孤立奇点处留数的计算方法_廖为

（-1）m+1n（n+1）…（n+m）c-n zn+m+1
+
（-1）m+1（m+1）! zm+2
c-1
，
或
（-1）mzm+2 f （m+1）（z） （m+1）!
=
+∞
-Σ n=2
n（n+1）…（n+m）c-n （m+1）! zn+m+1
-c-1，
从而由
lim
z→∞
+∞
Σ
n=2
n（n+1）…（n+m）c-n （m+1）! zn+m+1
被变成 t 平面上原点的去心领域 K- {0} :0＜ t ＜1/r
（如 r = 0 规定 1/r = ∞）；圆周 Г ＇: z = ρ ＞ r 被变成圆
周 r : t = λ = 1/ρ ＜ 1/r，从而易证
乙 乙 ≤ 乙 1
2πi
f （z）dz = - 1
Г-1
2πi
f
r
1 t
·t12 dz，
所以
乙乙 乙 乙 Res f（z）= -Res
z=∞
t=0
f
1 t
·t12
.
定理 3：设∞是 f（z）的 m 阶极点，
则
Res f（z）= （-1）m lim
z=∞
z→∞
zm+2 f（m+1）（z） （m+1）!
.
证明：当 ∞ 是 f （z）的 m 阶极点时，存在 R＞0，
收稿日期：2012－10－19；修回日期：2012－11－21 作者简介：廖 为（1981-），男，四川隆昌人，讲师，主要从事偏微分方程及其在金融中的应用研究， E-mail：lwei_in_maths@sina.com。
留数定理是复变函数理论中十分重要的结论，
它的价值在于：一些在实值函数理论中难以解决的
积分问题在转化为复变函数积分后，借助留数可以
较容易地解决［１－２］。同时，在流体力学与空气动力学
中广泛出现的围线积分的计算往往依赖于留数，因
此，如何有效计算留数越来越受到相关学者与工程
工作者的重视［３］。
本文主要通过对函数 f （z）在无穷远点处留数
科技创新与生产力
２０１２年 １２ 月 总第 ２２７ 期 - 105 -
应 用 技 术 Ａｐｐｌｉｅｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ
使
+∞
f（z）=Σ n=2
c-n zn
+
c-1 zn
+ c0 + c1 +… + cmzm，R＜
z
＜+∞，
两端求导 m+1 次则剔除了非负幂项
f
+∞
（m+1）（z）=Σ n=2
P（z）= anzn + an-1zn-1+…+a0 （an≠0）， Q（z）= bmzm + bm-1zm-1+…+b0 （bm≠0），
且 P（z）和 Q（z）是互质的多项式，r 是包含 Q（z）的
所有零点 （即 f（z）的所有有限奇点） 在其内部的任
一围线或复围线Байду номын сангаас则有以下结论：
乙 1）当 m-n≥2 时，Res f（z）= 0， f（z）dz = 0 ．
2πi C
z=∞
n
Res f（z）+ ΣRes f （z）=
z=∞
k = 1 z=ak
乙 乙 - 1 f （z）dz + 1 f （z）dz = 0 .
2πi C
2πi C
留数定理将计算围线积分的整体问题化为计算
各孤立奇点处留数的局部问题。根据这个方法，若
ak（k = 1，2，…，n） 中有一些点ai的留数不易计算 时，可以考虑求 ∞ 处的留数，从而求出有限多个孤
k = 1 z=ak
z=∞
证明：设 f （z）的有限个孤立奇点为 a1，a2，…，
an，∞。以原点为中心，做半径为 R 的充分大的圆
周 C，使得 C 的内部包含 a1，a2，…，an，由柯西
留数定理得
又因
乙n f （z）dz = 2πΣRes f（z），
C
k = 1 z=ak
所以
乙 1 f （z）dz = -Res f（z），
立奇点的留数和，再利用柯西留数定理求解出函数
f （z）在某区域内的积分值。
２ 函数 f （z）在z = ∞点留数的计算方法
定理 2：
乙乙 乙 乙 Res f（z）= -Res
z=∞
t=0
f
1 t
·1 t2
.
证明：令 t = 1/z，于是 φ（t）= f 乙1/t 乙= f（z），且
z 平面上无穷远点的去心领域 N-{∞}:0≤r＜ z ＜+∞
z=∞
r
乙 2）当 m-n=1 时，Res f（z）= - an ， f（z）dz =
z=∞
bm
r
2πi an ． bm
3）当 m-n≤0 时，设 P（z）= R（z）Q（z）+r（z），
其中 R（z），r（z）为 z 的多项式，且 r（z）的次数小于
z z m，则 Res f（z）= Res
z=∞
z=∞
r（z） Q（z）
，而上式的右端又可
以转化为 1）或 2）的情况。
证明：根据定理 2 的无穷远点留数计算方法，
则
11 1 1 Res f（z）= -Res
z=∞
z=0
f
1 z
·z12
=
1 1 1 1 -Res
an
1 zn
1 1 1 1 z=0
bm
1 zm
+an-1
1 zn-1
+bm-1
1 zm-1
+…+a0 +…+b0
·z12
=
-Res z=0
文章编号：1674-9146（2012）12－0105－02
术 Ａｐｐｌｉｅｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ 应 用 技
孤立奇点处留数的计算方法
廖为
（内江师范学院数学与信息科学学院，四川 内江 641112）
摘 要：通过对函数 f（z）在 ∞ 点留数的计算，求解函数 f（z）在某区域内含有有限个孤立奇点时的积分值，为有理函 数 f（z）在 ∞ 点的留数计算提供了一个非常简洁的方法。 关键词：留数；留数定理；围线积分 中图分类号：O174.5 文献标志码：A ＤＯＩ：10.3969/j.issn.1674-9146.2012.12.105
的求法研究，应用柯西留数定理解决某些使用通常
留数求法难以计算的积分问题。
１ 函数 f （z）在扩充 z 平面上有限多个孤立奇点间
的关系
定理 1：如果函数 f （z）在扩充 z 平面上只有有
限个孤立奇点 （包括无穷远点在内），设为 a1，a2，
…，an，∞，则 f （z）在各点的留数总和为零，即
n
ΣRes f（z）+ Res f（z）= 0 .
=0
可知
Res f（z）= -c-1 = lim
z=∞
z→∞
（-1）（mmzm++21）f （!m+1）（z）.
定理 4：设∞ 是 f（z）的可去奇点，
则
Res f（z）= lim z2 f ＇（z）．
z=∞
z→∞
事实上这是定理 3 中 m = 0 的特殊情形。
定理 5：设f（z）= P（z）/Q（z），其中