江苏省南通中学高一上数学期末试卷及答案
江苏省南通中学高一上数学期末试卷及答案
高一上数学期末试卷江苏省南通中学一、选择题。
本大题共12小题，每题3分，共36分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1.定义{}|,A B x x A x B -=∈∉且，假设{}1,3,5,7,9A =,{}2,3,5B =,那么A B -=( ) (A) A (B) B (C) {}1,2,7,9 (D) {}1,7,92. 以下判断错误的选项是〔 〕A ．命题“假设q 那么p 〞与命题“假设那么〞互为逆否命题B ．“am 2<bm 2〞是“a<b 〞的充要条件C ．“矩形的两条对角线相等〞的否命题为假D ．命题“}2,1{4}2,1{∈⊂或φ〞为真〔其中φ为空集〕3.设集合{}{}22|1,,|45,,A x x a a N B y y b b b N ==+∈==-+∈那么下述关系中正确的选项是( )(A)A B = (B) A B ⊃ (C) A B ⊂ (D) AB =∅4.将函数2xy =的图象先作下面哪一种变化,再作关于直线y x =对称的图象可得到函数2log (1)y x =+的图象? ( )(A)先向左平行移动1个单位 (B) 先向右平行移动1个单位 (C)先向上平行移动1个单位 (D) 先向下平行移动1个单位5. 假设 {}n a 是等比数列，4738512,124,a a a a =-+=且公比q 为整数，那么10a =〔 〕〔A 〕256 〔B 〕-256 〔C 〕512 〔D 〕-512 6. 某次试验获得如下组数据：在以下四个函数中最能近似表达以上数据规律的函数是 A 、2log y x =B 、22x y =-C 、()2112y x =- D 、22y x =-7.221log [(1)]4y ax a x =+-+的定义域是一切实数,那么实数a 的取值范围( )(A)(B)(C) 35(,)++∞(D) 8已.知数列{}n a 的首项13a =，又满足13,nn n a a +=那么该数列的通项n a 等于〔 〕〔A 〕(1)23n n - 〔B 〕2223n n -+ 〔C 〕213n n +- 〔D 〕213n n -+9等差数列{}n a 共有21n +项，其中13214,n a a a ++++=2423,n a a a +++=那么n 的值为〔 〕〔A 〕3 〔B 〕5 〔C 〕7 〔D 〕910．如右图所示，四边形ABCD 为直角梯形，上底CD 为下底AB 的一半，直线l 截这个梯形所得的位于此直线左方的图形面积为y ，点A 到直线l 距离为x ，那么函数()y fx =的大致图象为( )11．方程2(2)50x a x a --+-=的两根都大于2，那么实数a 的范围是( ) (A)2a <- (B) 52a -<<- (C) 54a -<<- (D)4a >或4a <- 12．数列{}n a 的通项公式12112,,n n n a n S a a a =-=+++那么10S =〔 〕〔A 〕100 〔B 〕50 〔C 〕25 〔D 〕125 二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分．答案填在题中横线上 13．(3a 32b 21)(-6a 21b 31)÷(965ab )的结果为________________14．在等差数列{}n a 中，1231215,78,n n n a a a a a a --++=++=155,n S =那么n =_____15．函数()log (0,1)a f x x a a =>≠，(25)2f =，那么125(log 2)f -=_________。
2023届江苏省南通中学高一上数学期末考试模拟试题含解析
1 / 122022-2023学年高一上数学期末模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）1．已知函数()(1)()f x x ax b =-+为偶函数，且在(0,)+∞上单调递减，则(3)0f x -<的解集为( )A.()2,4B.()(),24,-∞+∞C.()1,1-D.()(),11,-∞-+∞2．已知函数()lg ,? 011,?0x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，则()()1f f -= A.2-B.0C.1D.1-3．在三角形ABC ∆中，若点P 满足1231,3344AP AB AC AQ AB AC =+=+，则APQ ∆与ABC ∆的面积之比为（ ） A.1:3B.5:12C.3:4D.9:16 4．已知()f x 是定义在()1,+∞上的减函数，若对于任意(),1,x y ∈+∞，均有()()()2x y f x f y f +=+，()21f =，则不等式()()120f x f x +--≥的解集为（） A.5,]2-∞（ B.5,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C.51,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.52,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ 5．设集合U ={1，2，3，4，5}，A ={1，3，5}，B ={2，3，5}，则图中阴影部分表示的集合的真子集有（ ）个A.3B.4C.7D.86．全集{}3,2,1,0,1,2,3,4,5U =---，集合2{|5,Z}A x x x =<∈，则U A （）A.{3,2,2,3,4,5}U A =-- B .{3,3,4,5}U A =- C.{3,4,5}U A = D.{2,1,0,1,2}UA =-- 7．化简2cos 24sin tan 44αππαα=⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A.cos αB.sin αC.1D.12 8．已知0.5321log log 30.32a b c -===，，，则a ，b ，c 的大小关系为（） A.a c b <<B.a b c <<C.c a b <<D.b c a <<9．下列关于函数()f x 的图象中，可以直观判断方程()20f x -=在(0)∞－，上有解的是 A. B.C. D.10．已知函数f (x )＝|ln x |－1，g (x )＝－x 2＋2x ＋3，用min{m ，n }表示m ，n 中的最小值．设函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}，则函数h (x )的零点个数为( )A.1B.2C.3D.4二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）11．已知幂函数()233m y m m x =--在()0,∞+上单调递减，则m =___________. 12．已知幂函数y ＝x α的图象过点(42)，则α＝__________.13．幂函数()f x 的图像经过点()4,2，则()f x =_______14．若三棱锥A BCD -中，6AB CD ==,其余各棱长均为5，则三棱锥内切球的表面积为_____3 / 1215．在区间[1,2]-上随机取一个实数x ，则事件"122"x ≤≤发生的概率为_________.三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16．已知函数()log a f x x =（0a >且1a ≠）的图象过点()9,2.（1）求函数()f x 的解析式；（2）解不等式()()315f x f x ->-+.17．已知集合{23},{23}A xx B x m x m =-<<=<<+∣∣. （1）当1m =时，求A B ；（2）当B A ⊆时，求实数m 的取值范围.18．新冠病毒怕什么？怕我们身体的抵抗力和免疫力！适当锻炼，合理休息，能够提高我们身体的免疫力，抵抗各种病毒．某小区为了调查居民的锻炼身体情况，从该小区随机抽取了100为居民，记录了他们某天的平均锻炼时间，其频率分别直方图如下：（1）求图中a 的值和平均锻炼时间超过40分钟的人数；（2）估计这100位居民锻炼时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）和中位数19．设函数()(0x x f x ka a a -=->且1)a ≠是定义域为R 的奇函数，()312f = （1）若()()2240f m m f m ++->，求m 的取值范围； （2）若()()222x x g x a a mf x -=+-在[)1,+∞上的最小值为2-，求m 的值20．已知函数()()sin (0,0)f x A x A ωφω=+>>的部分图像如图所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()f x 在[]0,π上取得最小值时对应的角度为θ，求半径为2，圆心角为θ的扇形的面积.21．已知函数()lg(2)lg(22)x xf x a -=-+-为偶函数.（1）求a 的值；（2）若2()23f x m m ≤--恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.） 1、B【解析】根据()f x 为偶函数，可得b a =；根据()f x 在(0,)+∞上递减得0a <；然后解一元二次不等式可得【详解】解：2()()f x ax b a x b =+--为偶函数，所以0b a -=，即b a =，2()f x ax a ∴=-，由()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以0a <，2(3)(3)0f x a x a ∴-=--<，可化为2(3)10x -->，即2680x x -+>，解得2x <或4x >故选：B【点睛】本题主要考查奇偶性与单调性的应用以及一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 2、C【解析】根据自变量所在的范围先求出()110f -=，然后再求出()101f =【详解】由题意得()111110f -=-+=，5 / 12∴()()()110lg101f f f -===故选C【点睛】根据分段函数的解析式求函数值时，首先要分清自变量所属的范围，然后再代入解析式后可得结果，属于基础题3、B【解析】由题目条件所给的向量等式，结合向量的线性运算推断P 、Q 两点所在位置，比较两个三角形的面积关系 【详解】因为1233AP AB AC =+，所以12()()33AP AB AC AP -=-，即2BP PC =，得点P 为线段BC 上靠近C 点的三等分点，又因为3144AQ AB AC =+，所以31()()44AQ AB AC AQ -=-，即3BQ QC =，得点Q 为线段BC 上靠近B 点的四等分点，所以512PQ BC =，所以APQ ∆与ABC ∆的面积之比为512APQ ABC S PQ S BC ==，选择B 【点睛】平面向量的线性运算要注意判断向量是同起点还是收尾相连的关系再使用三角形法则和平行四边形法则进行加减运算，借助向量的数乘运算可以判断向量共线，及向量模长的关系4、D【解析】根据已知等式，结合函数的单调性进行求解即可.【详解】令2x y ==时，22(2)(2)(2)(16)2f f f f ++=⇒=，由()()1120(2)(16)x x f x f x f f +-+--≥⇒≥，因为()f x 是定义在()1,+∞上的减函数，所以有15112214x x x x x >⎧⎪->⇒<≤⎨⎪+-≤⎩， 故选：D5、C【解析】先求出A∩B={3，5}，再求出图中阴影部分表示的集合为：C U （A∩B ）={1，2，4}，由此能求出图中阴影部分表示的集合的真子集的个数【详解】∵集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，3，5}，∴A∩B={3，5}，图中阴影部分表示的集合为：C U （A∩B）={1，2，4}，∴图中阴影部分表示的集合的真子集有：23–1=8–1=7．故选C【点睛】本题考查集合的真子集的个数的求法，考查交集定义、补集、维恩图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题6、B【解析】先求出集合A ,再根据补集定义求得答案. 【详解】由题意，{}{}|55,Z 2,1,0,1,2A x x x =-<∈=--，则{3,3,4,5}U A =-.故选：B.7、D【解析】先考虑分母化简，利用降次公式，正切的两角和与差公式打开，整理，可得答案【详解】化简分母得 24sin tan 44ππαα⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()221cos 21tan 2=421tan cos sin 2(1sin 2)cos sin 2cos sin 2cos 2πααααααααααα⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭⋅⋅+-=+⋅+=-=. 故原式等于12.故选D【点睛】本题主要考查了两角和与差公式以及倍角公式．属于基础题8、B【解析】利用函数单调性及中间值比大小. 【详解】331log log 210a =<=，22log 3log 10b =>=且22log 3log 21b =<=，故()0,1b ∈，0.50.3301.0c ->==，故a b c <<.故选：B9、D7 / 12【解析】方程f （x ）-2=0在（-∞，0）上有解，∴函数y=f （x ）与y=2在（-∞，0）上有交点，分别观察直线y=2与函数f （x ）的图象在（-∞，0）上交点的情况，选项A ，B ，C 无交点，D 有交点，故选D点睛：这个题目考查了方程有解的问题，把函数的零点转化为方程的解，再把方程的解转化为函数图象的交点，特别是利用分离参数法转化为动直线与函数图象交点问题，要求图像的画法要准确10、C【解析】画图可知四个零点分别为－1和3，1e和e ，但注意到f (x )的定义域为x >0，故选C.二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）11、1-【解析】由系数为1解出m 的值，再由单调性确定结论【详解】由题意2331m m --=，解得1m =-或4m =，若4m =，则函数为4y x =，在(0,)+∞上递增，不合题意若1m =-，则函数为1y x =，满足题意 故答案为：1-12、14【解析】把点的坐标代入幂函数解析式中即可求出.【详解】解：由幂函数y x α=的图象过点2)，所以42α=解得14α=.故答案为：14. 13、x【解析】本题首先可以根据函数()f x 是幂函数设函数解析式为()nf x x =，然后带入点()4,2即可求出n 的值，最后得出结果。
江苏省南通市通州、海安2023届高一上数学期末含解析
故选：B.
12、D
【解析】通过诱导公式，结合正弦函数的性质即可得结果.
【详解】 f (x) cos( 2x) sin 2x ，所以T 2 ， f x sin 2x sin 2x f x，
2
2
所以则 f x 是最小正周期为 的奇函数，
故选：D.
二、选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分,将答案写在答题卡上.）
16．已知函数
f
x
2x
x2
1, x ax,
1, x 1,
若
f
f 0 3a ，则 a 的值为______
三、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．在①函数 f x sinx
3 cosx
2
2
0 ；②函数
f
x
4cosxsin x
【方法点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质、指数与对数的运算以及数形结合思想的应用，属于难题.数形结合 是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的 一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常 见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质 6、B 【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.
6
1
0 ；③函数
f
x 2sin 2x
0,
2
的图象向右平移
12
个单位长度得到 g x 的图象， g x 的图象关于原点对
称；这三个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题
2020-2021学年南通一中高一上学期期末数学试卷(含解析)
2020-2021学年南通一中高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.函数f(x)=8x 的值域是( )A. (−∞,+∞)B. (−∞,0)C. (0,+∞)D. (−∞,0)∪(0,+∞)2.已知sin(π+α)=−12，那么cosα的值为( )A. ±12B. 12C. √32D. ±√323.对于正弦函数y =sinx 的图象，下列说法错误的是( )A. 向左右无限伸展B. 与y =cosx 的图象形状相同，只是位置不同C. 与x 轴有无数个交点D. 关于y 轴对称4.设e 1⃗⃗⃗ 与e 2⃗⃗⃗ 是两个不共线的向量，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =k e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3e 1⃗⃗⃗ −2k e 2⃗⃗⃗ ，若A ，B ，D 共线，则k 的值为( )A. −94B. −49C. −38D. 不存在5.如图，以Ox 为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们终边分别与单位圆相交于点P ，Q ，已知点P 的坐标为(−35,45)，β=30°，则sin(α−β)=( )A. 4+3√310B. 4√3+310C. 4−3√310D. 4√3−3106.将最小正周期为3π的函数f(x)=cos(ωx +φ)−sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象向左平移π4个单位，得到偶函数图象，则满足题意的φ的一个可能值为( )A. 7π12B. −5π12C. −π4D. π47.的最大值为( )A.B.C. D.8.已知扇形的面积为4，弧长为4，求这个扇形的圆心角是( )A. 4B. 2°C. 2D. 4°9.设A,B,C ∈(0,π2)，且cosA +cosB =cosC ，sinA −sinB =sinC ，则C −A =( )．A. −π6B. −π3C. π3D. π3或−π310. 如图，在△ABC 中，∠A =π2，AB =3，AC =5，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =25CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A. 34 B. 12 C. −2 D. −1211. 定义域为R 的函数y =f(x)，若对任意两个不相等的实数x 1，x 2，都有x 1f(x 1)+x 2f(x 2)>x 1f(x 2)+x 2f(x 1)，则称函数为“H 函数”，现给出如下函数：①y =−x 3+x +1②y =3x −2(sinx −cosx)③y =e x +1④f(x)={ln|x|,x ≠00,x =0其中为“H 函数”的有( )A. ①②B. ③④C. ②③D. ①②③12. 设向量a ⃗ =(−1,2)，b ⃗ =(λ,−1)，且|a ⃗ −b ⃗ |=√a ⃗ 2+b⃗ 2，则λ等于( ) A. 2 B. ±2 C. −2 D. 0二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设0<θ<π2，向量a ⃗ =(sin2θ,cosθ)，b ⃗ =(cosθ,1)，若a ⃗ //b ⃗ ，则cos2θ=______． 14. 已知(a +1)−23<(3−2a)−23，则a 的取值范围 ． 15. 抛物线的准线与轴交于点，点在抛物线对称轴上，过可作直线交抛物线于点、，使得，则的取值范围是 ．16. 在下列四个命题中，正确的命题有______．①若实数x ，y 满足x 2+y 2−2x −2y +1=0，则y−4x−2的取值范围为[43,+∞)；②点M 是圆(x −3)2+(y −2)2=2上一动点，点N(0,−2)为定点，则|MN|的最大值是7；③若圆(x −3)2+(y +5)2=r 2(r >0)上有且只有两个点到直线4x −3y =2的距离为1，则4<r <6；④已知直线ax +by +c −1=0(bc >0)经过圆x 2+y 2−2y −5=0的圆心，则4b +1c 的最小值是10． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为2π3，|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=3，记m ⃗⃗⃗ =3a ⃗ −2b ⃗ ，n ⃗ =2a ⃗ +k b ⃗(I) 若m ⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ，求实数k 的值；(II) 当k =−43时，求向量m ⃗⃗⃗ 与n ⃗ 的夹角θ．18. 已知函数f(x)=cosωx(sinωx +√3cosωx)(ω>0)． (1)求函数f(x)的值域；(2)若方程f(x)=√32在区间[0,π]上恰有两个实数解，求ω的取值范围．19. 设函数f(x)=log 3(9x)⋅log 3(3x)，19≤x ≤9，若t =log 3x. (1)求t 的取值范围． (2)求f(x)的值域．20. 如图，在菱形ABCD 中，若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√3，∠BAD =60°，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FD ⃗⃗⃗⃗⃗ ．(1)若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求λ，μ，x ，y 的值； (2)求AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ．21. 已知函数f(x)=3xx+2,x ∈[0,4)． (1)判别f(x)的单调性，并证明； (2)求函数f(x)的最值．22. 设函数y =f(x)的定义域为A ，区间I ⊆A.如果∃x 1，x 2∈I ，使得f(x 1)f(x 2)<0，那么称函数y =f(x)为区间I 上的“变号函数”．(1)判断下列函数是否为区间I上的“变号函数”，并说明理由．,+∞)；①p(x)=1−3x，I=[13)；②q(x)=sinx−cosx，I=(0,π2,1]上的“变号函数”.求实数a的取值范围．(2)若函数r(x)=ax2+(1−2a)x+1−a为区间[−12参考答案及解析1.答案：D解析：解：令y =8x ，则解析式中y 的取值范围即为函数的值域 则原函数的解析式可变形为x =8y ， 要使该表达式有意义，分母y ≠0． ∴y ∈(−∞,0)∪(0,+∞) 故选：D ．根据已知中函数的解析式，我们可使用“反表示法”求函数的值域，即根据已知函数的解析式，写出用y 表示x 的形式，令表达式有意义，即可求出满足条件的y 的取值范围，即原函数的值域． 本题考查的知识点是函数的值域，函数的值域的求法是函数中的难点之一，其中根据函数的解析式形式，选择适当的方法是求值域的问题．2.答案：D解析：利用诱导公式求出sinα，再利用同角三角函数关系式求出cosα即可． 本题考查诱导公式，同角三角函数关系式的应用．属于基础题．解：sin(π+α)=−12，则sinα=12，cosα=±√32．故选D ．3.答案：D解析：解：y =sinx 是周期函数，图象可以向左右无限伸展，故A 正确，y =sin(x +π2)=cosx ，则与y =cosx 的图象形状相同，只是位置不同，故B 正确， 与x 轴有无数个交点，故C 正确，y =sinx 是奇函数，图象关于原点对称，故D 错误， 故选：D ．根据y =sinx 的图象和性质分别进行判断即可．本题主要考查三角函数图象和性质，结合三角函数的图象是解决本题的关键．比较基础．4.答案：D解析：解：e 1⃗⃗⃗ 与e 2⃗⃗⃗ 是两个不共线的向量，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =k e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3e 1⃗⃗⃗ −2k e 2⃗⃗⃗ ， ∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3−k)e 1⃗⃗⃗ −(2k +1)e 2⃗⃗⃗ ，若A ，B ，D 共线， 则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即(3−k)e 1⃗⃗⃗ −(2k +1)e 2⃗⃗⃗ =λe 1⃗⃗⃗ +2λe 2⃗⃗⃗ ，∴{3−k =λ−(2k +1)=2λ, 解得k 的值不存在． 故选：D ．根据平面向量的线性运算法则，利用共线定理和向量相等列出方程组，即可求出k 的值不存在． 本题考查了平面向量的线性运算与共线定理和向量相等的应用问题，是基础题目．5.答案：B解析：解：以Ox 为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们终边分别与单位圆相交于点P ，Q ，已知点P 的坐标为(−35,45)，β=30°， 可得sinα=45，cosα=−35，sin(α−β)=sinαcos30°−cosαsin30°=45×√32+35×12=3+4√310． 故选：B ．利用任意角的三角函数的定义，求出α、β的三角函数值，然后利用两角差的正弦函数求解． 本题考查三角函数的定义的应用，两角差的正弦函数，考查计算能力．6.答案：B解析：本题主要考查由函数y =Acos(ωx +φ)的部分图象求解析式，函数y =Acos(ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的奇偶性，属于基础题．由周期求得ω，可得函数f(x)的解析式，再根据函数y =Acos(ωx +φ)的图象变换规律，可得结论． 解：由于函数f(x)=cos(ωx +φ)−sin(ωx +φ)=√2cos(ωx +φ+π4)的最小正周期为3π=2πω，求得ω=23，∴函数f(x)=√2cos(23x +φ+π4).再把f(x)的图象向左平移π4个单位，得到偶函数y =√2cos[23(x +π4)+φ+π4] =√2cos(23x +5π12+φ)，则满足题意的φ的一个可能值为−5π12， 故选B ．7.答案：C解析：试题分析：因为函数，所以因此结合不等式的性质，得到，可知函数的最大值为4.选C．考点：本题主要考查三角函数的性质中值域的求解运用。
2022-2023学年江苏省南通中学高一上学期期末模拟数学试题(一)带讲解
6.函数 的部分图象大致为（）
A. B.
C. D.
B
【分析】
取特殊区间进行判断函数在该区间上的正负，利用排除法可得答案
【详解】解：当 时， ， ，所以 ，当 时， ，
当 时， ， ，所以 ，所以排除A，C，
当 时， ， ，所以 ，所以排除D
故选：B
7.设 ， ， ，则（）
A. B.
C. D.
（1） ；（2）答案见解析.
【分析】
（1）根据周期求ω，利用对称轴求φ；
（2）选择①，先平移变换，后进行周期变换；选择②，先周期变换，后进行平移变换.
【详解】（1）由 ，知函数 的周期为π，
所以 ，即 .
由 ，知函数 的图象关于 对称
所以 ，即 ，所以 .
因为 ，所以 ，
所以 .
（2）方案①：
将 的图象向右平移 个单位后，得到 的图象；再将图象上所有点的横坐标变为原来的 ，纵坐标不变，得到 的图象
江苏省南通中学期末模拟（一）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知 ， ，则 （）
A. B.
C. D.
C
【分析】先求得集合 ，结合集合交集、补集的概念及运算，即可求解.
【详解】由不等式 ，解得 ，
可得集合 ， ，
可得 或 ，所以 或 ．
故选：C.
【详解】对于A，命题“ ， ”的否定是“ ， ”，故选项A错误；
对于B，命题“ ， ”的否定是“ ， ”，故选项B正确；
对于C，函数 在区间 上为连续不断的一条曲线，若 ，则函数 在区间 内有零点，反之不成立，比如： ，则易知 ，且在区间 上有两个零点，故选项C错误；
2025届江苏省南通市第一中学高三数学第一学期期末综合测试试题含解析
2025届江苏省南通市第一中学高三数学第一学期期末综合测试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．执行如下的程序框图，则输出的S 是（ ）A ．36B ．45C ．36-D ．45-2．已知函数()xe f x ax x =-，(0,)x ∈+∞，当21x x >时，不等式()()1221f x f x x x <恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,]e -∞B ．(,)e -∞C ．,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 3．运行如图所示的程序框图，若输出的i 的值为99，则判断框中可以填（ ）A ．1S ≥B ．2S >C ．lg99S >D ．lg98S ≥4．关于函数11()4sin 4cos 2323f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，有下述三个结论：①函数()f x 的一个周期为2π； ②函数()f x 在423,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增； ③函数()f x 的值域为[4,42]. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②B ．②C ．②③D ．③5．阅读下侧程序框图，为使输出的数据为，则①处应填的数字为A ．B ．C ．D ．6．已知双曲线2222:1(0)x y M b a a b -=>>的焦距为2c ，若M 的渐近线上存在点T ，使得经过点T 所作的圆222()a c y x +=-的两条切线互相垂直，则双曲线M 的离心率的取值范围是（ ）A ．(1,2]B ．(2,3]C ．(2,5]D ．(3,5]7．已知函数()()()2sin 0f x x b ωϕω=++>，88f x f x ππ+=-（）（），且58f π=（），则b =（ ） A ．3B ．3或7C ．5D ．5或88．若4log 15.9a =， 1.012b =，0.10.4c =，则（ ） A ．c a b >> B ．a b c >> C ．b a c >>D ．a c b >>9．已知集合U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{2，4}，B ＝{3，4}，则()()UU A B ＝（ ）A ．{3，5，6}B ．{1，5，6}C ．{2，3，4}D ．{1，2，3，5，6}10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5632a a a +=+，则7S =（ ） A ．28B ．14C ．7D ．211．在钝角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，B 为钝角，若cos sin a A b A =，则sin sin A C +的最大值为（ ） A ．2B ．98C ．1D ．7812．已知i 为虚数单位，若复数z 满足5i 12iz =-+，则z =（ ） A ．1i +B ．1i -+C ．12i -D ．12i +二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年江苏省南通市高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省南通市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若扇形的圆心角为2rad，半径为1，则该扇形的面积为（）A．12B．1C．2D．42．已知全集U＝R，集合A＝{x|﹣2≤x≤3}，B＝{x|x＜﹣1或x＞4}，则集合A∩（∁U B）＝（）A．{x|﹣1≤x≤3}B．{x|x≤3或x≥4}C．{x|﹣2≤x＜﹣1}D．{x|﹣2≤x＜4}3．函数f(x)=4x+9x+1，x∈（﹣1，+∞）的最小值为（）A．6B．8C．10D．124．若角θ的终边经过点P（1，3），则sinθcosθ+cos2θ＝（）A．−65B．−25C．25D．655．函数f（x）＝2log3x+2x﹣5的零点所在区间是（）A．（0，1）B．(1，32)C．(32，2)D．（2，3）6．设函数f(x)=sin(ωx+π4)(ω＞0)的最小正周期为T．若2π＜T＜3π，且对任意x∈R，f(x)+f(π3)≥0恒成立，则ω＝（）A．23B．34C．45D．567．已知函数f（x）的定义域为R，y＝2f（x）﹣sin x是偶函数，y＝f（x）﹣cos x是奇函数，则[f(x)]2+[f(π2+x)]2=（）A．5B．2C．32D．548．已知函数f（x）＝lg|x|﹣cos x，记a＝f（log0.51.5），b＝f（1.50.5），c＝f（sin（1﹣π）），则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列各式中，计算结果为1的是（）A．sin75°cos15°+cos75°sin15°B．cos222.5°﹣sin222.5°C．√3−tan15°1+√3tan15°D．tan22.5°1−tan222.5°10．若a＞b＞0，c＞d＞0，则（）A ．a ﹣c ＞b ﹣dB ．a （a +c ）＞b （b +d ）C ．d a+d＜c b+cD ．b+d b+c＜a+d a+c11．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ） A ．y =x −23B ．y ＝2|x |+1C ．y ＝x 2﹣x ﹣2D ．y ＝2x ﹣2﹣x12．如图，弹簧挂着的小球做上下振动，小球的最高点与最低点间的距离为10（单位：cm ），它在t （单位：s ）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度hcm 由关系式ℎ=Asin(πt +π4)确定，其中A ＞0，t ≥0．则下列说法正确的是（ ）A ．小球在往复振动一次的过程中，从最高点运动至最低点用时2sB ．小球在往复振动一次的过程中，经过的路程为20cmC ．小球从初始位置开始振动，重新回到初始位置时所用的最短时间为12sD ．小球从初始位置开始振动，若经过最高点和最低点的次数均为10次，则所用时间的范围是[2014，2114)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2025届江苏省南通市南通第一中学高三数学第一学期期末考试试题含解析
2025届江苏省南通市南通第一中学高三数学第一学期期末考试试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，1252a a +=，234+=a a ，则10S =（ ） A ．85B ．852C ．35D ．3522．函数()1sin f x x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭(x ππ-≤≤且0)x ≠的图象是（ ） A ． B ．C ．D ．3．秦九韶是我国南宁时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入n 、x 的值分别为3、1，则输出v 的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．104．O 是平面上的一定点，,,A B C 是平面上不共线的三点，动点P 满足+OP OA λ= ()·cos ?cos AB AC AB BAC C+，(0,)λ∈∞，则动点P 的轨迹一定经过ABC ∆的（ ）A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心5．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式1()3V S S S S h =+下下上上•）. A ．2寸B ．3寸C ．4寸D ．5寸6．集合{|20}N A x x B =-≤=，，则A B =（ ）A ．{}1B ．{}1,2C ．{}0,1D ．{}0,1,27．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，点()()0,0E t t >.已知动点P 在双曲线C 的右支上，且点2,,P E F 不共线.若2PEF ∆的周长的最小值为4b ，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是（ ）A ．23,3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭B ．231,3⎛⎤⎥ ⎝⎦C ．)3,⎡+∞⎣D ．(1,3⎤⎦8．已知集合A ＝{x ∈N |x 2＜8x }，B ＝{2，3，6}，C ＝{2，3，7}，则()AB C ⋃＝（ ）A ．{2，3，4，5}B ．{2，3，4，5，6}C ．{1，2，3，4，5，6}D ．{1，3，4，5，6，7}9．在5678(1)(1)(1)(1)x x x x -+-+-+-的展开式中，含3x 的项的系数是（ ） A ．74B ．121C ．74-D ．121-10．已知数列{}n a 的通项公式为22n a n =+，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记n b 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为（ ）A ．10112020B ．20192020C ．20202021D ．1010202111．已知函数()sin 22f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则函数()f x 的图象的对称轴方程为（ ） A ．,4x k k Z ππ=-∈B ．+,4x k k Z ππ=∈C ．1,2x k k Z π=∈ D ．1+,24x k k Z ππ=∈ 12．已知i 是虚数单位，则（ ） A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省南通第一中学2022-2023学年高一数学第一学期期末综合测试试题含解析
8
4
③在锐角 ABC 中， sin Asin B cos Acos B ；
④函数
f
(x)
sin
x
3
1 3
的最小正周期为
；
⑤函数
f
(x)
tan
2
x
3
1
的对称中心是
k 2
6
,1
，
k Z
，
其中正确命题的序号是________. 三、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。） 17．如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，∠BCD=60°，AB=2AD，PD⊥平面 ABCD，点 M 为 PC 的中点
条件的连续函数 ，存在点 ，使得
，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（ ）
A.
B.
C.
D.
2．函数
y
sin
1 2
x
(0π)是来自R上的偶函数，则
的值是
.π
A. 0
B.
4
π
C.
D. π
2
3．已知函数 f x sin2 x 4sin x 9 ，则函数 f x （）
sin x 2
1、C
【解析】根据已知定义，将问题转化为方程
有解，然后逐项进行求解并判断即可.
【详解】根据定义可知：若 有不动点，则
有解.
A．令
，所以
，此时无解，故 不是“不动点”函数；
B．令
，此时无解，，所以 不是“不动点”函数；
C．当 D．令
时，令 即，
，所以 或 ，所以
“不动点”函数；
2023-2024学年江苏省南通市海安市高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省南通市海安市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A＝{x|x＝2k﹣1，k∈Z}，B＝{﹣1，0，1}，则A∩B＝（）A．{﹣1，1}B．{1}C．{0，1}D．{﹣1，0，1}2．命题：“∃x∈R，x2+2x≤0”的否定是（）A．∀x∈R，x2+2x≤0B．∃x∈R，x2+2x≥0C．∀x∈R，x2+2x＞0D．∃x∈R，x2+2x＞03．若α的终边与−π6的终边垂直，且0＜α＜π，则cosα＝（）A．−12B．12C．−√32D．√324．已知某种放射性元素在一升液体中的放射量c（单位：Bq/L）与时间t（单位：年）近似满足关系式c＝k•a−t12（a＞0且a≠1）．已知当t＝12时，c＝100；当t＝36时，c＝25，则据此估计，这种放射性元素在一升液体中的放射量c为10时，t大约为（）（参考数据：log25＝2.32）A．50B．52C．54D．56 5．函数y＝|x﹣2|+|2x﹣2|的最小值为（）A．0B．1C．32D．26．已知函数f（x）在R上的图象不间断，则“∀x∈（0，+∞），f（x）＞f（0）”是“f（x）在（0，+∞）上是增函数”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件7．已知a＝sin1，b＝cos1，c＝tan1，d＝1，则（）A．a＜b＜c＜d B．a＜b＜d＜c C．b＜a＜c＜d D．b＜a＜d＜c8．已知函数y＝f（x）+x2为偶函数，y＝f（x）﹣2x为奇函数，则f（log23）＝（）A．53B．98C．32D．3二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．函数y=lgx−12x+1的零点所在的区间为（）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）10．已知x ＞0，则（ ） A ．x （2﹣x ）的最大值为1 B ．3−x −1x的最大值为1C ．2√x 2+4的最小值为2D ．x +4x+1的最小值为3 11．将函数y ＝cos2x 的图象沿x 轴向右平移π4个单位长度，再向上平移12个单位长度，得到函数g （x ）的图象，则（ ）A ．函数y ＝g （x ）的周期为πB ．g （x ）在（0，π2)上单调递增C ．g （x ）的图象关于直线x =3π4对称 D ．g （x ）的图象关于点（0，12）中心对称12．设定义在R 上的函数f （x ）满足：①当x ＜0时，f （x ）＜1；②f （x ）+f （y ）＝f （x +y ）+1，则（ ） A ．f （0）＝1B ．f （x ）为减函数C ．f （x ）+f （﹣x ）＝2D ．f （2x ）+f （2﹣x ）≥2f （1）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省南通市21-22学年高一上学期期末数学试卷(含答案解析)
江苏省南通市21-22学年高一上学期期末数学试卷班级：_________ 姓名：_________ 分数：_________一、单选题（本大题共8小题，共40分）1、已知集合A ={−2,−1,0,1,2}，B ={x|x 2−x −2<0}，则A ∩B =（ ）A. {−2,−1,0,1}B. {−1,0,1,2}C. {0,1}D. {−1,0}2、“a >b 2”是“√a >b ”的（ ）A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件3、将函数f(x)=sin(2x −π4)的图象向左平移π8个单位后得到函数y =g(x)的图象，则（ ）A. g(x)=sin(2x −π8) B. g(x)=sin2x C. g(x)=sin(2x −3π8) D. g(x)=−cos2x4、在平面直角坐标系xOy 中，P(x,y)(xy ≠0)是角α终边上一点，P 与原点O 之间距离为r ，比值rx叫做角α的正割，记作secα；比值r y 叫做角α的余割，记作cscα；比值x y 叫做角α的余切，记作cotα.四名同学计算同一个角β的不同三角函数值如下：甲：secβ=−54；乙：cscβ=53；丙：tanβ=−34；丁：cotβ=43．如果只有一名同学的结果是错误的，则错误的同学是（ ）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁5、若命题“∃x ∈R ，1−x 2>m ”是真命题，则实数m 的取值范围是（ ）A. (−∞,1)B. (−∞,1]C. (1,+∞)D. [1,+∞)6、已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，f(x)在[0,+∞)上递增，且f(2)=0，则不等式(x −1)f(x)>0的解集是（ ）A. (−∞,1)∪(2,+∞)B. (−2,1)∪(2,+∞)C. (−2,1)∪(1,2)D. (−∞,−2)∪(1,+∞)7、已知a =log 0.20.05，b =0.51.002，c =4cos1，则下列判断正确的是（ ）A. a <b <cB. b <c <aC. c <b <aD. b <a <c8、天文学上用绝对星等衡量天体的发光强度，目视星等衡量观测者看到的天体亮度，可用M =m +5lg32.62d近似表示绝对星等M ，目视星等m 和观测距离d(单位：光年)之间的关系．已知天狼星的绝对星等为1.45，老人星的绝对星等为−5.53，在地球某地测得天狼星的目视星等为−1.45，老人星的目视星等为−0.73，则观测者与天狼星和老人星间的距离比约为(100.54≈0.288,101.54≈34.67)（ ）A. 0.288B. 0.0288C. 34.67D. 3.467二、多选题（本大题共4小题，共20分）9、下列函数中是奇函数的是（ ）A. y =x 12 B. y =x −3C. y =cos(x +2021π2) D. y =√1−x 1+x−√1+x 1−x10、已知sin(x +π4)=−√55，x ∈(π2,π)，则（ ）A. cos(x +π4)=−2√55B. tan(x +π4)=2 C. cos(π4−x)=−√55D. sin(π4−x)=2√5511、已知a <b <0，c >0，则（ ）A. ca<cbB. c a 2<c b2C. b a<c−bc−aD.a 2b2<a 2+cb 2+c12、已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|≤π2)的一个对称中心为(π6,0)，则下列说法正确的是（ ）A. ω越大，f(x)的最小正周期越小B. 当ω=3k(k ∈N ∗)时，f(x)是偶函数C. 当ω>3时，∃x 0∈(0,π6)，|f(x 0)|=2D. 当2<ω<3时，f(x)在区间(5π12,π2)上具有单调性三、填空题（本大题共4小题，共20分）13、若f(x)={sin π6x,x ≤0log 2x,x >0，则f(f(14))=______．14、写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)：______． ①定义域为R ； ②f(x 2)=[f(x)]2；③f(−2)>f(1)．15、若x 2+2xy =4，且x ，y ∈[0,+∞)，则x +y 的最小值为______．16、分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形称为“勒洛三角形”，它在机械加工业上具有广泛用途．如图，放置在地面上的勒洛三角形ABC 与地面的唯一接触点恰好是弧AC ⏜的中点D ，已知正三角形ABC 的边长为2cm ，动点P 从A 处出发，沿着勒洛三角形按逆时针方向以每秒π3cm 的速度匀速运动，点P 在t(单位：秒)时距离地面的高度为y(单位：cm)，则当t =3秒时，y = cm ；当0≤t ≤2时，y = .(用t 表示)四、解答题（本大题共6小题，共70分）17、(本小题10.0分) (1)若tanα=−13，求sinα+2cosαcosα−sinα的值；(2)计算：(√2)−2+log 2(2+√2)−log 2(1+√2)． 18、(本小题12.0分)已知函数f(x)=2x−1+a ⋅2−x 是奇函数． (1)求a 的值；(2)判断函数f(x)的单调性，并证明． 19、(本小题12.0分)已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0<φ<π)的图象如图所示． (1)求A ，ω，φ的值；(2)当x ∈[−π,−π3]时，求函数f(x)的最值以及取得最值时x 的值．20、(本小题12.0分)某农民专业合作社在原有线下门店销售的基础上，不断拓展营销渠道，成立线上营销队伍，大力发展直播电商等网络销售模式通过调查，线下门店每人每月销售额为10千元：线上每月销售额y(单位：千元)与销售人数n(n∈N)之间满足y={n2+10n,0≤n≤201400−16000n,n>20.已知该农民专业合作社共有销售人员50人，设线上销售人数为x，每月线下门店和线上销售总额为w(单位：千元)，(1)求w关于x的函数关系式；(2)线上销售安排多少人时，该合作社每月销售总额最大，最大是多少千元？21、(本小题12.0分)在下列两个条件中任选一个补充在下面的问题中，并回答问题．①b为自变量x，c为关于b(即x)的函数，记为y；②c为自变量x，b为关于c(即x)的函数，记为y．问题：对于等式a b=c(a>0,a≠1)，若视a为常数，______，且函数y=f(x)的图象经过(2,12).(1)求f(x)的解析式，并写出f(|x|)的单调区间；(2)解关于x的不等式f(2x)+kf(x)−12≥0．22、(本小题12.0分)已知函数f(x)=4−msinx−3cos2x(m∈R)．(1)若关于x的方程f(x)=0在区间(0,π)上有三个不同解x1，x2，x3，求m与x1+x2+x3的值；(2)对任意x∈[−π6,π]，都有f(x)>0，求m的取值范围．参考答案及解析1.答案：C解析：本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．求出集合B，利用交集定义能求出A∩B．∵集合A={−2,−1,0,1,2}，B={x|x2−x−2<0}={x|−1<x<2}，∴A∩B={0,1}．所以选：C．2.答案：A解析：本题考查了充分必要条件的判断，考查了学生的运算能力，属于基础题．根据不等式的性质以及求解不等式的方法即可判断．若a=0，b=−1，则满足√a>b，而a=0<b2=1，所以由√a>b不能推出a>b2，当a>b2时，则√a>|b|，当b≥0时，√a>b，当b<0时，√a>−b>b，所以当a>b2时，有√a>b，所以“a>b2”是“√a>b“的充分不必要条件，所以选：A3.答案：B解析：本题考查的知识要点：三角函数的关系式的平移变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．直接利用三角函数的关系式的平移变换的应用求出结果．函数f(x)=sin(2x−π4)的图象向左平移π8个单位后得到函数g(x)=sin2x的图象．所以选：B．4.答案：D解析：当甲：secβ=−54错误时，乙：cscβ=53正确，此时ry =53，y =5k ，y =3k ，则|x|=4k ， ∴tanβ=yx =43或tanβ=−43，∴丙：tanβ=−34不正确，丁：cotβ=43不正确，故错误的同学不是甲；甲：secβ=−54，从而r =5k ，x =−4k ，|y|=3k ，(k >0)，此时，乙：cscβ=53；丙：tanβ=−34；丁：cotβ=43必有两个正确，一个错误，∵丙和丁应该同号，∴乙正确，丙和丁中必有一个正确，一个错误， ∴y =3k >0，x =−4k <0，∴tanβ=−34，cotβ=−43， 故丙正确，丁错误， 综上错误的同学是丁． 所以选：D ．当甲错误时，乙一定正确，从而推导出丙、丁均错误，与题意不符，故甲一定正确；再由丙丁必有一个错误，得到乙一定正确，由此利用三角函数的定义能求出结果．本题考查命题真假的判断，考查三角函数的概念等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.答案：A解析：若命题“∃x ∈R ，1−x 2>m ”是真命题， 即x 2+m −1<0有解，对应的判别式Δ>0，即Δ=−4(m −1)>0， 解得m <1， 所以选：A ．根据特称命题为真命题得到判别式Δ>0，即可得到结论．本题主要考查特称命题的应用，利用一元二次不等式与判别式△之间的关系是解决本题的关键．6.答案：B解析：本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．∵函数f(x)是定义在R 上的偶函数，f(x)在[0,+∞)上递增，f(2)=0， ∴函数f(x)在(−∞,0)上为减函数，且f(−2)=f(2)=0， 作出函数f(x)的草图，如图所示：则不等式(x −1)f(x)>0等价为{x −1<0f(x)<0或{x −1>0f(x)>0，解得−2<x <1或x >2，即不等式(x −1)f(x)>0的解集为(−2,1)∪(2,+∞)． 所以选：B ．7.答案：D解析：∵1=log 0.20.2<log 0.20.05<log 0.20．22=2，0.51.002<0.50=1，4cos1>4cos π3=2， ∴b <a <c ． 所以选：D ．根据对数函数、指数函数和余弦函数的单调性即可得出a ，b ，c 的大小关系．本题考查了对数函数、指数函数和余弦函数的单调性，减函数的定义，考查了计算能力，属于基础题．8.答案：B解析：本题考查了函数模型的实际应用，学生的数学运算能力，属于中档题．利用题中的数据，设出地球与天狼星的距离为d 1，地球与老人星的距离为d 2，即可解出． 设地球与天狼星的距离为d 1，地球与老人星的距离为d 2， 由题意可得{1.45=−1.45+5lg 32.62d 1−5.53=−0.73+5lg 32.62d2，∴{2.95=lg 32.62d 1−4.85=lg 32.62d2，∴−4.8+2.95=lgd 1d 2， ∴d1d 2=10−1.54≈0.0288，所以选：B ．9.答案：BCD解析：本题考查函数奇偶性的判断，注意函数的定义域，属于基础题． 根据题意，依次分析选项函数的奇偶性，综合可得答案． 根据题意，依次分析选项：对于A ，y =x 12=√x ，其定义域为[0,+∞)，不是奇函数，不符合题意，对于B ，设g(x)=−x 3，其定义域为R ，有g(−x)=−(−x)3=−(−x 3)=−g(x)，是奇函数，符合题意，对于C ，y =cos(x +2021π2)=cos(x +π2)=−sinx ，是奇函数，符合题意，对于D ，设g(x)=√1−x 1+x −√1+x 1−x，有{1+x1−x>01−x 1+x >0，解可得−1<x <1，即函数的定义域为(−1,1)，且g(−x)=√1+x1−x −√1−x1+x =−g(x)，函数y =√1−x1+x −√1+x1−x 是奇函数，符合题意， 所以选：BCD ．10.答案：AC解析：本题考查诱导公式，同角三角函数的基本关系，考查整体思想与运算求解能力，属于中档题． 依题意，可得x +π4∈(34π,5π4)，再结合sin(x +π4)=−√55，得到x +π4∈(π,5π4)，利用同角三角函数间的关系及诱导公式，对四个选项逐一判断可得答案． ∵x ∈(π2,π)，∴x +π4∈(3π4,5π4)，又sin(x +π4)=−√55，∴x +π4∈(π,5π4)，。
2019-2020学年江苏省南通市第一中学高一上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年江苏省南通市第一中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．函数()()lg 2f x x =+的定义域是（ ） A ．[2,)-+∞ B ．(2,)-+∞C ．(2,)+∞D ．[2,)+∞【答案】B【解析】根据对数函数的性质，只需20x +>，即可求解. 【详解】()()lg 2f x x =+Q , 20x ∴+>,解得2x >-，所以函数的定义域为(2,)-+∞， 故选：B 【点睛】本题主要考查了对数函数的性质，属于容易题. 2．sin 225︒的值为（ ）A ．2-B ．2C ．D 【答案】A【解析】把225o 变为18045+o o ，利用诱导公式()sin 180sin αα+=-o化简后，再利用特殊角的三角函数值即可得结果. 【详解】()sin 225sin 18045sin 452︒=︒+︒=-︒=-，故选A. 【点睛】本题主要考查诱导公式的应用以及特殊角的三角函数，属于简单题.对诱导公式的记忆不但要正确理解“奇变偶不变，符号看象限”的含义，同时还要加强记忆几组常见的诱导公式，以便提高做题速度.3．函数23cos()56y x π=-的最小正周期是（ ）A ．25π B ．52πC ．2πD ．5π【答案】D【解析】分析：直接利用周期公式求解即可. 详解：∵23cos 56y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，25ω=，∴2π5πT ω==．故选D点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，属于简单题.由 函数cos()y A x ωϕ=+可求得函数的周期为2πω；由x k ωϕπ+=可得对称轴方程；由2x k πωϕπ+=+可得对称中心横坐标.4．若向量,a b r r 不共线，且a mb +r r与()2b a -r r 共线，则实数m 的值为（A ．12B ．12-C ．2D ．2-【答案】B【解析】根据向量共线可得()2a mb k b a -+=r r r r，化简即可求出m 的值.【详解】因为向量,a b r r 不共线，且a mb +r r与()2b a -r r 共线，所以()2a mb k b a -+=r r r r ，即2b a mb ka k +=-r r r u u r，所以12m kk=⎧⎨=-⎩，解得12m =-， 故选：B 【点睛】本题主要考查了向量共线，属于容易题. 5．若1tan 3α=，1tan()2αβ+=，则tan β=（ ） A ．17-B ．17C ．67D ．76【答案】B【解析】利用角的变换()βαβα=+-，代入两角差的正切公式即可求解. 【详解】因为()βαβα=+-，所以11tan()tan 123()]=11+tan()t tan t an 716an[αβααβααβαβ-+-+-==+⋅+=, 故选：B 【点睛】本题主要考查了角的变换，两角差的正切公式，属于容易题. 6．要得到函数y ＝cos 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭的图象，只需将函数y ＝cos2x 的图象( ) A ．向左平移3π个单位长度 B ．向左平移6π个单位长度 C ．向右平移6π个单位长度D ．向右平移3π个单位长度【答案】B【解析】∵cos(2)cos[2()]36y x x ππ=+=+，∴要得到函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将函数cos2y x =的图像向左平移6π个单位． 选B ．7．已知角θ的终边经过点P （4，m ），且sinθ=35，则m 等于（ ） A ．﹣3 B ．3C ．163D ．±3【答案】B【解析】试题分析：3sin 5θ==，解得3m =. 【考点】三角函数的定义. 8．已知扇形圆心角为6π，面积为3π，则扇形的弧长等于（） A ．6πB ．4πC ．3π D ．2π 【答案】C【解析】根据扇形面积公式得到半径，再计算扇形弧长. 【详解】221122263S r r r παπ==⨯=⇒=扇形弧长263l r ππα==⨯=故答案选C 【点睛】本题考查了扇形的面积和弧长公式，解出扇形半径是解题的关键，意在考查学生的计算能力. 9．若02a π<<，3sin()35πα-=，则sin α的值（ ）A ．B ．310C D ．310-【答案】B【解析】利用角的变换()33ππαα=--,代入两角差的正弦公式即可求解. 【详解】 因为02a π<<，3sin()35πα-=， 所以032ππα<-<，故4cos()35πα-=，所以sin sin[()]sin cos()sin()cos 333333ππππππαααα=--=---431552=-⨯=， 故选：B 【点睛】本题主要考查了角的变换，两角差的正弦公式，属于中档题.10．已知正三角形ABC 边长为2，D 是BC 的中点，点E 满足AE 2ED =u u u v u u u v ，则EB EC ⋅=u u u v u u u v（） A ．13- B ．12-C ．23-D ．-1【答案】C【解析】化简2EB EC ED DB DC ⋅=+⋅u u ur u u u u u u v r u u u v u u u r ，分别计算3ED =，1DB DC ==，代入得到答案. 【详解】2EB EC ()()()ED DB ED DC ED ED DB DC DB DC ⋅=+⋅+=+⋅++⋅u u u v u u u u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r v u u u r u u u r正三角形ABC 边长为2，D 是BC 的中点，点E 满足AE 2ED =u u u v u u u v13AD ED DB DC =⇒===222EB EC (133ED DB DC ⋅=+⋅=-=-u u u r u u u r u u u r u u u v u u u v故答案选C 【点睛】本题考查了向量的计算，将2EB EC ED DB DC ⋅=+⋅u u ur u u u u u u v r u u u v u u u r 是解题的关键，也可以建立直角坐标系解得答案.11．如果函数y ＝f(x)在区间I 上是增函数，且函数()f x y x=在区间I 上是减函数，那么称函数y ＝f(x)是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”．若函数213()22f x x x =-+是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为( )A ．[1，＋∞)B ．[0C ．[0，1]D ．[1【答案】D【解析】由题意，求213()22f x x x =-+的增区间，再求()13122f x y x x x==-+的减区间，从而求缓增区间. 【详解】 因为函数213()22f x x x =-+的对称轴为x ＝1， 所以函数y ＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数， 又当x≥1时，()13122f x x x x=-+， 令13()122g x x x =-+(x ≥1)，则222133'()222x g x x x-=-=，由g′(x)≤0得1x ≤≤即函数()13122f x x x x=-+在区间上单调递减，故“缓增区间”I 为[1,3]， 故选D. 【点睛】该题考查的是有关新定义的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，属于简单题目. 12．已知3()|sin |2f x x π=，123,,A A A 为图象的顶点，O ，B ，C ，D 为()f x 与x 轴的交点，线段3A D 上有五个不同的点125,,,Q Q Q L ．记2(1,2,,5)i i n OA OQ i =⋅=u u u u r u u u u rL ，则15n n ++L 的值为（ ）A ．1532B ．45C ．452D ．1534【答案】C【解析】通过分析几何关系，求出230A OC ︒∠=，260A O C ︒∠=，再将i n 表示成222()=i i i n OA OQ OA OD DQ OA OD =⋅=⋅+⋅u u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r，结合向量的数量积公式求解即可【详解】解：由图中几何关系可知，32OE =,23A E =,23OA =21A C =230A OC ︒∠=∴260A O C ︒∠=，32//A D A C Q ,∴23OA DA ⊥，即23OA DA ⊥u u u u r u u u u r．则2222()cos 6i i i n OA OQ OA OD DQ OA OD OA OD π=⋅=⋅+=⋅=⋅u u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r ，1545352n n ++==L 答案选C 【点睛】本题结合三角函数考查向量的线性运算，找出两组基底向量2OA u u u u r ，OD uuu r是关键二、填空题13．已知向量()2,1a =r ，(),2b x =-r ，若//a b r r ，则a b +=r r___________.【答案】()2,1--【解析】根据向量平行可得b r，由向量坐标运算即可求解.【详解】//a b r r Q ,2(2)x ∴⨯-=,解得4x =-，(4,2)b ∴=--r，(2,1)(4,2)(2,1)a b ∴+=+--=--r r，故答案为：()2,1-- 【点睛】本题主要考查了平行向量，向量的坐标运算，属于容易题. 14．若幂函数()f x 的图象过点()4,2，则()8f =______.【答案】【解析】设()af x x =，将点()4,2代入函数()y f x =的解析式，求出实数a 的值，即可求出()8f 的值. 【详解】设()a f x x =，则()442af ==，得12a =，()12f x x∴=，因此，()128822f ==.故答案为22. 【点睛】本题考查幂函数值的计算，解题的关键就是求出幂函数的解析式，考查运算求解能力，属于基础题.15．给定两个长度为1的平面向量OA u u u r 和OB uuu r，它们的夹角为120o .如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧上变动.若,OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r其中,x y R ∈,则x y +的最大值是________.【答案】2 【解析】【详解】12x y OA OC -=⋅u u u r u u u r 12x y OB OC -+=⋅u u u r u u u r 2()22cos ,x y OA OB OC OD OC OD OC +=+⋅=⋅=<>u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r所以最大值为216．已知函数()21sin sin cos 2f x x x x =+-，下列结论中： ①函数()f x 关于8x π=-对称；②函数()f x 关于(,0)8π对称；③函数()f x 在3(,)88ππ是增函数，④将2y x =的图象向右平移34π可得到()f x 的图象． 其中正确的结论序号为______ ． 【答案】①②③【解析】把()f x 化成()()sin f x A wx ϕ=+的型式即可。
2022-2023学年江苏省南通市示范初中高一数学第一学期期末质量检测试题含解析
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.） 1．已知幂函数f （x ）=x a的图象经过点P （-2，4），则下列不等关系正确的是（ ） A.()()12f f -< B.()()33f f -< C.()()45f f >-D.()()66f f >-2．已知直线1:10l x y -+=和直线2:30l x y -+=，则1l 与2l 之间的距离是（） A.2 B.22C.2D.223．我国东汉数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，在“赵爽弦图”中，若AB a ＝，=AD b ，34AE AF =，则EF =（）A.3477a b + B.342525a b + C.432525a b + D.4377a b + 4．函数()2+ln f x x x =的图像大致为（ ）A. B.C. D.5．若G 是ABC 的重心，且AG AB AC λμ=+（λ，μ为实数），则λμ+=（ ） A.23B.1C.43D.536．已知函数()1424xx f x +=-+，[]1,1x ∈-，则函数()y f x =的值域为（）A.[)3,+∞B.[]3,4C.133,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．命题:p m R ∀∈，一元二次方程210x mx ++=有实根，则（ ） A.:p m R ⌝∀∈，一元二次方程210x mx ++=没有实根 B.:p m R ⌝∃∈，一元二次方程210x mx ++=没有实根 C.:p m R ⌝∃∈，一元二次方程210x mx ++=有实根 D.:p m R ⌝∀∈，一元二次方程210x mx ++=有实根8．已知{0,1,2,3,4}A =，{}05B x x =<<，则下列说法正确的是（ ） A.{1,2,3,4,5}B = B.A B ⊆ C.[0,5)AB = D.AB =∅9．已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的偶函数，当[]0,1x ∈时，()1f x x =+，则32f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A.32B.32-C.1 2D.12-10．已知两个非零向量a ，b 满足||||a b a b +=-，则下面结论正确的是 A.a b B.a b ⊥ C.||a b |=|D.a b a b +=-二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）11．已知函数()y f x =是定义在R 上的增函数，且(32)(2)+<f a f ，那么实数a 的取值范围为________ 12．已知集合{||1|3}A x x =-<，1|05x B x x -⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，则A B =________________.（结果用区间表示） 13．已知角α的终边过点()5,12-，则1cos sin 2αα+=___________. 14．圆()()22112x y -++=的圆心坐标是__________15．已知正实数x ,y ,且221x y +=，若333(,)()x y f x y x y +=+，则(,)f x y 的值域为__________三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16．田忌和齐王赛马是历史上有名的故事，设齐王的三匹马分别为、、A B C ，田忌的三匹马分别为a b c 、、 .三匹马各比赛一次，胜两场者为获胜.若这六匹马比赛的优劣程度可以用以下不等式表示：A a B b C c >>>>>. （1）如果双方均不知道对方马的出场顺序，求田忌获胜的概率；（2）为了得到更大的获胜概率，田忌预先派出探子到齐王处打探实情，得知齐王第一场必出上等马，那么，田忌应怎样安排出马的顺序，才能使自己获胜的概率最大？最大概率是多少？ 17．已知函数()()2cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭满足下列3个条件： ①函数()f x 的周期为π；②3x π=是函数()f x 的对称轴；③7012f π⎛⎫=⎪⎝⎭. （1）请任选其中二个条件，并求出此时函数()f x 的解析式； （2）若,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的最值. 18．（Ⅰ）设x ，y ，z 都大于1，w 是一个正数，且有l og x w=24，log y w=40，l og xyz w=12，求log z w（Ⅱ）已知直线l 夹在两条直线l 1：x-3y+10=0和l 2：2x+y-8=0之间的线段中点为P （0，1），求直线l 的方程 19．计算下列各式的值：（1）()2213540.0625sin 325π⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭；（2）2log 31)1log 1)4lg 0.01ln e+++.20．设函数()ln(2)f x x =-的定义域为A ，集合{}21xB x =>.（1）AB ；（2）若集合{}1x a x a <<+是AB 的子集，求实数a 的取值范围.21．已知函数()()e 1e xxf x a -=++ （1）若()f x 是偶函数，求a 的值；参考答案一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.） 1、A【解析】根据幂函数()af x x =的图像经过点()2,4P -，可得函数解析式，然后利用函数单调性即可比较得出大小关系【详解】因为幂函数()af x x =的图像经过点()2,4P -，所以()()224af -=-=，解得2a =， 所以函数解析式为：()2f x x =，易得()f x 为偶函数且在(),0-∞单调递减，在()0+∞，单调递增 A ：()()()112f f f -=<，正确； B ：()()33f f -=，错误； C ：()()()554f f f -=>，错误；D ：()()66f f =-，错误 故选A【点睛】本题考查利用待定系数法求解函数解析式，函数奇偶性和单调性的关系：奇函数在对应区间的函数单调性相同；偶函数在对应区间的函数单调性相反2、A【解析】利用平行线间的距离公式计算即可 【详解】由平行线间的距离公式得22|13|21(1)d -==+-故选：A 3、C【解析】利用平面向量的线性运算及平面向量的基本定理求解即可【详解】∵34AE AF =∴14EF AF AE AF =-=∵()3333394444416AF AB BF AB DE AB AE AD AB AD AE AB AD AF =+=-=--=+-=+- ∴2516AF ＝34AB AD + ∴AF ＝16122525AB +AD ， ∴14343425252525EF AF AB AD a b ==+=+ 故选：C 4、A【解析】先判断函数为偶函数排除BC ；再根据当0x →时，()f x →-∞ ，排除D 得到答案. 【详解】()()()222ln ln ln ()f x x x x f x x x x f x =+-=-+=+=-∴，偶函数，排除BC ； 当0x →时，()f x →-∞ ，排除D 故选A【点睛】本题考查了函数图像的识别，通过函数的奇偶性和特殊函数点可以排除选项快速得到答案. 5、A【解析】若AC 与BC 边的交点为M ,再由三角形中线的向量表示即可. 【详解】若AC 与BC 边交点为M ，则AC 为BC 边上的中线， 所以1()2AM AB AC =+， 又因为()2211133233AG AM AB AC AB AC ==⨯+=+，13λμ== 所以23λμ+= 故选:A【点睛】此题为基础题，考查向量的线性运算. 6、B【解析】根据给定条件换元，借助二次函数在闭区间上的最值即可作答.【详解】依题意，函数()2)(2224x xf x =-⨯+，[]1,1x ∈-，令2x t =，则2x t =在[]1,1x ∈-上单调递增，即122t ≤≤， 于是有2224(1)3y t t t =-+=-+，当1t =时，min 3y =，此时0x =，min ()3f x =，当2t =时，max 4y =，此时1x =，max ()4f x =， 所以函数()y f x =的值域为[]3,4. 故选：B 7、B【解析】根据全称命题的否定为特称命题可得出. 【详解】因为全称命题的否定为特称命题，所以:p m R ⌝∃∈，一元二次方程210x mx ++=没有实根. 故选：B. 8、C【解析】根据已知条件逐个分析判断【详解】对于A ，因为{}{}051,2,3,4,5B x x =<<≠，所以A 错误， 对于B ，因为0,0A B ∈∉，所以集合A 不是集合B 的子集，所以B 错误， 对于C ，因为{0,1,2,3,4}A =，{}05B x x =<<，所以[0,5)A B =，所以C 正确，对于D ，因为{0,1,2,3,4}A =，{}05B x x =<<，所以{}1,2,3,4A B =，所以D 错误，故选：C {}1,2,3,4A B =9、A【解析】依题意有311312222f f ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 10、B 【解析】2222,22,0a b a b a a b b a a b b a b +=-∴+⋅+=-⋅+∴⋅=，所以a b ⊥，故选B考点：平面向量的垂直二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）11、1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭【解析】利用函数单调性的定义求解即可. 【详解】由已知条件得322a +<，解得12a <-， 则实数a 的取值范围为1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭. 故答案为：1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.12、(1,4)【解析】先求出集合A ，B ，再根据交集的定义即可求出. 【详解】{}{}1324A x x x x =-<=-<<，{}1|0155x B x x x x -⎧⎫=<=<<⎨⎬-⎩⎭， {}()141,4A B x x ∴⋂=<<=.故答案为：(1,4). 13、113【解析】根据角终边所过的点,求得三角函数,即可求解. 【详解】因为角α的终边过点()5,12- 则5cos 13α==12sin 13α-==所以151121cos sin 21321313αα-⎛⎫+=+⨯=- ⎪⎝⎭ 故答案为:113【点睛】本题考查了已知终边所过的点,求三角函数的方法,属于基础题. 14、()1,1-【解析】根据圆的标准方程,即可求得圆心坐标. 【详解】因为圆()()22112x y -++=所以圆心坐标为()1,1- 故答案为: ()1,1-【点睛】本题考查了圆的标准方程与圆心的关系,属于基础题. 15、1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】因为221x y +=，所以()()()()()()()22332222332221331211222,21212212xy x y x xy y x y x xy y x xy y xyf x y x xy y xyxy xyx y x y x y -+++-++-+-+-=======-+++++++++. 因为2212,x y xy =+≥且x ,0y >.所以102xy <≤，所以1122xy <+≤， 所以33324122xy ≤<+,3112 14212xy≤-+<+.则(),f x y 的值域为1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭.三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16、 (1)16（2）田忌按c a b 、、或c b a 、、的顺序出马，才能使自己获胜的概率达到最大12【解析】（1）齐王与田忌赛马，有六种情况，田忌获胜的只有一种，故田忌获胜的槪率为16.（2）因齐王第一场必出上等马A ，若田忌第一场必出上等马a 或中等马b ，则剩下二场，田忌至少输一场，这时田忌必败.为了使自己获胜的概率最大，田忌第一场应出下等马c ，在余下的两场比赛中，田忌获胜的概率为12（余下两场是齐王的中马对田忌上马和齐王的下马对田忌的上马；齐王的中马对田忌下马和齐王的下马对田忌的中马，前者田忌赢，后者田忌输） 解析：记A 与a 比赛为(),A a ，其它同理. （1）齐王与田忌赛马，有如下六种情况：()()(),,,,,A a B b C c ；()()(),,,,,A a B c C b ； ()()(),,,,,A b B c C a ；()()(),,,,,A b B a C c ；()()(),,,,,A c B a C b ；()()(),,,,,A c B b C a ；其中田忌获胜的只有一种：()()(),,,,,A c B a C b .故田忌获胜的槪率为16. （2）已知齐王第一场必出上等马A ，若田忌第一场必出上等马a 或中等马b ，则剩下二场，田忌至少输一场，这时田忌必败.为了使自己获胜的概率最大，田忌第一场应出下等马c ，后两场有两种情形：①若齐王第二场派出中等马B ，可能的对阵为：()(),,,B a C b 或()(),,,B b C a .田忌获胜的概率为12， ②若齐王第二场派出下等马C ，可能的对阵为：()(),,,C a B b 或()(),,,C b B a .田忌获胜的概率也为12.所以，田忌按c a b 、、或c b a 、、的顺序出马，才能使自己获胜的概率达到最大12.17、（1）答案见解析，()2cos 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）最大值2；最小值2-. 【解析】(1)由①知22πωπ==，由②知3k πωϕπ+=，由③知7122k ππωϕπ⨯+=+，结合0,2πωϕ><即可求出()f x 的解析式. (2)由,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦可得233x πππ-≤+≤，进而可求出函数最值.【详解】解：（1）选①②，则222,3k ππωϕππ==+=，解得2,3k k Z πϕπ=-∈，因为2πϕ<，所以3πϕ=，即()2cos 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；选①③，22ππωω=⇒=，由72122k ππϕπ⨯+=+得2,3k k Z πϕπ=-∈，因2πϕ<，所以3πϕ=，即()2cos 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭； 选②③，724123T T πππω=-⇒=⇒=，由23k πϕπ+=得2,3k k Z πϕπ=-∈， 因为2πϕ<，所以3πϕ=，即()2cos 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. （2）由题意得，因为33x ππ-≤≤，所以233x πππ-≤+≤.所以当2=03x π+即6x π=-时，()2cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭有最大值2，所以当2=3x ππ+即3x π=时，()2cos 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭有最小值2-. 【点睛】本题考查了三角函数的周期，考查了三角函数的对称轴，考查了三角函数的值域，考查了三角函数表达式的求解，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用. 18、（Ⅰ）60；（Ⅱ）x+4y-4=0【解析】（Ⅰ）log x w=24，log y w=40，log xyz w=12，将对数式改写指数式，得到()122440,,x w y w xyz w ===.进而得出1125z w =．问题得解（Ⅱ） 设直线l 与12,l l 的交点分别为()11,A x y ，()22,B x y .可得11223100280x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，由,A B 的中点为()0,1P ，可得120x x +=， 122y y +=.将21x x =-， 212y y =-代入即可求解【详解】（Ⅰ）∵log x w=24，log y w=40，log xyz w=12， 将对数式改写为指数式，得到x 24=w ，y 40=w ，（xyz ）12=w从而，z 12=1212w x y =31102w w w =15w ，那么w=z 60，∴log z w=60（Ⅱ）设直线l 与l 1，l 2的交点分别为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）则11x 3y 100222x y 80-+=⎧+-=⎨⎩（*）∵A ，B 的中点为P （0，1）， ∴x 1+x 2=0，y 1+y 2=2．将x 2=-x 1，y 2=2-y 1代入（*）得11x 3y 100112x y 60-+=⎧++=⎨⎩，解之得1x 41y 2=-⎧=⎨⎩，2x 42y 0=⎧=⎨⎩，所以，k AB =2044---=-14， 所以直线l 的方程为y=-14x+1，即x+4y-4=0 【点睛】本题考查了指数与对数的互化、直线交点、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 19、（1）5.5 （2）5【解析】（1）根据指数运算法则化简求值； （2）根据指数、对数的运算法则化简求值. 【小问1详解】2213540.06252)sin 325π⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭()()23124532450.5(2)12=+-+0.5214 5.5=+-+=【小问2详解】2log 31)1log 1)4lg 0.01ln e+++ ()2log 32211)log 2lg10ln e --=+++ 22log 31221495=-+--=-+=20、（1）{}6x x ≥-；（2）01a ≤≤.【解析】（1）由函数的定义域、指数函数的性质可得{}62A x x =-≤<，{}0B x x =>，再由集合的并集运算即可得解；（2）由集合的交集运算可得{}02A B x x ⋂=<<，再由集合的关系可得012a a ≥⎧⎨+≤⎩，即可得解. 【详解】由6020x x +≥⎧⎨->⎩可得62x -≤<，所以{}62A x x =-≤<， {}{}210x B x x x =>=>，（1）所以{}6A B x x ⋃=≥-；（2）因为{}02A B x x ⋂=<<，所以{}{}102x a x a x x <<+⊆<<， 所以012a a ≥⎧⎨+≤⎩，解得01a ≤≤， 所以实数a 的取值范围为01a ≤≤.【点睛】本题考查了函数定义域及指数不等式的求解，考查了集合的运算及根据集合间的关系求参数，属于基础题.21、（1）0（2）(],3-∞【解析】（1）由偶函数的定义得出a 的值；（2）由()1f x a +分离参数得2e e 1e 1x x x a -+≤-，利用换元法得出2e e 1e 1x x x -+-的最小值，即可得出a 的取值范围 【小问1详解】因为()f x 是偶函数，所以()()f x f x -=，即()()e 1e e 1e x x x x a a --++=++，故0a =【小问2详解】由题意知()e 1e 1x x a a -++≥+在()0,∞+上恒成立，则()2e 1e e 1x x x a --+，又因为()0,x ∈+∞，所以e 1x >， 则2e e 1e 1x x x a -+≤-．令()e 10x t t -=>，则e 1x t =+， 可得()()22111111t t t t a t t t t+-++++≤==++， 又因为113t t ++≥，当且仅当1t =时，等号成立，所以3a ≤，即a 的取值范围是(],3-∞。
江苏省南通市崇川区高一上学期期末数学试题(解析版)
高一期末质量监测数学一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知角终边经过点，则的值为（）α()3,4P -sin αA.B. C.D. 3535-4545-【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的定义计算即可. sin yrα=【详解】因为角终边过点,所以,,,所以, α()3,4P -3x =4y =-5r OP ===4sin 5y r α==-故选：D.【点睛】本题考查三角函数的定义，是基础题.2. 已知集合，则等于（ ）{{},ln A x y B x y x ====A B ⋂A. B.C.D.(]0,1[)1,+∞[]0,1{}1【答案】A 【解析】【分析】分别求出集合，再根据交集的定义即可得解. ,A B【详解】解：，{{}[]2101,1A x y x x ===-≥=-，{}()ln 0,B x y x ∞===+所以. (]0,1A B = 故选：A.3. 若，则“”是“”的（ ） Z k ∈26x k ππ=+1sin 2x =A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】结合三角函数性质，根据充分不必要条件的定义判断即可.【详解】解：当，时，； 26x k ππ=+Z k ∈1sin 2x =反之，当时，或，.1sin 2x =26x k ππ=+526x k ππ=+Z k ∈所以，“”是“”的充分不必要条件.26x k ππ=+1sin 2x =故选：A4. 心理学家有时用函数测定在时间t （单位：min ）内能够记忆的量L ，其中A 表示需()()1ektL t A -=-要记忆的量，k 表示记忆率．假设一个学生需要记忆的量为200个单词，此时L 表示在时间t 内该生能够记忆的单词个数．已知该生在5min 内能够记忆20个单词，则k 的值约为（，ln0.90.105≈-）ln 0.1 2.303≈-A. 0.021 B. 0.221C. 0.461D. 0.661【答案】A 【解析】【分析】由题意得出，再取对数得出k 的值.()552001e 20,e 0.9kk---==【详解】由题意可知，所以，解得()552001e 20,e0.9k k---==5ln e ln 0.90.105k -=≈-0.021k ≈故选：A5. 已知，则的值为（ ） 22tan sin 2αα-=22tan sin ααA. 3 B. C. 2 D.1312【答案】C 【解析】【分析】结合同角三角函数的基本关系式，先求得，然后求得，进而求得. 2tan α2sin α22tan sin αα【详解】由于，22tan sin 2αα-=所以， 2222222sin tan tan tan 2sin cos tan 1ααααααα-=-=++两边乘以并化简得， 2tan 1α+42tan 2tan 20αα--=由于，所以解得，2tan 0α>2tan 1α=+所以，22sin tan 21αα=-=-所以.)22tan sin 112αα=-=故选：C6. 将函数的图象向右平移个长度单位，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐sin y x =π3标不变），得到函数的图象，则的解析式为（ ） ()y f x =()f x A. B. πsin 23x ⎛⎫-⎪⎝⎭πsin 26x ⎛⎫-⎪⎝⎭C.D.1πcos 26x ⎛⎫+⎪⎝⎭15πcos 26x ⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】根据三角函数图象变换以及诱导公式求得正确答案. 【详解】函数的图象向右平移个长度单位得到，sin y x =π3πsin 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到1πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.15ππ15πsin cos 26226x x ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：D7. 已知函数的定义域为为偶函数，在上单调递增，则不等式()f x 1,2f x ⎛⎫+⎪⎝⎭R ()f x 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭的解集为（ ）()()11f x f +>-A. B.C.D.()2,-+∞(),2-∞-()(),21,-∞-+∞ ()2,1-【答案】C 【解析】【分析】根据函数为偶函数，可得函数关于对称，从而可得出函数在12f x ⎛⎫+⎪⎝⎭()f x 12x =()f x 上单调递减，再根据函数得单调性解不等式即可.1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【详解】解：因为函数为偶函数， 12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭所以函数关于对称，则， ()f x 12x =()()12f f -=因为在上单调递增，()f x 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭所以函数在上单调递减，()f x 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭由不等式，()()11f x f +>-得或，解得或，12x +>11x +<-1x ><2x -所以不等式的解集为. ()()11f x f +>-()(),21,-∞-+∞ 故选：C.8.设，则（ ）34log 4log 3,345a a ba =++=A. B. 2ab >>2a b >>C. D.2b a >>2b a >>【答案】A 【解析】【分析】根据基本不等式，结合指数函数的单调性、函数单调性的性质进行判断即可. 【详解】因为，且， 34log 40,log 30>>34log 4log 3≠所以，即， 34log 4log 32+=>=2a >因为函数是单调递增函数， 3,4x x y y ==所以函数是单调递增函数， 34x x y =+所以当时，有， 2a >22343425a a +>+=因为，345a a b +=所以有，225525b b >=⇒>由， 35544535a ab a b a a -⎛⎫⎛⎫⇒+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=因为函数是单调递减函数， 34,55x xy y ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以函数是单调递减函数，()3455xxf x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为，所以， 2a >()()342151055a ab a f a f b a b a -⎛⎫⎛⎫<⇒+<⇒<⇒-<⇒< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因此， 2a b >>故选：A【点睛】关键点睛：根据等式的形式构造函数，利用指数函数的单调性是解题的关键.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 已知幂函数的图象经过点，则（ ） ()y f x =()4,2PA.()xf x =B. 的定义域为 ()f x [)0,∞+C. 的值域为 ()f x [)0,∞+D. 的解集为()2f x x >()0,1【答案】BCD 【解析】【分析】根据幂函数的定义，结合幂函数的性质逐一判断即可. 【详解】设，因为的图象经过点，()y f x x α==()y f x =()4,2P所以，显然选项A 不正确；()121422f x x αα=⇒=⇒==因为只有非负实数有算术平方根，所以的定义域为，因此选项B 正确； ()f x [)0,∞+因为，所以有，因此选项C 正确；0x ≥()0f x ≥由，所以选项D 正确， ()224300011x x f x x x x x x x ≥>⎧⎧>⇒>⇒⇒⇒<<⎨⎨>>⎩⎩故选：BCD10. 下列命题正确的是（ ）A. 若，则 a b >22a b >B. 若，则lg lg a c b c >a b >C. 若，则 0a b <<11a b >D. 若，则 c a b >>a bc a c b>--【答案】AC 【解析】【分析】根据不等式得性质即可判断ABC ，再利用作差法即可判断D. 【详解】解：对于A ，若，则，故A 正确； a b >22a b >对于B ，当时，， 110c =lg 1c =-若，则，故B 错误； lg lg a c b c >a b <对于C ，若，则，故C 正确； 0a b <<11a b>对于D ，， ()()()()()()()a cb bc a c a b a bc a c b c a c b c a c b -----==------当时，，此时，故D 错误.0c =()()()0c a b c a c b -=--a bc a c b=--故选：AC.11. 关于的不等式的解集可能是（ ） x ()()10a x x a --<A. B.C.D.()(),1,a -∞⋃+∞()(),1,a -∞⋃+∞()1,a ∅【答案】ACD 【解析】【分析】分类讨论的值，再按照二次不等式求解集可. a 【详解】解：当时，则，0a =x ∈∅当时，则， 0a >(1)()0(1)()0a x x a x x a --<⇔--<①若时，则， 1a >1x a <<②若时，则， 01a <<1<<a x ③若时，则，1a =x ∈∅当时，则，故或a<0(1)()0(1)()0a x x a x x a --⇔--x a <1x >综上，当，不等式的解集为， 0a =∅当时，不等式的解集为， 1a =∅当时，不等式的解集为， 1a >()1,a 当时，不等式的解集为，01a <<(),1a 当时，不等式的解集为， a<0()(),1,a -∞⋃+∞故选：ACD ．12. 对于任意两个正数，记曲线与直线轴围成的曲边梯形的面积为,()<u v u v 1y x=,,x u x v x ==(),L u v ，并约定和，德国数学家莱布尼茨（Le i bn i z ）最早发现．关(),0L u u =()(),,L u v L v u =-()1,ln L x x =于，下列说法正确的是（ ） (),L u v A. B.()11,4,842L L ⎛⎫=⎪⎝⎭()()1001002,31002,3L L =C.D. (),uuL u vv u >-()2,v uL u v u v<-【答案】ABD 【解析】【分析】根据所给新定义运算即可判断AB ，取特殊值判断C ，根据曲边梯形与梯形面积大小判断D. 【详解】由题意，所以， (1,)(,1)ln L x L x x =-=(,1)ln L x x =-当时，，1u >(,)(1,)(1,)ln ln L u v L v L u v u =-=-当时，， 1v <(,)(,1)(,1)(1,)(1,)ln ln L u v L u L v L v L u v u =-=-=-当时，， 1u v <<(,)(,1)(1,)(1,)(1,)ln ln L u v L u L v L v L u v u =+=-=-当或时，也成立， 1v =1u =(,)ln ln L u v v u =-综上，， (,)ln ln L u v v u =-对A ，，，即，故A 正确；1111,ln ln ln 24224L ⎛⎫=-=⎪⎝⎭()4,8ln 8ln 4ln 2L =-=()11,4,842L L ⎛⎫= ⎪⎝⎭对B ，，而，所以()010010101000ln 3ln 100(ln 3ln 2)2,32L -==-(2,3)ln 3ln 2L =-，故B 正确；()()1001002,31002,3L L =对C ，取，则，故C 错误；1,2u v ==(),(1,2)ln 2211u uL u v L ==<-=对D ，如图，因为，所以，S S <阴影梯形2211111(,)ln ln ()()222v u v u L u v v u v u v u uv u v -⎛⎫=-<-+==- ⎪⎝⎭即，故D 正确. ()2,v uL u v u v<-故选：ABD三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知扇形的周长为6，圆心角为，则该扇形的面积为__________． 1rad 【答案】 2【解析】【分析】设扇形的弧长为，半径为，然后根据已知建立方程求出，，进而可以求解． l r l r 【详解】解：设扇形的弧长为，半径为， l r 则，且，则，， 26l r +=1lr=2l =2r =所以扇形面积为. 1122222S lr =⨯=⨯⨯=故答案为：．214. 已知函数若，则的值为__________．()21log ,0,1,0,2x x x f x x ->⎧⎪=⎨⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎩()()1f f x =x 【答案】或 04【解析】【分析】利用换元法，结合函数的解析式进行代入求解即可. 【详解】令，即.()f x t =()1f t =当时，，即，0t >()21log 12f t t t =⇒=⇒=()2f x =当时，，符合题意；0x >()22log 240f x x x =⇒=⇒=>当时，，符合题意；0x ≤()112202x f x x -⎛⎫=⇒=⇒= ⎪⎝⎭当时，，不符合题意，0t ≤()1111102t f t t -⎛⎫=⇒=⇒=> ⎪⎝⎭故答案为：或 0415. 已知，且，则的值为__________． ()1cos 753α︒+=18090α-︒<<-︒()cos 15α︒-【答案】 【解析】【分析】由，结合已知即可求解． cos(15)cos[90(75)]sin(75)ααα︒-=︒-︒+=︒+【详解】解：且， 1cos(75)3α︒+=18090α-︒<<-︒，1057515α∴-︒<+︒<-︒sin(75)α∴︒+=则． cos(15)cos[90(75)]sin(75)ααα︒-=︒-︒+=︒+=故答案为： 16. 设函数，则在上的最小值为__________；若的定义域与值域都是()()21f x x x =-+()f x R ()f x ，则__________．[],a b a b +=【答案】 ①. ②. 或 94-4-2-54【解析】【分析】将表示为分段函数的形式，画出的图象，结合二次函数的知识求得在上的()f x ()f x ()f x R 最小值.对进行分类讨论，根据定义域与值域都是列式，化简求得.x [],a b a b +【详解】()()()()()()()()21,12121,1021,0x x x f x x x x x x x x x ⎧⎡⎤---+≤-⎣⎦⎪⎪=-+=--+-<<⎨⎪-+≥⎪⎩，22232,132,102,0x x x x x x x x x ⎧++≤-⎪=----<<⎨⎪--≥⎩22231,12431,102419,024x x x x x x ⎧⎛⎫+-≤-⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎛⎫=-++-<<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎪--≥ ⎪⎪⎝⎭⎩画出的图象如下图所示，结合图象以及二次函数的性质可知：()f x 在上的最小值为.()f x R 1924f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭依题意，的定义域与值域都是， ()f x [],a b （1）当时，在上递减， 32a b <≤-()f x [],a b 所以，()(),f a b f b a ==即，两式相减并整理得.223232a a b b b a ⎧++=⎨++=⎩4a b +=-（2）当时，在上的最小值为，312a b <-<<-()f x [],a b 3124f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭因为的值域为，所以与矛盾. ()f x [],a b 14a =-32a <-（3）当时，在递增，， 312a b -≤<≤-()f x [],a b ()(),f a a f b b ==所以，，两式相减并整理得与矛盾.223232a a a b b b⎧++=⎨++=⎩2a b +=-1a b <≤-（4）当时，在的最大值为， 212a b -≤<-<≤()f x [],a b 0所以，区间为，所以的最小值为， 0b =[],0a ()f x ()02f =-所以，所以.2a =-2a b +=-（5）当时，在递减，，10a b -<<<()f x [],a b ()(),f a b f b a ==，两式相减并整理得，与矛盾. 223232a a b b b a ⎧---=⎨---=⎩2a b +=-10a b -<<<（6）当，在递减，， 102a b ≤<≤()f x [],a b ()(),f a b f b a ==，两式相减并整理得与矛盾. 2222a a b b b a⎧--=⎨--=⎩0a b +=102a b ≤<≤（7）当时，在的最小值为， 12a b <<()f x [],a b 94-所以，， 94a =-()29931514424162f a f b ⎛⎫⎛⎫=-=-+-=<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以的最大值为，解得（负根舍去）， ()f x ()22f b b b b =--=1b =所以. 54a b +=-（8）当时，在递增，， 12a b <<()f x [],a b ()(),f a a f b b ==所以，由于，所以，与矛盾. 2222a a a b b b⎧--=⎨--=⎩a b <110b a =+=<12a b <<综上所述，的值为或. a b +4-2-54故答案为：；或 94-4-2-54【点睛】本题的难点有两个，一个是是含有绝对值的函数，在处理时，利用零点分段法去绝对值，()f x 将表示为分段函数的形式，由此可画出的图象并研究其性质.第二个难点在于在上()f x ()f x ()f x [],a b 的值域为，解决的办法是分类讨论.[],a b 四､解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步聚．17. 求值：（1）；． ()2130222749(3)π38-⎛⎫--⨯+- ⎪⎝⎭（2）．23ln 2lg0.001(lg5)lg2lg50e +++【答案】（1）314（2）6【解析】【分析】（1）根据指数运算求得正确答案.（2）根据对数运算求得正确答案.【小问1详解】()2130222749(3)π38-⎛⎫--⨯+- ⎪⎝⎭2332137132⎡⎤⎛⎫=-⨯+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 22213131883244=-⨯=-=【小问2详解】23ln 2lg0.001(lg5)lg2lg50e +++ ()()323ln 2lg10lg 5lg 2lg 5lg10e -=++++()23lg 5lg 2lg 5lg 28=-++++ ()5lg 5lg 5lg 2lg 2=+++5lg 5lg10lg 2=++5lg 5lg 2=++.5lg10516=+=+=18. 已知，．{}2650A x x x =-+≤{}10B x ax =-≥（1）若，求； 12a =()R A B I ð（2）从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面横线()B A =R R ðA B A = ()A B =∅R ð上，并进行解答．问题：若__________，求实数的取值范围．a 【答案】（1）[)1,2（2）[)1,+∞【解析】【分析】（1）解不等式可分别求得集合，由补集和交集定义可求得结果；,A B （2）根据条件中的交集、并集结果都可以确定，分别在、和的情况下，根据包含A B ⊆0a =0a >a<0关系可构造不等式求得结果.【小问1详解】由得：，即；2650x x -+≤15x ≤≤[]1,5A =当时，由得：，即，， 12a =1102x -≥2x ≥[)2,B =+∞(),2B ∴=-∞R ð.()[)1,2A B ∴=R ð【小问2详解】由（1）知：；[]1,5A =若选条件①，，()(),15,A =-∞+∞R ð若，则，即；()B A =R R ð[]1,5B ⊆A B ⊆当时，，不合题意；0a =B =∅当时，，则，解得：； 0a >1,B a ⎡⎫=+∞⎪⎢⎣⎭11a≤1a ≥当时，，则，解得：（舍）； a<01,B a ⎛⎤=-∞ ⎥⎝⎦15a ≥105a <≤综上所述：实数的取值范围为；a [)1,+∞若选条件②，，；A B A =Q I A B ∴⊆当时，，不合题意；0a =B =∅当时，，则，解得：； 0a >1,B a ⎡⎫=+∞⎪⎢⎣⎭11a≤1a ≥当时，，则，解得：（舍）； a<01,B a ⎛⎤=-∞ ⎥⎝⎦15a ≥105a <≤综上所述：实数的取值范围为；a [)1,+∞若选条件③，，； ()A B =∅R ðA B ∴⊆当时，，不合题意；0a =B =∅当时，，则，解得：； 0a >1,B a ⎡⎫=+∞⎪⎢⎣⎭11a ≤1a ≥当时，，则，解得：（舍）； a<01,B a ⎛⎤=-∞ ⎥⎝⎦15a ≥105a <≤综上所述：实数的取值范围为.a [)1,+∞19. 求解下列问题： （1）已知，求的值． tan 2α=()()πcos 2sin cos 2πααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭-+-（2）已知，求的值． 1πsin cos ,π32ααα+=<<11sincos αα-【答案】（1）2（2【解析】【分析】（1）利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式求得正确答案.（2）求得，从而求得正确答案.cos sin ,sin cos αααα-【小问1详解】()()πcos 2sin cos 2πααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭-+-. sin tan 22sin cos tan 121ααααα---====-+-+-+【小问2详解】由两边平方得1sin cos 3αα+=2214sin 2sin cos cos 12sin cos ,sin cos 99αααααααα++=+==-， 由于，所以， ππ2α<<sin 0,cos 0,cos sin 0αααα><-<所以cos sin αα-=，===所以11cos sin 4sin cos sin cos 9αααααα--===20. 已知函数． ()π2sin 214f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（1）求函数的最小正周期､图象的对称中心及其单调减区间；()f x （2）求函数在上的最值及其对应的的值． ()f x ππ,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦x 【答案】（1）答案见解析（2）当或时，函数有最小值为，当时，函数有最大值为. π4x =-π21-π8x =3【解析】【分析】（1）根据正弦函数的性质求解即可；（2）根据三角函数在给定区间上的最值分布求解即可.【小问1详解】最小正周期为, 2ππ2T ==由解得， π2π,Z 4x k k +=∈ππ,Z 82k x k =-+∈所以对称中心为， ππ,128k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,Z k ∈由，解得， ππ3π2π22π,Z 242k x k k +≤+≤+∈π5πππ,Z 88k x k k +≤≤+∈所以函数的减区间为， π5ππ,π,Z 88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【小问2详解】因为，所以， ππ,42x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π2,π2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦所以， ππ5π2,444x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦所以当或，即或时， ππ244x +=-5π4π4x =-π2函数有最小值为，1-当，即时， ππ242x +=π8x =函数有最大值为.123+=21. 已知函数是奇函数． ()(01)x xf x a ma a -=+<<（1）求实数的值；m （2）已知不等式对任意都成立，求实数的取值范围． ()()2122f nx n x a a-++≤-[]2,2x ∈-n 【答案】（1）1m =-（2） 1,42⎡+⎢⎣【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性求得正确答案.（2）根据的单调性化简不等式，对进行分类讨论，结合二次函数()f x ()()2122f nx n x a a-++≤-n 的性质求得的取值范围.n 【小问1详解】依题意可知是定义在上的奇函数，()f x R 所以.经检验满足题意.()010,1f m m =+==-【小问2详解】由（1）得，由于，所以在上单调递减， ()1x xf x a a =-01a <<()f x R ， ()11f a a-=-所以不等式对任意都成立， ()()()21221f nx n x a f a -++≤-=-[]2,2x ∈-所以对任意都成立，()2221nx n x -++≥-[]2,2x ∈-对任意都成立，()2230nx n x -++≥[]2,2x ∈-当时，，不符合， 0n =3230,2x x -+≥≤当时，，0n ≠()2221284n n n n ∆=+-=-+由解得；由解得或.0∆≤44n -≤≤+0∆>4n <-4n >+当时，要使对任意都成立， 0n <()2230nx n x -++≥[]2,2x ∈-则需，此不等式组无解. ()()0Δ04223042230n n n n n <⎧⎪>⎪⎨+++≥⎪⎪-++≥⎩当，函数的开口向上，对称轴， 0n >()223y nx n x =-++2111222n x n n +==+>要使对任意都成立， ()2230nx n x -++≥[]2,2x ∈-则需或， 0Δ0n >⎧⎨≤⎩()0Δ0112242230n n n n >⎧⎪>⎪⎪⎨+>⎪⎪-++≥⎪⎩解得或44n-≤≤+142n ≤<-综上所述，的取值范围是. n 1,42⎡+⎢⎣【点睛】根据函数的奇偶性求参数，如果函数是奇函数，可以用来求解，如果函数是定()()f x f x -=-义在上的奇函数，则可用来求解.如果函数是偶函数，可以用来求解.一元二次R ()00f =()()f x f x -=不等式在某区间上恒成立问题，要注意对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.22. 已知指数函数满足．()f x ()()112f f --=（1）求的解析式；()f x （2）设函数，若方程有4个不相等的实数解()()()2g x f x kf x =+()()100g x g x +-+=1234,,,x x x x ．（i ）求实数的取值范围；k （i i ）证明：．12344x x x x +++<【答案】（1） ())1xf x =（2）（i ）；（i i ）证明详见解析(6,--【解析】【分析】（1）根据指数函数的知识求得的解析式.()f x （2）利用换元法，结合指数函数二次函数的性质以及基本不等式求得的取值范围.结合图象、对称性以k 及放缩法证得.12344x x x x +++<【小问1详解】设（且）， ()x f x a =0a >1a ≠由于，所以， ()()112f f --=212,210a a a a-=--=由于且，所以解得， 0a >1a ≠1a =+所以. ())1xf x =【小问2详解】（i ）， ()()()))2211x xg x f x kf x k =+=+++方程有4个不相等的实数解．()()100g x g x +-+=1234,,,x x x x即①有4个不相等的实数解．))))221111100x x x x k k --+++++++=1234,,,x x x x令，则，))11x x t -=++))222112x x t -=+++，))112x x t -=+++≥=当且仅当时等号成立. ))11,0x xx -+==所以①化为②，2221080t kt t kt -++=++=对于函数，， ()))11x x h x -=+++()))()11x x h x h x --=+++=所以是偶函数，图象关于轴对称， ()h x y 当时，令，，， 0x>)1x v =+1v >()1m v v v =+任取，， 121v v <<()()()()121212121212111v v v v m v m v v v v v v v ---=+--=其中，()()121212120,1,10,0v v v v v v m v m v -<>->-<，所以在上递增，()()12m v m v <()m v ()1,+∞根据复合函数单调性同增异减可知在上递增；()h x ()0,∞+由于是偶函数，所以在上递减.()h x ()h x (),0∞-所以的最小值是.()h x ()02h =所以方程②在上有两个不同的实数根，()2,+∞所以，解得22Δ320222280k k k ⎧=->⎪⎪->⎨⎪++>⎪⎩6k -<<-所以的取值范围是.k (6,--（i i ）由于是偶函数，图象关于轴对称，()h x y 所以不妨设，31420,0x x x x =->=->所以要证明，12344x x x x +++<即证明，即证明.()3424x x +<342x x +<设方程②的两个不同的实数根为，则，12,t t 1212,8t t k t t +=-⋅=， ()2222121212216t t t t t t k +=+-=-由整理得，))()110x x t x -=++>))()211100x xt x +-⋅++=>解得舍去）， )1x+=34,x x所以，1x =则，3411x x +=+1⎡⎤⎢⎥=⋅⎢⎥⎣⎦1=⎣⎦1=⎣⎦1<⎣⎦1=⎣⎦1=，1=由于， ()2632,36k k -<<-∈所以11<，()2111312==+=+=即，所以．342x x +<12344x x x x +++<【点睛】本题的主要难点有两个，一个是根据方程的根的个数求参数的取值范围，涉及到了二次函数的性质、指数型复合函数以及函数的奇偶性.第二个难点是不等式的证明，首先根据奇偶性将所证明的不等式简化，然后通过解复杂的指数方程，再结合基本不等式、放缩法等知识来证得结论成立.基本不等式的变形：，右侧部分还可变形为. 22222a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭a b +≤。
江苏省南通市高一上学期期末数学试卷(A卷)
江苏省南通市高一上学期期末数学试卷（A卷）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高一上·鲁山月考) 若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是（）A .B .C .D .3. （2分）已知两条直线ax+y﹣2=0和3x+（a+2）y+1=0互相平行，则实数a等于（）A . 1或﹣3B . ﹣1或3C . 1或3D . ﹣1或﹣34. （2分）已知a=21.2 ， b=（）﹣0.8 ， c=2log52，则a，b，c的大小关系为（）A . c＜b＜aB . c＜a＜bC . b＜a＜cD . b＜c＜a5. （2分） (2017高三下·深圳模拟) 直线是圆的一条对称轴，过点作斜率为1的直线，则直线被圆所截得的弦长为（）A .B .C .D .6. （2分）设方程与方程(其中e是自然对数的底数)的所有根之和为,则（）A .B .C .D .7. （2分）(2017·成都模拟) 已知m，n是空间中两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，且m⊂α，n⊂β．有下列命题：①若α∥β，则m∥n；②若α∥β，则m∥β；③若α∩β=l，且m⊥l，n⊥l，则α⊥β；④若α∩β=l，且m⊥l，m⊥n，则α⊥β．其中真命题的个数是（）A . 0B . 1C . 2D . 38. （2分）函数与的图像交点的横坐标所在区间为（）A .B .C .D .9. （2分） (2018高二上·万州月考) 如图，直三棱柱，，且，则直线与直线所成角的余弦值为（）．A .B .C .D .10. （2分）设，则（）A . c<b<aB . c<a<bC . a<b<cD . a<c<b11. （2分） (2019高二上·海口月考) 设函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则，的大小关系是（）A .B .C .D . 无法比较12. （2分）已知an=log（n+1）（n+2）（n∈N*）．我们把使乘积a1•a2•a3•…•an为整数的数n叫做“完美数”，则在区间（1，2016）内的所有完美数的和为（）A . 1024B . 2003C . 2026D . 2048二、填空题 (共8题；共11分)13. （1分）方程（x+y﹣1）=0所表示的曲线是________14. （1分）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为________．15. （2分） (2020高二上·温州期末) 已知圆和圆外切，则的值为________，若点在圆上，则的最大值为________．16. （2分） (2020高三上·洛南月考) 已知且，函数图像恒过点，若在幂函数图像上，则点坐标为________， ________.17. （1分） (2016高一下·宁波期中) 已知三个球的半径R1 ， R2 ， R3满满足R1+R3=2R2 ，记它们的表面积分别为S1 ， S2 ， S3 ，若S1=1，S3=9，则S2=________．18. （1分） (2019高一上·都匀期中) 若不等式，则不等式的解集为________.（用集合或区间表示）19. （1分）若f（x）=2x+a•2﹣x为奇函数，则a=________ ．20. （2分） (2019高二上·宁波期中) 《九章算术》中的“邪田”意为直角梯形，上、下底称为畔，高称为正广，非高腰边称为邪。
2022-2023学年江苏省南通市南通中学数学高一上期末教学质量检测试题含解析
由题意得 ，
得 ，
所以至少需要5次提炼，
故选：A.
9、A
【解析】函数在定义域内单调递减，排除B，单调区间不能用并集连接，排除CD.
【详解】 定义域为R，且在定义域上单调递增，满足题意，A正确；
定义域为 ，在定义域内是减函数，B错误；
定义域为 ，而 在 为单调递增函数，不能用并集连接，C错误；
故答案为：2
14、 ##0.6
【解析】 ，根据三角函数诱导公式即可求解.
【详解】 ＝ .
故答案为： .
15、
【解析】设两球半径分别为 ，由 可得 ，所以 ．即两球的表面积之比为
考点：球的表面积，体积公式．
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16、（1） ；（2）最小值
（1）求集合P7中元素的个数；
（2）若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”．求n的最大值，使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并
参考答案
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1、D
【解析】 详解】A.若l1∥α，l2∥α，则两条直线可以相交可以平行，故A选项不正确；
7、B
【解析】直接利用两个集合的交集的定义求得M∩N
【详解】集合M={x|x+1≥0}={x|x≥-1}，N={x|x2＜4}={x|-2＜x＜2}，则M∩N={x|-1≤x＜2}，故选B
【点睛】本题主要考查两个集合的交集的定义和求法，属于基础题
8、A
【解析】根据题意列出相应的不等式，利用对数值计算可得答案.
2019-2020学年江苏省南通市高一上学期期末数学试题及答案解析
2019-2020学年江苏省南通市高一上学期期末数学试题及答案解析一、单选题1．设集合{}|11M x x =-<<，{}02|N x x =≤<，则M N ⋃等于（ ） A ．{}|12x x -<< B ．{}|01x x ≤< C ．{}1|0x x << D ．{}|10x x -<<【答案】A【解析】根据集合并集运算，即可求解. 【详解】{}|11M x x =-<<，{}02|N x x =≤<∴{}12M N x x ⋃=-<<故选：A 【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题. 2．cos960︒等于（ ）A ．BC ．12-D ．12【答案】C【解析】根据三角函数诱导公式，化简求值. 【详解】由题意1cos960cos(720240)cos(18060)cos602=+=+=-=-故选：C 【点睛】本题考查三角函数诱导公式，属于基础题.3．已知点()1,2A ，()3,4B ，则与AB 共线的单位向量为（ ）A．22⎛ ⎝⎭B．22⎛-- ⎝⎭C．⎝⎭或⎛ ⎝⎭D ．()2,2【答案】C【解析】由题意写出()2,2AB =.可设与AB 共线的单位向量(),e m m =，由1e =，即可求解.【详解】 由题意()2,2AB =设与AB 共线的单位向量(),e m m =， 又1e =1=解得212m =，2m =±故2,e ⎛= ⎝⎭或2,e ⎛=- ⎝⎭故选：C 【点睛】本题考查向量共线的坐标运算，属于基础题. 4．已知函数1123,0()log (1),0x x f x x x -⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，则[(3)]f f 等于（ ）A ．27-B ．127C ．3D ．9【答案】B【解析】由分段函数代入即可求解 【详解】 由题意()()11223log 31log 42f =+==-()()21132327f f f --⎡⎤=-==⎣⎦ 故选：B 【点睛】本题考查分段函数求值，属于基础题. 5．在ABC 中，D 为边BC 上的一点，且3BD DC =，则AD =()A ．3144AB AC + B ．1344AB AC + C ．1344AB AC -D ．3144AB AC - 【答案】B【解析】D 为边BC 上的一点，且3BD DC =，D 是四等分点，结合AD AB BD =+，最后得到答案． 【详解】∵D 为边BC 上的一点，且3BD DC =，∴D 是四等分点，()33134444AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，故选：B ． 【点睛】本题考查了向量的线性运算及平面向量基本定理的应用，属于基础题.6．已知幂函数y ＝f （x ）的图象过点（2），则()2log 2f的值为（ ）A ．12B ．1C ．12-D ．1-【答案】A【解析】先求幂函数的表达式，进而求值即可. 【详解】设幂函数f （x ）＝x α， 因为幂函数的图象经过点（2，所以2α=α12=，则幂函数的解析式为()f x =∴()2f =，()221log 2log ,2f ==故选：A 【点睛】本题考查幂函数的求法，考查函数值的求法及对数运算，属于基础题.7．已知角α的终边过点()1,1P -，则sin 2cos 2sin cos αααα+-等于（ ）A ．13B ．13-C ．3D ．3-【答案】B【解析】由题意，根据三角函数定义，可知tan 1α=-，再将分式上下同除cos α，即可求解. 【详解】由题意，角α终边过点()1,1P -tan 1α∴=-原式sin cos 2sin cos αααα+=-tan 22tan 1αα+=-121213-+==---故选：B本题考查齐次式求值，属于基础题.8．求值：222sin sin cos 33ππααα⎛⎫⎛⎫-++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A ．12- B ．12C ．0D ．1-【答案】B【解析】由题意，先根据三角函数两角和与差的正弦公式，化简，即可求值. 【详解】222sin sin cos 33ππααα⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22211sin sin cos 22ααααα⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 222132sin cos cos 44ααα⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦22213sin cos cos 22ααα=+- 2211sin cos 22αα=+ 12= 故选：B 【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式，三角函数的化简与求值，考察计算能力，属于中等题型.9．函数()y f x =是定义域为R ，周期为2的函数，且当[)1,1x ∈-时，()21f x x =-；已知函数()lg ||g x x =，则函数()()y f x g x =-在区间[]7,10-内的零点个数为（ ） A ．11B ．13C ．15D ．17【解析】根据函数的周期性，作出函数()f x 和()g x 的图象，观察图像，即可得到两个函数公共点的个数. 【详解】函数()y f x =是定义域为R ，周期为2的函数，且当[)1,1x ∈-时，()21f x x =-；∴作出函数()f x 的图象如图：()lg ||g x x =，定义域()(),00,-∞⋃+∞∴在同一直角坐标系内，作出函数()g x 的图象如图：当910x ≤≤时，1100x -≤-≤ 则()()()210110f x f x x =-=--此时()()101,101f g ==()()90,9lg9f g ==故由图象可知两个图象的交点个数为15个. 故选：C 【点睛】本题考查函数周期性、对数函数运算，考查函数与方程思想、数形结合思想，综合性较强，有一定难度.10．平行四边形ABCD 中，已知4AB =，3AD =，60BAD ∠=︒，点E ，F 分别满足AE ED λ=，DF FC =，若6AF BE ⋅=-，则λ等于（ ） A ．23B ．13C ．1D ．2【解析】利用平行四边形法则，将AF BE ⋅分别利用平行四边形的相邻两边表示，然后利用已知计算向量的数量积，列出方程求解参数. 【详解】由题意4AB =，3AD =，60BAD ∠=︒216AB ∴=，29AD =，43cos606AB AD ⋅=⨯⋅=由图知12AF AD DF AD AB =+=+AE ED λ=1AE AD λλ∴=+1BE BA AE AB AD λλ∴=+=-++则121AF BE AB AD AB AD λλ⎛⎫⎛⎫⋅=+-+ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭()221262121AB AD AB AD λλλλ--=-++⋅=-++ 代入，得()92866121λλλλ+-+-⋅=-++ 解得2λ= 故选：D 【点睛】考查几何图形中的向量表达，化成同一组基底进行数量积的运算，典型题，考查热点，本题属于中等题型.二、多选题 11．在ABC 中，()2,3AB =，()1,AC k =，若ABC 是直角三角形，则k 的值可以是（ ）A ．1-B ．113C D【答案】BCD 【解析】由题意，若ABC 是直角三角形，分析三个内有都有可能是直角，分别讨论三个角是直角的情况，根据向量垂直的坐标公式，即可求解. 【详解】若A ∠为直角，则AB AC ⊥即0AC AB ⋅=230k ∴+=解得23k =-若B 为直角，则BC AB ⊥即0BC AB ⋅=()()2,3,1,AB AC k == ()1,3BC k ∴=--2390k ∴-+-=解得113k =若C ∠为直角，则BC AC ⊥，即0BC AC ⋅=()()2,3,1,AB AC k == ()1,3BC k ∴=--()130k k ∴-+-=解得32k ±=综合可得，k 的值可能为21133,,,3322+- 故选：BCD 【点睛】本题考查向量垂直的坐标公式，考查分类讨论思想，考察计算能力，属于中等题型.12．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，0πϕ<<的部分图象，则下列结论正确的是（ ）．A ．函数()f x 的图象关于直线π2x =对称 B ．函数()f x 的图象关于点π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C ．函数()f x 在区间ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调增D ．函数1y =与()π23π1212y f x x ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的图象的所有交点的横坐标之和为8π3【答案】BCD【解析】根据图像求出函数()f x 的解析式，再求出它的对称轴和对称中心，以及单调区间，即可判断. 【详解】由函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，0πϕ<<）的图像可得：2A =，2543124T πππ=-=，因此T π=,22πωπ∴==,所以()()2sin 2f x x ϕ=+，过点2,23π⎛⎫-⎪⎝⎭，因此432,32k k Z ππϕπ+=+∈，又0πϕ<<，所以6π=ϕ，()2sin 26f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，当2x π=时，12f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故A 错； 当12x π=-时，012f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故B 正确； 当ππ,36x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，ππ2,226x π⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在ππ,36x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故C 正确； 当π23π1212x -≤≤时，[]20,46x ππ+∈，所以1y =与函数()y f x =有4的交点的横坐标为1234,,,x x x x ，12347822663x x x x πππ+++=⨯+⨯=，故D 正确. 故选：BCD . 【点睛】本题主要考查的是三角函数图像的应用，正弦函数的性质的应用，考查学生分析问题解决问题的能力，是中档题.三、填空题 13．函数1()ln(1)1f x x x =++-的定义域是________． 【答案】(1,1)(1,)-+∞【解析】由题意分析，使函数成立需满足真数大于0、分母不为0，然后取交集，即可求解.【详解】 要使函数1()ln(1)1f x x x =++-有意义，需满足10x +>且10x -≠， 得1x >-且1x ≠ 故答案为：(1,1)(1,)-+∞【点睛】本题考查函数定义域求法，属于基础题.14．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在区间[0,)+∞上是减函数，则()()2f x f ≤的解集是________．【答案】(][)22-∞-⋃+∞，， 【解析】由题意先确定函数()f x 在(),0-∞上是增函数，再将不等式转化为()()112f f ⨯≤即可求得x 的取值范围. 【详解】函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在区间[0,)+∞上是减函数，∴函数()f x 在区间(),0-∞上是增函数()()2f x f ≤()()2f x f ∴≤2x ∴≥2x ∴≥或2x -≤∴解集为(][),22,-∞-+∞故答案为：(][),22,-∞-+∞ 【点睛】本题考查偶函数与单调性结合解抽象函数不等式问题，直观想象能力，属于中等题型.15．若函数sin()(0)y x ωϕω=+>的部分图象如图所示，则ω的值为_______________．【答案】=4ω.【解析】由所给函数图像 过点05(,)24y π,011(,)24y π-，列式115sin()sin()2424ππωϕωϕ+=-+，利用诱导公式可得.【详解】由函数图像过点05(,)24y π,011(,)24y π-,得05sin()24y πωϕ=+，011sin()24y πωϕ-=+，所以115sin()sin()2424ππωϕωϕ+=-+，又两点在同一周期，所以115()2424ππωϕπωϕ+=++，4ω=.故答案为4. 【点睛】本题考查三角函数的图像与性质，考查简单三角方程的解，考查图形识别与运算求解能力，属于基础题. 16．矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，点P 为矩形ABCD 内（包括边界）一点，则||PA PB +的取值范围是________． 【答案】[0,2]【解析】由题意，取AB 中点为M ，则有=2PA PB PM +，可知求解2PM 的范围就是PA PB +的范围.【详解】由题意，取AB 中点为M ，则有=2PA PB PM +，=2PA PB PM∴+，如图所示，当P 点与D 点或者C 点重合时，=2PA PB PM +取最大值22当P 点与M 点重合时，=2PA PB PM +取最小值0 故答案为：[0,2]【点睛】本题考查向量计运算，属于基础题.四、解答题17．已知()1,2a =，()3,2b =-． （1）求||a b -；（2）当k 为何值时，ka b +与3a b -垂直？ 【答案】（1）4（2）19【解析】（1）由题意，先求(4,0)a b -=，再求模长； （2）根据向量垂直，推出数量积为零，求解参数. 【详解】解：（1）因为()4,0a b -=，所以||4a b -=； （2）因为1(3)221a b ⋅=⋅-+⋅=， 所以22()(3)(13)32380ka b a a kak a b b k +⋅-=+-⋅-=-=，解得19k =． 【点睛】本题考查（1）向量模长的求法；（2）垂直关系的向量表示；本题考查转化与化归思想，属于基础题. 18．已知函数2()sin cos f x x x x =+．（1）求6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）若325f α⎛⎫= ⎪⎝⎭，54,63ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin α的值．【答案】（1）6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭2）sin α=【解析】（1）根据三角函数恒等变换，化简函数()sin 23f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（2）由（1）代入3225f α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可知3sin 35πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由角的范围，求出4cos 35πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，由组合角sin sin 33ππαα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即可求解. 【详解】解：（1）因为21cos 21()sin cos sin 222x f x x x x x -=+=+sin 23x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以62f π⎛⎫=⎪⎝⎭．（2）因为3sin 23225f απα⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以3sin 35πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又因为54,63ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以,32ππαπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭， 所以cos 03πα⎛⎫-< ⎪⎝⎭，所以4cos 35πα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，因此sin sin sin cos cos sin 333333ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，3143sin 525210α-⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查（1）三角函数恒等变换；（2）配凑组合角求值问题；注意角的取值范围，考察计算能力，属于中等题型. 19．已知函数2()1()f x x mx m =-+∈R ．（1）若函数()f x 在[]1,1x ∈-上是单调函数，求实数m 的取值范围；（2）若函数()f x 在[]1,2x ∈上有最大值为3，求实数m 的值． 【答案】（1）(,2][2,)m ∈-∞-⋃+∞（2）1m =【解析】（1）根据二次函数单调性，使对称轴不在区间()1,1-上即可；（2）由题意，分类讨论，当()13f =时和当()23f =时分别求m 值，再回代检验是否为最大值.【详解】 解：（1）对于函数()f x ，开口向上，对称轴2mx =， 当()f x 在[]1,1x ∈-上单调递增时，12m≤-，解得2m ≤-， 当()f x 在[]1,1x ∈-上单调递减时，12m≥，解得2m ≥，综上，(,2][2,)m ∈-∞-⋃+∞．（2）由题意，函数()f x 在1x =或2x =处取得最大值， 当()13f =时，解得1m =-，此时3为最小值，不合题意，舍去；当()23f =时，解得1m =，此时3为最大值，符合题意． 综上所述，1m =． 【点睛】本题考查（1）二次函数单调性问题，对称轴取值范围（2）二次函数最值问题；考查分类讨论思想，属于中等题型. 20．如图，半径为1的圆O 中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中AB BE <，设AOB θ∠=．（1）将十字形的面积S 表示为θ的函数； （2）求十字形的面积S 的最大值． 【答案】（1）28sin cos 4sin 222S θθθ=-（2）max 252S =．【解析】（1）由题意，根据三角函数和圆的半径表达2sin2AB θ=，2cos2BE θ=，再计算十字形的面积；（2）由（1）中十字形的面积28sin cos 4sin 222S θθθ=-，根据三角恒等变换，化简函数解析式，即可求解最大值. 【详解】解：（1）由题意，2sin 2AB θ=，2cos 2BE θ=，因为AB BE <，所以0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 所以222sin 2cos 2sin 222S θθθ⎛⎫⎛⎫=⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．即28sin cos 4sin 222S θθθ=-，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． （2）由（1）得：4sin 2cos 2S θθ=+-1)2tan 2θϕϕ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭所以max 2S =．答：（1）28sin cos 4sin 222S θθθ=-； （2）max 2S =．【点睛】本题考查（1）三角函数在几何图形中的应用；（2）三角恒等变换求最值问题；考察计算能力，实际操作能力，综合性较强，有一定难度. 21．设函数32()32x xxxa f x -⋅=+为奇函数．（1）求实数a 的值；（2）当[1,)x ∈+∞时，求()f x 的值域．【答案】（1）1（2）1,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】（1）由题意，根据奇函数(0)0f =，即可求解；（2）由（1），将函数化简为31322()32312xx x xx x y f x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，导出3121xy y+⎛⎫= ⎪-⎝⎭，再根据指数函数有界性，求解y 的范围，即可求解值域. 【详解】解：（1）因为函数()f x 为奇函数，且函数()f x 的定义域为(,)-∞+∞，所以0000321(0)0322a af -⋅-===+，所以1a =． 证明：函数32()32x x xxf x -=+，其定义域为R ，3223()()3223x x x xx x x xf x f x -------===-++，故()f x 为奇函数， 故所求实数a 的值为1．（2）因为函数31322()32312xx xx x x y f x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以3121x y y +⎛⎫= ⎪-⎝⎭， 又[1,)x ∈+∞时，3322x⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以1312y y +≥-，解得115y ≤<，故所求函数的值域为1,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 【点睛】本题考查（1）奇函数定义（2）函数值域求法：反函数法；考查直观想象能力，考查计算能力，技巧性强，有一定难度.22．如果函数()f x 在定义域的某个区间[],m n 上的值域恰为[],m n ，则称函数()f x 为[],m n 上的等域函数，[],m n 称为函数()f x 的一个等域区间．（1）若函数2()f x x =，x ∈R ，则函数()f x 存在等域区间吗？若存在，试写出其一个等域区间，若不存在，说明理由 （2）已知函数()()x f x a a k x b =+-+，其中0a >且1a ≠，0k >，b ∈R ．（ⅰ）当a k =时，若函数()f x 是[]0,1上的等域函数，求()f x 的解析式；（ⅱ）证明：当01a <<，1k a ≥+时，函数()f x 不存在等域区间．【答案】（1）[]0,1；见解析（2）（ⅰ）()21x f x =-（ⅱ）见解析【解析】（1）由题意，分析等域区间定义，写出函数2()f x x =的等域区间；（2）（ⅰ）当a k =时，分析函数单调性，分类讨论等域区间，即可求解；（ⅱ）由题意，根据01a <<，1k a ≥+，判断函数()()x f x a a k x b =+-+为减函数，再由反证法，假设函数存在等域区间[,]m n ，推导出矛盾，即可证明不存在等域区间. 【详解】解：（1）函数2()f x x =存在等域区间，如[]0,1；（2）已知函数()()x f x a a k x b =+-+，其中0a >且1a ≠，0k >，b ∈R D（ⅰ）当a k =时，()x f x a b =+ 若函数()f x 是[]0,1上的等域函数， 当1a >时，()f x 为增函数，则(0)10(1)1f b f a b =+=⎧⎨=+=⎩得21a b =⎧⎨=-⎩，此时()21x f x =-． 当01a <<时，()f x 为减函数，则(0)11(1)0f b f a b =+=⎧⎨=+=⎩，得00a b =⎧⎨=⎩，不满足条件． 即()21x f x =-．（ⅱ）证明：当01a <<，1k a ≥+时，1k a -≤--，即10a k -≤-<， 则()()x f x a a k x b =+-+为减函数， 假设函数存在等域区间[,]m n ，则()()()()m n f m a a k m b n f n a a k n b m ⎧=+-+=⎨=+-+=⎩， 两式作差()()m n a a a k m n n m -+--=-， 即()()()(1)()m n a a a k m n n m k a m n -=---+-=---，01a <<，1k a ≥+，0m n a a ∴->，0m n -<，10k a --≥，则(1)()0k a m n ---<，等式不成立，即函数()f x 不存在等域区间． 【点睛】本题考查（1）函数新定义概念辨析（2）函数单调性、最值问题分析；考察计算能力，考查分析问题的能力，探究问题本质为单调性对值域的分析，综合性较强，属于难题.。
南通市2023-2024学年高一上学期期末质量监测数学试题(解析版)
π 2
2
cos
x
π 2
1 2
cos
x
2 sin
x
，
2
因此，
f
x2
f
π 2
x
1 sin x 2cos x2 1 cos x 2sin x2
4
4
1 sin2 x 4sin x cos x 4cos2 x 1 cos2 x 4sin x cos x 4sin2 x 5 .
故函数 f x 在 0, π 上为增函数，
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.因为11.50 1.50.5 1.5 π，1 sin1 π sin1 sin1 sin π 2 ， 42
因为 35
243< 28
256
，所以，
3 2
5
23
，则
log2
3 2
5
3 ，则
log2 1.5
3 5
，
所以，
4
4
4
故选：D.
8. 已知函数 f x lg x cos x ，记 a f log0.5 1.5 ， b f 1.50.5 ， c f sin 1 π ，则（ ）
A. a b c 【答案】B 【解析】
B. a c b
C. c b a
D. c<a<b
【分析】分析函数 f x 的奇偶性以及该函数在 0, π 的单调性，比较 log0.5 1.5 、1.50.5 、 sin 1 π 的大
则 2 f x sin x 2 f x sin x ，可得 f x f x sin x ，①
f x cosx f x cos x ，可得 f x f x 2cos x ，②
联立①②可得 f x 1 sin x 2cos x ，
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高一上数学期末试卷江苏省南通中学一、选择题。
本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.定义{}|,A B x x A x B -=∈∉且，若{}1,3,5,7,9A =,{}2,3,5B =,则A B -=( ) (A) A (B) B (C) {}1,2,7,9 (D) {}1,7,92. 下列判断错误的是（ ）A ．命题“若q 则p ”与命题“若p 则q ”互为逆否命题B ．“am 2<bm 2”是“a<b ”的充要条件C ．“矩形的两条对角线相等”的否命题为假D ．命题“}2,1{4}2,1{∈⊂或φ”为真（其中φ为空集）3.设集合{}{}22|1,,|45,,A x x a a N B y y b b b N ==+∈==-+∈则下述关系中正确的是( )(A)A B = (B) A B ⊃ (C) A B ⊂ (D) AB =∅4.将函数2xy =的图象先作下面哪一种变化,再作关于直线y x =对称的图象可得到函数2log (1)y x =+的图象? ( )(A)先向左平行移动1个单位 (B) 先向右平行移动1个单位 (C)先向上平行移动1个单位 (D) 先向下平行移动1个单位5. 若 {}n a 是等比数列，4738512,124,a a a a =-+=且公比q 为整数，则10a =（ ） （A ）256 （B ）-256 （C ）512 （D ）-5126. 某次试验获得如下组数据：在下列四个函数中最能近似表达以上数据规律的函数是 A 、2log y x = B 、22x y =-C 、()2112y x =-D 、22y x =-7.已知221log [(1)]4y ax a x =+-+的定义域是一切实数,则实数a 的取值范围( )(A)(B) (C) 335(0,)(,)22-++∞(D) 33(22-+ 8已.知数列{}n a 的首项13a =，又满足13,nn n a a +=则该数列的通项n a 等于（ ）（A ）(1)23n n - （B ）2223n n -+ （C ）213n n +- （D ）213n n -+9等差数列{}n a 共有21n +项，其中13214,n a a a ++++=2423,n a a a +++=则n 的值为（ ）（A ）3 （B ）5 （C ）7 （D ）910．如右图所示，四边形ABCD 为直角梯形，上底CD 为下底AB 的一半，直线l 截这个梯形所得的位于此直线左方的图形面积为y ，点A 到直线l 距离为x ，则函数()y fx =的大致图象为( )11．方程2(2)50x a x a --+-=的两根都大于2，则实数a 的范围是( ) (A)2a <- (B) 52a -<<- (C) 54a -<<- (D)4a >或4a <- 12．已知数列{}n a 的通项公式12112,,n n n a n S a a a =-=+++则10S =（ ）（A ）100 （B ）50 （C ）25 （D ）125 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案填在题中横线上 13．(3a 32b 21)(-6a 21b 31)÷(965ab )的结果为________________14．在等差数列{}n a 中，1231215,78,n n n a a a a a a --++=++=155,n S =则n =_____15．函数()log (0,1)a f x x a a =>≠，已知(25)2f =，则125(log 2)f -=_________。
16．我国规定：个人工资、薪金的月总收入不超过800元的免征个人所得税，超过800元部分需征税，全月应纳税的数额(记作x )为x =全月总收入-800(单位：元)D lA BC(A) (B)(C)(D)y税率如下表：某人今年5月份工资、薪金总收入是2645元，则此人5月份应交纳的个人所得税额为_______________________。
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17、解不等式：ax 2-2(a+1)x+4>0 18、已知{}1492320x x A x +=-⋅+≤，{}1122log log ,28x xB yy x A ==⋅∈；2,.B y B ∈∈1若y 求12y y -最大值。
19、已知函数f （x ）=()24log 76x x +-（1）写出f （x ）的单调递增区间，并证明。
（2）在f （x ）的单调递增区间上，求f （x ）的反函数f --1（x ）.20设二次函数f (x )=x 2+x +c (c ＞0)，若方程f (x )=0有两个实数根x 1,x 2(x 1＜x 2).（1）求c 的取值范围；（2）求x 2－x 1的取值范围；（3）如果存在一个实数m ，使得f (m )＜0，求证：m +1＞x 2.21、为了测试某种金属的热膨胀性能，将这种金属的一根细棒加热，从100ºC 开始第一次量细棒的长度，以后每升高40ºC 量一次，把依次量得的数据所成的数列{l n }用图象表示如图所示．若该金属在20ºC ~500ºC 之间，热膨胀性能与温度成一次函数关系，试根据图象回答下列问题： （Ⅰ）第3次量得金属棒的长度是多少米？此时金属棒的温度是多少？ （Ⅱ）求通项公式l n ； （Ⅲ）求金属棒的长度l n （单位：m ）关于温度t （单位：ºC ；）的函数关系式； （Ⅳ）在30ºC 的条件下，如果把两块这种矩形金属板平铺在一个平面上，这个平面的最高温度可达到500ºC ，问铺设时两块金属板之间至少要留出多宽的空隙？22、设数列{a n }和{b n }满足a 1=b 1=6, a 2=b 2=4, a 3=b 3=3,且数列{a n+1－a n }（n ∈N*）是等差数列，数列{b n －2}(n ∈N*)是等比数列.)（Ⅰ）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（Ⅱ）是否存在k ∈N*，使a k －b k ∈（0，21）？若存在，求出k ；若不存在，说明理由.高一《代数》上册解答二、填空题：13、-2a. 14、 10 15 16、 184.50 三、解答题：()()(){}21722402201222ax a x ax x R-++≥⇒--≥≤⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭⎧⎫≥≤⎨⎬⎩⎭、、a=0时,原不等式的解集为:x x 22、a<0时,原不等式的解集为:x x 2a 3、0<a<1时,原不等式的解集为:x x 2或x a 4、a=1时,原不等式的解集为:5、a>1时,原不等式的解集为:x x 2或x a(){}()()()()()()21122222min max 12max 18.218232022161414log log 1log 3log 28log 02130233,;0,324154x x x x A x x x xy x x x t y t t t t y t y y y -•+≤⇒≤≤⇒≤≤∴=≤≤=•=--≤≤=--≤≤∴==-==∴-=令t=()(]()()()()()()()()()()()()()()()()()()22212411422211422222211112222222222112221212222221119.1,33log 76log 7676log7676767617676767660767676076f x x f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -<≤-=+--+-+-=+-+-+--+--=+-+-+--+--+-==<+-+-+-<+1的单调递增区间令-1<x ()()()()(]12222101,3f x f x f x x x <∴-<--即的单调递增区间 ()()(]()()()(]()(])2422119.21,302log 76764(3)1641,3330,2y y f x f x f x x x x x x x x f x x --∴<≤=+-+-=⇒-=-∈-∴=∴=-∈的单调递增区间由20、（1）由方程x 2+x +c =0有两个实数根x 1,x 2(x 1＜x 2＝及c ＞0,得⎩⎨⎧>>-=00412c c Δ解得0＜c ＜41. （2）根据根与系数的关系，得⎩⎨⎧=-=+c x x x x 21211又x 2－x 1＞0,所以,x 2－x 1=212)(x x -=c 41-,所以0＜x 2－x 1＜1.（3）因为f (m )＜0,且抛物线f (x )=x 2+x +c 的开口向上， 所以x 1＜m ＜x 2，所以m －x 1＞0,从而m +1＞m +(x 2－x 1)=(m －x 1)+x 2＞x 2.()()()()()()03000021. 2.003.1802.00110.0010.001210040140606060,240400005006030602240000400005353.40002000n n l Cl n n t C C n Cn Ct t n l V l I =II =+-⋅=+III =+-=+--==+---⎛⎫I ∆=+-+ ⎪⎝⎭=∴此时金属棒的温度是两块金属板之间至少要留米空隙 22、解：（I ）由已知a 2－a 1=－2, a 3－a 2=－1, －1－(－2)=1 ∴a n+1－a n =(a 2－a 1)+(n －1)·1=n －3n ≥2时，a n =( a n －a n －1)+( a n －1－a n －2)+…+( a 3－a 2)+( a 2－a 1)+ a 1 =(n －4)+(n －5) +…+(－1)+(－2)+6=21872+-n nn=1也合适. ∴a n =21872+-n n (n ∈N*)又b 1－2=4、b 2－2=2 .而2142= ∴b n －2=（b 1－2）·(21)n －1即b n =2+8·(21)n ∴数列{a n }、{b n }的通项公式为：a n =21872+-n n ，b n =2+(21)n －3（II ）设k k k k k k k b a k f )21(887)27(21)21(872721)(22⋅-+-=⋅-+-=-= 当k ≥4时87)27(212+-k 为k 的增函数，－8·(21)k 也为k 的增函数，而f (4)= 21∴当k ≥4时a k －b k ≥21又f(1)=f(2)=f(3)=0 ∴不存在k ， 使f(k)∈（0，21）。