数学思想方法之分类与整合思想

专题
数学思想方法
第三讲 分类与整合思想
1.分类与整合思想 解答数学问题， 按照问题的不同发展 方向分别进行解决的思想方法就是分类 思想；把一个问题中各个解决的部分，进 行合并、 提炼得出整体结论的思想方法就 是整合思想．
要点热点探究
► 探究点一 分类与整合思想的应用 例 1 设集合 A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，分别从集合 A 和 B 中随机取一个数 a 和 b，确定平面上的一个点 P(a，b)，记“点 P(a，b)落在直线 x＋y＝n 上”为事件 Cn(2≤n≤5，n∈N)，若 事件 Cn 的概率最大，则 n 的所有可能值为( ) A．3 B． 4 C．2 和 5 D．3 和 4
[点评] 本题所依托的概率知识很简单，试题在考查概率 基础知识的同时重点考查分类与整合思想， 在分各种情况解决 问题后， 最后要落实到问题的结论上， 即要对分类的结果进行 整合．
变式题
(1)设函数 f(x)＝sin3x＋|sin3x|，则 f(x)为( 2π A．周期函数，最小正周期为 3 π B．周期函数，最小正周期为 3 C．周期函数，最小正周期为 2π D．非周期函数
[思考流程] (分析)求出 n＝2,3,4,5 分类计算其概率后作出 判断 ⇨ (推理)具体求解概率 ⇨ (结论)比较即得结论．
[答案] D
[解析] 从集合 A 和 B 中随机取一个数 a 和 b，共有 6 种 等可能结果，分别为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)． 当 n＝2 时， 落在直线 x＋y＝2 上的点为(1,1)； 当 n＝3 时， 落在直线 源自文库＋y＝3 上的点为(1,2)，(2,1)；当 n＝4 时，落在直 线 x＋y＝4 上的点为(1,3)，(2,2)；当 n＝5 时，落在直线 x＋y 1 ＝5 上的点为(2,3)． 显然当 n＝3,4 时， 事件 Cn 的概率最大为 . 3 选 D.
[思考流程] (条件)函数解析式 ⇨ (目标)讨论 f(x)的单调性 ⇨ (方法)讨论导数的符号，求出导数后，根据字母 a 的取值范 围确定问题的解决方向．
解：f(x)的定义域是(0，＋∞)， 2 2 a x －ax＋2 f′(x)＝1＋ 2－x＝ . x x2 设 g(x)＝x2－ax＋2， 二次方程 g(x)＝0 的判别式 Δ＝a2－8. ①当 Δ＝a2－8<0，即 0<a<2 2时，对一切 x>0 都有 f′(x)>0， 此时 f(x)在(0，＋∞)上是增函数． ②当 Δ＝a2－8＝0，即 a＝2 2时，仅对 x＝ 2有 f′(x)＝0，对 其余的 x>0 都有 f′(x)>0，此时 f(x)在(0，＋∞)上也是增函数． ③当 Δ＝a2－8>0，即 a>2 2时， a－ a2－8 a＋ a2－8 方程 g(x)＝0 有两个不同的实根 x1＝ ， x2＝ ， 2 2 0<x1<x2.
2n＋1 2n－1 a n ＋1 2 an ＋1－ ＝1＋ ＋ ＝ 所以bn＝ a ＋ 1 － 2n 1 ＋ 2n 1 － 2n a n n＋1
1 1 2 － ＝2＋2 ， 1 ＋ 2n 1 － 2n 2n＋1
所以Tn＝2n＋2
1 1 1 1 1 － 1－3＋3－5＋…＋ 1 ＋ 2n 1 － 2n
x f′(x) f(x) 此
a－
(0，x1) ＋
x1 0
(x1，x2) －
x2 0
( x2 ， ＋∞) ＋
极大 单调递 极小 单调递增 单调递增 值 减 值
a－ a2－8 时 f(x) 在 0， 上 单 调 递 增 ， 在 2 a＋ a2－8 a2－8 a＋ a2－8 上单调递减， 在 ， ，＋∞ 上 2 2 2
设直线L：y＝k(x－4)所过定点为P(4,0)， 2 5 2 5 则kPP1＝－ 7 ，kPP2＝ 7 .
3 k － 4 k 3 3 2 当直线L与圆C相切时， 2 ＝2，解得k＝± 4.
k ＋1
3 3 2 5 2 5 ∪ － － ， 故当k∈ ， 时，直线L与曲线C只 4 4 7 7
有一个交点．
x≥0， (4)已知变量 x，y 满足的不等式组y≥2x， kx－y＋1≥0
表示 )
的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数 k＝( 1 1 A．－2 B.2 C．0 1 D．－2或 0
解析
x≥0， 不等式组 y≥2x， kx－y＋1≥0
表示的可行域如图(阴
)
[答案] A
[解析] 不变．
2sin3x，sin3x≥0， f(x)＝sin3x＋|sin3x|＝ 0，sin3x<0，
周期
(2)已知各项均为正数的数列{an}，其前n项和为Sn，且 an＋1 an Sn＝( Sn－1 ＋ a1 ) (n≥2)，若bn＝ a ＋ ，且数列{bn}的 a n 2 n＋1
＝2n
2 1 ＋6n 4n 4n . ＝ ＋21－2n＋1＝2n＋ 2n＋1 2n＋1
(3) [2015· 广东高考]已知过原点的动直线 l 与圆 C1： x2＋y2－6x＋5＝0 相交于不同的两点 A，B. (1)求圆 C1 的圆心坐标； (2)求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程； (3)是否存在实数 k，使得直线 L：y＝k(x－4)与曲线 C 只有一个交点？若存在，求出 k 的取值范围；若不存在，说 明理由．
圆C1：(x－3)2＋y2＝4内部的部分，设AB方程为y＝k1x，当
2 2 2 y ＝ k x x ＋ y －6x＋5＝0 ⇒(k 1 AB与圆C1相切时 ＋1)x2－ 1

6x＋5＝0， 2 2 由Δ＝36－4×5×(k1＋1)＝0得k1＝± 5 ， 5
5 5 代入方程组得x＝3，因此x∈3，3 . 3 9 2 5 2 即x－2 ＋y ＝43＜x≤3 .
单调递增．
2
4n ＋6n 2n＋1 前n项和为Tn，则Tn＝________.
[解析] 由题意可得，Sn>0，因为Sn＝(
Sn－1
＋
a1)2(n≥2)，所以 Sn ＝ Sn－1 ＋ a1 ，即数列{ Sn}是以 S1 ＝ a1为首项，以 a1为公差的等差数列，所以 Sn＝n a1， 所以Sn＝n2a1，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2a1－(n－ 1)2a1＝(2n－1)a1，当n＝1时，适合上式，
[解] (1)圆C1的标准方程为(x－3)2＋y2＝4，圆心坐标 为C1(3,0)．
(2)由垂径定理知，C1M⊥AB，故点M在以OC1为直径
3 9 2 2 的圆上，即x－2 ＋y ＝4. 3 9 2 2 故线段AB的中点M的轨迹C的方程是 x－2 ＋y ＝ 4 在
x≥0， 影部分)所示，由图可知，若要使不等式组 y≥2x， kx－y＋1≥0
表示的平面区域是直角三角形，只有当直线y＝kx＋1与直 线x＝0或y＝2x垂直时才满足．
1 结合图形可知斜率k的值为0或－2.
2 例 2 已知函数 f(x)＝x－x＋a(2－lnx)(a>0)，讨论 f(x)的 单调性．
x＝5， 3 (3)联立 3 9 2 2 x－ ＋y ＝ ， 2 4
x＝5， 3 解得 2 5 y＝± 3 .
2 5 2 5 5 5 不妨设其交点为P1 ， ， P ，－ ， 2 3 3 3 3