人教版中职数学5.2.1任意角的三角函数的 定义

cos Hale Waihona Puke Baidu sin
x r y r y x
比值
y r
比值
y x
叫做角 的正切.记作
tan
依照上述定义，对于每一个确定的角 ，都分别 有唯一确定的三角函数值与之对应，所以这三个对应 关系都是以角 为自变量的函数，分别称作角 的 余弦函数、正弦函数和正切函数．
三角函数求值
所以 AT ( AT ' ) 称作角 的正切线 ．
练习 2（2） 在单位圆中作出下列各角的正切线 ． （1）
π 3
y
； T
（2）
2π 3
． T
y
π 3
O
M
A x
M O
2π 3
A x
本节课所学知识点：
1．任意角三角函数的定义（代数表示）． 2．任意角三角函数值的求法（两种方法）． 3．任意角三角函数值的符号（记住口诀）． 4．任意角三角函数的几何表示（三角函数线）．
4π 3
(3) 因为
是第三象限角， 所以 tan
4π 3
＞0.
例3 使用函数型计算器，计算下列三角函数值： (1) sin67.5， cos372， tan (－86)；
(2) sin1.2， cos
3π 4
， tan
5π 6
．
单位圆与三角函数线
1. 以原点为圆心，半径为 1 的圆称为单位圆. 2. 如图，角 的终边与单位圆交于点P，
O
x'
x
x
所以当角 不变时，不论点 P 在角 的
终边上的位置如何，这三个比值都是定值，只 依赖于 的大小，与点 P 在 角 终边上的位
置无关.
于是我们有如下定义： 设角 的终边上的任意一点P（x，y），点 P 到原点 的距离为 r. 比值
x r
叫做角 的余弦.记作 叫做角 的正弦.记作
计算三角函数值的步骤：
S1 画角
S2 找点
在直角坐标系中，作转角 ；
在角的终边上任找一点P，使 OP ＝1， 并量出该点的纵坐标和横坐标； 根据三角函数定义，求出角 的三角函数值．
S3 求值
例 1 已知角 终边经过点 P（2，-3）如图， 求角 的三个三角函数值． 解 已知点 P（2， -3），则
+
o
+
x
-
+
o
x
+
o
-
+
+
-
x
sin
cos
ta n
记忆口诀：Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦
练习1
确定下列各三角函数值的符号：
π 4 )；
(1)
sin(
(2) cos130 ； (3)
tan
4π 3
．
解 (1) 因为
π 4
是第四象限角， 所以 sin(
π 4
) ＜0.
(2) 因为 130 是第二象限角， 所以 cos 130 ＜0.
已知 是任意角，P(x，y)，P' (x'，y')是角 的 终边与两个半径不同的同心圆的交点， 则由相似三角形对应边成比例得
x r x r , r y y r , x y y x
y
r
P
P' r' y'
y
由于点 P，P 在同一象限内， 所以它们的坐标符号相同，因此得
y y y y ， ， ． r r r r x x x x
三 三角 角 5.2.1 任意角的三角函数的定义
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三角 三角
初中锐角三角函数定义(正弦，余弦，正切) B
斜 边 对 边
sin A
对边 斜边
cos A
tan A
邻边 斜边
对边 邻边
A
思考
邻 边
C
角的范围已经推广，那么我们如何定义 任意角 的三角函数呢？
任意角三角函数的定义
教材P138，练习 A 组，练习B 组．
r OP
sin y r cos tan x r y x
y
2 3
2 2
O
13 ．
x
P（2，-3）
3 13 2 13 3 2

3 13 13
；

2 13 13
；
．
例 2 试确定三角函数在各象限的符号． 解 由三角函数的定义可知，
sin ＝
y r
，角 终边上点的纵坐标 y 的正、负
与角 的正弦值同号；
cos ＝ x ，角 终边上点的横坐标 x 的正、负
与角 的余弦值同号； tan ＝
y x r
，则当 x 与 y 同号时，正切值为正，
当 x 与 y 异号时，正切值为负．
三角函数在各象限的符号如下图所示：
y y y
则根据三角函数定义可知，点 P 的坐标 x， y 分别为 cos 和 sin ，即 P( cos , sin ). y 1

O M
由于 cos ＝ x ＝ OM；
P (cos , sin )
A(1,0)
x
sin ＝ y ＝ MP， 于是我们把规定了方向的线段 OM 称作角的余弦线， MP 称作角的正弦线 .
练习 2（1） 在单位圆中作出下列各角的正弦线、余弦线 ．
（1）
π 3
；
（2）
2π 3
．
y
P
π 3
y
M
O
M
x
P
O

2π 3
x
附注 如何画正切线？ y T A
通过单位圆研究 三角函数的几何演 示过程可在主界面 单击“单位圆研究
O
x
三角函数.gsp”文 件观看.
T'
因为 tan y x AT ( A T )，