重庆大学概率与数理统计课后答案第八章

习题八
A 组
1.假设总体X ～)1,(μN ，从中抽取容量为25的样本，对统计假设0:,0:10≠=μμH H ，拒绝域为X 0={}
392.0≥x 。

（1）求假设检验推断结果犯第Ⅰ类错误的概率。

（2）若
3.0:1=μH ，求假设检验推断结果犯第Ⅱ类错误的概率。

解：（1）{}{}
001H H P P α==犯第I 类错误拒绝成立={}
0392.0=>μX P
{
}{}
96.10392.0>==>=n X P X P μ，所以05.01=α
（2）{}{}
00H H P P β==犯第II 类错误接受不成立{}
3.0392.0=≤=μX P {}
6769.046.0)3.0(46.3=<-<-=n X P
2.已知某厂生产的电视机显像管寿命（单位：小时）服从正态分布。

过去，显像管的平均寿 命是15000小时，标准差为3600小时。

为了提高显像管寿命采用了一种新技术，现从新生 产的显像管中任意抽取36只进行测试，其平均寿命为15800=x 小时。

若用假设检验方 法推断新技术是否显著提高了显像管的寿命，试指出：（1）假设检验中的总体；（2）统计假设；（3）检验法、检验统计量、拒绝域；（4）推断结果。

解：（1）假设检验中的总体是新生产的显像管的寿命，用X 表示，由题意知：X ～
),(2σμN )90000,5000(N
（2）统计假设：
15000
:0≤μH ，15000:1>μH
(3)假设σ与过去一样为3600小时，那么检验方法为U 检验法，检验统计量为：
n
X U σ
15000
-=
显著水平05.0=α时的拒绝域为：X 0 =
{}α->1u u ={}645.1>u
（4）推断：因为U 的样本值为1.333不在X 0 内，所以接受原假设，即在显著水平05.0=α
下，认为新技术没有提高显像管的寿命。

3.某计算机公司使用的现行系统，运行通每个程序的平均时间为45秒。

现在使用一个新系统运行9个程序，所需的计算时间（秒）分别是：30，37，42，35，36，40，47，48，45。

假设一个系统试通一个程序的时间服从正态分布，那么据此数据用假设检验方法推断新系统是否减少了现行系统试通一个程序的时间。

解：设新系统试通一个程序的时间为X ，由题意知X ～),(2
σμN 。

统计假设：0H ：45≥μ，1H ：45<μ 检验统计量为：n S
X T 45-=
拒绝域为：X 0 ={})1(-<n t t α={}859.1-<t
推断：因为T 的样本值为 -2.483∈X 0，所以拒绝0H ，接受1H ，即新系统减少了
现行系统试通一个程序的平均时间。

4.甲制药厂进行有关麻疹疫苗效果研究，用一个人注射这种疫苗后的抗体强度X 表示。

假 定X 服从正态分布。

另一家与之竞争的乙制药厂生产的同种疫苗的平均抗体强度为1.9。

甲厂为证实其产品比乙厂有更高的抗体强度，随机抽取了16样本，获得下表所示数据：
1.2 1.9
2.7 2.2
3.0 1.8 3.1 2.4 2.5
1.5
1.7
2.2
2.4
2.6
2.3
2.1
问在显著水平05.0=α下能否认为甲厂产品有更高的抗体强度。

解： 由题意知X ～),(2
σμN 。

统计假设：0H ：9.1≤μ，1H ：9.1>μ 检验统计量为：n S
X T 9.1-=
拒绝域为：X 0 ={})1(1->-n t t α={}753.1>t
推断：因为T 的样本值为2.508∈X 0，所以拒绝0H ，接受1H ，即可以认为甲厂
产品有更高的抗体强度。

5.某机器加工的B 型钢管的长度服从标准差为2.4公分的正态分布。

现从一批新生产的B 型钢管中随机选取25根，测得样本标准差为2.7公分。

试以显著性水平1%判断该批钢管长度的变异性与标准差2.4比较是否有明显变化。

解：设某机器新生产的一批B 型钢管的长度为X ，由题意知X ～)4.2,(2
μN 。

统计假设：0H ：22
4.2=σ
，1H ：224.2≠σ
检验统计量为：2
2
24
.2)1(S n -=χ
拒绝域为：X 0 =⎭⎬⎫⎩⎨⎧
-<)1(2
22
n αχχ⎭
⎬
⎫⎩⎨⎧->-)1(2
212n αχχ ={}886.92
<χ
{}559.452>χ
推断：2χ的样本值为30.375，不在拒绝域X 0内，所以接受0H ，即在显著性水
平1%下，新生产的钢管长度的变异性与标准差2.4比较无明显变化。

6.某厂生产的某种电池寿命（单位：小时）长期以来服从标准差为70小时的正态分布。

今 有一批这种电池，为判断其寿命的波动性是否较以往有所变化，随机抽取了一个容量为26 的样本，测得寿命的样本标准差为75小时。

问在显著水平05.0=α下，这批电池寿命的 波动性较以往是否显著增大？
解： 设电池寿命为X ，由题意知X ～),(2
σμN 。

统计假设：0H ：22
70≤σ
，1H ：2270>σ
检验统计量为：2
2
270
)1(S n -=χ 拒绝域为：X 0 ={})1(212->-n αχχ={
}
652.372>χ
推断：2χ的样本值为28.699，不在拒绝域X 0内，所以接受0H ，即在显著性水
平05.0=α下，这批电池寿命的波动性较以往没有显著增大。

7.在选择一个新建超市的位置时需要考虑很多因素，其中超市所在地附近居民的收入水平是 重要的因素之一。

现有A 、B 两地可供选择，A 地的建筑费用较B 地低。

如果两地居民的 年均收入相同，就在A 地建筑。

但若B 地居民的年均收入明显高于A 地，则选在B 地建 筑。

现从A 、B 两地的居民中分别抽取了100和120户居民，经调查分析知：A 地年均收 入28650元，B 地年均收入29980元。

若已知A 地居民年收入标准差是4746元，B 地居 民年收入标准差5365元，问超市在何地建？假设A 、B 两地居民年收入（单位：元）服从 正态分布。

解：假设A 、B 两地居民年收入（单位：元）分别为X,Y 。

由题意知X ～)4746,(2
1μN ，Y ～)5365,(2
2μN 。

统计假设：0H ：21μμ≥，1H ：21μμ< 检验统计量为：
m
n
Y
X U 22
2
1σσ+
-=
显著水平05.0=α时的拒绝域为：X 0 ={}αu u <={}645.1-<u
推断：因为U 的样本值为-1.950∈X 0，所以拒绝0H ，接受1H ，即在显著水平
05.0=α下，
可以认为B 地居民年平均收入明显高于A 地，应在B 地建超市。

8.要比较甲、乙两种轮胎的耐磨性，现从甲、乙两种轮胎中各取8个，各取一个组成一对， 再随机选取8架飞机，将8对轮胎磨损量（单位：mg ）数据列表如下：
假定甲、乙两种轮胎的磨损量分别为X ～),(21σμN ，Y ～),(22σμN ，且两个样本相 互独立。

试问在显著水平05.0=α时，甲、乙两种轮胎的耐磨性是否有显著的差异？ 解： 统计假设：0H ：21μμ=，1H ：21μμ≠
检验统计量为：m
n
S Y X T 1
1+
-=
ω
，22
2
12
(1)(1)2n S m S S n m ω-+-=+-
拒绝域为：X 0 =)}2({2
1-+>-m n t t α=}145.2{>t
推断：因为T 的样本值为0.516不在拒绝域X 0内，所以接受0H ，即在显著水平
05.0=α下，可以认为甲、乙两种轮胎的耐磨性无显著差异。

9.设甲、乙两工厂生产同一种零件，现从这两个工厂生产的零件中分别抽测8个和9个，测得其外径（单位：mm ）分别为：
假定零件外径服从正态分布，试乙厂生产的零件精度是否比甲厂生产的高？（05.0=α） 解：假定甲、乙两厂生产的零件外径分别为X ，Y ，由题意知X ～),(2
11σμN ，Y ～
),(2
22σμN
统计假设：0H ：2221σσ≥，1H ：2
221σσ<
检验统计量为：2
122
S F S = 拒绝域为：X 0 ={})1,1(--<m n F F α=}268.0{<F
推断：因为F 的样本值为3.659不在拒绝域X 0内，所以接受0H ，即在显著水平
05.0=α下，可以认为乙厂生产的零件精度比甲厂生产的高。

10.一项调查结果显示某市老年人口比重为14.7%。

该市老年人口研究协会为了检验该项调查是否可靠，随机抽选了400名居民，发现其中有57人是老年人。

问调查结果是否支持该市老年人口比重为14.7%的看法？（05.0=α）。

解：设某市老年人口比例为p 。

（1）统计假设：147.0:0=p H ，147.0:1≠p H (2)检验统计量为：1)
1(147.0---=
n X X X U ，
(3)05.0=α时的拒绝域为：X 0 ={}
2
1{} 1.96u u u α-=>=>
（4）推断：因为U 的样本值为-0.257不在X 内，所以接受原假设，即在显著性水
平为5%下调查结果支持该市老年人口比重为14.7%的看法。

11.某机构声称5年来各种新发行债券的承销价高于面值的比率低于50%，现随机抽取了60只新发行的债券，其中有24只的承销价高于面值。

问上述说法是否可接受？（0.05α=） 解：设5年来各种新发行债券的承销价高于面值的比率为p （1）统计假设：5.0:0≥p H ，5.0:1<p H (2)检验统计量为：1)
1(5.0---=
n X X X U ，
(3)05.0=α时的拒绝域为：X 0 ={}αu u <={}32.2-<u
（4）推断：因为U 的样本值为-1.568不在X 内，所以接受原假设，即在显著性水平为0.01下不接受该机构的说法。

12.某大公司的人事部门希望了解公司职工的病假是否均匀分布在周一到周五，以便合理安排工作。

如今抽取了100名病假职工，其病假日分布如下：
试问该公司职工病假是否均匀分布在一周五个工作日中（05.0=α）？ 解：设公司职工的病假时间为X
(1)统计假设：0H ：X 服从周一到周五的均匀分布，分布律为
()5,4,3,2,1,
2.0====i p i X P i
(2) 检验统计量：
=2
χn np i i
i -∑
=5
1
2
ν，
（3）拒绝域为: X 0=}488.9{)}1({2
212>=->-χχχαm
（4）推断：检验统计量的样本值为0.023，不在拒绝域里，接受0H ，可以认为该公司职工病假在五个工作日中是均匀分布。

13.对某厂生产的汽缸螺栓口径进行100次抽样检验，测得100数据分组列表如下：
组限 10.93～10.95
10.95～10.97
10.97～10.99
10.99～11.01
频数 5 8 20 34 组限 11.01～11.03
11.03～11.05
11.05～11.07
11.07～11.09
频数
17
6
6
4
试问螺栓的口径X 的分布是否服从正态分布（05.0=α）。

解：(1)统计假设：0H ：X ～),(2
σμN
(2) 求2,σμ的极大似然法估计值。

001.0ˆ,002.11ˆ*
22====m x σμ
(3) 检验统计量： =2
ˆχ
n p
n i i
i -∑=8
1
2
ˆ
ν，
（4）拒绝域为: X 0=}071.11{)}1(ˆ{2212>=-->-χχχ
αr m （5）推断：在0H 成立的条件下计算：
=-Φ=)032.0)002.1195.10((ˆ1p
0.052 =2ˆp
0.107; =3ˆp 0.195; =4ˆp 0.245; =5ˆp
0.211;=6ˆp 0.124;=7ˆp 0.050;=8ˆp 0.017 检验统计量2
ˆχ
的样本值为0.108，不在拒绝域里，接受0H ，可以认为螺栓的口径X 的分布服从正态分布。

14.下表为某药治疗感冒效果的联列表：
试问该药疗效是否与年龄有关（05.0=α）？ 解：设X 表示患者的年龄状态，Y 表示疗效状态。

（1）统计假设：独立与Y X H :0，不独立与Y X H :1
(2)检验统计量为2
n χ∑
∑==-
=r
i j
i j i ij s j n n n
n n n n
1
..2
..1
)(
(3)拒绝域为X 0221{((1)(1))}n r s αχχ-=>--={}
488.92
>n χ
(4)推断：2
n χ的样本值为0.093，不在拒绝域里，接受0H ，可以认为该药疗效与年龄无关。

15.对纸张亮度的测量方法有两种，用两种测量方法分别采集了9个样本，如下：
A 6.1 9.2 8.7 8.9 7.6 7.1 9.5 8.3 9.1 B
9.1 8.2 8.6 6.9 7.5 7.9 8.3
试问两种检测方法是否有显著性差异？（05.0=α）
解：设X 、Y 分别表示用A ，B 两种方法测得的纸张亮度，)(x F X 、)(x F Y 为它们的分布函数，则统计假设为
01:()(),:()()X Y X Y H F x F x H F x F x =≠
样本混合后按由小到大顺序排例的结果以及秩见下表。

秩 1
2
3 4 5 6 7 8.5 10 11 12 13.5 15 16 数据
6.1 6.9
7.1
7.5
7.6
7.9
8.2
8.3
8.6
8.7
8.9
9.1
9.2
9.5
由于97=<=n m ，所以选择Y 的样本秩和T 作为检验统计量。

在05.0=α时，拒绝域为
{}{} 7643><T T
T 的样本值为2+4+6+7+8.5+10+13.5=51，不在拒绝域X 0内，故接受原假设，即认为两个
总体分布不存在明显差异。

B 组
1.设171,...,X X 为总体X ～),0(2
σN 样本，统计假设：99212
0<=σσ：，：H H 的拒绝
域为 {
}
479.42
<S 。

（1）求犯第Ⅰ类错误的概率α； (2)上述统计假设中698.32
1=σ
：H 时，求犯第Ⅱ类错误的概率β。

解：（1）05.0)99479.416)1((
)9479.4(2
2
2
2
2
==⨯<
-==<=σσσαS n P S P (2) 25.0)698.3698
.3479.416)1((
)698.3479.4(2
2
2
2
2==⨯≥
-==≥=σσσβS n P S P
2.某种电子元件，要求平均寿命不得低于2000h ，标准差不得超过130h 。

现从一批该种元件 中抽取25只,测得寿命均值h 1950,标准差h s 148=。

设元件寿命服从正态分布，试在显著水平05.0=α下, 确定这批元件是否合格。

解：设假设检验为：
2000:0≥μH ； 2000:1<μH
检验统计量 n
S X T /2000-=
拒绝域为{7109.1-≤t }
T 的样本值7109.1689.1->-=t ，接受0H ，即可以认为元件的寿命不低于2000h 。

另一方面，设假设检验：
220130:≤σH ；221130:>σH
检验统计量为2
2
2
)1(σ
S n x -=
拒绝域为{)1(22->n αχχ}={415.362
>χ}
样本值2
2
20
130
148)125(-=χ415.362.31<=，接受0H ，即σ不超过130h 。

由以上两种假设检验结果说明在水平05.0=α下，认为这批元件是合格的。

3.某企业生产一种电器材料，要检验原来使用的材料与一种新研制材料的疲劳寿命（单位：小时）有无显著差异，各取若干样品做疲劳实验，所得数据如下：
原材料 40 11 70 - - - 新材料
6
10
175
一般认为，材料的寿命服从对数正态分布，并可以假定原材料疲劳寿命ξ的对数ξlg =X 与新材料疲劳寿命η的对数ηlg =Y 有相同的方差。

解：由题意知，ξlg =X ～),(2
1σμN ，ηlg =Y ～),(2
2σμN ，问题归结为检验：
211210:,:μμμμ≠=H H
当0H 成立时，ξlg =X 、ηlg =Y 有相同的分布，从而ξ、η有相同的分布，原材料与新材料的疲劳寿命无显著差异。

将实验数据取对数,得到ξlg =X 、ηlg =Y 的样本数据：
ξlg =X 1.602 2.041 2.176 1.813 1.954 2.322 2.431 ηlg =Y 1.778 2.176 2.342
2.491
2.589
2.544
2.398
2.653
2.041
2.243
由此计算得：=x 2.0484，=y 2.3255，2X s =0.0835，=2
Y s 0.0741。

选择T 检验法，检验统计量为：m
n S Y X T 11+-=
ω
当=α0.05时，拒绝域为}132.2)2({2
1=-+>-m n t t α
15
0741
.090835.062⨯+⨯=
ωs ≈0.0686
检验统计量的样本值为-2.148，在拒绝域里，拒绝0H ，接受1H ，即认为原材料与新材料的疲劳寿命有显著的差异。

4.从某高校99级本科生中随机抽取了60名学生，其英语结业考试成绩如下表。

试问99级本科生的英语结业成绩是否符合正态分布？（10.0=α）
93
75
83
93
91
85
84
82
77
76
77
95
94
89
91
88 86 83 96 81 79 97 78 75 67 69 68 83 84 81 75 66 85 7 78 74 73 76 70 86 76
9
8
53
55
解：设X 表示99级任意一位本科生的英语结业成绩，分布函数为)(x F ，统计假设：
)(
)(:),(
)(:10σ
μ
σ
μ
-Φ≠-Φ=x x F H x x F H
(1)选择检验统计量∑=-=m
i i
i i p n p
n 122
ˆ)ˆ(ˆνχ
(2)将X 的取值划分为若干区间,得到m=4个事件：{}701<=X A ，{}80702<≤=X A ，
{}90803<≤=X A ，{}X A ≤=904。

(3)在0H 成立的条件下，计算参数2σμ、的极大似然估计值2
ˆ,ˆσμ。

通过计算得2*
22ˆˆ80,9.6x m μσ====。

(4)在0H 成立的条件下，(1,2,3,4)i A i =的概率理论估计值为：
1492.0)04.1()6.9)8070((ˆ1=-Φ=-Φ=p
3508.0)04.1()0()04.1()6.9/)8080((ˆ2=-Φ-Φ=-Φ--Φ=p
3508.0)0()6.9/)8090((ˆ3=Φ--Φ=p
1492.0)6.9/)8090((1ˆ4=-Φ-=p
(5)拒绝域为}71.2)1({2
90.02
=>χχ
(6)计算2
ˆχ
样本值为0.622，落在接受域内，因而接受0H ，所以，99级本科生的英语 结业成绩符合正态分布。

5. 某种动物按体格属性分为三类，假设随机检测这种动物109只，三种体格类型的数目是：10只，53只，46只。

按照某种遗传模型各种体格类型的比列之比为：
22)1(:)1(2:p p p p --。

问这种动物体格类型分布与遗传模型是否相符（05.0=α）？
解：令2
3221)1(),1(2,p p p p p p p -=-==，统计假设为:
H 0：三种类型比列之比为：321::p p p
重庆大学概率与数理统计课后答案第八章
11 / 11 设观察到的三类数量分别为：n 1, n 2, n 3(n 1+n 2+n 3=109), 采用极大似然估计法估计p ，似然函数为： ,])1[()]1(2[)()(32122n n n p p p p p L --= 由01212)(ln 3221=----+=∂∂p
n p n p n p n p p L , 得p 的极大似然估计为:,2221n
n n p +=∧
由46,53,10321===n n n 得:335.0218
73109253102==⨯+⨯=
∧
p 从而 ,112.0335.022
1===∧∧p p 45.0665.0335.02)1(22=⨯⨯=-=∧∧∧p p p 44.0665.0)1(223==-=∧∧p p 检验统计量及观察值为：801.0)(3122=-=∑=∧∧i i i i p n p n n χ
拒绝域：}84.3)1({295.02=>χχ.
由于84.3801.02
<=χ，故接受H 0，即认为数据与模型相符。