集合及其运算

第一讲：集合及其运算

1．集合与元素

(1)集合中元素的三个特征：________、________、________

(2)元素与集合的关系是______或_______两种，用符号_____或_____表示．

(3)集合的表示法：_______、________、_________

(4)常见数集的记法

集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集

符号N N*(或N＋)Z Q R

2.集合间的基本关系

关系自然语言符号语言Venn图

子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)

真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中

集合相等集合A，B中的元素相同或集合A，B 互为子集

3.集合的基本运算

运算自然语言符号语言Venn图

交集由属于集合A且属于集合B的

所有元素组成的集合

A∩B＝{x|x∈A且x∈B}

并集由所有属于集合A或属于集合

B的元素组成的集合

A∪B＝{x|x∈A或x∈B}

补集由全集U中不属于集合A的所

有元素组成的集合

∁U A＝{x|x∈U且x∉A}

【知识拓展】

1．若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数_____，真子集的个数为________. 2．A⊆B⇔A∩B＝___⇔A∪B＝___.

3．A∩∁U A＝____；A∪∁U A＝____；∁U(∁U A)＝____

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)任何一个集合都至少有两个子集．( )

(2){x |y ＝x 2＋1}＝{y |y ＝x 2＋1}＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}．( ) (3)若{x 2,1}＝{0,1}，则x ＝0,1.( ) (4){x |x ≤1}＝{t |t ≤1}．( )

(5)对于任意两个集合A ，B ，关系(A ∩B )⊆(A ∪B )恒成立．( ) (6)若A ∩B ＝A ∩C ，则B ＝C .( )

题型一 集合的含义

例1 (1)(2017·济南调研)设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P ＋Q ＝{a ＋b |a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{0,2,5}，Q ＝{1,2,6}，则P ＋Q 中元素的个数是( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6

(2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝________.

(1)(2016·临沂模拟)已知A ＝{x |x ＝3k －1，k ∈Z }，则下列表示正确的是( )

A ．－1∉A

B ．－11∈A

C ．3k 2－1∈A (k ∈Z )

D ．－34∉A

(2)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩

⎨⎧

⎭

⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝________.

题型二 集合的基本关系

例2 (1)(2016·唐山一模)设A ，B 是全集I ＝{1,2,3,4}的子集，A ＝{1,2}，则满足A ⊆B 的B 的个数是( )

A ．5

B ．4

C ．3

D ．2

(2)已知集合A ＝{x |x 2－2 017x ＋2 016<0}，B ＝{x |x

(1)已知集合A ＝{x ∈R |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x ∈R |ax －1＝0}，若B ⊆A ，则实数a

的值为( )

A.13或－12 B ．－13或1

2

C.13或－1

2

或0 D ．－13或12

或0

(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1

题型三 集合的基本运算 命题点1 集合的运算

例3 (1)(2016·全国乙卷)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B 等于( ) A.⎝⎛⎭⎫－3，－32 B.⎝⎛⎭⎫－3，3

2 C.⎝⎛⎭

⎫1，32 D.⎝⎛⎭⎫32，3

(2)(2016·浙江)已知集合P ＝{x ∈R |1≤x ≤3}，Q ＝{x ∈R |x 2≥4}，则P ∪(∁R Q )等于( ) A ．[2,3] B ．(－2,3]

C ．[1,2)

D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)

命题点2 利用集合的运算求参数

例4 (1)设集合A ＝{x |－1≤x <2}，B ＝{x |x 2 C ．a ≥－1

D ．a >－1 (2)集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4

已知集合A ＝{x |x 2－x －12≤0}，B ＝{x |2m －1

m 的取值范围为( ) A ．[－1,2) B ．[－1,3] C ．[2，＋∞)

D ．[－1，＋∞)

题型四 集合的新定义问题

例5 定义一种新的集合运算△：A △B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }．若集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2≤x ≤4}，则按运算△，B △A 等于( ) A ．{x |3