基于可持续收获的最佳捕鱼策略 最终版
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（14）
4龄鱼的捕捞条数
（15）
因此年捕捞量（重量）为
（16）
那么由此建立一个非线性规划模型为
（17）
这里
接下来用Lingo11.0软件求解，得到当 取17.36时，年捕获量最大，为3.88×1012克。
为了更好的描述捕捞强度系数 与年捕获量之间的对应变化关系，我们又在Matlab中编写程序，得到在可持续捕捞的前提下，年捕获量随捕捞强度系数 变化的图象
由此，该问题变为一个多变量约束非线性优化问题，由于模型较为复杂，采用智能算法进行优化较为快速。
三、模型假设
1)渔场是非开放式渔场，不与其他水域发生关系，从而构成独立的生态群落；
2)鱼群产卵在九月初短时间内完成，产卵鱼的自然死亡发生在此之后；
3)1—3年龄组的鱼群都在翌年年初进入下一个年龄组，而原先的4龄鱼鱼群由于捕捞或者自然死亡等原因全部消失；
模型三：
然后我们采用5年的捕捞努力量不变的捕捞方式。
只需令模型二中的 （=1,2,3,4,5,），编制程序计算得结果为
表3 模型三的结果
5.60
1.49×1012
最后结果为 =1.49 1012克
并绘制4龄鱼数量变化图：
模型二 ：捕捞强度K不同，五年后各鱼群数目不少于初始数目的70％，图为4龄鱼数量的变化趋势，第9年恢复平衡
基于可持续收获的最佳捕鱼策略
【摘要】
在当今可持续发展已经成为时代主题之一的背景下，渔业作为一种再生资源产业，保证其持续稳产是大前提。本文利用微分方程和非线性规划理论，探讨在可持续收获的条件下，如何通过调整捕捞强度系数，实现捕鱼量的最大化。
首先对于问题一，找出一年中各个年龄组鱼群的数量变化关系，推导出鱼群的产卵、自然死亡、年龄随时间变化等诸因素影响各年龄组鱼群数量的数学表达式，结合可持续捕捞，形成一组约束条件，而与鱼群数量、捕捞强度系数有关的年度捕获量便是目标函数，这样便转化为一个非线性规划问题。
只允许在每年8个月进行捕捞作业。单位时间捕捞量与各年龄组鱼群条数成正比，此比例系数称捕捞强度系数。捕捞时只能捕到3、4龄鱼，其捕捞强度系数之比为0.42∶1，此称为固定努力量捕捞。
于是有下列问题：
1．分析如何实现可持续捕捞，即每年开始捕捞时各年龄组鱼群数量不变，且求在此前提下的最高年收获量（捕捞总重量）。
鉴于此问是多元非线性规划问题，且数据较大，为了得到全局最优解，我们采用Matlab工具箱中的pattern search模式搜索算法进行求解，最终得到结果为：
13.88
15.88
18.36
33.09
5.52
最大的捕获量为1.72 1012克，从而制定出最佳捕鱼策略。
接下来我们又对问题二所建立的模型作了进一步讨论，提出了其他几种情况下的模型并求解，比较了这几种模型下的最优解，得到了相应情况下的结果，并且在此部分提出了一种冒险的方式对结果进行了优化.
2．某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年，承包时各年龄组鱼群的数量分别为：122，29.7，10.1，3.29（×109条），仍采用固定努力捕捞量的方式，分析该公司应采取怎样的策略才能使总收获量最高同时又太大程度地破坏鱼群的生产能力。
二、问题的分析
首先粗略整理了题干给出的各种关于鲳鱼的信息，并且列成表格如下：
现在考虑对鲳鱼的最优捕捞策略：
已知这种鱼分4个年龄组，称为1龄鱼……4龄鱼。各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07，11.55，17.86，22.99（克），各年龄组的自然死亡率为0.8（/年），
这种鱼在每年后四个月集中性繁殖，平均每条4龄鱼的产卵量为1.109ⅹ1011（个），3龄鱼的产卵量为其一半，2龄和1龄鱼不产卵。卵孵化并成活为1龄鱼，成活率为1.22ⅹ1011/（1.22ⅹ1011+n）（n为产卵总量）。
最后我们对问题所建的模型进行了优缺点评价,同时提出了模型的发展方向。
关键词：微分方程多元非线性规划pattern search算法
一、问题的重述
良好的自然环境是人类赖以生存的一个不可或缺的条件，而可持续发展已经成为当今世界共同进步的主题之一。对于渔业、林业这样的可再生资源，其开发一定要适度。要在持续生产的前提下，追求产量或者效益的最优化。
1)鱼群的繁殖
题中提到该种鱼是“季节性集中产卵繁殖”，并且交代其繁殖期为每年后四个月。通过查阅资料可知，鱼类通常都是一次性排出大量的卵，且在短时间内完成。为了用数学语言简明又扼要地描述这一特性，同时简化模型的建立与求解，假设鱼类在九月初瞬间完成产卵是比较符合实际的。
2)捕捞强度系数
单位时间捕捞量与各年龄组鱼群条数成正比，这是捕捞强度系数的定义。如果用数学语言来表达，则应为：
用Lingo11.0编程求解得到：当捕捞强度系数 取17.36时，年捕获量最大，为3.88×1012克。然后我们又用Matlab画出了在保证可持续捕获的前提下，年度捕获量随捕捞强度系数 变化的图象，并经过多次计算，验证了结果的准确性和稳定性。
然后针对问题二，我们在问题一建立模型的基础之上，修改约束条件。于是先采用每年的捕捞努力量固定，但各年彼此之间的捕捞努力量不尽相同的方式，然后采用每年的捕捞努力量都保持不变的方式，并把两个模型的结果进行比较。
4)捕捞上来的鱼全为活鱼，即死亡的与被捕捞的鱼分开计算；
5)3，4龄鱼的平均产卵量掩盖了性别差异
四、符号说明
符号
意义
龄鱼在一年中某时刻 的数量（ ）
龄鱼鱼群在第 年年初的条数
鱼群的自然死亡率
鱼群的自然死亡率
（ ）
4龄鱼的捕捞强度系数（4龄鱼第 年的捕捞强度系数）
n（ ）
一年内总产卵量（第 年的总产卵量）
六、对模型的进一步讨论
问题二的开放性较强，不难设想，如果对“鱼群生产能力不至于有太大破坏”的理解和定义不相同，那么计算出来的最优解也应该不尽相同。在此我们提出一些对该
1)根据模型一，我们求出自然状态下（即k=0）鱼群达到平衡时的数量，分别为 。
因此给出另一种对“生产能力不至于太大破坏”的定义，即第6年初鱼群的数量不会小于自然平衡状态下的70%。求出各年之间k值不同的状况，如下表格
（ ）
龄鱼的产卵量（ 龄鱼第 年的产卵量）
（ ）
龄鱼的年收获量（ 龄鱼在第 年的收获量）
龄鱼每条鱼的平均重量
年度总捕获量（重量）
承包期5年的总捕捞量
五、模型的建立
1)对问题一的建模与求解：
模型一：
首先找到各个年龄组鱼群在一年内的数量变化规律。由于1、2龄鱼不会被捕捞，因此它们在全年内所以只受自然死亡率的影响，即满足以下关系：
图1 可持续捕捞下的年捕捞量与捕捞强度系数的关系图
现在对上述所得的结果进行一些说明：
由图可知，年捕捞量G关于捕捞强度系数的关系为单峰函数，当捕捞强度系数k=17.36时，年最大捕捞量G=3.88×1012克。当捕捞强度系数为0时，捕捞量为0，符合实际；而当k趋于很大的时候，即过渡捕捞，鱼群一定不能维持可持续发展状态，所以捕捞强度系数k有极限，利用Lingo求得k最大为31.39，即为图中曲线与横轴的右交点。另外由于曲线靠近中间的斜率较小，在k=17.36附近对应的年捕捞量相对变化不大，实际最优捕鱼策略只需维持在k＝17.36的附近。
表1鲳鱼的各参数
年龄组
参数
1龄
2龄
3龄
4龄
平均重量（克）
5.07
11.55
17.86
22.99
死亡率（/年）
0.8
0.8
0.8
0.8
产卵量（个）
0
0
捕捞强度系数
0
0
0.42
卵成活率
其中 为4龄鱼的捕捞强度系数， 为产卵的总量，详情见后面的符号说明。
仔细阅读题干文字，我们认为解决问题的关键正确理解以下几个点：
2)对问题二的建模与求解
在问题二中，需要考虑五年的捕捞策略，对于每一年都采用固定努力量捕捞，但各年捕捞强度系数都可以不同，由不可对鱼群造成太大破坏，定义五年后各鱼群数量不少于初始鱼群的70％，即
利用递推公式(7) (10) (11) (12)，根据初始鱼群数量，得到之后每年的鱼群数量。由年捕捞量G式（16），将5年的年捕捞量累加得到总捕捞量，即为目标函数
（1）
（2）
对于3龄鱼和4龄鱼，它们在产卵开始前经过了捕捞期间的自然死亡和被捕捞的双重淘汰，换言之在1~8月它们数量变化的关系应该为：
（3）
（4）
在9~12月，3龄鱼和4龄鱼数量变化的关系则为：
（5）
（6）
根据上述微分方程，在8个月的捕捞期过后，3龄鱼的数量为 ，4龄鱼的数量为 。由此前的假设，可知第 年年初1龄鱼的数量应该为第 年3龄鱼和4龄鱼产下的卵中成活下来的数量之和，即
时间内，捕捞量=鱼群数量（ ） 鱼群数量（ ）。若写成 ，根据捕捞强度系数的定义，有 。当 时，此式就等同于 。
3)年自然死亡率
各个年龄组的“年自然死亡率”为0.8（/年），注意到这个量是有量纲的，说明它不是一个简单意义上的比率，不是指一年后恰好死亡80%。它的意义应该和捕捞强度系数是一致的，表示鱼群以每年死亡80%的速度在不断减少着。
（7）
其中，若记3龄鱼鱼群产下的卵数量为 ，4龄鱼产下的卵数量为 ，那么
（8）
且
（9）
同时，第 年年初 龄鱼的数量为第 年年底 龄鱼的数量。其中2龄鱼的数量为
（10）
3龄鱼的数量为
（11）
4龄鱼的数量为
（12）
要达到可持续发展的目的，即为每一年各个年龄组鱼的数量都相等，就必须有
（13）
把上面（7）、（11）、（12）、（13）各式联立起来，可以得到一组完整描述题目要求的约束条件。下求年收获量的表达式。3龄鱼的捕捞条数
表四K不同 相对于自然平衡状态
13.84
15.72
21.43
28.30
1.19
1.57×1012
2)对于模型二，可以有一种大胆的想法，由于不捕捞1,2龄鱼，所以在对捕捞量的限制中，只需对第6年的1，2龄鱼的数量进行限制，而不限制3，4龄鱼的数量，也就是说第5年时可以将3,4龄鱼全部捕捞，对此我们对于5年以后各年鱼群的数量变化进行了模拟，得到4年以后鱼群即可恢复到自然平衡状态。而在此种情况下求的如下几种结果
表2 模型二的计算结果
13.88
15.88
18.36
33.09
5.52
为了获得最大的总收获量，五年中各年的捕捞强度系数分别为13.88 ,15.88,18.36,33.09,5.52，在开始的三年要维持一定的捕捞强度，为之后的捕捞提供更多的储备，在第4年应有比较大的捕捞强度，以达到最大的收获量，第五年则应减少捕捞。
根据这些情况，我们可以列出一组微分方程，求出上一年各年龄组鱼群与今年各年龄组鱼群之间的相互关系，形成一组约束条件。这样，问题一就转化成一个非线性规划问题，可以用Lingo或者Matlab求解。
2)对于问题二：
考虑五年的最优捕鱼策略，对初始的鱼群数量进行分析，发现即使不捕捞也不可能恢复到原来的鱼群数量，只能尽量减小对鱼群的生产能力的破坏。利用各个年龄组鱼群数量之间的递推关系，根据初始鱼群数量，递推出五年后鱼群的数量，从而计算得到五年内的总收获量。鱼群的生产能力不造成太大的破坏可以理解为五年后鱼群数量不少于初始鱼群的一定比例，根据种群增长规律，选择一个既能保证增长速度，又能保证种群数量优势的比例，即70％。
下面来具体分析问题一与问题二。
1)对于问题一：
由繁殖和年龄变化规律可知，3、4龄鱼在第 年产的卵所孵化成活的在第年初全部为1龄鱼；第 年末的 （ = 1，2,）龄鱼在第 年初全部变为第 龄鱼；而第4龄鱼在第 年初可能继续存活，也可能死亡，在这里为了建模的简便和易于求解，不妨设4龄鱼在第 年初全部死亡。
3)
表五K不同 相对于初始值
13.90
16.15
17.36
33.09
28.28
1.80×1012
表六K相同 相对于初始值
17.24
17.24
这里
这是一个复杂的多变量非线性优化问题，应用pattern search模式搜索算法可以快速进行模型的求解。因为该算法用于计算最小值，所以目标函数的负值作为算法的评价函数，求得最优解，下图为算法迭代过程，算法迭代40次后快速收敛到最优值。
图2 算法迭代过程
求得最后结果为=1.72×1012克，具体如下表：
模型三：捕捞强度K五年都相同，五年后各鱼群数目不少于初始数目的70％，图为4龄鱼数量的变化趋势，第7年恢复平衡
图3
分析这两个图，可以发现，从鱼群恢复的角度来看，五年的捕捞强度系数相同时鱼群更快恢复。
显然，此种情况下得到的捕捞总量与每年捕捞努力量不同的情况向比较要少的多，此方法不可取。那么可知，该公司要想获得最大的总收获量，应该采取5年内的固定努力捕捞量互不相同的策略，其具体情况如表2所示。
4龄鱼的捕捞条数
（15）
因此年捕捞量（重量）为
（16）
那么由此建立一个非线性规划模型为
（17）
这里
接下来用Lingo11.0软件求解，得到当 取17.36时，年捕获量最大，为3.88×1012克。
为了更好的描述捕捞强度系数 与年捕获量之间的对应变化关系，我们又在Matlab中编写程序，得到在可持续捕捞的前提下，年捕获量随捕捞强度系数 变化的图象
由此，该问题变为一个多变量约束非线性优化问题，由于模型较为复杂，采用智能算法进行优化较为快速。
三、模型假设
1)渔场是非开放式渔场，不与其他水域发生关系，从而构成独立的生态群落；
2)鱼群产卵在九月初短时间内完成，产卵鱼的自然死亡发生在此之后；
3)1—3年龄组的鱼群都在翌年年初进入下一个年龄组，而原先的4龄鱼鱼群由于捕捞或者自然死亡等原因全部消失；
模型三：
然后我们采用5年的捕捞努力量不变的捕捞方式。
只需令模型二中的 （=1,2,3,4,5,），编制程序计算得结果为
表3 模型三的结果
5.60
1.49×1012
最后结果为 =1.49 1012克
并绘制4龄鱼数量变化图：
模型二 ：捕捞强度K不同，五年后各鱼群数目不少于初始数目的70％，图为4龄鱼数量的变化趋势，第9年恢复平衡
基于可持续收获的最佳捕鱼策略
【摘要】
在当今可持续发展已经成为时代主题之一的背景下，渔业作为一种再生资源产业，保证其持续稳产是大前提。本文利用微分方程和非线性规划理论，探讨在可持续收获的条件下，如何通过调整捕捞强度系数，实现捕鱼量的最大化。
首先对于问题一，找出一年中各个年龄组鱼群的数量变化关系，推导出鱼群的产卵、自然死亡、年龄随时间变化等诸因素影响各年龄组鱼群数量的数学表达式，结合可持续捕捞，形成一组约束条件，而与鱼群数量、捕捞强度系数有关的年度捕获量便是目标函数，这样便转化为一个非线性规划问题。
只允许在每年8个月进行捕捞作业。单位时间捕捞量与各年龄组鱼群条数成正比，此比例系数称捕捞强度系数。捕捞时只能捕到3、4龄鱼，其捕捞强度系数之比为0.42∶1，此称为固定努力量捕捞。
于是有下列问题：
1．分析如何实现可持续捕捞，即每年开始捕捞时各年龄组鱼群数量不变，且求在此前提下的最高年收获量（捕捞总重量）。
鉴于此问是多元非线性规划问题，且数据较大，为了得到全局最优解，我们采用Matlab工具箱中的pattern search模式搜索算法进行求解，最终得到结果为：
13.88
15.88
18.36
33.09
5.52
最大的捕获量为1.72 1012克，从而制定出最佳捕鱼策略。
接下来我们又对问题二所建立的模型作了进一步讨论，提出了其他几种情况下的模型并求解，比较了这几种模型下的最优解，得到了相应情况下的结果，并且在此部分提出了一种冒险的方式对结果进行了优化.
2．某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年，承包时各年龄组鱼群的数量分别为：122，29.7，10.1，3.29（×109条），仍采用固定努力捕捞量的方式，分析该公司应采取怎样的策略才能使总收获量最高同时又太大程度地破坏鱼群的生产能力。
二、问题的分析
首先粗略整理了题干给出的各种关于鲳鱼的信息，并且列成表格如下：
现在考虑对鲳鱼的最优捕捞策略：
已知这种鱼分4个年龄组，称为1龄鱼……4龄鱼。各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07，11.55，17.86，22.99（克），各年龄组的自然死亡率为0.8（/年），
这种鱼在每年后四个月集中性繁殖，平均每条4龄鱼的产卵量为1.109ⅹ1011（个），3龄鱼的产卵量为其一半，2龄和1龄鱼不产卵。卵孵化并成活为1龄鱼，成活率为1.22ⅹ1011/（1.22ⅹ1011+n）（n为产卵总量）。
最后我们对问题所建的模型进行了优缺点评价,同时提出了模型的发展方向。
关键词：微分方程多元非线性规划pattern search算法
一、问题的重述
良好的自然环境是人类赖以生存的一个不可或缺的条件，而可持续发展已经成为当今世界共同进步的主题之一。对于渔业、林业这样的可再生资源，其开发一定要适度。要在持续生产的前提下，追求产量或者效益的最优化。
1)鱼群的繁殖
题中提到该种鱼是“季节性集中产卵繁殖”，并且交代其繁殖期为每年后四个月。通过查阅资料可知，鱼类通常都是一次性排出大量的卵，且在短时间内完成。为了用数学语言简明又扼要地描述这一特性，同时简化模型的建立与求解，假设鱼类在九月初瞬间完成产卵是比较符合实际的。
2)捕捞强度系数
单位时间捕捞量与各年龄组鱼群条数成正比，这是捕捞强度系数的定义。如果用数学语言来表达，则应为：
用Lingo11.0编程求解得到：当捕捞强度系数 取17.36时，年捕获量最大，为3.88×1012克。然后我们又用Matlab画出了在保证可持续捕获的前提下，年度捕获量随捕捞强度系数 变化的图象，并经过多次计算，验证了结果的准确性和稳定性。
然后针对问题二，我们在问题一建立模型的基础之上，修改约束条件。于是先采用每年的捕捞努力量固定，但各年彼此之间的捕捞努力量不尽相同的方式，然后采用每年的捕捞努力量都保持不变的方式，并把两个模型的结果进行比较。
4)捕捞上来的鱼全为活鱼，即死亡的与被捕捞的鱼分开计算；
5)3，4龄鱼的平均产卵量掩盖了性别差异
四、符号说明
符号
意义
龄鱼在一年中某时刻 的数量（ ）
龄鱼鱼群在第 年年初的条数
鱼群的自然死亡率
鱼群的自然死亡率
（ ）
4龄鱼的捕捞强度系数（4龄鱼第 年的捕捞强度系数）
n（ ）
一年内总产卵量（第 年的总产卵量）
六、对模型的进一步讨论
问题二的开放性较强，不难设想，如果对“鱼群生产能力不至于有太大破坏”的理解和定义不相同，那么计算出来的最优解也应该不尽相同。在此我们提出一些对该
1)根据模型一，我们求出自然状态下（即k=0）鱼群达到平衡时的数量，分别为 。
因此给出另一种对“生产能力不至于太大破坏”的定义，即第6年初鱼群的数量不会小于自然平衡状态下的70%。求出各年之间k值不同的状况，如下表格
（ ）
龄鱼的产卵量（ 龄鱼第 年的产卵量）
（ ）
龄鱼的年收获量（ 龄鱼在第 年的收获量）
龄鱼每条鱼的平均重量
年度总捕获量（重量）
承包期5年的总捕捞量
五、模型的建立
1)对问题一的建模与求解：
模型一：
首先找到各个年龄组鱼群在一年内的数量变化规律。由于1、2龄鱼不会被捕捞，因此它们在全年内所以只受自然死亡率的影响，即满足以下关系：
图1 可持续捕捞下的年捕捞量与捕捞强度系数的关系图
现在对上述所得的结果进行一些说明：
由图可知，年捕捞量G关于捕捞强度系数的关系为单峰函数，当捕捞强度系数k=17.36时，年最大捕捞量G=3.88×1012克。当捕捞强度系数为0时，捕捞量为0，符合实际；而当k趋于很大的时候，即过渡捕捞，鱼群一定不能维持可持续发展状态，所以捕捞强度系数k有极限，利用Lingo求得k最大为31.39，即为图中曲线与横轴的右交点。另外由于曲线靠近中间的斜率较小，在k=17.36附近对应的年捕捞量相对变化不大，实际最优捕鱼策略只需维持在k＝17.36的附近。
表1鲳鱼的各参数
年龄组
参数
1龄
2龄
3龄
4龄
平均重量（克）
5.07
11.55
17.86
22.99
死亡率（/年）
0.8
0.8
0.8
0.8
产卵量（个）
0
0
捕捞强度系数
0
0
0.42
卵成活率
其中 为4龄鱼的捕捞强度系数， 为产卵的总量，详情见后面的符号说明。
仔细阅读题干文字，我们认为解决问题的关键正确理解以下几个点：
2)对问题二的建模与求解
在问题二中，需要考虑五年的捕捞策略，对于每一年都采用固定努力量捕捞，但各年捕捞强度系数都可以不同，由不可对鱼群造成太大破坏，定义五年后各鱼群数量不少于初始鱼群的70％，即
利用递推公式(7) (10) (11) (12)，根据初始鱼群数量，得到之后每年的鱼群数量。由年捕捞量G式（16），将5年的年捕捞量累加得到总捕捞量，即为目标函数
（1）
（2）
对于3龄鱼和4龄鱼，它们在产卵开始前经过了捕捞期间的自然死亡和被捕捞的双重淘汰，换言之在1~8月它们数量变化的关系应该为：
（3）
（4）
在9~12月，3龄鱼和4龄鱼数量变化的关系则为：
（5）
（6）
根据上述微分方程，在8个月的捕捞期过后，3龄鱼的数量为 ，4龄鱼的数量为 。由此前的假设，可知第 年年初1龄鱼的数量应该为第 年3龄鱼和4龄鱼产下的卵中成活下来的数量之和，即
时间内，捕捞量=鱼群数量（ ） 鱼群数量（ ）。若写成 ，根据捕捞强度系数的定义，有 。当 时，此式就等同于 。
3)年自然死亡率
各个年龄组的“年自然死亡率”为0.8（/年），注意到这个量是有量纲的，说明它不是一个简单意义上的比率，不是指一年后恰好死亡80%。它的意义应该和捕捞强度系数是一致的，表示鱼群以每年死亡80%的速度在不断减少着。
（7）
其中，若记3龄鱼鱼群产下的卵数量为 ，4龄鱼产下的卵数量为 ，那么
（8）
且
（9）
同时，第 年年初 龄鱼的数量为第 年年底 龄鱼的数量。其中2龄鱼的数量为
（10）
3龄鱼的数量为
（11）
4龄鱼的数量为
（12）
要达到可持续发展的目的，即为每一年各个年龄组鱼的数量都相等，就必须有
（13）
把上面（7）、（11）、（12）、（13）各式联立起来，可以得到一组完整描述题目要求的约束条件。下求年收获量的表达式。3龄鱼的捕捞条数
表四K不同 相对于自然平衡状态
13.84
15.72
21.43
28.30
1.19
1.57×1012
2)对于模型二，可以有一种大胆的想法，由于不捕捞1,2龄鱼，所以在对捕捞量的限制中，只需对第6年的1，2龄鱼的数量进行限制，而不限制3，4龄鱼的数量，也就是说第5年时可以将3,4龄鱼全部捕捞，对此我们对于5年以后各年鱼群的数量变化进行了模拟，得到4年以后鱼群即可恢复到自然平衡状态。而在此种情况下求的如下几种结果
表2 模型二的计算结果
13.88
15.88
18.36
33.09
5.52
为了获得最大的总收获量，五年中各年的捕捞强度系数分别为13.88 ,15.88,18.36,33.09,5.52，在开始的三年要维持一定的捕捞强度，为之后的捕捞提供更多的储备，在第4年应有比较大的捕捞强度，以达到最大的收获量，第五年则应减少捕捞。
根据这些情况，我们可以列出一组微分方程，求出上一年各年龄组鱼群与今年各年龄组鱼群之间的相互关系，形成一组约束条件。这样，问题一就转化成一个非线性规划问题，可以用Lingo或者Matlab求解。
2)对于问题二：
考虑五年的最优捕鱼策略，对初始的鱼群数量进行分析，发现即使不捕捞也不可能恢复到原来的鱼群数量，只能尽量减小对鱼群的生产能力的破坏。利用各个年龄组鱼群数量之间的递推关系，根据初始鱼群数量，递推出五年后鱼群的数量，从而计算得到五年内的总收获量。鱼群的生产能力不造成太大的破坏可以理解为五年后鱼群数量不少于初始鱼群的一定比例，根据种群增长规律，选择一个既能保证增长速度，又能保证种群数量优势的比例，即70％。
下面来具体分析问题一与问题二。
1)对于问题一：
由繁殖和年龄变化规律可知，3、4龄鱼在第 年产的卵所孵化成活的在第年初全部为1龄鱼；第 年末的 （ = 1，2,）龄鱼在第 年初全部变为第 龄鱼；而第4龄鱼在第 年初可能继续存活，也可能死亡，在这里为了建模的简便和易于求解，不妨设4龄鱼在第 年初全部死亡。
3)
表五K不同 相对于初始值
13.90
16.15
17.36
33.09
28.28
1.80×1012
表六K相同 相对于初始值
17.24
17.24
这里
这是一个复杂的多变量非线性优化问题，应用pattern search模式搜索算法可以快速进行模型的求解。因为该算法用于计算最小值，所以目标函数的负值作为算法的评价函数，求得最优解，下图为算法迭代过程，算法迭代40次后快速收敛到最优值。
图2 算法迭代过程
求得最后结果为=1.72×1012克，具体如下表：
模型三：捕捞强度K五年都相同，五年后各鱼群数目不少于初始数目的70％，图为4龄鱼数量的变化趋势，第7年恢复平衡
图3
分析这两个图，可以发现，从鱼群恢复的角度来看，五年的捕捞强度系数相同时鱼群更快恢复。
显然，此种情况下得到的捕捞总量与每年捕捞努力量不同的情况向比较要少的多，此方法不可取。那么可知，该公司要想获得最大的总收获量，应该采取5年内的固定努力捕捞量互不相同的策略，其具体情况如表2所示。