最新02第二节洛必达法则75708
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02第二节洛必达法则
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第二节洛必达法则
在第一章中，我们曾计算过两个无穷小之比以及两个无穷大之比的未定式的极限. 在那里，计算未定式的极限往往需要经过适当的变形，转化成可利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算. 这种变形没有一般方法，需视具体问题而定，属于特定的方法. 本节将用导数作为工具，给出计算未定式极限的一般方法，即洛必达法则. 本节的几个定理所给出的求极限的方法统称为洛必达法则. 分布图示
★洛必达法则
«Skip Record If...»★例1-2 ★例3
★例4
«Skip Record If...»★例5 ★例6-7综合应用★例8 ★例9
★例10
«Skip Record If...»★例11
«Skip Record If...»★例12 ★例13
★例14
«Skip Record If...»★例15 ★例16
★例17
«Skip Record If...»★例18 ★例19
★例20
«Skip Record If...»★例21 ★例22
★内容小结★课堂练习
★习题3-2 ★返回
内容要点
一、未定式的基本类型：«Skip Record If...»型与«Skip Record If...»型；
«Skip Record If...» «Skip Record If...»
二、未定式的其它类型：«Skip Record If...»型，«Skip Record If...»型，
«Skip Record If...»型
(1) 对于«Skip Record If...»型，可将乘积化为除的形式，即化为«Skip Record If...»或«Skip Record If...»型的未定式来计算.
(2) 对于«Skip Record If...»型，可利用通分化为«Skip Record If...»型的未定式来计算.
(3) 对于«Skip Record If...»型，可先化以«Skip Record If...»为底的指数函数的极限，再利用指数函数的连续性，化为直接求指数的极限，指数的极限为
«Skip Record If...»的形式，再化为«Skip Record If...»或«Skip Record If...»型的未定式来计算.
例题选讲
«Skip Record If...»型
例1 (E01) 求 «Skip Record If...»
解原式«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»
例2 (E02) 求 «Skip Record If...»
解原式«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»
注: 上式中, «Skip Record If...»已不是未定式,不能再对它应用洛必达法则.
例3 (E03) 求«Skip Record If...»
解«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»
例4 (E04) 求 «Skip Record If...».«Skip Record If...»
解«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»注: 若求«Skip Record If...»为自然数）则可利用上面求出的函数极限,得«Skip Record If...»
例5 (E05) 求«Skip Record If...»
解«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»
«Skip Record If...»«Skip Record If...»
例6 (E06) 求 «Skip Record If...».«Skip Record If...»
解原式«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»
例7 (E07) 求 «Skip Record If...»«Skip Record If...» (n为正整数, «Skip Record If...»).
解反复应用洛必达法则«Skip Record If...»次，得
原式«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»
注：对数函数«Skip Record If...»、幂函数«Skip Record If...»、指数函数«Skip Record If...»均为当«Skip Record If...»时的无穷大，但它们增大的速度很不一样，其增大速度比较: 对数函数<<幂函数<<指数函数.
例8 求«Skip Record If...»
解注意到«Skip Record If...»则有
«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»
«Skip Record If...»«Skip Record If...»
«Skip Record If...»«Skip Record If...»