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§8.4 多元复合函数的求导法则与隐函数的求导公式
M
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定理2 若函数 F (x, y, z) 满足:
① 在点
的某邻域内具有连续偏导数 ,
② F (x0 , y0, z0) 0 ③ Fz (x0 , y0, z0) 0
则方程
在点
某一邻域内可唯一确
定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足
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导数的另一求法 — 利用隐函数求导
sin y ex xy 1 0, y y(x) 两边对 x 求导
两边再对 x 求导
y x0
ex y cos y x (0,0)
sin y ( y)2 cos y y
令 x = 0 , 注意此时 y 0 , y 1
8
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例3 设 z uv sin t , u et , v cos t , 求全导数 dz .
dt
解 dz z du
z
dt u dt
t
z
vet
cos t
e t (cost sin t) cos t
uvt tt
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 下列两个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号.
x y
解 z
z v
x
v x
eu sin v eu cos v 1
z
z
z v
y
v y
eu sin v eu cos v 1
uv x yx y
7
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例2 u f (x, y, z) ex2 y2 z2 , z x2sin y, 求 u , u x y
讲义-9.3-多元复合函数与隐函数求导
9.3 .
多元复合函数与隐函数的偏导数 1. 一个方程所确定的隐函数可能是
13
F (x, y, z ) = 0 2. 方程组所确定的隐函数可能是
F (x, y, z ) = 0
G(x, y, z ) = 0
以下分别针对不同的隐函数方程形式讨论其中的求导问题： 隐函数存在定理 I：若函数 F (x, y ) 满足： (1) F (x0 , y0 ) = 0
′ 2. 设 f (x, y ) 一阶偏导连续，f (1, 1) = 1, f ′ x (1, 1) = 2，f y (1, 1) = 3，又 ϕ(x) = 3 dϕ (x) f (x, f (x, x))，求 。 dx x=1
NUDT-2017-S3
F (x, y, z ) = 0 G(x, y, z ) = 0 , ,
′ 例：设由 ln(xz ) + arctan(yz ) = 0 可确定隐函数 z = z (x, y )，求 zx 。
f (x, f (x, f (x, x)))，求 ϕ(1) 与 ϕ′ (1)。 例：设 u = u(x) 由 u = f (x, y ), g (x, y, z ) = 0, h(x, z ) = 0
.
注：以上的求法法则可以形象地解释为： “嵌套”→ 乘积， “并列”→ 相加 ∂z ∂z 例：对下列函数分别求 和 ∂x ∂y (1) z = eu cos v, u = 2x − y, v = xy (2) z = f (3x + 2y, x2 + y 2 )
∂z ∂z 和 ∂x ∂y ∂z ∂z 例：设 z = f (x/y )，其中 f 可微，证明：x +y =0 ∂x ∂y 例：设 z = xy + xf (x/y )，其中 f 可微，证明： 例：设 z = f (x, x + y, x/y )，其中 f 可微，求 x ∂z ∂z +y = xy + z ∂x ∂y dz dt
《高等数学》课件5第五节 隐函数的求导公式 ppt
① 在点
的某邻域内具有连续偏导数,
② F( x0 , y0 , z0 ) 0,
③ Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0
则方程 F( x, y, z) 0在点
某一邻域内可唯一确定
一个连续且具有连续偏导数的函数 z = f (x , y) ,
满足
并有
z Fx , x Fz
定理证明从略.
它满足条件 y(0) 1, 且
dy Fx x .
dx Fy y y = y (x)
d2 y dx 2
d dx
(
x) y
y
x
y2
y
y
x( y2
x) y
1 y3
,
dy 0,
dx x0
y1
d2 y dx2 x0 1.
y1
II. F( x, y, z) 0
定理2. 若函数 F ( x, y, z) 满足:
zz
zz
fu du fv dv 0
x fu d( z )
fv
d( y ) z
0
f1
(
z
d
x z2
x
dz
)
f2
(
zd
y
z2
y
dz
)
0
x f1 y f2 z2
dz
f1d x f2 d y z
dz z f1 d x z f2 d y
x f1 y f2
x f1 y f
z z F1 , x x F1 y F2
F ( x, G( x,
y, u, v) y, u, v)
0 0
有隐函数组
则
GF
对 x 求导
Fx
多元复合函数和隐函数的求导法则
别 类
两者的区别
把 z f (u, x, y)
把 复 合函 数 z f [ ( x, y), x, y] 中的u 及 y 看作不
中的 y 看作不变而对x 的偏导数 变而对x 的偏导数
例1. 设 z eu sin v , u xy , v x y , 求 z , z .
e t (cost sin t) cos t
uvt tt
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 下列两个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号.
例4. 设
求 w, 2w . x xz
f 具有二阶连续偏导数,
步骤：
1.必须设中间变量；
2z x2
x
( 2
x
) z
也可利用全微分求解
(2
z) (2
2 z)3
x2
总结方法： 1.求隐函数的导数或偏导数，有哪些方法： 答:通常有三种方法 (1)利用隐函数求导公式；
(2)对所给方程两端求导,再解出所求的导数或偏导数； (3)利用全微分.
x y
解: z
z v
x
v x
eu sin v eu cos v 1
z
z
z v
y
v y
uv
x yx y
eu sin v eu cos v 1
例2.
u
f
(x, y, z) ex2 y2 z2 ,
z
x2sin
y, 求
u , x
偏导数都存在，且有链式法则
z x z z u z dv y u y v dy
多元复合函数与隐函数求导
2
t cos t
dz , 求全导数 dt
u 2v
解：令 u = sint , v = cost , 则z = e
du dv z z u 2v 2 u 2v = + = 2uve cost + u e ( - sint ) dt dt dt u v
= 2e
=e
sin 2 tcost
sintcos t - e
v = ψ ( x + x , y ) — ψ ( x , y )
在相应点(u,v)处相应于 的全增量 处相应于x的全增量 函数 z = f ( u,v ) 在相应点 处相应于
z = f ( u + u , v + v ) — f ( u , v )
有连续的偏导数， 由于 z = f ( u,v ) 有连续的偏导数，所以
第四节 多元复合函数 与隐函数求导
一、多元复合函数的求导法则 二、隐函数的微分法
一、多元复合函数的求导法则
以二元函数为例，讨论复合函数的求导方法。 以二元函数为例，讨论复合函数的求导方法。 又都是x，y的函数 又都是 的函数 设函数 z = f ( u,v ) ，而u，v又都是 u = ( x , y ), v = ψ ( x , y ), 于是
-
2 )
对于具有三个中间变量的函数 z = f ( u , v , w ), 其中 u，v，w分别是 ，y的函数，有 分别是x， 的函数 的函数， ， ， 分别是
z z u z v z w = + + x u x v x w x z z u z v z w = + + y u y v y w y
z y
当然我们同理也可求 得
高等数学第五节多元复合函数与隐函数微分法ppt课件
x y
这就是说，不论x,y是自变量还是中间变量，其微 分形式不变，称为(二元函数)一阶微分的形式不变性.
20
例10 求下列函数的偏导数和全微分.
(1) z ( x y)exy
解 dz d[( x y)exy ] ( x y)de xy exyd( x y)
( x y)exy ( y dx x dy) exy(dx dy)
dz z du z dv dx u dx v dx
vuv1 1 uvlnv 1 x x x1 x xlnx
10
情形3 z f (x,v),v v(x, y) 则有
z f f v ; x x v x
z f v y v y
或者 z f (x, y,v),v v(x, y) 则有
z Fx ， z Fy . x Fz y Fz
dz z dx z dy x y
dz
Fx' Fz'
dx
Fy' Fz'
dy
所以
Fx'dx Fy'dy Fz'dz 0
dF( x, y, z) Fx'dx Fy'dy Fz'dz 0
33
例13 设隐函数 z z( x, y) 由 sin z x2 yz 0 确定，
12
课堂 设 z f (u, v, t) uv sint ，其中 u et ， 练习 v cost ，
求全导数 dz . dt
dz f du f dv f 解
dt u dt v dt t
vet usint cos t
et cos t et sint cos t
et (cos t sint ) cos t .
z f f v ; x x v x
这就是说，不论x,y是自变量还是中间变量，其微 分形式不变，称为(二元函数)一阶微分的形式不变性.
20
例10 求下列函数的偏导数和全微分.
(1) z ( x y)exy
解 dz d[( x y)exy ] ( x y)de xy exyd( x y)
( x y)exy ( y dx x dy) exy(dx dy)
dz z du z dv dx u dx v dx
vuv1 1 uvlnv 1 x x x1 x xlnx
10
情形3 z f (x,v),v v(x, y) 则有
z f f v ; x x v x
z f v y v y
或者 z f (x, y,v),v v(x, y) 则有
z Fx ， z Fy . x Fz y Fz
dz z dx z dy x y
dz
Fx' Fz'
dx
Fy' Fz'
dy
所以
Fx'dx Fy'dy Fz'dz 0
dF( x, y, z) Fx'dx Fy'dy Fz'dz 0
33
例13 设隐函数 z z( x, y) 由 sin z x2 yz 0 确定，
12
课堂 设 z f (u, v, t) uv sint ，其中 u et ， 练习 v cost ，
求全导数 dz . dt
dz f du f dv f 解
dt u dt v dt t
vet usint cos t
et cos t et sint cos t
et (cos t sint ) cos t .
z f f v ; x x v x
高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导
2) F(x0 , y0, z0 ) 0
3) Fz (x0 , y0, z0 ) 0
则 (1) 方程
在
的某邻域内可
唯一确定一个单值连续且有连续偏导数的函数 z = f (x , y) ,
满足
(2) z Fx , z Fy
x Fz y Fz
定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:
u
xyz
xx
解得
z 1 ex(x z)
sin(x z)
因此
du dx
f1
y x
f
2
1
ex(x sin(x
z) z)
f3
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两边对 x 求偏导
2z x2
x
( 2
x
) z
(2
z) (2
2 z)3
x2
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例3. 设F( x , y)有连续偏导数, 已知方程
解一 利用隐函数求导公式.
所确定的隐函数, 则
z xF1来自1 zF1
(
x z2
)
F2 (
y z2
)
z x x 2 z
再对 x 求导
2
4
2z x2
0
1 (z)2 x
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解二 利用隐函数求导公式
设 F(x, y, z) x2 y2 z2 4z
则
Fx 2x , Fz 2z 4
z Fx x x x Fz z 2 2 z
(
Fx Fy
)
多元函数及隐函数求导
z df u y du y
实用精品课件PPT
12
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(3)若z=f (u,x,y), u=(x,y)
x uy
z f ( ( x, y), x, y)
z=f
x
z(x, y)
y
z f u f x u x x
z f u f y u y y
对于本形式，要注意以下几点：
实用精品课件PPT
13
13
dt
解 dz f dx f dy f
dt x dt y dt t
yx y1 cost x y ln x ( sin t) et
(sin t)cost1 cos2 t (sin t )cost1 ln sin t et .
实用精品课件PPT
15
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练习
例 设u= f(x,y,z),z=sin(x2+y2),求 u , u
本章重点: 偏导数与全微分的概念，多元复合函 数求导法则，多元函数极值求法.
本章难点: 二元复合函数微分法，多元函数的极 值与求法.
实用精品课件PPT
2
2
7.4 多元复合函数及隐函数求导法则
❖ 目的要求 掌握复合函数求偏导法 则，隐函数求偏导法则。
❖ 重点 复合函数求偏导法则 ❖ 难点 复合函数求偏导法则
x y
解 u f f z
x x z x
x
u=f y zx
f 2 x cos(x 2 y 2 ) f
y
x
z
u f f z y y z y
f 2 y cos(x 2 y2 ) f .
y
z
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16
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例 设z= f(x2-y2,exy),f 有连续偏导数
多元函数及隐函数求导
多元函数的极值定义与性质
极值性质
极值点不一定是函数取得 最大值或最小值的点；
极值点是函数值改变方向 的点；
极值点可能是连续函数的 不连续点。
多元函数的最值定义与性质
• 最值定义：设函数$f(x,y)$在闭区域$\Omega$上有定义，如 果存在点$(x_0,y_0) \in \Omega$，使得对于所有$(x,y) \in \Omega$都有$f(x,y) \leq f(x_0,y_0)$（或$f(x,y) \geq f(x_0,y_0)$），则称$f(x,y)$在区域$\Omega$上取得最大值 （或最小值）。
生物问题
在工程学中，隐函数可以用来描 述机械运动、流体动力学等物理 现象。
在生物学中，隐函数可以用来描 述种群增长、生态平衡等生物现 象。
03
高阶导数与全微分
高阶导数的概念与性质
概念
高阶导数是指一个函数在某一点的导数，对其再次求导，得到的二阶导数、三阶导数等 统称为高阶导数。
性质
高阶导数的计算涉及到多个求导法则，如链式法则、乘积法则、商的求导法则等。高阶 导数的计算可以揭示函数的局部性质，如拐点、极值点等。
全微分的概念与性质
概念
全微分是指一个多元函数在某一点的微 分，它表示函数在该点附近的小变化。 全微分等于各个偏导数与相应变量的乘 积之和。
VS
性质
全微分具有线性性质，即两个函数的和或 差的微分等于它们微分的和或差。全微分 还具有连续性，即如果函数在某点可微， 则其全微分在该点连续。
全微分在实际问题中的应用
多元函数及隐函数求导
• 多元函数导数与偏导数 • 隐函数求导法则 • 高阶导数与全微分 • 多元函数极值与最值 • 多元函数及隐函数求导的应用实例
第三节 多元复合函数与隐
(2e sin t 3sin t )e (e 12e sin t )cos t
t 4 t 2t t 3
例 2 设 z uv sin t ，而 u e t ，v cos t ，
dz 求全导数 . dt
解
dz z du z dv z dt u dt v dt t
u, v为中间变量时，
z z dz du dv u v
三.隐函数求导法
dy 1.F ( x, y ) 0, 求 dx
例 1 ：y xe y x 0, 求y对x的导数
y e 1 y y 解： (1)两边对x求导 : y'e xe y'＋1 0, y' 1 xey
y dy e 1 y y ( 2)全微分 dy e dx xe dy dx 0, dx 1 xey
Fx e y 1 (3)用偏导数求 : Fx Fy y ' 0, y ' Fy 1 xe y
定理 设二元函数F ( x, y )在p0 ( x0 , y0 )的某一邻域内具有 连续的偏导数，且F ( x0 , y0 ) 0, Fy ( x0 , y0 ) 0，则由方程 F ( x, y ) 0在点( x0 , y0 )的某一邻域内能唯一确定一个有 连续导数的函数y f ( x)满足y0 f ( x0 ), 有 Fx dy dx Fy
证 : 两边对t求导有 :
xf1(tx, ty) yf2(tx, ty) kt k 1 f ( x, y)
令t=1
xf x ( x, y) yf y ( x, y) kf ( x, y)
二.一阶全微分形式不变性
u, v为自变量时，
《隐函数的求导方法》课件
隐函数与显函数的关系
显函数：由自变量和因变量通过等号 连接的函数，如y=f(x)。
隐函数不一定能通过等号转化为显函 数，但两者都表示了因变量与自变量 之间的关系。
隐函数的几何意义
隐函数在坐标平面上的表现是一条曲线。
通过对方程F(x,y)=0进行求导，可以确定曲线上各点的切线斜率，从而了解曲线的形状和变化趋势。
总结词
通过消去参数，将参数方程转化为普通方程 ，再利用普通方程求导法则进行求导。
详细描述
对于由参数方程 $x = varphi(t), y = psi(t)$ 确定的隐函数，可以通过消去参数 $t$，将 其转化为 $y = f(x)$ 的形式，然后利用复合
函数求导法则和链式法则进行求导。
由极坐标方程确定的隐函数求导
乘积法则
总结词
乘积法则用于求解两个函数的乘积的导数，通过乘积法则可以将两个函数的导 数相加。
详细描述
乘积法则是链式法则的一种特殊形式，如果两个函数y=f(x)和u=g(x)的导数存 在，那么它们的乘积的导数为y的导数乘以u加上u的导数乘以y，即 dy*du=(dy/dx)*u+(u/dx)*y。
商式法则
顺序确定
在求导过程中，运算的顺序需要 确定，根据求导法则和运算优先 级进行判断。
顺序处理
在求导过程中，需要注意运算的 顺序处理，确保运算的正确性和 一致性。
顺序变换
在求导过程中，运算的顺序可能 会发生变化，需要根据求导法则 和运算优先级进行判断。
求导过程中的公式选择问题
公式选择
在求导过程中，公式的选择是关键，需要根据函数的 类型和求导法则进行选择。
02 隐函数的求导法则
链式法则
总结词
BB74多元复合函数与隐函数求导法则38页PPT
1 x2
g
y x3
g
14
二、多元复合函数的全微分
设函数
都可微,
则复合函数 zf((x ,y ),(x ,y ))的全微分为
dzzdxzdy x y
(zuzv)dy uy v y
(udxudy) x y
(vdxvdy) x y
du dv
可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, 其全微分表达 形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性.
z
uv
此式 Z对 是 t的导 d数 z称为全 . 导t数t
dt
说明: 若定理中
偏导数连续减弱为
偏导数存在, 则定理结论不一定成立.
3
推广: 设下面所涉及的函数都可微 .
1) 中间变量多于两个的情形. 例如, zf(u ,v,w ),
u ( t ) ,v ( t ) ,w ( t )
z
d z z du z dv z dw d t u d t v dt w dt
z 表示固定 y 对 x 求导, f 表示固定 v 对 x 求导
x
x
口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导
6
常用导数符号 设 z f ( u , v ) u ( x , y ) v ( x , y )
uzfu(u,v)fuf1 vzfv(u,v)fvf2
u2z2 fuu(u,v)fuuf11 v2z2 fvv(u,v)fvvf22 vu22zzuv ffuvvu ((uu,,vv))fufvv uf1f2 21 称为混合偏导数
当 f12和f21均连续f1时 2f21 有
在计算时注意合并同类项! 下列两个例题有助于
掌握这方面问题的求导技巧。
(完整版)3多元复合函数与隐函数的求导法则
z f [φ(t),ψ(t)]
z f (u,v)
u φ(t)
v ψ(t)
dz z du z dv dt u dt v dt
全导数
例 1 设 z eu sin v ，而u xy，v x y 求 z 和z . x y
解 z z u z v eu sin v y eu cos v 1
x y
证
z 0 F ( x2 y2 ) ,
z
1
F ( x2
y2) ,
x
x
y
y
下求 F ( x2 y2 )对x, y的偏导.记u x2 y2,
x u x v x eu ( y sin v cos v)
z y
z u
u y
z v
v y
eu sin v x eu cos v 1
eu( x sin v cos v)
例 2 设 z u2 v2 ，而u x y，v x y ，
求 z 和z . x y
解 z z u z v 2u 1 2v 1 4x x u x v x
§3复合函数与隐函数的偏导数
一、多元复合函数的导数(链式法则)
定理：z f [( x, y),( x, y)]
z f (u,v) u ( x, y)
v (x, y)
z z u z v z z u z v x u x v x y u y v y
链式法则如图示 z f [( x, y),( x, y)]
解 dz z du z dv z dt u dt v dt t
v et u sin t cost
et cos t et sin t cos t
et (cos t sin t ) cos t
例5
多元函数微分学(共184张PPT)
z
sin
x2
1 y2
1
• 在 点圆 都周 是x2间 断y2 点1，是上一没条有曲定线义，. 所以该圆周上各
• 性质1(最大值和最小值定理) 在有界闭区域 D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小
值.
• 在D上至少有一点 及一点 ，使得 为最大 值而 为最小值，P 即1 对于一切P 2 P∈D，有f ( P1 )
•
P
于E的点，也有不属于E的点，
•
E
则称P为E的边界点（图8-2）.
•
设D是开集.如果对于D内的
• 图 8-1 任何两点，都可用折线连结起
上一页 下一页 返 回
•
来,而且该折线上的点都属于D,
•
P 则称开集D是连通的.
•
连通的开集称为区域或开区域.
•
E
开区域连同它的边界一起,称
•
为闭区域.
• 图 8-2
f( x x ,y ) f( x ,y ) A x ( x )
• 上式两边各除以 x ，再令 x 0而极限，就得
limf(xx,y)f(x,y)A • 从而 ，x 偏0导数 z 存 在x，而且等于A.同样可证
• =B.所以三式 x 成立.证毕.
z y
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• 定理2(充分条件) 如果z=f(x,y)的偏导数
• 3.n维空间
• 设n为取定的一个自然数,我们称有序n元数组
•
的全体为n维空间,而每个有序n元数
(x1组,x2, ,xn) 称为n维空间中的一个点,数 称
(x1,x2, ,xn)
xi
上一页 下一页 返 回
• 为该点的第i个坐标,n维空间记为 .n
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第七章 多元微分学
空间曲面与曲线
多元函数的基本概念 偏微商与全微分
多元复合函数及隐函数求导法则 多元函数的极值和最优化问题
1 1
教学目的:
理解二元函数的定义，会求二元函数的定义域 了解二元函数的极限与连续概念 理解二元函数偏导数定义，掌握多元复合函数求导法则 理解全微分概念，会求二元函数全微分 掌握多元函数的极值概念，会求多元函数的极值 会使用拉格朗日乘数法求条件极值，会应用最小二乘法 会解一些经济问题中的最优化问题
z f u f v y u y v y
e
arctanv
2
y
uea
arctanv
(
1
1 v
2
)
1 x
arctan y
e
x
[2 y
(x2
y2)
x
]
x2 y2
arctan y
e
x (2y x)
9 9
例
已知
z
( x2
y
2
)e
arctan
y
x，求dz.
z x
f u
u x
f v
v x
arctan y
e
x (2x
y)
z y
f u u y
f v
v y
arctan y
e
x
(2y x)
dz z dx z dy
x
y
考研 题目
arctan y
e
x [(2x y)dx (2 y x)dy]
10 10
几种常见的形式
（1）若z= f(u,v), u=u (x), v= v (x)
只有一个自变量
z f u f v x u x v x
e arctan v
arctan y
e
x
arctan y
2x uearctanv (
[2x (x2 y2 ) x2
1
1 v2
y
y2
]
)
(
y x2
)
e
x (2x y)
8
8
例
已知
z
( x2
y
2
)e
arctan
y
x，求dz.
令u x 2 y2 , v y 则 z uearctan v f (u, v) x
一、复合函数求导法则
定理 (1) u=(x,y),v=ψ (x,y)的偏导数在点 (x，y)
处连续; (2) 函数z= f(u,v)的偏导数在(x,y)的对应点 (u,v)
处连续. 则复合函数 z= f[(x,y), ψ(x,y)] 在(x,y)处存在连续的偏导数，且
4 4
复合函数求导法则
z= f (u,v) u=u(x,y),v=v(x,y)
u
z= f
x
v
则 z f [u(x),v(x)] z(x)
这时 dz f du f dv dx u dx v dx
11 11
(2)若z= f(u), u=u(x,y), u是一个中间变量
z f [u(x, y)] zx, y
x
z=f
u
y
z df u x du x
z df u y du y
u=f y zx
f 2 x cos(x 2 y 2 ) f
y
x
z
u f f z y y z y
f 2 y cos(x 2 y2 ) f .
y
z
16 16
例 设z= f(x2-y2,exy),f 有连续偏导数
求
解 设u
x2
y2,v
e
xy ,则
z , z x y
x uy
z=f
vx
z f u f v
yx y1 cost x y ln x ( sin t) et
(sin t)cost1 cos2 t (sin t )cost1 ln sin t et .
15 15
练习
例 设u= f(x,y,z),z=sin(x2+y2),求 u , u
x y
解 u f f z
x x z x
x
z f u f v x u x v x 链式法则 z f u f v y u y v y
x
u
y
z=f
vx
y
5 5
例 求z e xy sin( x y)的偏导微数商。
解 令u xy, v x y, 则z eu sin v, 注
:
z f u f v
此 题
x u x v x
可
eu sin v y eu cosv 1
不 用
ye xy sin( x y) e xy cos(x y)
链 式
z f u f v y u y v y
法 则 来 解
eu sin v x eu cosv 1
xe xy sin( x y) e xy cos(x y)
6 6
z f u f v y u y v y
则 来 解
vuv1 2 y uv ln u x
(x2
y2 )xy
2 xy 2 x2 y2
x
ln( x2
y
2
)
7
7
例
已知
z
( x2
y
2
)e
arctan
y
练习
x，求dz.
解：令u
x2
y2,v
y x
则 z uearctan v f (u, v)
y
x u x v x
f 2 x f ye xy
u
v
2 x f ye xy f
u
v
z 2 y f xe xy f .
y
u
v
17 17
2z
例 设z= f (x2-y2,exy), f 有连续偏导数求 yx
例求z ( x2 y2 )xy的偏微导商数。 幂指函数
解 令u x2 y2 , v xy, z uv ,
注
x u x v x
必
vuv1 2x uv ln u y
须 用
(x2
y2 )xy
2x2 x2
y y2
y ln( x2
y2
)
链 式 法
12 12
(3)若z=f (u,x,y), u=(x,y)
x uy
z f ( ( x, y), x, y)
z=f
x
z(x, y)
y
z f u f x u x x
z f u f y u y y
对于本形式，要注意以下几点： 13 13
z=f
注意
u
x y
z f u f x u x x
x y
z f u f
y u y y
1. 这里x, y具有双重身份：既作为自变 量，也作为中间变量。
2. z 与 f 的差别在于:
x x
前一个把x看作自变量，
后一个把x看作中间变量。
14 14
例 设z=xy+et, x=sint, y=cost. 求dz
dt
解 dz f dx f dy f
dt x dt y dt t
本章重点: 偏导数与全微分的概念，多元复合函 数求导法则，多元函数极值求法.
本章难点: 二元复合函数微分法，多元函数的极 值与求法.
2 2
7.4 多元复合函数及隐函数求导法则
❖ 目的要求 掌握复合函数求偏导法 则，隐函数求偏导法则。
❖ 重点 复合函数求偏导法则 ❖ 难点 复合函数求偏导法则
3 3
7.4 多元复合函数及隐函数求导法则
空间曲面与曲线
多元函数的基本概念 偏微商与全微分
多元复合函数及隐函数求导法则 多元函数的极值和最优化问题
1 1
教学目的:
理解二元函数的定义，会求二元函数的定义域 了解二元函数的极限与连续概念 理解二元函数偏导数定义，掌握多元复合函数求导法则 理解全微分概念，会求二元函数全微分 掌握多元函数的极值概念，会求多元函数的极值 会使用拉格朗日乘数法求条件极值，会应用最小二乘法 会解一些经济问题中的最优化问题
z f u f v y u y v y
e
arctanv
2
y
uea
arctanv
(
1
1 v
2
)
1 x
arctan y
e
x
[2 y
(x2
y2)
x
]
x2 y2
arctan y
e
x (2y x)
9 9
例
已知
z
( x2
y
2
)e
arctan
y
x，求dz.
z x
f u
u x
f v
v x
arctan y
e
x (2x
y)
z y
f u u y
f v
v y
arctan y
e
x
(2y x)
dz z dx z dy
x
y
考研 题目
arctan y
e
x [(2x y)dx (2 y x)dy]
10 10
几种常见的形式
（1）若z= f(u,v), u=u (x), v= v (x)
只有一个自变量
z f u f v x u x v x
e arctan v
arctan y
e
x
arctan y
2x uearctanv (
[2x (x2 y2 ) x2
1
1 v2
y
y2
]
)
(
y x2
)
e
x (2x y)
8
8
例
已知
z
( x2
y
2
)e
arctan
y
x，求dz.
令u x 2 y2 , v y 则 z uearctan v f (u, v) x
一、复合函数求导法则
定理 (1) u=(x,y),v=ψ (x,y)的偏导数在点 (x，y)
处连续; (2) 函数z= f(u,v)的偏导数在(x,y)的对应点 (u,v)
处连续. 则复合函数 z= f[(x,y), ψ(x,y)] 在(x,y)处存在连续的偏导数，且
4 4
复合函数求导法则
z= f (u,v) u=u(x,y),v=v(x,y)
u
z= f
x
v
则 z f [u(x),v(x)] z(x)
这时 dz f du f dv dx u dx v dx
11 11
(2)若z= f(u), u=u(x,y), u是一个中间变量
z f [u(x, y)] zx, y
x
z=f
u
y
z df u x du x
z df u y du y
u=f y zx
f 2 x cos(x 2 y 2 ) f
y
x
z
u f f z y y z y
f 2 y cos(x 2 y2 ) f .
y
z
16 16
例 设z= f(x2-y2,exy),f 有连续偏导数
求
解 设u
x2
y2,v
e
xy ,则
z , z x y
x uy
z=f
vx
z f u f v
yx y1 cost x y ln x ( sin t) et
(sin t)cost1 cos2 t (sin t )cost1 ln sin t et .
15 15
练习
例 设u= f(x,y,z),z=sin(x2+y2),求 u , u
x y
解 u f f z
x x z x
x
z f u f v x u x v x 链式法则 z f u f v y u y v y
x
u
y
z=f
vx
y
5 5
例 求z e xy sin( x y)的偏导微数商。
解 令u xy, v x y, 则z eu sin v, 注
:
z f u f v
此 题
x u x v x
可
eu sin v y eu cosv 1
不 用
ye xy sin( x y) e xy cos(x y)
链 式
z f u f v y u y v y
法 则 来 解
eu sin v x eu cosv 1
xe xy sin( x y) e xy cos(x y)
6 6
z f u f v y u y v y
则 来 解
vuv1 2 y uv ln u x
(x2
y2 )xy
2 xy 2 x2 y2
x
ln( x2
y
2
)
7
7
例
已知
z
( x2
y
2
)e
arctan
y
练习
x，求dz.
解：令u
x2
y2,v
y x
则 z uearctan v f (u, v)
y
x u x v x
f 2 x f ye xy
u
v
2 x f ye xy f
u
v
z 2 y f xe xy f .
y
u
v
17 17
2z
例 设z= f (x2-y2,exy), f 有连续偏导数求 yx
例求z ( x2 y2 )xy的偏微导商数。 幂指函数
解 令u x2 y2 , v xy, z uv ,
注
x u x v x
必
vuv1 2x uv ln u y
须 用
(x2
y2 )xy
2x2 x2
y y2
y ln( x2
y2
)
链 式 法
12 12
(3)若z=f (u,x,y), u=(x,y)
x uy
z f ( ( x, y), x, y)
z=f
x
z(x, y)
y
z f u f x u x x
z f u f y u y y
对于本形式，要注意以下几点： 13 13
z=f
注意
u
x y
z f u f x u x x
x y
z f u f
y u y y
1. 这里x, y具有双重身份：既作为自变 量，也作为中间变量。
2. z 与 f 的差别在于:
x x
前一个把x看作自变量，
后一个把x看作中间变量。
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例 设z=xy+et, x=sint, y=cost. 求dz
dt
解 dz f dx f dy f
dt x dt y dt t
本章重点: 偏导数与全微分的概念，多元复合函 数求导法则，多元函数极值求法.
本章难点: 二元复合函数微分法，多元函数的极 值与求法.
2 2
7.4 多元复合函数及隐函数求导法则
❖ 目的要求 掌握复合函数求偏导法 则，隐函数求偏导法则。
❖ 重点 复合函数求偏导法则 ❖ 难点 复合函数求偏导法则
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7.4 多元复合函数及隐函数求导法则