数学思想方法之分类与整合思想

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分类与整合,高中数学解题中重要思想论文

分类与整合,高中数学解题中的重要思想分类与整合是解决问题的一种逻辑方法；是中学数学重要的思想方法之一。

分析近几年高考中分类与整合的试题可知：分类与整合思想在高考中占有十分重要的地位，是一个热点问题。

其原因是：分类与整合试题具有明显的逻辑性、综合性、探索性的特点，能体现“着重考察数学能力”的要求。

那么，引起分类的原因究竟有哪些？分类与整合有何标准和方法？分类能否避免？这都是我们必须从理论层面上需要弄清的问题.下面结合具体题型来回答这些问题。

分析：本题的两问都需要进行分类求解，其分类的对象主要是等比数列的公比.解：（1）因为是等比数列，，可得，，当时，；当时，，即（ =1，2，3，…），上式等价于①（ =1，2，3，…）或②（ 1，2，3，…），解①式得；解②式，由于可为奇数、可为偶数，故 .综上，的取值范围是（-1，0）（0，+∞）.（2）由，得，，于是 .又因为，且或，所以，当或时，，即；当且时，，即；当或时，，即评：数列是高考必考内容之一.而等差、等比数列的通项、前项和是数列的基础，在研究一个数列的通项时，对与要分别予以研究，而涉及等比数列或用错位相减法去求解时，要对公比是否为零，进行分类。

三、由变量或参数的取值范围引起的分类例3：已知在区间［-2,2］上，恒为非负数,求实数的取值范围. 解：设，，由题意知, , ,恒成立,故只须在［-2,2］上的最小值为非负即可.⑴当- <-2,即时, 在区间［-2,2］上递增,所以 .解得，这与矛盾,故舍去.⑵当-2 ,即-4 时, ，解得:-6 ，又因为-4 ,所以 .⑶当 ,即a<-4时, 在区间［-2,2］上递减,所以 ,解得 ,又因为<-4,所以 .由⑴、⑵、⑶知: .评:首先等价转换命题,结合对称轴与区间的各种位置关系分类讨论,函数图像的对称轴为 ,由于为参数不确定,所以要分在区间［-2,2］的左、右侧和区间上三种情况.四、几何元素的形状、位置的变化引起的分类例4：如图，已知一条直线ab，它的两个端点分别在直二面角－－的两个面内移动，若和平面所成的角分别为，试讨论的范围. 解：（1）当时， .（2）与不垂直时，在平面内作，为垂足，连接 .∵平面∴ .∴是与平面所成的角，即 .在平面内作，垂足为，连结 .同理， .在中，，在和中，即。

初中数学思想方法之分类讨论

初中数学思想方法之分类讨论数学是一门既抽象又具体的学科，它需要学生具备一定的思维方法和思想能力。

在初中数学中，分类讨论是一种常用的思想方法，它可以帮助学生分析问题、归纳规律并解决问题。

本文将详细介绍初中数学中分类讨论的基本思想和具体步骤，并通过例题来说明如何运用这种方法。

一、分类讨论的基本思想分类讨论是指将问题进行细化，将其分解成几个易于分析和解决的小问题，并分别进行讨论和解决。

通过这种方法可以更好地理解问题的本质，找到解题的关键点，并最终得到问题的解决办法。

分类讨论的基本思想包括以下几点：1.具体问题具体分析。

将问题进行细化后，每个小问题都有其独特的特点和解决思路，需要根据具体情况展开分析。

2.归纳总结。

在分析过程中，要总结出各个小问题之间的共同点和规律，以便更好地理解问题，并找到解决办法。

3.统一思考。

将各个小问题的解决办法进行归纳和整合，形成对大问题的解决思路。

二、分类讨论的具体步骤分类讨论的具体步骤可以简单概括为以下几点：1.理解问题。

仔细阅读题目，了解问题的背景和要求，确定需要解决的具体问题。

2.分析问题。

将大问题分解成几个小问题，每个小问题都有明确的目标和限制条件。

在分析过程中，可以通过画图、列举数据等方式进行辅助分析。

3.解决小问题。

按照特定的思路和方法，分别解决各个小问题。

在解决过程中，可以运用已经学过的数学知识、规律和公式。

4.总结归纳。

在解决小问题的过程中，要总结各个小问题之间的共同点和规律，归纳出解决大问题的关键思路和方法。

5.整合答案。

将各个小问题的解答整合成对大问题的解答。

在整合过程中，要仔细检查各个小问题的解答是否符合大问题的要求，并进行必要的修正和调整。

三、分类讨论的具体例题下面以一些常见的初中数学题目为例，说明如何运用分类讨论的方法解决问题。

例题1：现有一些白球和红球，共18个。

白球的个数不超过红球的个数。

问，最少有多少个红球？解题思路：根据题目要求和条件，可以将问题进行分类讨论。

高中数学七大基本思想方法讲解

（2）在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系
在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系
数形结合中，选择、填空侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑推理论证严密性，突出形到数的转化
第三：分类与整合思想
（1）分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法
（2）从具体出发，选取适当的分类标准
（5）高考以新增内容为素材，突出考查特殊与一般思想必成为命题改革方向
第六：有限与无限的思想：
（1）把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路
（2）积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决的方向
（3）立体几何中求球的表面积与体积，采用分割的方法来解决，实际上是先进行有限次分割，再求和求极限，是典型的有限与无限数学思想的应用
（4）随着高中课程改革，对新增内容考查深入，必将加强对有限与无限的考查
第七：或然与必然的思想：
（1）随机现象两个最基本的特征，一是结果的随机性，二是频率的稳定性
（2）偶然中找必然，再用必然规律解决偶然
（3）等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验、随机事件的分布列、数学期望是考查的重点
（3）高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化
第五：特殊与一般思想
（1）通过对个例认识与研究，形成对事物的认识
（2）由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论
（3）由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程
（4）构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程
（2）灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法

数学思想方法的综合应用

► 探究点二使用函数方法解决非函数问题例2 (1)已知{a n }是一个等差数列，且a 2＝1，a 5＝－5，则数列{a n }前n 项和S n 的最大值是________．(2)长度都为2的向量OA →，OB →的夹角为60°，点C 在以O 为圆心的圆弧AB (劣弧)上，OC →＝mOA→＋nOB →，则m ＋n 的最大值是________．【分析】 (1)根据方程思想求出数列的首项和公差，建立S n 关于n 的函数；(2)将向量坐标化，建立m ＋n 关于动向量OC →的函数关系．(1)4 (2)233【解析】 (1)设{a n }的公差为d ，由已知条件，⎩⎨⎧a 1＋d ＝1，a 1＋4d ＝－5，解出a 1＝3，d ＝－2.S n ＝na 1＋n n －12d ＝－n 2＋4n ＝4－(n －2)2.所以n ＝2时，S n 取到最大值4.(2)建立平面直角坐标系，设向量OA →＝(2,0)，向量OB →＝(1，3)．设向量OC →＝(2cos α，2sin α)，0≤α≤π3.由OC →＝mOA→＋nOB →，得(2cos α，2sin α)＝(2m ＋n ，3n )，即2cos α＝2m ＋n,2sin α＝3n ，解得m ＝cos α－13sin α，n ＝23sin α.故m ＋n ＝cos α＋13sin α＝233sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3≤233.变式题若a >1，则双曲线x 2a 2－y 2a ＋12＝1的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(2，5)C ．[2，5]D ．(3，5) B 【解析】 e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝a 2＋a ＋12a 2＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a 2，因为1a 是减函数，所以当a >1时，0<1a<1，所以2<e 2<5，即2<e < 5.► 探究点三联用函数与方程的思想例3 已知函数f (x )＝x (x －a )2，g (x )＝－x 2＋(a －1)x ＋a (其中a 为常数)．设a >0，问是否存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，a 3，使得f (x 0)>g (x 0)？若存在，请求出实数a 的取值范围，若不存在，请说明理由；【解答】假设存在，即存在x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫－1，a 3，使得， f (x 0)－g (x 0)＝x 0(x 0－a )2－[－x 20＋(a －1)x 0＋a ]＝x 0(x 0－a )2＋(x 0－a )(x 0＋1)＝(x 0－a )[x 20＋(1－a )x 0＋1]>0，当x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，a 3时，又a >0，故x 0－a <0，则存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，a 3，使得x 20＋(1－a )x 0＋1<0， ①当a －12>a3即a >3时，⎝ ⎛⎭⎪⎫a 32＋(1－a )⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＋1<0得a >3或a <－32，∴a >3； ②当－1≤a －12≤a 3即0<a ≤3时，4－a －124<0得a <－1或a >3，∴a 无解．综上：a >3.► 探究点四以形助数探索解题思路例4 (1)不等式|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．[1,2]D ．(－∞，1]∪[2，＋∞)(2)已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1C ．(1,2)D ．(1，－2)【分析】 (1)把不等式的左端看作一个函数，问题等价于这个函数的最大值不大于不等式右端的代数式的值，通过画出函数图象找到这个函数的最大值即可；(2)画出抛物线，根据抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离，把问题归结为两点之间的距离．(1)A (2)A 【解析】 (1)f (x )＝|x ＋3|－|x －1|＝⎩⎨⎧－4x <－3，2x ＋2－3≤x <1，4x >1.画出函数f (x )的图象，如图，可以看出函数f (x )的最大值为4，故只要a 2－3a ≥4即可，解得a ≤－1或a ≥4.正确选项为A.(2)点P 到抛物线焦点距离等于点P 到抛物线准线距离，如图，PF ＋PQ ＝PS ＋PQ ，故最小值在S ，P ，Q 三点共线时取得，此时P ，Q 的纵坐标都是－1，代入y 2＝4x 得x ＝14，故点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1，正确选项为A.(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43，7 (2)⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪[－1，＋∞) 【解析】 (1)g (x )＝f ′(x )＝3x 2＋4x －a ，g (x )＝f ′(x )在区间(－1,1)上存在零点，等价于3x 2＋4x ＝a 在区间(－1,1)上有解，等价于a 的取值范围是函数y ＝3x 2＋4x 在区间(－1,1)上的值域，不难求出这个函数的值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－43，7.故所求的a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－43，7. (2)由⎩⎨⎧Δ1＝4a2－43－4a <0，Δ2＝a －12－4a 2<0，Δ3＝2a2＋8a <0，解得－32<a <－1，再求它的补集，则a 的取值范围是：a ≤－32或a ≥－1.例4 (1)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2，则sin(α－2π)sin(α－π)－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝________.(2)函数f (x )＝sin x ＋cos x ＋sin2x 的最小值是________．【分析】 (1)化简已知和求解目标，然后采取适当的方法；(2)把sin x ＋cos x 看做一个整体，用这个整体表示已知函数．(1)－35 (2)－54 【解析】 (1)已知条件即sin α＝2cos α，求解目标即cos 2α－sin 2α.已知条件转化为tan α＝2，求解目标转化为cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α，把已知代入得求解结果是－35. (2)令t ＝sin x ＋cos x ，则t 2＝1＋sin2x ，且t ∈[]－2，2.此时函数化为y ＝t ＋t 2－1＝⎝⎛⎭⎪⎫t ＋122－54，故所求函数的最小值为－54.。

高中数学x思想方法-分类讨论与整合

分类讨论与整合思想方法例题解析高考数学将分类与整合思想的考查放在了比较重要的位置，主要以解答题的形式出现.要求考生明确何种问题需要分类,如何分类,分类后如何研究,最后如何整合.考查的主要题型是含有字母参数的数学问题。

下面以引发分类讨论的不同渊源进行分类解析.1.由数学概念引起的讨论.如绝对值的定义、二次函数的定义、直线与平面所成的角、直线的倾斜角等. 例1 函数()243f x ax x =+-在[]0,2x ∈上有最大值()2f ，求实数a 的取值范围.分析：此函数的类型不确定，需要分类讨论. 当0a =时，)(x f 是一次函数且单调递增;当0a ≠时, )(x f 是二次函数,单调性与a 的取值有关,需要继续分类.用配方法或导数求二次函数的最值.解: (1)当0a =时，()43f x x =-在[]0,2x ∈上为单调增函数，最大值为()2f ，满足题意.(2)当0a ≠时，函数()2224433f x ax x a x a a ⎛⎫=+-=+-- ⎪⎝⎭，其对称轴为2x a =-.①当0a >时，()243f x ax x =+-在[]0,2x ∈上为单调增函数，最大值为()2f ，满足题意;②当0a <时，当22a-≥即10a -≤<时，()243f x ax x =+-在[]0,2x ∈上为单调增函数，最大值为()2f ，满足题意. 综上所述：当1a ≥-时，函数()243f x ax x =+-在[]0,2x ∈上有最大值()2f .点评：在该题的分类讨论中,有两个层次,第一层是确定函数类型,即是一次函数还是二次函数.第二层是二次函数的开口方向,即开口向上还是向下.由于每一类中的a 都符合题意,所以整合时,把每一类型中a 的范围取并集,得到最终答案.变式练习1. 已知等比数列{}n a 中,432,,a a a 分别是某等差数列的第5项，第3项，第2项，且164a =，公比1q ≠；设2log nn b a =，求数列{}||n b 的前n 项和n T .2. 由数学运算要求引起的分类讨论.如除法运算中除数不为零、偶次方根为非负、对数中真数与底数的要求、不等式中两边同乘以一个正数、负数对不等号方向的影响等.例2 设函数3()31()f x ax x x R =-+∈，若对于任意的[]1,1-∈x 都有0)(≥x f 成立，求实数a 的值为. 分析：对于任意的[]1,1-∈x 都有0)(≥x f 恒成立求参数的范围问题，可将参数a 分离出来.在分离a 时,需要对x 等于零, x 为正, x 为负分别进行.分离出a 之后,通过求导研究不等式右边关于x 的函数，判断其单调性并求出其最值.解：若0x =，则不论a 取何值，()f x ≥0显然成立,所以R a ∈；当0x > 即]1,0(∈x 时，()331f x ax x =-+≥0可化为：2331a x x ≥-,设()2331g x x x =-，则()()'4312x g x x -=，所以()g x 在区间10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因此()max 142g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，从而a ≥4；当x ＜0 即)0,1[-∈x 时，()331f x ax x =-+≥0可化为a ≤2331x x -，()()'4312x g x x -=0>,()g x 在区间[)1,0-上单调递增，因此4)1()(max =-=g x g ,从而a ≤4，综上所述得a ＝4.点评:本题是不等式恒成立问题,需要将参数分离出来，转化为研究函数的最值.在分离参数时,需要在不等式的两边同乘以式子3x .根据不等式的运算性质,需要明确所乘式子的符号,所以要对x 是否为零及其符号进行分类讨论.由于是对自变量x 展开讨论,所以在整合时,要把a 的三个范围取交集.变式练习2. 已知函数x x f a log )(=在],2[π上的最大值比最小值大1，则a 等于A ．π2 B ．2π C ．π2或2π D ．不同于A 、B 、C 答案3. 由函数的性质及定理、公式的限制引起的分类讨论例3.已知数列}{n a 、 3,2,1,),(,1:}{121=⋅===+n a a b a a a a b n n n n 其中且为常数满足（Ⅰ）若{}n a 是等比数列，试求数列{}n b 的前n 项和n S ；（Ⅱ）当{}n b 是等比数列时，甲同学说：{}n a 一定是等比数列；乙同学说：{}n a 一定不是等比数列,你认为他们的说法是否正确？为什么？分析: 在（Ⅰ）中，欲求数列{}n b 的前n 项和n S ，需要研究该数列的性质.由21a b b nn =+发现该数列为等比数列,但求和时要注意前n 项和公式的选择即对公比进行讨论. 在（Ⅱ）中，需要由{}n b 的性质进一步研究{}n a 的性质，对其是否为等比数列作出判断.解：（I ）因为{}n a 是等比数列a a a ==21,1, 所以1,0-=≠n n a a a . 又211212112111,a aa a a a a a ab b a a a b a a b n n n n n n n n n n n n n ===⋅⋅==⋅=⋅=-+++++++则即}{n b 是以a 为首项,2a 为公比的等比数列. ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧±≠---=-==∴)1(.1)1()1(,)1( ,22a a a a a n a n S n n （II ）甲、乙两个同学的说法都不正确，理由如下：设{}n b 的公比为q ，则022211≠===+++++a q a a a a a a b b nn n n n n n n 且又1253121,,,,,,1-==n a a a a a a a …是以1为首项，q 为公比的等比数列，n a a a a 2642,,,, …是以a 为首项，q 为公比的等比数列，即{}n a 为： 22,,,,,1aq q aq q a .当2a q =时，{}n a 是等比数列；当2a q ≠时，{}n a 不是等比数列.注:该问亦可以用举特例的办法进行判断.点评:该题两问的解答中都对公比进行了讨论.第一问中,讨论的渊源是公比不同, 等比数列前n 项和公式形式不同.第二问中讨论的原因是, {}n b 的公比取值不同, {}n a 的性质不同.变式练习3: 解关于x 的不等)(222R a ax x ax ∈-≥-．4. 由图形的不确定性引起的分类讨论例4 设21,F F 为椭圆14922=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的一点. 已知21,,F F P 是一个直角三角形的三个顶点，且 ||||21PF PF >，求||||21pF PF 的值. 分析:本题考查圆锥曲线的性质.因为21,,F F P 是一直角三角形的三顶点，且||||21PF PF >，则直角顶点有两种可能性：点2F 或点P ，故有两解.解: 由已知得6||||21=+PF PF ,2||21=F F .①若12F PF ∠为直角，则2212221||||||F F PF PF +=,解得314||1=PF ,34||2=PF ,所以||||21pF PF =27. ②若21PF F ∠为直角，则|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|22221221||||||PF PF F F +=，得4||1=PF，2||2=PF ，故 2||||21=pF PF . 变式练习4. 设一双曲线的两条渐近线方程为052,02=-+=+-y x y x ，此双曲线的离心率为 .5. 由参数的变化引起的分类讨论.某些含参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或者由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法.例5 设1-=x 是)()()(22R x e b ax x x f x ∈++=-的一个极值点，求a 与b 的关系式（用a 表示b ）并求)(x f 的单调区间.分析:该题是一个非基本初等函数的单调性问题，考虑用导数解决,所以先对)(x f 求导,再得a 与b 的关系式.求得导函数的零点时,注意两个零点的大小对单调区间的影响.解： x e a b x a x x f --+-+-=22/])2([)(,由0)1(/=-f 得32-=a b∴x e a ax x x f --++=22)32()( ,x x e a x x e a x a x x f ---++-=-+-+-=222/)3)(1(]3)2([)(.令0)(/=x f 得a x x -=-=3,121 .由于1-=x 是)(x f 的极值点，故21x x ≠，即4≠a .① 当4<a 时，12x x >，故]3,1[a --为)(x f 的单调增区间；),3[]1,(+∞---∞a 和为)(x f 的单调减区间.② 当4>a 时，12x x <，故]1,3[--a 为)(x f 的单调增区间；),1[]3,(+∞---∞和a 为)(x f 的单调减区间.点评:在综合问题中对参数分类讨论的考查,是分类讨论思想考查的重要形式之一.对参数的分类,要注意遵循分类讨论的基本原则:科学合理,不重不漏.变式练习5. 已知椭圆1522=+m y x 的离心率 510=e ，则m 的值为 A ．3B ．253或3C ．5D ．3155或156. 其它需要进行分类讨论的问题.譬如排列组合问题、实际应用问题等例6 某车间有10名工人，其中4人仅会车工，3人仅会钳工，另外三人车工钳工都会，现需选出6人完成一件工作，需要车工、钳工各3人，问有种选派方案？解析:如果先考虑钳工，因有6人会钳工，故有36C 种选法，但此时不清楚选出的钳工中有几个是车钳工都会的，因此也不清楚余下的七人中有多少人会车工，因此在选车工时，就无法确定是从7人中选，还是从六人、五人或四人中选.同样，如果先考虑车工也会遇到同样的问题.因此需对全能工人被选的人数进行分类：（1）选出的6人中不含全能工人,共有3433C C 种不同选法；（2）选出的6人中含有一名全能工人共有351323C C C 种不同选法；（3）选出的6人中含2名全能工人共有362313C C C 种不同选法；（4）选出的6人中含有3名全能工人共有3733C C 种不同选法.所以共有3433C C +351323C C C +362313C C C +3733C C =306种选派方案. 点评:分类讨论是解决排列组合问题中最常用的思想方法之一.在进行分类时,要注意选择最恰当的标准,使得所分的类尽量少.一般选择数量较少的那一种元素进行分类.变式练习6. 在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A 、B 两种作物，每种作物种一垄，为有利于作物生长，要求A 、B 两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有种．变式练习答案及专题总结:1. 解:依题意得()032,32344342=+--+=a a a a a a a 即,211,0132,032212131===+-∴=+-∴q q q q q a q a q a 或解得又1111,,6422n n q q a -⎛⎫≠∴==⨯ ⎪⎝⎭ 故()()17227,71log 64log 27||27,7n n n n n n b n b n n --⎡⎤⎧-≤⎪⎛⎫=⨯==-∴=⎢⎥⎨ ⎪->⎝⎭⎪⎢⎥⎩⎣⎦ ()()()()()()18767137,||6,22177677,||1,2122n n n n n n n b T n n n n n b T T +--∴≤===+---->==+=+当时当时 ()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+--≤-=∴7,212767,213n n n n n n T n . 2. C. 解析：研究函数的最值需考察函数的单调性，而题中对数函数的增减性与底数a 的取值有关，故应对a 进行分类讨论.⑴当1>a 时， )(x f 在[2，π]上是增函数，最大值是)(πf ，最小值是)2(f ，据题意， 1)2()(=-f f π，即12log log =-a a π，∴2π=a ⑵当10<<a 时，)(x f 在[2，π]上是减函数，最大值是)2(f ，最小值是)(πf ，故1)()2(=-πf f ，即1log 2log =-πa a ，∴π2=a . 由⑴⑵知，答案为C.3. 解:原不等式可化为⇔ 02)2(2≥--+x a ax ,(1)0=a 时，x ≤－1，即x ∈(－∞,－1].(2)0≠a 时，不等式即为0)1)(2(≥+-x ax ,①0>a 时，不等式化为0)1)(2(≥+-x ax ，当⎪⎩⎪⎨⎧->>120a a ，即0>a 时，不等式解为),2[]1,(+∞--∞a ．当⎪⎩⎪⎨⎧-≤>120aa ，此时a 不存在． ②0<a 时，不等式化为0)1)(2(≤+-x a x ，当⎪⎩⎪⎨⎧-<<120aa ，即02<<-a 时，不等式解为]1,2[-a . 当⎪⎩⎪⎨⎧-><120a a ，即a <－2时，不等式解为]2,1[a -．当⎪⎩⎪⎨⎧-=<120aa ，即a ＝－2时，不等式解为x ＝－1．综上:当 a ＝0时，x ∈(－∞,－1)； a >0时，x ∈),2[]1,(+∞--∞a ；当－2<a <0时,x ∈]1,2[-a ；当a <－2时，x ∈]2,1[a-； a ＝－2时，x ∈{x |x ＝－1}． 4. 255或．解析:由双曲线的渐近线方程，不能确定其焦点位置，所以应分两种情况求解．（1）当双曲线的焦点在直线3=y 时，双曲线的方程可改为1)3()1(222=---by a x ，一条渐近线的斜率为2=a b ， ∴2=b ．∴ 555222==+==a a a b a c e ．（2）当双曲线的焦点在直线1=x 时，与（1）同理得双曲线的一条渐近线的斜率为2=b a ，此时25=e ．综上（1）（2）可知，双曲线的离心率等于255或． 5.B. 解析：题设不能确定5与m 中哪个较大,故应将5与m 的大小分类讨论.据题意5,0≠>m m ,⑴当5>m 时，5,5,22222-=-=∴==m b a c b m a ，m m a c 522-=∴ 又510=e ,325=m .⑵当50<<m 时，m b a c m b a -=-=∴==5,,522222m m a c -=∴522,3=m . 由⑴⑵知 325=m 或3=m .故选Ｂ. 6. 12. 解析:分类讨论：（1）先考虑作物A 种植在第一垄时，作物B 有3种种植方法；（2）再考虑作物A 种植在第二垄时，作物B 有2种种植方法；（3）又当作物A 种植在第三垄时，作物B 有1种种植方法.而作物B 种植的情况与作物A 相同，故满足条件的不同选垄方法共有（3+2+1）×2＝12种．【命题预测】分类讨论的思想在高考中占有非常重要的地位，应用它求解能减少思维时间、提高书写的逻辑性和条理性，此类试题在高考试卷中的比例，总体上有逐年增加的趋势，这种趋势产生的根本原因是：分类讨论题往往覆盖知识点较多，有利于考查学生掌握的知识面；解分类讨论题需要学生有一定的分析能力，具有一定的逻辑划分思想和技巧，及较好的思维概括性，有利于对学生能力的考查；试卷中占有一定比例的分类讨论题，有利于拉开考生得分的距离，实现高考的选拔的目标。

高考数学：数学解题七大基本思想方法

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高考数学：数学解题七大基本思想方法数学学科有自己独特的思维模式，所以在解决数学问题时，就要以数学的基本方法去考虑，这样才能在最有效的时间内答对题目。

第一：函数与方程思想(1)函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时，起着重要作用(2)方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础注：高考把函数与方程思想作为七种重要思想方法重点来考查第二：数形结合思想(1)数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面(2)在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系数形结合中，选择、填空侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑推理论证严密性，突出形到数的转化第三：分类与整合思想(1)分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法(2)从具体出发，选取适当的分类标准(3)划分只是手段，分类研究才是目的(4)有分有合，先分后合，是分类整合思想的本质属性(5)含字母参数数学问题进行分类与整合的研究，重点考查学生思维严谨性与周密性第四：化归与转化思想(1)将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决问题化归为已解决问题(2)灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法(3)高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化第五：特殊与一般思想(1)通过对个例认识与研究，形成对事物的认识(2)由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论(3)由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程(4)构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程(5)高考以新增内容为素材，突出考查特殊与一般思想必成为命题改革方向第六：有限与无限的思想(1)把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路(2)积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决的方向(3)立体几何中求球的表面积与体积，采用分割的方法来解决，实际上是先进行有限次分割，再求和求极限，是典型的有限与无限数学思想的应用(4)随着高中课程改革，对新增内容考查深入，必将加强对有限与无限的考查第七：或然与必然的思想(1)随机现象两个最基本的特征，一是结果的随机性，二是频率的稳定性(2)偶然中找必然，再用必然规律解决偶然(3)等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验、随机事件的分布列、数学期望是考查的重点。

再谈数学思想方法的挖掘和应用

0 + 1欺啥 (20 8 年第2 期
高中版)
教学勺坛仑
4
化归与转化的思想
+( 一 ‘ ， =a、 (其中k=1， 3…) 1) ，， +3‘ aZ ‘ 2，
( 1) 求a， ; ‘ ， a， ( 2) 求la。 }的通项公式.
本例是一个已知递推关系求通项的数列问题 . 解决的关键是通过对一般项关系的研究，出通项得的解析式 . 为了顺利完成对一般项关系的研究，应该从特殊项的研究开始 . 这已在第一中作出了提示和铺垫，同时体现出研究问题时使用的由特殊到一
般的思想 .
化归与转化的思想就是把待解问题转化为常规问题，从而使原问题得到解决的方法，简言之化归与转化就是问题的规范化 . 由于人们已经熟练掌握了研究规范问题的策略、方法、程序，因而当运用适当的技巧实现了问题的规范化时，该问题便会迎刃而解，这就是化归方法的原理 . 化归也是一种基本的
解画出可行域，如
图:作直线 L:3 +Zy =0 x
并在可行域内向右上方
平移至L，目时，标函数取
得最大值 . 解方程组
{
二1 ，
求得点A 的坐标为( 1， . ) 1
2 二 = 3 * 1 +2 * 1 = 5.
体现，也是两种思想综合运用的体现，是研究变量与函数、相等与不等过程中的基本数学思想 .
简单的线性规划问题是新增内容，解决时一般需要画出可行域( 图形) ，找到使目标函数取得的最优解，再解方程组求出最优解，代人目标函数求值 . 这一系列的过程既有由数到形，也有由形到数，体现出了数与形之间的相互关系，是数形结合数学思想的重要体现 .

高考二轮复第24讲分类与整合思想、转化与化归思想

第24讲分类与整合思想、转化与化归思想思想诠释分类与整合思想是当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的答案．实质上分类与整合就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想．思想应用应用一由概念、性质、运算引起的分类与整合[典例1] 已知函数f (x )＝a x ＋b (a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a ＋b ＝________．解析：当a ＞1时，函数f (x )＝a x ＋b 在[－1，0]上为增函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0无解．当0＜a ＜1时，函数f (x )＝a x＋b 在[－1，0]上为减函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－32.答案：－32数学概念运算公式中常见的分类1．由二次函数、指数函数、对数函数的定义，直线的倾斜角、向量的夹角的范围等引起分类讨论；2．由除法运算中除数不为零，不等式两边同乘以(或除以)同一个数(或式)时的不等号等引起分类讨论；3．由数学公式、定理、性质成立的条件等引起分类讨论． [应用体验]1．在等比数列{a n }中，已知a 3＝32，S 3＝92，则a 1＝________．解析：当q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝32，S 3＝3a 1＝92，显然成立；当q ≠1时，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝a 3＝32，a 1（1－q 3）1－q ＝S 3＝92.所以⎩⎨⎧a 1q 2＝32，①a 1（1＋q ＋q 2）＝92，②由①②，得1＋q ＋q 2q 2＝3，即2q 2－q －1＝0，所以q ＝－12或q ＝1(舍去)．当q ＝－12时，a 1＝a 3q 2＝6.综上可知，a 1＝32或a 1＝6.答案：32或6应用二由图形位置或形状引起的分类与整合[典例2] 若双曲线x 23－m ＋y 2m －1＝1的渐近线方程为y ＝±12x ，则m 的值为( )A ．－1B ．13C.113D ．－1或13解析：选B.根据题意可分以下两种情况讨论：①当焦点在x 轴上时，则有⎩⎪⎨⎪⎧3－m ＞0，m －1＜0，解得m ＜1，此时渐近线方程为y ＝±1－m3－mx ，由题意1－m 3－m＝12，解得m ＝13. ②当焦点在y 轴上时，则有⎩⎪⎨⎪⎧3－m ＜0，m －1＞0，解得m ＞3，此时渐近线方程为y ＝±m －1m －3x ，由题意m －1m －3＝12，解得：m ＝13；与m ＞3矛盾(舍去)．综合以上可知m ＝13.故选B.图形位置或形状的变化中常见的分类圆锥曲线形状不确定时，常按椭圆、双曲线来分类讨论，求圆锥曲线的方程时，常按焦点的位置不同来分类讨论；相关计算中，涉及图形问题时，也常按图形的位置不同、大小差异等来分类讨论． [应用体验]2．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋2y ≤4，x －2y ≤2，如果目标函数z ＝x ＋ay 的最大值为163，则实数a 的值为( ) A ．3 B ．143C ．3或143D ．3或－113解析：选D.先画出线性约束条件所表示的可行域，目标函数化为y ＝－1a x ＋1a z ，目标函数z＝x ＋ay 的最大值只需直线的截距最大，当a ＞0时，－1a＜0，①若－12＜－1a ＜0，即a ＞2，最优解为A ⎝⎛⎭⎫43，43， z ＝43＋43a ＝163，a ＝3，符合题意； ②若－1a ＜－12，即0＜a ＜2，最优解为B ⎝⎛⎭⎫3，12， z ＝3＋12a ＝163，a ＝143，不符合题意舍去；当a ＜0时，－1a＞0，③若0＜－1a ＜1，即a ＜－1，最优解为C (－2，－2)，z ＝－2－2a ＝163，a ＝－113，符合题意；④若－1a ＞1，即－1＜a ＜0，最优解为B ⎝⎛⎭⎫3，12， z ＝3＋12a ＝163，a ＝143，不符合题意舍去；综上可知实数a 的值为3或－113.故选D.应用三由变量或参数引起的分类与整合[典例3] 设函数f (x )＝x 3－ax －b ，x ∈R ，其中a ，b ∈R .求f (x )的单调区间．解：由f (x )＝x 3－ax －b ，可得f ′(x )＝3x 2－a . 下面分两种情况：①当a ≤0时，f ′(x )＝3x 2－a ≥0恒成立．所以f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)． ②当a ＞0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝3a 3或x ＝－3a 3. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表：几种常见的由参数变化引起的分类与整合1．含有参数的不等式的求解． 2．含有参数的方程的求解．3．对于解析式系数含参数的函数，求最值或单调性问题． 4．二元二次方程表示曲线类型的判定等． 5．直线与圆锥曲线位置关系的分类． [应用体验]3．函数f (x )＝ax 2＋4x －3在x ∈[0，2]上有最大值f (2)，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ＝0时，f (x )＝4x －3在x ∈[0，2]上为单调递增函数，最大值为f (2)，满足题意．当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2＋4x －3＝a⎝⎛⎭⎫x ＋2a 2－3－4a ，其对称轴为x ＝－2a.当a ＞0时，f (x )＝ax 2＋4x －3在x ∈[0，2]上为单调递增函数，最大值为f (2)，满足题意．当a ＜0时，只有当－2a ≥2，即－1≤a ＜0时，f (x )＝ax 2＋4x －3在x ∈[0，2]上为单调递增函数，最大值为f (2)，满足题意．综上，当a ≥－1时，函数f (x )＝ax 2＋4x －3在x ∈[0，2]上有最大值f (2)．答案：[－1，＋∞)思想诠释转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而解决问题的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为易解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．思想应用应用四特殊与一般的转化[典例4] 已知函数f (x )＝(a －3)x －ax 3在[－1，1]上的最小值为－3，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．[12，＋∞)C ．[－1，12]D ．⎣⎡⎦⎤－32，12 解析：当a ＝0时，函数f (x )＝－3x ，x ∈[－1，1]，显然满足条件，故排除选项A ，B ；当a ＝－32时，函数f (x )＝32x 3－92x ，f ′(x )＝92x 2－92＝92(x 2－1)，当－1≤x ≤1时，f ′(x )≤0，所以f (x )在[－1，1]上单调递减，所以f (x )min ＝f (1)＝32－92＝－3，满足条件，故排除C.综上，选D.答案：D常用的“特殊元素”有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．对于选择题，在题设条件都成立的情况下，用特殊值探求正确选项，即通过对特殊情况的研究来判断一般规律；对于填空题，当结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以用特殊值代替变化的不定量． [应用体验]4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等差数列，则cos A ＋cos C1＋cos A cos C＝________．解析：令a ＝b ＝c ，则△ABC 为等边三角形，且cos A ＝cos C ＝12，代入所求式子，得cos A ＋cos C 1＋cos A cos C ＝12＋121＋12×12＝45.答案：45应用五正与反的转化[典例5] 若对于任意t ∈[1，2]，函数g (x )＝x 3＋⎝⎛⎭⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t ，3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是________．解析：g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t ，3)上总为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t ，3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t ，3)上恒成立．由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x－3x ，当x ∈(t ，3)时恒成立，∴m ＋4≥2t －3t ，t ∈[1，2]恒成立，则m ＋4≥－1，即m ≥－5；由②得3x 2＋(m ＋4)x －2≤0，即m ＋4≤2x －3x ，当x ∈(t ，3)时恒成立，则m ＋4≤23－9，即m ≤－373.∴函数g (x )在区间(t ，3)上总不为单调函数的m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－373，－5. 答案：⎝⎛⎭⎫－373，－51．本题是正与反的转化，由于不为单调函数有多种情况，先求出其反面，体现“正难则反”的原则．2．题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命题情形的问题中． [应用体验]5．由命题“存在x 0∈R ，使e|x 0－1|－m ≤0”是假命题，得m 的取值范围是(－∞，a )，则实数a 的取值是( ) A ．(－∞，1) B ．(－∞，2) C ．1D ．2解析：选C.命题“存在x 0∈R ，使e|x 0－1|－m ≤0”是假命题，可知它的否定形式“任意x ∈R ，使e |x －1|－m ＞0”是真命题，可得m 的取值范围是(－∞，1)，而(－∞，a )与(－∞，1)为同一区间，故a ＝1.应用六主与次的转化[典例6] 已知函数f (x )＝x 3＋3ax －1，g (x )＝f ′(x )－ax －5，其中f ′(x )是f (x )的导函数．对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )＜0，则实数x 的取值范围为________．解析：由题意，知g (x )＝3x 2－ax ＋3a －5，令φ(a )＝(3－x )a ＋3x 2－5，－1≤a ≤1.(主次转化) 对－1≤a ≤1，恒有g (x )＜0，即φ(a )＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧φ（1）＜0，φ（－1）＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－x －2＜0，3x 2＋x －8＜0，解得－23＜x ＜1.故当x ∈⎝⎛⎭⎫－23，1时，对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )＜0. 答案：⎝⎛⎭⎫－23，1函数、方程与不等式相互转化的应用函数、方程与不等式就象“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系问题转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围． [应用体验]6．对于满足0≤p ≤4的所有实数p ，使不等式x 2＋px ＞4x ＋p －3成立的x 的取值范围是________．解析：设f (p )＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3，则当x ＝1时，f (p )＝0.所以x ≠1.f (p )在0≤p ≤4上恒为正，等价于⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＞0，f （4）＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧（x －3）（x －1）＞0，x 2－1＞0，解得x ＞3或x ＜－1.答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)限时规范训练(二十四)建议用时45分钟，实际用时________一、选择题(本题共6小题，每题5分，共30分)． 1．“(m －1)(a －1)＞0”是“log a m ＞0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选 B.(m －1)(a －1)＞0等价于⎩⎪⎨⎪⎧m ＞1，a ＞1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜1，a ＜1，而log a m ＞0等价于⎩⎪⎨⎪⎧m ＞1，a ＞1或⎩⎪⎨⎪⎧0＜m ＜1，0＜a ＜1，所以条件具有必要性，但不具有充分性，比如m ＝0，a ＝0时，不能得出log a m ＞0.2．若关于x 的不等式(a －2)x 2＋2(a －2)·x －4＜0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．[－2，2] C ．(－2，2]D ．(－∞，－2)解析：选C.当a －2＝0即a ＝2时，不等式为－4＜0，恒成立，所以a ＝2；当a －2≠0时，则a 满足⎩⎪⎨⎪⎧a －2＜0，Δ＜0，解得－2＜a ＜2，所以a 的取值范围是{a |－2＜a ≤2}．3．已知中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，则该双曲线的离心率为( ) A.54 B ．53C.54或53D ．35或45解析：选C.当焦点在x 轴上时，b a ＝34，此时离心率e ＝c a ＝54；当焦点在y 轴上时，a b ＝34，此时离心率e ＝c a ＝53，故选C.4．若正数x ，y 满足x 2＋3xy －1＝0，则x ＋y 的最小值是( ) A.23 B ．2 23C.33D ．2 33解析：选B.由x 2＋3xy －1＝0可得y ＝13⎝⎛⎭⎫1x －x ，所以x ＋y ＝x ＋13⎝⎛⎭⎫1x －x ＝2x 3＋13x ≥2 23⎝⎛⎭⎫当且仅当x ＝22时等号成立. 5．过抛物线y ＝ax 2(a ＞0)的焦点F ，作一直线交抛物线于P ，Q 两点．若线段PF 与FQ 的长度分别为p ，q ，则1p ＋1q 等于( )A ．2aB ．12aC ．4aD ．4a解析：选C.抛物线y ＝ax 2(a ＞0)的标准方程为x 2＝1a y (a ＞0)，焦点F ⎝⎛⎭⎫0，14a . 过焦点F 作直线垂直于y 轴，则|PF |＝|QF |＝12a， ∴1p ＋1q＝4a . 6．已知AB 为圆O ：(x －1)2＋y 2＝1的直径，点P 为直线x －y ＋1＝0上任意一点，则P A →·PB →的最小值为( ) A ．1 B ． 2 C ．2D ．2 2 解析：选A.由P A →·PB →＝(PO →＋OA →)·(PO →＋OB →)＝PO →2＋PO →·(OA →＋OB →)＋OA →·OB →＝PO →2－r 2，即为d 2－r 2，其中d 为点P 与圆心O 之间的距离，r 为圆的半径，因此当d 取最小值时，P A →·PB →取值最小，可知d 的最小值为|1－0＋1|2＝2，故P A →·PB →的最小值为1，故选A.二、填空题(本题共2小题，每小题5分，共10分)7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin （πx 2），－1＜x ＜0，e x －1，x ≥0，若f (1)＋f (a )＝2，则a 的所有可能值为________．解析：f (1)＝e 0＝1，即f (1)＝1. 由f (1)＋f (a )＝2，得f (a )＝1.当a ≥0时，f (a )＝1＝e a －1，所以a ＝1. 当－1＜a ＜0时，f (a )＝sin(πa 2)＝1，所以πa 2＝2k π＋π2(k ∈Z )．所以a 2＝2k ＋12(k ∈Z )，k 只能取0，此时a 2＝12.因为－1＜a ＜0，所以a ＝－22.故a ＝1或－22. 答案：1或－228．已知变量x ，y 满足的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k ＝________．解析：当k ＝0时，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的可行域如图①(阴影部分)所示，由图②可知，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的平面区域是直角三角形，只有直线y ＝kx ＋1与直线x＝0或y ＝2x 垂直时平面区域才是直角三角形．结合图形可知斜率k 的值为0或－12.答案：0或－12三、解答题(本题共2小题，每小题12分，共24分)9．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ； (2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求A 的值．解：(1)因为c ＝2，C ＝π3，所以由余弦定理得4＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab ，因为△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C ＝ 3，所以ab ＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2)因为sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，所以sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ，所以sin B cos A ＝2sin A cos A ， ①当cos A ＝0时，A ＝π2；②当cos A ≠0时，sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得a ＝2 33，b ＝4 33，所以b 2＝a 2＋c 2，因为C ＝π3，所以A ＝π6.综上所述，A ＝π2或A ＝π6.10．设a ＞0，函数f (x )＝12x 2－(a ＋1)x ＋a (1＋ln x )．(1)求曲线y ＝f (x )在(2，f (2))处与直线y ＝－x ＋1垂直的切线方程； (2)求函数f (x )的极值．解：(1)由已知，得x ＞0， f ′(x )＝x －(a ＋1)＋ax，又因为y ＝f (x )在(2，f (2))处切线的斜率为1，所以f ′(2)＝1，即2－(a ＋1)＋a2＝1，所以a ＝0，此时f (2)＝2－2＝0，故所求的切线方程为y ＝x －2.(2)f ′(x )＝x －(a ＋1)＋a x ＝x 2－（a ＋1）x ＋ax＝（x －1）（x －a ）x.①当0＜a ＜1时，若x ∈(0，a )，则f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增；若x ∈(a ，1)，则f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减；若x ∈(1，＋∞)，则f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增．此时x ＝a 是f (x )的极大值点，x ＝1是f (x )的极小值点，函数f (x )的极大值是f (a )＝－12a 2＋a ln a ，极小值是f (1)＝－12.②当a ＝1时，f ′(x )＝（x －1）2x ≥0，所以函数f (x )在定义域(0，＋∞)内单调递增，此时f (x )没有极值点，故无极值．③当a ＞1时，若x ∈(0，1)，则f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增；若x ∈(1，a )，则f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减；若x ∈(a ，＋∞)，则f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增．此时x ＝1是f (x )的极大值点，x ＝a 是f (x )的极小值点，函数f (x )的极大值是f (1)＝－12，极小值是f (a )＝－12a 2＋a ln a .综上，当0＜a ＜1时，f (x )的极大值是－12a 2＋a ln a ，极小值是－12；当a ＝1时，f (x )没有极值；当a ＞1时，f (x )的极大值是－12，极小值是－12a 2＋a ln a .。

高中数学“分类与整合思想”专题及专项训练

“分类与整合思想”专题及专项训练一、大纲解读分类与整合思想是数学中的一种重要思想,是历年高考考查的重点之一,此类试题具有明显的逻辑性、综合性、探索性的特点,在考试中的难度属中高档.高考对分类与整合思想的考查,主要有四个方面:一是考查有没有分类意识,遇到应该分类的情况,是否想到要分类,什么样的问题需要分类;二是如何分类,即要科学地分类,分类标准要统一,不重不漏;三是分类之后解题如何展开;四是如何整合.纵观近几年高考试题,通常是由参数的变化及变化过程需要一些条件限制而引起的分类讨论.归纳起来引起分类讨论的原因大致有五种:一是涉及的数学概念是分类定义的;二是运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的;三是求解的数学问题的结论有多种可能性;四是数学问题中含有参变量,这些参变量的不同取值会导致不同的结果;五是对较复杂或非常规的数学问题,需要采取分类讨论的解题策略来解决.二、高考预测预计2009年高考对分类与整合思想的考查可能会呈现以下趋势:试题将会在求解函数、数列、不等式、解析几何、立体几何、排列组合、概率等数学问题中出现,在解决含参数问题、绝对值问题、导数问题、最值问题上运用较多,在高考中所占的比重较大,且对理科要求较高,而对文科在这方面的要求可能相对较低.三、重点剖析重点1 对等比数列公比q 的分类讨论；对n 奇偶性的讨论；解分式不等式时分类讨论各因式的符号；运用比较法时对式子符号的讨论等等．例1 设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和),2,1( 0 =>n S n ．(Ⅰ)求q 的取值范围；(Ⅱ)设1223++-=n n n a a b ，记{}n b 的前n 项和为n T ，试比较n S 与n T 的大小．分析：由于涉及等比数列的前n 项和公式的应用，须分1q =和1q ≠讨论．欲比较n S 与n T 的大小，只须求出n S 与n T 后，再用作差法比较．解：(Ⅰ)因为}{n a 是等比数列，.0,0,011≠>=>q S a S n 可得当;0,11>==na S q n 时1(1)11,0,0,(1,2,)11n nn a q q q S n q q--≠=>>=--当时即上式等价于不等式组：),2,1(,01,01 =⎩⎨⎧<-<-n q q n① 或),2,1(,01,01 =⎩⎨⎧>->-n q q n② 解①式得q >1；解②，由于n 可为奇数、可为偶数，得－1<q <1．综上，q 的取值范围是).,0()0,1(+∞⋃-(Ⅱ)由2132n a n b a a ++=-得.)23(),23(22n n n n S q q T q q a b -=-=于是)123(2--=-q q S S T n n n ).2)(21(-+=q q S n又∵n S >0且－1<q <0或q >0．①当112q -<<-或2q >时0n n T S ->即n n T S >； ②当122q -<<且q ≠0时，0n n T S -<即n n T S <； ③当12q =-或q =2时，0n n T S -=即n n T S =．点评：该例中在使用等比数列的前n 项和公式n S ，须分1q =和1q ≠讨论，不要忽视1q =的情况．在第二小问中，抓住2132n a n b a a ++=-，利用等比数列的通项公式，巧妙的把n b 转化成.)23(),23(22n n n n S q q T q q a b -=-=最后，作差比较n S 与n T ，即)123(2--=-q q S S T n n n ).2)(21(-+=q q S n ，为确定差的符号，故对q 进行分类讨论．重点2 指数函数(01)xy a a a =>≠且和对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且的单调性研究时对底数进行分类讨论例2如果函数22()(31)(01)x x f x a a a a a =-+>≠且在区间[)0+，∞上是增函数，那么实数a 的取值范围是( )Ａ．203⎛⎤ ⎥⎝⎦，Ｂ．1⎫⎪⎪⎣⎭Ｃ．(Ｄ．32⎡⎫+⎪⎢⎣⎭，∞ 分析：本题在用复合函数单调性判断时，需要对底数a 进行分类讨论．解：令xu a =，则外层函数为22(31)y u a u =-+．①若a >1，则内层函数xu a =在[)0+，∞上是增函数，其值域是{|1}u u ≥，要使函数22()(31)x x f x a a a =-+在区间[)0+，∞上是增函数，所以需要外层函数22(31)y u a u =-+在[1,)u ∈+∞上是增函数，所以对称轴23112a u +=≤，213a ∴≤，这与a >1矛盾；②若0<a <1，则xu a =在[)0+，∞上是减函数，其值域是{|01}u u <≤．要使函数22()(31)x x f x a a a =-+在区间[)0+，∞上是增函数，所以需要外层函数22(31)y u a u =-+在(0,1]u ∈上是减函数，所以对称轴23112a u +=≥，∴213a ≥，∴实数a 的取值范围是，选B ．点拔：复合函数单调性判断要注意四点：①内层函数xu a =的值域是外层函数22(31)y u a u =-+的定义域．②内层函数xu a =与复合函数22()(31)x x f x a a a =-+定义域相同，都是[)0+，∞；③分类与整合的思想方法的运用；④一元二次函数单调性要依其图象对称轴的位置来判断．重点3 对于含有参数函数问题，在研究导函数时往往要运用分类与整合的思想例3求函数323()(1)3(1)2f x ax a x x a x R =+-->-∈，取极小值时x 的值．分析：首先确定2'()33(1)3f x ax a x =+--是否为二次函数，故分0a =和0a ≠讨论，若0a ≠时，求f ′(x )=0的实根，进而划分其单调区间，确定极小值．解：2'()33(1)3f x ax a x =+--.(1)当0a =时，'()f x = 33x --.令'()f x =0，得1x =-，下面列出x ，'()f x ，()f x 的对应值表如下：(2)当0a ≠时，'()f x = 13(1)(1)3()(1)ax x a x x a-+=-+，令'()f x =0，得1x a=或1x =-，则 ①当a >0时，11>-，下面列出x ，'()f x ，f (x )的对应值表如下：所以，函数f (x )在x a =处取得极小值()f a ． ②当1-<a <0时，因11(1)0a a a+--=>，所以1< —1，则下面列出x ，'()f x ，f (x )的对应值表如下：此时，函数f (x )在x a =处取得极小值()f a．综上所述：当a >0或1-<a <0时，函数f (x )在1x a=处取得极小值．点拔：结合函数、导数内容考查分类与整合思想是近几年高考热点．本题首先弄清导函数是否为二次函数，分0a =与0a ≠讨论，做第一层面讨论；当0a ≠时，f ′(x )为二次函数，其图象为抛物线，但开口方向不确定，所以做第二层面的讨论；为了划分单调区间，应该比较'()f x =0的两根的大小．重点4 整体观察，化繁为简例4 (08年高考四川卷理11)设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ⋅+=，若()12f =，则()99f =( )（Ａ）13 （Ｂ）2 （Ｃ）132 （Ｄ）213解析：∵函数()f x 满()()213f x f x ⋅+=， ∴ ()()1342=+⋅+x f x f ， ∴()()()()1313242=+⋅+⋅+x f x f x f x f ，∴()()x f x f =+4， ∴函数()x f 为周期是4的周期函数.∴()()()21244197==⨯+=f f f ， ∴()()139799=⋅f f ,故()21399=f . 点评：该题主要考察学生的整体观察能力，即不要()()213f x f x ⋅+=将割裂来求，否则加大了运算难度.如: ∵()()213f x f x ⋅+=且()12f =，∴()12f =，()()1313312f f ==，()()13523f f ==，()()1313752f f ==，()()13925f f ==，，∴()221132n f n n ⎧⎪-=⎨⎪⎩为奇数为偶数，∴()()1399210012f f =⨯-= ，故选C. 重点5 整体构造（式或形），化难为易例5(07年高考陕西卷理5)已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项的和，且14,23==n n S S ，则n S 4=( ).A.80B.30C.26D.16解析：此题若考虑用求和公式，不仅计算量较大，而且对公比q 还要考虑1,1≠=q q 进行分类讨论，若注意到n S ，n S 2，n S 3,n S 4依次相差n 项，以此构造四个整体：n n n n n S S S S S 232,,--，n n S S 34-通过分析可知这三个数构成等比数列。

常见的数学思想方法

常见的数学思想方法：分类与整合解题时，我们常常遇到这样一种情况，解到某一步之后，不能再以统一方法，统一的式子继续进行了，因为这时被研究的问题包含了多种情况，这就必须在条件所给出的总区域内，正确划分若干个子区域，然后分别在各个子区域内进行解题，当分类解决完这个问题后，还必须把它们总合在一起，因为我们研究的毕竟是这个问题的全体，这就是分类与整合的思想。

有分有合，先分后合，不仅是分类与整合的思想解决问题的主要过程，也是这种思想方法的本质属性。

高考将分类与整合的思想放在比较重要的位置，并以解答题为主进行考查，考查时要求考生理解什么样的问题需要分类研究，为什么要分类，如何分类以及分类后如何研究与最后如何整合。

特别注意引起分类的原因，我们必须相当熟悉，有些概念就是分类定义的，如绝对值的概念、整数分为奇数偶数等，有些运算法则和公式是分类给出的，例如等比数列的求和公式就分为q=1和q≠1两种情况，对数函数的单调性就分为a>1，0高考对分类与整合的思想的考查往往集中在含有参数的解析式，包括函数问题，数列问题和解析几何问题等。

此外，排列组合的问题，概率统计的问题也考查分类与整合的思想。

随着新课程高考在全国的实施，在新增内容中考查分类与整合的思想，窃以为，是今后几年高考命题的重点之一。

：函数与方程著名数学家克莱因说“一般受教育者在数学课上应该学会的重要事情是用变量和函数来思考”。

一个学生仅仅学习了函数的知识，他在解决问题时往往是被动的，而建立了函数思想，才能主动地去思考一些问题。

函数是高中代数内容的主干，函数思想贯穿于高中代数的全部内容，函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象、概括与提炼，是从函数各部分内容的内在联系和整体角度来考虑问题，研究问题和解决问题。

所谓方程的思想就是突出研究已知量与未知量之间的等量关系，通过设未知数、列方程或方程组，解方程或方程组等步骤，达到求值目的解题思路和策略，它是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础。

数学思想之分类及整合思想和化归及转化思想

第23讲 │ 要点热点探究
x≥0，设 x，y 满足约束条件y≥x，
4x＋3y≤12，
则x＋x＋2y＋2,6]
C．[3,10]
D．[3,11]
第23讲 │ 要点热点探究
D 【解析】目标的几何意义不明显，可以变换为 1＋2·xy＋＋11，其中xy＋＋11的
第23讲 │ 要点热点探究
fnf＋n1＝1＋131＋2n15＋…11＋＋12n1＋1×
1＋131＋152n…＋11＋2n1－1＝
2n＋1 4n＋12－1>
24nn＋＋112＝1，
即 f(n＋1)>f(n)，即函数 f(n)单调递增，所以 f(n)>f(2)．
4
f(2)＝
3＝ 5
16 45>
1664＝12，故 f(n)>12，
第23讲 │ 要点热点探究
n∈N，n>1.求证：1＋131＋15…1＋2n1－1>
2n＋1 2.
【解答】证明：问题等价于证明 1＋131＋152n…＋11＋2n1－1>12，构造函数 f(n)＝1＋131＋152n…＋11＋2n1－1，通过函数的单调性解决问题．设 f(n)＝1＋131＋152…n＋1＋1 2n1－1(n≥2)，则
(1)若 0<a<12，则 x2>x1.当 0<x<1 或者 x>1a－1 时，f′(x)<0；当 1<x<1a－1 时，f′(x)>0.故此时函数 f(x)的单调递减区间是(0,1)，a1－1，＋∞，单调递增区间是1，1a－1.
(2)若 a＝12时，x1＝x2，此时 f′(x)≤0 恒成立，且仅在 x＝12处等于零，故此时函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递减；

2014年高考三轮复习数学思想方法专题三分类与整合思想教师版

3．(2012·四川)函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象可能是()
答案D解析当a>1时，y＝ax－为增函数，且在y轴上的截距为0<1－<1，排除A，B.
当0<a<1时，y＝ax－为减函数，且在y轴上的截距为1－<0，故选D.
4．(2013·天津)已知函数f(x)＝x(1＋a|x|)．设关于x的不等式f(x＋a)<f(x)的解集为A.若
2．(2011·课标全国)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ等于()
A．－B．－C.D.
答案B解析设P(t,2t)(t≠0)为角θ终边上任意一点，则cosθ＝.当t>0时，cosθ＝；当t<0时，cosθ＝－.因此cos2θ＝2cos2θ－1＝－1＝－.
(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等．
(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等．
答案B解析f(1)＝e0＝1，即f(1)＝1.当a≥0时，f(a)＝1＝ea－1，∴a＝1.
当－1<a<0时，f(a)＝sin(πa2)＝1，∴πa2＝2kπ＋(k∈Z)．
∴a2＝2k＋(k∈Z)，k只取0，此时a2＝.∵－1<a<0，∴a＝－.
反思归纳(1)分段函数在自变量不同取值范围内，对应关系不同，必须进行讨论．由数学定义引发的分类讨论一般由概念内涵所决定，解决这类问题要求熟练掌握并理解概念的内涵与外延．
总之，分类讨论要明确讨论的原因和对象，确定讨论标准，最后要对讨论进行总结；可以不分类的就不要分类讨论．

(word完整版)高中数学七大数学基本思想方法(2021年整理)

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高中数学七大数学基本思想方法第一：函数与方程思想(1)函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼,在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时,起着重要作用。

（2)方程思想是解决各类计算问题的基本思想,是运算能力的基础。

考把函数与方程思想作为七种重要思想方法重点来考查。

第二：数形结合思想（1)数学研究的对象是数量关系和空间形式,即数与形两个方面(2）在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系，形结合中，选择、填空侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑推理论证严密性，突出形到数的转化。

第三：分类与整合思想（1)分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法。

（2)从具体出发，选取适当的分类标准.（3）划分只是手段，分类研究才是目的。

（4）有分有合，先分后合,是分类整合思想的本质属性.（5）含字母参数数学问题进行分类与整合的研究，重点考查学生思维严谨性与周密性。

第四：化归与转化思想(1）将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决题化归为已解决问题。

（2）灵活性、多样性,无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法。

（3)高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化.第五：特殊与一般思想（1）通过对个例认识与研究，形成对事物的认识.（2）由浅入深,由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论。

思想方法第三讲分类与整合思想

第三讲分类与整合思想Z 知识整合hi shi zheng he一、分类与整合思想的含义分类与整合思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要把研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．实质上，分类与整合是“化整为零，各个击破，再积零为整”的解题策略．二、分类与整合的常见类型有关分类与整合的数学问题需要运用分类与整合思想来解决，引起分类与整合的原因大致可归纳为如下几种：1．由数学概念引起的分类与整合：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．2．由性质、定理、公式的限制引起的分类与整合：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n 项和公式、函数的单调性等．3．由数学运算要求引起的分类与整合：如除法运算中除数不为零，偶次方根被开方数为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．4．由图形的不确定性引起的分类与整合：有的图形类型、位置需要分类，如角的终边所在的象限，点、线、面的位置关系等．5．由参数的变化引起的分类与整合：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．6．由实际意义引起的讨论：此类问题常常出现在应用题中．命题方向1 由概念、法则、公式引起的分类与整合例1 已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝－32. [解析] 当a >1时，函数f (x )＝a x＋b 在[－1,0]上为增函数，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，无解．当0<a <1时，函数f (x )＝a x＋b 在[－1,0]上为减函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－32.『规律总结』“四步”解决由概念、法则、公式引起的分类与整合问题第一步：确定分类对象：一般把需要用到概念、法则、公式解决问题的对象作为分类目标．第二步：确定分类标准：运用概念、法则、公式对分类对象进行区分．第三步：分类解决“分目标”：对分类出来的“分目标”分别进行处理．第四步：汇总“分目标”：将“分目标”问题进行汇总，并作进一步处理． G 跟踪训练en zong xun lian1．若函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在区间[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在区间[0，＋∞)上是增函数，则a ＝14.[解析] 若a >1，则a 2＝4，a －1＝m ，此时a ＝2，m ＝12，此时g (x )＝－x 在[0，＋∞)上为减函数，不合题意．若0<a <1，有a －1＝4，a 2＝m ，故a ＝14，m ＝116，此时g (x )＝34x 在[0，＋∞)上为增函数，符合题意．综上可知，a ＝14.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin (πx 2)，－1<x <0，e x －1，x ≥0若f (1)＋f (a )＝2，则a 的所有可能值为1或－2[解析] f (1)＝e 0＝1，，即f (1)＝1，由f (1)＋f (a )＝2，得f (a )＝1.当a ≥0时，f (a )＝1＝e a －1，所以a ＝1，当－1<a <0时，f (a )＝sin(πa 2)＝1，所以πa 2＝2k π＋π2(k ∈Z )．所以a 2＝2k ＋12(k ∈Z )，k 只能取0，此时a 2＝12.因为－1<a <0，所以a ＝－22.故a ＝1或－22. 命题方向2 由图形位置或形状引起的分类与整合例2 (1)在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，y ＋x ≤s ，y ＋2x ≤4下，当3≤s ≤5时，z ＝3x ＋2y 的最大值的变化范围是( D )A ．[6,15]B ．[7,15]C ．[6,8]D ．[7,8][解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝s ，y ＋2x ＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－s ，y ＝2s －4，取点A (2,0)，B (4－s,2s －4)，C (0，s )，C ′(0,4)． ①当3≤s <4时，可行域是四边形OABC ，如图1所示．此时，7≤z <8.②当4≤s ≤5时，此时可行域是△OAC ′，如图2所示，z max ＝8. 综上，z ＝3x ＋2y 最大值的变化范围是[7,8]．(2)设圆锥曲线T 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线T 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线T 的离心率为12或32.[解析] 不妨设|PF 1|＝4t ，|F 1F 2|＝3t ，|PF 2|＝2t ，若该圆锥曲线为椭圆，则有|PF 1|＋|PF 2|＝6t ＝2a ， |F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 6t ＝12；若该圆锥曲线是双曲线，则有|PF 1|－|PF 2|＝2t ＝2a ， |F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝3t 2t ＝32.所以圆锥曲线T 的离心率为12或32.『规律总结』图形位置或形状的变化中常见的分类圆锥曲线形状不确定时，常按椭圆、双曲线来分类讨论，求圆锥曲线的方程时，常按焦点的位置不同来分类讨论；相关计算中，涉及图形问题时，也常按图形的位置不同、大小差异等来分类讨论．G 跟踪训练en zong xun lian(2017·郑州三模)设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点．已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1||PF 2|的值为72或2. [解析] 若∠PF 2F 1＝90°.则|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2，又因为|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝25，解得|PF 1|＝143，|PF 2|＝43，所以|PF 1||PF 2|＝72.若∠F 1PF 2＝90°，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，所以|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2＝20.所以|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，所以|PF 1||PF 2|＝2.综上知，|PF 1||PF 2|＝72或2.命题方向3 由变量或参数引起的分类与整合(文)例3 设函数f (x )＝x 3－ax －b ，x ∈R ，其中a ，b ∈R .求f (x )的单调区间．[思路探究] 看到求f (x )＝x 3－ax －b 的单调区间，想到对参数a 进行分类整合，分为a ≤0和a >0两种情况．[解析] 由f (x )＝x 3－ax －b ，可得f ′(x )＝3x 2－a . 下面分两种情况讨论：①当a ≤0时，f ′(x )＝3x 2－a ≥0恒成立．所以f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)． ②当a ＞0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝3a 3或x ＝－3a3. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化如表：所以f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－3a 3，3a 3，单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－3a 3，⎝⎛⎭⎫3a 3，＋∞.『规律总结』几种常见的由参数变化引起的分类与整合 (1)含有参数的不等式的求解． (2)含有参数的方程的求解．(3)对于解析式系数是参数的函数，求最值与单调性问题． (4)二元二次方程表示曲线类型的判定等． (5)直线与圆锥曲线位置关系的分类． (理)例3 已知函数g (x )＝axx ＋1(a ∈R )，f (x )＝ln(x ＋1)＋g (x )．(1)若函数g (x )过点(1,1)，求函数f (x )的图象在x ＝0处的切线方程； (2)判断函数f (x )的单调性． [解析] (1)因为函数g (x )过点(1,1)，所以1＝a1＋1，解得a ＝2，所以f (x )＝ln(x ＋1)＋2xx ＋1.所以f ′(x )＝1x ＋1＋2(x ＋1)2＝x ＋3(x ＋1)2. 所以f ′(0)＝3.所以所求的切线的斜率为3. 又f (0)＝0，所以切点为(0,0)．故所求的切线方程为y ＝3x .(2)因为f (x )＝ln(x ＋1)＋ax x ＋1(x >－1)，所以f ′(x )＝1x ＋1＋a (x ＋1)－ax (x ＋1)2＝x ＋1＋a (x ＋1)2.①当a ≥0时，因为x >－1，所以f ′(x )>0. ②当a <0时，由⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )<0，x >－1，得－1<x <－1－a ；由⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )>0，x >－1，得x >－1－a . 综上可知，当a ≥0时，函数f (x )在(－1，＋∞)内单调递增；当a <0时，函数f (x )在(－1，－1－a )内单调递减，在(－1－a ，＋∞)内单调递增．『规律总结』1．几种常见的由参数变化引起的分类讨论 (1)含有参数的不等式的求解． (2)含有参数的方程的求解．(3)对于解析式系数是参数的函数，求最值与单调性问题． (4)二元一次方程表示曲线类型的判定等． 2．利用分类讨论思想的注意点(1)分类讨论要标准统一，层次分明，分类要做到“不重不漏”．(2)分类讨论时要根据题设条件确定讨论的级别，再确定每级讨论的对象与标准，每级讨论中所分类别应做到与前面所述不重不漏．(3)讨论结果归类合并，最后整合时要注意是取交集、并集，还是既不取交集也不取并集只是分条列出．G 跟踪训练en zong xun lian当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是(－∞，32]. [解析] 由约束条件作可行域如图，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋2y －4＝0，解得C (1，32)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，x ＋2y －4＝0，解得B (2,1)．在x －y －1＝0中取y ＝0得A (1,0)．由ax ＋y ≤4得y ≤－ax ＋4，要使ax ＋y ≤4恒成立，则平面区域在直线y ＝－ax ＋4的下方，若a ＝0，则不等式等价于y ≤4，此时满足条件，若－a >0，即a <0，平面区域满足条件，若－a <0，即a >0时，要使平面区域在直线y ＝－ax ＋4的下方，则只要B 在直线上或直线下方即可．即2a ＋1≤4，得0<a ≤32.综上a ≤32.所以实数a 的取值范围是(－∞，32]．。

高中数学思想方法专题

高中数学思想方法专题复习高考数学是以能力立意，一是考察数学的基础知识，基本技能，二是考察基本数学思想方法，考查数学的思维深度、广度、宽度，数学思想方法是指从数学的角度来认识、处理和解决问题，是数学意识，是数学技能的升华和提高，中学数学思想方法主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想、有限与无限思想、或然与必然思想。

1．函数与方程思想(1)函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立各变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用函数的有关性质，使问题得到解决；(2)方程思想的实质就是将所求的量设成未知数，用它表示问题中的其他各量，根据题中隐含的等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，以求得问题的解决；(3)函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的，函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系．例题选讲⑴ ()133+-=x ax x f 对于[]11,x -∈总有()0≥x f 成立，则______a =⑵ 设()()x g x f 、分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0<x 时，()()()(),x 'g x f x g x f '0>+且(),g 03=-则不等式()()0<x g x f 的解集是________.变式训练1、 ⑴ 若方程0=+-a x sin x cos 2在⎥⎦⎤ ⎝⎛20π，上有解，则实数a 的取值范围是___________.⑵ 已知()[]822,t ,t log x f ∈=，对于()t f 值域内的所有的实数m ，不等式x m mx x 4242+>++恒成立，则x 的取值范围是__________2．数形结合思想(1)根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面；(2)数形结合是数学解题中常用的思想方法，运用数形结合思想，使某些抽象的数学问题直观化、形象化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，发现解题思路，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程；(3)数形结合的重点是研究“以形助数”，这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野例题选讲⑴ 设()f x 是定义在R 上的偶函数， R x ∀∈，都有()()22f x f x -=+，且当[]0,2x ∈时， ()22x f x =-，若函数()()()log 1a g x f x x =-+（0,1a a >≠）在区间(]1,9-内恰有三个不同零点，则实数a 的取值范围是（）A. 11,95⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭B. (1,19⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭C. )10,9⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭ D. )11,73⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭⑵ 已知函数()f x 满足:(1)定义域为R ；（2）对任意R x ∈，有)(2)2(x f x f =+；（3）当]1,1[-∈x 时，,1||)(+-=x x f 则方程||log )(4x x f =在区间]10,10[-内的解集个数是____________.变式训练2、⑴ 设函数()f x 的定义域为D ，如果存在正实数k ，使对任意x D ∈，都有x k D +∈，且()()f x k f x +>恒成立，则称函数()f x 为D 上的“k 型增函数”．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()||2f x x a a =--，若()f x 为R 上的 “2018型增函数”，则实数a 的取值范围是．⑵ 已知函数()()2log 02{ 424x x f x f x x <≤=-<<，设方程()()1x f x t t R e-=∈的四个不等实根从小到大依次为1234,,,x x x x ，则下列判断中一定成立的是（） A.1212x x += B. 1214x x << C. 3449x x << D. ()()340444x x <--<⑶ 已知函数(),x sin x f =若存在,x ,x ,x m 21满足,x x x m π1008021≤<<<≤ 且()()()()()()，201613221=-++-+--m m x f x f x f x f x f x f ()*N m ,m ∈≥2，则m 的最小值为________.3．分类与整合思想在解某些数学问题时，我们常常会遇到这样一种情况：解到某一步之后，发现问题的发展是按照不同的方向进行的．当被研究的问题包含了多种情况时，就必须抓住主导问题发展方向的主要因素，在其变化范围内，根据问题的不同发展方向，划分为若干部分分别研究．这里集中体现的是由大化小，由整体化为部分，由一般化为特殊的解决问题的方法，其研究的基本方向是“分”，但分类解决问题之后，还必须把它们整合在一起，这种“合—分—合”的解决问题的思想，就是分类与整合思想．例题选讲⑴ 设函数()⎩⎨⎧≥<-=12113x ,x ,x x f x ，则满足()()()a f a f f 2=的取值范围是_______________。

高考数学二轮复习攻略二分类与整合思想、化归与转化思想

【高考解码】（新课标）2015届高考数学二轮复习攻略二分类与整合思想、化归与转化思想一、分类与整合思想分类与整合思想又叫分类讨论思想．分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决．分类讨论思想覆盖面广，利于考查学生的逻辑思维能力，同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，应用分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏地分析讨论”．在高考中必定考查分类讨论，特别是这几年的压轴题．预测在2015年的高考题中：继续与函数综合考查，结合函数与方程思想以及等价转化思想，考查学生分析问题、解决问题的能力．分类讨论思想解题的步骤为：(1)确定分类讨论的对象：即对哪个参数进行讨论；(2)对所讨论的对象进行合理的分类(分类时要做到不重复、不遗漏、标准要统一、分层不越级)；(3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决：(4)归纳总结：将各类情况归纳与总结．1．由概念、法则、公式引起的分类讨论(1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线与平面所成的角、直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等．(2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列{a n }的前n 项和S n 公式等．(3)由函数的性质，定理，公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性，基本不等式等．【例1】 (1)已知圆x 2＋y 2＝4，则经过点P (2,4)，且与圆相切的直线方程为________．(2)若log a 23<1，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23∪(1，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ (3)等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值是( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或12【解析】 (1)当直线的斜率不存在时，x ＝2与圆相切，合题意．当直线的斜率存在时，设直线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y －2k ＋4＝0.由题意得|－2k ＋4|k 2＋1＝2.即k ＝34，所以直线方程为x ＝2或3x －4y ＋10＝0. (2)由log a 23<1得log a 23<log a a .当a >1时，a >23，所以a >1；当0<a <1时，a <23，所以0<a <23.所以a 的取值范围是(0，23)∪(1，＋∞)．故选C. (3)当q ＝1时，S 3＝3a 3＝21，∴合题意．当q ≠1时，S 3＝a 1－a 3q 1－q ＝21，且a 3＝7，∴q ＝－12，故选C. 【答案】 (1)x ＝2或3x －4y ＋10＝0 (2)C (3)C2．由变量或参数引起的分类讨论由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等．所以对分类复杂的参数讨论题，必须科学的选定分类标准，使分类有条不紊，解答自然流畅．【例2】已知a ∈R ，求函数f (x )＝x 2|x －a |在区间[1,2]上的最小值．【解】设函数f (x )＝x 2|x －a |在区间[1,2]上的最小值为m .①当a ≤1时，在区间[1,2]上，f (x )＝x 3－ax 2，因为f ′(x )＝3x 2－2ax ＝3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23x >0，x ∈(1,2)，则f (x )是区间[1,2]上的增函数，所以m ＝f (1)＝1－a .②当1<a ≤2时，在区间[1,2]上，f (x )＝x 2|x －a |≥0，由f (a )＝0，知m ＝f (a )＝0.③当a >2时，在区间[1,2]上，f (x )＝ax 2－x 3，f ′(x )＝2ax －3x 2＝3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a －x . 若a ≤3，在区间(1,2)上，f ′(x )>0，则f (x )是区间[1,2]上的增函数，所以m ＝f (1)＝a －1；若2<a <3，则1<23a <2，当1<x <23a 时，f ′(x )>0，则f (x )是区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，23a 上的增函数，当23a <x <2时，f ′(x )<0，则f (x )是区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤23a ，2上的减函数，因此当2<a <3时，m ＝f (1)＝a －1或m ＝f (2)＝4(a －2)．当2<a ≤73时，4(a －2)≤a －1，故m ＝f (2)＝4(a －2)，当72<a <3时，4(a －2)>a －1，故m ＝f (1)＝a －1. 综上所述，函数的最小值m ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a ，a ≤1，0，1<a ≤2，4a －2，2<a ≤73，a －1，a >73.3．由图形位置或形状引起的分类讨论几类常见的由图形的位置或形状变化引起的分类讨论(1)二次函数对称轴的变化；(2)函数问题中区间的变化；(3)函数图象形状的变化；(4)直线由斜率引起的位置变化；(5)圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化；(6)立体几何中点、线、面的位置变化等．【例3】 (1)(2014·河南三市联考)若椭圆x 2m ＋y 28＝1的焦距为2，则m 的值为( ) A ．9 B ．9或16 C ．7 D ．9或7(2)已知k ∈Z ，AB →＝(k,1)，AC →＝(2,4)，若|AB →|≤4，则△ABC 是直角三角形的概率为( )A.17B.27C.37D.47【解析】 (1)当焦点在x 轴上时，2m －8＝2，∴m ＝9.当焦点在y 轴上时，28－m ＝2，∴m ＝7.故选D.(2)由AB →＝(k,1)，且|AB →|≤4得k 2＋1≤4，∴k 2≤15，∴k ＝－3，－2，－1,0,1,2,3.当∠A 是直角时，AB →·AC →＝0，∴2k ＋4＝0，∴k ＝－2，合题意．当∠B 是直角时，BA →＝(－k ，－1)，BC →＝BA →＋AC →＝(－k ＋2,3)，由BA →·BC →＝0得(－k )(－k ＋2)＋(－1)×3＝0，∴k 2－2k －3＝0，∴k ＝3或k ＝－1，合题意．当∠C 是直角时，CA →＝(－2，－4)，CB →＝CA →＋AB →＝(k－2，－3)，由CA →·CB →＝0得(－2)(k －2)＋(－4)(－3)＝0，∴k ＝8，不合题意．故△ABC 是直角三角形的概率为37. 【答案】 (1)D (2)C二、化归与转化思想高中阶段，几乎每一个题目都要用到这一思想方法，而重视对化归与转化思想的考查，已是高考数学命题多年来所坚持的方向，并以各种不同的层次融入试题中，通过对转化与化归思想方法的运用，对考生的数学能力进行区分．转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时思维受阻或寻求简单方法，从一种状况转化为另一种情形，也就是转化到另一种情境，使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略．同时也是成功的思维方式．1．由等与不等引起的化归与转化函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等式关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围．【例4】 (1)设x ，y 为正实数，若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________．(2)若关于x 的方程9x ＋(4＋a )·3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围是________．【解析】 (1)∵4x 2＋y 2＋xy ＝1，∴(2x ＋y )2＝3xy ＋1＝32×2xy ＋1≤32×(2x ＋y 2)2＋1， ∴(2x ＋y )2≤85， ∴2x ＋y 的最大值为2105. (2)设t ＝3x ，则原命题等价于关于t 的方程t 2＋(4＋a )t ＋4＝0有正解．分离变量a ，得a ＋4＝－(t ＋4t)， ∵t >0，∴－(t ＋4t)≤－4， ∴a ≤－8，即实数a 的取值范围是(－∞，－8]．【答案】 (1)2105(2)(－∞，－8] 2．由特殊与一般引起的化归与转化特殊与一般转化法是在解决问题过程中将某些一般问题进行特殊化处理或将某些特殊问题进行一般化处理的方法．这类转化法一般的解题步骤是：第一步：确立需转化的目标问题：一般将要解决的问题作为转化目标．第二步：寻找“特殊元素”与“一般元素”：把一般问题转化为特殊问题时，寻找“特殊元素”把特殊问题转化为一般问题时，寻找“一般元素”．第三步：确立新目标问题：根据新确立的“特殊元素”或者“一般元素”明确其与需要解决问题的关系，确立新的需要解决的问题．第四步：解决新目标问题：在新的板块知识背景下用特定的知识解决新目标问题．第五步：回归目标问题．第六步：回顾反思：常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．对于选择题，当题设在普通条件下都成立时，用特殊值进行探求，可快捷地得到答案；对于填空题，当填空题的结论唯一或题设条件提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案．【例5】若椭圆C 的方程为x 25＋y 2m＝1，焦点在x 轴上，与直线y ＝kx ＋1总有公共点，那么m 的取值范围为________．【解析】 x 25＋y 2m＝1的焦点在x 轴上，∴0<m <5. 又直线与椭圆总有公共点，直线恒过点(0,1)，则定点(0,1)必在椭圆内部或边界上．则025＋12m≤1，即m ≥1. 故m 的取值范围为[1,5)．【答案】 [1,5)3．由正与反引起的化归与转化正难则反，利用补集求得其解，这就是补集思想，一种充分体现对立统一、相互转化的思想方法．一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”“至少”情形的问题中．【例6】若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是________．【解析】 g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t,3)上总为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t,3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t,3)上恒成立．由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x －3x ，当x ∈(t,3)时恒成立，∴m ＋4≥2x－3x 恒成立，∴m ＋4≥－1，∴m ≥－5.由②得3x 2＋(m ＋4)x －2≤0，即m ＋4≤2x－3x ，当x ∈(t,3)时恒成立，∴m ＋4≤23－9，m ≤－373. ∴函数g (x )在区间(t,3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－373<m <－5. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－5。

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[思考流程] (分析)推理)具体求解概率 ⇨ (结论)比较即得结论．
[答案] D
[解析] 从集合 A 和 B 中随机取一个数 a 和 b，共有 6 种等可能结果，分别为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)．当 n＝2 时，落在直线 x＋y＝2 上的点为(1,1)；当 n＝3 时，落在直线 x＋y＝3 上的点为(1,2)，(2,1)；当 n＝4 时，落在直线 x＋y＝4 上的点为(1,3)，(2,2)；当 n＝5 时，落在直线 x＋y 1 ＝5 上的点为(2,3)．显然当 n＝3,4 时，事件 Cn 的概率最大为 . 3 选 D.
圆C1：(x－3)2＋y2＝4内部的部分，设AB方程为y＝k1x，当
2 2 2 y ＝ k x x ＋ y －6x＋5＝0 ⇒(k 1 AB与圆C1相切时＋1)x2－ 1

6x＋5＝0， 2 2 由Δ＝36－4×5×(k1＋1)＝0得k1＝± 5 ， 5
5 5 代入方程组得x＝3，因此x∈3，3 . 3 9 2 5 2 即x－2 ＋y ＝43＜x≤3 .
[思考流程] (条件)函数解析式 ⇨ (目标)讨论 f(x)的单调性 ⇨ (方法)讨论导数的符号，求出导数后，根据字母 a 的取值范围确定问题的解决方向．
解：f(x)的定义域是(0，＋∞)， 2 2 a x －ax＋2 f′(x)＝1＋ 2－x＝ . x x2 设 g(x)＝x2－ax＋2，二次方程 g(x)＝0 的判别式 Δ＝a2－8. ①当 Δ＝a2－8<0，即 0<a<2 2时，对一切 x>0 都有 f′(x)>0，此时 f(x)在(0，＋∞)上是增函数． ②当 Δ＝a2－8＝0，即 a＝2 2时，仅对 x＝ 2有 f′(x)＝0，对其余的 x>0 都有 f′(x)>0，此时 f(x)在(0，＋∞)上也是增函数． ③当 Δ＝a2－8>0，即 a>2 2时， a－ a2－8 a＋ a2－8 方程 g(x)＝0 有两个不同的实根 x1＝， x2＝， 2 2 0<x1<x2.
[点评] 本题所依托的概率知识很简单，试题在考查概率基础知识的同时重点考查分类与整合思想，在分各种情况解决问题后，最后要落实到问题的结论上，即要对分类的结果进行整合．
变式题
(1)设函数 f(x)＝sin3x＋|sin3x|，则 f(x)为( 2π A．周期函数，最小正周期为 3 π B．周期函数，最小正周期为 3 C．周期函数，最小正周期为 2π D．非周期函数
)
[答案] A
[解析] 不变．
2sin3x，sin3x≥0， f(x)＝sin3x＋|sin3x|＝ 0，sin3x<0，
周期
(2)已知各项均为正数的数列{an}，其前n项和为Sn，且 an＋1 an Sn＝( Sn－1 ＋ a1 ) (n≥2)，若bn＝ a ＋，且数列{bn}的 a n 2 n＋1
专题
数学思想方法
第三讲分类与整合思想
1.分类与整合思想解答数学问题，按照问题的不同发展方向分别进行解决的思想方法就是分类思想；把一个问题中各个解决的部分，进行合并、提炼得出整体结论的思想方法就是整合思想．
要点热点探究
► 探究点一分类与整合思想的应用例 1 设集合 A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，分别从集合 A 和 B 中随机取一个数 a 和 b，确定平面上的一个点 P(a，b)，记“点 P(a，b)落在直线 x＋y＝n 上”为事件 Cn(2≤n≤5，n∈N)，若事件 Cn 的概率最大，则 n 的所有可能值为( ) A．3 B． 4 C．2 和 5 D．3 和 4
2
4n ＋6n 2n＋1 前n项和为Tn，则Tn＝________.
[解析] 由题意可得，Sn>0，因为Sn＝(
Sn－1
＋
a1)2(n≥2)，所以 Sn ＝ Sn－1 ＋ a1 ，即数列{ Sn}是以 S1 ＝ a1为首项，以 a1为公差的等差数列，所以 Sn＝n a1，所以Sn＝n2a1，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2a1－(n－ 1)2a1＝(2n－1)a1，当n＝1时，适合上式，
x＝5， 3 (3)联立 3 9 2 2 x－＋y ＝， 2 4
x＝5， 3 解得 2 5 y＝± 3 .
2 5 2 5 5 5 不妨设其交点为P1 ，， P ，－， 2 3 3 3 3
x≥0，影部分)所示，由图可知，若要使不等式组 y≥2x， kx－y＋1≥0
表示的平面区域是直角三角形，只有当直线y＝kx＋1与直线x＝0或y＝2x垂直时才满足．
1 结合图形可知斜率k的值为0或－2.
2 例 2 已知函数 f(x)＝x－x＋a(2－lnx)(a>0)，讨论 f(x)的单调性．
x f′(x) f(x) 此
a－
(0，x1) ＋
x1 0
(x1，x2) －
x2 0
( x2 ，＋∞) ＋
极大单调递极小单调递增单调递增值减值
a－ a2－8 时 f(x) 在 0，上单调递增，在 2 a＋ a2－8 a2－8 a＋ a2－8 上单调递减，在，，＋∞ 上 2 2 2
有一个交点．
x≥0， (4)已知变量 x，y 满足的不等式组y≥2x， kx－y＋1≥0
表示 )
的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数 k＝( 1 1 A．－2 B.2 C．0 1 D．－2或 0
解析
x≥0，不等式组 y≥2x， kx－y＋1≥0
表示的可行域如图(阴
＝2n
2 1 ＋6n 4n 4n . ＝＋21－2n＋1＝2n＋ 2n＋1 2n＋1
(3) [2015· 广东高考]已知过原点的动直线 l 与圆 C1： x2＋y2－6x＋5＝0 相交于不同的两点 A，B. (1)求圆 C1 的圆心坐标； (2)求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程； (3)是否存在实数 k，使得直线 L：y＝k(x－4)与曲线 C 只有一个交点？若存在，求出 k 的取值范围；若不存在，说明理由．
设直线L：y＝k(x－4)所过定点为P(4,0)， 2 5 2 5 则kPP1＝－ 7 ，kPP2＝ 7 .
3 k － 4 k 3 3 2 当直线L与圆C相切时， 2 ＝2，解得k＝± 4.
k ＋1
3 3 2 5 2 5 ∪ －－，故当k∈ ，时，直线L与曲线C只 4 4 7 7
[解] (1)圆C1的标准方程为(x－3)2＋y2＝4，圆心坐标为C1(3,0)．
(2)由垂径定理知，C1M⊥AB，故点M在以OC1为直径
3 9 2 2 的圆上，即x－2 ＋y ＝4. 3 9 2 2 故线段AB的中点M的轨迹C的方程是 x－2 ＋y ＝ 4 在
2n＋1 2n－1 a n ＋1 2 an ＋1－＝1＋＋＝所以bn＝ a ＋ 1 － 2n 1 ＋ 2n 1 － 2n a n n＋1
1 1 2 －＝2＋2 ， 1 ＋ 2n 1 － 2n 2n＋1
所以Tn＝2n＋2
1 1 1 1 1 － 1－3＋3－5＋…＋ 1 ＋ 2n 1 － 2n
单调递增．