巧解几何题-妙用未知数1

活用未知数 巧解几何题

在初中阶段，除了几个特定的问题常用设未知数列方程的方法以外，其实还有很多题目类型可以通过引入未知数，利用方程思想来解决。特别是几何问题，学生由于受到定式思维的影响，很难意识到几何与方程之间的关系，从而更加难以从方程的角度切入解决几何问题。因此，本文试举例探讨几类几何题利用未知数，根据几何性质建立等量关系列方程的解题思路和方法。

1 在等腰三角形中引入未知数

例1（2009年邵阳市中考题） 如图1-1，在梯形ABCD 中，CD AD AB ==,AB AC ⊥,将CB 延长至点F ，使CD BF =. (1) 求ABC ∠的度数；

(2) 求证：CAF ∆为等腰三角形.

图1-1 分析：从已知条件可以得到两个等腰三角形和一个等腰梯形，根据等边对等角的性质，我们不难得到多个角度之间的数量关系，很容易想到从某一个角出发，依次得到各个角的度数，来得到题目所求角的度数。但是，这个题目最大的困扰就是没有给出任何一个角的度数，也就是说我们没有一个出发点，那么这么多的数量关系也无法利用。因此，我们可以引入未知数，设 x ABC =∠，以这个角为切入点根据数量关系依次得出所需角的表达式，再根据他们之间的等量关系列方程求解，即巧妙地突破了这个题目的难点。

解： (1)设 x ABC =∠

∵ AB AC ⊥ ∴ 90=∠CAB ∴ )90(x ABC CAB ACB -=∠-∠=∠

又∵ BC AD // ∴ )90(x ACB DAC -=∠=∠

∵ CD AD = ∴ )90(x DAC DCA -=∠=∠

∴ )2180()90()90(x x x ACB DCA DCB -=-+-=∠+∠=∠

∵ AB CD = ∴ ABC DCB ∠=∠

即

x x =-)2180( 解得 60=x

∴ 60=∠ABC

(2) 略

总结：本题利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理，将线段间的相等关系转化为角度之间的相等关系，然后选取题目所求角设未知数x ，其他各角均可用含x 的代数式表示出来，利用等腰梯形的性质寻求等量关系列方程，求得题目所求。通过引入未知数，经过代换，列方程解决问题的方法是突破三角形问题最常见的技巧。 F D C B

A

2 在勾股定理中引入未知数

例2（人教版八年级数学教材第71页，综合运用第10题） 如图2-1，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果将这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到水池边的水面上，水的深度和这根芦苇的长度分别是多少？

图2-1 图2-2

分析：如图2-1显然可知，当芦苇被拉至水池一边时，则刚好与池壁、池底围成一个直角三角形，为了方便解题，我们把这个直角三角形截出来，如图2-2。此时，AC 的长即为水的深度，AB 的长即为芦苇的长度。不难想到，我们需求的边长即为直角三角形的边长，可用勾股定理解决。但是有一个困惑，勾股定理可以计算一个未知量的大小，但是在直角三角形中两条边都未知的情况下如何来解决呢？这是我们可以考虑引入未知数，利用一个未知数来表示两个未知量，再利用勾股定理列方程即可突破本题的难点。

解：不妨设x BC =尺，即水的深度为x 尺；

由题意知，芦苇的高度比水的深度多出一尺，即)1(+=x AB 尺

有勾股定理得：2

22AB BC AC =+

即 222)1(5+=+x x 解得12=x

∴ 12=BC 尺，13=AB 尺

答：水的深度为12尺，芦苇的长度为13尺。

总结：通常勾股定理的三个量中已知两个量可求第三个量，若仅知一个量而两个量未知则不可直接求出，因此我们可以考虑引入一个未知数，通过两边关系用x 的代数式将未知的两条边表示出来，利用勾股定理列方程从而求所得。这个策略方法可以应用出勾股定理的多个问题中，总之条件不够，未知数来凑。 3 在三角函数中引入未知数

例3(2012年珠海市中考题) 如图3-1，水渠边有一棵大木瓜

树，树干DO(不计粗细)上有两个木瓜A 、B(不计大小)，树干垂直

于地面，量得AB=2米，在水渠的对面与O 处于同一水平面的C

处测得木瓜A 的仰角为45°、木瓜B 的仰角为30°。求C 处到

树干DO 的距离CO.(结果精确到1米，参考数据：73.13≈，41.12≈)

分析：此类题型是非常典型的解直角三角形的应用题，此题

中唯一的已知边是AB=2，而由于知识能力的原因，我的的初中生

解决三角函数问题只能在直角三角形中解决，而已知边AB 却不

C B A C O

D A B 图3-1

是直角三角形的边，换言之，我们真正需要用到的直角三角形中没有已知边，那么很明显，此题我们去烧条件，很难直接切入。因此，我们必须自己创设一个切入点，不妨引入未知数，设所求x CO =米，利用三角函数分别表示出AO 和BO 的长，在利用等量关系DO AO AB -=列方程求解，此题便水到渠成。

解：不妨设x CO =米

在AOC RT ∆中，∵ 45=∠ACO

∴x CO AO ==米

在BOC RT ∆中，∵ 30=∠BCO

∴CO BO BCO =

∠tan , 即x BO =33， 解得x BO 33=米 而 DO AO AB -=

∴ x x 3

32-= 解得33+=x ， 即7.40≈C 米 总结：在解直角三角形时，我们通常会遇到由于知识水平不够而造成条件不可直接用，以致缺乏切入点，此时我们往往可以通过引入未知数来求寻求切入点，通过题意将各个所需量表达出来列方程求解即可。这种方法也是解直角三角形最为常见的技巧之一。

4 内切圆问题中引入未知数

例4(人教版九年级数学上册第97页例2) 如图4-1，ABC ∆的内切圆⊙O 与BC ，CA ，AB 分别相切于点D ，E ，F ，且AB=9cm ，BC=14cm ，CA=13cm ，求AF ，BD ，CE 的长.

分析：此题不难想到利用切线长定理解决问题，但是由切线长定理不可直接求得某条线段的长度，而只能得到三组相等的线段，结合已知条件又可得到三组等量关系，于是我们此时引入未知数，利用得到的等量关系列出方程组，即可轻松解决这个问题。

解：设cm x AF =，cm y BD =，cm z CE =

由切线长定理可知：

cm x AF AE ==

cm y BD BF == cm z CE CD ==

∴ 可列方程组： 图4-1

⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+13149z x z y y x 解得⎪⎩

⎪⎨⎧===954z y x

∴cm AF 4=，cm BD 5=，cm CE 9=

总结：内切圆问题中，往往会出现多组切线，因此可利用切线长定理可得多组相等的线段，如果我们解决这类题型能够适时引入未知数，利用方程思想来解决问题也是一个不错的选择。 5 动点问题中引入未知数

例5(2010年重庆市潼南中考试题) 已知：如图5-1，一次函数121+=

x y 的图像与x 轴交于点O F E

D C B A