单自由度振动方程的解

nt
y(t ) et ( A cosd t B sin d t )
三、无阻尼的强迫振动
m(t ) Ky(t ) P(t ) y
P(t)
1. 瞬时冲击荷载作用时的强迫振动
Δt 特点：①作用时间与系统的自振周期相比很小 ②Δt时间内P（t）可视为常数
t
设单自由度体系在静止状态，在极短时间Δt内作用干扰力P(t) ， 在时间t – t0内由动量定理得 pt 若t0=0 时v0=0 则 ， v m 于是，在（0，t）时间内系统产生的位移反应y(t)为
m(t ) Cy(t ) Ky (t ) P(t ) y
二、有阻尼的自由振动
m(t ) Cy(t ) ky(t ) 0 y
C K (t ) y y (t ) y (t ) 0 m m
K C 记 2n m m (t ) 2ny(t ) 2 y(t ) 0 y
单自由度体系 振动方程的解
重 点：杜哈美积分 难 点：杜哈美积分的来源
m(t ) Cy(t ) Ky (t ) P(t ) y 一、无阻尼的自由振动
m(t ) ky(t ) 0 y
(t ) y(t ) 0 y
2
y(t ) A cost B sin t
C Ccr C n 2m Ccr 2m
C Ccr 称为阻尼比
对钢筋混凝土结构ξ< 5% ，一般取3%
对钢结构ξ= 1% — 2%
3）当n <ω时（弱阻尼）
y
S (t ) ( 2 n2 )S (t ) 0
令
t
n
2 d 2
2
y(t ) e ( A cosd t B sin d t )
ys (t ) sin t
由P（t）自身产生，称为稳态振动
生态振动由于阻尼的影响，较长时间后振动会消失，故，
方程式的稳态解为 ：
y(t ) ys (t ) sin t
ymax ys
P ys m 2

1 1
2
反映了惯性力的影响
动力系数谱曲线
y (t ) e nt ( A1sh n 2 2 t A2 ch n 2 2 t )
2．n = ω时（称为临界阻尼） y0 S (t) = B1+B2t y θ0
y(t ) ent S (t ) ent B1 B2t
C cr n= =ω 2m
t
Cc r= 2mω（此式为确定临界阻尼的公式）
pDt
y(t ) et ( A cosd t B sin d t )
p(t )Dt t y (t ) e sin d t m d
若t从τ开始，则上式写成
p( )Dt t y(t ) e sin d t m d
2. 任意动力荷载p（t）作用时的位移反应 考虑P（t）在（0，t）时间内作用于 系统，认为是由无数个瞬时冲击荷载 的叠加，如图。
ξ=0.05 ξ=0.2 ξ=0.25
0.5
1.0
1.5
2.0

= 1，此时μ= 1 （不是最大值）， ②共振时 2 1 μmax= ，在 = 1的左侧 2 1 2
*

5 4 3 2 1
2 tg 2 2
1
ξ=0.05 ξ=0.2 ξ=0.25
ymax ys (t )
给出不同的阻尼比ξ，画出位移反应谱示意图如下

5 4 3 2 1 ξ=0.05 ξ=0.2 ξ=0.25
0.5
1.0
1.5
2.0

= 1附近
①μ随阻尼比ξ的增大而下降较快，特别是在
*

5 4 3 2 1

1
2 2 2 1 4 2
P m sin t P sin t 2 m
2
可见，共振时惯性力与弹性力平衡；阻尼力与外力（干扰力）
平衡。若无阻尼，则无任何力与外力（干扰力）平衡，以致 出现y(t)趋于∞，产生共振
五、地震地面运动
惯性力 弹性力 阻尼力
y(t )
FI m( g (t ) (t )) y y
Δst—在质点上沿振动方向施 加数值为W的荷载时质点沿振 动方向所产生的位移。
①自振频率只与结构的质量和结构的刚度有关，与初始条 件及外界的干扰力无关。 ②自振频率与质量的平方根成反比，质量越大，频率越小； 自振频率与刚度的平方根成正比，刚度越大，频率越大；要 改变结构的自振频率，只有从改变结构的质量或刚度着手。
P 2 m 1
y(t ) ys (t ) sin t sin t 1 P 2 ys 2 为静位移 m 1
上式由两部分组成
y s (t ) sin t
为动力系数
由于P（t）作用，由振动系统产生，称为生态振动
2 式中，C为振幅，ε为相位角。 tg 2 2, C =
1
ys
P ys m 2

1
2
静位移
f ( , )
动力系数
2 2 1 4 2
y(t ) ys (t ) sin t
2
n为衰减系数
利用常数变易法，令
y(t ) e
nt
Biblioteka Baidu
S (t )
S (t ) ( 2 n2 )S (t ) 0
S (t ) ( 2 n2 )S (t ) 0
1. 当n >ω时（强阻尼）
S (t ) A1sh n 2 2 t A2ch n 2 2 t
2. 一般性动力荷载P（t）作用于系统时 考虑P（t）在（0，t）时间内作用于 系统，认为是由无数个瞬时冲击荷载 的叠加，如图。
P（t）
τ τ+dτ
t
考虑由时刻τ开始，在dτ时间 内的位移反应
P（t）
p ( ) d dy (t ) sin (t ) m
τ τ+dτ
t
则，在（0，t）时间内作用于系统，系统所产生的位移反应为
pDt Δt时间内，干扰力的作用近似的看作是初速度为 v (t ) m p (Dt ) 2
初位移为 y (t )
2m 0 的自由振动。
pDt sint y (t ) y0 cos t sin t m
v0
若时间t不是从0开始，而是从τ开始的，则上式写为：
pDt y (t ) sin (t ) m
初始条件为： y(t ) t 0 y0
K 记ω2 = m
y(t ) t 0 v0
y (t ) y0 cos t
y ( t ) a sin( t a )
v0

sin t
a α/ω －a
t
无阻尼自由振动是简谐振动

K m
——自振频率

K 1 g g m D st md Wd
P（t）
τ τ+dτ
t
p( )d t dy(t ) e sin d t m d
*
1 y(t ) m d
e
0
t
( t )
p( ) sin d (t )d
3. 简谐动力荷载Psinθt 作用下的解
P sint (t ) 2y(t ) y(t ) y m
0.5
1.0

1.5
2.0

③当θ=ω时，ε=
2
y(t ) ys (t ) sin t
y(t ) ys (t ) cost

* ③当θ=ω时，ε=
2
y(t ) ys (t ) cost
惯性力：FI 弹性力： 阻尼力：
m(t ) m 2 ys cost y
y(t )
t
0
pt pt2 dt m 2m
pt v m
pt 2 y (t ) 2m
由假设，干扰力作用的时间为Δt ，则Δt时间内系统产生
的速度反应和位移反应分别为
pDt v (t ) m
p (Dt ) 2 y (t ) 2m
瞬时冲击荷载移去后，运动成为自由振动 y(t) 和 v(t)比较是高阶无穷小量， Δt极短，故可认为:
3. 简谐荷载作用下的解
以P（t）= Psinθt 代入杜哈美积分得：
1 md
1 y (t ) m
P sin cos (t )d
0
t
(sint sin t ) 2 1 1 Pd (sin t sin t ) 2 1 ys (t ) sin t sin t
四、有阻尼的强迫振动（弱阻尼） P (t ) 2 (t ) 2 y (t ) y (t ) y m 1. 瞬时冲击荷载作用下的位移反应
P(t)
Δt
t
Δt时间内，干扰力的作用近似的看作是初速度为 v (t ) m p (Dt ) 2 初位移为 y (t ) 0 的自由振动。 2m 有阻尼的自由振动位移反应
p ( ) d y (t ) sin (t ) 0 m pDt y (t ) sin (t ) m 此式称为杜哈美积分（卷积、褶积）
t
如果叠加自由振动部分，可得位移反应
y (t ) A cos t B sin t
t
0
p ( )d sin (t ) m
2
设特解（稳态解）：y（t）= B1cosθt + B2 sinθt
P 2 B1 2 2 2 2 2 2 m ( ) 4 P 2 2 B2 m ( 2 2 ) 4 2 2 2
令B1= - Csinε ，B2= Ccosε ， 则：y(t) = Csin（θt -ε）
FE K11 y(t )
FD cy(t )
y g (t )
m( g (t ) (t )) cy(t ) Ky(t ) 0 y y
m(t ) cy(t ) K11 y(t ) mg (t ) y y
3 2 1

0.5
1.0
1.5
2.0

< 1 ，称为共振前区，为减小动力系数，可采取增大ω的方法
--------刚性方案
> 1 ，称为共振后区，为减小动力系数，可采取减小ω的方
法--------柔性方案
工程中，把0.75 < < 1.25 的区域称为共振区，设计时应避开。
m 2 ys cost
Kys cos t
n=
C cr 2m
FE Ky(t ) Kys cos t
FD Cy(t ) Cys sin t 2m 2 ys sin t
2
n
1 2m y s sin t m 2 ys sin t 2