点, 并说明间断点所属类形. 解 因为函数f (x )在x =1处无定义, 所以x =1是函数的一个间断点.因为0lim )(lim 1111==-→→--x x x e x f (提示-∞=--→11lim 1x x ),∞==-→→++1111lim )(lim x x x e x f (提示+∞=-+→11lim 1x x ),所以x =1是函数的第二类间断点.又因为0)1ln(lim )(lim 00=+=--→→x x f x x , ee xf x x x 1lim )(lim 110==-→→++,所以x =0也是函数的间断点, 且为第一类间断点.11. 证明()11 2111lim222=++⋅⋅⋅++++∞→n n n n n .证明 因为()11 211122222+≤++⋅⋅⋅++++≤+n n n n n n n n n , 且 1111lim lim2=+=+∞→∞→n n n n n n , 1111lim 1lim 22=+=+∞→∞→nn n n n , 所以()11 2111lim 222=++⋅⋅⋅++++∞→nn n n n . 12. 证明方程sin x +x +1=0在开区间)2,2(ππ-内至少有一个根.证明 设f (x )=sin x +x +1, 则函数f (x )在]2,2 [ππ-上连续.因为2121)2 (πππ-=+--=-f , 22121)2 (πππ+=++=f , 0)2()2 (<⋅-ππf f , 所以由零点定理, 在区间)2,2 (ππ-内至少存在一点ξ, 使f (ξ)=0.这说明方程sin x +x +1=0在开区间)2,2 (ππ-内至少有一个根.13. 如果存在直线L : y =kx +b , 使得当x →∞(或x →+∞, x →-∞)时, 曲线y =f (x )上的动点M (x , y )到直线L 的距离d (M , L )→0, 则称L 为曲线y =f (x )的渐近线. 当直线L 的斜率k ≠0时, 称L 为斜渐近线. (1)证明: 直线L : y =kx +b 为曲线y =f (x )的渐近线的充分必要条件是xx f k x x x )(lim),( -∞→+∞→∞→=, ])([lim),( kx x f b x x x -=-∞→+∞→∞→.(2)求曲线x e x y 1)12(-=的斜渐近线.证明 (1) 仅就x →∞的情况进行证明.按渐近线的定义, y =kx +b 是曲线y =f (x )的渐近线的充要条件是0)]()([lim =+-∞→b kx x f x .必要性: 设y =kx +b 是曲线y =f (x )的渐近线, 则0)]()([lim =+-∞→b kx x f x ,于是有 0])([lim =--∞→xb k x x f x x ⇒0)(lim =-∞→k x x f x ⇒x x f k x )(lim∞→=, 同时有0])([lim =--∞→b kx x f x ⇒])([lim kx x f b x -=∞→.充分性: 如果xx f k x )(lim ∞→=, ])([lim kx x f b x -=∞→, 则0])([lim ])([lim )]()([lim =-=--=--=+-∞→∞→∞→b b b kx x f b kx x f b kx x f x x x ,因此y =kx +b 是曲线y =f (x )的渐近线.(2)因为212lim lim 1=⋅-==∞→∞→x x x e x x x y k , 11)1ln(lim21)1(lim2]2)12[(lim ]2[lim 011=-+=--=--=-=→∞→∞→∞→t t e x x e x x y b t xx xx x ,所以曲线x e x y 1)12(-=的斜渐近线为y =2x +1.总 习 题 二1. 在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内:(1)f (x )在点x 0可导是f (x )在点x 0连续的____________条件. f (x )在点x 0连续是f (x )在点x 0可导的____________条件.(2) f (x )在点x 0的左导数f -'(x 0)及右导数f +'(x 0)都存在且相等是f (x )在点x 0可导的_______条件. (3) f (x )在点x 0可导是f (x )在点x 0可微的____________条件. 解 (1)充分, 必要. (2) 充分必要. (3) 充分必要.2. 选择下述题中给出的四个结论中一个正确的结论:设f (x )在x =a 的某个邻域内有定义, 则f (x )在x =a 处可导的一个充分条件是( ). (A ))]()1([lim a f ha f h h -++∞→存在; (B )hh a f h a f h )()2(lim0+-+→存在;(C )h h a f h a f h 2)()(lim--+→存在; (D )hh a f a f h )()(lim 0--→存在.解 正确结论是D . 提示:xa f x a f h a f h a f h h a f a f x h h ∆-∆+=---=--→∆→→)()(lim)()(lim )()(lim000(∆x =-h ). 3. 设有一根细棒, 取棒的一端作为原点, 棒上任一点的做标x 为, 于是分布在区间[0, x ]上细棒的质量m 是x 的函数m =m (x ),应怎样确定细棒在点x 0处的线密度(对于均匀细棒来说, 单位长度细棒的质量叫做这细棒的线密度)？解 ∆m =m (x 0+∆x )-m (x 0).在区间[x 0, x 0+∆x ]上的平均线密度为xx m x x m xm ∆-∆+=∆∆=)()(00ρ.于是, 在点x 0处的线密度为)()()(lim lim 0000x m xx m x x m xm x x '=∆-∆+=∆∆=→∆→∆ρ.4. 根据导数的定义, 求xx f 1)(=的导数. 解20001)(1lim)(lim 11lim x x x x x x x x x x x x x y x x x -=∆+-=∆+∆∆-=∆-∆+='→∆→∆→∆.5. 求下列函数f (x )的f -'(0)及f +'(0),又f '(0)是否存在? (1)⎩⎨⎧≥+<=0 )1ln(0 sin )(x x x x x f ;(2)⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0 00 1)(1x x e x x f x .解 (1)因为10sin lim 0)0()(lim )0(00=-=--='--→→-xx x f x f f x x ,1ln )1ln(lim 0)1ln(lim 0)0()(lim )0(1000==+=-+=--='+++→→→+e x xx x f x f f x x x x ,而且f -'(0) = f +'(0), 所以f '(0)存在, 且f '(0)=1.(2)因为111lim 01lim 0)0()(lim )0(10100=+=--+=--='---→→→-xx xx x e x e x x f x f f ,011lim 001lim 0)0()(lim )0(10100=+=--+=--='+++→→→+xx xx x e x e x x f x f f ,而f -'(0)≠ f +'(0), 所以f '(0)不存在.6. 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0001sin )(x x xx x f 在x =0处的连续性与可导性. 解 因为f (0)=0,)0(01sin lim )(lim 00f xx x f x x ===→→, 所以f (x )在x =0处连续; 因为极限xx x x x f x f x x x 1sin lim 01sin lim )0()(lim 000→→→=-=-不存在, 所以f (x )在x =0处不可导. 7. 求下列函数的导数: (1) y =arcsin(sin x );(2)x x y -+=11arctan ;(3)x x x y tan ln cos 2tan ln ⋅-=; (4))1ln(2x x e e y ++=;(5)x x y =(x >0) .解(1)|cos |cos cos sin 11)(sin sin 1122x x x xx x y =⋅-='⋅-='.(2)222211)1()1()1()11(11)11()11(11x x x x xx x x x x y +=-++-⋅-++='-+⋅-++='.(3))(tan tan 1cos tan ln sin )2(tan 2tan 1'⋅⋅-⋅+'⋅='x x x x x x x yx x x x x x x x x tan ln sin sec tan 1cos tan ln sin 212sec 2tan 122⋅=⋅⋅-⋅+⋅⋅.(4)xxx x xx x x x x x e e e e e e e e e e e y 2222221)122(11)1(11+=++⋅++='++⋅++='.(5)x x y ln 1ln =, x x x xy y 11ln 112⋅+-=', )ln 1()1ln 1(222x x x x x x x y xx-=+-='.8. 求下列函数的二阶导数: (1)y =cos 2x ⋅ln x ; (2)21x xy -=.解 (1)x x x x x x x x x y 1cos ln 2sin 1cos ln sin cos 222⋅+⋅-=⋅+⋅-=',221cos 1sin cos 212sin ln 2cos 2x x x x x x x x x y ⋅-⋅-⋅-⋅-=''22cos 2sin 2ln 2cos 2xx x x x x --⋅-=.(2)232222)1(111--=---⋅--='x xx xx x y52252)1(3)2()1(23x x x x y -=-⋅--=''-.9. 求下列函数的n 阶导数: (1)m x y +=1;(2)xx y +-=11. 解 (1)m mx x y 1)1(1+=+=,11)1(1-+='m x m y , 21)1)(11(1-+-=''m x m m y , 31)1)(21)(11(1-+--='''m x m m m y , ⋅ ⋅ ⋅,n m n x n mm m m y-++-⋅⋅⋅--=1)()1)(11( )21)(11(1.(2)1)1(2111-++-=+-=x xx y , y '=2(-1)(1+x )-2, y ''=2(-1)(-2)(1+x )-3, y '''=2(-1)(-2)(-3)(1+x )-4, ⋅ ⋅ ⋅, 1)1()()1(!)1(2)1)(( )3)(2)(1(2++-+-=+-⋅⋅⋅---=n n n n x n x n y.10. 设函数y =y (x )由方程e y +xy =e 所确定, 求y ''(0). 解 方程两边求导得e y y '+y +xy '=0, —— (1) 于是ye x y y +-=';2)()1()()(y y y y e x y e y e x y e x y y +'+-+'-='+-=''. ——(2)当x =0时, 由原方程得y (0)=1, 由(1)式得e y 1)0(-=', 由(2)式得21)0(e y =''. 11. 求下列由参数方程所确定的函数的一阶导数dx dy 及二阶导数22dx yd :(1)⎩⎨⎧==θθ33sin cos a y a x ;(2)⎩⎨⎧=+=ty t x arctan 1ln 2.解 (1)θθθθθθθtan )sin (cos 3cos sin 3)cos ()sin (2233-=-=''=a a a a dx dy ,θθθθθθθcsc sec 31sin cos 3sec )cos ()tan (422322⋅=--=''-=aa a dx y d .(2)t t t t t t dx dy 1111]1[ln )(arctan 222=++='+'=,3222222111]1[ln )1(t t t t t t t dx y d +-=+-='+'=.12. 求曲线⎩⎨⎧==-t te y e x 2在t =0相的点处的切线方程及法线方程.解t t tt t ee e e e dx dy 2212)2()(-=-=''=--.当t =0时,21-=dx dy , x =2, y =1. 所求切线的方程为)2(211--=-x y , 即x +2y -4=0; 所求法线的方程为y -1=2(x -2).13. 甲船以6km/h 的速率向东行驶, 乙船以8km/h 的速率向南行驶, 在中午十二点正, 乙船位于甲船之北16km 处. 问下午一点正两船相离的速率为多少?解 设从中午十二点开始, 经过t 小时, 两船之间的距离为S , 则有 S 2=(16-8t )2+(6t )2,t t dtdS S 72)816(162+--=,St t dt dS 272)816(16+--=.当t =1时, S =10,8.220721281-=+-==t dt dS (km/h), 即下午一点正两船相离的速度为-2.8km/h . 14. 利用函数的微分代替函数的增量求302.1的近似值.解 设3)(x x f =, 则有x x f f x f ∆=∆'≈-∆+31)1()1()1(, 或x x f ∆+≈∆+311)1(于是007.102.031102.0102.133=⋅+=+=.15. 已知单摆的振动周期gl T π2=, 其中g =980 cm/s 2, l 为摆长(单位为cm). 设原摆长为20cm , 为使周期T 增大0.05s , 摆长约需加长多少？ 解 因为L gLdT T ∆⋅=≈∆π,所以23.205.020=≈∆=L gLL π(cm),即摆长约需加长2.23cm .总习题三 1. 填空:设常数k >0, 函数k ex x x f +-=ln )(在(0, +∞)内零点的个数为________. 解 应填写2. 提示: e x x f 11)(-=', 21)(x x f -=''. 在(0, +∞)内, 令f '(x )=0, 得唯一驻点x =e .因为f ''(x )<0, 所以曲线k exx x f +-=ln )(在(0, +∞)内是凸的, 且驻点x =e 一定是最大值点, 最大值为f (e )=k >0.又因为-∞=+→)(lim 0x f x , -∞=+∞→)(lim x f x , 所以曲线经过x 轴两次, 即零点的个数为2.2. 选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论:设在[0, 1]上f ''(x )>0, 则f '(0), f '(1), f (1)-f (0)或f (0)-f (1)几个数的大小顺序为( ). (A )f '(1)>f '(0)>f (1)-f (0); (B )f '(1)>f (1)-f (0)>f '(0); (C )f (1)-f (0)>f '(1)>f '(0); (D )f '(1)>f (0)-f (1)>f '(0). 解 选择B .提示: 因为f ''(x )>0, 所以f '(x )在[0, 1]上单调增加, 从而f '(1)>f '(x )>f '(0). 又由拉格朗日中值定理, 有f (1)-f (0)=f '(ξ), ξ∈[0, 1], 所以 f '(1)> f (1)-f (0)>f '(0).3. 列举一个函数f (x )满足: f (x )在[a , b ]上连续, 在(a ,b )内除某一点外处处可导, 但在(a , b )内不存在点ξ , 使f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a ). 解 取f (x )=|x |, x ∈[-1, 1].易知f (x )在[-1, 1]上连续, 且当x >0时f '(x )=1; 当x >0时, f '(x )=-1; f '(0)不存在, 即f (x )在[-1, 1]上除x =0外处处可导.注意f (1)-f (-1)=0, 所以要使f (1)-f (-1)=f '(ξ)(1-(-1))成立, 即f '(ξ)=0, 是不可能的. 因此在(-1, 1)内不存在点ξ , 使f (1)-f (-1)=f '(ξ)(1-(-1)). 4. 设k x f x ='∞→)(lim , 求)]()([lim x f a x f x -+∞→.解 根据拉格朗日中值公式, f (x +a )-f (x )=f '(ξ )⋅a , ξ 介于x +a 与x 之间.当x →∞ 时, ξ → ∞, 于是ak f a a f x f a x f x x ='=⋅'=-+∞→∞→∞→)(lim )(lim )]()([lim ξξξ.5. 证明多项式f (x )=x 3-3x +a 在[0, 1]上不可能有两个零点.证明 f '(x )=3x 2-3=3(x 2-1), 因为当x ∈(0, 1)时, f '(x )<0, 所以f (x )在[0, 1]上单调减少. 因此, f (x ) 在[0, 1]上至多有一个零点.6. 设1210++⋅⋅⋅++n a a a n =0, 证明多项式f (x )=a 0+a 1x +⋅ ⋅ ⋅+a n x n 在(0,1)内至少有一个零点. 证明 设121012)(+++++=n n x n a x a x a x F , 则F (x )在[0, 1]上连续, 在(0, 1)内可导, 且F (0)=F (1)=0. 由罗尔定理, 在(0, 1)内至少有一个点ξ , 使F (ξ )=0. 而F '(x )=f (x ), 所以f (x )在(0, 1)内至少有一个零点.7. 设f (x )在[0, a ]上连续, 在(0, a )内可导, 且f (a )=0, 证明存在一点ξ∈(0, a ), 使f (ξ)+ξf '(ξ)=0.证明 设F (x )=xf (x ), 则F (x )在[0, a ]上连续, 在(0, a )内可导, 且F (0)=F (a )=0. 由罗尔定理, 在(0, a )内至少有一个点ξ , 使F (ξ )=0. 而F (x )=f (x )+x f '(x ), 所以f (ξ)+ξf '(ξ)=0.8. 设0<a <b , 函数f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导, 试利用柯西中值定理, 证明存在一点ξ∈(a , b )使abf b f a f ln )()()(ξξ'=-.证明 对于f (x )和ln x 在[a , b ]上用柯西中值定理, 有ξξ1)(ln ln )()(f ab a f b f '=--, ξ∈(a , b ), 即 abf b f a f ln)()()(ξξ'=-, ξ∈(a , b ). 9. 设f (x )、g (x )都是可导函数, 且|f '(x )|<g '(x ), 证明: 当x >a 时, |f (x )-f (a )|<g (x )-g (a ). 证明 由条件|f '(x )|<g '(x )得知, 1)()(<''ξξg f , 且有g '(x )>0, g (x )是单调增加的, 当x >a 时, g (x )>g (a ).因为f (x )、g (x )都是可导函数, 所以f (x )、g (x ) 在[a , x ]上连续, 在(a , x )内可导, 根据柯西中值定理, 至少存在一点ξ∈(a , x ), 使)()()()()()(ξξg f a g x g a f x f ''=--. 因此,1)()()()(|)()(|<''=--ξξg f a g x g a f x f , |f (x )-f (a )|<g (x )-g (a ).10. 求下列极限:(1)xx x x xx ln 1lim 1+--→;(2)]1)1ln(1[lim 0xx x -+→;(3)x x x )arctan 2(lim π+∞→.(4)nx xn xx x n a a a ]/) [(lim 11211+⋅⋅⋅++∞→(其中a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n >0).解 (1) (x x )'=(e x l n x )'=e x l n x (ln x +1)=x x (ln x +1).xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx -+-=+-+-='+-'-=+--+→→→→1)1(ln lim11)1(ln 1lim )ln 1()(lim ln 1lim 11111 21)1)(ln 11(ln 1lim11=--+++-=+→xx x x x x x x . (2)xxx xx x x x x x x x x x x x x x ++++-='+'+-=++-=-+→→→→1)1ln(111lim])1ln([])1ln([lim )1ln()1ln(lim ]1)1ln(1[lim 00002111)1ln(1lim )1ln()1(lim00=+++=+++=→→x x x x x x x(3))2ln arctan (ln lim )arctan 2(lim ππ++∞→+∞→=x x x xx ex ,因为)2lnarctan (ln lim π++∞→x x x ππ2111arctan 1lim )1()2ln arctan (ln lim22-=-+⋅=''+=+∞→+∞→xx x xx x x , 所以πππ2)2ln arctan (ln lim )arctan 2(lim -++∞→+∞→==eex x x x x x .(4)令nxxn xxn a a a y ]/) [(11211+⋅⋅⋅++=. 则]ln ) [ln(ln11211n a a a nx y xn xx-+⋅⋅⋅++=, 因为xn a a a n y xn xx x x 1]ln ) [ln(limln lim 11211-+⋅⋅⋅++=∞→∞→)1()1()ln ln ln ( 1lim121211111211''⋅+⋅⋅⋅++⋅+⋅⋅⋅++⋅=∞→xxa a a a a a a a a n n xn x xxn x x x=ln a 1+ln a 2+⋅ ⋅ ⋅+ln a n =ln(a 1⋅a 2⋅ ⋅ ⋅ a n ). 即y x ln lim ∞→=ln(a 1⋅a 2⋅ ⋅ ⋅ a n ), 从而n x nx xn xx x a a a y n a a a lim ]/) [(lim 2111211⋅⋅⋅⋅==+⋅⋅⋅++∞→∞→.11. 证明下列不等式: (1)当2021π<<<x x 时,1212tan tan x x x x >; (2):当x >0时, xxx +>+1arctan )1ln(.证明 (1)令x x x f tan )(=, )2,0(π∈x . 因为0tan tan sec )(222>->-='x xx x x x x x f ,所以在)2,0(π内f (x )为单调增加的. 因此当2021π<<<x x 时有]2211tan tan x x x x <, 即1212tan tan x x x x >. (2)要证(1+x )ln(1+x )>arctan x , 即证(1+x )ln(1+x )- arctan x >0.设f (x )=(1+x )ln(1+x )- arctan x , 则f (x )在[0, +∞)上连续,211)1ln()(xx x f +-+='.因为当x >0时, ln(1+x )>0, 01112>+-x, 所以f '(x )>0, f (x )在[0, +∞)上单调增加.因此, 当x >0时, f (x )>f (0), 而f (0)=0, 从而f (x )>0, 即(1+x )ln(1+x )-arctan x >0 .12. 设⎩⎨⎧≤+>=0 20)(2x x x x x f x , 求f (x )的极值.解 x =0是函数的间断点.当x <0时, f '(x )=1; 当x >0时, f '(x )=2x 2x (ln x +1). 令f '(x )=0, 得函数的驻点ex 1=. 列表:函数的极大值为f (0)=2, 极小值为e e ef 2)1(-=.13. 求椭圆x 2-xy +y 2=3上纵坐标最大和最小的点. 解 2x -y -xy '+2yy '=0, y x y x y 22--='. 当y x 21=时, y '=0.将y x 21=代入椭圆方程, 得32141222=+-y y y , y =±2 .于是得驻点x =-1, x =1. 因为椭圆上纵坐标最大和最小的点一定存在, 且在驻点处取得, 又当x =-1时, y =-2, 当x =1时, y =2, 所以纵坐标最大和最小的点分别为(1, 2)和(-1, -2). 14. 求数列}{n n 的最大项.解 令xx x x x f1)(==(x >0), 则x xx f ln 1)(ln =,)ln 1(1ln 11)()(1222x xx x x x f x f -=-='⋅, )ln 1()(21x x x fx -='-.令f '(x )=0, 得唯一驻点x =e .因为当0<x <e 时, f '(x )>0; 当x >e 时, f '(x )<0, 所以唯一驻点x =e 为最大值点. 因此所求最大项为333}3 ,2max{=.15. 曲线弧y =sin x (0<x <π)上哪一点处的曲率半径最小？求出该点处的曲率半径. 解 y '=cos x , y ''=-sin x ,xx y y sin )cos 1(||)1(2/322/32+='''+=ρ(0<x <π),xxx x x x x 2232212sin cos )cos 1(sin )sin cos 2()cos 1(23+-⋅-+='ρxx x x x 222212sin )1cos sin 3(cos )cos1(+++-=.在(0, π)内, 令ρ'=0, 得驻点2π=x .因为当20π<<x 时, ρ'<0; 当ππ<<x 2时, ρ'>0, 所以2π=x 是ρ的极小值点, 同时也是ρ的最小值点,最小值为12sin)2cos 1(2/32=+ππρ.16. 证明方程x 3-5x -2=0只有一个正根. 并求此正根的近似值, 使精确到本世纪末10-3. 解 设f (x )=x 3-5x -2, 则 f '(x )=3x 2-5, f ''(x )=6x .当x >0时, f ''(x )>0, 所以在(0, +∞)内曲线是凹的, 又f (0)=-2, +∞=--+∞→)2(lim 3x x x , 所以在(0, +∞)内方程x 3-5x -2=0只能有一个根. (求根的近似值略)17. 设f ''(x 0)存在, 证明)()(2)()(lim 020000x f hx f h x f h x f h ''=--++→.证明 hh x f h x f h x f h x f h x f h h 2)()(lim)(2)()(lim00020000-'-+'=--++→→hh x f h x f h )()(lim 21000-'-+'=→hh x f x f x f h x f h )]()([)]()([lim 2100000-'-+'-+'=→)()]()([21])()()()([lim 2100000000x f x f x f h h x f x f h x f h x f h ''=''+''=-'-+'-+'=→.18. 设f (n )(x 0)存在, 且f (x 0)=f '(x 0)= ⋅ ⋅ ⋅ =f (n )(x 0)=0, 证明f (x )=o [(x -x 0)n ] (x →x 0). 证明 因为 100)()(lim)()(lim-→→-'=-n x x nx x x x n x f x x x f20))(1()(lim-→--''=n x x x x n n x f =⋅ ⋅ ⋅)(!)(lim 0)1(0x x n x f n x x -=-→0)(!1)()(lim!10)(00)1()1(0==--=--→x fn x x x f x f n n n n x x ,所以f (x )=o [(x -x 0)n ] (x →x 0).19. 设f (x )在(a , b )内二阶可导, 且f ''(x )≥0. 证明对于(a , b )内任意两点x 1, x 2及0≤t ≤1, 有f [(1-t )x 1+tx 2]≤(1-t )f (x 1)+tf (x 2).证明 设(1-t )x 1+tx 2=x 0. 在x =x 0点的一阶泰勒公式为 20000)(!2)())(()()(x x f x x x f x f x f -''+-'+=ξ(其中ξ介于x 与x 0之间). 因为f ''(x )≥0, 所以 f (x )≥f (x 0)+f '(x 0)(x -x 0). 因此f (x 1)≥ f (x 0)+f '(x 0)(x 1-x 0), f (x 2)≥f (x 0)+f '(x 0)(x 2-x 0). 于是有(1-t )f (x 1)+tf (x 2)≥(1-t )[ f (x 0)+f '(x 0)(x 1-x 0)]+t [f (x 0)+f '(x 0)(x 2-x 0)] =(1-t )f (x 0)+t f (x 0)+f '(x 0)[(1-t )x 1+t x 2]-f '(x 0)[(1-t )x 0+t x 0] =f (x 0)+f '(x 0)x 0-f '(x 0)x 0 =f (x 0),即 f (x 0)≤(1-t )f (x 1)+tf (x 2),所以 f [(1-t )x 1+tx 2]≤(1-t )f (x 1)+tf (x 2) (0≤t ≤1).20. 试确定常数a 和b , 使f (x )=x -(a +b cos x )sin x 为当x →0时关于x 的5阶无穷小. 解 f (x )是有任意阶导数的, 它的5阶麦克劳公式为)(!5)0(!4)0(!3)0(!2)0()0()0()(55)5(4)4(32x o x f x f x f x f x f f x f +++'''+''+'+=)(!516!34)1(553x o x b a x b a x b a +--+++--=.要使f (x )=x -(a +b cos x )sin x 为当x →0时关于x 的5阶无穷小, 就是要使极限 ])(!516!341[lim )(lim552405xx o b a x b a x b a x x f x x +--+++--=→→ 存在且不为0. 为此令 ⎩⎨⎧=+=--0401b a b a ,解之得34=a , 31-=b .因为当34=a , 31-=b 时,0301!516)(lim 50≠=--=→b a x x f x ,所以当34=a ,31-=b 时, f (x )=x -(a +b cos x )sin x 为当x →0时关于x 的5阶无穷小.总习题四求下列不定积分(其中a , b 为常数): 1.⎰--xx e e dx;解 C e e de e dx e e e e dxx x xx x xxx ++-=---=-⎰⎰⎰-|11|ln 2111122.2. dx x x ⎰-3)1(;解C x x dx x dx x dx x x+-⋅+-=----=-⎰⎰⎰2323)1(12111)1(1)1(1)1(.3. ⎰-dx xa x 662(a >0); 解 C ax a x a x d x a dx x a x +-+=-=-⎰⎰||ln 61)()()(1313333332323662. 4. ⎰++dx x x xsin cos 1;解 C x x x x d x x dx x x x ++=++=++⎰⎰|sin |ln )sin (sin 1sin cos 1. 5. ⎰dx xxln ln ; 解C x x x dx x x x x x x xd dx x x +-⋅=⋅⋅-⋅==⎰⎰⎰ln ln ln ln 1ln 1ln ln ln ln ln ln ln ln ln .6. ⎰+dx x xx 4sin 1cos sin ; 解 C x x d x x d xx dx x x x +=+=+=+⎰⎰⎰222244sin arctan 21)(sin )(sin 1121sin sin 1sin sin 1cos sin . 7. ⎰xdx 4tan;解xxd x x d xx xdx tan sin tan tan cos sin tan22244⎰⎰⎰==⎰⎰++-=+=x d x x x d x x tan )1tan 11(tan tan 1tan tan 2224c x x x c x x x ++-=++-=tan tan 31tan arctan tan tan 3133.8. ⎰xdx x x 3sin 2sin sin ;解 ⎰⎰--=xdx x x xdx x x 3sin )cos 3(cos 213sin 2sin sin ⎰⎰+-=xdx x xdx x 3sin cos 213sin 3cos 21 ⎰⎰++=dx x x x xd )2sin 4(sin 41)3(cos 3cos 61 C x x x +--=2cos 814cos 1613cos 1212. 9.⎰+)4(6x x dx;解 C x x dx x x x x x dx++-=+-=+⎰⎰)4ln(241||ln 41)41(41)4(6656. 10.)0(>-+⎰a dx xa xa ; 解⎰⎰⎰⎰-+-=-+=-+dx xa xdx x a a du x a x a dx x a x a 2222221C x a axa +--=22arcsin. 11.⎰+)1(x x dx ;解C x x C x x x d x x x dx +++=+++=+=+⎰⎰)1ln(2))(1ln(2)(112)1(22.12. ⎰xdx x 2cos;解⎰⎰⎰+=+=x xd x dx x x x xdx x 2sin 4141)2cos (21cos 22C x x x x xdx x x x +++=-+=⎰2cos 812sin 41412sin 412sin 414122. 13.⎰bxdx eaxcos ;解 因为dx bx e a b bx e a bxde a bxdx e ax axax ax⎰⎰⎰+==sin cos 1cos 1cosdx bx e ab bx e a b bx e a de bx a b bx e a ax ax axax ax ⎰⎰-+=+=cos sin cos 1sin cos 12222,所以C bx e a b bx e a b a a bxdx e axax ax+++=⎰)sin cos 1(cos 2222C bx b bx a e b a ax +++=)sin cos (122.14.⎰+xedx 1;解⎰⎰⎰⎰+--=-=-=++du u u du u u d u u e e dxx x )1111(112)1ln(11122令. c e e c u u x x +++-+=++-=1111ln |11|ln .15.⎰-122x xdx ;解C t tdt tdt t t t tx x xdx+==⋅⋅=-⎰⎰⎰sin cos tan sec tan sec 1sec 1222令C xx +-=12. 16.⎰-2/522)(x a dx;解⎰⎰⋅=-tdt a t a ta x x a dx cos )cos (1sin )(52/522令⎰⎰+==t d t adt ta tan )1(tan1cos 112444C t at a ++=tan 1tan 31434C xa x ax a x a+-+-⋅=224322341)(31.17. ⎰+241xxdx;解tdt t t tx x xdx 2424secsec tan 1tan 1⋅⋅=+⎰⎰令⎰⎰==t d t tdt t tsin sin cos sin cos 4243 C t tt d t t ++-=-=⎰sin 1sin 31sin )sin 1sin 1(324C xx x x ++++-=233213)1(.18.⎰dx x x sin ;解⎰⎰⎰=⋅=tdt t tdt t t t x dx x x sin 22sin sin 2令⎰⎰⋅+-=-=tdt t t t t d t 2cos 2cos 2cos 222⎰⎰-+-=+-=tdt t t t t t td t t sin 4sin 4cos 2sin 4cos 222 C t t t t t +++-=cos 4sin 4cos 22C x x x x x +++-=cos 4sin 4cos 2. 19. ⎰+dx x)1ln(2;解⎰⎰+⋅-+=+dx xx x x x dx x 22212)1ln()1ln(⎰+--+=dx xx x )111(2)1ln(22C x x x x ++-+=arctan 22)1ln(2. 20.⎰dx x x32cos sin ;解 x d x xx x d x x dx x xtan )1tan tan (tan tan cos sin cos sin 2232⎰⎰⎰+-== C x x ++-=)1ln(tan 21tan 2122. 21.⎰dx x arctan;解x d xx x x dx x ⎰⎰+⋅-=11arctan arctan x d xx x ⎰+⋅--=)111(arctan C x x x x ++-=arctan arctan C x x x +-+=arctan )1(. 22.dx xx⎰+sin cos 1;解C x x x d x dx x x xdx x x +-===+⎰⎰⎰|2cot 2csc |ln 222csc 22cos2sin 22cos2sin cos 1. 23.⎰+dx x x 283)1(;解 C x x x dx x dx x x +++⋅=+=+⎰⎰]arctan 1[2141)1(141)1(484428283. 提示: 已知递推公式⎰⎰--+-++-=+])()32()([)1(21)(122122222n n n a x dx n a x x n a a x dx .24. ⎰++dx x x x 234811;解 ⎰⎰⎰++=++=++dt t t t t x dx x x x dx x x x 234123412322444884811令 ⎰⎰+++-=+++-=dt t t dt t t t )11241(41)23231(412 C t t t ++++-=|1|ln 41|2|ln 41C x x x ++++=21ln 414444. 25.⎰-416x dx ;解⎰⎰⎰++-=+-=-dx xx dx x x x dx)4141(81)4)(4(11622224C xx x ++-+=)2arctan 21|22|ln 41(81 C x x x ++-+=2arctan 161|22|ln 321. 26.dx x x⎰+sin 1sin ;解 ⎰⎰⎰-=--=+dx xxx dx x x x dx x x 222cos sin sin sin 1)sin 1(sin sin 1sinC x x x dx xx x ++-=+-=⎰tan sec )cos 11cos sin (22.27. dx x xx ⎰++cos 1sin ;解⎰⎰⎰⎰+=+=++dx x xdx x x dx x x x dx x xx 2cos sin 212cos 212cos 2sin cos 1sin 222⎰⎰+=dx x xxd 2tan 2tanC x x dx x dx x x x +=+-=⎰⎰2tan 2tan 2tan 2tan . 28. ⎰-dx x x x x e x23sin cos sin cos ;解⎰⎰⎰⋅⋅-⋅⋅=-xdx x e xdx e x dx xx x x ex x xsec tan cos cos sin cos sin sin 23sin⎰⎰-=x d e x d xex xsec sin sin sin ⎰⎰+⋅-=x x xxde e x xde sin sin sin sec sec⎰⎰⋅⋅+⋅--=xdx e x e x dx e xe x x x xcos sec sec sin sin sin sinC e x xex x+⋅-=sin sin sec .29.⎰+dx x x x x)(33;解dt t t dt t t t t t t x dxx x x x)111(66)()(52362633+-=⋅+=+⎰⎰⎰令C x xC t t ++=++=66)1(ln 1ln6. 30.⎰+2)1(x e dx;解⎰⎰⎰---=-⋅=++dt t t t dt t tt e e dxx x )1111(1111)1(222令 C tt t ++--=1ln )1ln( C ee x xx++++-=11)1ln(.31. ⎰+-+dx e e e e x x xx 1243;解)()(1111222243x xx x x x xx x x x x e ed e e dx e e e e dx e e e e ------+=+-+=+-+⎰⎰⎰C e e xx+-=-)arctan(C x +=)sh 2arctan(. 32.⎰+dx e xe xx 2)1(;解⎰⎰⎰+-=++=+11)1()1()1(22x x x x xe xde d e x dx e xe⎰⎰+++-=+++-=x x x x x x de e e e x dx e e x )1(11111⎰+-++-=x xxxde e ee x )111(1C e e e x x x x ++-++-=)1ln(ln 1C e e xe x x x ++-+=)1ln(1.33. ⎰++dx x x )1(ln 22;解dx x x x x x x dx x x ])1([ln )1(ln )1(ln222222'++⋅-++=++⎰⎰⎰+⋅++-++=dx xx x x x x x 22221)1ln(2)1(ln⎰+++-++=22221)1ln(2)1(ln xd x x x x x⎰'++⋅+++++-++=dx x x x x x x x x x ])1[ln(12)1ln(12)1(ln 222222⎰++++-++=dx x x x x x x 2)1ln(12)1(ln 2222C x x x x x x x +++++-++=2)1ln(12)1(ln 2222. 34.⎰+dx x x2/32)1(ln ; 解 因为⎰⎰⎰++=+==⋅=+C xx C t tdt tdt t tx dx x 2232/321sin cos secsec 1tan )1(1令,所以⎰⎰⎰⋅+-+=+=+dx xx xx x x x x xd dx x x111ln )1(ln )1(ln 2222/32 C x x x x x +++-+=)1ln(1ln 22.35. ⎰-xdx x arcsin 12;解⎰⎰⎰+=⋅=-dt t t t tdt t t x xdx x )2cos (21cos sin arcsin 122令 ⎰⎰-+=+=tdt t t t t t t 2sin 412sin 41412sin 414122C t t t t +++=2cos 812sin 41412122241arcsin 121)(arcsin 41C x x x x x +--+=. 36.⎰-dx xx x 231arccos ;。
同济大学第六版高等数学上下册课后答案全集word资料104页
同济第六版高等数学课后答案全集第一章习题1-11. 设A =(-∞, -5)⋃(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ⋃B , A ⋂B , A \B 及A \(A \B )的表达式.解 A ⋃B =(-∞, 3)⋃(5, +∞),A ⋂B =[-10, -5),A \B =(-∞, -10)⋃(5, +∞),A \(A \B )=[-10, -5).2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ⋂B )C =A C ⋃B C .证明 因为x ∈(A ⋂B )C ⇔x ∉A ⋂B ⇔ x ∉A 或x ∉B ⇔ x ∈A C 或x ∈B C ⇔ x ∈A C ⋃B C , 所以 (A ⋂B )C =A C ⋃B C .3. 设映射f : X →Y , A ⊂X , B ⊂X . 证明(1)f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B );(2)f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).证明 因为y ∈f (A ⋃B )⇔∃x ∈A ⋃B , 使f (x )=y⇔(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B )⇔ y ∈f (A )⋃f (B ),所以 f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ).(2)因为y ∈f (A ⋂B )⇒∃x ∈A ⋂B , 使f (x )=y ⇔(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )⇒ y ∈ f (A )⋂f (B ),所以 f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射.又因为对于任意的x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2)⇒g [ f (x 1)]=g [f (x 2)] ⇒ x 1=x 2.因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.对于映射g : Y →X , 因为对每个y ∈Y , 有g (y )=x ∈X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射.5. 设映射f : X →Y , A ⊂X . 证明:(1)f -1(f (A ))⊃A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f (A ))=A .证明 (1)因为x ∈A ⇒ f (x )=y ∈f (A ) ⇒ f -1(y )=x ∈f -1(f (A )),所以 f -1(f (A ))⊃A .(2)由(1)知f -1(f (A ))⊃A .另一方面, 对于任意的x ∈f -1(f (A ))⇒存在y ∈f (A ), 使f -1(y )=x ⇒f (x )=y . 因为y ∈f (A )且f 是单射, 所以x ∈A . 这就证明了f -1(f (A ))⊂A . 因此f -1(f (A ))=A . 6. 求下列函数的自然定义域:(1)23+=x y ;解 由3x +2≥0得32->x . 函数的定义域为) ,32[∞+-. (2)211xy -=; 解 由1-x 2≠0得x ≠±1. 函数的定义域为(-∞, -1)⋃(-1, 1)⋃(1, +∞).(3)211x xy --=; 解 由x ≠0且1-x 2≥0得函数的定义域D =[-1, 0)⋃(0, 1].(4)241x y -=; 解 由4-x 2>0得 |x |<2. 函数的定义域为(-2, 2).(5)x y sin =;解 由x ≥0得函数的定义D =[0, +∞).(6) y =tan(x +1);解 由21π≠+x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅)得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).(7) y =arcsin(x -3);解 由|x -3|≤1得函数的定义域D =[2, 4].(8)xx y 1arctan 3+-=; 解 由3-x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, 3).(9) y =ln(x +1);解 由x +1>0得函数的定义域D =(-1, +∞).(10)x e y 1=.解 由x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, +∞).7. 下列各题中, 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？(1)f (x )=lg x 2, g (x )=2lg x ;(2) f (x )=x , g (x )=2x ;(3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g .(4)f (x )=1, g (x )=sec 2x -tan 2x .解 (1)不同. 因为定义域不同.(2)不同. 因为对应法则不同, x <0时, g (x )=-x .(3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同.(4)不同. 因为定义域不同.8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3|| 03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, ϕ(-2), 并作出函数y =ϕ(x )的图形.解 21|6sin |)6(==ππϕ, 22|4sin |)4(==ππϕ, 22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ, 0)2(=-ϕ. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:(1)xx y -=1, (-∞, 1); (2)y =x +ln x , (0, +∞).证明 (1)对于任意的x 1, x 2∈(-∞, 1), 有1-x 1>0, 1-x 2>0. 因为当x 1<x 2时, 所以函数xx y -=1在区间(-∞, 1)内是单调增加的. (2)对于任意的x 1, x 2∈(0, +∞), 当x 1<x 2时, 有所以函数y =x +ln x 在区间(0, +∞)内是单调增加的.10. 设 f (x )为定义在(-l , l )内的奇函数, 若f (x )在(0, l )内单调增加, 证明f (x )在(-l , 0)内也单调增加.证明 对于∀x 1, x 2∈(-l , 0)且x 1<x 2, 有-x 1, -x 2∈(0, l )且-x 1>-x 2.因为f (x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以f (-x 2)<f (-x 1), -f (x 2)<-f (x 1), f (x 2)>f (x 1),这就证明了对于∀x 1, x 2∈(-l , 0), 有f (x 1)< f (x 2), 所以f (x )在(-l , 0)内也单调增加. 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l )上的, 证明:(1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明 (1)设F (x )=f (x )+g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=f (x )+g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=-f (x )-g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数.(2)设F (x )=f (x )⋅g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=[-f (x )][-g (x )]=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数.如果f (x )是偶函数, 而g (x )是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )[-g (x )]=-f (x )⋅g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y =x 2(1-x 2);(2)y =3x 2-x 3;(3)2211xxy +-=; (4)y =x (x -1)(x +1);(5)y =sin x -cos x +1;(6)2x x a a y -+=.解 (1)因为f (-x )=(-x )2[1-(-x )2]=x 2(1-x 2)=f (x ), 所以f (x )是偶函数.(2)由f (-x )=3(-x )2-(-x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222x f xx x x x f =+-=-+--=-, 所以f (x )是偶函数. (4)因为f (-x )=(-x )(-x -1)(-x +1)=-x (x +1)(x -1)=-f (x ), 所以f (x )是奇函数.(5)由f (-x )=sin(-x )-cos(-x )+1=-sin x -cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(6)因为)(22)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=-----, 所以f (x )是偶函数. 13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期:(1)y =cos(x -2);解 是周期函数, 周期为l =2π.(2)y =cos 4x ;解 是周期函数, 周期为2π=l . (3)y =1+sin πx ;解 是周期函数, 周期为l =2.(4)y =x cos x ;解 不是周期函数.(5)y =sin 2x .解 是周期函数, 周期为l =π.14. 求下列函数的反函数:(1)31+=x y 错误！未指定书签。
同济高数下册习题答案
同济高数下册习题答案同济高数下册习题答案高等数学是大多数理工科专业的必修课程，对于学生来说，同济高数下册是其中的一本教材。
这本教材中的习题是帮助学生巩固知识、提高解题能力的重要资源。
然而，由于同济高数下册习题较多，有时候难以找到答案，带来了一定的困扰。
本文将为大家提供一些同济高数下册习题的答案，希望能够帮助到大家。
1. 第一章函数与极限1.1 习题1答案：略1.2 习题2答案：略1.3 习题3答案：略2. 第二章导数与微分2.1 习题1答案：略2.2 习题2答案：略2.3 习题3答案：略3. 第三章微分中值定理与导数的应用答案：略3.2 习题2答案：略3.3 习题3答案：略4. 第四章不定积分4.1 习题1答案：略4.2 习题2答案：略4.3 习题3答案：略5. 第五章定积分与反常积分5.1 习题1答案：略5.2 习题2答案：略5.3 习题3答案：略6. 第六章微分方程6.1 习题16.2 习题2答案：略6.3 习题3答案：略通过以上的习题答案，希望能够帮助到同济高数下册的学习者。
然而，仅仅依靠答案是远远不够的，学习者还需要通过自己的努力来理解和掌握相关的知识点。
建议学习者在做完习题后，可以对比答案，查找错误，并思考解题过程中的思路和方法，以便更好地掌握知识。
此外，同济高数下册习题答案仅仅是学习的辅助工具，不能完全依赖答案来完成习题。
学习者还应该多做一些类似的题目，提高自己的解题能力和理解能力。
同时，建议学习者积极参加课堂讨论和辅导班，与老师和同学们一起学习，互相交流和分享解题思路，共同进步。
总之，同济高数下册习题答案是学习者在学习过程中的一项重要资源，但仅仅依靠答案是远远不够的。
学习者还需要通过自己的努力和思考来理解和掌握相关的知识点。
希望以上的答案和建议能够对同济高数下册的学习者有所帮助。
祝大家在学习中取得好成绩！。
(完整版)高等数学第六版(同济大学)上册课后习题答案解析
高等数学第六版上册课后习题答案及解析第一章习题1—11. 设A=(-, —5)(5, +)，B=［-10， 3), 写出A B，A B, A\B及A\(A\B）的表达式。
解A B=（-, 3）（5, +)，A B=[-10，—5）,A\B=（—， -10)(5， +），A\（A\B）=[-10, -5）.2. 设A、B是任意两个集合，证明对偶律： (A B）C=A C B C。
证明因为x(A B）C x A B x A或x B x A C或x B C x A C B C，所以（A B)C=A C B C。
3. 设映射f : X Y, A X, B X。
证明（1)f(A B)=f(A）f（B）;（2）f（A B)f(A)f（B）.证明因为y f(A B）x A B, 使f（x）=y(因为x A或x B) y f（A）或y f（B)y f(A）f（B),所以f(A B）=f（A)f(B).(2）因为y f(A B）x A B, 使f(x）=y（因为x A且x B） y f(A)且y f（B)yf (A ）f (B ），所以 f (A B ）f （A )f (B )。
4。
设映射f ： XY , 若存在一个映射g : Y X , 使X I f g = ， Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个xX , 有I X x =x ; 对于每一个y Y , 有I Y y =y 。
证明：f 是双射， 且g 是f 的逆映射： g =f —1.证明 因为对于任意的yY ， 有x =g （y )X , 且f （x ）=f [g （y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射. 又因为对于任意的x 1x 2, 必有f (x 1)f (x 2), 否则若f (x 1）=f (x 2)g [ f （x 1)]=g [f (x 2）］x 1=x 2。
同济版高等数学课后习题解析
书后部分习题解答 P21页3．（3）nnn b b b a a a ++++++++∞→ΛΛ2211lim （1,1<<b a ）知识点：1）等比级数求和)1(1)1(12≠--=++++-q qq a aqaq aq a n n Λ（共n 项）2）用P14例4的结论：当1<q 时，0lim =∞→nn q解：n n n b b b a a a ++++++++∞→ΛΛ2211lim ab bb a a n n n --=----=++∞→111111lim 115.（1）判断下列数列是否收敛，若收敛，则求出极限：设a 为正常数，00>x ，)(211nn n x a x x +=+ 证：由题意，0>n x ，a x a x x a x x nn n n n =⋅⋅≥+=+221)(211（数列有下界） 又02)(2121≤-=-+=-+nn n n n n n x x a x x ax x x （因a x n ≥+1）（数列单调减少） 由单调有界定理，此数列收敛；记b x n n =∞→lim ，对)(211n n n x a x x +=+两边取极限，得)(21bab b +=，解得a b =（负的舍去），故此数列的极限为a .P35页4.（8）极限=-++-+→211)1()1(lim x n x n x n x 211)1()1()]1(1[lim -++--++→x nx n x n x 21221111)1()1()1()1()1(1lim -++--+-+-+=+++→x n x n x x C x C n n n x 2)1(21+==+n n C n (若以后学了洛必达法则（00型未定型），则211)1()1(lim -++-+→x nx n x n x 2)1(2)1(lim )1(2)1())1(lim 111+=+=-+-+=-→→n n nx n x n x n n x n x ） 书后部分习题解答2 P36页8.已知当0→x 时，1cos ~1)1(312--+x ax，求常数a .知识点：1）等价无穷小的概念；2）熟记常用的等价无穷小，求极限时可用等价无穷小的替换定理。
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习题 1 9
1. 求函数 f ( x) x3 3x 2 x 3
的连续区间 , 并求极限 lim f ( x) , lim f ( x) 及 lim f (x) .
x2 x 6 x 0 x 3 x 2
解 f ( x) x 3 3x 2 x 3 (x 3)( x 1)( x 1)
函数在 ( , ) 内除点x 2 和x3 x 2 x 6 ( x 3)( x 2)
,
外是连续的 , 所以函数 f ( x)的连续区间为( , 3) 、( 3, 2) 、 (2, ).
在函数的连续点x 0 处, lim f ( x) f (0) 1 .
x 0 2
在函数的间断点x 2 和x 3 处,
lim f (x) lim (x 3)( x 1)( x 1) , lim f ( x) lim ( x 1)( x 1) 8 .
x 2 x 2 ( x 3)(x 2) x 3 x 3 x 2 5
2.设函数 f ( x)与 g( x)在点 x0连续,证明函数
( x) max{f ( x),g( x)},( x) min{ f ( x),g( x)}
在点 x0也连续.
证明已知 lim f ( x) f ( x0 ) , lim g (x) g( x0 ) .
x x0 x x0
可以验证
( x) ( x) 1
[ f ( x)
2
1
[ f (x)
2
g( x) | f (x)g( x) |] ,
g( x) | f (x)g ( x)|] .
因此( x0 ) 1
[ f ( x0 ) g (x0 ) 2
( x ) 1
[ f ( x ) g (x
)
0 0
2
因为| f ( x0 )g (x0 ) | ] , | f ( x ) g (x
)|] .
lim ( x) lim 1
[ f (x) g( x) | f (x) g (x)| ]
x x0 x x0 2
1
f ( x) lim g( x) | lim f ( x) lim
g (x)|]
[ lim
2 x x0 x x0 x x0 x x0
1 [
f (
x0
)
g
(
x0
) |
f
(
x0
)
g
(
x0
)| ] 0
2 ( x ), 所以( x) 在点x0也连续 .
同理可证明( x) 在点x0也连续 .
3.求下列极限 :
(1) lim x 2 2x 5 ;
x 0
(2)
lim (sin 2x)3 ;
x
4
(3) lim ln( 2cos2 x)
x
6
(4) lim
x 0
(5)
lim
x 1
(6)
lim
x a
x 1 1 ; x 5 x 4 x ;
x 1 sin x sin a ;
x a
(7)
lim ( x 2
x
x 2 x ) .
x
解 (1) 因为函数 f ( x)
x 2 2x 5 是初等函数 , f ( x ) 在点 x 0 有定义 , 所以
lim x 2
2x
5 f (0)
0 2 2 0
5 5 .
x 0
(2) 因为函数 f ( x )
(sin 2 x ) 3 是初等函数 , f ( x ) 在点 x
有定义 , 所以
4
lim (sin 2 x) 3 f ( ) (sin 2 )3 1.
x
4 4
4
(3) 因为函数 f ( x )
ln(2cos2 x ) 是初等函数 , f ( x ) 在点 x
有定义 , 所以
6
lim ln( 2cos 2x) f ( ) ln(2 cos2 ) 0 .
x
6 6
6
(4)
lim
x 1 1
lim
(
x 1 1)( x 1 1) lim x lim
1
11 .
x 0
x
x 0
x( x 1 1)
x 0
x( x 1 1)
x 0
x 1 1 0112
(5)
lim 5 x
4
x lim
(
5x 4 x )( 5x 4
x )
lim
4 x 4
x)
x 1
x 1
x 1
(x 1)( 5x 4 x )
x 1
( x
1)( 5 x 4
lim 4
4
2 .
5x 4
x
5 1
4 1
x 1
sin x sin a
2 cos
x a
sin
x
a
(6)
lim
2
2
lim
x a
x a
x a
x
a
x a
x a
sin 2
a a cosa .
lim cos
2
lim
x a
cos
1
x
a
x
a
2
2
(7)
lim ( x 2
x
x 2 x)
lim ( x 2
x
x 2 x )( x 2 x
x 2 x)
x
x
( x 2 x
x 2 x)
lim
2x
lim
2 1 .
x
( x
2
x
x
2
x)
x 1
1
( 1
1
)
x
x
4.
求下列极限 :
1 (1)
lim e x ;
x
(2)
lim ln
sin x
;
x 0
x
1 x
(3)
lim (1 ) 2
;
x
x
(4)
lim (1 3 tan 2
x)cot 2 x ;
x 0
(5)
3
x x 1
lim (
)
2 ;
x
6 x
(6)
lim 1 tan x
1 sin x .
sin 2
x
x 0
x 1 x
1 1
解 (1) lim e x
lim x e 0
1 .
x
x
(2)
lim ln
sin x
ln( lim sin x ) ln1 0 .
x 0
x
x 0 x
x
1
1
(3)
lim (1
1
)
2
lim
(1 1 ) x
e
2
e .
2
x
x
x
x
3tan 2 x) cot 2 x
lim
1
(4)
lim (1 (1 3 tan 2 x) 3tan 2 x 3
e 3 .
x 0
x 0
(5) (
3 x
) 6 x
x 1 3 6 x 3 x 1
2
(1
) 3 6 x 2
. 因为
x
6
3 ) 6 x 3 x 1 3 ,
lim (1 3 e , lim
x 6 x x 6 x 2 2
3 x x 1 3
所以
lim ( ) 2 e 2 .
x 6 x
(6)
1 tan x 1 sin x ( 1 tan x 1 sin x)( 1 sin
2 x 1)
lim
x 1 sin 2 x
lim
sin 2 x
x 0 x x 0
x( 1 1)( 1 tan x 1 sin x )
lim (tan x sin x)( 1 sin
2 x 1)
2
x 0 1 tan x 1 sin x)
xsin x(
tan x 2sin 2
x
2x (
x
) 2
lim 2 lim 2
2 3
x 0 xsin x x 0 x
1.
2
5.设函数 f ( x)
e x x 0
应当如何选择数a, 使得 f ( x)成为在(, ) 内的
a x x 0
连续函数？
解要使函数 f ( x)在( , )内连续 , 只须 f ( x)在 x 0处连续, 即只须
lim
0 f ( x) lim f (x) f (0) a .
x x 0
因为 lim
0 f ( x) lim e x 1 , lim f ( x) lim (a x) a , 所以只须取 a 1.
x x 0 x0 x0。