3.3.2 两点间的距离(优秀经典公开课教案及练习答案详解)

3.3.2 两点间的距离
学科： 数学 年级： 高一 班级
【学习目标】
会用直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题。

【学习重难点】
重点：两点间距离公式的推导
难点：应用两点间距离公式证明几何问题。

【预习指导】
1：如图，设数轴x 上的两点分别为A 、B ，怎样求AB ？那么，怎样求直角坐标系中的两点间的距离？
2：如图，在直角坐标系中，点C （4,3），D(4,0)，E （0,3）如何求C 、D 间的距离|CD|,C 、E 间的距离|CE|及原点O 与C 的距离|OC|?
3：对于直角坐标系中的任意两点p 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2），如何求p 1 p 2的距离呢？
【合作探究】分别向x 轴和y 轴作垂线，垂足分别为()()112200N y M x ，，， 直线12P N N 12与P 相交于点Q 。

在直角三角形ABC 中，222
1212PP PQ QP =+，为了计算其长度，过点1P 向x 轴作垂线，垂足为 ()110M x ， 过点 向y 轴作垂线，垂足为()220N y ， ，于是有
2
2
2
2
2
2
1
212121221PQ M M x x QP N N y y ==-==-， 所以，2221212PP PQ QP =+=22
2121x x y y -+-。

由此得到两点间的距离公式
12PP =
例1 ：以知点A （-1，2），B （2 ），在x 轴上求一点，使 PA PB =,并求 PA 的值。

解：设所求点P（x，0），于是有
=
由PA PB
=得
22
25411
x x x x
++=-+解得 x=1。

所以，所求点P（1
，0）且
PA=
=通过例题，使学生对两点间距离公式理解。

应用。

解法二：由已知得，线段AB的中点为1
2
⎛
⎝⎭
Ｍ，直线
AB的斜率为
k=1
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
３
ｘ－ＰＡ＝
３２
线段AB
的垂直平分线的方程是 y-1
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
３
ｘ－
２
在上述式子中，令y=0，解得x=1。

所以所求点P的坐标为（1，0）。

因此
ＰＡ＝
例2 证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和。

分析：首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系。

这一道题可以让学生讨论解决，让学生深刻体会数形之间的关系和转化，并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤。

证明：如图所示，以顶点Ａ为坐标原点，ＡＢ边所在的直线为ｘ轴，建立直角坐标系，有Ａ（０，０）。

设Ｂ（ａ，０），Ｄ（ｂ，ｃ），由平行四边形的性质的点Ｃ的坐标为（ａ＋ｂ，ｃ），因为
2222
2222
AB a CD a AD b c BC
===+=
，，
()
2
AC a b
=+２２，
＋ｃ()
２２２
ＢＤ＝ｂ－ａ＋ｃ
所以，()
２２２２２２２
ＡＢ＋ＣＤ＋ＡＤ＋ＢＣ＝２ａ＋ｂ＋ｃ
()
２２２２２
ＡＣ＋ＢＤ＝２ａ＋ｂ＋ｃ所以，
２２２２２２
ＡＢ＋ＣＤ＋ＡＤ＋ＢＣ＝ＡＣ＋ＢＤ
因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。

上述解决问题的基本步骤可以让学生归纳如下：
第一步：建立直角坐标系，用坐标表示有关的量。

第二步：进行有关代数运算。

第三步；把代数结果“翻译”成几何关系。

思考：同学们是否还有其它的解决办法？
还可用综合几何的方法证明这道题。

【巩固练习】
1.证明直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等
2.在直线x-3y-2=0上求两点，使它与（-2，2）构成一个等边三角形。

3．点（0，5）到直线y=2x的距离是——。

【当堂检测】
1.已知点A(－2，－1)，B(a，3)，且|AB|＝5，则a的值为( )
A．1 B．－5 C．1或－5 D．－1或5
2.已知△ABC三顶点坐标A(－3，1)、B(3，－3)、C(1，7)，试判断△ABC 的形状．
【拓展延伸】
已知：等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.
求证：|AC|＝|BD|.
【课堂小结】
两点间距离公式的推导，以及应用，要懂得用代数的方法解决几何问题，建立直角坐标系的重要性。

【课外作业】习题3.2第7、8题
【教学反思】。