实变函数与泛函分析初步试题(3)

浙江省2009年10月高等教育自学考试

实变函数与泛函分析初步试题

课程代码：10023

一、单项选择题（本大题共3小题，每小题4分，共12分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.设f （x ）在E 上有定义，D 与D ′是E 的两个可测分划，D ′是D 的加细，s （D ′，f ）与s （D ,f ）分别表示f （x ）在E 上的两个Darboux 小和，则有（ ）

A.s （D ,f ）≤s （D ′,f ）

B.s （D ,f ）=s （D ′,f ）

C.s （D ,f ）≥s （D ′,f ）

D.不能确定

2.设Q 是R 中有理数的全体，则在R 中Q 的闭包Q 是（ ）

A.Q

B.φ

C.R

D.R ＼Q 3.设{F n }是一列闭集，F = ∞=1

n F n ,则F 一定是（ ）

A.开集

B.闭集

C.开集，也是闭集

D.不能确定

二、判断题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）

判断下列各题，正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”。

1.可数个可数集的并集是不可数集.（ ）

2.若点集E 的任一个聚点属于E ，则E 一定是闭集.（ ）

3.设P 是Cantor 三分集，x ∈P ,则x 一定不是内点.（ ）

4.设A ,B 是R n 中的两个可测集,则A ∩B 不一定可测.（ ）

5.Dirichlet 函数是不可测函数.（ ）

6.设f （x ）是［a ,b ］上的单调函数,则f ′（x ）a.e 存在.（ ）

三、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

1.设{}∞

=1n n A =1是一列单调递增的集列,则∞

→n lim A n =______. 2.设E ⊂R n 是开集,则CE 是R n 中______（开,闭）集.

3.Lebesgue 可测集可以表示为______集与零测度集的和集.

4.设f +（x ）与f -（x ）分别是f （x ）的正部与负部,则|f （x ）|用f +（x ）与f -（x ）表示为|f （x ）|=______.

5.设f （x ）在E 上Lebesgue 可积,则对任意可测子集A ⊂E ,⎰→A

mA x f dx )(lim 0=______. 6.设F 1⊂R p ,F 2⊂R q 为闭集,则F 1×F 2是R p +q 中的______（开,闭）集.

7.设F n =［n 1,1-n 1］,n=3,4,…,则 ∞

=3n n F =______.

8.设f （x ）是［a ,b ］上有界变差函数,E ={x ∈［a ,b ］|f ′（x ）}不存在,则mE =______. 9.)( I

s A C ∈αα =______. 10.设mA n =0,E = ∞=1n n A

,则mE =______.

四、完成下列各题（本大题共4小题，每小题9分，共36分）

1.设E 是函数y =⎪⎩⎪⎨⎧=≠00,

0,1sin x x x 的图形上的点所组成的集合,在R 2中讨论0E ,E ′,∂E ,E . 2.设f （x ）在E =［a ,b ］上可积,试证明:对于任意ε>0,存在E 上的连续函数ϕ（x ）使得⎰<-εdx |(x)|f(x)a

b

ϕ.

3.设E 可测,试证明:对于任意ε>0,存在开集G 与闭集F 使得F ⊂E ⊂G 且m （G -E ）<ε, m （E -F ）<ε.

4.设mE <∞,f n （x ）（n =1,2,…）是点集E 上a.e 有限的可测函数列,f n （x ）（n =1,2,…）a.e.收敛于有限函数f （x ）,则对任意ε>0,存在常数C 与可测集E 0⊂E ,m （E ＼E 0）<ε使得对一切自然数n ,有 |f n （x ）|≤C .