均值检验

5.3
5.3.1 单正态总体均值检验
当总体标准差 σ 已知时，有公式
均值检验
Z=
X −µ ~ N ( 0 , 1) σ n
当总体标准差 σ 未知时，有公式
t=
(X − µ) ~ t (n − 1) S n
式子中， S 为样本标准差：
n
S=
∑(X
i =1
i
− X j ) 2 （n − 1）
5.3.1 总体标准差 σ 已知 1 临界值法
5.3.2.1 双正态总体均值检验
假设 X ~ N ( µ1 , σ 1 ) , Y ~ N ( µ 2 , σ 2 ) ,从总体 X 中抽取样本 X 1 , X 2 ,⋯. X n ，样本均值为 X ,
2 2 2 样本方差为 S X ,样本标准差为 S X ,从总体 Y 中抽取的样本为 Y1 , Y2 ,⋯Y n ，样本均值为 Y ， 样 2
根据不同的备择假设给出不同的拒绝域， （1） 关于总体均值 µ 常用的三对假设：
1) H 0 : µ = µ 0 , H1 : µ ≻ µ 0 ⎫ ⎬ 单边假设检验 2) H 0 : µ = µ 0 , H1 : µ ≺ µ 0 ⎭
H 0 : µ = µ 0 , H1 : µ ≠ µ 0
（2） 检验统计量选择 Z 统计量.
本方差为 SY ，样本标准差为 SY 。 分 3 种情况讨论： 1） H 0 : µ1 = µ 2 , H 1 : µ1 ≻ µ 2 2） H 0 : µ1 = µ 2 , H 1 : µ1 ≺ µ 2 3） H 0 : µ1 = µ 2 , H 1 : µ1 ≠ µ 2 1， σ 1 , σ 2 已知，可以采用统计量
例子
快递公司投递时间
2. 正态性检验 例子面粉数据 AD 检验,RJ 检验以及 KS 检验
5.3.2 双正态总体均值检验
要求：从两个正态总体中抽取样本。注意区分抽取的两组样本是独立的还是配对的。 区别：从两个总体中抽取的样本观测值彼此互不影响，抽取的样本量也可以不同，则这样的 样本是普通的独立样本；若选取的样本观测值是成对的，即使对选定的一组个体，分别观测 在两种处理之后的结果，则称这样的样本为配对样本。
H 0 : µ = 0, H1 : µ > 0
其具体形式可能有 3 种：
H 0 : µ = 0, H1 : µ > 0 H 0 : µ = 0, H1 : µ < 0 H 0 : µ = 0, H1 : µ ≠ 0
即都是单个正态总体均值是否为 0 的检验问题。 方法采用单样本的 t 检验。 在 MINITAB 中的操作方法是统计>基本统计量>单样本 t （Stat>Basic Statistics>1-Sample t） ,检验统计量变
双边假设检验
Z=
X − µ0 σ n
在 H 0 成立时， Z ~ N (0,1) （3）对应这 3 个备择假设，他们各自的拒绝域分别为： 1） H 1 : µ ≻ µ 0 时，拒绝域是： Z ≻ Z1−α 2） H 1 : µ ≺ µ0 时， 拒绝域是： Z ≺ Zα 。 根据标准正态分布的对称性， Zα = − Z1−α
2
大样本 (n ≥ 30) 时， 上述检验统计量的拒绝域中的 t 分位数都可以近似用标准正态分布分位 数来代替。
2
p 值比较法
通过 MINITAB 软件指令：统计>基本统计量>单样本（Stat>Basic Statistic>1-Sample t） 例子 面粉质量，此时不知道总体标准差
5.3.1.3 但总体检验所需要验证的条件
MINITAB 中，可以省略求出差值 d 的步骤直接用统计>基本统计量>配对 t（Stat>Basic Statistics>Paired t)即成对 t 检验来对两列原始数据直接进行
例子 减肥药药效问题
（2）样本量超过 40。此时不能查表，但是可以对游程总个数用正态近似。设立假设
H 0 ：数据是相互独立的 H1 :数据不是相互独立的
求出中位数， 再以中位数为界， 用统计>非参数统计>游程检验 （Stat>Nonparametric>Runs test） 求出游程总数，并用正态近似法计算出 p 值，当 p 小于 α 时，拒绝原假设。 注：样本量超过 25 就可以使用正态近似法
数据在进行单样本 Z 检验或单样本 t 检验的时候必须验证所有数据同时符合下述条件： （1）数据观测值是相互独立的； （2）数据必须服从正态分布。
1. 独立性检验
方法：游程检验 假设检验的基础：我们所收集的数据是来自同一总体的随机独立样本。 定义： 依时间或其他顺序排列的有序数列中， 具有相同的时间或符号的连续部分成为一 个游程，常常记 r 为游程总个数。例如
{t > t1−α (n + m − 2)}, {t < −t1−α (n + m − 2)}, {t
> t1−α 2 (n + m − 2)
}
注意：实践中此种情况应用较多，即双样本的 t 检验。 条件： （1）两组样本内相互独立，两组间也相互独立； （2）两组数据均来自正态分布总体； （3）两个总体方差（或标准差）相等 σ 1 = σ 2
t=
X − µ0 ，在 H 0 成立的条件下， t ~ t ( n − 1) S n
（3）对应这三对假设，他们各自的拒绝域分别是： 1） H 1 : µ ≻ µ 0 时，拒绝域是 t > t1−α ( n − 1) 2） H 1 : µ ≺ µ0 时，拒绝域是 t < tα ( n − 1) ，根据 t 分布的对称性， tα = −t1−α ， 此拒绝域可改写成 t < −t1−α ( n − 1) 3） H 1 : µ ≠ µ0 时，拒绝域是 t > t1−α ( n − 1)
2 2
3， σ 1 , σ 2 未知，且不知道 σ 1 = σ 2 且不知道 σ 1 = σ 2（或缺失知道二者不等） ， 可以采用近似双样本的 t 检验， σ 1 , σ 2 未知， 其统计量为
t=
X −Y
2 SX S2 + Y n m
，其自由度 υ 去最接近下列数值 υ 的整数
2 SX S2 + Y )2 υ = 2 n2 m 2 ( S X n ) ( SY m) 2 + n −1 m −1
n
成t =
d Sd n
，S = d
∑ (d
i =1
i
− d )2
在显著收评为 α 时，拒绝域参照
n −1
H1 : µ ≻ µ 0 时，拒绝域是 t > t1−α (n − 1) H1 : µ ≺ µ 0 时，拒绝域是 t < tα (n − 1) H1 : µ ≠ µ 0 时，拒绝域是 t > t1−α 2 (n − 1)
例子 ①快递公司投递时间②面粉生产质量变化 5.3.1.2 总体标准差未知时 1 临界值法
（1）关于总体均值 µ 常用的三对假设：
1) H 0 : µ = µ 0 , H1 : µ ≻ µ 0 ⎫ ⎬ 单边假设检验 2) H 0 : µ = µ 0 , H1 : µ ≺ µ 0 ⎭
3） H 0 : µ = µ 0 , H 1 : µ ≠ µ 0 双边假设检验 （2）当小样本（n<30)时，用 σ 的估计 S 代替 Z 统计量中的 σ 而得到 t 统计量：
(
例子
生物需氧量 BOD;
A,B 两个工人生产轴棒直径
5.3.2.2
配对样的两批人，一批吃药，一批未吃药，用量总体的均 值检验问题，容易得出疗效不显著的结论②同一批人，先记录原始体重，在记录吃药后的体 重，这样把同一人用药前后的体重进行被叫，求出差值，即可度量出药效。检验方法：看体 重减少量 d 的均值是否为正数。 假设 X i , Yi 是第 i 位人士减肥前后的体重，则 d i = X i −Y i(i = 1,2,⋯ n) 是第 i 位人士的 体重减少量，记 µ 为体重减少量 d 的均值，则需要检验的问题变成
H 0 ：数据是相互独立的 H1 :数据不是相互独立的
用 统计>质量工具>运行图（Stat>Quality Tools>Run Chart）可以给出游程总个数 r 的计算结 果，然后查表确定下临界值 R1 以及上临界值 R2 。当 r ≤ R1 或 r ≥ R2 时，拒绝原假设
例子 面粉质量数据是否独立
{
2
}
2， σ 1 , σ 2 未知，但是 σ 1 = σ 2 可以采用检验统计量：
t=
X −Y 1 1 SW + n m
2 2 (n − 1) S X + (m − 1) SY ，在 H 0 成立的条件下， t ~ t ( n + m − 2) ，则可可知三 n+m−2
其中 SW =
个 检 验 问 题 的 拒 绝 yuyu ， 可 以 用 t 分 布 的 分 位 数 得 到 ， 分 别 是
��� � ��� + + + + − − − − + + + − +− − − − � − −+ � ���
此游程数为 r=6 具体计算方法①样本量较小（小于 40）时，有临界值表可查；②在样本量较大的时， 可以使用正态近似，计算机软件可以直接算出结果。从 MINITAB 统计>非参数统计>游程检 验（Stat>Nonparametric>Runs Test）可以检验样本的独立性，也可以用来检验任何序列的随 机性，而不管这个序列是怎样产生的。 条件：大样本情况下，游程个数可以近似认为是正态分布。 缺点需要手工输入中位数才可以， 其默认功能是以平均值为界进行游程检验， 而独立性 检验必须以中位数为界进行游程检验。 根据样本量大小可分为 2 种情况 （1）当样本量不超过 40 时，设立如下假设
Z ≺ − Z1−α
3） H 1 : µ ≠ µ0 时，拒绝域是： Z ≺ Z1−α
2
Z1−α 是标准正态分布的 1 − α
分位数，
根据标准正态分布的对称性， Zα = − Z1−α
2
p 值比较法
已知总体标准差时， 通过 MINITAB 软件指令 “统计>基本统计量>单样本 Z （Stat>Basic Statistics>1-Sample Z）来实现
Z=
X −Y
2 σ 12 σ 2 + n m
在 H 0 成立，即 µ1 = µ 2 时， Z ~ N (0,1) 对检验问题 1） H 0 : µ1 = µ 2 , H 1 : µ1 ≻ µ 2 ，拒绝域为 {Z > Z1−α } 对检验问题 2） H 0 : µ1 = µ 2 , H 1 : µ1 ≺ µ 2 ，拒绝域为 {Z < − Z1−α } 对检验问题 3） H 0 : µ1 = µ 2 , H 1 : µ1 ≠ µ 2 ，拒绝域为 Z > Z1−α