线性代数课件-5.2方阵的特征值与特征向量
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方阵的特征值与特征向量
解 由A 的特征值全不为0知，A 可逆，故 A A A1 。 又由 A 123 2 ，所以
A 3A 2E 2A1 3A 2E
把上式记作 A
，有
2 3 2
。
A 的特征值为 1 1 2
定理1 设1,2, ,m 是方阵A 的m 个特征值，p1, p2, , pm 依次是与之对应的特征向量。如果 1,2, ,m 各不相
x1 p1 x2 p2 xk1 pk1 xk pk 0
(1.2)
用A 左乘上式，得 x1Ap1 x2 Ap2 xk1Apk1 xk Apk 0
即
4 1 1 4 1 1
A
2E
0 4
0 1
0 1
r
0 0
0 0
0 0
得方程组的基础解系为
0 1
p2
1
,
p3
0
1
4
所以对应于 2 3 2的全部特征向量为 k2 p2 k3 p3，其中k2, k3
为任意常数且 k2, k3不同时为0。
例4 设λ 是方阵A 的特征值，证明:
A 的二重特征值。
当 1 2 1 时，解特征方程组 A E x 0 。由于
3 2 3 1 0 1
A
E
2 1
0 2
21
r
0 0
1 0
0 0
得同解方程组为
x1 x2
x3 0
取 x3 1，得方程组的基础解系，即A 的对应于 1 2 1 的特
征向量为
1
p1
0
1
5
p2
2 3
所以A 的对应于3 3的全部特征向量为k2 p2，其中k2 为任意非零常数。
2 1 1
线性代数课件矩阵的特征值与特征向量
所 以 对 应 的 特 征 向 量 可 取 为 p 2 11
.
1 1 0
例
求矩阵
A
4 1
3 0
0 2
的特征值和特征向量.
解 第一步：写出矩阵A的特征方程,求出特征值.
1 l 1
0
AlI 4 3 l 0 2ll120
1
0 2l
特征值为 l12 ,l2l3 1
第二步：对每个特征值l代入齐次方程组 AlIxO,
l l 所 以 A 的 特 征 值 为 1 2 ,2 4 .
l 当 1 = 2 时 , 对 应 的 特 征 向 量 应 满 足
32
1
1 x1 32x2
0 0
即11
1
1
x1 x2
00
例 求 A 3 1 3 1 的 特 征 值 和 特 征 向 量 .
l l 解 所 以 A 的 特 征 值 为 1 2 ,2 4 .
1 l
A . 且x仍然是矩阵 kA ,A m ,A 1,A 分别对应于
kl, lm,l1,1A 的特征向量. l
证 (3)当 A 可 逆 时 ,l0, 由 Axlx可 得
l l A 1 A x A 1 x A 1 xA1xl1x
l l 故 1 是 矩 阵 A 1 的 特 征 值 , 且 x 是 A 1 对 应 于 1 的 特 征 向 量 .
Amxlmx
l l 故 m 是 矩 阵 A m 的 特 征 值 , 且 x 是 A m 对 应 于 m 的 特 征 向 量 .
性质2 若A的特征值是l, X是A的对应于l的特征向量,
(1) kA的特征值是kl; (k是任意常数)
l (2 )A m 的 特 征 值 是 m ;(m是正整数)
方阵的特征值与特征向量
证明 则
∵ (λE − A)Τ = λE − AΤ
λE − A = (λE − A)
Τ Τ
= λE− A
得到 A 与 AT 有相同的特征多项式， 则它们的特征值相同。
21
性质2 实对称矩阵的不同 不同特征值的特征向量相互正交 正交。 不同 正交
P 即设 λ1, λ2 是实对称矩阵A的两个不同的特征值， 1, P2
( 2)
x1, x2 ,⋯, xn 是齐次方程（3）的非零解。
因为X为非零向量， 则（3）有非零解
⇔ λE − A = 0
(4)
6
设 p1, p2 ,⋯, ps 是方阵 A的对应于特征值 λ 定理1 定理1 的线性无关的特征向量,则
k1 p1 + k2 p2 +⋯+ ks ps (k1, k2 ,⋯, ks 是不全为零的常数.)
列向量 X , 使方程 AX = λX
(1)
λX − AX =θ 即 (λE − A) X =θ ( 2) , （2）式说明特征向量 X 的坐标 x1, x2 ,⋯ xn 是齐次 特征向量
非零解。 方程（2）的非零解 非零解
5
（1）式也可写成 即
λX − AX =θ
(λE − A) X =θ
(λ − a11)x1 − a12x2 +⋯− a1n xn = 0 − a x + (λ − a )x +⋯− a x = 0 21 1 22 2 2n n (3) ⋯ ⋯ ⋯ − an1x1 − an2 x2 +⋯+ (λ − ann )xn = 0
−1 k2 p2 = k2 −1 1
x3 = k2
(k2任意实数）
第二节方阵的特征值和特征向量
3 4 1
1 1 0
000
~
1 0 0
0 1 0
0 00,
0
得基础解系
p1
10.
故对应特征值1=2的所有特征向量为 kp1 (k0).
当2=3=1时, 解方程组( A–E )x = 0. 由
A
E
2 4 1
1 2 0
001
~
1 0 0
0 1 0
1 2 0
,
1
得基础解系
p2
21.
故对应特征值2=3=1的所有特征向量为kp2(k0).
§5.2 方阵的特征值与特征向量
一、特征值与特征向量的概念
定义: 设A是n阶方阵, 如果数和n维非零列向量x
使关系式
Ax = x 成立, 那末这样的数称为方阵A的特征值, 非零向量x 称为A的对应于特征值的特征向量.
说明1: 特征向量x 0, 特征值问题是对方阵而言的; 说明2: n阶方阵A的特征值, 就是使齐次线性方程组
例3:
求矩阵A
=
2 0 4
1 2 1
301 的特征值和特征向量.
解: 矩阵A的特征多项式为:
2 1 1
| A–E | = 0 2 0 = –(1+)(2–)2,
4 1 3
所以A的特征值为: 1=–1, 2=3=2.
当1=–1时, 解方程组( A+E )x = 0. 由
A
E
1 0 4
1 3 1
x = A-1(Ax) = A-1(x) = (A-1x).
所以,
A-1x = -1x
由此我们还证明了: 若x是A的属于特征值的特
征向量, 则x也是矩阵A-1的属于特征值-1的特征向量.
方阵的特征值和特征向量-PPT课件
是任意常数,但 cp cp 0) 1 1 2 2
0
则c 也是A的属于l 的特征向量(其中 c 1 , c 2 1p 1 c 2p 2 证明：由于 p 1 , p 2 是齐次线性方程组 ( A l Ex ) 0 0 的解. 因此 c 1p 1 c 2p 2 也是方程组的解。
0
的特征向量,
l l l l
l l ll
1 x 1 1 34 x 1 0 1 0 x 1 34 1 1 2 0 x 2 0 1 解得基础解系 p 2 1 ， k p2（k ≠ 0）就是对应的特征向量．
所以 A 的特征值为 l1 = −1，l2 = l3 = 2 ．
2 例3：求矩阵 A 0 4
1 2 1
1 0 的特征值ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ特征向量． 3
解（续）：当 l1 = −1 时，因为
111 101 r A l E A E 0 3 0~ 0 1 0 1 0 0 0 4 1 4 解方程组 (A + E) x = 0． 1 解得基础解系 p 1 0 ； k p1（k ≠ 0）就是对应的特征向量． 1
Ax = l x = lE x <=> Ax - lE x = 0
非零向量 x 满足 (A−lE) x = 0（零向量） 齐次线性方程组有非零解 系数行列式 | A−lE | = 0
特 征 方 程
特 a 征 2 1 | A l E | 多 项 a 式 n 1
a l 1 1
a l 2 2 a n 2
结论： 当 A 0 时, A的特征值全为非零数; 当 A 0 时, A至少有一个特征值等于零.
0
则c 也是A的属于l 的特征向量(其中 c 1 , c 2 1p 1 c 2p 2 证明：由于 p 1 , p 2 是齐次线性方程组 ( A l Ex ) 0 0 的解. 因此 c 1p 1 c 2p 2 也是方程组的解。
0
的特征向量,
l l l l
l l ll
1 x 1 1 34 x 1 0 1 0 x 1 34 1 1 2 0 x 2 0 1 解得基础解系 p 2 1 ， k p2（k ≠ 0）就是对应的特征向量．
所以 A 的特征值为 l1 = −1，l2 = l3 = 2 ．
2 例3：求矩阵 A 0 4
1 2 1
1 0 的特征值ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ特征向量． 3
解（续）：当 l1 = −1 时，因为
111 101 r A l E A E 0 3 0~ 0 1 0 1 0 0 0 4 1 4 解方程组 (A + E) x = 0． 1 解得基础解系 p 1 0 ； k p1（k ≠ 0）就是对应的特征向量． 1
Ax = l x = lE x <=> Ax - lE x = 0
非零向量 x 满足 (A−lE) x = 0（零向量） 齐次线性方程组有非零解 系数行列式 | A−lE | = 0
特 征 方 程
特 a 征 2 1 | A l E | 多 项 a 式 n 1
a l 1 1
a l 2 2 a n 2
结论： 当 A 0 时, A的特征值全为非零数; 当 A 0 时, A至少有一个特征值等于零.
线性代数5.2-方正的特征值和特征向量
解得 x 1 = − x 2 , 所以对应的特征向量可 取为 − 1 p2 = . 1
− 1 1 0 例２ 求矩阵 A = − 4 3 0 的特征值和特征向量 . 1 0 2
解
A的特征多项式为 的特征多项式为
−1− λ 1 0 2 A − λE = − 4 3−λ 0 = ( 2 − λ ) (1− λ ) , 1 0 2−λ 所以A 所以 的特征值为 λ 1 = 2, λ 2 = λ 3 = 1.
3. 对于特征值 λi , 求齐次方程组
( A − λi E ) x = 0
的非零解 , 就是对应于 λi的特征向量 .
思考题
设4阶方阵 A满足条件 : det (3E + A ) = 0, AAT = 2 E , det A < 0, 求A∗的一个特征值 .
思考题解答
解 因为 det A < 0, 故A可逆.由 det( A + 3 E ) = 0知 1 − 3是A的一个特征值 , 从而 − 是 A− 1的一个特征 3 值. 又由 A AT = 2 E得 det( A AT ) = det( 2 E ) = 16,即 2 (det A) = 16, 于是 det A = ±4, 但 det A < 0,因此 det 4 ∗ A = −4, 故 A 有一个特征值为 . 3
− 3 1 0 A − 2E = − 4 1 0 1 0 0
得基础解系
− 1 p2 = − 2 , 1
所以k p 2 ( k ≠ 0)是对应于 λ 2 = λ 3 = 1的全部特征值 .
− 2 1 1 的特征值与特征向量． 的特征值与特征向量 例３ 设 A = 0 2 0 ,求A的特征值与特征向量． − 4 1 3
− 1 1 0 例２ 求矩阵 A = − 4 3 0 的特征值和特征向量 . 1 0 2
解
A的特征多项式为 的特征多项式为
−1− λ 1 0 2 A − λE = − 4 3−λ 0 = ( 2 − λ ) (1− λ ) , 1 0 2−λ 所以A 所以 的特征值为 λ 1 = 2, λ 2 = λ 3 = 1.
3. 对于特征值 λi , 求齐次方程组
( A − λi E ) x = 0
的非零解 , 就是对应于 λi的特征向量 .
思考题
设4阶方阵 A满足条件 : det (3E + A ) = 0, AAT = 2 E , det A < 0, 求A∗的一个特征值 .
思考题解答
解 因为 det A < 0, 故A可逆.由 det( A + 3 E ) = 0知 1 − 3是A的一个特征值 , 从而 − 是 A− 1的一个特征 3 值. 又由 A AT = 2 E得 det( A AT ) = det( 2 E ) = 16,即 2 (det A) = 16, 于是 det A = ±4, 但 det A < 0,因此 det 4 ∗ A = −4, 故 A 有一个特征值为 . 3
− 3 1 0 A − 2E = − 4 1 0 1 0 0
得基础解系
− 1 p2 = − 2 , 1
所以k p 2 ( k ≠ 0)是对应于 λ 2 = λ 3 = 1的全部特征值 .
− 2 1 1 的特征值与特征向量． 的特征值与特征向量 例３ 设 A = 0 2 0 ,求A的特征值与特征向量． − 4 1 3
第2节 方阵的特征值和特征向量
(10)
将(9)式两端同时左乘 矩阵A, 得
a1 Ap1 a2 Ap2 ak Aps ak1 Apk1 0
Api i pi (i 1, 2, , k 1) a11 p1 a22 p2 akk pk ak1 k1 pk1 0 (11)
26
将(11)式与(10)式相减, 得
22 2 1 22
令 AE 0
∴A的特征值为 1 1, 2 3 2,
16
将 1 1 代入方程组(2)，有
2 1 1 1 x1 0
0 4
21 1
3
0
1
x2 x3
0 0
1 1 1 0 3 0 4 4 4
解方程组
3
x1 x2
x2 0
0 1 0
2 4 1 1 2 4
r1 r3 0
r3 2
1 0
0 0 r2 r3
1 1
0 0 1 0
1 2 r3 1 0 1
0 1 2
得
x1 x3
x2
2 x3
令
x3
1，
得
x1 x2
1 2
12
∴对应于λ1 =－2的特征向量可取为
1
p1
21 ,
1
k1
将λ1= -2代入方程组 ( A E)X 0
得齐次线性方程组
1 2
1 1
1 1 2
1
1 x1 0
1 1+2
x2 x3
0 0
即
3x1x1xx2 2x3x300
x1 x2 3 x3 0
11
经初等行变换
3 1 1
1 1 1
1 1 3
r1 3r2 r3 r2
方阵的特征值与特征向量
例2 若λ是矩阵A的特征值，证明
证 因λ是A的特征值，故有p≠0使Ap= λp，于是
1) A2 p = A( Ap ) = A(λ p ) = λ ( Ap) = λ 2 p， ( 故 λ 2 是矩阵A2的特征值， 且 p 是 A2 对应于λ 2的特征向量。
§2
方阵的特征值与特征向量
2 ) 当A可逆时，由Ap = λ p，有p = λ A−1 p， ( 因p ≠ 0，知λ ≠ 0，故A−1 p = λ −1 p 所以λ −1是矩阵A−1的特征值， 且p是A−1对应于λ −1的特征向量。
2.若pi是方阵A的对应于特征值λi的特征向量， 则kpi (k ≠ 0)也是对应于λi的特征向量。
§2
方阵的特征值与特征向量
求方阵特征值与特征向量的步骤： 求方阵特征值与特征向量的步骤
1. 计算A的特征多项式 A − λ E ；
2. 求特征方程 A − λ E = 0的全部根λ1 , λ2 , L , λn， 就是A的全部特征值；
§2
一般情况: 一般情况:
方阵的特征值与特征向量
(1)若λ是A的特征值，则λ k 是Ak的特征值； (2)若λ是A的特征值，则ϕ (λ )是ϕ ( A)的特征值。 (其中ϕ (λ ) = a0 + a1λ + L + amλ m是λ的多项式，
ϕ ( A) = a0 E + a1 A + L + am Am是A的多项式)
§2
方阵的特征值与特征向量
当λ2 = 4时，由 3 − 4 −1 x1 0 x = ， −1 3 − 4 2 0 −1 −1 x1 0 即 x = ， −1 −1 2 0 解得x1 = − x2， −1 所以对应的特征向量可取为 p2 = 。 1
特征值与特征向量的应用PPT
定义 方阵Ａ的主对角线上的元素之和称为方阵Ａ的迹. 记为 tr A aii i . 二、特征值和特征向量的性质 推论１ ｎ阶方阵Ａ可逆Ａ的ｎ个特征值全不为零. 若数λ为可逆阵的Ａ的特征值， 则 1 为 A1 的特征值． 推论２ 推论３ 则 k 为 kA 的特征值． 1 推论４ 则 A 为 A 的特征值．
注：内积是向量的一种运算，用矩阵形式表示，有 b1 b 2 T . , a1 a2 an bn
施密特（Schmidt）正交化法 设 1 , 2 ,, r 是向量空间Ｖ的一个基，要求向量空 间Ｖ的一个标准正交基，就是要找到一组两两正交的单 位向量 1 , 2 ,, r ，使 1 , 2 ,, r 与 1 , 2 ,, r 等价， 此问题称为把 1 , 2 ,, r 这组基标准正交化. 1）正交化 令 1 1
则 1 , 2 ,, r 两两正交，且与 1 , 2 ,, r 等价. 2）标准化 令 1
1
1
1 , 2
1
2
2 , , r
1
r
r ,
就得到Ｖ的一个标准正交向量组. 如果 1 , 2 ,, r 是Ｖ的一组基，则 1 , 2 ,, r 就是
1 2 P, ( p1 , p2 , , pn ) n 所以 P 1 AP , 即Ａ与对角矩阵Λ相似．
定理 ｎ阶矩阵Ａ能与对角矩阵Λ相似 Ａ有ｎ阶线性无关的特征向量． 推论 如果ｎ阶矩阵Ａ有ｎ个不同的特征值，则矩阵Ａ 可相似对角化．
1 , 2 2 2 1 1 , 1 1 , r 2 , r r 1 , r r r 1 2 r 1 1 , 1 2 , 2 r 1 , r 1
线性代数5.2-方正的特征值和特征向量
来决定。
矩阵分解
通过求取矩阵的特征值和特征向 量，可以将矩阵分解为若干个简 单的部分之和，便于分析。
数据降维
通过保留矩阵的主要特征值和 对应的特征向量，可以对数据 进行降维处理，减少计算量。
图像处理
在图像处理中，可以通过对图像矩 阵的特征值和特征向量进行分析，
实现图像的压缩、识别等任务。
03
方阵的特征值和特征向量
连续性
当矩阵连续变化时，其特征值和特征向量也会连续变化。
特征向量的性质
线性无关
对于不同的特征值，其对应的特征向量是线性无关的。
正交性
对于对称矩阵，其特征向量可以选取为正交。
归一化
特征向量可以归一化，使其模长为1。
唯一性
对于给定的特征值，其对应的特征向量是唯一的。
特征值和特征向量的应用
控制系统
在控制系统中，系统的稳定性 可以通过判断其矩阵的特征值
特征值与特征向量之间是一一对应的， 即一个特征值对应多个特征向量，一 个特征向量对应一个特征值。
特征向量的定义
特征向量是线性代数中一个重要的概念，它是指一个非零向量，经过可逆线性变换后变为标量倍数的 向量。
特征向量与特征值之间存在一一对应关系，即对于给定的特征值$lambda$，存在一个或多个满足 $Ax=lambda x$的向量$x$。
特征值具有实数性、唯一性、有限性、代数重数等于几何重数等性质。
特征向量的性质
特征向量具有线性无关性、正交性、可逆性等性质。
方阵的特征值和特征向量的应用
在数值计算中的应用
特征值和特征向量在数值计算中有广泛的应用，如求解微分方程、积分方程、 线性方程组等。
在物理和工程中的应用
特征值和特征向量在物理和工程中有广泛的应用，如振动分析、结构分析、信 号处理等。
矩阵分解
通过求取矩阵的特征值和特征向 量，可以将矩阵分解为若干个简 单的部分之和，便于分析。
数据降维
通过保留矩阵的主要特征值和 对应的特征向量，可以对数据 进行降维处理，减少计算量。
图像处理
在图像处理中，可以通过对图像矩 阵的特征值和特征向量进行分析，
实现图像的压缩、识别等任务。
03
方阵的特征值和特征向量
连续性
当矩阵连续变化时，其特征值和特征向量也会连续变化。
特征向量的性质
线性无关
对于不同的特征值，其对应的特征向量是线性无关的。
正交性
对于对称矩阵，其特征向量可以选取为正交。
归一化
特征向量可以归一化，使其模长为1。
唯一性
对于给定的特征值，其对应的特征向量是唯一的。
特征值和特征向量的应用
控制系统
在控制系统中，系统的稳定性 可以通过判断其矩阵的特征值
特征值与特征向量之间是一一对应的， 即一个特征值对应多个特征向量，一 个特征向量对应一个特征值。
特征向量的定义
特征向量是线性代数中一个重要的概念，它是指一个非零向量，经过可逆线性变换后变为标量倍数的 向量。
特征向量与特征值之间存在一一对应关系，即对于给定的特征值$lambda$，存在一个或多个满足 $Ax=lambda x$的向量$x$。
特征值具有实数性、唯一性、有限性、代数重数等于几何重数等性质。
特征向量的性质
特征向量具有线性无关性、正交性、可逆性等性质。
方阵的特征值和特征向量的应用
在数值计算中的应用
特征值和特征向量在数值计算中有广泛的应用，如求解微分方程、积分方程、 线性方程组等。
在物理和工程中的应用
特征值和特征向量在物理和工程中有广泛的应用，如振动分析、结构分析、信 号处理等。
方阵的特征值与特征向量ppt课件
1
0 2
2 12 0
特征值为 1 2,2 3 1
第二步：对每个特征值 代入齐次线性方程组
A E x 0, 求非零解。
9
当1 2 时，齐次线性方程组为 A 2E x 0
系数矩阵
3 1 0 1 0 0
A
2E
4 1
1 0
0 0
0 0
1 0
0 0
自由未知量: x3
相同的特征值.
(3) 求 (i E A)x 0 或 ( A - i E)x 0 的非零解，得到A的关于 i 的全部特征向量.
8
1 1 0
例1：
求矩阵
A
4 1
3 0
0 2
的特征值和全部特征向量.
解： 第一步：写出矩阵A的特征方程，求出特征值.
1 1 0 A E 4 3 0 0
f ( ) E A ( - 1)( 2 )( n ) n (1 2 n )n1 (1)n 12 n
由多项式相等,系数相等,即(1)得证.
7
求A的特征值与特征向量的步骤:
(1) 求出A 的特征多项式 f ( ) E A ；
(2) 解特征方程 f ( ) E A 0，求出A的全部 特征值1 ,, n .其中f ( )的r重根对应A的r个数
解答: 因为 | A | 0, 故A可逆. 由 | A 3E | 0 知
3是A的一个特征值, 从而 1 是A1的一个特征值. 3
又由 AAT 2E 得 | AAT || 2E | 16, 即
| A |2 16, 于是 | A | 4, 但 | A | 0, 因此 | A | 4, 故A*有一个特征值为4 .
称为矩阵A的迹。（主对角元素之和）
n
方阵的特征值与特征向量
§3 方阵的特征值与特征向量一、特征值与特征向量的定义设A 为n 阶方阵，p 是某个n 维非零列向量. 一般来说，n 维列向量Ap 未必与p 线性相关，也就是说向量Ap 未必正好是向量p 的倍数. 如果对于取定的n 阶方阵A ，存在某个n 维非零列向量p ，使得Ap 正好是p 的倍数，即存在某个数λ使得λAp =p ，这样的向量就是A 的相应的特征向量.下面正式给出方阵的特征值和特征向量的定义.定义3.1 设()ij n na ⨯=A 为n 阶实方阵. 若存在某个数λ和某个n 维非零列向量p 使λA p =p， 则称λ是A 的一个特征值，称p 是A 的属于特征值λ的一个特征向量.为了求出A 特征值和特征向量，我们把λAp =p 改写成()λ-=n E A p 0. 再把λ看成待定参数，那么p 就是齐次线性方程组()λ-=n E A x 0的任意一个非零解. 显然，它有非零解当且仅当它的系数行列式为零：0λ-=n E A .定义3.2 带参数λ的n 阶方阵λ-n E A 称为A 的特征方阵，它的行列式λ-n E A 称为A 的特征多项式. 称0λ-=n E A 为A 的特征方程. 根据行列式的定义可知有以下等式111212122212n n n n n na a a a a a a a a λλλλ-------=---n E A()()()1122n na aa λλλ=---+ , (1)在省略的各项中不含λ的方次高于2n -的项, 所以n 阶方阵A 的特征多项式一定是λ的n 次多项式. A 的特征方程的n 个根（复根，包括实根或虚根, r 重根按r 个计算）就是A 的n 个特征值. 在复数范围内, n 阶方阵一定有n 个特征值.综上所述, 对于给定的n 阶实方阵()i j a =A , 求它的特征值就是求它的特征多项式(1)的n 个根. 对于任意取定的一个特征值0λ，A 的属于这个特征值0λ的特征向量，就是对应的齐次线性方程组0()λ-=n E A x 0的所有的非零解. 注意: 虽然零向量也是0()λ-=n E A x 0的解，但0不是A 的特征向量!二、关于特征值和特征向量的若干结论定理3.1 n 阶方阵A 和它的转置矩阵T A 必有相同的特征值. 证 由矩阵转置的定义得到矩阵等式()TT λλ-=-n n E A E A . 再由行列式性质1知道()TTλλλ-=-=-n n n E A E A E A. 这说明A 和T A 必有相同的特征多项式,因而必有相同的特征值. 证毕 定理3.2 设12,,,n λλλ 的n 阶方阵()i j a =A 的全体特征值，则必有()111,nn ni i iii i i atr λλ======∑∑∏A A .这里，()tr A 为()i j a =A 中的n 个对角元之和，称为A 的迹（trace ）.A 为A 的行列式. 证 在关于变量λ的恒等式()()()()112111nn nnn n i i i i λλλλλλλλλλλ-==⎛⎫-=---=-++- ⎪⎝⎭∑∏n E A中取0λ=即得 ()()111nnnii λ=-=-=-∏A A ，所以必有1nii λ==∏A .再据行列式定义可得()()()1122n n a a a λλλλ-=---+n E A ｛()!1n -个不含n λ和1n λ-的项｝ 11n nn i i i a λλ-=⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭∑ ｛()!1n -个不含n λ和1n λ-的项｝比较λ-n E A 的上述两个等式两边的1n λ-项的系数, 即得11n ni i ii i aλ===∑∑. 证毕定理3.3 设A 为n 阶方阵.()1110mm m m f x a x a xa x a --=++++ 为m 次多项式.()1110m m m m f a a a a --=++++n A A A A E为对应的A 的方阵多项式. 如果λ=Ap p ，则必有()()f fλ=A p p . 这说明()f λ必是()f A 的特征值. 特别, 当()f =A O 时，必有()0f λ=，即A 的特征值必是对应的m 次多项式()f x 的根.证 先用归纳法证明,对于任何自然数k , 都有k k λ=A p p . 当1k =时,显然有λ=Ap p . 假设k k λ=A p p 成立, 则必有()()11k k k k k λλλ++====A p A A p A p Ap p 。
第5章 方阵的特征值与特征向量
(2)
1m1x1 p1 m2 1x2 p2 mm1xm pm 0(m)
1 1 1m1
x1
p1
, x2 p2 ,, 设为C
xm
pm
11
2
m
m2 1
mm1
0,0,,0
-21-
C (i j ) 0 x1 p1, x2 p2,, xm pm 0,0,,0
1 jim
x3 x3
，令
x3 1
，得基础解系
1 (1,1,1)T
因此，对应于特征值 1 的所有特征向量为 k11 (k1 0)
-13-
1 2 2
B
3
1
1
2 2 1
对于2 3 3 ，解方程组 (2E B)x 0
2 2 2 1 0 1
2E B 3E B 3 2 1 0 1
矩阵的相似关系可简化矩阵的计算, 简化线性微分 方程组,不仅在理论中起重要作用,在实践中也有广泛 的应用.
主要内容:
一.矩阵相似的定义 二.相似矩阵的性质 三.矩阵可对角化的充要条件
-26-
一.相似矩阵的定义
定义 设A，B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P，使 P 1AP B
则称B是A的相似矩阵，或说矩阵A与B相似。对A进行 运算 P1AP 称为对A进行相似变换，可逆矩阵P称为 把A变成B的相似变换矩阵。
3 32 0
B 的特征值为 1 3, 2 3 3
-12-
1 2 2
B
3
1
1
2 2 1
对于 1 3 ，解方程组 (1E B)x 0
4 2 2 1 0 1
1E B 3E B 3 4 1 0 1 1
2 2 4 0 0 0
方阵的特征值与特征向量
（其中可能有重根）， 1, 2 ,, n 就是 A 的全部特征值。
3. 对每个特征值 i ，求解属于它的特征向量，
即解齐次线性方程组（i E A)x 0 的基础解系
若求得基础解系为1 , 2 ,, t ，则 A 的属于特征值 i
的全部特征向量即为 x k11 k22 ktt .
其中
k
（
1 1
4 0 2
0 0 0
0 0 0
1 r2 2r1 0
3 6
1 3
r2(16)
1 0
3 1
1 1
0 0 0
0
0
2 0
1 0 1
2
r13r2 0 1 1
2
0 0 0
得对应的方程组
x1 x2
故当 k1x1 k2 x2 0 时， k1x1 k2 x2 是矩阵 A 的属于特 征值 0 的特征向量。
为讨论方阵的特征值与特征向量的计算方法，把式（4.2）
改写为
（E A)x 0
（4.3）
这是 n 个方程 n 个未知量的齐次线性方程组， n 阶矩阵 A
的特征值就是使该齐次线性方 E A 0 的单根时，则称其为
单特征值，否则称为重特征值。
求 n 阶方阵 A 的特征值与特征向量的步骤：
1. 求出矩阵 A 的特征多项式 f () E A ,
即计算行列式 E A
2. 解特征方程 E A 0 ，求出它的全部解（根） 1, 2 ,, n
1
2
1 (3 )
1 2( 3 )
4 2
4 0 2
令 A E 0 ，解得 A 的特征值为 1 2 0, 3 3
对应于 1 2 0 ，求解齐次线性方程组 (A 0E)x 0 的基础解系
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2 1
1
2 1
则
l
=
1
为
3 2
4 3
的特征值，
2 1
为对应于l
=
1
的特征向量.
一、基本概念
定义：设 A 是 n 阶矩阵，如果数 l 和 n 维非零向量 x 满足 Ax = l x，
那么这样的数 l 称为矩阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 对应于特征值 l 的特征向量．
二、基本性质
在复数范围内 n 阶矩阵 A 有 n 个特征值（重根按重数计 算）．
设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1, l2, …, ln，则 ✓ l1 + l2 + … + ln = a11 + a22 + … + ann ✓ l1 l2 … ln = |A|
例：求矩阵
A
3 1
1
3
的特征值和特征向量．
解：A 的特征多项式为
3l | A l E |
1 (3 l )2 1 8 6l l 2 (4 l )(2 l)
1 3 l
所以 A 的特征值为 l1 = 2，l2 = 4 ． 当 l1 = 2 时， 对应的特征向量应满足(A - 2E) x = 0，即
32
1
1 32
x1 x2
是 p．
例 设 A 是 n 阶方阵，其特征多项式为
fA l lE A ln an1ln1 a1l a0
求 AT 的特征多项式 .
解 f AT l lE AT lE AT
lE A ln an1ln1 a1l a0
2 1 1
例：求矩阵
A
0
2
0
的特征值和特征向量．
4 1 3
2 l 1 1
解： A l E 0
2l
2 l 1 0 (2 l)
4 3 l
4 1 3 l
(2 l )(l 2 l 2) (l 1)(l 2)2
所以 A 的特征值为 l1 = −1，l2 = l3 = 2 ．
§2 方阵的特征值与特征向量
引言
纯量阵 lE 与任何同阶矩阵的乘法都满足交换律，即 (lEn)An = An (lEn) = lAn ．
矩阵乘法一般不满足交换律，即AB ≠ BA ． 数乘矩阵与矩阵乘法都是可交换的，即
l (AB) = (lA)B = A(lB)． Ax = l x ?
例：
0 0
，即
1
1
1 1
x1 x2
0 0
1
解得基础解系
p1
1
．
k
p1（k
≠
0）就是对应的特征向量．
例：求矩阵
A
3 1
1
3
的特征值和特征向量．
解：A 的特征多项式为
3l | A l E |
1 (3 l )2 1 8 6l l 2 (4 l )(2 l)
Ax = l x = lE x 非零向量 x 满足 (A−lE) x = 0（零向量）
齐次线性方程组有非零解
系数行列式 | A−lE | = 0
特 征 方 程
特
a11 l
征 多
|
A
l
E
|
a21
项
式
an1
a12
a22 l
an2
a1n a2n 0
ann l
特征方程 特征多项式
| A−lE | = 0 | A−lE |
就是对应于特征值为 l 的全体特征向量的最大无关组．
例：设 l 是方阵 A 的特征值，证明 (1) l2 是 A2 的特征值； (2) 当 A 可逆时，1/l 是 A−1 的特征值．
证明 1 Ax lx AAx Alx lAx llx A2 x l2 x
再继续施行上述步骤 m 2 次，就得 Am x lm x
故 l m 是矩阵Am的特征值, 且 x 是 Am 对应于l m的特征向量.
结论：若非零向量 p 是 A 对应于特征值 l 的特征向量，则 lk 是 Ak 的特征值，对应的特征向量也是 p ．
例：设 l 是方阵 A 的特征值，证明 (1) l2 是 A2 的特征值； (2) 当 A 可逆时，1/l 是 A−1 的特征值．
二、基本性质
在复数范围内 n 阶矩阵 A 有 n 个特征值（重根按重数计 算）．
设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1, l2, …, ln，则 ✓ l1 + l2 + … + ln = a11 + a22 + … + ann ✓ l1 l2 … ln = |A| 若 l 是 A 的一个特征值，则齐次线性方程组的基础解系
2 1 1
例：求矩阵
A
0
2
0
的特征值和特征向量．
4 1 3
解（续）：当 l1 = −1 时，解方程组 (A + E) x = 0，因为
1 1 1 1 0 1
A l1E
A
E
0
3
0
r
~
0
1
0
4 1 4 0 0 0
1
解得基础解系
p1
0
．
k
p1（k
≠
0）就是对应的特征向量．
3 2
4 3
0 0
l
0 0
,
3
2
4 2 2
3
1
1
1
一、基本概念
定义：设 A 是 n 阶矩阵，如果数 l 和 n 维非零向量 x 满足 Ax = l x，
那么这样的数 l 称为矩阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 对应于特征值 l 的特征向量．
例：
3
2
4 3
证明 2 当 A 可逆时, l 0, 由 Ax l x 可得 A1Ax A1lx lA1x
l A1 x x A1 x l 1 x
故l 1是矩阵A1的特征值, 且x是A1对应于l 1的特征向量.
结论：若非零向量 p 是 A 对应于特征值 l 的特征向量，则 当 A 可逆时，1/l 是 A−1 的特征值，对应的特征向量仍然
1 3 l
所以 A 的特征值为 l1 = 2，l2 = 4 ． 当 l2 = 4 时， 对应的特征向量应满足(A - 4 E) x = 0，即
34
1
1 34
x1 x2
0 0
，即
1 1Leabharlann 1 1x1 x20 0
1
解得基础解系 p2
1
．k
p2（k
≠
0）就是对应的特征向量．
1
2 1 1
例：求矩阵
A
0
2
0
的特征值和特征向量．
4 1 3
解（续）：当 l2 = l3 = 2 时，解方程组 (A−2E) x = 0，因为
4 1 1 4 1 1
A 2E
0
0
0
r
~
0
0
0
4 1 1 0 0 0
1
0
解得基础解系
p2
0
,
p3
1
．
4
1
k2 p2 + k3 p3 （k2 , k3 不同时为零）就是对应的特征向量．