动量方程和动量矩方程
动量方程和动量矩方程要点
3．位能增量 dE位
dE位 dm2 gH2 dm1 gH1
dm( H 2 H1 ) g
（三）能量方程 根据能量守恒与转换定律，加给体系的能量应
等于体系能量的增量。故
dQ dW dm( p1v1 p2 v2 ) dW损
dW 2 (C 2 C12 ) dm (u 2 u1 ) dm ( H 2 H 1 ) g 2
(二)体系能量的增量 气体所含能量有三种形式：动能、内能和位能。故 体系能量的增量应为这三种能量增量之和。 1．动能增量dE动
2 dm2 C2 dm1C12 dE动 2 2 dm 2 (C 2 C12 ) 2
2．内能增量 dE内
dE内 dm2u2 dm1u1
dm(u 2 u1 )
C C q外 (i 2 i1 ) 2
2 2 2 1
上式即为1千克流动气体的能量方程。由于此方程包 含了焓，故又称为焓方程。由焓方程知：外界加给气 体的热量和机械功，用于增大气体的动能和焓。 所以1千克气体的能量方程式可综合成
2 2 C2 C1 q外 dw (i2 i1 ) 2
d (mC u · r) dt
d (mCu r ) dm2C2u r2 dm 1C1u r 1
将上式代入动量矩定律数学表达式得
(C2u r2 C1u r1 ) M m
该式即为流动气体的动量矩方程。它表明，作用于 控制体内气体上外力的合力对任一轴线之力矩，等 于每秒钟内流出和流入该控制体内气体对同一轴线 的动量矩之差。
A dA , p dp )( A dA) ( p dp )dA 2
展开上式右边并略去二阶小量可得
Ps Adp
动量(矩)定理1
解：
aC1x = 0 aC 2 x
l
ωt
Q2 Q1
d2 aC 3 x = 2 (l sin ωt ) = −lω 2 sin ωt dt Q3 代入质心 Q Q l − 2 ω 2 sin ωt − 3 lω 2 sin ωt = Fx 运动定理 g 2 g x (Q2 + 2Q3 )lω 2 (Q2 + 2Q3 )lω 2 Fx = − sin ωt Fx max =
ω
v r Lz = k ⋅ LO =
=
∑
i =1
n
r r r k ⋅ ( ri × mi vi )
r r r vi = ω × ri r r = ωk × ri
r LO =
∑
i =1
n
r r r mi vi ⋅ ( k × ri )
∑
i =1
n
r r ri × mi vi
ρi
mi ri O
m iv i
mi
r r r LC = ∑ rCi × mi vi
n i =1
mn
m nv n
动量系的动量矩对不同的简化中心有不同的量值。 动量系的动量矩对不同的简化中心有不同的量值。 动量系的等动量矢与等动量矩这二 个量完全等效地取代了原质点系的全部 动力效应。 动力效应。
r LC
C
r p
已知椭圆规的杆AB质量为 质量为2 质量为m 例1: 已知椭圆规的杆 质量为2m1 ， 杆OD质量为 1，物块 质量为 A、B质量均为 2，OD=AD=BD=l， = ωt ，试求物系的等动 质量均为m 试求物系的等动 ， 、 质量均为 θ y 量矢。 量矢。 解：
O
R
ωΟ
ϕ
流体力学第4章9
2014-10-1
28
通过流管中有效截面面积为A的流体体积流量和质量流量分 别积分求得，即
qV vdA
qm vdA
在工程计算中为了方便起见，引入平均流速的概念。平均 流速是一个假想的流速，即假定在有效截面上各点都以相 同的平均流速流过，这时通过该有效截面上的体积流量仍
A
A
与各点以真实流速流动时所得到的体积流量相同。
述三点原因，欧拉法在流体力学研究中广泛被采用。当然
拉格朗日法在研究爆炸现象以及计算流体力学的某些问题 中还是方便的。
2014-10-1 11
第二节 流体运动的一些基本概念
一、流动的分类 （1）按照流体性质分为理想流体的流动和粘性流体的流动， 不可压缩流体的流动和可压缩流体的流动。 （2）按照运动状态分为定常流动和非定常流动，有旋流动 和无旋流动，层流流动和紊流流动，亚声速流动和超声速 流动
在流场中的一些点，流体质点不断流过空间点，空间点上 的速度指流体质点正好流过此空间点时的速度。
用欧拉法求流体质点其他物理量的时间变化率也可以采用
下式的形式，即
D( ) ( ) (V )( ) Dt t
式中，括弧内可以代表描述流体运动的任一物理量，如密
D( ) 度、温度、压强，可以是标量，也可以是矢量。 称为 Dt ( ) 全导数， 称为当地导数， (V )( )称为迁移导数。 t
1、系统：包含确定不变的物质的任何集合。 系统以外的一切称为外界。 边界的性质： ① 边界随流体一起运动； ② 边界面的形状和大小可随时间变化； ③ 系统是封闭的，没有质量交换，可以有能 量交换； ④ 边界上受到外界作用在系统上的表面力；
2014-10-1 31
2、控制体：被流体所流过的，相对于某 个坐标系来讲，固定不变的任何体积。 控制面的性质： ① 总是封闭表面； ② 相对于坐标系是固定的； ③ 在控制面上可以有质量、能量交换； ④ 在控制面上受到控制体以外物体加在 控制体内物体上的力；
4工程流体力学 第四章流体动力学基础
Fy F V•n dS = -V0 dS
= =
=
ρ vV n dS ρ vV n dS ρ vV n dS ρ vV n dS
CS
S0
S1
S2
v = -V0 sin
0
0
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续18）
由于V1，V2在y方向上无分量，
忽略粘性摩擦力，控制体所受表面力包括两
端面及流管侧表面所受的压力，沿流线方向总压
力为：
FSl
pS p δpS δS
p
δp 2
δS
Sδ p 1 δpδS 2
流管侧表面所受压力在流 线方向分量，平均压强
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续27z）
控制体所受质量力只有重力，沿流线方向分
Q2
Q0 2
1 cosθ
注意：同一个问题，控制体可以有不同的取法，
合理恰当的选取控制体可以简化解题过程。
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续23）
微元控制体的连续 方程和动量方程
从流场中取一段长度为l 的流管元，因
为流管侧面由流线组成，因此无流体穿过；流 体只能从流管一端流入，从另一端流出。
CS
定义在系统上 的变量N对时 间的变化率
定义在固定控制 体上的变量N对 时间的变化率
N变量流出控制 体的净流率
——雷诺输运定理的数学表达式，它提供了对
于系统的物质导数和定义在控制体上的物理量
变化之间的联系。
§4-2 对控制体的流体力学积分方程 一、连续方程
在流场内取一系统其体积为 ，则系统内
的流体质量为：
根据物质导数的定义，有：
流体力学3章讲稿
Chapter 3 流体动力学积分形式的基本方程流体动力学用欧拉法研究流体运动与所受外力的关系，功能守衡关系。
§3.1 拉格朗日型基本方程（理论力学质点系基本方程）1) 连续方程：一个确定的质点系, 质量守恒。
数学表达式 0=dtdm2)动量方程：质点系动量对时间的变化率等于作用在该系统上的合外力数学表达式 F K∑=dtd ⎰⎰⎰⎰⎰+=ττρdA d A n p f3)动量矩方程：质点系对某点的动量矩对时间的变化率等于作用在系统上的所有外力对同一点的力矩代数和。
数学表达式 dtd oM ⎰⎰⎰⎰⎰⨯+⨯=ττρdA d A n p r f r4)能量方程：单位时间内由外界传给质点系的热量Q 与外力对质点系所作的功W 之和, 等于系统的总能量E 对于时间的变化率。
数学表达式 =+W Q dt dE ⎰⎰⎰+=ττρd V e dtd)2(2 因 ⎰⎰⎰+⎰⎰=τλτρd q dA q Q R A 传导热 辐射热 ⎰⎰⋅+⎰⎰⎰⋅=A n dA d W V p V f τρτ 质量力功率 表面力功率即=⎰⎰⎰+ττρd V e dt d )2(2⎰⎰⎰+⎰⎰τλτρd q dA q R A ⎰⎰⋅+⎰⎰⎰⋅+A n dA d V p V f τρτ 拉格朗日型积分形式的能量方程§3.2 欧拉型基本方程利用输运公式 ⎰⎰⎰0ττφd dt d ＝⎰⎰⎰∂∂ττφd t+dA A )(n V ⋅⎰⎰φ或⎰⎰⎰0ττφd dt d ＝⎰⎰⎰∂∂ττφd t-dA V n A 入入⎰⎰φ+dA V n A 出出⎰⎰φ和拉格朗日型的积分方程转换得到3.2.1 连续方程令输运公式中Φ＝ρ,代入拉氏型连续方程得dt dm =0⎰⎰⎰=0ττρd dt d＝⎰⎰⎰∂∂ττρd t +dA A )(n V ⋅⎰⎰ρ即 -=⎰⎰⎰∂∂ττρd t dA A )(n V ⋅⎰⎰ρ 欧拉型连续方程或 =⎰⎰⎰∂∂ττρd tdA V n A 入入⎰⎰ρdA V n A 出出⎰⎰-ρ物理意义：控制体内质量的增加速率, 等于通过控制面A 流入的质量(流入-流出)的代数和。
汽车工程流体力学(02流体力学基本方程)
Q udA vA
A
v
/concepts
第二章 流体力学基本方程
1. 流体运动的描述方法
2. 流体运动的基本概念
3. 连续性方程
4. 流体微团的运动分析
5. 欧拉运动微分方程
6. 流体静力学
7. 伯努利（Bernoulli）方程
u x dx x 2
3. 连续性方程（Continuity equation）
x方向dt时间内净流出质量
1 ( ux ) 1 ( ux ) M x M右 -M 左 = u x dx dydzdt u x dx dydzdt 2 x 2 x ( ux ) = dxdydzdt x
同理y方向dt时间内净流出质量
My ( uy ) y dxdydzdt
同理z方向dt时间内净流出质量
Mz ( uz ) dxdydzdt z
3. 连续性方程（Continuity equation）
根据质量守恒原理，dt时间控制体的总净流出质量，必等于 控制体内由于密度变化而减少的质量
Q udA
A
u——微元断面的速度
有时，流量用单位时间内通过某一过流断面的流体质量来表示， 称为质量流量Qm，单位（kg/s）。
Qm Q
2. 流体运动的基本概念
八、流量和断面平均流速-2
2．断面平均流速（Mean velocity） 总流过流断面上各点的流速u一般是不相等的。为了便于 计算，设想过流断面上流速v 均匀分布，通过的流量与实 际流量相同。
dx dy dz dt u x uy uz
/blogger/post_show.asp?idWriter=0&Key=0&BlogID =1252939&PostID=21323050
5.流体力学-实际流体动力学基础-wyj
学习重点
➢掌握实际流体能量方程、动量方程； ➢掌握流体运动总流的分析方法，能熟练运用
三大运动方程解决实际问题；
➢了解N—S 方程。
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学习内容
伯努利方程 (能量方程)
动量方程
实际流体运 动微分方程
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§5—1 实际流体运动微分方程
一、以应力表示的实际流体运动微分方程
式 5—5
13
三、N—S 方程
将以上关系式5—3、5—5代入实际流体运动微分方程 5—1，结合不可压缩、均质流体连续性微分方程整理即可
得N—S方程（p166 5—6式）。
此 N—S方程 + 连续性微分方程
共 4 个方程，解 4 个未知量。
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四、实际流体运动微分方程积分
1、积分条件：
( uz
y
u y z
)
zx
xz
( uz
x
ux z
)
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实际流体切 应力普遍表达 式，也称广义 的牛顿内摩擦
定律。
11
2、压应力的特性和大小： px= p+ px’ p y= p+ py’ pz= p+ pz’
p ——平均压应力
p=
1 3
（px+py+pz
）
切应力互等定律。原 方程减少3个变量。
4>列动量方程求解。
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几点说明：
1>方程是矢量式，正确取好外力和速度的正负号；
2> 建立坐标系应尽量使问题简化；
3> 计算断面为渐变流断面（中间可为急变流）；
流体力学第三章(7)动量方程及其应用及动量矩方程
对于方程右侧的动量变化率：只要知道两截面上的平均速度和流量就可以 计算出来。
2、外力和速度的方向问题。与坐标相同时为正，与坐标相反时为负。公 式右边的减号是固定的。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
三 、动量方程式的应用（重点）
1、流体对管道的作用力问题 2、自由射流的冲击力问题
1、流体对管道的作用力问题—动量方程式的应用之
要求密度为
V
vdV
A
v(v
dA)
这就是用欧拉方法表示的动量方程式，这个方程式既适用于控制体固定的情况， 也适用于控制体运动的情况。在运动时需将速度v换成相对速度，并在控制体 上加上虚构的惯性力。
动量方程式中，需注意
1. F 是作用在控制体内质点系上的所有外力的矢量和，既包括控制体外
部流体及固体对控制体内流体的作用力（压力、摩擦力），也包括控制体
（I）部分通过A1面非 原质点系的流入动量
制体的总动量。
（II）部分通过A2 面流出的动量
对于控制体的全部控制面A：
末动量
初动量
F
d( mv)
dt
lim
t 0
1 t
{[
V
v dV ]t t
t A
v(v dA)
[
V
v dV ]t }
t
2vz z 2
]
dvz dt
作用在质点系上的总外力就不必通过分布压强的积分，而是通过求质点系动量变 化率的办法计算出来，开辟了求解流体动力学问题的新途径。
F
d ( mv)
dt
由于各个质点速度不尽相同，似乎要计算质点系的动量变化 率采用拉格朗日法比较适宜，由于运动的复杂性，很困难。
《高等流体力学》第2章 流体动力学积分形式的基本方程
（φ 为广延量）
取τ= τ0(t)为控制体， A= A0(t)为控制面：
A2 ( A02 )
τ 03
′ A02
v∆t
A1 ( A01 )
′ A01
n
τ 02
v∆t
τ 01
dA0
τ = τ 0 (t )
A = A0 ( t )
n
′ ( t + ∆t ) = A′ A0
∆ = I I ( t + ∆t ) − I ( = t)
I在∆t内的增量为：
∫∫∫τ
01 +τ 02
φ ( r , t + ∆t ) dτ 0 − ∫∫∫
τ 01 +τ 03
φ ( r , t ) dτ 0
∫∫∫τ
φ ( r , t + ∆t ) − φ ( r , t ) dτ 0 + ∫∫∫ φ ( r , t + ∆t ) dτ 0 τ 02 01
D ∂φ Dφ φ dτ 0 = + ∇ φ= v + φ∇ ⋅ v ⇒ ∫∫∫ τ 0 Dt ∂t Dt Dt ∂t
( )
Dφ + φ∇ ⋅ v dτ ∫∫∫τ Dt
Dρ + ρ∇ ⋅ v = 0 （微分形式连续方程） 如果 φ = ρ ，则： Dt (2) D D ( ρφ ) ρφ dτ 0 ∫∫∫ = + ρφ∇ ⋅ v dτ ∫∫∫ τ τ 0 Dt Dt ρ Dφ ρ Dφ Dρ dτ = ∫∫∫ +φ + ρ∇ = ⋅ v dτ ∫∫∫ τ τ Dt Dt Dt
∂x′ ′ = ∇xα iβ α i′α = ∂xβ ∂φ ∂x′ ∂φ ∂φ ∴∇′φ = i′α = iβ α = iβ = ∇φ ′ ′ ∂xα ∂xβ ∂xα ∂xβ
可压缩流体的动量方程和动量矩方程
一、概述可压缩流体是指密度随着压强和温度的变化而变化的流体。
在空气动力学和航天动力学中，可压缩流体动力学是一个重要的研究领域。
在研究可压缩流体运动时，动量方程和动量矩方程是非常重要的方程。
本文将从动量方程和动量矩方程入手，系统地阐述可压缩流体的动力学原理。
二、可压缩流体的动量方程动量方程描述了流体内部的动量变化。
对于可压缩流体，其动量方程可以通过Navier-Stokes方程推导得到。
Navier-Stokes方程是描述了流体运动的基本方程之一，其形式如下：∂(ρv)/∂t + ∇•(ρv⃗v⃗ ) = -∇p+ ∇•τ+ ρf⃗其中，ρ表示流体密度，v表示流体速度，t表示时间，p表示压强，τ表示应力张量，f⃗表示外力。
对于可压缩流体，动量方程还需要考虑压力和密度对流体速度的影响。
可以通过状态方程将压力和密度通联起来，从而得到包含压力-密度项的动量方程。
在一维情况下，动量方程可以表达为：∂(ρv)/∂t + ∂(ρv^2)/∂x = -∂p/∂x+ ρf在三维情况下，动量方程会更加复杂，需要同时考虑各个方向上的动量变化。
通过动量方程，我们可以清晰地了解流体内部的动量传递和转化过程，以及外力对流体动量的影响。
三、可压缩流体的动量矩方程动量矩方程描述了流体内部动量矩的变化。
对于可压缩流体，动量矩方程可以被用来分析流体内部旋转运动的特性。
动量矩方程可以通过Euler方程推导得到。
Euler方程是Navier-Stokes方程在无粘性流体情况下的特殊形式，其表达式如下：∂(ρv)/∂t + ∇•(ρv⃗v⃗ ) = -∇p+ ∇•τ+ ρf⃗在此基础上，再根据流体内部动量矩的性质，可以得到动量矩方程的表达式。
动量矩方程不仅包含了流体速度的变化，还考虑了流体内部的角动量变化。
对于可压缩流体，动量矩方程可以表达为：∂(ρv)/∂t + v•∇(ρv) +∇•(τ) = ρf⃗通过动量矩方程，我们可以研究流体内部旋转运动的特性，分析流体内部动量矩的传递和转化情况，为深入理解可压缩流体的运动提供重要的理论基础。
流体力学
流体力学基本方程
连 续 性 方 程
动 量 方 程
动 量 矩 方 程
伯 努 利 方 程
能 量 方 程
第一节 描述流体运动的两种方法
流体的流动是由充满整个流动空间的无限多个流体 质点的运动构成的。充满运动流体的的空间称为流场。
研
欧拉法
究
方
着眼于整个流场的状态，即研究表征流场内流体流动 特性的各种物理量的矢量场与标量场
7.湿周 水力半径 当量直径
湿周——在总流的有效截面上，流体与固体壁面的接触长度。
水力半径——总流的有效截面积A和湿周之比。
圆形截面管道的几何直径
d 2 4A d 4R d x
D
R
A x
非圆形截面管道的当量直径
4A 4R x
关于湿周和水力半径的概念在非圆截面管道的水力计算中常常用到。
二、欧拉法
欧拉法（euler method）是以流体质点流经流场中 各空间点的运动来研究流动的方法。 ——流场法
研究对象：流场
它不直接追究质点的运动过程，而是以充满运动
流体质点的空间——流场为对象。研究各时刻质点在 流场中的变化规律。将个别流体质点运动过程置之不 理，而固守于流场各空间点。通过观察在流动空间中 的每一个空间点上运动要素随时间的变化，把足够多 的空间点综合起来而得出的整个流体的运动情况。
由欧拉法的特点可知，各物理量是空间点x，y，z和时 间t的函数。所以速度、密度、压强和温度可表示为：
v v x，y，z，t ＝ x，y，z，t p p x，y，z，t T T x，y，z，t
1.速度
u ux, y, z, t
第三章 流体动力学积分形式的基本方程
第三章流体动力学积分形式的基本方程§3-1 系统和控制体一、系统系统定质量的流体组成的定体积的物系系统：一定质量的流体组成的一定体积的物系特点：系统可以变形，但质量不变；系统与外界有能量交换，即作功和热传递。
交换即作功和热传递二、控制体控制体：被流体所流过的，相对于某个坐标系来说，固定不变的任何体积控制体表面是封闭表面，称为控制面。
特点：体积和控制面不变（血管除外），控制面上既有质量交换又有能量交换。
D 00d DDt Dt τρτ==∑∫∫∫K V F 000d d n A A τρτ =+∫∫∫∫∫f p()()000d d n A A τρτ =×+×∫∫∫∫∫r f r p●热辐射总辐射热0d R q τρτ∫∫∫2Dt 0τ⎝⎠时刻也,系统体积为，也是控制体体积0τt ()()00t =A t ττΑ= 时刻,系统体积为，t t +Δ0τ′′相应表面为。
为公共部分Α01τ0300102001ττττττ′=− , =−为与交界面010102A ττ ′02001A A A =−A ′′′为与交界面020103A ττ 02001A A =−()t ⎢⎥Δ()()020323ττ⎢⎥⎣⎦由微分中值定理由微分中值定理：()0100A d tdA τ≈Δ∫∫V n i(t ADt t ∂0()ττ——输运公式，即系统导数的欧拉表达式⎛⎞D 0D d Dtτρρτ+∇•=⎜⎟⎝⎠∫∫∫V Dt ρρ+∇•V =0若代入（ρφΦ=D D d ρ()00d Dt Dt ττφρφττ=∫∫∫∫∫∫——3∫∫∫∫∫ A t τ∂⎣⎦⎣⎦单位时间由控制面流入控制体的总能量单位时间控制体中总能量的增量例：写出理想流体作绝热定常流动，且质量力有势情况下能量方程定常流动，则连续性方程为()0A dA=d τρρτ∇=∫∫∫∫∫n V V i i ()0ρ∇=V i 理想流体n p =−p n于是，能量方程中：(dA dA)()n A AdA=pdA −∫∫∫∫i i p V n Vq =q 0=代入后⎛代入后，2A v p e U dA 02ρρ⎞+++=⎜⎟⎝⎠∫∫n V id d 00D D Dt Dt ττρτρτ=∫∫∫∫∫∫V V§3-5 欧拉型积分形式基本方程的应用一. 不可压缩流体对弯管管壁的作用力不可压缩流体流过上图所示固定弯管，设流动是定常的且质量力只有重力是定常的，且质量力只有重力。
流体力学部分知识
第四章 流体动力学的基本原理本章学习目标：掌握流体动力学的基本方程，即质量守恒方程，动量定理，动量矩定理，能量守恒方程，重点是关于控制体的欧拉型方程。
质量守恒，牛顿第二定律和能量守恒原理都是对包含确定物质的“系统”写出来的，而流体力学问题的实际研究中，更多地采用“控制体”的概念，这中间存在一个变换。
研究流体和运动物体的相互作用，常运用动量定理。
伯努利方程是能量守恒关系的一种表现形式。
质量守恒常用以给出物理参数的相互关系式，配合方程求解。
步进教程：第一节 质量守恒原理----连续方程一．积分形式连续方程.在流场中任取一有限体积τ，作为控制体，如图示，控制体的边界以A 表示。
在运动流场中，流体不断地流进流出控制体，控制体中所包含的质量也可能随时间变化。
但总体上说质量不能产生，也不能消灭。
质点守恒原理：单位时间内通过控制面静流入的流体质量之和等于单位时间控制体中的质量的增量.dA dA d t A A ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=∂∂21ρρτρτV n V n 21 所谓“净流入”是流入的质量减去流出的质量。
即方程右端两项之差。
1n 是流入表面1A 的内法线单位向量；2n 是流出表面2A 的外法线单位向量。
上式可写成dA d t A ⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛⋅-=∂∂ρτρτV n 式中n 为外法线单位向量，A 为封闭控制面。
上式称为质量守恒方程，又称连续方程。
对于定常流动，0=∂∂t，故连续方程为： dA dA A A ⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅21ρρV n V n 21 对于不可压流体，由于const =ρ，故有：dA dA A A ⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅212211V n V n 此式既适用于定常流动，也适用于非定常流。
二．微分形式连续方程。
dA d t dA d t A A ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛⋅-=∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=∂∂ρτρρτρττV n V n 有由; 根据高斯定理，只要在τ区域内ρV 连续并一阶可导，则：()()⎰⎰⎰⎰⎰⋅∇=⋅ττρρd dA AV V n 于是连续方程可写成：()⎰⎰⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅∇+∂∂ττρρ0d t V 以上方程应对任选的控制体τ均成立，所以()ρρV ⋅∇+∂∂t这就是微分形式的连续方程。
系统控制体输运公式
CS
CV
CS
方程表明：在定常流动时，通过控制体表面流体动量矩的净通量等于作
用于控制体的所有外力矩的矢量和。
3. 叶轮机械的基本方程 动量矩方程可以表示为：
（r )ndA (ri Fi )
CS
所有外力矩的矢量和
（绝对速度）
（法向分速度）
（切向分速度）
（相对速度）
（牵连速度）
取图中虚线包容的体积为控制体：
ps pa (h1 h2 ) pa
虹吸管 ｄ=150ｍｍ，Ｈ1=3.3ｍＨ2=1.5ｍ，z=6.8ｍ， 不计能量损失，求虹吸管中通过的流量及管道 最高点Ｓ处的真空值。
解：取ｏ′-ｏ′为
基准，列断面ｏ-ｏ
和２-２的伯氏方程：
H1
p0
0
0
p0
H2
U2 2g
解得：U 2g(H1 H2) 29.81.8 5.94m/ s
定常管流投影形式的动量方程：
Fx Fy
qV ( 2x qV ( 2 y
1x 1y
) )
Fz
qV ( 2z
1z
)
应用定常管流的动量方程求解时，需要注意以下问题：
动量方程是一个矢量方程，每一个量均具有方向性，必须根据建立 的坐标系判断各个量在坐标系中的正负号。
根据问题的要求正确地选择控制体，选择的控制体必须包含对所求作 用力有影响的全部流体。
t
t 0 时，有 II II, III 0 。
如果用CV表示控制体的体积，则有 II V (t) CV
(dV )tt (dV )t
lim Ⅱ'
t 0
Ⅱ'
t
t
dV
CV
(dV )tt
流体力学7动量方程及其应用及动量矩方程
FRx p1A1 cos1 p2 A2 sin2 qV (v1 cos1) (v2 sin2 )
F
d ( mv)
dt
fx
1
p x
[
2vx x 2
2vx y 2
2vx z 2
]
dvx dt
fy
1
p y
[
2vy x 2
2vy y 2
2vy z 2
]
dvபைடு நூலகம் dt
fz
1
p z
[
2vz x 2
2vz y 2
2vz z 2
]
dvz dt
作用在质点系上的总外力就不必通过分布压强的积分，而是通过求质点系动量变 化率的办法计算出来，开辟了求解流体动力学问题的新途径。
，流量为
q
的流体对弯管的作用力
v
FRx，FRy
假定管道在水平平面内或者重力可以不加考虑，动量修正系数为1
取1-1、2-2断面及弯管内表面为流管控制体，作用在流体质点系的总外力包括
弯管对控制体内流体的作用力 FRx和 FRy , 过流断面上外界流体对控制体内流体的作用力P1A1, P2 A2
Fx qv (v2x v1x ) Fy qv (v2 y v1y ) Fz qv (v2z v1z )
p1A1 sin1 p2 A2 sin cos2 FRy qV v2 cos2 v1 sin1
p1A1 cos1 p2 A2 sin2 FRx qV v2 sin2 v1 cos1
p1A1 sin1 p2 A2 sin cos2 FRy qV v2 cos2 v1 sin1
本次课主要内容 动量方程式及其应用
一、动量方程能解决运动流体中的什么问题
《流体动力学基础B》动量方程和动量矩方程
n1 )ds
A2
v
A2
( v 2 n 2 )ds
A0
v
0
( v 0 n 0 )ds
v1v1 ds v 2 v2 ds 0
V S
S
p
n
S zu xw vn dS M y S xv yu vn dS M z
yw zv v d S M n x S
r
V
《流体力学》讲义
8
动量积分方程和动量矩积分方程的应用
水流对弯管的作用力 已知：A1、A2，θ，Q， 不计重力。 求：固定弯管所需的力F。
水流对弯管的作用力
图2.6.2 等截面弯管
《流体力学》讲义 1
水流对弯管的作用力
例2.6.1：水流对弯管的作用力 已知：d=0.1m、θ=-90。、Q＝0.00314m2/s，
ρ=1000kg/m3、p2=pa ；不计重力。
求： 水流对弯管的作用力F
图2.6.2 等截面弯管
《流体力学》讲义 2
动量积分方程和动量矩积分方程及其应用
《流体力学》讲义 5
F
二、控制体
是指流场中某一个确定的空间区域，这个区域的周 界称为控制面。
6
6 《流体力学》讲义
6
动量矩积分方程
动量矩定理：流体系统对某点动量矩H的时间变化率等于作用 p S 在该系统上的合外力∑F关于同一点的力矩M:
dH d (r v)dV (r F) dt dt V D d V dV v ndS V CV CS t Dt t t0
A1
（3）控制体动量变化率
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v1 v r1 ,
v 2 v r2
4 Q ( r1 r2 )
2
（5）代入动量矩方程，解得：
v ( r1 r2 ) r1 r2
2 2
4 Q ( r1 r2 )
d ( r1 r2 )
2 2 2
M Q ( v r1 v r2 )
d
t dV
r
S
V
n
( r v )d V
V
V
(r v )
( r v ) ( v n )d S M
而外力矩： M 于是有：
( r f )d V
V
S
( r p n )d S
V
(r v ) t
14
水流对喷嘴的作用力
已知：A1、 A2、 p1 - pa
求：水流给喷嘴的合力
图2.6.6 喷嘴
《流体力学》讲义 15
解: （1）取控制体：图中虚线所围部分； （2）设喷嘴壁面给水流控制体的合力为F，方向向左； （3）列动量方程(表压力)： 1
F ( p 1 p a ) A1 Q ( v 2 v1 ) F ( p 1 p a ) A1 Q ( v 2 v1 )
x
r
V
zu xv
S
y
z
《流体力学》讲义
5
动量积分方程和动量矩积分方程的应用
水流对弯管的作用力 已知：A1、A2，θ，Q， 不计重力。 求：固定弯管所需的力F。
v ( v n ) ds
S
V
f dV
p
S
n
dS
2 y n0
n2 (p2-pa)A2
F y Q v 2 sin ( p 2 p a ) A 2 sin
固定此段弯管所需的外力为：
F x Q ( v 2 co s v1 ) ( p 1 p a ) A1 ( p 2 p a ) A 2 co s
F y Q v 2 sin ( p 2 p a ) A 2 sin
2
《流体力学》讲义
18
根据连续性方程有
根据连续性方程有：
v1 A1 v 2 A 2
Q
v1 v 2 A2 A1
A
v n d A v 2 A 2 v1 A1
Q ( v 2 v1 ) v 2 A 2 ( v 2
v 2 A2 A1
) v 2 A 2 (1
sin ( 9 0 ) 1
（2）将以上数据代入式（2.6.3)后，可得：
F x 1 0 0 0 0 .0 0 3 1 4 (0 .4 co s( 9 0 ) 0 .4 ) 1 .2 5 6 N
F y 1 0 0 0 0 .0 0 3 1 4 0 .4 sin ( 9 0 ) 1 .2 5 6 N
② 由动量方程易得：
F x v 0 A 0 (1 - co s )
2
F y v 0 A 0 sin
2
图2.6.4 射流对固定叶片的作用
《流体力学》讲义 13
射流对运动叶片的作用力
已知：A0、v0，u，不计重力 求：射流对运动叶片的作用力。
解: • 取1-1和2-2截面之间的控制体 • 进、出口截面上的相对流速为v0-u, • 应用动量方程，则：
2
2g
, 又 p2 pa
（6）求出v2后代入动量方程：
2 F ( p 1 p a ) A1 1 1 A1 / A 2
《流体力学》讲义 16
喷水器－动量矩积分方程应用示例
已知：r1、 r2 、Q、d 、 ρ 、ω 求：阻止旋转所需的扭矩M
图2.6.7 喷水器
图2.6.2 等截面弯管
《流体力学》讲义 9
水流对弯管的作用力
解: （1）由题设、一维流假设和伯努利方程可求得2截面 面积、流速和压力：
S 1 S 2 * d / 4 0 .0 0 7 8 5 m
2 2
v1 v 2 Q / A 0 .4 m / s p1 p 2 p a 又 co s( 9 0 ) 0,
4
《流体力学》讲义
动量矩积分方程
定常流动:
( r v ) ( v n )d S
S
( r f )d V
V
S
( r p n )d S
直角坐标系中:
S
p
n
S yw
S
zv vn dS M xw vndS M yu vndS M
n0 (p0-pa)A0 n1 (p1-pa)A1
(c)
《流体力学》讲义 6
2
n0 θ
x 1
1
pa
p0
(a)
n0
水流对弯管的作用力
管壁受到的水流和大气压的合力为：
F
解: (p0-pa)A0 （1）取控制体：如图(a)中截 面1-1和2-2之间的体积； n1 （2）分析控制体所受到的外 (p1-pa)A1 力(不计重力)；
n S
《流体力学》讲义
3
动量矩积分方程
动量矩定理：流体系统对某点动量矩H的时间变化率等于作用 在该系统上的合外力∑F关于同一点的力矩M: p S
[流出动量矩]CS – [流入动量矩]CS = [合外力矩]CV+CS
dH dt d 又： dt d
( r v )d V dt
V
(r F )
S
P
n
输运方程:
（控制体）
V
( v) t
dV
S
v v n dS
V
fdV
p ndS
—— CV内流体动量的变化与单位时间内（净）流出CS的动 量之和等于外界作用在CV和CS上的合力。 [流出动量]CS – [流入动量]CS = [合外力]CV+CS
v n u d s Px
v2
S1
F
v1
2
《流体力学》讲义
常用假设：
v ( v n ) ds
S
V
f dV
S
p n dS
（1）壁面无摩擦(理想流体): （2）忽略质量力：f = 0; （3）进出口流动均匀: v=const.
p n pn
S2
v2
S1
定常流动：
v ( v n )ds
S
f d V
V
p
S
n
dS
（控制体）
S2
动量积分方程反映了物 体与流体间的相互作用， v n v d s 若体积力为零： s
对理想流体和粘性流体都 适用。
s
s
Py v n w d s Pz
已知：A0、v0、θ，不计重力 求：射流对固定叶片的作用力 已知：A0、v0，u，不计重力 求：射流对运动叶片的作用力
图2.6.4 射流对固定叶片的作用
图2.6.5 射流对运动叶片的作用
《流体力学》讲义
12
射流对固定叶片的作用力
已知：A0、v0、θ，不计重力 求：射流对固定叶片的作用力。
解: ① 根据连续性方程，进出口过流面积相等。
2
A2 A1
)
19
《流体力学》讲义
A 代入动量方程有 2 1 2 p 1 p a v 2 1 2 A1
2
v2
2
2 ( p1 p a )
[1 ( A 2 / A1 ) ]
2
代入动量方程得：
Q ( v 2 v1 ) v 2 A 2 (1
动量积分方程和动量矩积分方程及其应用
伯努利方程：速度分布 动 量 方程：动量变化 动量积分方程
时刻t，任取一流体系统，体积V(t)、边界 面S(t)，外法向量n 。
压力分布 合 力
S(t)
P n
V(t)
动量定理：系统内动量K 对时间的变化率等于作用 dK dm v ma F 在系统上的合外力( ）。
F
v1 求解步骤： （1）取坐标系； （2）假定力:若设F为外界给流体的力，则物体受力F’ = - F； （3）取控制体：速度和压力为已知的面(物面或流面)。物面 或流面上 v d S 0 而物面往往就是要求的受力面; （4）列动量分量方程； （5）基本方程的联合使用; （6）表压力(p-pa)求解方便。
2 v1 1
A2 1 2 p1 p a v 2 1 2 A1
2
（4）连续性方程： A2 2 Q ( v 2 v1 ) v 2 A 2 (1 ) （5）伯努利方程：
p1
F 2
v2
A1
g
v1
2
p2
2g
g
v2
v1 Q 1 v 2 Q 2 v 0 Q 0 co s 0 F y v 0 Q 0 sin
Q 0 Q1 Q 2
Q1 1 cos 2 Q 0， Q 2
e
（5）连续方程：
1 cos 2
Q0
《流体力学》讲义
11
射流对平板和叶片的作用力
注意：在应用总流的动量方程时，控制面上 的压强一律采用相对压强，若采用绝对压强， 势必引起错误，得不到合力F’