(完整版)多元函数及隐函数求导.ppt

本章重点: 偏导数与全微分的概念，多元复合函 数求导法则，多元函数极值求法.
本章难点: 二元复合函数微分法，多元函数的极 值与求法.
2 2
7.4 多元复合函数及隐函数求导法则
❖ 目的要求 掌握复合函数求偏导法 则，隐函数求偏导法则。
❖ 重点 复合函数求偏导法则 ❖ 难点 复合函数求偏导法则
3 3
7.4 多元复合函数及隐函数求导法则
y
x u x v x
f 2 x f ye xy
u
v
2 x f ye xy f
u
v
z 2 y f xe xy f .
y
u
v
17 17
2z
例 设z= f (x2-y2,exy), f 有连续偏导数求 yx
例求z ( x2 y2 )xy的偏微导商数。 幂指函数
解 令u x2 y2 , v xy, z uv ,
注
:
z f u f v
此 题
x u x v x
必
vuv1 2x uv ln u y
须 用
(x2
y2 )xy
2x2 x2
y y2
y ln( x2
y2
)
链 式 法
z f u f v y u y v y
则 来 解
vuv1 2 y uv ln u x
(x2
y2 )xy
2 xy 2 x2 y2
x
ln( x2
y
2
)
7
7
例
已知
z
( x2
y
2
)e
arctan
y
练习
x，求dz.
解：令u
x2
y2,v
y x
则 z uearctan v f (u, v)
u
z= f
x
v
则 z f [u(x),v(x)] z(x)
这时 dz f du f dv dx u dx v dx
11 11
(2)若z= f(u), u=u(x,y), u是一个中间变量
z f [u(x, y)] zx, y
x
z=f
u
y
z df u x du x
z df u y du y
一、复合函数求导法则
定理 (1) u=(x,y),v=ψ (x,y)的偏导数在点 (x，y)
处连续; (2) 函数z= f(u,v)的偏导数在(x,y)的对应点 (u,v)
处连续. 则复合函数 z= f[(x,y), ψ(x,y)] 在(x,y)处存在连续的偏导数，且
4 4
复合函数求导法则
z= f (u,v) u=u(x,y),v=v(x,y)
z f u f v x u x v x
e arctan v
arctan y
e
x
arctan y
2x uearctanv (
[2x (x2 y2 ) x2
1
1 v2
y
y2
]
)
(
y x2
)
e
x (2x y)
8
8
例
已知
z
( x2
y
2
)e
arctan
y
x，求dz.
令u x 2 y2 , v y 则 z uearctan v f (u, v) x
u=f y zx
f 2 x cos(x 2 y 2 ) f
y
x
z
u f f z y y z y
f 2 y cos(x 2 y2 ) f .
y
z
16 16
例 设z= f(x2-y2,exy),f 有连续偏导数
求
解 设u
x2
y2,v
e
xy ,则
z , z x y
x uy
z=f
vx
z f u f v
12 12
(3)若z=f (u,x,y), u=(x,y)
x uy
z f ( ( x, y), x, y)
z=f
x
z(x, y)
y
z f u f x u x x
z f u f y u y y
对于本形式，要注意以下几点： 13 13
z=f
注意
u
x y
z f u f x u x x
x y
第七章 多元微分学
空间曲面与曲线
多元函数的基本概念 偏微商与全微分
多元复合函数及隐函数求导法则 多元函数的极值和最优化问题
1 1
教学目的:
理解二元函数的定义，会求二元函数的定义域 了解二元函数的极限与连续概念 理解二元函数偏导数定义，掌握多元复合函数求导法则 理解全微分概念，会求二元函数全微分 掌握多元函数的极值概念，会求多元函数的极值 会使用拉格朗日乘数法求条件极值，会应用最小二乘法 会解一些经济问题中的最优化问题
eu sin v y eu cosv 1
பைடு நூலகம்
不 用
ye xy sin( x y) e xy cos(x y)
链 式
z f u f v y u y v y
法 则 来 解
eu sin v x eu cosv 1
xe xy sin( x y) e xy cos(x y)
6 6
z f u f v x u x v x 链式法则 z f u f v y u y v y
x
u
y
z=f
vx
y
5 5
例 求z e xy sin( x y)的偏导微数商。
解 令u xy, v x y, 则z eu sin v, 注
:
z f u f v
此 题
x u x v x
可
yx y1 cost x y ln x ( sin t) et
(sin t)cost1 cos2 t (sin t )cost1 ln sin t et .
15 15
练习
例 设u= f(x,y,z),z=sin(x2+y2),求 u , u
x y
解 u f f z
x x z x
x
e
x (2x
y)
z y
f u u y
f v
v y
arctan y
e
x
(2y x)
dz z dx z dy
x
y
考研 题目
arctan y
e
x [(2x y)dx (2 y x)dy]
10 10
几种常见的形式
（1）若z= f(u,v), u=u (x), v= v (x)
只有一个自变量
z f u f
y u y y
1. 这里x, y具有双重身份：既作为自变 量，也作为中间变量。
2. z 与 f 的差别在于:
x x
前一个把x看作自变量，
后一个把x看作中间变量。
14 14
例 设z=xy+et, x=sint, y=cost. 求dz
dt
解 dz f dx f dy f
dt x dt y dt t
z f u f v y u y v y
e
arctanv
2
y
uea
arctanv
(
1
1 v
2
)
1 x
arctan y
e
x
[2 y
(x2
y2)
x
]
x2 y2
arctan y
e
x (2y x)
9 9
例
已知
z
( x2
y
2
)e
arctan
y
x，求dz.
z x
f u
u x
f v
v x
arctan y