数列通项公式常见求法

数列通项公式的常见求法

数列在高中数学中占有非常重要的地位，每年高考都会出现有关数列的方面的试题，一般分为小题和大题两种题型，而数列的通项公式的求法是常考的一个知识点，一般常出现在大题的第一小问中，因此掌握好数列通项公式的求法不仅有利于我们掌握好数列知识，更有助于我们在高考中取得好的成绩。下面本文将中学数学中有关数列通项公式的常见求法进行较为系统的总结，希望能对同学们有所帮助。

一.公式法

高中重点学了等差数列和等比数列，当题中已知数列是等差数列或等比数列，在求其通项公式时我们就可以直接利用等差或等比数列的公式来求通项，只需求得首项及公差公比。

1、等差数列公式

例1、（2011辽宁理）已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=-10

（I）求数列{an}的通项公式；

解：（I）设等差数列

的公差为d，由已知条件可得

解得

故数列

的通项公式为

2、等比数列公式

例2.（2011重庆理）设

是公比为正数的等比数列，

，

。

（Ⅰ）求

的通项公式

解：I）设q为等比数列

的公比，则由

，

即

，解得

（舍去），因此

所以

的通项为

3、通用公式

若已知数列的前

项和

的表达式，求数列

的通项

可用公式

求解。一般先求出a1=S1，若计算出的an中当n=1适合时可以合并为一个关系式，若不适合则分段表达通项公式。

例3、已知数列

的前n项和

，求

的通项公式。

解：

，当

时

由于

不适合于此等式。∴

二.当题中告诉了数列任何前一项和后一项的递推关系即：

和an-1的关系时我们可以根据具体情况采用下列方法

1、叠加法

一般地，对于型如

类的通项公式，且

的和比较好求，我们可以采用此方法来求

。

即：

；

例4、（2011四川理8）数列

的首项为

，

为等差数列且

．若则

，

，则

A．0 B．3 C．8 D．11 解：由已知知

由叠加法

例5、已知数列

满足

，求数列

的通项公式。

解：（1）由题知：

2、叠乘法

一般地对于形如“已知a1，且

=f（n）（f（n）为可求积的数列）”的形式可通过叠乘法求数列的通项公式。即：

；

例6、在数列｛

｝中，

=1, (n+1)·

=n·

，求

的表达式。

解：由(n+1)·

=n·

得

，

=

·

·

…

=

所以

3、构造法

当数列前一项和后一项即

和an-1的递推关系较为复杂时，我们往往对原数列的递推关系进行变形，重新构造数列，使其变为我们学过的熟悉的数列（等比数列或等差数列）。具体有以下几种常见方法。

（1）、待定系数法

①、一般地对于an =kan-1 +m(k、m为常数）型，可化为的形式an

+λ=k(an-1 +λ).重新构造出一个以k为公比的等比数列，然后通过化简用待定系数法求λ，然后再求

。

例7、（2011广东理）设b>0,数列

满足a1=b，

.

（1）求数列

的通项公式；

解：

，得

，

设

，则

，

（ⅰ）当

时，

是以

为首项，

为公差的等差数列，

即

，∴

（ⅱ）当

时，设

，则

，

令

，得

，

，

知

是等比数列，

，又

，

，

．

②、对于

这种形式,一般我们讨论两种情况：

、当f(n)为一次多项式时，即数列的递推关系为

型，可化为

的形式来求通项。

例8.设数列

中，

，求

的通项公式。

解：设

与原式比较系数得：

即

令

、当f(n)为指数幂时，即数列递推关系为

（A、B、C为常数，）型，可化为

=

）的形式.构造出一个新的等比数列，然后再求

例9.（2003年全国高考题）设

为常数，且

（

），

证明：对任意n≥1，

解：证明：设

用

代入可得

∴

是公比为

，首项为

的等比数列，

∴

（

），

即：

当然对于

这种形式递推关系求

时，当A=C时，我们往往也会采取另一种方法，即左右两边同除以Cn +1,重新构造数列，来求

。

例10、（2007天津理）在数列

中，

，其中

．