薄壁箱梁扭转理论

u(z)u0(z)(z)
u0 (z) ——初始纵向位移，为一积分常数； (z) ——表示截面凹凸程度（翘曲程度）的某个函数
(z)(z)（扭率）为乌曼斯基第一理论（有些时候，误差较大）
(z)是一个待定函数，为乌曼斯基第二理论（按此计算）
二、约束扭转正应力
利用弹性力学中平面应力问题中应力与应变之间的关系式：
二、箱形截面的构造要点
（一）外形：由顶板、底板、腹板及梗胁组成
1、顶板：
除承受结构正负弯矩外，还承受车辆荷载的直接作用。在以负弯矩
为主的悬壁梁及T形刚构桥中，顶板中布置了数量众多的预应力钢束， 要求顶板面积心须满足布置钢束的需要，厚度一般取24—28cm。 2、底板
主要承受正负弯矩。当采用悬臂施工法时，梁下缘承受很大的压应 力，特别是靠近桥墩的截面，要求提供的承压面积更大；同时在施工时 还承受挂篮底模板的吊点反力。在T形刚构桥和连续梁桥中，底板厚度 随梁的负弯矩塔大而逐渐加厚。
因而，综合箱梁在偏心荷载作用下，四种基本变形与位移状态引起的 应力状态为：
在横截面上： 在纵截面上：
纵向正应力 剪应力 横向弯曲应力
(Z) M w dw
M k w dw
(S) c dt
承受偏心荷载的薄壁箱梁，将产生扭矩，此扭矩可分解为刚性扭 转和畸变力
薄壁箱梁的自由扭转简介
横向弯曲应力 c
（按超静定框架计算求得）
四、偏心荷载作用下的截面应力
2.纵向弯曲 纵向弯曲产生竖向变位 ，因而在横截面上引起纵向
正应力及剪应力，见图。图中虚线所示应力分布乃按初 等梁理论计算所得，这对于肋距不大的箱梁无疑是正确 的；但对于肋距较大的箱形梁，由于翼板中剪力滞后的 影响，其应力分布将是不均匀的，即近肋处翼板中产生 应力高峰，而远肋板处则产生应力低谷，如图中实线所 示应力图。这种现象称为“剪力滞效应”。对于肋距较 大的宽箱梁，这种应力高峰可达到相当大比例，必须引 起重视。
(3 18)
s ds
式中：
s
0 ds
0 t
ds
（称为广义扇性坐标）
t
Mk
Mk
与开口扇性坐标相比多
了因为截面闭合产生的
z
第二项，广义扇性坐标 都是用于闭口截面。
x
dz
ds A
(z)
M0
M1
u0 u( )
剪应力
Mk t
扭率
Mk GI d
Mk
Mk
周边切线方向位移
z
v(z)z
纵向位移 u(z)u0(z)(z)
1.箱梁扭转时，周边假设不变 形（否则为畸变），切线 方向的位移
v (z)
v ( z )
z
2.箱壁上的剪应力与正应 力沿壁厚方向均匀分布
dz
ds A
Mk
oz
M
v
0
M1
(z)
u（0 z） u(z)
y
s
3.约束扭转时，沿梁轴方向的纵向位移（既截面的凹凸）假设同自 由扭转时纵向位移的关系式存在相似变化规律，既
薄壁箱梁的约束扭转
（1） 基本假定
众所周知，乌曼斯基闭口薄壁直杆约束扭转理论应用以下三个基 本假定：
①横截面的周边不变形； ②横截面上法向应力和剪应力沿壁厚是均匀分布的； ③横截面上纵向位移沿本截面的分布规律与自由扭转时是相同的
令纵向位移为 u(z, s) ， s z表示沿跨径， 表示沿横截面周边。
M ksqdsqsds
（阴影部分 ，ds为三角形底边，
为高， 1 ds 为三角形面
积）
2
M kq
（ 为周边所围面积的2倍）
qM k
M k
t
q
ds
Mk
2. 扭矩M k 、扭率 和纵向位移 u 的关
系
Mk
我们假设 z为梁
轴方向， u为纵
向位移，v为箱
边 s切线方向的
dz
位移：
ds
x
Mk
z
(z)
z
按虎克定律
GG[u(z)]
s
经移项：
u
(z)
s
u
du
u
s
（周边切线方向）
ds
s G
Mk
Mk
z
dz
(z)
x
ds A
M0
M1
u0 u( )
上式中任选的始点 M 0（其s 0）
起沿周边积分到某点 M 1 得到纵
向位移：
s s
s
u (z)u 0(z)0G d s(z)0 ds
M0 M1
上式中：
上式可写成：
曲率
Mk
GId
(形式类似弯１曲 ＝M：)
EI
将
Mｋ t
，
代入 u ( z ) 表达式，则纵向位移：
u(z) u0 (z)
(z)
s ds ( z)
s
ds
ds
0t
0
t
s ds
s u0 (z) (z)[ 0 ds
0 t] ds
t
u0 (z) (z)
s
u扇0 是形面s 积0的处两的倍纵以向位移表，示为，积则分常 数0s ，ds即初，始如位以移此值为，坐而标0参d数s ，是
则为扇性坐标，如同以弧长表示的线坐标，及极坐标、球坐标等广
义坐标概念是一样的。
另外将 M k 代入则
Mk
Mk
t
u(z)u0(z)G M k 0 sd t s(z)
纵向位移
箱梁自由扭转的纵向位移为
u ( z ,s ) u 0 ( z ,s ) u 0 ( z ,0 )( s )(z )
s 0处的纵向位移
称广义扇性坐 标，其意义见
后
(s)0sds 0sd s/d s
且 u0(z,0), (z) u(z, s)
均沿梁纵向是常数，梁纵向纤维无伸缩应变，不产生正应力
u0
M0
u( )
M1
Mk
Mk
z
dz
(z)
x
ds A
M0
M1
u0 u( )
其中： 为扭率，扭转角沿轴线（纵向）方向变化率，由 M k
知 为常数，如为等直圆杆 u0
z (纵G向I )d
微单元 A的剪切变形为
uv
dz
v
s z
由于 v(z) 则： u(z)
s
ds A dv v dz
单箱单室箱梁Leabharlann 众所周知，在剪应力沿箱壁均匀分布的假定下，单室箱梁自由扭
转时下列两式成立
q Mk
扭 率
Mk
GI d
称为Bredt第一公式，即箱 梁薄壁中线所包围的面积
的两倍 ds
扭率与剪切变形的关系为
扭转刚度，称为Bredt第二
公式，自由扭转惯矩 Id
2
/
ds
(s)ds
1. 剪力流和扭矩的关系剪力流在整个断面上的合力形成扭矩，即内 外扭矩平衡方程，得：
扭转变形（畸变）产生畸变剪应力 dw 、畸变翘曲正应力 dw 、横向弯曲应力 dt
箱梁应力汇总及分析
箱梁在偏心荷载作用下的变形与位移，可分成四种基本状态：纵向弯 曲、横向弯曲、扭转及扭转变形（即畸变)。它们引起的应力状态为：
✓ 纵向弯曲---纵向弯曲正应力 M，弯曲剪应力 M ✓ 横向弯曲---横向正应力 c ✓ 扭转---自由扭转剪应力 K ，翘曲正应力 W ，约束扭转剪应力 W ✓ 扭转变形---翘曲正应力 dW，畸变剪应力 dW，横向弯曲应力 dt
纵 向 弯 曲 产 生 纵 向 弯 曲 正 应 力M、 弯 曲 剪 应 力 M
3.箱形梁的扭转
箱形梁的扭转（这里指刚性扭转，即受扭时箱形的周边不变形）
变形主要特征是扭转角。箱形梁受扭时分自由扭转与约束扭转。
自由扭转，即箱形梁受扭时，截面各纤维的纵向变形是自由的， 杆件端面虽出现凹凸，但纵向纤维无伸长缩短，自由翘曲，因而不 产生纵向正应力，只产生自由扭转剪应力。
w1E2 (Z S)
Mk
因为假设周边不变形，切线
方向的应变为零，既 S 0
E E
12
Z uz u0(z)(z) wE[u0(z)(z)]
dz
ds
A
(324)
w
M
v
0
M1
oz
(z)
u（0 z） u(z)
y s
当闭口截面只发生自由扭转时，有
u (z,s)u 0(z,0 ) (s)(z)
根据基本假定③，闭口截面约束扭转轴向位移为
u (z,s)u 0(z,0 ) (s)(z)
表示截面翘曲程度的某个函数，它
与扭转角 ( z ) 有一定的关系
箱形梁的约束扭转 一、约束扭转计算理论 箱梁的约束扭转计算理论是以下面假设建立的：
从另一方面
(z) M k GI d
既 是常数，分析u(z)u0(z)(z) 截面
上某一点位置以表示 ，也就是说截面上任意一点的纵向位移只是
广义扇性坐标的函数，与z无关，是截面参数，截面上某一点的位
置定了不管在哪个截面纵向位移也就定了；这也说明，任何两相邻
截面的翘曲程度是一样的，否则由约束扭转引起附加正应力，
3.箱形梁的扭转
自由扭转只产生自由扭转剪应力 k 约束扭转产生约束扭转剪应力 w 、约束扭转翘曲正应力 w
4.畸变
畸变（即受扭时截面周边变形）的主要变形特征是畸变角 。
薄壁宽箱的矩形截面受扭变形后，无法保持截面的投影仍为矩形。 畸变产生翘曲正应力和畸变剪应力，同时由于畸变而引起箱形截面 各板横向弯曲，在板内产生横向弯曲应力。
约束扭转，当箱梁受扭时纵向纤维变形不自由，受到拉伸或压 缩，截面不能自由翘曲。约束扭转在截面上产生翘曲正应力和约束 扭转剪应力。
产生约束扭转的原因有：支承条件的约束，如固端支承约束纵 向纤维变形；受扭时截面形状及其沿梁纵向的变化，使截面各点纤 维变形不协调也将产生约束扭转，如等厚壁的矩形箱梁、变截面梁 等，即使不受支承约束，也将产生约束扭转。
因为箱梁为闭口截面，引 入封闭条件，对上式积分 x
dz
ds A
z
(z)
M0
M1
u0 u( )
一周，如果积分的始点和 终点为同一点 u 0 ，得
u0(z)u0(z)G M k sd t s(z)
所以：
Mk ds(z)
G s t
如令
Id
2 ds
(称为抗扭惯性（ 矩 35）
s t （同《桥工》计算截面抗扭惯性矩）
（1）截面抗扭刚度大，结构在施工与使用过程中都具有良好的稳定性； （2）顶板和底板都具有较大的混凝土面积，能有效地抵抗正负弯矩，并 满足配筋的要求，适应具有正负弯矩的结构，如连续梁、拱桥、刚架桥、斜 拉桥等，也更适应于主要承受负弯矩的悬臂梁T形刚构等桥型； （3）适应现代化施工方法的要求，如悬臂施工法、顶推法等，这些施工 方法要求截面必须具备较厚的底板； （4）承重结构与传力结构相结合，使各部件共同受力，达到经济效果， 同时截面效率高，并适合预应力混凝土结构空间布束，更加收到经济效果 （5）对于宽桥，由于抗扭刚度大，跨中无需设置横隔板就能获得满意的 荷载横向分布； （6）适合于修建曲线桥，具有较大适应性； （7）能很好适应布置管线等公共设施。
（二）箱形截面的配筋
箱形截面的预应力混凝土结构一般配有预应力钢筋和非预应力向
普通钢筋。
1、纵向预应力钢筋：
2、横向预应力钢筋：
3、竖向预应力钢筋： 4、普通钢筋：
两层钢筋网 横向预应力 筋
纵向预应力 筋
竖向预应力 筋
两层钢筋网
箱形截面配筋示意图
三、偏心荷载作用下的变形和位移
作用在箱形梁上的重要荷载是恒载与活载。恒载 通常是对称作用的，活载可以是对称作用，也可以是 非对称偏心作用，必须分别加以考虑。偏心荷载作用， 使箱形梁既产生对称弯曲又产生扭转，因此，作用于 箱形梁的外力可综合表达为偏心荷载来进行结构分析。 在偏心荷载作用下箱梁的四种基本状态：
3、腹板 承受截面剪应力及主位应力，并承受局部荷载产生的横向弯矩，
其厚度还须满足布置预应力筋及浇筑混凝土的要求，以及锚固锚头的 需要，一般厚度为30-50cm，大跨径桥梁可采用变厚度。 4、梗胁
顶板、底板与腹板交接处设使梗胁，其作用是： （1）提高截面抗扭刚度，减少畸变应力； （2）使桥面板支点加厚，减少桥面板跨中弯矩； （3）使力线过渡平缓，避免应力集中； （4）提供布置纵向预应力钢束的面积。
x
dz
ds A
(z)
M0
M1
u0 u( )
在任何截面 z，截面上的某一点的 u(的函数,） v 可确定，其空
间位置也就确定了。根据箱梁自由扭转的定义，截面沿梁纵向可自
由凹凸，不发生应变
既： z u zu 0z(z)(z)0
因u0
是常数
u0 (z) z
0
，则
(z) 0
这说明 (z) 为常数，在自由扭转情况下， (z) 不随 z 而变化，
薄壁箱梁的扭转理论
薄壁箱梁的自由扭转简介 薄壁箱梁的约束扭转 扭转中心位置 等截面连续梁扭转的三翘曲双力矩方程 有限差分方程建立及分析 小 结 本章参考文献
一、箱形截面的特点
箱形截面具有良好的结构性能，因而在现代各种桥梁中得到广泛应用。 在中等、大跨预应力混凝土桥梁中，采用的箱梁是指薄壁箱形截面的梁。其 主要优点是：
1． 纵向弯曲 2． 横向弯曲 3． 扭转（自由扭转和约束扭转） 4． 扭转变形（畸变）
四、偏心荷载作用下的截面应力
1.横向弯曲 箱形梁承受偏心荷载作用，除了按弯扭杆件进行整体分
析外，还应考虑局部荷载的影响。车辆荷载作用于顶板，除 直接受荷载部分产生横向弯曲外，由于整个截面形成超静定 结构，因而引起其它各部分产生横向弯曲，