一道高考试题的解法探究
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（ 若直线 Ａ Ⅱ） Ｃ与平面 Ａ Ｂ Ｃ所成的
（ 求证 ： Ｉ） ＡＢ上Ｂ Ｃ；
所以 ０ （ ＜Ｐ ．
而言 ， 向量的处理明显比传统的做法更为
则， （） 第 Ｉ 问考查线线垂直的判定 ， 属于送 分题 ， Ⅱ） 第（ 问主要考查面面角 、 面角的 线 有关知识 ， 以通过建 立线 面角 、 可 面面 角 的计算关系 ， 利用三角 函数 及不等 式的性 质予 以解 决 ， 遵循了在知识交汇处命题 的
Ｃ
由ｎ ＝Ｏ． ｆ ｔ ｎＢ
’
等腰三角形 ， Ｄ是 ＡＢ的中点 ， 又 Ｃ Ｄ上ＡＢ 又 Ｖ ， Ｃ上底 面 Ａ Ｃ Ｂ ．
・ ． ．
Ｉ ／ Ｏ， 、 一ｃＢ上平面 Ｖ Ｄ． Ｃ
可取 ｎ （一 ， ， ｎ － ａ＞ ， ＝０ ａ ） ， ｃ 于是 口Ａ ￣＝ － ｃＯ －
问的研究提供了建立空随 角坐标系的
可能 ， 体现 了立体 几何的发展趋势一
一
以
向量为工具 ， 化抽 象的逻辑推理为计 算这 指导 思想 ， 而对 于第（ 问的两种解 法 Ⅱ）
（ ＜ ｒ Ｐ ｌ ＂
，
繁琐 ， 是否 意味着编者有意打破向量的 这 解法 ２： （Ｉ） ， 由 知 以点 Ｂ为 坐标原 处 理方法要优于传统的逻辑论证呢 角为 ０ 二面角 Ａ 一 Ｃ Ａ的大小为 ‘， ， Ｂ — ｐ试 点 ，以 Ｂ 、 Ａ、 Ｂ 所在的直线 分别 为 Ｘ ＣＢ Ｂ 拓展训练 ： 判断 ０与 ‘的大小关 系， ｐ 并予 以证 明． 轴、 Ｙ轴、 轴 ，建立 如图所示的空 间直角 Ｚ 如图 ，在三棱锥 Ｖ ＡＢ — Ｃ中 ， Ｃ上底 Ｖ 分析 ：本题照顾 了 ９ 、 Ｂ两个版 本 坐 标 系 ，设 Ａ ａ ＡＣ ｂＡＢ ｃ Ａ９ Ａ ＝ ， ＝ ， ＝ ，则 Ｂ 面 ＡＢ Ａ Ｃ， Ｃ上Ｂ Ｄ 是 ＡＢ的 中 点 ， Ｃ， 且 的学生 ， 能用传统 做法 ， 能借助 向量 既 也 （ Ｏ Ｏ ， （ Ｃ ０． 、 ６ Ｏ， ，）Ａ０，， ） ／ Ｃ（ ， ，）Ａ （， ０Ｏ，１ Ｏ 来论证 ， 体现 了面 向全体 ， 背景 公平 的原 Ａ ：Ｃ ａ／ Ｄ ： ＜ ＜ ． Ｃ Ｂ： ， Ｖ Ｃ ｅ０ ｏ 孚１ ｆ
一
并且第二种解 某射手进行射击练 习， 每射击 ５发子 看到两种解法的结果相 同， 似乎他们已经接受第二 弹算一组 ， 旦命中就停 止射击 ， 一 并进 入 法过程非常简捷 ！
下一组练习 ， 否则一直打完 ５发子弹后进 种解 法．难道 题中 的随机 变量 ∈果真服 ］ ５ － 入下一组练习 ， 已知他射击一次的命中 从几何 分布Ｉ ７ 且 率为 ０８ ．，求在这一组练习中耗用子弹数 《 的分布列 ，并求 出 § 的期望 与 方差
Ｄ． 毛
ｉ １ ｐ ｒ （一 ） Ｐ
Ｐ Ｐ 。 ｓ＝ （一Ｐ Ｐ １ ） １ ） 一ｎ （一Ｐ
一ｎ １ ） 一 Ｐ（－Ｐ ＝１
二 、 区辨析 误
不 妨从 几何分布的概念入手 ： 在独立 重复试验中 ， 某事件第一次发生时所作试
由平面 Ａ Ｂ Ｃ上侧面 Ａ，Ｂ 且平面 Ａ Ｂ， ＡＢ Ｃｎ坝 面 ＡＡＢ ＿Ａ１ 得 』 １ Ｂ＝ Ｂ， ｌ
Ａ 上 平 面 ＡＢ Ｄ Ｃ， 又 Ｂ 平 面 Ｃｃ
－Ｃ Ａ－ ＊
－
又Ａ Ｂｃ平 面 Ｖ ． 面 Ｖ 上平 ＡＢ 平 ＡＢ
Ｃ ． ￣ ｎ的夹角 １为锐角 ，则 １与 ０互为 面 Ｖ Ｄ ３ ３ （Ｉ 过点 Ｃ在 平面 Ｖ Ｄ内作 Ｃ １） Ｃ Ｈ上 余角．
（ 求证 ： Ｉ） 平面 Ｖ ＡＢ上平面 Ｖ Ｄ； Ｃ
设平面 Ａ Ｂ Ｃ的一个法 向量为 ｎ 《， ＝ｘ ｙ） ，， ｚ 则
（ 当角 ０变 化时 ， Ⅱ） 求直线 Ｂ Ｃ与 平面 Ｖ ＡＢ所成的角 的取值范围．
解析： （Ｉ）‘Ｃ Ｂ ＝ ． ＣＢ是 ‘ ＝ Ｃ ａ △Ａ ． Ａ
考试题
涛
ｓ ｅ ｉ ＝ ｎ ， 于 是 由 ｃ ＜ｂ 得 Ｊ
— ＝ ＜ ＝ ＝，即 ｓ ｅ ｉ 又 ＝ — 一 ｉ ＜ｓｎ ｎ ｅ， ｂ／ 、 、 ／ ‘ ’ ０ ０ （ ， 以 ０ ‘ ＜ ，＜ 所 Ｐ ＜Ｐ ．
点评 ： Ｉ问中的线线垂直为第（ ） 第（ ） Ｉ Ｉ
．
，
在 Ｒ ＡＣ Ｄ中， Ｈ 毕 ｔ Ｈ Ｃ＝
ａｉ ； ｓ０ ｎ
（ 转 ３ 下 Ｏ页 ）
又 Ａ Ａ ｎＡＤ Ａ，从 而 Ｂ ＝ Ｃ上侧 面
Ａｄ ｅｓ ｙ ｍａ ｅ ｉ ｗｉ ，ｎ ｔｒ ｈ逆 境 出 人 才 。 ｖ ｒｉ ｋ ｓａ ｍａｌ ｓ ｔ ｅ ｏ ｉ ． ｃ
！｛
原则 。 【Ｉ） 明 ： 右 图 ， 点 Ａ在 平面 证 如 过
Ｃ ａ于 是 ，）
ｙ
Ａ， Ｂ 内作 Ａ Ｌ Ｂ于 Ｄ， ＡＢ Ｄ＿Ａ１ 则
＝
＝
（／ ２ｃ一０ Ｏ， 、 ６－ ２， ，） （／ Ｉ 一 ，） 、 ６ ＿，ｃ ０，
＝ｏ Ｃ ａ， ／ ， ，） ＝Ｏ ０ ａ， （， ，）
Ａ Ｂ 所以 ＡＤＪＢ ． Ｃ， Ｃ ＿
ｓｅｃｓ ｉ—。 ｎ ｐ ｃ ｏ ｓ
而ｃ ， ａ 丽Ｃ
因为 三棱 柱 ＡＢ —Ａ ＢＣ 是直 三棱 Ｃ 柱， Ａ 则 Ａ 上底面 Ａ Ｃ， Ｂ
所 以 Ａ Ｃ． Ａ 上Ｂ
Ｖ Ｄ于 Ｈ 则由（ ） Ｃ 平面 Ｖ Ｂ ， Ｉ 知 Ｄ上 Ａ ． 连接 Ｂ Ｈ，于是 ／Ｃ Ｈ就是 直线 Ｂ Ｂ Ｃ 与平面 Ｖ ＡＢ所成 的角 ．
｝
分 布 概 急 理 觚
向清耀 张世 林
一
、
例 题 引入
一
部分采 用解法 １做出结 果的学生
（一ＰＳ ＝１ （一Ｐ＋・・ （一１ １ ） １ ） Ｐ １ ） ・＋ ｎ ） 一Ｐ Ｐ（ ＋ Ｐ１ ） ｎ （一Ｐｒ 、 Ｓ 一 （一ＰＳ ＝Ｐ １ ） ＋Ｐ （一Ｐ＋・・ （一Ｐ １ ） ・＋Ｐ １ ）
（ 求证 ： Ｉ） ＡＢ上Ｂ Ｃ；
所以 ０ （ ＜Ｐ ．
而言 ， 向量的处理明显比传统的做法更为
则， （） 第 Ｉ 问考查线线垂直的判定 ， 属于送 分题 ， Ⅱ） 第（ 问主要考查面面角 、 面角的 线 有关知识 ， 以通过建 立线 面角 、 可 面面 角 的计算关系 ， 利用三角 函数 及不等 式的性 质予 以解 决 ， 遵循了在知识交汇处命题 的
Ｃ
由ｎ ＝Ｏ． ｆ ｔ ｎＢ
’
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・ ． ．
Ｉ ／ Ｏ， 、 一ｃＢ上平面 Ｖ Ｄ． Ｃ
可取 ｎ （一 ， ， ｎ － ａ＞ ， ＝０ ａ ） ， ｃ 于是 口Ａ ￣＝ － ｃＯ －
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可能 ， 体现 了立体 几何的发展趋势一
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以
向量为工具 ， 化抽 象的逻辑推理为计 算这 指导 思想 ， 而对 于第（ 问的两种解 法 Ⅱ）
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，
繁琐 ， 是否 意味着编者有意打破向量的 这 解法 ２： （Ｉ） ， 由 知 以点 Ｂ为 坐标原 处 理方法要优于传统的逻辑论证呢 角为 ０ 二面角 Ａ 一 Ｃ Ａ的大小为 ‘， ， Ｂ — ｐ试 点 ，以 Ｂ 、 Ａ、 Ｂ 所在的直线 分别 为 Ｘ ＣＢ Ｂ 拓展训练 ： 判断 ０与 ‘的大小关 系， ｐ 并予 以证 明． 轴、 Ｙ轴、 轴 ，建立 如图所示的空 间直角 Ｚ 如图 ，在三棱锥 Ｖ ＡＢ — Ｃ中 ， Ｃ上底 Ｖ 分析 ：本题照顾 了 ９ 、 Ｂ两个版 本 坐 标 系 ，设 Ａ ａ ＡＣ ｂＡＢ ｃ Ａ９ Ａ ＝ ， ＝ ， ＝ ，则 Ｂ 面 ＡＢ Ａ Ｃ， Ｃ上Ｂ Ｄ 是 ＡＢ的 中 点 ， Ｃ， 且 的学生 ， 能用传统 做法 ， 能借助 向量 既 也 （ Ｏ Ｏ ， （ Ｃ ０． 、 ６ Ｏ， ，）Ａ０，， ） ／ Ｃ（ ， ，）Ａ （， ０Ｏ，１ Ｏ 来论证 ， 体现 了面 向全体 ， 背景 公平 的原 Ａ ：Ｃ ａ／ Ｄ ： ＜ ＜ ． Ｃ Ｂ： ， Ｖ Ｃ ｅ０ ｏ 孚１ ｆ
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并且第二种解 某射手进行射击练 习， 每射击 ５发子 看到两种解法的结果相 同， 似乎他们已经接受第二 弹算一组 ， 旦命中就停 止射击 ， 一 并进 入 法过程非常简捷 ！
下一组练习 ， 否则一直打完 ５发子弹后进 种解 法．难道 题中 的随机 变量 ∈果真服 ］ ５ － 入下一组练习 ， 已知他射击一次的命中 从几何 分布Ｉ ７ 且 率为 ０８ ．，求在这一组练习中耗用子弹数 《 的分布列 ，并求 出 § 的期望 与 方差
Ｄ． 毛
ｉ １ ｐ ｒ （一 ） Ｐ
Ｐ Ｐ 。 ｓ＝ （一Ｐ Ｐ １ ） １ ） 一ｎ （一Ｐ
一ｎ １ ） 一 Ｐ（－Ｐ ＝１
二 、 区辨析 误
不 妨从 几何分布的概念入手 ： 在独立 重复试验中 ， 某事件第一次发生时所作试
由平面 Ａ Ｂ Ｃ上侧面 Ａ，Ｂ 且平面 Ａ Ｂ， ＡＢ Ｃｎ坝 面 ＡＡＢ ＿Ａ１ 得 』 １ Ｂ＝ Ｂ， ｌ
Ａ 上 平 面 ＡＢ Ｄ Ｃ， 又 Ｂ 平 面 Ｃｃ
－Ｃ Ａ－ ＊
－
又Ａ Ｂｃ平 面 Ｖ ． 面 Ｖ 上平 ＡＢ 平 ＡＢ
Ｃ ． ￣ ｎ的夹角 １为锐角 ，则 １与 ０互为 面 Ｖ Ｄ ３ ３ （Ｉ 过点 Ｃ在 平面 Ｖ Ｄ内作 Ｃ １） Ｃ Ｈ上 余角．
（ 求证 ： Ｉ） 平面 Ｖ ＡＢ上平面 Ｖ Ｄ； Ｃ
设平面 Ａ Ｂ Ｃ的一个法 向量为 ｎ 《， ＝ｘ ｙ） ，， ｚ 则
（ 当角 ０变 化时 ， Ⅱ） 求直线 Ｂ Ｃ与 平面 Ｖ ＡＢ所成的角 的取值范围．
解析： （Ｉ）‘Ｃ Ｂ ＝ ． ＣＢ是 ‘ ＝ Ｃ ａ △Ａ ． Ａ
考试题
涛
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点评 ： Ｉ问中的线线垂直为第（ ） 第（ ） Ｉ Ｉ
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在 Ｒ ＡＣ Ｄ中， Ｈ 毕 ｔ Ｈ Ｃ＝
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又 Ａ Ａ ｎＡＤ Ａ，从 而 Ｂ ＝ Ｃ上侧 面
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原则 。 【Ｉ） 明 ： 右 图 ， 点 Ａ在 平面 证 如 过
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（／ ２ｃ一０ Ｏ， 、 ６－ ２， ，） （／ Ｉ 一 ，） 、 ６ ＿，ｃ ０，
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Ａ Ｂ 所以 ＡＤＪＢ ． Ｃ， Ｃ ＿
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而ｃ ， ａ 丽Ｃ
因为 三棱 柱 ＡＢ —Ａ ＢＣ 是直 三棱 Ｃ 柱， Ａ 则 Ａ 上底面 Ａ Ｃ， Ｂ
所 以 Ａ Ｃ． Ａ 上Ｂ
Ｖ Ｄ于 Ｈ 则由（ ） Ｃ 平面 Ｖ Ｂ ， Ｉ 知 Ｄ上 Ａ ． 连接 Ｂ Ｈ，于是 ／Ｃ Ｈ就是 直线 Ｂ Ｂ Ｃ 与平面 Ｖ ＡＢ所成 的角 ．
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分 布 概 急 理 觚
向清耀 张世 林
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