2018年最新 湖南省湘潭一中2018届高三第一次月考试卷

湖南省湘潭一中2018届高三第一次月考试卷数学(理科)2018.18时量:120分钟 满分: 150分一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．a 、b 为实数，集合{,1},{,0},:b M N a f x x a==→表示把集合M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则b a +A ．1B ．0C ．－1D ．±12. 设()x f 是定义在R 上的单调递减的奇函数，若,0,0,0133221>+>+>+x x x x x x 则 A . ()()()0321>++x f x f x f B. ()()()0321<++x f x f x f C. ()()()0321=++x f x f x f D. ()()()321x f x f x f >+3.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，称这些函数为—---同族函数。

那么，函数的解析式为2x y =，值域为{}9,4的同族函数共有A. 7个B. 8个C. 9个D.10个4．已知命题P:不等式()[]011lg >+-x x 的解集为{}10<<x x ;命题Q:在三角形ABC 中B A ∠>∠是⎪⎭⎫⎝⎛+<⎪⎭⎫⎝⎛+42cos 42cos 22ππB A 成立的必要而非充分条件,则 A . P 真Q 假B . P 且Q 为真C . P 或Q 为假D . P 假Q 真5. 设y x ,都是整数，且满足()y x xy +=+22，则22y x +的最大可能值为A. 32B. 25C. 18D. 166. 函数()⎩⎨⎧≤<≤=πx x x x x f 0 sin 40 2 ,则集合()(){}0=x f f x 中元素的个数有A .2个B . 3个C .4个D. 5个7. 函数()x x x f -+=42的值域为A. []4,2B. []52,0C. []52,4D. []52,28. 在数列{}n a 中，如果存在非零常数T ，使得m t m a a =+ 对任意正整数m 均成立，那么就称{}n a为周期数列，其中T 叫做数列{}n a 的周期。

已知数列{}n x 满足11-+-=n n n x x x ()*∈≥N n n ,2，且(),0,1,121≠≤==a a a x x 当数列{}n x 周期为3时，则该数列的前2018项的和为 A . 668B . 669C . 1336D . 13389. 方程θθcos 2sin =在[)π2,0上的根的个数 A . 0个B . 一个C . 2个 D. 4个10.定义在R 上的函数()()()()(),215,11,00x f x f x f x f f x f =⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+=满足且当1021≤<≤x x 时，()()21x f x f ≤.则⎪⎭⎫⎝⎛20071f 等于A.21B.161 C. 321 D. 641 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分 ，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.11.设集合{}200m ,,27<∈+==*且N n n m m M n ，则集合M 中所有元素的和为 12. 设数列 ,,,,,321n a a a a 满足：,2,1321===a a a 对任意的正数n 都有：121≠++n n n a a a ，且321321+++++++++=n n n n n n n n a a a a a a a a ，则5021a a a +++ 的值为 13. 已知函数y ＝f(x) (x ∈R)满足f(x ＋3)＝f(x ＋1)，且x ∈[－1,1]时，f(x)＝|x|，则y ＝f(x)与y ＝log 5x 的图象交点的个数是 14. 下列表中的对数值有且仅有一个是错误的：x 3 5 8 9 15 lgx2a-ba+c3-3a-3c4a-2b3a-b+c+1请将错误的一个改正为lg = 15. 已知βα,为锐角，1010sin ,71tan ==βα 则α2sin = βα2+=三.解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分） 已知函数()()⎪⎭⎫⎝⎛<<>>++=20,00,A 1cos 2πϕωϕωx A x f 的最大值为3，()x f 的图像的相邻两对称轴间的距离为2，在Y 轴上的截距为2. （Ⅰ）求函数()x f 的解析式；（Ⅱ）设数列()n n S n f a ,=为其前n 项和，求100S .17. （本小题满分12分）已知函数()()0x 12≥++=x b ax x f ，且函数()x f 与()x g 的图像关于直线x y =对称，又()323-=f ，()01=g .（Ⅰ） 求()x f 的值域;（Ⅱ） 是否存在实数m ，使得命题 ()()43:2-<-m f m m f p 和 4341:>⎪⎭⎫⎝⎛-m g q 满足复合命题 q p 且为真命题？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由.18. （本小题满分12分）用长为16米的篱笆，借助墙角围成一个矩形ABCD(如图)，在P 处有一棵树与两墙的距离分别为a 米（0<a<12 ）和4米。

若此树不圈在矩形外，求矩形ABCD 面积的最大值M.19. （本小题满分13分）已知(),sin x x x f -=数列{}n x 满足0cos 2,4311=-+=+ππn n x x x ()*N n ∈ (Ⅰ) 判断并证明函数f(x)的单调性; (Ⅱ) 设数列{}n y 满足{}.2:.,2ππ<-=n n n n n S n y S x y 证明项和的前为a 米4米CDP BA20. （本小题满分13分）已知函数()x f 的定义域为R ，且满足以下条件：○1 对任意的R x ∈，有()0>x f ；○2 对任意,,R y x ∈有()()[]yx f xy f =；○3131>⎪⎭⎫⎝⎛f（Ⅰ）求()0f 的值；（Ⅱ）判断 ()x f 的单调性，并说明理由；（Ⅲ）若0>>>c b a 且a,b,c 成等比数列，求证：()()()b f c f a f 2>+.21. （本小题满分13分）设.12,111++==+n a a a n n（Ⅰ）是否存在常数p,q 使{}q pn a n ++成等比数列？若存在，求出p,q 的值；若不存在，说明理由;（Ⅱ）求{}n a 的通项公式；（Ⅲ）当5≥n 时，证明：()22+≥n a n .参考答案一、选择题 1.A2.B3.C4.A5.B6.D7.D8.D9.C10.C二、填空题：本大题共5小题，每小题5分 ，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 11. 450 12. 98 13. 414. 15 3a-b+c 15.257 4π 三.解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.解：（Ⅰ）()()2122cos 2Ax A x f +++=ϕω 依题意2A ,3212=∴=++AA ……………………1分 又 4T , 22==得T4422πωωπ==∴ ……………………3分 ()222cos +⎪⎭⎫⎝⎛+=∴ϕπx x f 令 x=0,得 22 20, 222cos πϕπϕϕ=∴<<=+又所以， 函数()x f 的解析式为 () 2sin 2⎪⎭⎫⎝⎛-=x x f π ……………………6分 （Ⅱ）由() 2sin 2⎪⎭⎫⎝⎛-=x x f π知 () 2sin 2⎪⎭⎫⎝⎛-==n n f a n π当n 为偶数时，()2=n f ；……………………9分当n 为奇数时，()()()()()()499977531=+==+=+f f f f f f200254502 100=⨯+⨯=∴S …………………12分17.解：（Ⅰ）依题意()()x g x f 与互为反函数，由()01=g 得()10=f()()⎩⎨⎧-=+===∴32233 10b a fb f ，得 ⎩⎨⎧=-=11b a()xx x x x f ++=++-=∴22111 ……………………3分故()x f 在[)+∞,0上是减函数()()1011x f 0 2=≤++=<∴f xx即 ()x f 的值域为(]1,0 . ……………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知()x f 是[)+∞,0 上的减函数，()x g 是(]1,0上的减函数， 又4321g 2143=⎪⎭⎫ ⎝⎛∴=⎪⎭⎫⎝⎛f ⎪⎭⎫⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛∴2141-m g g ……………………9分 故 ⎪⎩⎪⎨⎧≤<-<≥->-1214100432m m m m 解得 2334≠<≤m m 且 因此，存在实数m ，使得命题 qp 且为真命题，且m 的取值范围为2334≠<≤m m 且. ……………………12分 18.解：设AB=x,则AD=16-x ,依题意得⎩⎨⎧≥-≥a x x 164……………………2分即 ()21a 0 164<<-≤≤a x()()286416--=-=x x x S ABCD ……………………4分()时即当 8a 0 8,a -16 1<<>()()648max ==f x f ……………………8分()()[]a x f -<≤≤16,4, 12a 8 , 8a -16 2在时即当 上是增函数，所以 ()()a a a f x f 16162max +-=-= 故 ()()⎩⎨⎧<≤+<<=12a 8 16a -8a 0 642a M ……………………12分 19.解：(Ⅰ) ()0≥'x f 且仅当()Z k k x ∈=π2时，()0='x f 故()x f 是R 上的递增函数。

……………………3分 (Ⅱ) 显然()x f 为奇函数，()00=f由(Ⅰ)知，当0≥x 时，()()0sin ,00≥-=≥x x f x f 即 所以 [)+∞≤,0sin 在x x 上恒成立。

……………………6分 由已知得 )2s i n (21c o s 2121ππ-=-=-+n n n x x x 所以 2212sin 2121πππ-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+n n n x x x ……………………9分 所以11122122212212212+---=-≤≤-≤-≤-n n n n n x x x x πππππ故 221212121211132πππ<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++≤++n n n S ……………………13分 20.解：（Ⅰ）()0f =1 ……………………3分（Ⅱ）()13133113>⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=f f f又()()[]xf x f 1=所以()x f 是R 上的增函数。