2014学而思杯数学解析(6年级)

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小学思维数学讲义：位值原理-带详解

⼩学思维数学讲义：位值原理-带详解位值原理1. 利⽤位值原理的定义进⾏拆分2. 巧⽤⽅程解位值原理的题位值原理当我们把物体同数相联系的过程中，会碰到的数越来越⼤，如果这种联系过程中，只⽤我们的⼿指头，那么到了“⼗”这个数，我们就⽆法数下去了，即使象古代墨西哥尤⾥卡坦的玛雅⼈把脚趾也⽤上，只不过能数⼆⼗。

我们显然知道，数是可以⽆穷⽆尽地写下去的，因此，我们必须把数的概念从实物的世界中解放出来，抽象地研究如何表⽰它们，如何对它们进⾏运算。

这就涉及到了记数，记数时，同⼀个数字由于所在位置的不同，表⽰的数值也不同。

既是说，⼀个数字除了本⾝的值以外，还有⼀个“位置值”。

例如，⽤符号555表⽰五百五⼗五时，这三个数字具有相同的数值五，但由于位置不同，因此具有不同的位置值。

最右边的五表⽰五个⼀，最左边的五表⽰五个百，中间的五表⽰五个⼗。

但是在奥数中位值问题就远远没有这么简单了，现在就将解位值的三⼤法宝给同学们。

希望同学们在做题中认真体会。

1.位值原理的定义：同⼀个数字，由于它在所写的数⾥的位置不同，所表⽰的数值也不同。

也就是说，每⼀个数字除了有⾃⾝的⼀个值外，还有⼀个“位置值”。

例如“2”,写在个位上，就表⽰2个⼀，写在百位上，就表⽰2个百，这种数字和数位结合起来表⽰数的原则，称为写数的位值原理。

2.位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef =a ×100000+b ×10000+c ×1000+d ×100+e ×10+f 。

3.解位值⼀共有三⼤法宝：（1）最简单的应⽤解数字谜的⽅法列竖式（2）利⽤⼗进制的展开形式，列等式解答（3）把整个数字整体的考虑设为x ，列⽅程解答模块⼀、简单的位值原理拆分【例 1】⼀个两位数，加上它的个位数字的9倍，恰好等于100。

这个两位数的各位数字的和是。

【考点】简单的位值原理拆分【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯，4年级，初赛，7题，六年级，初赛，第8题，5分【解析】这个两位数，加上它的个位数字的9倍，恰好等于100，也就是说，⼗位数字的10倍加上个位数字的10倍等于100，所以⼗位数字加个位数字等于100÷10＝10。

学而思杯全国联考6年级数学试题

比宫保的多 25% ．宫保有__________张积分卡．三．填空题（每题 7 分，共 28 分）
9. 艾迪班上同学集体坐火车出游．火车完全通过一座长 1000 米的海湾大桥要花 25 秒，完全 4. 在 1 到 2013 中，除以 6 余 4 的数有__________个．通过一条长 500 米的隧道要花 15 秒．得到这些信息之后，聪明的艾迪算出了火车的长度，那么火车长为__________米．
CD 的中点，阴影部分面积为__________．
B E A D F C
8.
A 、 B 两个自然数的和是 2013 ，最大公因数是 33 ， A 、 B 两数的差的最大值是
__________．
2 3. 宫保、艾迪、薇儿一共有 525 张积分卡，宫保卡数的 2 倍和薇儿的一样多，艾迪的卡数 3
在一个边长为84米的正方形跑道上一只猫和一只老鼠同时从同一个顶点背向出发猫的速度为6米秒老鼠的速度为8米秒
绝密★启用前
二．
填空题（每题 6 分，共 24 分）
2013 年学而思综合能力测评（全国）六年级数学
考生须知 1.本试卷共 8 页，20 题 2.本试卷满分 150 分，考试时间 90 分钟 3.在试卷密封线内填写学校、班级、姓名、考号
11. 有一杯盐水，先倒一半到甲碗里，并往杯里加满水；再从杯里倒一半到乙碗里，并把甲碗盐水倒回杯里；最后倒掉半杯盐水，并把乙碗盐水倒回杯里．此时杯里盐水的浓度为
15% ，则开始时杯里盐水的浓度为__________ % ．
15. 如图， ABCD 为正方形， BEC 90 ， BE 35 ， CE 21 ，则阴影部分面积为 __________．

小学数学竞赛：定义新运算.教师版解题技巧培优易错难

.
【考点】定义新运算之直接运算【难度】3星【题型】计算
【解析】原式
【答案】
【巩固】表示
【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算
【关键词】走美杯，3年级，初赛
【解析】原式
【答案】
【巩固】规定运算“☆”为：若a>b，则a☆b=a＋b；若a=b，则a☆b=a－b＋1；若a<b，则a☆b=a×b。那么，（2☆3）＋（4☆4）＋（7☆5）=。
【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算
【关键词】希望杯，四年级，二试
【解析】19
【答案】
【例 2】“△”是一种新运算，规定：a△b＝a×c＋b×d(其中c，d为常数)，如5△7＝5×c＋7×d。如果1△2＝5，2△3＝8，那么6△1OOO的计算结果是________。
【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算
【答案】
【巩固】设 △ ，那么，5△ ______，(5△2)△ _____.
【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算
【解析】
,
【答案】
【巩固】、表示数，表示，求3 (6 8)
【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算
【解析】
【答案】
【巩固】已知a,b是任意自然数,我们规定:a⊕b=a+b-1, ,那么
可知：5*7＝（5＋3×7）×（5＋7）＝（5＋21）×12＝26×12＝312
【答案】
【巩固】定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求的值。6△（3△4）
【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算
【解析】所求算式是两重运算，先计算括号，所得结果再计算。由a△b＝（a＋1）÷b得，3△4＝（3＋1）÷4＝4÷4＝1；6△（3△4）＝6△1＝（6＋1）÷1＝7

2013-2014学年六年级高思杯-思维部分解析模板

６年级试卷解析　高思学校2013-2014 学年六年级高思杯综合解答及评析思维部分一、判断题1、答案：×．知识点：质数与合数．详解：举出反例即可，如 4 和 9 的和就不是合数． 2、答案：√．知识点：立体几何． 3、答案：√．知识点：分数定义． 4、答案：×．知识点：质数与合数．详解：1 既不是质数也不是合数． 5、答案：×．知识点：浓度问题．详解：喝去的是溶液整体的一半，酒精和酒都变为原来的一半，所以浓度不变．2013 年秋季二、单项选择题6、答案：B．知识点：计数问题．详解：A-B、A-C-B、A-C-D-B、A-D-B、A-D-C-B． 7、答案：A．知识点：概率问题．1 详解：符合要求的点数搭配有（2，6）（6，2）（3，4）（4，3）共四种，其概率为 4÷36= ．、、、 98、答案：B 知识点：经济问题详解：2500÷6000×100％≈42％．高思杯六年级试卷解析　2013 年秋季 9、答案：B．知识点：不定方程．详解：将两人的牌数设为 5x+3、7y-2，根据总牌数为 54 列出不定方程求解即可． 10、答案：D 知识点：立体几何．６年级　高思学校三、填空题 I11、答案：12 知识点：约数倍数详解：两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于两数的乘积． 12、答案：123456789 知识点：定义新运算详解：按规律列竖式即可． 13、答案：56 知识点：对应计数详解：插板法，八个空插三个板，即为八选三的组合数． 14、答案：13．42 知识点：平面几何详解：阴影=半径是 2 的一个四分之三圆+一个边长为 2 的正方形． 15、答案：8 ． 15知识点：分数计算详解：按四则运算顺序依次乘除即可． 16、答案：48 知识点：往返接送详解：画往返接送的典型分段行程图即可．四、填空题 II17、答案：40 知识点：平面几何详解：高 10 只能是边长为 8 的边上的高，否则会画出一个直角边为 10、斜边为 8 的直角三角形，显然不成立． 18、答案：6６年级知识点：不定方程试卷解析　高思学校2013 年秋季详解：设下午卖出 x 只鸡，且单价为 a 元．可列出不定方程： ( 24 − x ) + ax = ， 36 + ax = ， 7 132 即 7x 那么 x 为 36 的约数且 x 大于 12，所以 x 为 18，因此上午卖出了 24 − 18 = 6 只鸡． 19、答案：80 知识点：工程问题详解：（比例法）甲、乙的工效比为 2:3，所以当甲完成时两队完成的工作量之比为 2:3．而一开始甲、乙的工作任务之比为 1:3，可化为 2:6．所以乙还剩下的 30 米对应的份数为 6 − 3 = 份， 3 即 1 份对应 10 米，因此这条路的总长度为 ( 2 + 6 ) × 10 = 米． 80 20、答案：2022 知识点：质数合数详解：从 8 开始往后的偶数可以拆成两个偶合数的和；从 13 开始的奇数可以拆成 9+2n 的形式（n 大于等于 2），而 1、2、3、4、5、6、7、9、11 要划去，所以剩下的数列为 8、10、12、13、 14、15……，第 2013 项即为 2022． 21、答案：3 知识点：流水行船问题详解：老师逆流而上时，人与木筏的运动属于相遇运动，路程和等于速度和（速度和即为人在静水中的速度）乘以 10 分钟；老师顺流而下时，人与木筏的运动属于追及运动，之前的路程和变为了现在路程差，而现在的速度差也为人在静水中的速度，因此要 10 分钟即可追上木筏，所以前后木筏共漂了 20 分钟，则水流的速度为 1000 ÷ 20 =米/分钟=3 千米/时． 50 22、答案：560 知识点：排列组合详解： 8 选 3 的情况数×5 选 2 的情况数×3 选 3 的情况数．五、填空题 III23、答案：11 知识点：平面几何详解：由等高三角形可知，三角形 BFD 与三角形 CFD 面积相等，同理可知三角形 BED 与三角形 AED 面积相等，所以四边形 ABFD 的面积为 5 + 5 + 12 = ．由等高三角形可知三角形 BEF 22 的面积为三角形 ABF 的一半，且三角形 ABF 与三角形 BFD 的面积相等都为 12，因此三角形高思杯六年级试卷解析　2013 年秋季 BEF 的面积为 6，所以三角形 EFD 的面积为 22 − 6 − 5 = ． 11 24、答案：282 知识点：复杂应用题６年级　高思学校详解：一开始三人的金币数之比为 3:2:1，总数为 6 份，所以总数为 6 的倍数．设重新分配后各占 x、y、z 个，由题意列方程组，整理后即可的 x:y:z=33:13:1，即把总数又可分成 47 小份，所以总数为 47 的倍数．因此总数为 6 和 47 的公倍数，且为 200 多，所以总数为 282． 25、答案：116 知识点：计数问题详解：显然 C 中只能填 11，而和为 36 的四个数要满足题目条件，只能有以下两种情况：（11、 10、9、6）（11、10、8、7）、．两种情况下各自按大小顺序分类排列可得共有 64+52=116 种情况．六、操作题26、答案：1 1 2 3 21 4 4 3 53 3 5 1 45 1 5 1 52 5 3 2 43 2 2 4 4知识点：数阵问题详解：将 55，22，33 做突破口．七、解答题27、答案：（1）3；（2）6；（3）108．知识点：间隔发车问题详解：每 4 秒钟发出一发炮弹，炮弹的间距为 36 米．（1）炮弹和僵尸做相遇运动，相遇时间为36 ÷ ( 9 + 3) = （2）炮弹和僵尸做追及运动，追及时间为 36 ÷ ( 9 − 3) = （3）考虑极端 3 秒； 6 秒；情况，从僵尸进入射程开始到僵尸碰到豌豆，豌豆刚好发出 10 发炮弹，其所用时间为 9 × 4 = 36 秒，即僵尸走了 36 秒，因此此时射程为 36 × 3 = 米，所以射程应该大于 108 米． 108高思学校2013 年秋季６年级试卷解析　。

第六届学而思杯综合素质测评解析与答案

9
少先队员去植树。如果每人种 5 棵，还有 3 棵没人种；如果其中 2 人各种 4 棵，其余名少先队员参加植树。
的人各种 6 棵，这些树苗正好种完。问有
【分析】考点：盈亏问题。盈亏问题的分配额不统一，将分配额变统一为每人种 5 颗，多 3 颗；每人种 6 颗，少 4 颗，变为盈亏型。则人数=（3+4）÷（6-5）=7 人 10 魔术师有一个大盒子，大盒子里装有三个中盒子，每个中盒子里面又装有三个小盒子，请问：该魔术师一共有【分析】1+3+3×3=13 个 11 姐姐的年龄比妹妹的年龄的 3 倍多 2 岁，但 2 年前姐姐的年龄比 7 年后妹妹的年龄小 1 岁，那么现在姐姐的年龄是岁。个盒子。
A
B
【分析】考点：图形计数从 A 点出发：7×6÷2×3=63 个擦掉 A 点，从 B 点出发：3×2÷2×6=18 个共：63+18=81 个 5 俊俊和亚亚玩“石头、剪子、布”的游戏，两人用同样多的石子做记录，输一次给对方次游戏。
一颗石子，结果俊俊胜了 2 次，亚亚比原来多了 6 颗石子，他们共做了【分析】考点：和差问题-图示解法
第六届学而思综合素质测评
小学三年级
第六届学而思杯综合素质测评
考试科目：数学考试时间：80 分钟总分： 120 分一填空题（共 20 题，每题 6 分共 120 分直接写出答案） 1 计算： 99 37 45 99 82 原式=99×（37+45）+82 =99×82+82 =82×（99+1） =8200 2 规定，符号”〇”表示选择两数中较大数的运算，如：5〇9 9 ．符号”△”表示选择。。【分析】考点：巧算-乘法分配律

【试卷】2015年第五届“学而思杯”(六年级杯赛)(内部版)

12. 在一个圆周上等距离分布着 n 个点，将所有点连线形成若干个以圆周上的点为顶点的封闭图形，再任意将其中某些点染成红色，使所有的封闭图形中存在以四个红点为顶点的正方形．已知当 n 取某数时，至少要将 400 个点染成红色才能保证达成要求，请求出 n 的取值．【难度】 ★★★ 【考点】组合：最值原理【答案】 532 【解析】经尝试可得结论：只有当 n 为 4 的倍数时，连接圆周上的某四个点才能形成正方形；设
六年级杯赛命题人：邹家意
总分： 150 分时间： 90 分钟
一、填空题．（每题 10 分，共 80 分）
1.
26 41 47 39 71 ________ ． 15 24 28 56 60 【难度】 ★★ 【考点】计算：分数裂项【答案】 7 【解析】
原式 1 11 17 19 39 11 1 1 1 15 24 28 56 60 3 2 5 3 3 8 4 3 7 7 8 4 15 - 4 4 3 5 38 47 7 8 15 4 2 1 3 1 3 1 1 4 1 1 4 5 3 8 3 7 4 8 7 4 15 1 1 2 1 3 4 1 1 3 1 4 - 3 3 5 15 7 7 4 4 8 8 4 111 7
5.
x1 x2 x3 x4 x5 7 有________组不同的自然数解．
【难度】 ★★★ 【考点】计数：隔板法【答案】 330 【解析】
由于未知数 x1、x2、x3、x4、x5 都有可能取 0，所以先 “借 ”1 给每个未知数，则本题等同于 “将 12 个相同的苹果分到 5 个不同的盘中，共有多少种方法 ”，显然，共有（7 5 12）

学而思杯数学解析级

16. 有 12 张卡牌，分别写着 1～12，不同卡牌上的数互不相同．甲、乙、丙分别抓取其中的四张牌，
进行游戏．规则如下：
比赛分 4 轮，每轮三人各出一张牌（出过的牌不能再出），并计算三张牌的和，如果和比中间
牌的 3 倍小，则出最小牌的人获胜，反之，则出最大牌的人获胜．如果和等于中间牌的 3 倍，则
无人获胜．（例如：甲、乙、丙分别出的是 2、4、1，则乙获胜）．已知：
① 四轮都有人获胜；
② 甲四轮出牌顺序依次是 3、4、8、1，结果只有前 3 轮获胜；
③ 乙第一次出了他手中四张牌中最小的牌；
④ 乙、丙两人手中四张牌的和相等．
那么，乙所拥有的四张牌的乘积是
．
【考点】逻辑推理
【难度】☆☆☆☆☆
【答案】3150 【分析】①剩余 8 张牌的和是 (1+ 2 +⋯ +12) - 3- 4 - 8-1= 62 ，所以乙、丙的和都是 31；
获胜，剩余的 1 个数一定是 3、4，但 3、4 都已出现，所以 2 也不能在第 3 轮，所以 2 一定是丙第
4 轮由丙出； ④ 如果丙还有 5，那么丙的 4 个数最大，是 2 + 5 +11+12 = 30 < 31，所以 5 一定在乙手上，
那么 5 就是乙最小的牌，5 是在第一轮出的，如果甲的 3 想要获胜，丙只能出 6； ⑤ 丙已经由 2 和 6，丙的 4 个数最大是 2 + 6 +11+12 = 31 ，刚好，所以 11 和 12 只能是丙，
分卡上共出现了
位老师．
【考点】容斥原理
【难度】☆
【答案】550 【分析】 300 + 400 -150 = 550

【5年级】2014-2016学而思杯真题+解析合集_14

2
1
二．填空题（每题 6 分，共 24 分） 5. 下图中，共有个等边三角形．
6.
将下面的乘法竖式补充完整，那么，最后的乘积是
．
0 4 1 2
7. 下图是国际象棋棋盘，将每一行的棋子数写在了棋盘左边，将每一列的棋子数写在了棋盘的上边，已知每格至多放一枚棋子，且同一行或同一列的棋子全部相连，那么，白格中共有 5 5 6 8 6 4 2 1 枚棋子． 1 2 3 6 6 8 7 4
8.
4 名瓦工用面积为 80 平方厘米的地砖铺 6 平方米的房间，用了 3 天时间；16 名瓦工用另一种规格的地砖铺了 12 平方米的房间，用了 12 天时间．每名瓦工铺一块任何大小的地砖所需要的时间都相等．那么，第二个房间所用的地砖面积是平方厘米．
三．填空题（每题 7 分，共 28 分） 9. 把 1 个 1，2 个 2，3 个 3，……按顺序排成下图数表，那么这个数表中第 10 行第 10 列的数是．
2014 年南京五年级学而思杯答案解析
一、填空题（每题 5 分，共 20 分） 1. 【考点】数论，带余除法【难度】☆ 【答案】63 【分析】 14 4 7 63 . 2. 【考点】定义新运算【难度】☆☆ 【答案】41 【分析】 1 △ (6 ☆ 8) 1 △ (2 6 8) 1 △ 20 1 2 20 41 . 3. 【考点】应用题，分数应用题【难度】☆☆ 【答案】60 3 【分析】雾霾天有 28 故其他时间为 28 12 16 天，故共跑了 1 12 3 16 60 12 天， 7 圈. 4. 【考点】几何，立体几何与空间想象【难度】☆☆☆ 【答案】5 【分析】若认为“有棱围起来的就算一个面”的话，粘合之前有 5 4 9 个面，粘合后失去 2 个面，故有 9 2 7 个面. 但要注意“共面的面算同一个面”，会发现红色三角形旁边的面是共面的，答案是 7 2 5 个面. 共面证明如下：设正四棱锥、正四面体的边长是 a，那么将正四棱锥沿底面正方形边长的方向平移 a 可得到新的正四棱锥，如图：

2016学而思杯数学解析(6年级)

4 分，共 8 分）：
（1）
5x 3
2
5
3x 2
7
【考点】解方程
【难度】☆☆
【答案】5
【分析】去分母：
5x 3
2
6
5
6
3x 2
7
6
2 (5x 2) 30 3 (3x 7)
去括号： 10x 4 30 9x 21
移项： 10x 9x 30 4 21
合并同类项：
x5
9
（2）大超市和小超市出售同一种商品，大超市的进价比小超市的进价便宜 10%，大超市按 30%的利润率定价，小超市按 28%的利润率定价，大超市的定价比小超市的定价便宜 22 元，求小超市的这种商品的进价是多少元？
且 58 = 2´ 29 ，因为 4 个合数要两两互质，所以接下来找的合数不能含有质因数 2 和 29.可以依次找到符合要求且最大的合数分别为 58 = 2´ 29 ， 57 319 ， 55 511 ， 49 7 7 ，所以这 4 个合数之和最大为 58 57 55 49 219 ．
1
队获得的冠军数量占总数的 3 ．那么，其他球队一共获得过__________个冠 34
军．【考点】分数应用题，应用题
【难度】☆☆
【答案】29
【分析】其他球队获得的总冠军数量占总数的1-
1 4
-
4 17
-
3 34
=
29 68
，所以其他球
队共获得过
68´
29 68
=29
个冠军.
4. 如图，将一个棱长为 4cm 的正方体从中间切开，再拼成一个长方体，那么，表面积比原来增加了__________ cm2 ．

2014数学试卷(6年级)

3.
右面图 a 是边长为 1 的正三角形，图 b 是边长为 2 的正三角形，图 c 是边长为 3 的正三角形， ……按此规律，边长为 4 的正三角形中有个边长为的正三角形．．．．1 ．甲要完成一批零件，原计划 10 天完成．实际上甲每天比原计划多做 16 个，结果 8 天完成．这批零件共个．如右图，正六边形 ABCDEF 面积是 2014 平方厘米，在 AB、BC、DE、EF 上分别取中点 G、H、I、J，四边形 GHIJ 的面积是平方厘米．在一个国家里的钱币只有 3 元和 5 元，有一些正整数价格无法用这两种钱币直接支付（不设找赎），那么在 10 元以内，不能直接支付的最大整数价格是元．有浓度为 30%的盐水若干，加入 100 克水后浓度变为 20%，原有浓度 30% 的盐水克．
（1）村庄 B 和村庄 C 之间，有一座水库，为了测得水库的宽度，小强想了一个办法.他先另找了一个点 A．测得 B 到 A 的距离为 3km，测得 C 到 A 的距离为 2km，如下图所示，则水库的宽度可能的取值为（）．
A．5km
B．4km
C．6km
D．以上都不可能
（ 2 ）如下图，点 D 为 △ ABC 内部一点．试用三角形三边关系证明： 1 DA DB DC ( AB BC AC ) ． 2
4
22. （本题共 14 分，第 1 小题 4 分，第 2 小题 4 分，第 3 小题 6 分）在 △ ABC 中，三边存在一定的不等关系，具体表示为： “三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 ”．如下图所示，有 AC AB BC AC AB ．
（3）令三角形三边长分别为 a、b、c，其中 c 最大，由三角形三边关系可 L L 以得到： c （L 为三角形周长）．请用这个结论来解决下题： 3 2 现有一根铁丝，总长度为 20 厘米，小张将铁丝剪成三段，且三段长度均为整数厘米，如果这三段恰好能构成一个三角形，那么，一共有多少种剪法？（数字之间调换顺序算同一种剪法）

2014学而思杯数学试卷答案

整理得： ab(ab 8a 8b 32) 0 …………………………………………………2 分 ∵ ab 0, ∴ (ab 8a 8b 32) 0 ∴a
8b 32 8b 64 32 32 8 …………………………………………2 分 b 8 b 8 b 8
a b =1, b c =5, a c =6 或 a b =5, b c =1, a c =6
0 且为正整数 ∵ a＞b＞c＞
∴此时 c 的最小值为 1，b 的最小值为 2，a 的最小值为 7……………………2 分 ∴ a+b+c 的最小值为 10 …………………………………………1 分
23. （本题 8 分）（1）如图，连接 OE，过点 F 作 FG 平行于 OE，与 x 轴交于点 G， G 点即为所求. 连接 EG，即为所求水渠流经路径. …………………………………………4 分
（2）∵点 E 坐标为（2，5），点 O 坐标为（0，0）易得直线 OE 的表达式为 y
5 x …………………………………………1 分 2
x= y
……………………………………………………1 分
又∵点 A 位于函数 y mx 6m( m＜0) 上， ∴满足 x mx 6m(m＜0) ∴x
6m 6m 6 6 6 6 …………………………………………2 分 m 1 m 1 m 1
∵x 为整数 ∴m－1 为 6 的约数，且 m＜0 ∴m－1=－2 或 m－1=－3 或 m－1=－6 ∴m=－1 或 m=－2 或 m=－5 …………………………………………3 分
11. ___ 15. ____
12. _ ____21_____ 13. －9＜a≤－8.5 ② ④

第一届六年级“高思杯”数学试题详解

高思杯六年级试卷评析第一试一、填空题Ⅰ1. 计算：321456123654×−×=__________．「答案」 65934．「简答」本题考验的是学生的计算能力．这道题虽然也有速算的方法，但是速算方法本身并不容易想到．如果对分配律运用不熟练，速算也就不那么“速”了．而直接计算只需要计算两次三位数的乘法，并不难做到．速算方法如下：原式()()()321123333123321333321333123333321123333=×+−×+=×−×=−×()19833320023336660066665934=×=−×=−=．2. 计算：0.10.20.30.10.20.3++=×× __________．「答案」 81．「简答」本题考验的是循环小数与分数的转化．只要知道10.19= ，20.29= ，310.393== ，解决这道题目就不成问题．3. 小明上周去百货商店用30元买了2支钢笔和4支铅笔．这周去百货商店时，他发现钢笔降价10%，铅笔加价20%．于是小明花30元买了3支钢笔和1支铅笔．现在．．买1支钢笔和1支铅笔一共需要__________元．「答案」 12．「简答」本题考验的是解应用题的能力．不管利用和差倍分问题的解法还是利用方程，都能很轻松的解决．这里推荐大家采用方程的解法．和小学不同，中学时绝大多数应用题要求必须用方程来解，直接列算式是不合要求的．4. 把2000分解为若干互不相等的自然数的乘积，这些自然数的总和最小是__________．「答案」 37．「简答」将2000分解质因数4325×，然后对不同的分解状况讨论就可以了．显然这些自然数越多越接近，总和就越小．但具体怎样分解是最好的，很难直接推理出来．不妨把最后几种情况列举出来，分别求和比较一下就可以了．2000251020=×××这种情况是最好的．5. 如图，在一个4厘米×4厘米的方格纸内画了一个格点八边形，那么这个八边形内部所有阴影部分的面积之和是________平方厘米．「答案」 2．「简答」仔细看图，容易发现这个八边形中的阴影部分是8个直角三角形，每个直角三角形的面积都是14平方厘米，故总面积为2平方厘米．6. 今年6月份的挂历如右图所示，明年__________月份的挂历恰好和它是一模一样的．「答案」 11．「简答」本题综合考察了周期问题和数表问题．依次计算2011年每月的1号是星期几，其中2月1日、3月1日和11月1日是星期二，那么排列情况就和图中所示情况相同．还应该注意到该月应该恰有30天，故答案为11月．本大题难度一般，但解题时需要仔细，不少题目很容易因为粗心导致错误．第一题错误的同学必须练习计算基本功，上了初中，基础运算题的正确率就应该做到100%．第四题和第六题都涉及多种情况讨论比较，中学非常重视思维的严谨性和过程的周密性，做题时绝对不能想当然．二、填空题Ⅱ7. 360可以分解为两个自然数m ，n 的乘积，已知m 有a 个约数，n 有b 个约数，且a b >，如果13a b +=，那么a b −=__________．「答案」 5．「简答」将360分解质因数得32360235=××，讨论m ，n 的所有情况即可．这里有一个简单一点的方法：由于13a b +=，故a ，b 中一定有一个奇数，即m ，n 中一定有一个完全平方数，故只需讨论1360×，490×，940×，3610×这四种情况．最后发现36m =，10n =，9a =，4b =，故5a b −=8. 将3个相同的红球和5个相同的绿球分给三个人（允许有人没有分到球），有___________种分法．「答案」 210．「简答」由于允许有人没有分到球，故红球和绿球可以分开考虑，再利用乘法原理即可．将3个相同的红球分给三个人，利用插板法，共有2510C =种方法（也可直接枚举出来）．将5个相同的绿球分给三个人，利用插板法，共有2721C =种方法（也可直接枚举出来）．故一共有210种方法．9. 右图中的每一块都是正方形，已知正方形A 的边长为1，那么正方形B 的边长为__________．「答案」 138125．「简答」依次考虑各块正方形的边长比．因为正方形A 的边长为1，故A 右侧正方形边长为12，再往右的大正方形边长为45．设正方形B 的边长为x ，故B 左侧大正方形边长为34x ，再往左的正方形边长为13x ．于是311414325x x x ++=++，解得138125x =．星期日星期一星期二星期三星期四星期五星期六1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3010. 小赵是铁人三项运动的爱好者，如果他用2小时骑自行车，用3小时长跑，用4小时游泳则行进总路程为74公里；如果他用4小时骑自行车，用2小时长跑，用3小时游泳则行进总路程为91公里．又知道他进行三个项目的速度都是整数公里每小时．则他三个项目速度之和为__________公里/小时．「答案」 28．「简答」本题考察了不定方程的知识．设骑自行车每小时x 公里，长跑每小时y 公里，游泳每小时z 公里，可得2347442391x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩，解不定方程，整数解只有1774x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，故答案为28．11. 下列算式中每个字母都代表3、4、6、8、9这五个数字中的一个，不同的字母代表不同的数字，那么五位数ABCDE =________．157122A B C D E ++=××× 「答案」 43689（或43698，46389，46398，填对任意一个均可）．「简答」注意到3、6均含有一个质因子3，而9含有两个质因子3．要想最后约去3，只可能把3、6放在一起，再和9通分时约去，分别对每种情况验算即可．12. 甲从A 地，乙丙从B 地同时出发，相向而行．甲乙先相遇．甲乙相遇后，乙又行了3.2小时到达A 地，相遇后甲又行了2小时后遇见丙．甲丙相遇后，甲继续前进，3小时后到达B 地；丙12小时后到达A 地．如果乙比丙每小时多行40千米，则AB 两地相距________千米．「答案」 480．「简答」由题意，甲乙相遇后，乙又行了3.2小时到达A 地，甲又行了5小时到达B 地．这个时间比为22::v v v v v v ××=甲乙乙甲乙甲相遇时间相遇时间，故甲乙的速度比为4:5，同样可以求得甲丙的速度比为2:1，故甲乙丙的速度比为4:5:2．再根据“乙比丙每小时多行40千米”算出他们的速度，并求出AB 的距离为480千米．这道大题难度较大，要求对各种技巧能够灵活运用．第8题只要能想到乘法原理，其实不用插板法也可通过枚举得到，但大多数同学没有注意到红球和绿球可以分开考虑．第9题本身涉及到的知识并不难，但形式比较特别，不少同学无法从图中发现数量关系，导致这道题得分偏低．第12题是难度最大的一道，从时间比转化为速度比的平方，很多同学一时无法想到，或是直接把时间比当成了速度比．另外这道题目中三人的速度也均不是整数，这也进一步加深了难度．三、解答题13. L 博士乘坐飞行器要到正东方向1公里处的地方，他将飞行器交由机器人控制，自己去睡觉了．但是机器人出了故障，飞行器每行进3米，机器人就会将飞行器向左转动90°，每行进n 米就会将飞行器向右转动90°，如果里程是3和n 的公倍数，则两次操作抵消，飞行器保持航向．假设飞行器的速度是每秒1米，问：（1）当6n =时，L 博士能到达目的地吗？如果能，多少秒后才能到达目的地；如不能说明理由；（2）当7n =时，L 博士能到达目的地吗？如果能，多少秒后才能到达目的地；如不能说明理由；（3）当8n =时，L 博士能到达目的地吗？如果能，多少秒后才能到达目的地；如不能说明理由．「简答」解：（1）按题目所说过程画出飞行器前进路线（图1），发现每24秒，飞行器绕过一个正方形回到出发点，故L 博士不可能到达目的地．（2）由于[]3,721=，画出飞行器前进路线（图2），发现每21秒，飞行器向正东前进1米．故L 博士可以到达目的地．一共要前进1000米，注意到每个周期的最开始飞行器可以向正东先前进3米，故L 博士一共需要()1000321320940−×+=秒．（3）由于[]3,824=，画出飞行器前进路线（图3），发现每24秒，飞行器向前飞2米，向左飞2米．继续下去，每过96秒飞行器回到出发点，故L 博士不可能到达目的地．本题严格说来只是一个周期问题，只要能理解题意，顺利作出飞行器的路线图，这道题可以说已经解决了一大半．但是在做题时有很多地方都容易粗心犯错误．最明显的错误是对“向左转动”和“向右转动”理解不对，误以为飞行器越开越偏，实际上飞行器只是在绕圈子而已．最可惜的错误是第二问中，有些同学已经画对了图，但是发现飞行器20秒后回到出发点，就误以为飞行器一直在绕圈子了，没有按照21秒的周期进行计算．另外在这一问中，很多同学没有注意到每个周期的头3秒一直向东，只注意到每21秒向东飞行1米，于是结果算成了21000秒．本题总体得分情况并不太理想，可见对于处理这种题干很长且叙述语言较多的问题，大多数同学缺乏经验．出发点图1出发点图2出发点图3。

小学数学竞赛：定义新运算.教师版解题技巧培优易错难

教学目标定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算规则，要求我们要严格按照题目的规定做题．新定义的运算符号，常见的如△ 、◎、※等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的．解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。

知识点拨一定义新运算基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。

基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。

关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。

注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。

②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。

我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝5 2×3＝6都是2 和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×，”“÷运”算不相同.二定义新运算分类1.直接运算型2.反解未知数型3.观察规律型4.其他类型综合例题精讲模块一、直接运算型【例1】若 A* B 表示A 3B A B ，求 5*7 的值。

【考点】定义新运算之直接运算【难度】2 星【题型】计算【解析】A* B是这样结果这样计算出来：先计算A＋3B的结果，再计算A＋B 的结果，最后两个结果求乘积。

由A*B＝（A＋3B）×（A＋B）可知：5*7＝（5＋3×7）×（5＋7）＝（5＋21）×12 ＝26×12 ＝312【答案】 312巩固】定义新运算为 a △b ＝（ a ＋ 1） ÷b ，求的值。

2015年六年级学而思杯数学卷详解 (1)

7. 有 A、B、C 三种溶液，浓度分别为 28%、32%、36%，小明准备用这三种溶液配出浓度 33%的溶液，但配的时候不小心把 28%和 36%的瓶子弄反了，则小明实际配出的的溶液浓度是__________. 【答案】31% 【考点】浓度问题、整体法【解析】根据题意，假设 x 克 A 溶液、 y 克 B 溶液、 z 克 C 溶液混合，得到浓度为 33% 的溶液，但实际却是 z 克 A 溶液、 y 克 B 溶液、 x 克 C 溶液进行混合. 我们从整体考虑，把两次合起来看，即将（ x z ）克 A 溶液、 2 y 克 B 溶液、（ x z ）克 C 溶液进行混合：显然，（ x z ）克 28%的溶液和（ x z ）克 36%的溶液混合，得到的溶液浓度为 32%，而 32%的溶液不管按什么比例混合，浓度还是 32%. 所以题目相当于（ x y z ）克 33%的溶液和（ x y z ）克浓度未知的 D 溶液混合，得到 32%的溶液. 显然 D 溶液的浓度为 31%.
1 2V2 2 V12 2
4V2 2 V12
2V2 V1 V1 : V2 2 : 1
S1 学学 V1
S2 思思 V2
5. 下面竖式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，则三位数学而思 = __________. 【答案】218 【考点】数字谜【解析】显然“而”= 1 先看个位： “学”+“思”= 10，再看百位：1 +“思”+ 1（十位的进位）= 10，所以“思”= 8， “学”= 2. 所以学而思 = 218.
第二届六年级学而思杯
数学卷详解
1. 英文字母中的 A~Z，正好对应着 1~26 这 26 个数，例如 A 对应着 1， B 对应着 2， ……， Z 对应着 26. 请在下面方框中填入合适的英文大写字母使得算式成立. 答： □ 内应该填．．．．．． __________.

2014年10月6日学而思杯五年级真题及详解(数学)

7 7 1 1 1 35 1 （3） SBEHF S△BEF S△HEF ，其中 S△BEF ， S△HE 9 2 198 9
S BEHF
35 1 19 198 9 66
四、阅读材料并回答下列问题（每小题 4 分，共 16 分）
（4）解方程： 4(2 x 3) 5 9 x 2 【考点】计算，整数计算，分数计算，解一元一次整式方程【难度】☆ 【答案】（1）165；（2）5；（3）1；（4） x 5 【分析】（1）原式 1 9 25 49 81 165 ；
38 1 15 （2）原式 190 190 5 ； 2014 2014 38
（3）原式
17 4 3 13 1； 3 13 4 17
（4） 8x 12 5 9 x 2 17. 列方程解应用题（6 分）

7 2 9 x 8x

x5
学而思学校某年级共有学生 400 人，新学期开始后，这个年级男生人数变成原来的 2 倍，而女生人数变成原来的一半，此时，这个年级共有学生 560 人．那么，这个年级现在男、女学生各有多少人？【考点】应用题，列方程解应用题【难度】☆☆ 【答案】男生 480 人，女生 80 人【分析】设原有男生 x 人，则原有女生 400 x 人. 有方程 2 x 有男生 240 2 480 人，现在有女生 560 480 80 人. 18. 下图是一张把 4 6 的方格纸去掉两个角所得的图形．（1）请把其中的一些格子涂上阴影，使得每个 1 2 小长方形（不论横竖）的 2 个方格中都恰有 1 个阴影方格和 1 个空白方格；（4 分）（2）能否用 11 个 1 2 小长方形恰好拼满这张方格纸？如果能，请给出一种方法；如果不能，请说明理由．（6 分）

学而思杯六年级真题及详解数学

2014年六年级学而思综合能力测评（学而思杯）解析一、填空题A（本大题共10小题．每个小题5分，共50分）1.下面四个图形中，阴影面积占总面积一半的图形有个．①②③④【考点】计算，分数定义【难度】☆【答案】2【分析】图形①和④.2.杨老师按零售价买了6本相同的练习本，用了24元．如果按批发价购买，每本将便宜2元，这样可以多买．．本．【考点】应用题，基础应用题【难度】☆【答案】6【分析】零售6本24元，则每本4元，即批发价为422-=元，可以买24212÷=本，多买6本. 3.用2、0、1、4这四个数字可以组成个没有重复数字的四位数．【考点】计数，乘法原理【难度】☆【答案】18【分析】乘法原理，332118⨯⨯⨯=.4.下面的竖式中，被除数是．16□□□□□□□□□【考点】数字谜，除法数字谜【难度】☆【答案】116【分析】由第三行是10得出除数只能是2或5，又由于第五行尾数是6，那么除数只能是2，第五行是16，则商是58，被除数是116.5. 下图中，大长方形的长是40厘米，长是宽的2倍．那么阴影面积是平方厘米．（π取3.14）【考点】几何，圆与扇形，图形的分割与剪拼【难度】☆ 【答案】400【分析】图形中小正方形边长是10厘米，阴影部分正好可以拼成四个小正方形. 41010400⨯⨯=.6. 甲、乙两所小学，甲校的人数是乙校人数的25，甲校的女生人数占全校人数的40%，乙校男生人数占全校人数的60%．如果将甲、乙两校合并，女生人数占总人数的 %．【考点】应用题，分百应用题【难度】☆ 【答案】40%【分析】设甲乙两校人数分别为2份和5份，则女生共240%5(160%) 2.8⨯+⨯-=，占2.8(25)40%÷+=.另外，实际上，从甲乙两校女生都占各自的40%即可得出结论.7. 下图中，长方形ABCD 的长为16厘米，宽为10厘米，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，那么，三角形DEF 的面积是平方厘米．FE DCBA【考点】几何，三角形面积【难度】☆☆ 【答案】60【分析】用总面积减去三个白色三角形的面积，11116101658108560222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=.8. 某项工程，如果甲单独做，12天完成；如果乙单独做，24天完成；如果要求10天完成任务，并且要求甲、乙两人合作的时间尽可能少，那么甲、乙合作天．【考点】应用题，工程问题【难度】☆☆ 【答案】4【分析】设工总24份，则甲每天做2份，乙每天做1份，尽量不合作的话则尽量让做得多的甲做，即全程只有两种状态：甲做、甲乙合作，则甲10天都在做，共做20份，乙需要做4份，即合作4天.9. 将8个相同的球分给甲、乙、丙、丁、戊五个小朋友，每人得到1个球或2个球，那么共有种分法．【考点】计数，排列组合【难度】☆☆ 【答案】10【分析】有2人得到1个球，3人得到2个球，25C 10=.10. 将5个自然数排成一列，从第三个数开始，每个数等于前面两个数的和，那么这5个数中，最多有个质数．【考点】数论，质数与合数，数论中的最值【难度】☆☆☆ 【答案】4【分析】注意到2、3、5、8、13中有4个质数，接下来论证不可能有5个质数.由于第三个数加第四个数等于第五个，这三个数不能都是奇数，必有一偶，这个偶数如果是2的话则它前面的数必然不能都是质数，所以这5个数不可能都是质数.二、填空题B （本大题共5小题．每个小题8分，共40分） 11. 两位数ab 比一位数a 少1个约数，那么ab 最大是．【考点】数论，数论中的最值【难度】☆☆ 【答案】97【分析】极端分析，9a =有三个因数，则ab 有两个因数，只能是个质数，97.12.将10个棱长为1厘米的立方体如下图摆放，那么，这个立体图形的表面积是平方厘米．【考点】几何，立体图形三视图【难度】☆☆【答案】36【分析】画出三视图，三个方向的面积都是1236++⨯=.++=，(666)23613.甲乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行．出发时，甲、乙两车的速度之比是5:4，相遇后，甲的速度增加20%，乙的速度增加50%，他们到达目的地后都立即返回，再次相遇的地点距离第一次相遇地点20千米．那么，A、B两地的距离是千米．【考点】行程，比例法解行程，多次相遇【难度】☆☆☆【答案】180【分析】相遇后两人的速度比变为[5(120%)]:[4(150%)]6:61:1⨯+⨯+==，将全程分为9份，则第一次相遇两人共走9份，其中甲走了5份，第二次相遇两人共走18份，其中甲走了9份，即第二次相遇时甲共走5914⨯=千米.+=份，两次相遇地点相距1份，所以全程距离为29018014.有一个三位数abc，满足如下性质：由a、b、c所组成的没有重复数字的三位数中，最大的三位数与最小的三位数之差恰好等于abc．那么，这个三位数abc是．【考点】数论，位值原理【难度】☆☆☆☆【答案】495【分析】如果a、b、c中没有0，设最大三位数M xyz=，99()=，则最小三位数N zyx-=-，M N x z 即99()=-是99的倍数，注意其中x是a、b、c最大的一个，而z是a、b、c中最小的一个，abc x z枚举99的倍数，有49599(94)=⨯-满足条件；如果a、b、c中有一个0，设最大三位数0=，9990N y xM xy=，则最小三位数0-=-，M N x y 即9990=-，注意其中a、b、c中有一个0，另外两个分别为x和y（x y abc x y>），通过枚举x 来算出c，发现没有符合条件的三位数；如果a、b、c中有一个0，则只能组成一个三位数，显然不满足条件.综上，只有一个三位数495满足条件.15. 将一张正方形纸片，按下图方式进行操作：将正方形的四个顶点向内折叠至正方形中心，然后将新得到的图形的四个顶点再次向内折叠至中心．最后将纸片完全展开，原正方形四条边与所有折痕所组成的新图形中，共有个正方形．．．．第二次向内折：第一次向内折：？展开【考点】计数，几何计数【难度】☆☆☆☆ 【答案】11【分析】展开后的图形如图所示：计数其中正方形的个数，共有11个.第II 卷（解答题共60分）三、解答题（本大题共5题. 解答过程请写在答题纸上、试卷作答无效） 16. 计算及解方程（每题4分、共16分）：（1）3343 4.41624815⨯+⨯+÷（2）22222222246810121416+++++++ （3）11916122030-+-（4）1291212x x+--= 【考点】计算，分数计算，公式类计算，裂项计算，分数方程【难度】☆☆ 【答案】30、816、12、5x = 【分析】（1）3341515323 4.4162(4.42)66246304815445⨯+⨯+÷=⨯++=⨯+=+=（2）2222222221246810121416289178166+++++++=⨯⨯⨯⨯=或222222222468101214164163664100144196256816 +++++++=+++++++=（3）1191111111111111111 6122030233445562443362⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=---++--=++-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭或1191191111111111 6122030122030344556362⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=+-=-++--=+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭或11911052721 6122030606060602 -+-=-+-=（4）12916(1)(29)127355 212x xx x x x+--=⇒+--=⇒=⇒=17.列方程（组）解应用题（6分）小英的玩具个数是小丽的5倍，如果小英把6个玩具送给小丽，那么小丽的玩具个数就是小英的2倍了．请问：小英、小丽原来各有玩具多少个？【考点】应用题，列方程（组）解应用题【难度】☆☆【答案】10、2【分析】标准格式如下解：设小丽原有x个玩具，则小英原有5x个玩具，根据题意，得62(56)x x+=-解得2x=55210x=⨯=答：小英原有10个玩具，小丽原有2个玩具.18.如果一个数能被它前两位数字按序组成的两位数整除，则称这个数为“好数”．例如：120的前两位数字按序组成的两位数是12，120能被12整除，所以120是“好数”．请问：（1）四位数中，最小的“好数”是多少？（4分）（2）若存在连续98个自然数都不是“好数”，那么这98个数中，最小的那个数最小可能是多少？（6分）【考点】数论，数论中的最值【难度】☆☆☆【答案】1000、9901【分析】（1）极端分析，1000能被10整除.（2）注意到0xy、00xy都是好数，所以这连续98个数至少是4位数，由于连续n个自然数中必然有一个数能被n整除，所以这些数的前两位不能是10~98，所以最小的情况只可能是9901~9998.19.请回答下列问题：（1）是否能将1～8排成一个圈，使得相邻两个数字的和都是一位数？如果能，请写出一种，如果不能，请说明理由．（3分）（2）请将1～8从左到右排成一行，使得相邻两个数字的和都是一位数．写出1种即可．（3分）（3）第2问中，将1～8从左到右排成一行，相邻两数字之和都是一位数，那么共有多少种不同的排法？（6分）【考点】组合，计数，构造与论证【难度】☆☆☆【答案】不能、81634527、16【分析】（1）不能，因为8要和两个数相邻，而8只有和1相邻才能得出一位数的和.（2）所有情况如下：81634527 81635427 81453627 8154362772634518 72635418 72453618 7254361881726345 81726354 81724536 8172543663452718 63542718 45362718 54362718（3）81一定在一侧，即81（左右可颠倒，2种情况），剩余的6个格中，7一定在最左或最右，且只能与2相邻，2种情况，剩余的4个格中，6一定在最左或最右，且只能与3相邻，2种情况，最后4和5随意排，2种情况，共222216⨯⨯⨯=种.20.如图，大正方形格板是由64个1平方厘米的小正方形铺成的，A、B、C、D是其中四个格点．AD与BC相交于点E．（1）三角形ACD的面积是多少平方厘米？（4分）（2）在其它格点中标出一点F，使得三角形ABF的面积恰等于2平方厘米，这样的点F共有几个？（4分）（3）:CE EB是多少？（4分）（4）三角形ABE的面积是多少平方厘米？（4分）【考点】几何，格点，比例模型【难度】☆☆☆【答案】6、9、4:3、12 7.【分析】（1）直接套公式计算，14362⨯⨯=平方厘米.（2）如图所示，9个点分布在两条与AB平行的直线上.（3）通过数格点利用毕克公式算出593122 ABDS=+-=，或者通过整体减空白来算1119361215112222 ABDS=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=.利用风筝模型，9::6:4:32ACD ABDCE EB S S===.（4）14242ABCS=⨯⨯=，3124347ABES=⨯=+.。

小学奥数质数与合数(一) 精选练习例题含答案解析(附知识点拨及考点)

1. 掌握质数与合数的定义2. 能够用特殊的偶质数2与质数5解题3. 能够利用质数个位数的特点解题4. 质数、合数综合运用一、质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。

要特别记住：0和1不是质数，也不是合数。

常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9.考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.⑵ 除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.二、判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于p 的质数q (均为整数)，使得q 能够整除p ，那么p 就不是质数，所以我们只要拿所有小于p 的质数去除p 就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p ，我们可以先找一个大于且接近p 的平方数2K ，再列出所有不大于K 的质数，用这些质数去除p ，如没有能够除尽的那么p 就为质数.例如：149很接近1441212=⨯，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.模块一、判断质数合数【例 1】下面是主试委员会为第六届“华杯赛”写的一首诗：美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多；九天九霄志凌云，九七共庆手相握；聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌．请你将诗中56个字第1行左边第一字起逐行逐字编为1—56号，再将号码中的质数由小到大找出来，例题精讲知识点拨知识框架5-3-1.质数与合数（一）将它们对应的字依次排成一行，组成一句话，请写出这句话．【考点】判断质数合数【难度】1星【题型】填空【解析】按要求编号排序，并画出质数号码：美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多；15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28九天九霄志凌云，九七共庆手相握；29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌．43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56将质数对应的汉字依次写出就是：少年朋友亲切联欢；一九九七相聚中山．【答案】少年朋友亲切联欢；一九九七相聚中山【例 2】著名的哥德巴赫猜想是：“任意一个大于4的偶数都可以表示为两个质数的和”。

2014年第四届全国学而思综合能力测评(学而思杯) 数学试卷(六年级)答案

（4）解方程组： ìïïïïïíïïïïïî
1x+ y= 4 2 2x - 1 = 1-
3
36
y
【考点】计算（提取公因数，平方差公，分数裂项），解方程组【难度】☆☆
【答案】（1）2014；（2）45；（3）0；（4） ìïïíïïî
x y
= =
2 3
【分析】（1）原式 = 20.14? 47 20.14? 33 20.14? 20
一个乘数可能为 51 或 53. 但若是 51，则只有 51´ 1的个位是 1，但这个乘积不是三位数，故知 51 错误. 第一个乘数是 53， 53? 7 371；
第三个部分积末位为 4，只有 53? 8 424 的末位为 4，故知第二个乘数为 872，所求的和为 53+ 872 = 925 .
11. 学而思要举行语文、数学、英语公益诊断，语文每隔 1 天进行一次，数学每隔 2 天进行一次，英
【考点】几何；比例型立体几何【难度】☆☆☆ 【答案】270
【分析】水面之上的小圆锥，半径和高都是大圆锥的 1 ，故体积是大圆锥体积的 1创1 1 = 1 ；设小
3
3 3 3 27
圆锥体积为
x
立方厘米，则大圆锥体积为 27x 立方厘米，有方程 260 +
x=
1 3V圆柱
=
V大圆锥
=
27x ；
易见 x = 10 ， 27x = 270 .
地相距
米．
【考点】行程，比例行程
【难度】☆☆☆
【答案】5035
【分析】根据“当甲丙相遇时，乙恰好走到 AB 两地的中点”可知 v甲 + v丙 = 2v乙；
根据“当乙丙相遇时，甲恰好走到 B 地”可知 v乙 + v丙 = v甲，故可解得 v甲 : v乙 : v丙 = 3: 2 :1；

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形的面积）是
平方厘米．（ π 3 ）
B
O
A
【考点】几何，圆与扇形，勾股定理【难度】☆☆☆ 【答案】225 【分析】如图所示，所求面积即为大扇形的面积加上小扇形的面积：
B
O
A
根据勾股定理， AB2 102 102 200 ，故大扇形的面积是 200π 90 360
π 102 90 25π ，故总面积是 50π 25π 75π 225 . 360
图a
图b
图c
4. 甲要完成一批零件，原计划 10 天完成．实际上甲每天比原计划多做 16 个，结果 8 天完成．这批
零件共
个．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
【考点】应用题，工程问题
【难度】☆☆
【答案】640
【分析】量率对应求总量，16 1 1 640 个. 8 10
5. 如右图，正六边形 ABCDEF 面积是 2014 平方厘米，在 AB、BC、DE、EF 上分别取中点 G、H、I、
【难度】☆☆
【答案】10 【分析】依题意，语、数、英的诊断日期分别是 2 的倍数、3 的倍数、4 的倍数，可见进行英语诊断时
也一定在进行语文诊断，故只考虑语文和数学即可，可见每[2,3] 6 天一周期. 方法一（周期法）：从 1 号开始，每一周期 6 天中只有第 1 天和第 5 天没有任何诊断，30 6 5 ，
语每隔 3 天进行一次，3 月 31 日晚上他们同时在进行诊断，以后则按上述规定进行，从不间断．4
月一共有
天是没有进行过任何科目诊断的．
2014 年 4 月日一二三四五六
12345 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 【考点】组合，周期问题，容斥原理
故有 5 个完整周期，答案是 2 5 10 天. 方法二（容斥原理）：30 以内既不是 2 的倍数也不是 3 的倍数的数有
30 30 30 30 30 (15 10 5) 10 个. 2 36
12. 如右图所示，一个 1 圆 AOB，半径是 10 厘米，绕 A 点顺时针旋转 90 度，扫过的面积（即整个图 4
若第 3 名是甲，则甲的预测已有 1 个正确了，故知甲的其它 3 个预测都是错误的，其中第 1 名不是乙；进而丁的 4 个预测中第 1、3 名都预测错了，故第 2、4 名预测对了，所以甲是第 4 名，这与假设矛盾，故假设错误，若有正确答案，第 3 名应该是丁.
若第 3 名是丁，则甲对第 3、4 名的预测就都错了，故知甲对第 1、2 名的预测中有 1 个是正确预测；但同时丁对第 1、2 名的预测与甲完全相同，故知丁在第 1、2、3 名的预测中已经对了 2 个，可见丁对第 4 名的预测是错误的，即甲不是第 4 名；若甲是第 2 名，则四人对第 2 名的预测全错，进而无法满足共预测对了 6 次这个条件，可见甲不是第 2 名，故甲为第 1 名；进而由甲的预测可知丙第 2 名，进而乙第 4 名，完全符合条件.
10. 填入合适的数字，使右面乘法竖式成立．两个乘数的和是
．
2 0 1 4
【考点】数字谜，乘法竖式谜【难度】☆☆☆ 【答案】925 【分析】由于第一个乘数是两位数，范围分析知第一个部分积为 10□，且为偶数，同时可知第一个乘
数为 50 或 51 或 52 或 53 或 54；由于第二个部分积末位为 1 是奇数，这说明第一个乘数只能是奇数，故排除 50、52、54，第
50π ；小扇形的面积是
13. 甲、乙、丙，丁四个人在比赛前就对名次进行了预测，下表是四个人的预测：甲的预测乙的预测丙的预测丁的预测
第1名
乙
甲
丙
乙
第2名
丙
乙
丁
丙
第3名
甲
丁
甲
丁
第4名
丁
丙
乙
甲
比赛结束之后，当对比预测和实际结果时，发现乙和丁预测对了两个人的名次，而甲和丙只预测
对了一个人的名次. 如果甲、乙、丙、丁分别获得第 A、B、C、D 名，那么四位数 ABCD
二．填空题（每题 6 分，共 6×8＝48 分）
个．
9. 老师在黑板上按顺序写了 10 个非 0 自然数，排成一排，其中第 1 个数是 16，并且任意相邻的 3
个数的和是 100，那么，第 8 个数最大可以是
．
【考点】组合、最值问题
【难度】☆☆
【答案】83
【分析】设第 1、2、3、4、……、10 个数分别为 a1 、a2 、a3 、a4 、……、a10 ，则 a1 a2 a3 a2 a3 a4 ，化简得 a1 a4 ，同理可得 a1 a4 a7 a10 16 ，故 a8 100 a10 a9 100 16 a9 84 a9 ，可见 a8 的理论最大值为 83. 举例：16、83、1、16、83、1、16、83、1、16.
一个乘数可能为 51 或 53. 但若是 51，则只有 51 1的个位是 1，但这个乘积不是三位数，故知 51 错误. 第一个乘数是 53， 53 7 371；
第三个部分积末位为 4，只有 53 8 424 的末位为 4，故知第二个乘数为 872，所求的和为 53 872 925 .
11. 学而思要举行语文、数学、英语公益诊断，语文每隔 1 天进行一次，数学每隔 2 天进行一次，英
综上可知本题有唯一答案 1423.
14. 一个自然数恰有 48 个约数，并且其中有 10 个连续的自然数，那么这个数的最小值是
．
【考点】数论，因数个数定理，最小公倍数
【难度】☆☆☆
【答案】2520
【分析】这个数的理论最小值是[1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10] 2520 ，同时 2520 23 32 51 71 ，根据因数
个数定理，它确实有 (3 1) (2 1) (1 1) (1 1) 48 个因数，故答案为 48.
15. 甲、乙在 A 地，丙在 B 地同时出发，相向而行，到达目的地后立即返回．当甲丙相遇时，乙恰好
走到 AB 两地的中点；当乙丙相遇时，甲恰好走到 B 地．当甲乙相遇时，丙走了 2014 米，AB 两
．
2
【考点】应用题，分数应用题
【难度】☆ 【答案】150
【分析】100 1 1 150 . 2
3. 右面图 a 是边长为 1 的正三角形，图 b 是边长为 2 的正三角形，图 c 是边长为 3 的正三角形，„„
按此规律，边长为 4 的正三角形中有
个边．长．为．1．的正三角形．
……
【考点】组合，几何计数，找规律【难度】☆ 【答案】16 【分析】1 3 5 7 16 个.
J，四边形 GHIJ 的面积是
平方厘米．
【考点】几何特殊图形【难度】☆☆ 【答案】1007 【分析】如图，对正六边形进行合理的等积分割：
A G B H
C
F J E I
D
可见整体是 24 份，阴影占 12 份，故所求面积为 2014 12 1007 平方厘米. 24
6. 在一个国家里的钱币只有 3 元和 5 元，有一些正整数价格无法用这两种钱币直接支付（不设找赎），
21，即分母增加 14.
2. 2012 年上半年出台规定用空气质量指数（Air Quality Index，简称 AQI）描述空气质量状况，空气状况优良标准为 AQI 100 ，AQI 越低，空气质量越优．2014 年 3 月北京空气质量状况是轻度污
染，AQI 的平均值超出优良标准的 1 ，那么北京 2014 年 3 月的 AQI 的平均值是
故桔子有 5 8 11 51 个，苹果有 2 8 1 17 个.
19. 如图，在一个正方形环形跑道上，甲乙丙三人同时从 A 点出发，逆时针环行．已知，甲、乙、丙
跑一圈的时间分别为 6、10、16 分钟．
A
D
B
C
【分析】水面之上的小圆锥，半径和高都是大圆锥的 1 ，故体积是大圆锥体积的 1 1 1 1 ；设小
3
3 3 3 27
圆锥体积为 x 立方厘米，则大圆锥体积为 27x 立方厘米，有方程 260
x
1 3V圆柱
V大圆锥
27x ；
易见 x 10 ， 27x 270 .
三．解答题（本大题共 6 题）
17. 计算：（1） 20.14 47 201.4 3.3 10.07 40
11 34
11 45
11 56
11 1 67 7
11111 11 1 111 1 22334 45 5 667 7 0
（4）化为整式方程： x 2y 8
，再化为最简整式方程： x 2 y 8 ；
4x 2 6 (3 y)
4x y 5
上式与下式的 2 倍相加，消去 y，得到 9x
18 ，解得 x
2 ，带回原式得到 x
．
【考点】逻辑推理
【难度】☆☆☆☆ 【答案】1423 【分析】由于对第 4 名的预测各不相同，可知必有 1 个人预测对过. 对第 3 名的预测，要么对 2 个，要
么没人对，但若没人对，全部预测正确的次数最大为 2 2 0 1 5 次，与共预测对了 6 次的事实相矛盾，可见第 3 名要么是甲，要么是丁.
（2）12 22 32 42 52 62 72 82 92
（3） 1 5 1 1 11 13 1 2 6 12 20 30 42 7
1x y 4
（4）解方程组： 2
2x 1 1 3 y
3
6
【考点】计算（提取公因数，平方差公式，分数裂项），解方程组
【难度】☆☆
【答案】（1）2014；（2）45；（3）0；（4） x 2 y3
x 100
克． 200 .
8. 有一组式子：a2 ， a3 ，a4 ， a5 ，„„从左往右数的第 10 个式子是下面算式的第 23 4

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