图像处理中正交变换方法对比
数字图像处理正交变换
反变换: f (x, y) F (u, v) exp j2 (ux vy)dudv
变换对: f (x, y) F(u, v)
2.2.2 二维傅立叶变换
2. 幅度谱、相位谱、能量谱 一般F(u,v)是复函数,即:
称为正变换核，
* (x, y) u ,v
称为反变换核。
为了使信号完整重建，正变换核和反变换核都必 须满足正交性和完备性。
2.1 图像变换的表达式－正交变换
变换核可分离性：将二维变换分解为2个 一维变换的计算。
u,v (x, y) au (x)bv (y) a(u, x)b(v, y)
N 1 N 1
F(u,v) R(u,v) jI(u,v) F(u,v) e j(u,v)
幅度谱: F(u, v) R2 (u, v) I 2 (u, v)
相位谱:
(u,
v)
tg
1
I (u, v) R(u, v)
能量谱: E(u, v) R2 (u, v) I 2 (u, v)
2.2.3 离散傅立叶变换
表示。 ❖ RGB图像
➢ 图像的灰度为该点的R、G、B值，直接存放在图像 灰度矩阵中。
➢ 一般每个像素需要用3×8＝24bit位来表示。 ➢ 其色彩可为224 ，一般称为真彩图像。 ❖ 其他图像－还有图像的透明因子，每个像素需要32bit 来表示。
1.3 数字图像处理的研究内容
从计算机处理的角度可以由高到低将数 字图像分为三个层次。这三个层次覆盖了图 像处理的所有应用领域。
3. 求幅度谱的对数函数：
D(u,v) log(1 F(u,v) )
4. 显示D(u,v) 若D(u,v)很小或很大，则将其线形扩展或压缩到0-255
《数字图像处理》课程设计题目.
1、图像的阈值分割方法研究2、图像锐化算子的对比研究3、图像的开运算4、图像的闭运算5、连通区域单元贴标签6、彩色图像的灰度化处理7、图像类型的转换8、FIR滤波器的设计9、图像的算术运算10、图像空域增强方法研究11、图像频域增强方法研究12、图像的腐蚀13、图像的膨胀14、图像的霍夫曼编码15、图像区域特征的描述和测量16、图像无损压缩和编码17、图像有损压缩和编码18、图像高通滤波器19、图像低通滤波器20、图像伪彩色增强21、图像边缘检测算子22、图像平滑滤波器23、数字图像的频谱特性研究24、图像DCT变换25、基于灰度阈值的图像分割技术26、图像分析与增强27、图像邻域与块运算28、正交变换方法对比29、灰度直方图规定化30、图像真彩色增强31、图像局部区域填充32、图像显示技术33、图像文件操作34、数字图像几何运算技术35、数字图像的傅里叶变换36、图像的小波变换参考书目:1、张汗灵编著MA TLAB在图像处理中的应用/ 北京:清华大学出版社,20082、王家文MATLAB 6.5 图形图像处理国防工业出版社3、王晓丹,吴崇明编著基于MATLAB的系统分析与设计[5] 图像处理西安电子科技大学出版社20004、余成波编著数字图像处理及MATLAB实现重庆大学出版社20035、杨枝灵, 王开等编著Visual C++数字图像获取处理及实践应用人民邮电出版社20036、苏彦华等编著Visual C++数字图像识别技术典型案例人民邮电出版社20047、何斌[等] 编著Visual C++数字图像处理人民邮电出版社20028、周金萍编著MA TLAB 6.5图形图像处理与应用实例科学出版社2003TP391.41/04479、清源计算机工作室编著MATLAB 6.0高级应用:图形图像处理机械工业出版社2001 TP391.41/10、郝文化主编MATLAB图形图像处理应用教程中国水利水电出版社200411、苏金明, 王永利编著MA TLAB图形图像电子工业出版社2005。
[教育]图像处理中的正交变换小波
![[教育]图像处理中的正交变换小波](https://img.taocdn.com/s3/m/5c208f376edb6f1aff001f32.png)
变宽，频窗变窄，从而实现了时－频窗口的自
动自适应变化。
从滤波的观点来看， a,b (t ) 的频谱 a,b () 具有带通特性，中心频率
0 0
，带
a ,b
宽
BW 2a ,b
。
图3—23示出了加窗的Fourier分析和小波分析 的时频特性比较。
图 3—23加窗Fourier分析和小波分析的时频特性比较
在小波变换中，时间窗口的宽度与频率窗口的 宽度是尺度参数a的函数，但其乘积 ( )
a ,b a ,b
由Heisenberg测不准原理限定为一常数，因此，
高频分量在时域局部化分辨率提高是以频域局
域化由
的不确定性加大换取的。
a ,b
分析高频分量时（a减小），时窗自动变窄，
频窗加宽，分析低频分量时（a增大），时窗
, C 是有限值
它意味着 0 处 ( )
连续可积
(0)
(t )dt 0
(3—222)
由上式可以看出，小波 (t ) 在 t 轴上取值有 正有负才能保证式(3—222)积分为零。所以 (t )
应有振荡性。
上面两个条件可概括为，小波应是一个具有振
荡性和迅速衰减的波。
在实际过程中,时变信号是常见的，如语音信号、 地震信号、雷达回波等。在这些信号的分析中，希 望知道信号在突变时刻的频率成份，显然利用 Fourier变换处理这些信号，这些非平稳的突变成份 往往被Fourier变换的积分作用平滑掉了。因此，不 能用于局部分析。在实际应用中，也不乏不同的时 间过程却对应着相同的频谱的例子。
a:a<1; b: a=1; c: a>1。
a ,b (t ) 2,15 (t )
数字图像处理数字图像处理第二章(第六讲)KL变换、其他正交变换
第二章 常用的数学变换
2.6其他正交变换 —离散沃尔什-哈达玛变换(WHT)
1 1 1 1 1 1 1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 1 1 1 1 1 1 1
H8
1 22
1 1
1 1
1 1
1 1
1
1 1
1
1 1 1 1
1
1
1
1 1
1
1
1
1 1 1 1 1 1 1 1
1
1
1
1
1
2.6其他正交变换 —离散沃尔什-哈达玛变换(WHT)
1893年法国数学家哈达玛总结前人研究只包含+1和-1的正交矩 阵结果，形成哈达玛矩阵，既简单又有规律
1923年美国数学家沃尔什提出Walsh函数，具有特点 函数取值仅有两个(0,1或-1，+1) 由Walsh函数构成的Walsh函数集，具备正交性和完备性
种是按照哈达玛排列来定义。由于哈达玛排序的沃尔什函数是由2n （n=0，1，2，…）阶哈达玛矩阵（Hadamard Matrix）得到的，而
哈达玛矩阵的最大优点在于它具有简单的递推关系， 即高阶矩阵可 用两个低阶矩阵的克罗内克积求得，因此在此只介绍哈达玛排列定 义的沃尔什变换。
第二章 常用的数学变换
0.443(60) 0.742(70) 0.376(62) 0.106(50)
119.53
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第二章 常用的数学变换
第二章 常用的数学变换
2.1 引言 2.2 空域变换 2.3 频率域变换 2.4 离散余弦变换 2.5 KL变换 2.6 其他正交变换
第二章 常用的数学变换
数字图像处理PPT——第十章 图像的正交变换
x =0 y =0 M −1 N −1 M −1 N −1
图像处理
− j 2π xu M − j 2π yv N
⋅e
yv xu − j 2π ⎡ ⎤ − j 2π M N = ∑ ⎢ ∑ f ( x, y ) ⋅ e ⎥e x =0 ⎣ y =0 ⎦
f ( x, y )e
⇔ F (u − u0 , v − v0 )
xu0 yv0 − j 2π ( + ) M N
f ( x − x0 , y − y0 ) ⇔ F (u , v)e
二维DFT的主要性质
图像处理
旋转性 空间域函数旋转角度 θ 0 ，那么在变换 域此函数的Fourier也旋转同样的角度。 反之，若 F(u,v) 旋转某一角度，则 f (x, y) 在空间域也旋转同样角度。
−
j 2πux N
1 = N
N / 2 −1
∑ f ( x)W
x =0
N −1
ux N
1 2 = [ 2 N
N / 2 −1
∑
x =0
2 2 ux f (2 x)WN + N
∑
x =1
u f (2 x + 1)WN ( 2 x +1) ]
N 1 1 M −1 1 M −1 ux ux u MΔ [ ∑ f (2 x)WM + f (2 x + 1)WM WN ] ∑ 2 2 M x =0 M x =1 k 1 u W2kN = WN / 2 = [ Fe (u ) + WN Fo (u )] 2 0≤u≤M
−∞
j 2πux
du
x为时域变量，u为频率变量，以上公式称 为Fourier变换对。
论正交变换的理论基础及其在图像处理中的应用
滨江学院《计算机图像处理》课程设计报告题目论正交变换的理论基础及其在图像处理中的应用专业12计算机科学与技术学生姓名学号二Ｏ一五年六月十日目录1课程设计目的 (2)2课程设计要求 (2)3 正交变换的概述 (2)3.1 信号的正交分解 (2)3.2 正交变换的定义 (3)3.3 正交变换的分类 (4)3.4 正交变换的标准基 (4)3.4.1 一维DFT的标准基 (4)3.4.2 二维DFT (6)3.4.3 正交变换的标准基图像 (7)3.5 正交变换在图像处理中的应用 (8)6 总结 (9)7 参考文献 (9)1课程设计目的(1) 理解正交变换的基本概念及分类。
(2) 了解正交变换在图像处理中的应用2课程设计要求（1）掌握课程设计的相关知识、概念清晰。
（2）查阅资料，根据不同处理需求，设计完成对数字图像的处理与分析。
（3）熟练掌握matlab 软件的基本操作与处理命令。
（4）进一步理解数字图像处理与分析的过程与意义。
3 正交变换的概述3.1 信号的正交分解完备的内积空间称为希尔伯特空间。
折X 为一希尔伯特空间,φ1 ,φ2 , ⋯,φn 是X 空间中的一向量,如果它们是线性独立的,则称之为空间X 中的一组“基”。
某一信号x 就可以按这样的一组基向量作分解,即X=∑=Nn n n a 1φ （式3-1）式（3-1）中a 1 , a 2 , ⋯, a n 是分解系数, 它们是一组离散值。
假设φ1 ,φ2 , ⋯,φn 是一组两两互相正交的向量,则式(3-1) 称为x 的正交展开, 或正交分解。
系数a 1 , a 2 , ⋯, a N 是x 在各个基向量上的投影 ,若N=3 ,其含义如图3-1 所示。
图3-1 信号的正交分解3.2 正交变换的定义一维序列 }10),({-≤≤N x x f可以表示成一个N 维向量 [])1(),...,1(),0(-=N f f f T U 其酉变换可以表示为 AU V = 或 )(),()(10x f x u a u g N x ∑-==，10-≤≤N u 其中变换矩阵A 满足A A T *-=1（酉矩阵），若A 为实数阵，则满足A A T =-1，称为正交阵。
数字图像处理图像变换实验报告
实验报告实验名称:图像处理姓名:刘强班级:电信1102学号:1404110128实验一图像变换实验——图像点运算、几何变换及正交变换一、实验条件PC机数字图像处理实验教学软件大量样图二、实验目的1、学习使用“数字图像处理实验教学软件系统”,能够进行图像处理方面的简单操作;2、熟悉图像点运算、几何变换及正交变换的基本原理,了解编程实现的具体步骤;3、观察图像的灰度直方图,明确直方图的作用与意义;4、观察图像点运算与几何变换的结果,比较不同参数条件下的变换效果;5、观察图像正交变换的结果,明确图像的空间频率分布情况。
三、实验原理1、图像灰度直方图、点运算与几何变换的基本原理及编程实现步骤图像灰度直方图就是数字图像处理中一个最简单、最有用的工具,它描述了一幅图像的灰度分布情况,为图像的相关处理操作提供了基本信息。
图像点运算就是一种简单而重要的处理技术,它能让用户改变图像数据占据的灰度范围。
点运算可以瞧作就是“从象素到象素”的复制操作,而这种复制操作就是通过灰度变换函数实现的。
如果输入图像为A(x,y),输出图像为B(x,y),则点运算可以表示为:B(x,y)＝f[A(x,y)]其中f(x)被称为灰度变换(Gray Scale Transformation,GST)函数,它描述了输入灰度值与输出灰度值之间的转换关系。
一旦灰度变换函数确定,该点运算就完全确定下来了。
另外,点运算处理将改变图像的灰度直方图分布。
点运算又被称为对比度增强、对比度拉伸或灰度变换。
点运算一般包括灰度的线性变换、阈值变换、窗口变换、灰度拉伸与均衡等。
图像几何变换就是图像的一种基本变换,通常包括图像镜像变换、图像转置、图像平移、图像缩放与图像旋转等,其理论基础主要就是一些矩阵运算,详细原理可以参考有关书籍。
实验系统提供了图像灰度直方图、点运算与几何变换相关内容的文字说明,用户在操作过程中可以参考。
下面以图像点运算中的阈值变换为例给出编程实现的程序流程图,如下:2、图像正交变换的基本原理及编程实现步骤数字图像的处理方法主要有空域法与频域法,点运算与几何变换属于空域法。
图像处理中正交变换方法对比汇总
目录1课程设计目的 (1)2课程设计要求 (1)3 正交变换的概述 (1)3.1 信号的正交分解 (1)3.2 正交变换的定义 (2)3.3 正交变换的分类 (3)3.4 正交变换的标准基 (3)3.4.1 一维DFT的标准基 (3)3.4.2 二维DFT (5)3.4.3 正交变换的标准基图像 (6)3.5 正交变换在图像处理中的应用 (7)4 傅里叶变换 (8)4.1 傅里叶变换的定义及基本概念 (9)4.2 傅里叶变换代码 (13)4.3 傅里叶变换与逆变换结果 (14)5 离散余弦变换 (14)5.1 离散余弦变换的定义 (14)5.2 离散余弦变换代码 (17)5.3 离散余弦变换与逆变换结果 (17)6 小波变换 (18)6.1概述 (18)6.2 小波变换的基本理论 (18)6.3 小波变换代码 (20)6.4 小波变换结果 (21)7 结论 (21)8 参考文献 (22)图像处理中正交变换方法对比1课程设计目的(1) 理解正交变换的基本概念及分类。
(2) 掌握傅立叶变换及逆变换的基本原理方法。
(3) 掌握离散余弦变换的基本原理方法。
(4) 掌握小波变换的基本原理及方法。
(5) 学会利用matlab 软件进行数字图像处理与分析2课程设计要求（1）掌握课程设计的相关知识、概念清晰。
（2）查阅资料，根据不同处理需求，设计完成对数字图像的处理与分析。
（3）熟练掌握matlab 软件的基本操作与处理命令。
（4）进一步理解数字图像处理与分析的过程与意义。
3 正交变换的概述3.1 信号的正交分解完备的内积空间称为希尔伯特空间。
折X 为一希尔伯特空间,φ1 ,φ2 , ⋯,φn 是X 空间中的一向量,如果它们是线性独立的,则称之为空间X 中的一组“基”。
某一信号x 就可以按这样的一组基向量作分解,即X=∑=Nn n n a 1φ （式3-1） 式（3-1）中a 1 , a 2 , ⋯, a n 是分解系数, 它们是一组离散值。
数字图像处理学：第3章 图像处理中的正交变换(第3-3讲)
的模2移位序列，则
Wz (n)
1 N
N 1
z(t) wal(n, t)
t 0
1
N 1
f (t l) wal(n, t)
N t0
令 r t l ，则有 t r l ，并且当 t 取值由
0到N-1时，r 也取同样的值，只不过取值的顺序不 同而已。于是可写成如下形式：
Wz (n)
1 N
另外，沃尔什函数可写成如下形式
p 1
t p1k (ik 1ik ) wal(i, t) (1) h0 式中 t (t p1t p2 tk t2t1t0 )二进
i (i p1i p2 ik t2t1t0 )二进
N 2p
因此，可得到指数形式的沃尔什变换式
p 1
1 N 1
t p1h (ik 1ik )
因此
p 1
g(i)k g( j)k
wal(i,t) wal( j,t) R(k 1,t)
k 0
p 1
g(i)k g( j)k
R(k 1,t)
wal(i j,t)
k 0
以上便是乘法定理的证明。
（４） 沃尔什函数有归一化正交性
1
0 i j
0 wal(i,t) wal( j,t)dt 1 i j
N 1
f
r 0
(r) wal(n, r
l)
1
N 1
f (r) wal(n, r) wal(n, l)
N r0
wal(n, l)[ 1
N 1
f (r) wal(n, r)]
N r0
wal(n, l)[ 1
N 1
f (t) wal(n, t)]
N t0
wal(n, l) W (n)
图像处理中的正交变换探讨
图像处理中的正交变换探讨刘舜鑫;刘少卿【摘要】正交变换是一类非常重要的变换,其具有使变换前后图像能量保持不变的特性.图像的正交变换是图像处理技术的重要工具,被广泛地运用于图像特征提取、图像增强、图像复原、图像压缩和图像识别等领域.首先,论述了正交变换的定义及编码原理；其次,对正交变换中的傅立时变换和离散余弦变换的基本概念、性质、算法以及在图像处理中的应用等进行了详细的叙述；最后,利用Madab和C++编程,实现了快速离散傅立叶变换和离散余弦变换,并对两种变换结果的优劣作了全面的比较.【期刊名称】《电子产品可靠性与环境试验》【年(卷),期】2013(031)002【总页数】6页(P57-62)【关键词】正交变换;傅立叶变换;离散余弦变换;频域【作者】刘舜鑫;刘少卿【作者单位】工业和信息化部电子第五研究所,广东广州 510610【正文语种】中文【中图分类】TP391.410 引言图像处理是指用计算机对图像进行分析，以达到所需结果的技术，又被称为影像处理。
平常所说的图像处理一般指数字图像处理。
数字图像是指用数字摄像机、扫描仪等设备经过采样和数字化得到的一个大的二维数组，该数组的元素被称为像素，其值为一整数，被称为灰度值。
图像处理技术的主要内容包括图像压缩，增强和复原，匹配、描述和识别3个部分 [1]。
图像变换是图像处理技术的重要工具。
为了有效和快速地对图像进行处理和分析，图像变换将原定义在图像空间的图像以某种形式转换到另外一些空间，并利用这些空间的特有性质更方便地进行加工，最后再变换回图像空间以得到所需的效果。
正交变换改变图像的表示域及表示数据，给图像处理工作带来了极大的方便。
利用这个工具，可以对图像的频谱进行各种各样的处理。
1 正交变换的两种定义a）定义1：欧氏空间V上的一个线性变换σ被称为正交变换，如果它保持向量的长度不变，即对任意ξ∈V，均有b）定义2：欧氏空间V上的一个线性变换σ被称为正交变换，如果它保持向量的内积不变，即对任意ξ，η∈V，均有（σ（ξ），σ（η））=（ξ，η）。
图像信号的正交变换
定义
哈达玛变换是一种离散数学中的正交 变换，它将一个有限维的实数向量空 间映射到其自身，并保持向量的欧几 里得范数不变。
应用
哈达玛变换在图像处理、信号处理、数 据压缩等领域有广泛应用，特别是在图 像压缩编码中，可以有效地去除图像中 的冗余信息，提高图像压缩效率。
凯泽变换
定义
凯泽变换是一种离散数学中的正交变换，它将一个有限维的实数向量空间映射到其自身，并保持向量的欧几里得 范数不变。
小波变换在图像处理中的应用
01
02
03
图像压缩
小波变换可以将图像分解 成不同频率和方向的子图 像，从而去除冗余信息， 实现高效的图像压缩。
图像增强
通过调比度、锐 度等。
图像去噪
小波变换能够检测到图像 中的噪声，并通过滤波器 去除噪声，提高图像质量。
图像信号的正交变换
目
CONTENCT
录
• 正交变换简介 • 傅里叶变换 • 离散余弦变换 • 小波变换 • 其他正交变换方法
01
正交变换简介
正交变换的定义
正交变换是一种线性变换，它将输入信号从一种表示形式转换到 另一种表示形式，同时保持信号的能量不变。
正交变换具有正交性，即变换的逆变换与原变换是相互正交的， 这意味着逆变换可以恢复出原始信号。
对于连续信号，傅里叶变换可以表示为积分形式。
傅里叶变换的基本思想是，任何周期函数都可以由 一组正弦和余弦函数构成，而每个正弦和余弦函数 都有一个频率。
傅里叶变换的性质
线性性
如果 $f(t)$ 和 $g(t)$ 是两个信号，且 $a$ 和 $b$ 是常数，那么 $a f(t) + b g(t)$ 的傅里叶变 换等于 $a F(w) + b G(w)$，其中 $F(w)$ 和 $G(w)$ 分别是 $f(t)$ 和 $g(t)$ 的傅里叶变换。
第3章 图像信号的正交变换1
H(k)=he(k)+ho(k) Σx(i)h(k-i)=x(k)*h(k) x(k)*h(k) ←→ X(n)H(n) x(i)h(k+i)=x(k)☉h(k) x(k)h(k) ←→ 1/N•X(n)*H(n)
|H(n)|2
数字图像处理
傅立叶性质小结：
图像的正交变换
1、傅立叶变换是线性积分变换，在时间（或空间） 域的复数函数和频率域的复数函数间建立起唯一 对应。
2、傅立叶变换保持奇偶性。
3、函数和的傅立叶变换等于它们分别变换再求和 （加法定理）。
4、平移函数的原点将在傅立叶谱中引入一个相位 移（与频率成正比），它改变了谱的实部和虚部 的能量分配，但不改变总能量（位移定理）。
18
数字图像处理
注意观察对应关系
图像的正交变换
19
数字图像处理
(3) 二维DFT的实现
图像的正交变换
0
N-1 y
行变换 0
N-1 v
0
列变换
N-1 v
N-1 f(x,y)
N-1 F(x,v)
N-1 F(u,v)
x
x
u
20
数字图像处理
图像的正交变换
(3) 二维DFT的实现
转置 f(x,y) F列［f(x,y)］=F(u,y) －F(u,y)Ｔ
Gu
1
1 (N 1) 2
j2 ux
g(x)e 2N
2N x 1 (N 1) 2
1 2N x
1
2
j ux
g(x)e N
1 (N 1) 2
1
1 (N 1) 2
j ux
正交变换3
数字图像处理与分析第四章 图像处理中的正交变换3刘定生 中科院中国遥感卫星地面站2005年春季学期1其他变换—小波变换连续小波变换基本小波—一个具有振荡性和迅速衰减的波 小波基函数ψ a ,b ( t ) =t−b 1 ψ( ) a aa－尺度系数（伸缩系数）；b－位移系数第四章 图像处理中的正交变换刘定生 中科院中国遥感卫星地面站2其他变换—小波变换连续小波变换连续小波变换定义（又称之为积分小波变换）：W f ( a , b ) =< f ,ψ∞a ,b( t ) >= 1 a=−∞∫f ( t )ψa ,b( t ) dt =−∞∫∞t−b ) dt f ( t )ψ ( a连续小波变换的逆变换：1 f (t ) = Cψ∞ ∞∫0da ∫∞W f ( a , b )ψ a ,b ( t ) db a 2 −第四章 图像处理中的正交变换刘定生 中科院中国遥感卫星地面站3其他变换—小波变换连续小波变换 W(a,b)是信号x(t)与小波基本函数在尺度因子a和位移因 子b时的互相关函数 如果信号在特定的尺度因子a和位移因子b下与基本小波函 数具有较大的相关性（相似性），则W(a,b)值将较大 对于任意给定的尺度因子a（频率~ 1/a），小波变换 W(a,b)为输入信号作用于具有响应函数 ψ ∗a,0 (−b) 的滤波 器输出； 小波变换定义了一组由尺度因子a规范的连续滤波器组第四章 图像处理中的正交变换刘定生 中科院中国遥感卫星地面站4其他变换—小波变换小波变换与STFT的基本区别B STFT B B B B Bf0 B CWT2f0 2B3f0 4B4f05f06f0 8Bf02f04f08f0 刘定生 中科院中国遥感卫星地面站5第四章 图像处理中的正交变换其他变换—小波变换小波变换参数的深入分析尺度（Scaling）—小波的“尺度”变化意味着对小波进行“拉伸”或“压 缩”f(t) = sin(t) scale factor1f(t) = sin(2t) scale factor 2f(t) = sin(3t) scale factor 3第四章 图像处理中的正交变换刘定生 中科院中国遥感卫星地面站6其他变换—小波变换小波变换参数的深入分析（续）尺度—某种程度上类似于频率：频率～1/a第四章 图像处理中的正交变换刘定生 中科院中国遥感卫星地面站7其他变换—小波变换小波变换参数的深入分析（续）尺度与频率大尺度对应于“展开”的小波，小波展开越大，该小波表征的信号 特征就越粗糙（平滑）小尺度大尺度小尺度a：对应于压缩的小波；可表征更好的细节（变 化）：高频率 大尺度a：对应于展开的小波；表征粗糙部分（慢变化）： 低频率 第四章 图像处理中的正交变换刘定生 中科院中国遥感卫星地面站8其他变换—小波变换小波变换参数的深入分析（续）位移（Shifting）—延迟或加速小波 数学上，延迟一个函数f(t)表示为f(t-k)第四章 图像处理中的正交变换刘定生 中科院中国遥感卫星地面站9其他变换—小波变换小波变换参数的深入分析（续）C = 0.0004C = 0.0034 第四章 图像处理中的正交变换刘定生 中科院中国遥感卫星地面站10其他变换—小波变换小波变换参数的深入分析（续）小波变换系数分布图第四章 图像处理中的正交变换刘定生 中科院中国遥感卫星地面站11其他变换—小波变换小波变换的基本性质线性—小波变换是线性变换f (t ) = αf 1(t ) + βf 2 (t )W f ( a, b) = αW f1( a, b) + βW f 2( a, b)平移和伸缩的共变性1 f ( a0 t ) ⇔ W f ( a0 a , a0 b ) a冗余性：连续小波变换中存在信息表述的冗余度其表现是由连续小波变换恢复原信号的重构公式不是唯一的，小波变换 的核函数存在许多可能的选择 尽管冗余的存在可以提高信号重建时计算的稳定性，但增加了分析和解 释小波变换的结果的困难第四章 图像处理中的正交变换刘定生 中科院中国遥感卫星地面站12其他变换—小波变换离散小波变换连续小波变换中，尺度系数和平移系数连续取值，将产生 巨大的计算量，主要用于理论分析 仅取尺度与位置的某些离散量，采用离散化的尺度及位移 因子，可大量减少计算量，形成离散小波变换令m m a = a0 ; b = nb0a0 ; a0 > 1, b0 ≠ 0; m, n为整数系列可有离散小波基函数：m m − t − nb0a0 − ψ m ,n ( t ) = m ψ ( ) = a0 2ψ ( a0 mt − nb0 ) m a0 a01及离散小波变换：< f ,ψ m ,n >=−∞∫∞f (t ) m ,n (t )dt = a0 ψ−m ∞ 2 −∞∫f (t ) ( a0 mt − nb0 )dt ψ −13第四章 图像处理中的正交变换刘定生 中科院中国遥感卫星地面站其他变换—小波变换二进小波变换若基于2的幂次方选择二进伸缩和二进位移（以2的因子伸 缩和平移）构成基函数，即a0 = 2; b0 = 1;则形成二进小波ψ m ,n ( t ) =1 2ψ( mt − n 2m 2m) = 2 ψ ( 2 −m t − n )−m 2第四章 图像处理中的正交变换刘定生 中科院中国遥感卫星地面站14其他变换—小波变换二进正交小波变换满足下列条件的二进小波（正交性条件）< ψ m,n ,ψ j ,k >= δ m, jδ n,k( Kronecher δ 函数)⎧1 m = j, n = k =⎨ 其他 ⎩0为二进正交小波。
第3章 图像处理中的正交变换
第二章 数字图像处理基础
（2）若f(x)是定义在t0和t0+T区间的实值信号， 平方可积。可以表示为： 意味着f(x)可以由无
f ( x) anun ( x)
n 0
穷级数来表示
对任意小的ε＞0，存在充分大的N， t 0 T 2 f ( x) f ( x) dx
t0
反变换核
显然，这两个变换核应该满足正交性和完 备性。
12
第二章 数字图像处理基础
3.1 傅里叶变换
• 傅里叶变换
利用傅里叶变换的特性，将时间信号正变换 到频率域后进行处理（例如低通、高通或带通）， 然后再反变换成时间信号，即可完成对信号的滤 波。
• 低通滤波：在频率域中抑制高频信号 • 高通滤波：在频率域中抑制低频信号
即如果需要将频域的坐标原点从显示屏起始点（0，0） 移至显示屏的中心点只要将f(x,y)乘以(-1)x+y因子再进行傅 里叶变换即可实现。 例题：利用(-1)x+y对单缝图像f(x,y)进行调制，实现把频谱 坐标原点移至屏幕正中央的目标。
A A AA I
T T
10
第二章 数字图像处理基础
一维正交变换
对于一向量f，用上述正交矩阵进行运算：
g = Af
若要恢复f，则:
f A gA g
T
1
以上过程称为正交变换。 我们把原为A-1可以用AT来代替的A阵称为正 交矩阵。
11
第二章 数字图像处理基础
二维正交变换 • N×N二维函数可以类似于一维
第二章 数字图像处理基础
三、 二维离散傅里叶变换的性质 • 基本性质：
1.线性
f1 x, y F1 u, v c1 f1 x, y c2 f 2 x, y c1F1 u, v c2 F2 u, v f 2 x, y F2 u, v
正交变换的方法
正交变换的方法正交变换是线性代数中的重要概念，它在许多领域中都有广泛的应用。
本文将围绕正交变换展开，介绍它的定义、性质以及在几何、图像处理和信号处理等领域中的应用。
一、正交变换的定义与性质正交变换是指保持向量长度和夹角的线性变换。
具体而言，对于一个n维向量空间V中的向量x和y，如果存在一个n×n的矩阵Q，使得对于任意的x和y有Qx·Qy=x·y，那么矩阵Q就是一个正交矩阵，而变换Qx就是一个正交变换。
正交变换的一些基本性质如下：1. 正交变换保持向量的长度不变，即||Qx|| = ||x||；2. 正交变换保持向量之间的夹角不变，即(Qx)·(Qy) = x·y；3. 正交变换的逆变换也是正交变换，即Q的逆矩阵Q^-1也是正交矩阵；4. 正交矩阵的转置等于它的逆矩阵，即Q^T = Q^-1；5. 两个正交矩阵的乘积仍然是正交矩阵。
二、正交变换在几何中的应用在几何中，正交变换被广泛用于描述平移、旋转和镜像等基本变换。
通过矩阵乘法的方式，可以将一个点或一个物体进行平移、旋转或镜像操作，从而改变它在坐标系中的位置和方向。
三、正交变换在图像处理中的应用正交变换在图像处理中有着重要的应用。
其中最著名的正交变换是离散傅里叶变换（DFT），它将一个离散信号从时域转换到频域。
DFT的基础是正交变换的性质，通过将信号拆解成一系列正交基函数的线性组合，可以得到信号在频域上的表示，从而实现信号的频谱分析和滤波处理。
四、正交变换在信号处理中的应用正交变换在信号处理中也有着广泛的应用。
例如，在通信系统中，正交变换被用于多载波调制（OFDM）技术中，通过将信号分成多个正交子载波进行传输，提高了信号的抗干扰性能和频谱利用率。
另外，正交变换还被用于信号压缩和降噪等领域，通过正交变换将信号转换到一个更稳定的域中，可以提取信号的重要特征并减小数据的冗余。
五、总结正交变换作为一种保持向量长度和夹角的线性变换，在几何、图像处理和信号处理等领域中有着广泛的应用。
第3章 图像处理中的正交变换(1)
f
(x)
F (n)e jn0x
式中
F (n)
1 T
T
2 T
2
f
(x)e jn
0x dx
0
2 T
因此，傅里叶变换可写成下式:
F () F [ f ( x)]
F
[
F (n)e jn0x ]
F (n)F
[e jn0 x ]
F
(n)
e e dx jn0
jx
n
F
(n)
e dx j ( n0 )
n
2 F (n) ( n0 ) n
图3—3 周期函数的傅里叶谱
由上面的例子可以建立起下面几个概念： （１）只要满足狄里赫莱条件，连续函数就可
以进行傅里叶变换，实际上这个条件在工程运用中 总是可以满足的。
（２）连续非周期函数的傅里叶谱是连续的非 周期函数，连续的周期函数的傅里叶谱是离散的非 周期函数。
3. 1 傅里叶变换
傅里叶变换是大家所熟知的正交变换。在一 维信号处理中得到了广泛应用。把这种处理 方法推广到图像处理中是很自然的事。这里 将对傅里叶变换的基本概念及算法作一些简 单的复习。
3.1.1 傅里叶变换的定义及基本概念
傅里叶变换在数学中的定义是严格的。设f(x)为 x的函数，如果满足下面的狄里赫莱条件： （１）具有有限个间断点； （２）具有有限个极值点； （３）绝对可积。
则有下列二式成立
F (u)
f ( x)e j 2ux dx
(3—1)
f ( x) F (u)e j2ux du
(3—2)
式中x是时域变量，u为频率变量。
如令 2 u ， 则有
F () f ( x)e jx dx f (x) 1 F ()e jx d 2
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目录1课程设计目的 (1)2课程设计要求 (1)3 正交变换的概述 (1)3.1 信号的正交分解 (1)3.2 正交变换的定义 (2)3.3 正交变换的分类 (3)3.4 正交变换的标准基 (3)3.4.1 一维DFT的标准基 (3)3.4.2 二维DFT (5)3.4.3 正交变换的标准基图像 (6)3.5 正交变换在图像处理中的应用 (7)4 傅里叶变换 (8)4.1 傅里叶变换的定义及基本概念 (9)4.2 傅里叶变换代码 (13)4.3 傅里叶变换与逆变换结果 (14)5 离散余弦变换 (14)5.1 离散余弦变换的定义 (14)5.2 离散余弦变换代码 (17)5.3 离散余弦变换与逆变换结果 (17)6 小波变换 (18)6.1概述 (18)6.2 小波变换的基本理论 (18)6.3 小波变换代码 (20)6.4 小波变换结果 (21)7 结论 (21)8 参考文献 (22)图像处理中正交变换方法对比1课程设计目的(1) 理解正交变换的基本概念及分类。
(2) 掌握傅立叶变换及逆变换的基本原理方法。
(3) 掌握离散余弦变换的基本原理方法。
(4) 掌握小波变换的基本原理及方法。
(5) 学会利用matlab 软件进行数字图像处理与分析2课程设计要求（1）掌握课程设计的相关知识、概念清晰。
（2）查阅资料，根据不同处理需求，设计完成对数字图像的处理与分析。
（3）熟练掌握matlab 软件的基本操作与处理命令。
（4）进一步理解数字图像处理与分析的过程与意义。
3 正交变换的概述3.1 信号的正交分解完备的内积空间称为希尔伯特空间。
折X 为一希尔伯特空间,φ1 ,φ2 , ⋯,φn 是X 空间中的一向量,如果它们是线性独立的,则称之为空间X 中的一组“基”。
某一信号x 就可以按这样的一组基向量作分解,即X=∑=Nn n n a 1φ （式3-1） 式（3-1）中a 1 , a 2 , ⋯, a n 是分解系数, 它们是一组离散值。
假设φ1 ,φ2 , ⋯,φn 是一组两两互相正交的向量,则式(3-1) 称为x 的正交展开, 或正交分解。
系数a 1 , a 2 , ⋯, a N 是x 在各个基向量上的投影 ,若N=3 ,其含义如图3-1 所示。
图3-1 信号的正交分解3.2 正交变换的定义一维序列 }10),({-≤≤N x x f可以表示成一个N 维向量 [])1(),...,1(),0(-=N f f f T U 其酉变换可以表示为 AU V = 或 )(),()(10x f x u a u g N x ∑-==，10-≤≤N u 其中变换矩阵A 满足A A T *-=1（酉矩阵），若A 为实数阵，则满足A A T =-1，称为正交阵。
向量 =V [])1(),...,1(),0(-N g g g T由此，U 可以表示为 V U A T*= 或 ),()()(10x u u g x f N x a ∑-=*= 10-≤≤N u 可知，给定基向量,}10),,({-≤≤*=→*N x x u a a T 10-≤≤N u ，原序列f （x ）可以由一组系数g （u ）（10-≤≤N u ）表示，这组系数（变换）可以用于滤波，数据压缩，特征提取等。
若矩阵 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a A .....................212222111211 满足：I A A A A T T == 则矩阵A 就成为正交矩阵。
对于某向量f ，用上述正交矩阵进行运算：Af g =若要恢复f ，则g g f A A T ==-1以上过程称为正交变换（酉变换）。
3.3 正交变换的分类正交变换总的可分为两大类,即非正弦类正交变换和正弦类正交变换。
我们经常使用的离散傅立叶变换(DFT) 、离散余弦变换(DCT) 、离散正弦变换(DST) 等属于正弦类变换,其中还包括离散Hartley 变换(DHT) 及离散W 变换(DWT) 等。
非正弦类变换包括Walsh —Hadamard 变换(WHT) 、Haar 变换( HRT) 等。
由于正弦类变换在理论价值和应用价值上都优于非正弦类变换,从而在正交变换中占据主导地位。
除了正弦类和非正弦类正交变换,还有两种特殊的正交变换,K-L 变换和正交小波变换。
K-L 变换去除信号中的相关性最彻底,且有着最佳的统计特性,被称为最佳变换。
但是K-L 变换的基函数依赖与原始数据,没有固定的变换核,限制了它的普遍应用。
小波变换能够具有很高的时频分辨率,进行局部化分析,通过伸缩平移运算对信号进行多尺度细化,达到高频处时间细分,低频处频率细分。
但是小波正交基的结构复杂,具有紧支集的小波正交基不可能具有对称性。
随着小波理论及算法的成熟,必将大有作为。
3.4 正交变换的标准基傅立叶变换是正交变换中最常用的变换,以它为例来讨论正交变换标准基具有普遍意义。
3.4.1 一维DFT 的标准基首先从傅立叶级数进行考虑。
假设函数f ( t)满足收敛定理,则函数f ( t) 的傅立叶级数为()∑∞=++10sin cos 2n n n nt b nt a a （式3-2） a 0 , a 1 , b 1 , ⋯是函数f ( t) 的傅立叶系数。
例如,一矩形波f ( t) 是周期为2π的周期函数,在[ -π,π] 上-1 -π≤t ＜0（式3-3）1 0≤t ＜π由下式求得傅立叶系数,ntdt t f a n cos )(1⎰=πππ⎰=πππntdt t f b n sin )(1（式3-4） 得到矩形波f （t ） 的傅立叶级数展开为:)(t f =π4⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++...)12sin(121...3sin 31sin t k k t t ,....)2,,0;(ππ±±≠∞<<-∞t t（式3-5）上面得到的展开式表明:矩形波是由一系列不同频率的正弦波乘以一个权值叠加而成。
这些波的频率依次为基波频率的奇数倍。
可以看到,求傅立叶系数的过程相当于傅立叶变换的过程,把原始信号展开,相当于傅立叶逆变换的过程。
实际上,“任意”满足收敛的一个波、一个信号都可以分解成无穷多个不同频率的信号。
这里说的这些无穷多的不同频率的信号就是标准基波。
在DFT 中也是类似的意思。
假设有限长序列f( x) ( x = 0 ,1 , ⋯, N - 1) ,一维DFT 变换对如下:其中e N j W π2-=称为变换核。
将式（6）写成矩阵形式F = W ·f 即:W 是正交变换矩阵, 矩阵元素是变换核函数不同次幂构成。
W 是正交矩阵,有W - 1 = W T 。
可以看出F( u) 是角频率为2πu/ N 信号的加权系数,也就是它在原始信号中分量的大小。
如此诸多标准基波乘以其各自系数再求和得到了原始信号,这也就是离散傅立叶反变换。
3.4.2 二维DFT一幅数字图像可以用一个二维矩阵来表示, f( i , j) 表示i 行j 列这个像素点的灰度值。
数字图像处理主要是二维数据处理。
假设f ( x , y) ( x =0 ,1 , ⋯, M - 1 ; y = 0 ,1 , ⋯, N - 1) 是一幅M ×N 图像,则二维离散傅立叶变换为:∑∑-=-=+-=1010)(2),(),(M X N y N vy N ux j e y x f v u F π u=0，1,…,M-1;v=0,1,…,N-1 （式3-9） 逆变换为：∑∑-=-=+=1010)(2),(1),(M uN v N vy N ux x j e v u F MN y x f x=0，1,…,M-1;y=0,1,…,N-1 (式3-10） 其中，e N vy N ux j )(2+-π称为正交变换核。
在二维DFT 中同样可以将（式2-9）写成矩阵形式： F = W ·f ·W T其中f 是原始的二维矩阵, F 是二维DFT 系数矩阵,W 是正交变换矩阵。
从式(10) 就可以得到逆变换的矩阵形式,两边左乘W - 1 ,右乘W得: （式3-11）因为整段数据或整幅图像的相关性小,相对冗余度低, 所以如果对整段数据或整幅图像进行DFT ,很难保证能量较大的系数处在相对集中的位置。
这不符合我们正交变换的目的。
为了消除对整幅图像进行DFT 带来的大能量系数不能集中的问题,在实际应用中一般都将图像划分为8 ×8 或16 ×16 的小方块来做。
一幅图像在空间上作周期性变化, 则该周期的倒数称为空间频率。
在图像中, 空间频率的大小表征图像明暗变化的快慢, 决定着图像的细节是否丰富[ 。
灰度变化缓慢的区域频率低, 而物体边缘或噪声对应高频。
F( u , v) 表示在对应( u ,v) 的频率点的标准基上的分量大小。
这里的标准基类似一维DFT 的标准基, 一维DFT 中标准基是特定频率的波,在二维DFT 中每个标准基就应该是一幅图像,将在2.4.3 节中详细描述标准基图像。
考虑二维离散傅立叶逆变换, IDFT 就是将原始图像表示成各个标准基图像的加权和。
在图像压缩中常用的就是舍去能量小的标准基图像,只取主分量。
以此来达到数据压缩的目的。
这样压缩后的图像对视觉效果的影响一般不是很明显,略去的只是细节。
但如果舍去的阈值设置过高,就会造成图像模糊。
3.4.3 正交变换的标准基图像由于DFT 得到的变换矩阵元素是复数, mat-lab 图像显示工具不能显示复数数值,所以选择了DCT 为例来绘制标准基图像。
如前面的讲述,取8×8 的小方块来进行二维DCT 变换。
假设F( u ,v) 对应的标准基图像是N uv , 它也是8 ×8 的二维矩阵。
则有∑∑-=-==110,),(),(M o u N v v u N v u F y x f （式3-12）设G = W T ,则式(2-12) 变为: f = G ·F ·W 。
将右边前两个矩阵乘积展开有: 8888})7(:,:),,7({...})2(:,:),,7({})1(:,:),,7({............})7(:,:),,2({...})2(:,:),,2({})1(:,:),,2({})7(:,:),,1({...})2(:,:),,1({})1(:,:),,1({),(⨯⨯⋅⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=W F G F G F G F G F G F G F G F G F G y x f （式3-13） 这里的｛G( i , :) , f ( : , j) ｝表示G 的第i 行与F 的第j 列所有元素对应相乘再求和。