《狭义相对论》答案(1)

第3章 狭义相对论

一、选择题

1(B)，2(C)，3(C)，4(C)，5(B)，6(D)，7(C)，8(D)，9(D)，10(C) 二、填空题 (1). c

(2). 4.33×10-8s

(3). ∆x /v , 2

)/(1)/(c x v v -∆

(4). c (5). 0.99c (6). 0.99c

(7). 8.89×10-8 s (8).

c 32

1

(9). 2/3c =v ，2/3c =v

(10). 9×1016 J, 1.5×1017 J 三、计算题

1. 在K 惯性系中观测到相距∆x = 9×108 m 的两地点相隔∆t =5 s 发生两事件，而在相对于K 系沿x 方向以匀速度运动的K ＇系中发现此两事件恰好发生在同一地点．试求在K ＇系中此两事件的时间间隔．

解：设两系的相对速度为v , 根据洛仑兹变换， 对于两事件，有 2

)

/(1c t x x v v -'

+'=∆∆∆

2

2

)

/(1(c x )/c t t v v -'

+'=

∆∆∆

由题意： 0='∆x

可得 ∆x = v ∆t 及 2

)

/(1c t t v -'

=

∆∆，

由上两式可得 2)/(1c t t v -='∆∆2

/122))/()((c x t ∆∆-== 4 s

2.在K 惯性系中，相距∆x = 5×106 m 的两个地方发生两事件，时间间隔∆t = 10-2 s ；而在相对于K 系沿正x 方向匀速运动的K ＇系中观测到这两事件却是同时发生的．试计算在K ＇系中发生这两事件的地点间的距离∆x ＇是多少？

解：设两系的相对速度为v ．根据洛仑兹变换， 对于两事件，有 2

)

/(1c t x x v v -'

+'=∆∆∆

2

2

)

/(1(c x )/c t t v v -'

+'=

∆∆∆

由题意： 0='∆t

可得 x c t ∆∆=)/(2v

及 2

)/(1c x x v -='∆∆

由上两式可得 x '∆2/1222])/()[(c t c x ∆∆-=2/1222][t c x ∆∆-== 4×106 m

3. 一艘宇宙飞船的船身固有长度为L 0 =90 m ，相对于地面以=v 0.8 c (c 为真空中光速)的匀速度在地面观测站的上空飞过．

(1) 观测站测得飞船的船身通过观测站的时间间隔是多少？ (2) 宇航员测得船身通过观测站的时间间隔是多少？

解：(1) 观测站测得飞船船身的长度为

=-=2

0)/(1c L L v 54 m

则 ∆t 1 = L /v =2.25×10-

7 s

(2) 宇航员测得飞船船身的长度为L 0，则

∆t 2 = L 0/v =3.75×10-7 s

4. 一飞船和慧星相对于地面分别以0.6c 和0.8c 速度相向运动，在地面上观察，5s 后两者将相撞，问在飞船上观察，二者将经历多长时间间隔后相撞？

解：两者相撞的时间间隔Δt = 5s 是运动着的对象—飞船和慧星—发生碰撞的时间间隔，因此是运动时．在飞船上观察的碰撞时间间隔Δt`是以速度v = 0.6c 运动的系统的本征时，根

据时间膨胀公式t ∆=

，可得时间间隔为`t ∆=∆．

5. 在惯性系中，有两个静止质量都是m 0的粒子A 和B ，它们以相同的速率v 相向运动，碰撞后合成为一个粒子，求这个粒子的静止质量M 0．

解：设粒子Ａ的速度为A v ，粒子Ｂ的速度为B v

，合成粒子的运动速度为V ．由动量守恒得

2

2

02

202

20/1/1/1c

V V

M c m c m B

B

A

A

-=

-+

- v v v v

因1v v v ==B A ，且B A v v

-=，所以 0=V ．

即合成粒子是静止的．由能量守恒得

202

22

0222

0/1/1c M c c m c c m =-+

-v v

解出 2

20

0/12c

m M v -=

6. 两个质点A 和B ，静止质量均为m 0．质点A 静止，质点B 的动能为6m 0c 2．设A 、B 两质点相撞并结合成为一个复合质点．求复合质点的静止质量．

解：设复合质点静止质量为M 0，运动时质量为M ．由能量守恒定律可得 2202mc c m Mc +=

其中mc 2为相撞前质点B 的能量． 202020276c m c m c m mc =+= 故 08m M = 设质点B 的动量为p B ，复合质点的动量为p ．由动量守恒定律 B p p =

利用动量与能量关系，对于质点B 可得

4

2042420224c qm c m c m c p B ==+

对于复合质点可得 420424202264c m c M c M c P ==+ 由此可求得 20

202020164864m m m M =-= 004m M =

四 研讨题

1. 相对论的时间和空间概念与牛顿力学的有何不同？有何联系？

参考解答：

牛顿力学时空观的基本观点是，长度和时间的测量与运动（或说与参考系）无关；而相对论时空观的基本观点是，长度和时间的测量不仅与运动有关，还与物质分布有关。

牛顿力学时空概念是相对论时空观在低速（即运动速度远远小于光速）时的近似。 牛顿力学时空观的基本原理是力学相对性原理，由力学基本原理得到的两个惯性系的运动量间的关系是伽利略变换

.,,,

t t z z y y t x x ='='='-='v

狭义相对论时空观的基本原理是相对论的相对性原理和光速不变原理，而相应运动量之间的变换是洛仑兹变换

.1,,,12

2222c

x c t t z z y y c t x x v v v v --=

'='='--=' 比较上述两个变换式可知，在低速时，即c << v 时，洛仑兹变换式就会过渡到伽利略变换式。

2. 同时的相对性是什么意思？为什么会有这种相对性？如果光速是无限大，是否还会有同时性的相对性？

参考解答：

同时性的相对性的意思是：在某一惯性系中两地同时发生的两个事件，在相对于此惯性系匀速运动的另一惯性系中观测，并不是同时发生的。

这个结论与光速不变原理紧密相联。

设相对运动的惯性系是)(x0y S 和)(y 0x S ''''，坐标系和相对运动如图所示，坐标原点0和0'重合时设为0='=t t 。

由洛仑兹变换，两事件的时空坐标关系为

2

221c

x

c t t v v -∆-∆='∆ 如果在S 系中两事件同时发生，即0=∆t ，那么在S '系中两事件的时间间隔