最新02第二节洛必达法则75708
洛比达法则
lim
f (a + x ) + f (a − x ) − 2 f (a ) ． x [ f (a + x ) − f (a − x )]
解
f (a + x ) + f (a − x ) − 2 f (a ) lim x →0 x [ f (a + x ) − f (a − x )]
= lim
1 ∞2
−
1 ∞1
1 ∞ 1 ⋅∞ 2
0 = 0
∞ ln 1
=e
，
．
0 =e
0
0⋅ln 0
=e
∞ ⋅0
，
∞ =e
0⋅ln ∞
=e
∞ ⋅0
一、
0 0
型不定式
若 f ( x ) 和 g( x ) 满足下列条件：
定理 (洛必达法则 1)
(1) 在 x0 的某个去心邻域内可导 ，且 g ( x ) ≠ 0；
( 0 型)
0
x 例 13 lim (sin x ) + x→0
ln sin x = lim+ e = exp lim+ = exp lim 1 x →0 x → 0+ x →0 x −x = exp lim+ x ⋅ cos x = 1 x → 0 sin x
2 2
n n n −1 − x 例 12 lim x +x x → +∞ n n 1 + t − 1 1 1 + t 1 = lim − (令 x = ) = lim+ n t t t t →0 t →0+ t 1 (1 + t ) = lim+ n 1 t →0
第二节 洛必达法则
0 型 0
tan x x 洛 sec 2 x 1 原式 lim lim 3 x0 x 0 x 3x 2 tan 2 x 2 2 lim sec x 1 tan x 2 x 0 3 x
1 3
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结束
内容小结
00 ,1 , 0 型
洛必达法则
f g e g ln f
)
(洛必达法则)
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结束
推论1. 定理 1 中 x a 换为下列过程之一:
xa ,
x ,
条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立.
f ( x) 推论 2. 若 lim F ( x)
理1条件, 则
定理1
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例1. 求 解: 原式 lim
lim
t 0
洛
(1 2 t )
1 2
(1 t ) 2t
1 2
洛
lim
t 0
(1 2t )
3 2
1 2 (1 t ) 2
3 2
1 4
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3. 求极限 :
1 解: 令t 2 , 则 x
1 lim 100 e x 0 x
x π 2
型
1 sin x 1 sin x ) lim 解: 原式 lim ( π cos x cos x cos x x π x 2 2
洛
cos x lim sin x x π 2
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通分 转化
0 0
高等数学课件3-2洛必达法则
添加标题
洛必达法则的应用：洛必达法则在解决一些复杂的极限问题时非常有用，例如求解函数极限、求导数 等。
添加标题
洛必达法则的局限性：洛必达法则只适用于函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上可导，且g'(x)≠0的情况。 如果g'(x)=0，那么洛必达法则不适用。
洛必达法则的推导技巧
洛必达法则是 微积分中一个 重要的法则， 用于解决极限
洛必达法则的逆推：洛必达法则的逆推形式包括洛必达法则的推广、洛必达法则的逆推、 洛必达法则的逆推等。
洛必达法则的扩展应用
洛必达法则在微 积分中的应用
洛必达法则在极 限计算中的应用
洛必达法则在函 数求导中的应用
洛必达法则在函 数求积中的应用
洛必达法则与其他数学方法的结合
洛必达法则与微 积分的结合：洛 必达法则是微积 分中的一个重要 定理，它可以用 来求解极限、导 数等问题。
洛必达法则的变种：洛必达法则的变种形式包括洛必达法则的推广、洛必达法则的逆推、 洛必达法则的逆推等。
洛必达法则的推广：洛必达法则的推广形式包括洛必达法则的推广、洛必达法则的逆推、 洛必达法则的逆推等。
洛必达法则的逆推：洛必达法则的逆推形式包括洛必达法则的推广、洛必达法则的逆推、 洛必达法则的逆推等。
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高等数学课件3-2洛必达法则
,
汇报人：
目 录
01 单 击 添 加 目 录 项 标 题
02 洛 必 达 法 则 的 背 景 和 定 义
03 洛 必 达 法 则 的 推 导 过 程
04 洛 必 达 法 则 的 应 用 实 例
05 洛 必 达 法 则 的 注 意 事 项 和 限 制
第二节洛必达法则
称为
0 0
型不定式.
例如, lim tan x , x0 x
0 0
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定理1 设f x，g x满足：
(1) lim f x 0, lim g x 0;
x x0
x x0
(2) 在U x0 内可导，且g x 0;
lim (tan x) x0 ( x)
lim sec2 x0 1
x
1.
例2
求
lim
x1
x
x3 3
x
3x 2
x
2
1
.
0 0
解
原式
3x2 3
lim
x1
3
x2
2
x
1
lim 6x x1 6 x 2
3. 2
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例3
求
二、1、 1； 8
6、1；
2、1；
7、e
2 π
.
3、1 ； 2
4、 1 ； 5、1； 2
三、连续.
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二、用洛必达法则求下列极限：
1、
lim
x
lnsin x ( 2x)2
；
2
1
ln(1 )
2、 lim
x；
x arctan x
3、lim x cot 2x ； x0
4、lim( x1
x
2 2
1
x
1
)； 1
5、 lim x sin x ； x0
6、lim ( 1 )tan x ； x0 x
洛必达法则公式及条件
洛必达法则公式及条件
洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
大意为两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在。
因此，求这类极限时往往需要适当的变形，转化成可利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算。
洛必达法则便是应用于这类极限计算的通用方法。
扩展资料
洛必达法则公式及条件：
设函数f(x）和F(x）满足下列条件：
⑴x→a时，lim f(x)=0,lim F(x)=0;
⑵在点a的某去心邻域内f(x）与F(x）都可导，且F(x）的导数不等于0;
⑶x→a时，lim(f'(x)/F'(x)）存在或为无穷大
则x→a时，lim(f(x)/F(x))=lim(f'(x)/F'(x))
基本理解：
⑴本定理所有条件中，对x→∞的`情况，结论依然成立。
⑵本定理第一条件中，lim f(x)和lim F(x)的极限皆为∞时，结论依然成立。
⑶上述lim f(x)和lim F(x)的构型，可精练归纳为0/0、∞/∞；与此同时，下述构型也可用洛必达法则求极限，只需适当变型推导：0·∞、∞-∞、1的∞次方、∞的0次方、0的0次方。
（上述构型中0表示无穷小，∞表示无穷大。
）。
第二洛必达法则
函数F(x)，G(x).
f ( x), x a, F ( x) x a, 0,
仿上述推证可得
g ( x), x a, G ( x) x a. 0,
f ( x) F ( x) F ( x) f ( x) lim lim lim lim . x a g ( x) x a G ( x) x a G ( x) x a g ( x)
1 1 ln(1 ) cos x x 例11 求 lim . x arc cot x
解
0 所给极限为 型，可以考虑使用洛必达法则. 0 1 但是注意到所求极限的函数中含有因子 cos ， x 1 1 且 lim cos 1 ，因此极限不为零的因子 cos x x x 不必参加洛必达法则运算.
当x a时，必有 a，因此
f ( x) f ( ) f ( ) f ( x) lim lim lim lim . x a g ( x) x a g ( ) a g ( ) x a g ( x)
如果x=a为f(x)和g(x)的可去间断点，可以构造新
如果先令 x t，x 0 时， t 0 ,因此
lim ln t 2 ln t x ln x lim 2 lim 1 x 0 x 0 1 t t
2 lim
x 0
x 0
1 t 0. 1 t
2
x 3 例8 求 lim( ). 3 x 1 1 x 1 x
e x lim xa 1 e
a
.
1 cos 1 x . lim 例2 求 x 1 x 0 1 解 为 型，由洛必达法则可解,设 t ,则 0 x 1 cos 1 cos t 1 x lim lim x t 0 1 t x sin t lim t 0 1 0.
洛必达法则
2
o
为“ ”型， 有类似地洛必达法则.
f ( x) 0 f ( x) 当 x 时， lim 为“ ”型或 lim x F ( x ) x x0 F ( x ) 0 x
1 ln 1 x 例 4 求 lim x arc cot x
1 x （a＞ 0型 例 7 求 lim x a 1 0 ， a 1 ） x 解： 1 1 1 x 0 a ln a 2 1 x x a 1 0 x lim x a 1 lim lim x x 1 ，f ( x )，F ( x )均可导，
f ( x ) iii xlim 存在或者是 。 x0 F ( x ) f ( x) f ( x ) 则 lim ＝ lim . x x0 F ( x ) x x0 F ( x )
证： 1 若f ( x )，F ( x )均在 x0点处连续，
－lim sin x cos x 0
x 0
lim sin x
x 0
tan x
e 1
0
f ( x ) ，若发现 lim 注意：用罗必塔法则求极限时 x x0 F ( x ) f ( x) 不存在，不能轻易推断lim 也不存在. x x0 F ( x )
试讨论
4
0 0
4
x sin x 例 3 求 lim . 3 x 0 x
解：
0 0
0 型 0
0 0
x sin x 1 cos x sin x 1 lim lim lim 3 2 x 0 x 0 x 0 6 x 6 x 3x
说明： 1
o
f ( x ) 0 当 lim 仍为“ ”型时， x x0 F ( x ) 0
高等数学课件 2第二节 洛必达法则ppt
x x
x 1
lim
x sin x
lim
(1
sin
x )
1.
x x
x
x
ห้องสมุดไป่ตู้容小结
洛必达法则
型
0型 0 型
00 ,1 , 0 型
令y f g 取对数
0型
f g f 1g
本节课完结
x
1 x2 1
x2
x2
lim
x
1
x2
lim
x
1
1 x2
1
1.
二、
型未定式
定理3. 设 (1) lim f ( x) , lim F( x) ;
xa
xa
(2) f ( x)与F ( x) 在 (a)内可导,
f ( x)
(3)
lim
xa
F
(
x)存在
(或为∞),
则 lim f ( x) lim f ( x) . xa F ( x) xa F ( x)
x
x0 x
2
lim (secx 1 ).
x
1 sin x
2
问题: 这些极限是否存在?是什么数值?
一、0 型未定式
0 定理1. 设函数 f (x), F (x) 满足:
(1) lim f ( x) 0, lim F( x) 0;
xa
xa
(2) f ( x)与F ( x) 在 (a)内可导,
F(x)
(2)
f (x) F(x)
F( x) .
1
0
f (x)
例9. 求
lim xn ln x
x0
(n 0).
(0 )
洛必达法则课件
0 0
)
lim lim
e cos x 2x e sin x
x
x 0
(
)
.
x 0
2
12
洛必达法则
例 求 lim
x
tan x tan 3 x
2
.
(
)
解
原式 lim
x
sin x cos 3 x cos x sin 3 x
cos 3 x cos x
0 0
2
lim
)
有:
lim
e n次
x ln x .
n!
x
e
n
x
0
14
洛必达法则
用法则求极限有两方面的局限性
其一, 当导数比的极限不存在时,不能断定函数 比的极限不存在, 这时不能使用洛必达法则. 例
求 lim x cos x x
x
x
解
原式 lim
x a ( x )
lim
f ( x) F ( x)
lim
称为
tan x x
0 0
(
或
0 0 )
型未定式.
lim ln sin ax ln sin bx
x 0
如,
(
)
x 0
未定 意味着关于它的极限不能确定出一般的
结论, 而并不是在确定的情况下关于它的极限 不能确定. 在第一章中看到, 两个无穷小之商或两个 无穷大之商, 其极限都不能直接利用极限运算 法则来求.
9
洛必达法则
1 f f ( x ) z lim lim A x F ( x ) z 0 1 F z
第三章第二讲---洛必达法则
lim f (x) A （A 为实数或无穷大）； xa g(x)
则 lim f (x) lim f (x) A
xa g(x) xa g(x)
例4 求 lim tan x .
()
x tan 3 x
2
解
(
原式
)
lim
x
sec2 3sec2
x 3
x
1 lim 3 x
cos2 3x cos2 x
洛必达法则
定理1 若 lim f (x) 0 且 lim g(x) 0；
xa
xaBiblioteka 则f (x) 与 g(x)在 U o (a) 內可导，且 g(a) 0；
(一) 0 型未定式解法 lim f (x) A （ A 为实数或无穷大）； : xa g(x)
0 lim f (x) lim f (x) A
(
)
lim
x
ex ex
ex ex
应改为： 原式
1 e2x
lim
x
1
e2
x
1.
失效
注7. 其它类型的未定式比如 0 , ,00,1, 0 也可化为 洛必达法则可解决的 0 , 类型 。 0
洛必达法则
型
f g 1 g1 f 1 g1 f
0型 0 型
00 ,1 , 0 型
令y f g 取对数
lim
x0
x3
x
lim
x0
sec2 3
x x2
1
(0) 0
2sec2 x tan x 1
tan x
lim
lim
x0
6x
3 x0 x
(0)
0
1
洛必达L’Hospital法则
第二节 洛必达(L’Hospital)法则 洛必达法则是求0/0, ∞/ ∞, 0* ∞, ∞- ∞, 1 ∞, 00 , ∞0类型 极限的有力工具. 定理1 (0/0型) 假设
在区间[a,x]或[x,a]上应用柯西中值定理
证明: 我们补充定义f(a)=g(a)=0,有
解: (1)是0/0型的,用洛必达法则,得到 是∞0型的,可以化为0/0型.
例2 求极限 解此0/0型，连用三次洛必达法则可得到结果。在使用 洛必达法则时，必须要检查是否是0/0型的。在计算中常 犯的错误是没有满足0/0的条件。
函数f(x)与g(x)在点a的某邻域内(点a可以除外)都可 导,且g’(x)≠0 定理2 设：
注意(4):洛必达法则使用前后都应注意分离因式,把具有非 零极限的因子提出极限号外,并及时求出极限,再对余下未 定式求极限. 例7 求
注意(5): 有些不定式,运用洛必达法则不能得到结果, 但是这不能说明该不定式的极限不存在,因 为洛 必达法则是极限存在的充分条件
.例如 当x→∞时, 是, 但是如果用洛必达法则,则得不出结果 显然有. 型不定式
例3 求函数 的极限 解：
对于其他的形式可以通过恒等变形,化为基本型.可使 用洛必达法则求极限. 例4 求下列极限
例5 求下列极限: 解：(1) 令y=xx, 则 lny=xlnx, 再取极限, 得到
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ也可以
在使用洛必达法则时,如果把等阶无穷小代换,代数, 三角运算和洛必达法则结合起来,可以简化运算过程. 例6
洛必达法则是求不定式极限的一个有效方法.掌握这
个法则没有什么困难,但是需要注意以下问题:
干次运用罗比达法则以后如果已经化为非不定式,就
式极限要用四则运算或其他方法.对于不定式极限,若
高等数学 第二节 洛必达法则
x
( 0 , 0 ) .5
应用罗彼塔法则后如果还是不定式 , 可以继续设法求 极限 , 包括继续使用罗彼塔法则 ( 如例 4 ) 或其它方法 , 如 等价无穷小代换等 . 1 2 arc tan x 0 1 2 ln 0 lim arc tan x x1 x 例 5 . lim x x x e e x 1 e 2 lim e x lim lim 2 x arctan x x 1 x x 2 x
1 2n , 1 x 右端极限不存在 , 也不是 . 1 ( 2n 1) , 1 x
但并不能说明原极限不存在 , 也不是 .
x 2 sin 1 sin x ~ x x 2 sin 1 x lim x 事实上 , lim x x 0 x 0 sin x
n Leabharlann x lim(n ) x
n 1
x
e
x
lim
( n ) ( n 1 ) ( n n ) x 1
x
n 1 x
e
0.
结论 : 当 x 时 ,
ln x x e
当 x 时 , x ( 0 ) 和 ln x 都趋于 , 但 x 速度
更快些 . 记为 ln x x . 例 4 . 当 0 , 0 1 , 整数 n 0 时 : ( n 复盖了 R )
lim x x e
1 x
1 x
1 x
nx
y y n ln ( a1y a2 an ) ln n lim ln f ( x ) lim y x y 0 y y n 0 y y a 1 ln a 1 a n ln a n a1 a n 0 lim y 0 1 ln a 1 ln a n ln ( a 1 a 2 a n )
高等数学-洛必达法则
解 先通分，再用洛必达法则，得
1
3
− 3
→1 − 1
−1
2 + − 2
=
→1 3 − 1
0
0
2 + 1
=
= 1.
2
→1 3
注 本题还可采用先通分再约分的方法计算.
17
03 其它类型的未定式
3. “00 ”“∞0 ”“1∞ ”型未定式
这3种未定式可看作是幂指函数[()] () 求极限.先将幂
例5 求 + 2 .
→0
解 这是“0 ⋅
∞
∞ ”型未定式，先将其转化为“ ”型未定式，
∞
再使用洛必达法则.
1
2
+ 2 = +
= + = −
= 0.
2
+
1
→0
→0
→0
→0 2
−
3
2
15
03 其它类型的未定式
2. “∞ − ∞”型未定式
本节内容
01
0
“ ”型未定式
0
02
∞
“ ”型未定式
∞
03 其它类型的未定式
8
02
∞
“ ”型未定式
∞
定理3.5（洛必达法则II） 设函数()和函数()满足条件
(1) () = ∞， () = ∞；
→0
→0
(2)函数() ，() 在0 的某去心邻域内可导，且′ () ≠ 0；
效果.
（4）使用洛必达法则求未定式极限是常用的方法，
但该方法不一定是最佳的方法，甚至在某些特殊
02第二节洛必达法则75708
第二节 洛必达法则在第一章中，我们曾计算过两个无穷小之比以及两个无穷大之比的未定式的极限. 在那里，计算未定式的极限往往需要经过适当的变形，转化成可利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算. 这种变形没有一般方法，需视具体问题而定，属于特定的方法. 本节将用导数作为工具，给出计算未定式极限的一般方法，即洛必达法则. 本节的几个定理所给出的求极限的方法统称为洛必达法则.分布图示★洛必达法则⎪⎭⎫⎝⎛00★ 例1-2 ★ 例3 ★ 例4⎪⎭⎫⎝⎛∞∞★ 例5 ★ 例6-7 综合应用 ★ 例8★ 例9 ★ 例10 ).0(∞ ★ 例11 )(∞-∞ ★ 例12★ 例13★ 例14)0(0★ 例15 ★ 例16 ★ 例17 )1(∞★ 例18★ 例19 ★ 例20)(0∞★ 例21★ 例22 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-2★ 返回内容要点一、未定式的基本类型：00型与∞∞型； .)()(lim )()(lim x F x f x F x f a x a x ''=→→ .)()(lim )()(lim x F x f x F x f x x ''=∞→∞→二、未定式的其它类型：∞⋅0型，∞-∞型，00,1,0∞∞型 (1) 对于∞⋅0型，可将乘积化为除的形式，即化为00或∞∞型的未定式来计算. (2) 对于∞-∞型，可利用通分化为型的未定式来计算. (3) 对于00,1,0∞∞型，可先化以e 为底的指数函数的极限，再利用指数函数的连续性，化为直接求指数的极限，指数的极限为∞⋅0的形式，再化为00或∞∞型的未定式来计算.例题选讲0型 例1 (E01) 求 ⋅≠→)0(sin lim0k x kxx解 原式)()(sin lim 0''=→x kx x 1cos lim0kxk x →=.k =例2 (E02) 求 ⋅+--+-→123lim 2331x x x x x x解 原式12333lim 221---=→x x x x 266lim 1-=→x x x .23=注: 上式中, 266lim 1-→x xx 已不是未定式,不能再对它应用洛必达法则.例3 (E03) 求.sin 2lim 0x x xe e x x x ----→解 x x x e e x x x s i n 2lim 0----→x e e x x x c o s 12lim 0---=-→x e e x x x s i n l i m 0-→-=x e e xx x c o s l i m 0-→+=.2=例4 (E04) 求 x x x 1arctan 2lim -+∞→π.⎪⎭⎫ ⎝⎛型00 解 x x x 1a r c t a n 2lim -+∞→π22111lim xx x -+-=+∞→221l i m x x x +=+∞→1=注: 若求n n n n (1arctan 2lim -+∞→π为自然数）则可利用上面求出的函数极限,得11arctan 2lim =-+∞→nn n π例5 (E05) 求.ln cot ln lim 0xxx +→ 解 x x x ln cot ln lim 0+→xx x x 1)s i n 1(c o t 1lim 20-⋅=+→x x x x c o s s i n l i m 0+→-=xx x x x x cos 1lim cos sin lim 00++→→⋅-=.1-=例6 (E06) 求 )0(ln lim>+∞→n x xn x .⎪⎭⎫ ⎝⎛∞∞解 原式11lim -+∞→=n x nx x nx nx 1lim +∞→=.0=例7 (E07) 求 ⋅+∞→x n x e x λlim ⎪⎭⎫⎝⎛∞∞ (n 为正整数, 0>λ).解 反复应用洛必达法则n 次，得原式x n x e nx λλ1lim -+∞→=xn x e x n n λλ22)1(lim -+∞→-= =x n x e n λλ!lim +∞→=.0=注：对数函数x ln 、幂函数n x 、指数函数)0(>λλx e 均为当∞→x 时的无穷大，但它们增大的速度很不一样，其增大速度比较: 对数函数<<幂函数<<指数函数.例8 求.xx xx x tan tan lim 20-→解 注意到,~tan x x 则有x x xx x tan tan lim 20-→30tan lim x x x x -=→22031sec lim x x x -=→ x x x x 6tan sec 2lim 20→=x xx x x tan limsec lim 31020→→⋅= x x x tan lim 310→=.31=注: 洛必达法则虽然是求未定式的一种有效方法, 但若能与其它求极限的方法结合使用, 效果则更好. 例如能化简时应尽可能先化简，可以应用等价无穷小替换或重要极限时，应尽可能应用，以使运算尽可能简捷.例9 (E08) 求.)21ln()cos 1(3sin 3lim 0x x xx x +--→解 当0→x 时, ,21~cos 12x x -,2~)21ln(x x -故 )21ln()cos 1(3sin 3lim 0x x x x x +--→303sin 3lim x x x x -=→2033cos 33lim xx x -=→x x x 23sin 3lim 0→=.29=例10 (E09) 求 xx x x sin 1sinlim20→.解 所求极限属于的未定式.但分子分母分别求导数后，将化为,cos 1cos 1sin2lim0xx x x x -→此式振荡无极限,故洛必达法则失效，不能使用.但原极限是存在的,可用下法求得:x x x x sin 1sinlim20→)1sin sin (lim 0x x x x x ⋅=→xx x x x x sin lim1sinlim 00→→=.010==例11 (E10) 求 .lim 2x x e x -+∞→ (∞⋅0型)解 对于)0(∞⋅型，可将乘积化为除的形式，即化为00或∞∞型的未定式来计算. xx e x 2lim -+∞→2lim x e x x +∞→=x e x x 2lim +∞→=2limxx e +∞→=.+∞=例12 (E11) 求 )tan (sec lim 2x x x -→π. (∞-∞型)解 对于∞-∞型，可利用通分化为型的未定式来计算. )tan (sec lim 2x x x -→π)cos sin cos 1(lim 2x x x x -=→πx x x cos sin 1lim 2-=→πxx x sin cos lim 2--=→π.010==例13 求 )..(1sin 1lim 0∞-∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x解 )1sin 1(lim 0x x x -→x x x x x sin sin lim 0⋅-=→20sin lim xx x x -=→x x x 2cos 1lim 0-=→2sin lim 0xx →=.0=例14求)(])2[(lim 1∞-∞-+∞→.x e x xx解 原式]1)12[(lim 1-+=∞→x x e xx .xe x x x 11)21(lim1-+=∞→ 直接用洛必达法则, 计算量较大. 为此作变量替换, 令,1xt =则当∞→t 时, ,0→t 所以 ])2[(lim 1x e x xx -+∞→te t t t 1)21(lim 0-+=→tt e t 1)12(2lim0++=→.3=00,1,0∞∞型步骤⎪⎭⎪⎬⎫∞∞0010⇒取对数⎪⎩⎪⎨⎧∞⋅⋅∞⋅ln 01ln 0ln 0⇒.0∞⋅例15 (E12) 求xx x lim ⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11.解 这是∞1型未定式，将它变形为xx x x111ln 11ln ⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，由于111lim 1111lim 111ln lim 11ln lim 22=⎪⎭⎫⎝⎛+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→∞→∞→x xx x x x x x x x xx 故 e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim .例16 求.lim 0xx x → )0(0解 x x x x x e x ln 0lim lim ++→→=xx x e ln lim 0+→=x x x e1ln lim 0+→=2011l i m x xx e-+→=0e =.1=例17 (E13) 求 x x x tan 0lim +→. (00)解 将它变形为xx x x x e x ln tan lim tan 0lim +→=+→由于x x x x x x x x x 2000csc 1lim cot ln lim ln tan lim +→+→+→==x x x 20sin lim -=+→.01cos sin 2lim 0=-=+→x x x故.1lim 0tan 0==+→e x x x例18求)1.(lim 111∞-→x x x解 x x x -→111l i m xx x e ln 111lim -→=xx x e -→=1ln lim 111l i m 1-→=x x e.1-=e例19 求)1()sin (lim cos 110型.∞-→x x xx解 x x xx c o s 110)s i n (lim -→xx x x e s i nln cos 110lim -→=x x x x ec o s1ln sin ln lim--→=由于 xx x x c o s 1ln sin ln lim0--→x x x x s i n 1c o t l i m 0-=→ x x x x x x 20sin sin cos lim-=→30sin cos limx xx x x -=→ 203sin lim x x x x -=→.31-= 所以.31cos 110)sin (lim --→=e xx xx例20 求)1()(cos lim 0∞+→.x x x π解一 利用洛必达法则.x x x π)(cos lim 0+→xxx ecos ln limπ+→=xx xx e21cos sin lim⋅-+→=π.2π-=e解二 利用两个重要极限.x x x π)(cos lim 0+→x x x π)1cos 1(lim 0-+=+→π⋅-⋅-+→-+=x x x x x 1cos 1cos 1)1cos 1(lim .2π-=e例21 (E14) 求 xx x ln 10)(cotlim +→. (0∞型)解 xx x ln 1)(cotlim +→xxx e ln cot ln 0lim +→=x xx e ln cot ln lim 0+→=x xx x e 1csc tan lim20⋅-+→=xxxx esin cos 1lim0⋅-+→=.1-=e例22 求)()5(lim 013∞-+∞→.x x x x e解 xxx x e13)5(l i m -+∞→)5l n (13limx e x x x e-+∞→=)5l n (1l i m 3x e x xx e -+∞→=因为 )5l n (1lim 3x e x xx -+∞→x x e x x )5l n (lim3-=+∞→ )(∞∞1553lim33x e e x x x --=+∞→x e e x x x 553lim 33--=+∞→ )(∞∞ 5333lim 33-⋅⋅⋅=+∞→x x x e e xx e3539lim -=+∞→.3=所以.313)5(lim e x exxx =-+∞→。
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02第二节洛必达法则75708第二节洛必达法则在第一章中，我们曾计算过两个无穷小之比以及两个无穷大之比的未定式的极限. 在那里，计算未定式的极限往往需要经过适当的变形，转化成可利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算. 这种变形没有一般方法，需视具体问题而定，属于特定的方法. 本节将用导数作为工具，给出计算未定式极限的一般方法，即洛必达法则. 本节的几个定理所给出的求极限的方法统称为洛必达法则. 分布图示★洛必达法则«Skip Record If...»★例1-2 ★例3★例4«Skip Record If...»★例5 ★例6-7综合应用★例8 ★例9★例10«Skip Record If...»★例11«Skip Record If...»★例12 ★例13★例14«Skip Record If...»★例15 ★例16★例17«Skip Record If...»★例18 ★例19★例20«Skip Record If...»★例21 ★例22★内容小结★课堂练习★习题3-2 ★返回内容要点一、未定式的基本类型：«Skip Record If...»型与«Skip Record If...»型；«Skip Record If...» «Skip Record If...»二、未定式的其它类型：«Skip Record If...»型，«Skip Record If...»型，«Skip Record If...»型(1) 对于«Skip Record If...»型，可将乘积化为除的形式，即化为«Skip Record If...»或«Skip Record If...»型的未定式来计算.(2) 对于«Skip Record If...»型，可利用通分化为«Skip Record If...»型的未定式来计算.(3) 对于«Skip Record If...»型，可先化以«Skip Record If...»为底的指数函数的极限，再利用指数函数的连续性，化为直接求指数的极限，指数的极限为«Skip Record If...»的形式，再化为«Skip Record If...»或«Skip Record If...»型的未定式来计算.例题选讲«Skip Record If...»型例1 (E01) 求 «Skip Record If...»解原式«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例2 (E02) 求 «Skip Record If...»解原式«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»注: 上式中, «Skip Record If...»已不是未定式,不能再对它应用洛必达法则.例3 (E03) 求«Skip Record If...»解«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例4 (E04) 求 «Skip Record If...».«Skip Record If...»解«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»注: 若求«Skip Record If...»为自然数）则可利用上面求出的函数极限,得«Skip Record If...»例5 (E05) 求«Skip Record If...»解«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例6 (E06) 求 «Skip Record If...».«Skip Record If...»解原式«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例7 (E07) 求 «Skip Record If...»«Skip Record If...» (n为正整数, «Skip Record If...»).解反复应用洛必达法则«Skip Record If...»次，得原式«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»注：对数函数«Skip Record If...»、幂函数«Skip Record If...»、指数函数«Skip Record If...»均为当«Skip Record If...»时的无穷大，但它们增大的速度很不一样，其增大速度比较: 对数函数<<幂函数<<指数函数.例8 求«Skip Record If...»解注意到«Skip Record If...»则有«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»注: 洛必达法则虽然是求未定式的一种有效方法, 但若能与其它求极限的方法结合使用, 效果则更好. 例如能化简时应尽可能先化简，可以应用等价无穷小替换或重要极限时，应尽可能应用，以使运算尽可能简捷.例9 (E08) 求«Skip Record If...»解当«Skip Record If...»时, «Skip Record If...»«Skip Record If...»故«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip RecordIf...»«Skip Record If...»例10 (E09) 求 «Skip Record If...».解所求极限属于«Skip Record If...»的未定式.但分子分母分别求导数后，将化为«Skip Record If...»此式振荡无极限,故洛必达法则失效，不能使用.但原极限是存在的,可用下法求得:«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例11 (E10) 求 «Skip Record If...» («Skip Record If...»型)解对于«Skip Record If...»型，可将乘积化为除的形式，即化为«Skip Record If...»或«Skip Record If...»型的未定式来计算.«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例12 (E11)求 «Skip Record If...». («Skip Record If...»型)解对于«Skip Record If...»型，可利用通分化为«Skip Record If...»型的未定式来计算.«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例13 求 «Skip Record If...»解«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例14求«Skip Record If...»解原式«Skip Record If...»«Skip Record If...»直接用洛必达法则, 计算量较大. 为此作变量替换,令«Skip Record If...»则当«Skip Record If...»时, «Skip Record If...»所以«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»型步骤«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例15 (E12)求«Skip Record If...».解这是«Skip Record If...»型未定式，将它变形为«Skip Record If...»，由于«Skip Record If...»故 «Skip Record If...».例16 求«Skip Record If...» «Skip Record If...»解«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例17 (E13) 求 «Skip Record If...». («Skip Record If...»)解将它变形为«Skip Record If...»由于«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»故«Skip Record If...»例18 求«Skip Record If...»解«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例19求«Skip Record If...»解«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»由于 «Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»所以«Skip Record If...»例20 求«Skip Record If...»解一利用洛必达法则.«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»解二利用两个重要极限.«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例21(E14) 求 «Skip Record If...». («Skip Record If...»型)解«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例22 求«Skip Record If...»解«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»因为 «Skip Record If...»«Skip Record If...» «Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...» «Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»所以«Skip Record If...»。