新课标版数学必修二(新高考 新课程)作业11高考调研精讲精练
新课标版数学必修二(新高考 新课程)综合卷2高考调研精讲精练
模块综合测试卷(二)第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分)1．直线3x＋3y－1＝0的倾斜角为()A．60°B．30°C．120°D．150°答案 C2．设E，F，G分别为四面体ABCD的棱BC，CD，DA的中点，则此四面体中与过E，F，G的截面平行的棱有()A．0条B．1条C．2条D．3条答案 C3．直线3x＋4y－13＝0与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的位置关系是()A．相离B．相交C．相切D．无法判定答案 C4．已知A(0，8)，B(－4，0)，C(m，－4)三点共线，则实数m的值是()A．－6 B．－2C．2 D．6答案 A5．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面．下列命题中正确的是() A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βB．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m∥α，m∥β，则α∥β答案 B6．下列说法中正确的个数有()①两平面平行，夹在两平面间的平行线段相等；②两平面平行，夹在两平面间的相等的线段平行；③两条直线被三个平行平面所截，截得的线段对应成比例；④如果夹在两平面间的三条平行线段相等，那么这两个平面平行．A．1个B．2个C．3个D．4个答案 B7．若a>0，b<0，c<0，则直线ax ＋by ＋c ＝0必不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 B8．直线l 1过A(3，0)，直线l 2过B(0，4)，且l 1∥l 2，用d 表示l 1与l 2间的距离，则( ) A ．d ≥5 B ．3≤d ≤5 C ．0≤d ≤5 D ．0<d ≤5 答案 D9．若圆心在x 轴上，半径为5的圆C 位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，则圆C 的方程是( )A ．(x －5)2＋y 2＝5B ．(x ＋5)2＋y 2＝5C ．(x －5)2＋y 2＝5D ．(x ＋5)2＋y 2＝5 答案 D10．直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN|≥23，则k 的取值范围是( ) A ．[－34，0]B ．(－∞，－34]∪[0，＋∞)C ．[－33，33] D ．[－23，0]答案 A11．在正方体ABCD-A ′B ′C ′D ′中，过对角线BD ′的一个平面交AA ′于E 、交CC ′于F ，则以下结论中错误的是( ) A ．四边形BFD ′E 一定是平行四边形 B ．四边形BFD ′E 有可能是正方形 C ．四边形BFD ′E 有可能是菱形D ．四边形BFD ′E 在底面投影一定是正方形 答案 B12.如图所示，在斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面△ABC 中，∠A ＝90°，且BC 1⊥AC ，过C 1作C 1H ⊥底面ABC ，垂足为H ，则点H 在( ) A ．直线AC 上 B ．直线AB 上 C ．直线BC 上 D ．△ABC 内部答案 B第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.如图所示，ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝a3，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________．答案22 3 a14．与直线2x＋3y＋5＝0平行，且在两坐标轴上截距的和为6的直线方程是________．答案10x＋15y－36＝015．设α和β为不重合的两个平面，给出下列结论：(1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；(2)若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；(3)设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；(4)直线l与α垂直等价于l与α内的两条直线垂直．其中正确结论的序号是________．答案(1)(2)16.如图所示，在三棱锥P-ABC中，面PAC⊥面ABC，∠ABC＝90°，PA＝PC＝32，BA ＝BC＝2，则三棱锥PABC的外接球的表面积为________．答案81 4π解析如图，取AC中点O，连接BO，PO.∵BA＝BC＝2，∠ABC＝90°.∴AC＝22，且O为△ABC的外心．∵PA＝PC，O为AC中点，∴PO⊥AC.又∵面PAC⊥面ABC，面PAC∩面ABC＝AC，∴PO ⊥面ABC.∴三棱锥P-ABC 外接球球心G 在PO 上，且为△PAC 的外心． 在△PAC 中，PO ＝4，∴sin ∠PAO＝PO PA ＝223，2R ＝PC sin ∠PAO ＝32223＝92，R ＝94，S ＝4πR 2＝814π.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(本小题满分10分)如图所示，已知A(1，3)，B(－1，－1)，C(2，1)．求△ABC 的BC 边上的高所在的直线方程．解析 如图，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，k BC ＝1－（－1）2－（－1）＝23，∵AD ⊥BC ，∴k AD ·k BC＝－1，∴k AD ＝－32.故BC 边上的高AD 所在直线斜率为－32，且过点A(1，3)．∴直线方程为y －3＝－32(x －1), 即3x ＋2y －9＝0.18．(本小题满分12分)如图所示，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 分别是AD 1，BD 上的点，且AP ＝BQ ，求证：PQ ∥平面DCC 1D 1.证明 连接AQ 并延长交DC 于点E ，连接D 1E ，如图． 在正方体AC 1中，AD 1＝BD ， 又∵AP ＝BQ ，∴PD 1＝DQ. ∵AB ∥CD ，∴AQ QE ＝BQ QD ＝APPD 1，∴PQ ∥D 1E.又∵PQ ⊄平面DCC 1D 1，D 1E ⊂平面DCC 1D 1.∴PQ ∥平面DCC 1D 1.19．(本小题满分12分)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9内有一点P(2，2)，过点P 作直线l 交圆C 于A ，B 两点．(1)当直线l 过圆心C 时，求直线l 的方程； (2)当直线l 的倾斜角为45°时，求弦AB 的长． 解析 由题意得，圆C 的圆心C(1，0)，半径r ＝3. (1)当l 过圆心C 时，k ＝k CP ＝2－02－1＝2.∴l 方程为y －0＝2(x －1)，即2x －y －2＝0. (2)当l 倾斜角为45°时，k ＝1，此时直线方程为：y －2＝x －2，即x －y ＝0. 圆心C 到直线l 的距离d ＝|1－0|2＝22.∴|AB|＝2r 2－d 2＝29－12＝34. 20．(本小题满分12分)直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求a 的值； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围． 解析 (1)若l 在两坐标轴上截距相等，则a ≠－1.①当2－a ＝0，即a ＝2时，直线过原点，横纵截距离均为0，满足题意． ②当2－a ≠0时，将直线方程化为截距式，l ：x 2－a a ＋1＋y2－a＝1.∴2－a a ＋1＝2－a ，即a ＝0. 综上：a ＝0或a ＝2.(2)直线l 过定点(1，－3)，∴l 不经过第二象限，只需k ≥0，即－(a ＋1)≥0，∴a ≤－1.21．(本小题满分12分)如图，在三棱锥A-BCD 中，AB ⊥面BCD ，P 为BD 上一点，AB ＝CD ＝1，BC ＝ 3.(1)当BD等于多少时，面ABC⊥面ACD?(2)在(1)的条件下，若三棱锥DAPC的体积等于39时，求CP的长．解析(1)在平面ABC内过点B作BE⊥AC交AC于点E，若面ABC⊥面ACD，则BE⊥面ACD，又AD⊂面ACD，∴BE⊥AD，∵AB⊥面BCD，CD⊂面BCD，∴AB⊥CD，∵AB⊂面ABC，BE⊂面ABC，AB∩BE＝B，∴DC⊥面ABC.又BC⊂面ABC，∴DC⊥BC，即∠BCD＝90°，∵CD＝1，BC＝3，∴BD＝2.即当BD＝2时，面ABC⊥ACD.(2)由(1)可知∠BCD＝90°，∠BDC＝60°，∴S△PCD＝12DC·DPsin60°＝34DP，∵AB⊥面BCD，∴V D-APC＝V A-DPC＝13AB·S△DPC ＝312DP＝39，∴DP＝43，∴在△PCD中，CP2＝DC2＋DP2－2DC·DPcos60°＝139，∴CP＝133.22.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA ⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2.以BD的中点O为球心、BD为直径的球面交PD于点M.(1)求证：平面ABM⊥平面PCD；(2)求直线PC与平面ABM所成的角的正切值；(3)求点O到平面ABM的距离．解析(1)证明：∵M点在以BD为直径的圆上，∴BM⊥MD，即BM⊥PD.∵PA ⊥面ABCD ，AB ⊂面ABCD ，∴PA ⊥AB. ∵底面ABCD 为矩形，∴AB ⊥AD.又PA ∩AD ＝A.∴AB ⊥面PAD ，又PD ⊂面PAD ， ∴AB ⊥PD.又∵AB ∩BM ＝B ，∴PD ⊥面ABM ，PD ⊂面PCD. ∴平面ABM ⊥平面PCD.(2)如图，过M 点作MN ∥CD 交PC 于点N ，连接BN. ∵AB ∥CD ，MN ∥CD ， ∴AB ∥MN.∴PC 与平面ABM 的交点为N.由(1)知PD ⊥面ABM ，∴MN 即为PN 在平面ABM 上的射影，∴∠PNM 即为PC 与平面ABM 所成角，且∠PNM ＝∠PCD. ∴tan ∠PNM ＝tan ∠PCD ＝PDDC＝2 2.∴直线PC 与平面ABM 所成角的正切值为2 2.(3)∵O 为BD 的中点，∴O 到平面ABM 的距离为D 到平面ABM 距离的一半，由(1)知，PD ⊥面ABM 于点M ，∴DM 即为点D 到平面ABM 的距离．在Rt △PAD 中，PA ＝AD ＝4.PD ⊥AM.∴M 为PD 中点，∴DM ＝12PD ＝2 2.∴O 到平面ABM 的距离为 2.。
新课标版数学选修2-1作业11高考调研精讲精练
课时作业(十一)1．已知直线l ：x ＋y －3＝0，椭圆x 24＋y 2＝1，则直线与椭圆的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．相切或相交答案 C2．过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点且垂直于椭圆长轴的直线与椭圆相交于A ，B 两点，则|AB|等于( ) A ．4 B ．2 3 C ．1 D ．4 3 答案 C3．椭圆4x 2＋9y 2＝144内一点P(3，2)，过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在的直线方程为( ) A ．3x ＋2y －12＝0 B ．2x ＋3y －12＝0 C ．4x ＋9y －144＝0 D ．9x ＋4y －144＝0 答案 B解析 设弦的两端点为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，又弦AB 中点为P(3，2)，所以x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝4.又因为4x 12＋9y 12＝144，① 4x 22＋9y 22＝144，②①－②整理可得y 1－y 2x 1－x 2＝－23，即k AB ＝－23，所以弦AB 所在直线方程为y －2＝－23(x －3)，即2x ＋3y －12＝0.故选B.4．直线y ＝x 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB|等于( )A ．2 B.455 C.4510 D.8510 答案 C解析 应用弦长公式，得|AB|＝1＋k 2·|x A －x B |.5．过椭圆x 24＋y 23＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别是( )A ．8，6B ．4，3C ．2， 3D ．4，2 3答案 B解析 最长为2a ，弦垂直于x 轴时最短(即通径最短)．6．经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点，设O 为坐标原点，则OA →·OB →等于( ) A ．－3 B ．－13C ．－13或－3D ．±13答案 B7．AB 为过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)中心的弦，F 2(c ，0)是其右焦点，则△ABF 2的面积的最大值是( ) A ．bc B ．ab C ．ac D ．b 2 答案 A解析 S △ABF 2＝12|OF 2|·|y A －y B |＝12c·|y A －y B |，当AB 与x 轴垂直时|y A －y B |＝2b.∴S △ABF 2的最大值为bc.8．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为33，若直线y ＝kx 与其一个交点的横坐标为b ，则k 的值为( ) A ．±1 B ．± 2 C ．±33D ．±3 答案 C解析 因为椭圆的离心率为33，所以有c a ＝33，即c ＝33a ，c 2＝13a 2＝a 2－b 2，所以b 2＝23a 2.当x ＝b 时，交点的纵坐标为y ＝kb ，即交点为(b ，kb)，代入椭圆方程b 2a 2＋k 2b 2b 2＝1，即23＋k 2＝1，k 2＝13，所以k ＝±33.选C.9．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM|＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为________． 答案 410．F 1，F 2是椭圆x 22＋y 2＝1的两个焦点，过右焦点F 2作倾斜角为π4的弦AB ，则△F 1AB 的面积等于_____________________________________________________________________． 答案 43解析 S △ABF 1＝12|F 1F 2|·|y A －y B |＝c·|y A －y B |.11．若P 满足x 24＋y 2＝1(y ≥0)，则y －2x －4的最小值是________．答案4－76解析 设k ＝y －2x －4，则y －2＝k(x －4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k （x －4），x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋16k(1－2k)x ＋16(1－2k)2－4＝0. 由Δ＝0得12k 2－16k ＋3＝0，∴k ＝4±76.又∵y ≥0，∴k ＝4－76(k ＝4＋76舍)．故y －2x －4的最小值为4－76.12．过点M(1，1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)相交于A ，B 两点，若M是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________． 答案22解析 利用点差法，设而不求，建立方程组求解． 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 12a 2＋y 12b 2＝1， ①x 22a 2＋y 22b 2＝1， ②①－②得（x 1－x 2）（x 1＋x 2）a 2＋（y 1－y 2）（y 1＋y 2）b 2＝0.∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.∵y 1－y 2x 1－x 2＝－12，x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，∴－b 2a 2＝－12.∴a 2＝2b 2.又∵b 2＝a 2－c 2， ∴a 2＝2(a 2－c 2)，∴a 2＝2c 2，∴c a ＝22.13．已知直线l ：y ＝kx ＋1与椭圆x 22＋y 2＝1交于M ，N 两点，且|MN|＝423，则k ＝________．答案 ±1解析 设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 22＋y 2＝1，消去y 并化简得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0，所以x 1＋x 2＝－4k1＋2k 2，x 1x 2＝0.由|MN|＝423，得(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝329，所以(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝329，所以(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝329，即(1＋k 2)(－4k 1＋2k 2)2＝329.化简得k 4＋k 2－2＝0，所以k 2＝1，所以k ＝±1.14．已知椭圆的短轴长为23，焦点坐标分别是(－1，0)和(1，0)． (1)求这个椭圆的标准方程；(2)如果直线y ＝x ＋m 与这个椭圆交于不同的两点，求m 的取值范围． 解析 (1)∵2b ＝23，c ＝1，∴b ＝3，a 2＝b 2＋c 2＝4. ∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 24＋y 23＝1，消去y 并整理得7x 2＋8mx ＋4m 2－12＝0.若直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 23＝1有两个不同的交点，则有Δ＝(8m)2－28(4m 2－12)>0，即m2<7，解得－7<m<7.15．已知中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的两焦点间的距离为3，若椭圆被直线x＋y＋1＝0截得的弦的中点的横坐标是－23，求椭圆的方程．解析设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(0<m<n)，弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．由题意得x1＋x22＝－23，y1＋y22＝－13.由⎩⎪⎨⎪⎧y＝－x－1，mx2＋ny2＝1，可得(m＋n)x2＋2nx＋n－1＝0.∴x1＋x2＝－2nm＋n＝－43，即n＝2m.①∵2c＝3，∴c＝32，即1m－1n＝32.②由①②解得m＝23，n＝43.所以椭圆的方程为23x2＋43y2＝1，即x232＋y234＝1.1．若椭圆ax2＋by2＝1与直线y＝1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为32，则ab的值为()A.32 B.233C.932 D.2327答案 A2．椭圆x212＋y23＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，若线段PF1的中点M在y轴上，则点M的纵坐标是()A．±34B．±22C．±32D．±34答案 D解析OM为△PF1F2的中位线，P点横坐标为c或－c.3．椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A ，B 是它的焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，静放在点A 的小球(小球的半径不计)，从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是( ) A ．4a B ．2(a －c)C ．2(a ＋c)D ．以上答案均有可能答案 D4．若直线kx －y ＋3＝0与椭圆x 216＋y 24＝1有两个公共点，则实数k 的取值范围是( )A ．(－54，54) B ．[－54，54] C ．(－∞，－54)∪(54，＋∞) D ．(－∞，－54)∪(－54，54) 答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3，x 216＋y 24＝1，得(4k 2＋1)x 2＋24kx ＋20＝0.当Δ＝16(16k 2－5)>0，即k>54或k<－54时，直线与椭圆有两个公共点．故选C.5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，弦的中点是M(－4，1)，则椭圆的离心率是( ) A.12 B.22 C.32D.55答案 C解析 设直线x －y ＋5＝0与椭圆相交于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8，y 1＋y 2＝2，直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝1.由⎩⎨⎧x 12a 2＋y 12b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）a 2＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）b 2＝0，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2×x 1＋x 2y 1＋y 2＝1，∴b 2a 2＝14.故椭圆的离心率e ＝ca＝1－b 2a 2＝32.故选C.6．已知椭圆x 22＋y 2＝1.(1)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；(2)过A(2，1)的直线l 与椭圆相交，求l 被截得的弦的中点轨迹方程； (3)过点P(12，12)且被P 点平分的弦所在直线的方程．解析 (1)设斜率为2的直线的方程为y ＝2x ＋b.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋b ，x 22＋y 2＝1，得9x 2＋8bx ＋2b 2－2＝0.由Δ＝(8b)2－4×9×(2b 2－2)＞0，得－3＜b ＜3.设平行弦的端点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，x 1＋x 22＝－8b 2×9＝－4b 9，－43＜－4b 9＜43.设弦的中点坐标为(x ，y)，则x ＝x 1＋x 22＝－4b9.代入y ＝2x ＋b ，得x ＋4y ＝0(－43＜x ＜43)为所求轨迹方程．(2)设l 与椭圆的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，弦的中点为(x ，y)，则x 122＋y 12＝1，x 222＋y 22＝1.两式相减并整理，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋2(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0.又∵x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y ，∴2x(x 1－x 2)＋4y(y 1－y 2)＝0. ∴x ＋2y·y 1－y 2x 1－x 2＝0.①由题意知y 1－y 2x 1－x 2＝y －1x －2，代入①，得x ＋2y·y －1x －2＝0.化简，得x 2＋2y 2－2x －2y ＝0.∴所求轨迹方程为x 2＋2y 2－2x －2y ＝0(夹在椭圆内的部分)．(3)将x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝1代入(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋2(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0，得y 2－y 1x 2－x 1＝－12.故所求的直线方程为2x ＋4y －3＝0.7．(1)设P 是椭圆x 2a2＋y 2＝1(a>1)短轴的一个端点，Q 为椭圆上的一个动点，求|PQ|最大值．(2)设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左，右焦点，若P 是该椭圆上的一个动点，求PF 1→·PF 2→取值范围．解析 (1)依题意可设P(0，1)，Q(x ，y)，则|PQ|＝x 2＋（y －1）2.又因为Q 在椭圆上，所以x 2＝a 2(1－y 2)．|PQ|2＝a 2(1－y 2)＋y 2－2y ＋1＝(1－a 2)y 2－2y ＋1＋a 2＝(1－a 2)(y －11－a 2)2－11－a2＋1＋a 2. 因为|y|≤1，a>1，若a ≥2，则|11－a 2|≤1. 当y ＝11－a 2时，|PQ|取最大值a 2a 2－1a 2－1.若1<a<2，则当y ＝－1时，|PQ|取最大值2.(2)易知a ＝2，b ＝1，c ＝3，所以F 1(－3，0)，F 2(3，0)． 设P(x ，y)，则PF 1→·PF 2→＝(－3－x ，－y)·(3－x ，－y) ＝x 2＋y 2－3＝x 2＋1－x 24－3＝14(3x 2－8)． 因为x ∈[－2，2]，故当x ＝0，即点P 为椭圆短轴端点时，PF 1→·PF 2→有最小值－2； 当x ＝±2，即点P 为椭圆长轴端点时，PF 1→·PF 2→有最大值1. 所以PF 1→·PF 2→的取值范围为[－2，1]．。
新课标版数学选修2-3作业11高考调研精讲精练
课时作业(十一)1．在二项式(x 2－1x)5的展开式中，含x 4的项的系数是( ) A ．－10B ．10C ．－5D ．5 答案 B解析 展开式的通项为T r ＋1＝C 5r (x 2)5－r ·(－1x)r ＝(－1)r ·C 5r ·x 10－3r ， 令10－3r ＝4，∴r ＝2，则x 4的系数是(－1)2·C 52＝10.故选B.2．(2x 3－12x 2)10的展开式中的常数项是( ) A ．210 B.1052C.14D ．－105 答案 B3．(高考真题·湖南卷)(12x －2y)5的展开式中x 2y 3的系数是( ) A ．－20B ．－5C ．5D ．20答案 A解析 根据二项展开式的通项公式求解．(12x －2y)5展开式的通项公式为T r ＋1＝C 5r (12x)5－r ·(－2y)r ＝C 5r ·(12)5－r ·(－2)r ·x 5－r ·y r . 当r ＝3时，C 53(12)2·(－2)3＝－20. 4．二项式(52＋77)24展开式中的整数项是( )A ．第15项B ．第14项C ．第13项D ．第12项 答案 A解析 (52＋77)24展开式的通项为C 24r (52)24－r ·(77)r .要使其为整数，应使24－r 5与r 7都是整数，观察易知r ＝14时24－r 5＝2，r 7＝2皆为整数，因此所求为第r ＋1项，即第15项． 5．把(3i －x)10(i 是虚数单位)按二项式定理展开，展开式的第8项的系数是( )A ．135B ．－135C ．－3603iD ．3603i答案 D解析 ∵T 7＋1＝C 107(3i)3(－x)7＝－C 10733i 3x 7＝C 10733ix 7，所以展开式的第8项的系数为33·C 107i ，即3603i.6．在(x ＋1)(2x ＋1)·…·(nx ＋1)(n ∈N *)的展开式中一次项系数为( )A ．C n 2B ．C n ＋12 C ．C n n －1D.12C n ＋13 答案 B解析 1＋2＋3＋…＋n ＝n·（n ＋1）2＝C n ＋12. 7．(高考真题·湖北卷)若二项式(2x ＋a x )7的展开式中1x 3的系数是84，则实数a ＝( ) A ．2 B.54 C ．1 D.24答案 C解析 T k ＋1＝C 7k (2x)7－k (a x )k ＝C 7k 27－k a k x 7－2k ，令7－2k ＝－3，得k ＝5，即T 5＋1＝C 7522a 5x －3＝84x －3，解得a ＝1，选C 项．8．(2017·课标全国Ⅲ，理)(x ＋y)(2x －y)5的展开式中x 3y 3的系数为( )A ．－80B ．－40C ．40D ．80 答案 C解析 当第一个括号内取x 时，第二个括号内要取含x 2y 3的项，即C 53(2x)2(－y)3，当第一个括号内取y 时，第二个括号内要取含x 3y 2的项，即C 52(2x)3(－y)2，所以x 3y 3的系数为C 52×23－C 53×22＝10×(8－4)＝40.9．(2018·石家庄市高三二检)在(1－x)5(2x ＋1)的展开式中，含x 4项的系数为( )A ．25B ．－5C ．－15D ．－25 答案 C解析 (1－x)5的展开式的通项公式为T r ＋1＝C 5r (－1)r x r ，当r ＝4时，C 54x 4×1＝5x 4，当r ＝3时，－C 53x 3×2x ＝－20x 4，故x 4的系数为－15，故选C.10．化简：(x －1)4＋4(x －1)3＋6(x －1)2＋4x －3的值为________．答案 x 4解析 原式为(x －1)4＋4(x －1)3＋6(x －1)2＋4(x －1)＋1＝[(x －1)＋1]4＝x 4.11．(x －1)－(x －1)2＋(x －1)3－(x －1)4＋(x －1)5的展开式中，x 2的系数等于________． 答案 －20解析 方法一：所给的代数式是五个二项式的代数和．因此所求的x 2的系数就应该是这五个二项式的展开式中x 2的系数的代数和，即－C 20－C 31－C 42－C 53＝－20.方法二：也可以利用等比数列求和公式，将原式化为（x －1）[1－（1－x ）5]1＋（x －1）＝（x －1）＋（x －1）6x.可以看出，所求的x 2的系数就是(x －1)6中x 3的系数，即为－C 63＝－20.12．(32＋12)50的二项展开式中，整数项共有________项． 答案 4解析 T k ＋1＝C 50k (32)50－k ·(12)k ＝C 50k ·2100－5k 6.由0≤k ≤50，且k ∈N 可知，当k ＝2，8，14，20时，100－5k 6取整数，即展开式中有4项是整数项． 13．在二项式(2x ＋3)80的展开式中，系数为有理数的项共有多少项？解析 设系数为有理数的项为第k ＋1项，即C 80k (2x)80－k (3)k ＝240－k 2×3k2C 80k x 80－k ， 因为系数为有理数，所以k 应能被2整除．又因为k ＝0，1，2， (80)所以当k ＝0，2，4，6，…，80时，满足条件，所以共有41项．14．求(x ＋1x－1)5展开式中的常数项． 解析 方法一：(x ＋1x －1)5＝(x ＋1x －1)(x ＋1x －1)(x ＋1x －1)(x ＋1x －1)(x ＋1x－1)． 按多项式乘法的规律，常数可从五个因式中都选取－1相乘为(－1)5；若从五个因式中选定一因式取x ，一因式取1x，另三个因式中取(－1)，为C 51C 41(－1)3；若从五个因式某两因式中取x ，另两因式中取1x，余下一个因式中取－1，所得式为C 52C 32(－1)，所以常数项为 (－1)5＋C 51C 41(－1)3＋C 52C 32(－1)＝－51.方法二：由于本题只有5次方，也可以直接展开，即[(x ＋1x )－1]5＝(x ＋1x )5－5(x ＋1x )4＋10(x ＋1x )3－10(x ＋1x )2＋5(x ＋1x)－1.由x ＋1x 的对称性知，只有在x ＋1x的偶数次幂中的展开式中才会出现常数项且是各自的中间项，∴常数项为－5C 42－10C 21－1＝－51.方法三：∵(x ＋1x －1)5＝[(x ＋1x)－1]5， ∴通项为T r ＋1＝C 5r (x ＋1x)5－r ·(－1)r (0≤r ≤5)． 当r ＝5时，T 6＝C 55(－1)5＝－1；当0≤r<5时，(x ＋1x)5－r 的通项为 T′k ＋1＝C 5－r k x 5－r －k ·(1x )k ＝C 5－r k x 5－r －2k (0≤k ≤5－r)．∵0≤r<5，且r ∈Z ，∴r 只能取1或3相应的k 值分别为2或1.∴常数项为C 51C 42(－1)＋C 53C 21(－1)3＋(－1)＝－51.15．(2019·衡水高二检测)在(2x 2－13x )8的展开式中，求：(1)第5项的二项式系数及第5项的系数；(2)x 2的系数．解析 (1)T 5＝T 4＋1＝C 84(2x 2)8－4(－13x )4＝C 84·24·x 203.所以第5项的二项式系数是C 84＝70，第5项的系数是C 84·24＝1 120.(2)(2x 2－13x )8的通项是T k ＋1＝C 8k (2x 2)8－k (－13x)k＝(－1)k C 8k ·28－k ·x16－73k. 根据题意得，16－73k ＝2，解得k ＝6. 因此，x 2的系数是(－1)6C 86·28－6＝112.16．在二项式(3x －123x)n 的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列． (1)求展开式的第四项；(2)求展开式的常数项．解析 T k ＋1＝C n k (3x)n －k (－123x)k ＝(－12)k C n k x 13n －23k ， 由前三项系数的绝对值成等差数列，得C n 0＋(－12)2C n 2＝2×12C n 1， 解这个方程得n ＝8或n ＝1(舍去)．(1)展开式的第四项为T 4＝(－12)3C 83x 23＝－73x 2. (2)当83－23k ＝0，即k ＝4时，常数项为(－12)4C 84＝358. ►重点班选做题17．(1－x)4(1－x)3的展开式中x 2的系数是( )A ．－6B ．－3C ．0D ．3答案 A解析 由于(1－x)4的通项为T r ＋1＝C 4r (－x)r ＝(－1)r C 4r x r ，(1－x)3的通项为T k ＋1＝(－1)k C 3k x k 2，所以乘积中的x 2项的系数为(1－x)4中的x 2项的系数和x 的系数分别乘(1－x)3中的常数项和x 的系数再求和得到，即6×1＋(－4)×3＝6－12＝－6.18．(2019·江西四校联考)已知(1＋x)10＝a 0＋a 1(1－x)＋a 2(1－x)2＋…＋a 10(1－x)10，则a 8等于( )A ．－5B ．5C ．90D ．180答案 D解析 ∵(1＋x)10＝[2－(1－x)]10＝a 0＋a 1(1－x)＋a 2(1－x)2＋…＋a 10(1－x)10，∴a 8＝C 108·22＝180.19．若(cosφ＋x)5的展开式中x 3的系数为2，则sin(2φ＋π2)＝________． 答案 －35解析 由二项式定理，得x 3的系数为C 53cos 2φ＝2，得cos 2φ＝15，故sin(2φ＋π2)＝cos2φ＝2cos 2φ－1＝－35. 20．设二项式(x －a x )6(a>0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B.若B ＝4A ，则a 的值是________． 答案 2解析 对于T r ＋1＝C 6r x 6－r (－a x 12)r ＝C 6r (－a)r x6－32r ， B ＝C 64(－a)4，A ＝C 62(－a)2.∵B ＝4A ，a>0，∴a ＝2.。
新课标版数学必修二(新高考 新课程)作业19高考调研精讲精练
课时作业(十九)1．两条不重合直线，其平行的条件是( ) A ．斜率相等 B ．斜率乘积等于－1 C ．倾斜角相等 D ．倾斜角的绝对值等于90°答案 C解析 当直线垂直于x 轴时，倾斜角为90°，斜率不存在，所以只要倾斜角相等，两条直线平行．2．已知直线l 1经过两点(－1，－2)，(－1，4)，直线l 2经过两点(2，1)，(x ，6)，且l 1∥l 2，则x ＝( )A ．2B ．－2C ．4D ．1答案 A解析 l 1：经过两点(－1，2)，(－1，4)，倾斜角为90°， 又∵l 1∥l 2，∴l 2倾斜角也为90°，∴x ＝2.3．直线l 1，l 2的斜率分别为－1a ，－23，若l 1⊥l 2，则实数a 的值是( )A ．－23B ．－32C.23D.32 答案 A解析 l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1，∴(－1a )·(－23)＝－1，∴a ＝－23，选A.4．若点P(a ，b)与Q(b －1，a ＋1)关于直线l 对称，则l 的倾斜角为( ) A ．135° B ．45° C ．30° D ．60° 答案 B解析 由题意知k PQ ＝a ＋1－bb －1－a ＝－1，k l ·k PQ ＝－1，∴k l ＝1，即l 的倾斜角为45°.故选B.5．(2017·陕西榆林高一测试)直线l 1，l 2的斜率是方程x 2－3x －1＝0的两根，则l 1与l 2的位置关系是( ) A ．平行B ．重合C ．相交但不垂直D ．垂直答案 D解析 由韦达定理知，x 1x 2＝－1，∴l 1与l 2垂直．6．过点E(1，1)和点F(－1，0)的直线与过点M(－k 2，0)和点N(0，k4)的直线位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．平行或重合D ．相交或重合答案 C解析 ∵k EF ＝1－01－（－1）＝12，k MN ＝k4－00－（－k 2）＝k4k 2＝12，∴选C.7．已知l 1⊥l 2，直线l 1的倾斜角为45°，则直线l 2的倾斜角为( ) A ．45° B ．135° C ．－45° D ．120°答案 B8．下列三点能构成三角形的三个顶点的为( ) A ．(1，3)，(5，7)，(10，12) B ．(－1，4)，(2，1)，(－2，5) C ．(0，2)，(2，5)，(3，7) D ．(1，－1)，(3，3)，(5，7) 答案 C解析 分别计算第一点与第二点连线及第二点与第三点连线的斜率．9．过点(0，73)与点(7，0)的直线l 1，过点(2，1)与点(3，k ＋1)的直线l 2与两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k 为( ) A ．3 B ．－3 C ．－6 D ．6答案 A解析 由题意知kl 1＝0－737－0＝－13，kl 2＝k ＋1－13－2＝k ，l 1⊥l 2，即kl 1·kl 2＝－1，解得k ＝3.故选A.10．已知直线l 经过点(3，2)和(m ，n)．①若l 与x 轴平行，则m ，n 的取值情况是________； ②若l 与x 轴垂直，则m ，n 的取值情况是________． 答案 ①m ≠3，n ＝2； ②m ＝3，n ≠2.11．直线l 平行于经过点A(－4，1)，B(0，－3)的直线，则l 的倾斜角为________． 答案 135° 解析 由题意知k AB ＝－3－10－（－4）＝－1，∴直线AB 的倾斜角为135°，又直线l 平行于直线AB ，∴直线l 的倾斜角为135°.12．在▱ABCD 中，已知A(2，3)，B(5，3)，C(6，6)，则点D 坐标为________． 答案 (3，6)13．已知点A(－4，2)，B(6，－4)，C(12，6)，D(2，12)，那么下面四个结论中正确的序号为________．①AB ∥CD ；②AB ⊥CD ；③AC ∥BD ；④AC ⊥BD. 答案 ①④解析 ∵k AB ＝－4－26－（－4）＝－35，k AC ＝6－212－（－4）＝14，k CD ＝12－62－12＝－35，k BD ＝12－（－4）2－6＝－4，∴k AB ＝k CD ，k AC ·k BD ＝－1， ∴AB ∥CD ，AC ⊥BD ，故填①④.14．已知A(1，－a ＋13)，B(0，－13)，C(2－2a ，1)，D(－a ，0)四点．(1)当a 为何值时，直线AB 和直线CD 平行？ (2)当a 为何值时，直线AB 和直线CD 垂直？解析 k AB ＝－13－（－a ＋13）0－1＝－a 3，k CD ＝0－1－a －（2－2a ）＝12－a (a ≠2)．(1)直线AB 与直线CD 平行，则k AB ＝k CD ，∴－a 3＝12－a ，即a 2－2a －3＝0.∴a ＝3或a ＝－1.当a ＝3时，k AB ＝－1，k BD ＝0－（－13）－3－0＝－19≠k AB ，∴AB 与CD 平行不重合．当a ＝－1时，k AB ＝13，k BC ＝1＋134＝13＝k AB ，∴AB 与CD 重合．当a ＝2时，k AB ＝－23，k CD 不存在．∴AB 与CD 不平行．综上所述，当a ＝3时，直线AB 和直线CD 平行．(2)直线AB 与直线CD 垂直，则k AB k CD ＝－1，∴－a 3·12－a ＝－1，解得a ＝32.当a ＝2时，k AB ＝－23，直线CD 的斜率不存在．∴直线AB 与CD 不垂直．综上所述，当a ＝32时，直线AB 与CD 垂直．15．在平面直角坐标系中，四边形OPQR 的顶点按逆时针顺序依次是O(0，0)，P(1，t)，Q(1－2t ，2＋t)，R(－2t ，2)，其中t ∈(0，＋∞)，试判断四边形OPQR 的形状并给出证明． 解析 四边形OPQR 为矩形，证明如下： OP 边所在直线斜率k OP ＝t. QR 边所在直线的斜率k QR ＝t. OR 边所在直线的斜率k OR ＝－1t.PQ 边所在直线的斜率k PQ ＝（2＋t ）－t （1－2t ）－1＝－1t .∵k OP ＝k QR ，k OR ＝k PQ ，∴OP ∥QR ，OR ∥PQ. ∴四边形OPQR 为平行四边形． 又∵k QR ·k OR ＝t ×(－1t )＝－1，∴QR ⊥OR.∴四边形OPQR 为矩形．16．已知△ABC 的顶点坐标为A(5，－1)，B(1，1)，C(2，m)，若△ABC 为直角三角形，试求m 的值．解析 k AB ＝－1－15－1＝－12，k AC ＝－1－m 5－2＝－m ＋13，k BC ＝m －12－1＝m －1.若AB ⊥AC ，则有－12·(－m ＋13)＝－1，所以m ＝－7；若AB ⊥BC ，则有－12·(m －1)＝－1，所以m ＝3；若AC ⊥BC ，则有－m ＋13·(m －1)＝－1，所以m ＝±2.综上可知，所求m 的值为－7，±2，3.1．下列说法中不正确的是( )A ．若两条不重合直线l 1与l 2的斜率相等，则l 1∥l 2B ．若直线l 1∥l 2，则两直线的斜率相等C ．若两条不重合直线l 1，l 2的斜率均不存在，则l 1∥l 2D ．若两直线的斜率不相等，则两直线不平行 答案 B解析 不重合直线的斜率相等，两条直线一定平行；两条直线平行，斜率不一定相等，当两条直线斜率不存在时，两条直线仍平行．2．(2017·广东肇庆期中)以A(－1，1)，B(2，－1)，C(1，4)为顶点的三角形是( ) A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．以A 点为直角顶点的直角三角形D ．以B 点为直角顶点的直角三角形答案 C解析 ∵k AB ＝－23，k AC ＝32，∴k AB ·k AC ＝－1，则AB ⊥AC.故选C.3．不重合直线l 1和l 2的斜率分别是一元二次方程x 2－4x ＋4＝0的两个根，那么l 1和l 2的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．不平行 D ．无法判断 答案 A解析 ∵k 1＝k 2＝2，又l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.4．顺次连接A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)所构成的图形是( ) A ．平行四边形 B ．直角梯形 C ．等腰梯形 D ．以上都不对 答案 B解析 由于k AB ＝k DC ，k AD ≠k BC ，k AD ·k AB ＝－1，故构成的图形为直角梯形．5．将直线l 沿x 轴的正方向平移2个单位，再沿y 轴负方向平移3个单位，又回到原来的位置，则直线l 的斜率是________． 答案 －326．已知矩形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A(0，1)，B(1，0)，C(3，2)，求顶点D 的坐标．解析 由题意可得矩形ABCD 各边所在直线的斜率均存在，设D 的坐标为(x ，y)． ∵AD ⊥CD ，AD ∥BC ，∴k AD ·k CD ＝－1，且k AD ＝k BC .∴⎩⎪⎨⎪⎧y －1x －0·y －2x －3＝－1，y －1x －0＝2－03－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，∴顶点D 的坐标为(2，3)．。
新课标版数学必修二(新高考 新课程)作业20高考调研精讲精练
课时作业(二十)1．过点P(－2，0)，斜率为3的直线方程是()A．y＝3x－2B．y＝3x＋2C．y＝3(x－2) D．y＝3(x＋2)答案 D2．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则()A．直线经过点(－1，2)，斜率为－1 B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1 C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1 答案 C解析直线方程y＋2＝－x－1可化为y－(－2)＝－[x－(－1)]，故直线经过点(－1，－2)，斜率为－1.3．(2017·合肥一中检测)已知直线的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－2，则此直线的方程为()A．y＝3x＋2 B．y＝－3x＋2C．y＝－3x－2 D．y＝3x－2答案 D解析直线的倾斜角为60°，则其斜率为3，利用斜截式直接写方程．4．直线y＝－x＋b一定经过()A．第一、三象限B．第二、四象限C．第一、二、四象限D．第二、三、四象限答案 B5.方程y＝k(x－2)表示()A．通过点(－2，0)的所有直线B．通过点(2，0)的所有直线C．通过点(2，0)且不垂直于x轴的直线D．通过点(2，0)且除去x轴的直线答案 C解析直线x＝2也过(2，0)，但不能用y＝k(x－2)表示．6．经过点(－1，1)，斜率是直线y＝22x－2的斜率的2倍的直线是()A．x＝－1 B．y＝1C．y－1＝2(x＋1) D．y－1＝22(x＋1)答案 C7．过点(1，3)且斜率不存在的直线方程为()A．x＝1 B．x＝3C．y＝1 D．y＝3答案 A解析紧扣直线的斜率不存在这一条件，从而直线必与x轴垂直．8．在等腰三角形AOB中，|AO|＝|AB|，点O(0，0)，A(1，3)，而点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为()A．y－1＝3(x－3) B．y－1＝－3(x－3)C．y－3＝3(x－1) D．y－3＝－3(x－1)答案 D解析由对称性知B的坐标为(2，0)．9．直线y＝kx＋b(b≠0)不过第二象限，则()A．kb<0 B．kb≤0C．kb>0 D．kb≥0答案 B解析由于直线y＝kx＋b(b≠0)不过第二象限，所以必须要求kb≤0.10．如图，在同一坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a正确的是()答案 C解析方法一：(1)当a>0时，直线y＝ax的倾斜角为锐角，直线y＝x＋a在y轴上的截距a>0，A，B，C，D都不成立；(2)当a＝0时，直线y＝ax的倾斜角为0°，所以A，B，C，D都不成立；(3)当a<0时，直线y＝ax的倾斜角为钝角且过原点，直线y＝x＋a的倾斜角为锐角，且在y轴上的截距a<0，C项正确．方法二：(排除法)A 选项中：直线y ＝ax 的倾斜角为锐角，所以a>0，而直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距a<0，所以不满足．同理可排除B ，D ，从而得C 正确． 11．过点(2，1)，且倾斜角α满足tan α＝43的直线方程是________．答案 y ＝43x －5312．已知直线l 1：y ＝3x ＋5，将直线l 1向下平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度得到直线l 2，则直线l 2的方程是________． 答案 y ＝3x －9解析 根据直线y ＝kx ＋b 的平移规律，可得直线l 2的方程为y ＝3(x －4)＋5－2，即y ＝3x －9.13．直线l 的倾斜角为45°，且过点(4，－1)，则这条直线被坐标轴所截得的线段长是________． 答案 5 2解析 由题意知，直线l 过点(4，－1)且斜率为1，则方程为y ＋1＝x －4，即y ＝x －5，与x 轴，y 轴的交点分别为(5，0)，(0，－5)，∴直线l 被坐标轴截得的线段长为5 2.14．光线自点M(2，3)射到y 轴的点N(0，1)后被y 轴反射，求反射光线所在直线的方程．解析 根据物理学知识，入射角等于反射角， 可确定反射线的斜率．如图所示，入射线经过M ，N 点，其斜率是k ＝3－12－0＝1，∴倾斜角为45°，即∠MNP ＝45°.由物理学知识，得∠M ′NP ＝45°，即反射线的倾斜角为135°，其斜率为－1. ∴反射线所在直线的方程为y －1＝－1(x －0)， 即y ＝－x ＋1.15．直线l 经过点P(－2，3)，且与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，若P 恰为线段AB 的中点，求直线l 的方程．解析 设A ，B 两点的坐标分别为(a ，0)和(0，b)．因为点P(－2，3)为线段AB 的中点，由中点坐标公式可得a ＝－4，b ＝6，∴直线l 的方程为y ＝32x ＋6.16．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0. (1)若l 在两个坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求a 的取值范围．解析 (1)l ：(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0，当x ＝0时，y ＝a －2，当y ＝0时，x ＝a －2a ＋1.∴a －2＝a －2a ＋1，∴a 2－2a ＝0，∴a ＝0或a ＝2.∴直线方程为x ＋y ＋2＝0或3x ＋y ＝0.(2)∵l 不经过第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧－（a ＋1）≥0，－（2－a ）≤0.∴a ≤－1.17．(1)求斜率为34，且与坐标轴围成的三角形周长是12的直线l 的方程．(2)求与直线y ＝43x ＋53垂直，并且与两坐标轴围成的三角形面积为24的直线l 的方程．解析 (1)设直线l 的方程为y ＝34x ＋b ，易求直线l 与x ，y 轴的交点分别为A(－43b ，0)，B(0，b)，∴|AB|＝（－43b ）2＋b 2＝53|b|.∴53|b|＋43|b|＋|b|＝12，∴b ＝±3. ∴直线l 的方程为y ＝34x ±3.(2)由直线l 与直线y ＝43x ＋53垂直，可设直线l 的方程为y ＝－34x ＋b ，则直线l 在x 轴，y 轴上的截距分别为x 0＝43b ，y 0＝b.又因为直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为24，所以S ＝12|x 0||y 0|＝24，即12⎪⎪⎪⎪43b |b|＝24，b 2＝36，解得b ＝6，或b ＝－6. 故所求的直线方程为y ＝－34x ＋6，或y ＝－34x －6.1．直线y －2＝－3(x ＋1)的倾斜角和所过的定点为( ) A ．60°，(1，2) B ．120°，(－1，2) C ．60°，(－1，2)D ．120°，(－1，－2)答案 B2．直线2x －3y ＝6在x 轴，y 轴上的截距分别为( ) A ．3，2 B ．－3，0 C ．3，－2 D ．－3，－2答案 C解析 当x ＝0时，y ＝－2；当y ＝0时，x ＝3.3．已知直线y ＝kx ＋b 通过第一、三、四象限，则有( ) A ．k>0，b>0 B ．k>0，b<0 C ．k<0，b>0 D ．k<0，b<0 答案 B解析 若y ＝kx ＋b 通过第一、三、四象限，则必有斜率k>0，在y 轴上的截距b<0，选B. 4．在△ABC 中，已知A(1，－4)，B(2，6)，C(－2，0)，AD ⊥BC 于点D ，求直线AD 的点斜式方程．解析 显然，直线AD 的斜率存在． 设直线AD 的方程为y ＋4＝k AD (x －1)． 由题意知k BC ＝6－02－（－2）＝32.∵AD ⊥BC ，∴k AD ·k BC ＝－1，∴k AD ＝－23.故直线AD 的点斜式方程为y ＋4＝－23(x －1)．5．过A(4，3)点的四条直线的倾斜角的比是1∶2∶3∶4，第二条直线过原点，求这四条直线的方程．答案 l 1：x －3y ＋5＝0，l 2：3x －4y ＝0， l 3：13x －9y －25＝0，l 4：24x －7y －75＝0.6．直线l 过点P(2，－3)，倾斜角比直线y ＝2x －1的倾斜角大45°，求直线l 的方程． 解析 设直线l 的倾斜角为α，直线y ＝2x －1的倾斜角为β，则有tan β＝2，α＝β＋45°. ∴k ＝tan α＝tan(β＋45°)＝tan β＋tan45°1－tan βtan45°＝2＋11－2×1＝－3.又因为直线l 过点P(2，－3)， 所以直线方程为3x ＋y －3＝0.7．等腰三角形ABC 的顶点A(－1，2)，AC 的斜率为3，点B(－3，2)，求直线AC ，BC及∠A的平分线所在的直线方程．解析AC：y＝3x＋2＋ 3.∵AB∥x轴，AC的倾斜角为60°，∴BC的倾斜角α为30°或120°.当α＝30°时，BC的方程为y＝33x＋2＋3，∠A平分线的倾斜角为120°，∴∠A的平分线所在直线方程为y＝－3x＋2－ 3.当α＝120°时，BC的方程为y＝－3x＋2－33，∠A平分线的倾斜角为30°，∴∠A的平分线所在直线方程为y＝33x＋2＋3 3.。
新课标版数学必修二(新高考 新课程)作业17高考调研精讲精练
课时作业(十七)1．(2016·浙江)已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则()A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥n答案 C解析因为α∩β＝l，所以l⊂β，又n⊥β，所以n⊥l.故选C.2．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题错误的是() A．若a⊥α，b∥α，则a⊥b B．若a⊥α，b∥a，b⊂β，则α⊥βC．若a⊥α，b⊥β，α∥β，则a∥b D．若a∥α，a∥β，则α∥β答案 D解析由题意可知A，B，C选项显然正确，对于选项D，当α，β相交，且a与α，β的交线平行时，有a∥α，a∥β，但此时α与β不平行．故选D.3．设l，m，n为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列命题中正确的个数是() ①若l⊥α，m∥β，α⊥β，则l⊥m；②若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α；③若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α；④若l∥m，m⊥α，n⊥β，α∥β，则l∥n.A．1 B．2C．3 D．4答案 B解析对于①，直线l，m可能互相平行，①不正确；对于②，直线m，n可能是平行线，此时不能得知l⊥α，②不正确；对于③，由定理“平行于同一条直线的两条直线平行”与“若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面”得知，③正确；对于④，由l∥m，m⊥α，得l⊥α，由n⊥β，α∥β，得n⊥α，因此有l∥n，④正确．综上所述，其中命题正确的是个数是2.故选B.4．(2017·长春十一期中)空间四边形ABCD中，M，N分别是AB和CD的中点，AD＝BC ＝6，MN＝32，则AD和BC所成的角是()A．120°B．90°C．60°D．30°答案 B解析 如图，取AC 的中点H ，连接MH ，NH ， 则MH 綊12BC ＝3，HN 綊12AD ＝3.又MN ＝32， ∴MN 2＋HN 2＝MN 2， ∴MH ⊥HN.∴∠MHN ＝90°，即AD 和BC 所成的角为90°.5．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°.将△ADB 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A-BCD ，则在三棱锥ABCD 中，下列命题正确的是( )A ．平面ADC ⊥平面ABCB ．平面ADC ⊥平面BDC C ．平面ABC ⊥平面BDCD ．平面ABD ⊥平面ABC答案 A解析 易知CD ⊥BD ，又平面ABD ⊥平面BCD ， 且平面ABD ∩平面BCD ＝BD ， ∴CD ⊥平面ABD ，又BA ⊂平面ABD ， ∴CD ⊥BA.又BA ⊥AD ，且AD ∩CD ＝D ， ∴BA ⊥平面ADC ，又BA ⊂平面ABC ， ∴平面ADC ⊥平面ABC.6．(2017·天水市一中期中)如图所示，ABCD-A 1B 1C 1D 1是长方体，AA 1＝a ，∠BAB 1＝∠B 1A 1C 1＝30°，则AB 与A 1C 1所成的角为________，AA 1与B 1C 所成的角为________．答案 30° 45°解析 AB 与A 1C 1所成的角即为A 1B 1与A 1C 1所成的角，即∠B 1A 1C 1＝30°，∵AA 1＝a ，∠BAB 1＝30°，∴AB ＝3a. ∴B 1C 1＝A 1B 1tan30°＝3a ·33＝a ，即B 1C 1＝B 1B ＝A 1A ＝a ，∴四边形BB 1C 1C 是正方形，∴BB 1与B 1C 所成的角为45°，即AA 1与B 1C 所成的角为45°.7．设平面α∥平面β，A ，C ∈α，B ，D ∈β，直线AB 与CD 交于点S ，且点S 位于平面α，β之间，AS ＝8，BS ＝6，CS ＝12，则DS ＝________． 答案 9解析 因为直线AB 与CD 交于点S ，所以A ，B ，C ，D 四点共面．又平面α∥平面β，所以BD ∥AC ，△ACS 与△BDS 相似，所以AS BS ＝CS DS ，即86＝12DS ，所以DS ＝9.8．如图所示，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠ADC ＝45°，AD ＝AC ＝1，O 为AC 的中点，PO ⊥平面ABCD ，PO ＝2，M 为PD 的中点．(1)证明：PB ∥平面ACM ； (2)证明：AD ⊥平面PAC ；(3)求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值．解析 (1)证明：连接BD ，MO ，在平行四边形ABCD 中，因为O 为AC 的中点，所以O 为BD 的中点．又M 为PD 的中点，所以PB ∥MO.因为PB ⊄平面ACM ，MO ⊂平面ACM ，所以PB ∥平面ACM. (2)证明：因为∠ADC ＝45°，且AD ＝AC ＝1， 所以∠DAC ＝90°，即AD ⊥AC.又PO ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， 所以PO ⊥AD.而AC ∩PO ＝O ，所以AD ⊥平面PAC. (3)取DO 中点N ，连接MN ，AN. 因为M 为PD 的中点，所以MN ∥PO ， 且MN ＝12PO ＝1.又由PO ⊥平面ABCD ，得MN ⊥平面ABCD ， 所以∠MAN 是直线AM 与平面ABCD 所成的角．在Rt △DAO 中，AD ＝1，AO＝12，所以DO ＝52.从而AN ＝12DO ＝54.在Rt △ANM 中，tan ∠MAN ＝MN AN ＝154＝455，即直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值为455. 9．如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，AD ⊥PD ，BC ＝1，PC ＝23，PD ＝CD ＝2.(1)求异面直线PA 与BC 所成角的正切值； (2)证明：平面PDC ⊥平面ABCD ；(3)求直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值．解析 (1)如图，在四棱锥P-ABCD 中，因为底面ABCD 是矩形，所以AD ＝BC 且AD ∥BC. 故∠PAD 为异面直线PA 与BC 所成的角．又因为AD ⊥PD ，在Rt △PDA 中，tan ∠PAD ＝PDAD ＝2.所以异面直线PA 与BC 所成角的正切值为2.(2)证明：由于底面ABCD 是矩形，故AD ⊥CD ，又由于AD ⊥PD ，CD ∩PD ＝D ，因此AD ⊥平面PDC ，而AD ⊂平面ABCD ，所以平面PDC ⊥平面ABCD. (3)在平面PDC 内，过点P 作PE ⊥CD 交直线CD 于点E ，连接EB.由于平面PDC ⊥平面ABCD ，而直线CD 是平面PDC 与平面ABCD 的交线． 故PE ⊥平面ABCD ，由此得∠PBE 为直线PB 与平面ABCD 所成的角． 在△PDC 中，由于PD ＝CD ＝2，PC ＝23，可得∠PCD ＝30°. 在Rt △PEC 中，PE ＝PCsin30°＝ 3.由AD ∥BC ，AD ⊥平面PDC ，得BC ⊥平面PDC. 又PC ⊂平面PDC ，因此BC ⊥PC.在Rt△PCB中，PB＝PC2＋BC2＝13.在Rt△PEB中，sin∠PBE＝PEPB ＝3913.所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为3913.10．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD ⊥底面ABCD.(1)证明：PA⊥BD；(2)设PD＝AD＝1，求棱锥D-PBC的高．解析(1)证明：因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理，得BD＝3AD.所以BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD.又PD⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，所以BD⊥PD.所以BD⊥平面PAD，又PA⊂平面PAD，故PA⊥BD.(2)如图，作DE⊥PB，垂足为E.已知PD⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，故PD⊥BC.由(1)知BD⊥AD，因为BC∥AD，所以BC⊥BD，又PD∩BD＝D，所以BC⊥平面PBD，而DE⊂平面PBD，所以BC⊥DE.又PB∩BC＝B，则DE⊥平面PBC，即DE为棱锥D-PBC的高．由PD＝AD＝1知BD＝3，PB＝2.由DE·PB＝PD·BD，得DE＝32.所以棱锥D-PBC的高为32.11．(2016·北京)如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.(1)求证：DC⊥平面PAC；(2)求证：平面PAB⊥平面PAC；(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．解析(1)证明：因为PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，所以PC⊥DC.又因为DC⊥AC，PC∩AC＝C，所以DC⊥平面PAC.(2)证明：因为AB∥DC，DC⊥AC，所以AB⊥AC.因为PC⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PC⊥AB，又AC∩PC＝A，所以AB⊥平面PAC.又因为AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC.(3)棱PB上存在点F，使得PA∥平面CEF.证明如下：取PB的中点F，连接EF，CE，CF.因为E为AB的中点，所以EF∥PA.又因为PA⊄平面CEF，EF⊂平面CEF，所以PA∥平面CEF.1．如图所示，将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得平面ADC⊥平面ABC，在折起后形成的三棱锥D-ABC中，给出下列三个命题：①△DBC是等边三角形；②AC⊥BD；③三棱锥DABC的体积是2 6.其中正确命题的序号是________．(写出所有正确命题的序号)答案①②解析取AC的中点O，连接OD，OB.则AC⊥OD，AC⊥OB，∴∠BOD＝90°，∴BD＝1，故①正确；易知AC⊥面BOD，∴AC⊥BD，故②正确；V DABC＝13×12×1×1×22＝212，故③不正确．2.如图，已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点．(1)求证：MN⊥AB；(2)若PA＝AD，求证：MN⊥平面PCD.解析(1)证明：取PD的中点H，连接AH，NH.又由N为PC中点，∴HN∥CD且HN＝12CD.∵M为AB中点，∴AM∥CD且AM＝12CD.∴AM綊HN，∴四边形AMNH为平行四边形．∴AH∥MN.∵四边形ABCD为矩形，∴AB⊥AD，又∵PA⊥面ABCD，∴AB⊥面PAD.又∵AH⊂面PAD，∴AB⊥AH，∴AB⊥MN.(2)由(1)可知，AH⊥AB，又AB∥CD，∴AH⊥CD.∵PA＝AD，∴AH⊥PD，又PD∩CD＝D，∴AH⊥面PCD，∴MN⊥面PCD.3.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD.证明(1)在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD.又因为EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，所以直线EF∥平面PCD.(2)连接BD.因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD.又因为BF⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.。
新课标版数学必修二(新高考 新课程)综合卷1高考调研精讲精练
模块综合测试卷(一)第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分)1．给出下列命题：①在所有的棱柱中，互相平行的面最多有三对；②三个面不能围成几何体；③各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥的底面是正方形；④四棱锥中侧面最多有四个直角三角形．其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 B解析 ①不对，因为有的六棱柱中有四对互相平行的面；③不对，因为底面有可能为菱形，∴②④正确．2．垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是( ) A ．平行B ．相交C ．不在同一平面内D ．A ，B ，C 均有可能 答案 D解析 可以利用正方体加以验证．3．一个直角梯形的两底长分别为2和5，高为4，绕其较长的底旋转一周，所得的几何体的表面积为( ) A ．52π B ．34π C ．45π D ．37π 答案 A解析 环绕一周得到的是一个圆锥与圆柱的组合体，圆锥、圆柱的底面半径为r ＝4，圆柱高为2，圆柱母线长为l 1＝2，圆锥母线长为l 2＝5，所以所求表面积S ＝2πrl 1＋πr 2＋πrl 2＝52π.4．直线y ＝kx ＋2与圆x 2＋y 2＋2x ＝0只在第二象限有公共点，则实数k 的取值范围为( ) A ．[34，1]B ．[34，1)C ．[34，＋∞)D ．(－∞，1) 答案 B解析 由题意可知y ＝kx ＋2恒过点(0，2)，要使直线与圆只在第二象限有公共点，则k ∈[k 1，k 2)．由题意得y ＝k 2x ＋2过(－2，0)，(0，2)两点，∴k 2＝1.又圆心为(－1，0)，∴圆心到y ＝k 1x ＋2的距离d ＝|－k 1＋2|k 12＋1＝1，∴k 1＝34，∴k ∈[34，1)．5．过点P(1，1)作直线l 与两坐标轴相交，所得三角形面积为10，则直线l 有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条答案 D解析 通过直线的截距式，再作对称即可以发现有4条．6．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n. ②若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ. ③若α∩β＝n ，m ∥n ，则m ∥α且m ∥β.④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.其中真命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B解析 ①m ∥n 或m ，n 异面，故①错误．②正确．③m ∥α或m ⊂α，m ∥β或m ⊂β，故③错误．④α，β的关系不确定，故④错误．故选B.7．若方程x 2＋y 2＋x ＋y ＋k ＝0表示一个圆，则k 的取值范围是( ) A ．k>12B ．k<12C ．0<k<12D ．k ≤12答案 B解析 通过圆的一般方程的判断即可解决．8．若圆C 1的方程是x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0，圆C 2的方程是x 2＋y 2－4x －10y ＋13＝0，则两圆的公切线有( ) A ．2条 B ．3条 C ．4条 D ．1条 答案 D解析 通过判断两圆的关系即可解决．9．直线y ＝x ＋1与直线y ＝ax ＋1的交点的个数为( ) A ．0个 B ．1个C ．2个D ．随a 的值变化而变化答案 D解析 若a ＝1，则有无数个交点；若a ≠1，则有一个交点．10．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则实数k 的取值范围是( ) A ．[－43，0]B ．[0，34]C ．[0，43]D ．(0，43]答案 C解析 圆C ：(x －4)2＋y 2＝1，圆心C(4，0)，半径r ＝1.∵直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，∴圆心C(4，0)到直线y ＝kx －2的距离d ＝|4k －2|k 2＋1≤2，解得0≤k ≤43.11．如图，在多面体ABC-DEFG 中，平面ABC ∥平面DEFG ，EF ∥DG ，且AB ＝DE ，DG ＝2EF ，则( )A ．BF ∥平面ACGDB ．CF ∥平面ABEDC ．BC ∥FGD ．平面ABED ∥平面CGF答案 A解析 取DG 的中点M ，连接AM ，FM ，如图所示． 则由已知条件易证四边形DEFM 是平行四边形，∴DE 綊FM.∵平面ABC ∥平面DEFG ，平面ABC ∩平面ADEB ＝AB ，平面DEFG ∩平面ADEB ＝DE ，∴AB ∥DE ，∴AB ∥FM.又AB ＝DE ，∴AB ＝FM ，∴四边形ABFM 是平行四边形，即BF ∥AM.又AM ⊂平面ACGD ，BF ⊄平面ACGD ，∴BF ∥平面ACGD.故选A.12．正方体AC 1的棱长为1，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂足为点H ，则下列命题正确的是( )①AH ⊥平面CB 1D 1 ②AH ＝13AC 1③点H 是△A 1BD 的垂心 ④AH ∥平面BDC 1 A ．①②③ B ．②③④ C ．①②④ D ．①③④答案 A解析 如图，∵CD 1∥BA 1，CB 1∥DA 1，CD 1∩CB 1＝C ，BA 1∩DA 1＝A 1，∴平面A 1BD ∥平面CB 1D 1，又AH ⊥面A 1BD. ∴AH ⊥面CB 1D 1，故①正确． ∵V A 1-ABD ＝V A-A 1BD. ∴13·AH ·S △A 1BD ＝13·AA 1·S △ABD ， ∴AH ＝33，∴AH ＝13AC 1，故②正确． ∵AA 1，AB ，AD 两两相互垂直，∴H 为△A 1BD 的垂心，故③正确． 由题知H 点在线段AC 1上，故④不正确．故选A.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．直线x －y ＋1＝0与2x －2y －1＝0是圆的两条切线，则该圆的面积是__________． 答案932π 解析 ∵直线x －y ＋1＝0与2x －2y －1＝0平行， ∴两平行直线间的距离即为圆的直径，∴2R ＝⎪⎪⎪⎪1＋122＝324.∴R ＝328，S 圆＝πR 2＝932π.14．过点P(3，6)且被圆x 2＋y 2＝25截得的弦长为8的直线方程为__________________． 答案 3x －4y ＋15＝0或x ＝3解析 当斜率不存在时，显然成立．斜率存在时，由距离公式可得斜率为0.75.15．光线由点(－1，4)射出，遇直线2x ＋3y －6＝0被反射，已知反射光线过点(3，6213)，则反射光线所在直线方程为__________． 答案 13x －26y ＋85＝0解析 先求P(－1，4)点关于直线2x ＋3y －6＝0的对称点Q ，然后利用点Q 与点(3，6213)在反射光线所在直线上就可以解决．16．已知m ，l 是直线，α，β是平面，给出下列命题： ①若l 垂直于α内的两条相交直线，则l ⊥α； ②若l 平行于α，则l 平行α内所有直线； ③若m ⊂α，l ⊂β，且l ⊥m ，则α⊥β； ④若l ⊂β，且l ⊥α，则α⊥β； ⑤若m ⊂α，l ⊂β，且α∥β，则m ∥l.其中正确命题的序号是__________(把你认为正确的命题的序号都填上)． 答案 ①④解析 通过正方体验证．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(本小题满分10分)已知两条直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，问：当m 为何值时，l 1与l 2①相交；②平行；③重合．解析 若m ＝0，l 1：x ＝－6，l 2：2x －3y ＝0，此时l 1与l 2相交； 若m ≠0，由m －21＝3m ，有m ＝－1或m ＝3，由3m ＝2m6，有m ＝±3.故①当m ≠1且m ≠3时，m －21≠3m ，l 1与l 2相交；②当m ＝－1时，m －21＝3m ≠2m6，l 1与l 2平行；③当m ＝3时，m －21＝3m ＝2m6，l 1与l 2重合．18．(本小题满分12分)如图，多面体ABCDEFG 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，四边形ABED 是边长为2的正方形，AC ∥DG ∥EF ，BC ∥FG ，且AC ＝EF ＝1，DG ＝2.(1)求证：CF ⊥平面BDG ； (2)求多面体ABCDEFG 的表面积． 解析 (1)证明：如图，连接AE ，EG ， ∵BC ∥FG ，∴B ，C ，G ，F 四点共面． 在Rt △BAC 中，BC ＝AB 2＋AC 2＝5，GF ＝DE 2＋（DG －EF ）2＝5，即BC ＝GF ＝5，同理可证BF ＝CG ＝ 5. ∴四边形BCGF 是菱形，∴CF ⊥BG ，∵AC ∥EF ，AC ＝EF ＝1，∴四边形AEFC 是平行四边形，∴AE ∥CF ， 在正方形ABED 中，AE ⊥BD ，故CF ⊥BD. 又BG ∩BD ＝B ，∴CF ⊥平面BDG. (2)BG ＝BE 2＋EG 2＝BE 2＋ED 2＋DG 2＝22＋22＋22＝23，CF ＝AE ＝AB 2＋BE 2＝22，∴S 棱形BFGC ＝12×BG ×CF ＝12×22×23＝26，∴多面体ABCDEFG 的表面积S ＝S △ABC ＋S 梯形DEFG ＋S 正方形ABED ＋S 梯形ADGC ＋S △BEF ＋S 菱形BFGC ＝12AB ·AC ＋12(EF ＋DG)·DE ＋DE 2＋12(AC ＋DG)·AD ＋12BE ·EF ＋26 ＝1＋3＋4＋3＋1＋26 ＝12＋2 619．(本小题满分12分)如图，四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为矩形，△PAD 为等腰直角三角形，∠APD ＝90°，面PAD ⊥面ABCD ，E ，F 分别为PC 和BD 的中点．(1)证明：EF∥面PAD；(2)证明：面PDC⊥面PAD.证明(1)如图，连接AC，∵ABCD为矩形且F是BD的中点，∴AC必经过F.又E是PC的中点，∴EF∥AP.∵EF在面PAD外，PA在面PAD内，∴EF∥面PAD.(2)∵面PAD⊥面ABCD，CD⊥AD，面PAD∩面ABCD＝AD，∴CD⊥面PAD.又AP⊂面PAD，∴AP⊥CD.又∵AP⊥PD，PD和CD是相交直线，∴AP⊥面PCD.又AP⊂面PAD，∴面PDC⊥面PAD.20.(本小题满分12分)自点P(－3，3)发出的光线l经过x轴反射，其反射光线所在直线正好与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求入射光线l所在直线的方程．解析设入射光线l所在的直线方程为y－3＝k(x＋3)，反射光线所在直线的斜率为k1，根据入射角等于反射角，得k＝－k1，而点P(－3，3)关于x轴的对称点P1(－3，－3)，根据对称性，点P 1在反射光线所在直线上，故反射光线所在直线l 1的方程为y ＋3＝－k(x ＋3)，即kx ＋y ＋3＋3k ＝0，又此直线与已知圆相切，所以圆心到直线l 1的距离等于半径r ，因为圆心为(2，2)，半径为1，所以|2k ＋2＋3＋3k|1＋k 2＝1，解得k ＝－34或k ＝－43.故入射光线l 所在的直线方程为y －3＝－34(x ＋3)或y －3＝－43(x ＋3)，即3x ＋4y －3＝0或4x ＋3y ＋3＝0.21．(本小题满分12分)设M 是圆x 2＋y 2－6x －8y ＝0上一动点，O 是原点，N 是射线OM 上一点，若|OM|·|ON|＝120，求N 点的轨迹方程． 解析 设M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x ，y)， 由题意|OM|·|ON|＝120， 得x 12＋y 12·x 2＋y 2＝120.①当M 不在y 轴上时，x 1≠0，x ≠0，于是有y x ＝y 1x 1.设y x ＝y 1x 1＝k ，代入①，化简得|x 1x|(1＋k 2)＝120. 因x 1与x 同号，于是x 1＝120（1＋k 2）x ，y 1＝120k（1＋k 2）x ， 代入x 2＋y 2－6x －8y ＝0并化简，可得3x ＋4y －60＝0(x ≠0)． 当x 1＝0时，y 1＝8，点N(0，15)也在直线3x ＋4y －60＝0上， 所以，点N 的轨迹方程为3x ＋4y －60＝0.22．(本小题满分12分)求半径为4，与圆x 2＋y 2－4x －2y －4＝0相切，且和直线y ＝0相切的圆的方程．解析 由题意，设所求圆的方程为圆C ：(x －a)2＋(y －b)2＝r 2.圆C 与直线y ＝0相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为C 1(a ，4)，或C 2(a ，－4)． 又已知圆x 2＋y 2－4x －2y －4＝0的圆心A 的坐标为(2，1)，半径为3. 若两圆相切，则|CA|＝4＋3＝7，或|CA|＝4－3＝1. (1)当圆心为C 1(a ，4)时，(a －2)2＋(4－1)2＝72， 或(a －2)2＋(4－1)2＝12(无解)，故可得a ＝2±210.∴所求圆的方程为(x－2－210)2＋(y－4)2＝16，或(x－2＋210)2＋(y－4)2＝16.(2)圆心为当C2(a，－4)时，(a－2)2＋(－4－1)2＝72或(a－2)2＋(－4－1)2＝12(无解)，故a＝2±2 6.∴所求圆的方程为(x－2－26)2＋(y＋4)2＝16或(x－2＋26)2＋(y＋4)2＝16.综上，所求圆的方程为(x－2－210)2＋(y－4)2＝16或(x－2＋210)2＋(y－4)2＝16或(x－2－26)2＋(y＋4)2＝16或(x－2＋26)2＋(y＋4)2＝16.。
新课标版数学必修二(新高考 新课程)单元卷1高考调研精讲精练
第一章测试卷第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分)1．下列说法不正确的是()A．圆柱的侧面展开图是一个矩形B．圆锥的过轴的截面是一个等腰三角形C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥D．圆台平行于底面的截面是圆面答案 C2．如图所示的直观图的原平面图形是()A．任意三角形B．直角梯形C．任意四边形D．平行四边形答案 B3．一个正方体的体对角线长为l，那么这个正方体的全面积为() A．22l2B．2l2C．23l2D．32l2答案 B解析设正方体棱长为a，则l＝3a，∴a＝3 3l.S＝6a2＝2l2.故选B.4．下图中的图形经过折叠不能围成棱柱的是()答案 D5.水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图所示，是一个正方体的表面展开图，若图中“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是()A．1B．6C．快D．乐答案 B解析如图所示，将题图折成正方体，可得2的下面是6.6．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的体积为( ) A.π2 B ．π C.32π D.3π答案 C解析 方法一：如图①，AD ＝62，AO ＝23AD ＝63，SO ＝SA 2－AO 2＝233.∴R 2＝(23 3－R)2＋(63)2，∴R ＝32.球的体积为43πR 3＝43π×(32)3＝32π.方法二：构造棱长为1的正方体如图②，则C 1A 1BD 为棱长为2的正四面体，正方体的外接球也为正四面体的外接球．此时球的直径为3，因此球的体积为32π. 7．一个圆锥的侧面展开图的圆心角为90°，它的表面积为a ，则它的底面积为( ) A.a 5 B.a 3 C.a 2 D.a 4答案 A解析 设圆锥的母线长为l ，底面圆半径为r ，则2πr ＝l·π2，故l ＝4r ，由题意知πrl ＋πr 2＝a ，所以πr 2＝a5.8．如果有底的圆柱底面直径和高都等于球的直径，则圆柱与球的表面积之比为( ) A ．3∶2 B ．3∶1 C ．2∶1 D ．1∶1 答案 A解析 设球的半径为r ，则S 柱∶S 球＝[2πr 2＋2πr ·(2r)]∶4πr 2＝3∶2.故选A.9．一个圆台的上、下底面面积分别是1 cm 2和49 cm 2，一个平行底面的截面面积为25 cm 2，则这个截面与上、下底面的距离之比是( ) A ．2∶1 B ．3∶1 C.2∶1 D.3∶1答案 A解析 将圆台扩展为圆锥，轴截面如图． 由题知，r 1∶r 3＝1∶7，r 2∶r 3＝5∶7， ∴h 2＋h 3＝6h 1，h 2＝4h 1，∴h 3＝2h 1，∴这个截面与上、下底面距离比为2∶1.故选A.10．两个半径为1的铁球，熔化成一个大球，则大球的表面积为( ) A ．6π B ．8π C ．434π D ．832π 答案 C解析 大球的体积是2×4π3×13＝8π3，设大球的半径为R ，则有4π3R 3＝8π3，解得R ＝32，所以大球的表面积为4π(32)2＝434π.故选C.11．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为1，2，3，则此三棱锥的外接球的表面积为( ) A ．6π B ．12π C ．18π D ．24π 答案 A解析 将三棱锥补成边长分别为1，2，3的长方体，则长方体的体对角线是外接球的直径，所以2R ＝6，解得R ＝62，故S ＝4πR 2＝6π. 12.如图所示，已知△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝1.若在三角形内挖去一个半圆(圆心O 在边AC 上，半圆分别与BC ，AB 相切于点C ，M ，与AC 交于点N)，则图中阴影部分绕直线C 旋转一周所得的旋转体的体积为( ) A.33π B.5327π C.4327π D.539π答案 B解析 设半圆的半径OC ＝OM ＝r ，AO ＝OM sin30°＝2r ，则AC ＝AO ＋OC ＝3r ＝3，∴r ＝33，故旋转体的体积为V ＝13×3(π×12)－4π3×(33)3＝5327π.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．一块正方形薄铁皮的边长为4，以它的一个顶点为圆心，剪下一个最大的扇形，用这块扇形铁皮围成一个圆锥，则这个圆锥的容积等于________．(铁皮厚度忽略不计)． 答案15π3解析 如图所示，剪下最大的扇形的半径即圆锥的母线长l 等于正方形的边长4，扇形的弧长＝14×(2π×4)＝2π，即为圆锥的底面周长，设圆锥的底面半径为r ，高为h ，则2πr ＝2π，所以r ＝1，所以h ＝l 2－r 2＝15，所以圆锥的容积为13πr 2h ＝15π3.14．若一个底面边长为62，侧棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上，则此球的体积为________． 答案 43π 解析 2R ＝（62×2）2＋（6）2＝23，∴R ＝3，V 球＝43πR 3＝43π. 15．将若干毫升水倒入底面半径为2 cm 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6 cm ，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是________ cm. 答案 616.如图是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．相传这个图形表达了阿基米德最引以自豪的发现．我们来重温这个伟大发现：圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为________，________． 答案 32 32解析 设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R ，∴V 圆柱＝πR 2×2R ＝2πR 3，V 球＝4π3R 3，∴V 圆柱V 球＝2πR 343πR 3＝32.∵S 圆柱＝2πR ×2R ＋2×πR 2＝6πR 2，S 球＝4πR 2，∴S 圆柱S 球＝6πR 24πR 2＝32.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)如图，圆锥SAB 的底面半径为R ，母线长SA ＝3R ，D 为SA 的中点，一个动点自底面圆周上的A 点沿圆锥侧面移动到D.求这点移动的最短距离． 解析 如图，圆锥侧面展开为扇形，对应的弧长为底面周长2πR ，动点移动的最短距离为AD. 设∠ASD ＝α，则2πR ＝3R·α ∴α＝23π.在△SAD 中由余弦定理得：AD 2＝SA 2＋SD 2－2SA·SD·cos α＝634R 2∴AD ＝372R.18．(12分)正方体的每条棱长都增加1 cm ，它的体积扩大为原来的8倍，求此正方体的棱长．解析 利用待定系数法求解．设出正方体的棱长，根据体积扩大为原来的8倍列方程，解方程得正方体的棱长．设正方体的棱长为a cm ，由题意，得(a ＋1)3＝8a 3，解得a ＝1，即此正方体的棱长为1 cm. 19．(12分)如图，A ′B ′C ′D ′是边长为1的正方形，又知它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形的面积．解析 该四边形的原图形，如下图所示．这是一个底边长为2，高为2的平行四边形，故原图面积为2 2. 20．(12分)已知六棱锥P-ABCDEF ，其中底面ABCDEF 是正六边形，点P 在底面的投影是正六边形的中心，底面边长为2 cm ，侧棱长为3 cm ，求六棱锥P-ABCDEF 的表面积和体积． 解析 先求底面正六边形的面积，S 六边形ABCDEF ＝6S △OBC ＝6×12×2×2sin60°＝63cm 2，S 侧面＝6S △PCD ＝6×12×2×PC 2－（CD2）2＝632－12＝122cm 2，∴S P-ABCDEF ＝S 六边形ABCDEF ＋S 侧面＝(63＋122) cm 2. 在Rt △POC 中， PO ＝PC 2－OC 2＝PC 2－BC 2＝9－4＝ 5 cm ，∴V 六棱锥P-ABCDEF ＝13Sh ＝13×63×5＝215 cm 3.21．(12分)如图所示，四边形ABCD 是直角梯形(单位：cm)，求图中阴影部分绕AB 所在直线旋转一周所成几何体的表面积和体积．解析 由题意知，所成几何体的表面积等于圆台下底面面积＋圆台的侧面积＋半球面面积． 因为S 半球面＝12×4π×22＝8π cm 2，S 圆台侧＝π(2＋5)（5－2）2＋42＝35π cm 2，S 圆台下底＝π×52＝25π cm 2，所以表面积为8π＋35π＋25π＝68π cm 2.又因为V 圆台＝π3×(22＋2×5＋52)×4＝52π cm 3，V 半球＝12×4π3×23＝16π3cm 3，所以该几何体的体积为V 圆台V 半球＝140π3cm 3.22．(12分)如图，是从上下底面处在水平状态下的棱长为a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中分离出来的．(1)∠DC 1D 1在图中的度数和它表示的角的真实度数都是45°，对吗？ (2)∠A 1C 1D 的真实度数是60°，对吗？(3)设BC ＝1 cm ，如果用图示中这样一个装置来盛水，那么最多能盛多少体积的水？ 解析 (1)对； (2)对；(3)由题意知，以平面B 1CD 1为水平面，可盛最多体积的水，此时V 水＝V C 1-B 1D 1C ＝V C-B 1C 1D 1＝13×12×1×1×1＝16(cm 3)． ∴最多能盛16cm 3的水．1．在正方体的八个顶点中，有四个顶点恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与此正四面体的表面积之比为( ) A. 3 B. 2 C.62D.33答案 A解析 如图，设正方体的棱长为a ，则正四面体AB 1D 1C 的所有棱长均为2a.正方体的表面积S 1＝6a 2，正四面体的表面积S 2＝4×34×(2a)2＝23a 2. ∴S 1∶S 2＝6a 2∶23a 2＝3∶1.2．一平面截一球得到直径是6 cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4 cm ，则该球的体积是( ) A.100π3 cm 3B.208π3 cm 3C.500π3 cm 3D.41613π3cm 3答案 C解析 设球的半径为R ，则32＋42＝R 2，故R ＝5 cm. 所以球的体积为V ＝43πR 3＝43π×125＝500π3 cm 3.。
2024秋新教材高中数学课时跟踪检测十一变化率问题新人教A版选择性必修第二册
课时跟踪检测(十一) 改变率问题1．某物体的运动方程为s ＝5－2t 2，则该物体在时间[1,1＋d ]上的平均速度为( ) A ．2d ＋4 B ．－2d ＋4 C ．2d －4D ．－2d －4解析：选D 平均速度为5－21＋d 2－5＋2×121＋d －1＝－4－2d .故选D.2．一根金属棒的质量y (单位：kg)关于长度x (单位：m)的函数关系式为f (x )＝3x ，则从4 m 到9 m 这一段金属棒的平均线密度是( )A.25 kg/m B ．35 kg/m C.34kg/m D ．12kg/m 解析：选B 从4 m 到9 m 这一段金属棒的平均线密度是f 9－f 49－4＝39－49－4＝35(kg/m)． 3．一物体做直线运动，其位移s (单位：m)与时间t (单位：s)的关系是s ＝5t －t 2，则该物体在t ＝3 s 时的瞬时速度是( )A ．－1 m/sB ．1 m/sC ．2 m/sD ．6 m/s解析：选A ∵Δs Δt＝5t ＋Δt －t ＋Δt2－5t －t2Δt＝5－2t －Δt ，∴该物体在t ＝3 s 时的瞬时速度为lim Δt →0ΔsΔt＝－1 m/s ，故选A. 4．曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( ) A ．1 B ．12 C ．－12D ．－1解析：选A 切线的斜率为lim Δx →0a 1＋Δx2－aΔx＝2a .又∵切线的斜率为2，∴a ＝1.5．已知某物体运动的速度与时间之间的关系式是v (t )＝t ＋13t 3，则该物体在时间间隔⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32内的平均加速度为________．解析：平均加速度Δv Δt ＝32＋13·⎝ ⎛⎭⎪⎫323－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1332－1＝3112.答案：31126．过曲线y ＝x 2上两点A (2,4)和B (2＋Δx,4＋Δy )作割线，当Δx ＝0.1时，割线AB 的斜率为________．解析：因为k AB ＝ΔyΔx ＝Δx ＋22－22Δx ＝Δx 2＋4ΔxΔx＝Δx ＋4，所以当Δx ＝0.1时，割线AB 的斜率为4.1.答案：4.17．曲线y ＝－3x 2＋2x ＋1在点(－2，－15)处的切线方程为________． 解析：由lim Δx →0－3Δx －22＋2Δx －2＋1－[－3×－22－4＋1]Δx＝lim Δx →0(－3Δx ＋14)＝14，可得所求切线方程为y ＋15＝14(x ＋2)，即14x －y ＋13＝0. 答案：14x －y ＋13＝08．一质点M 按运动方程s (t )＝at 2＋1做直线运动(s 表示位移大小，单位：m ；t 表示时间，单位：s)．若质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度大小为8 m/s ，则常数a 为________．解析：因为Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝a (2＋Δt )2＋1－a ·22－1＝4a Δt ＋a (Δt )2，所以Δs Δt＝4a ＋a Δt .当t ＝2时，瞬时速度大小为li m Δt →0 Δs Δt ＝4a ，可得4a ＝8，所以a ＝2. 答案：29．运动员从10 m 高台跳水时，从腾空到进入水面的过程中，不同时刻的速度是不同的．设起跳t s 后运动员相对水面的高度(单位：m)为H (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，计算在2 s 时运动员的瞬时速度．解：运动员在[2,2＋d ](或[2＋d,2])这个时间区间内的平均速度为H 2＋d －H 2d＝－4.9d 2－13.1d d＝－13.1－4.9d .在平均速度表达式－13.1－4.9d 中，当d 趋近于0时，－13.1－4.9d 趋近于－13.1. 因此，在2 s 时运动员的瞬时速度是－13.1 m/s.10．若一物体的运动方程如下：(位移s 的单位：m ，时间t 的单位：s)s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2，t ≥3， ①29＋3t －32，0≤t <3. ②求：(1)物体在[3,5]内的平均速度；(2)物体的初速度v 0；(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．解：(1)因为物体在[3,5]内的时间改变量为Δt ＝5－3＝2，物体在[3,5]内的位移改变量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，所以物体在[3,5]内的平均速度为Δs Δt ＝482＝24 m/s.(2)求物体的初速度v 0，即求物体在t ＝0时的瞬时速度． 因为Δs Δt＝s 0＋Δt －s 0Δt＝29＋3[0＋Δt －3]2－29－3×0－32Δt＝3Δt －18，所以物体在t ＝0处的瞬时速度为lim Δt →0ΔsΔt ＝lim Δt →0(3Δt －18)＝－18. 即物体的初速度为－18 m/s.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度，即为函数在t ＝1处的瞬时改变率． 因为Δs Δt＝s 1＋Δt －s 1Δt＝29＋3[1＋Δt －3]2－29－3×1－32Δt＝3Δt －12，所以函数在t ＝1时的瞬时改变率为lim Δt →0ΔsΔt ＝lim Δt →0(3Δt －12)＝－12. 即物体在t ＝1时的瞬时速度为－12 m/s.1．若曲线f (x )＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－1解析：选A 因为点(0，b )在切线x －y ＋1＝0上，所以b ＝1.又lim Δx →0f 0＋Δx －f 0Δx＝lim Δx →0Δx2＋a ΔxΔx＝a ，由切线方程x －y ＋1＝0知斜率k ＝1，故a ＝1.2．物体的运动方程为S ＝t ＋1(位移单位：m ；时间单位：s)，求物体在t ＝1 s 到t ＝(1＋Δt )s 这段时间内的平均速度．解：物体在[1,1＋Δt ]内的平均速度为S 1＋Δt －S 11＋Δt －1＝1＋Δt ＋1－1＋1Δt＝2＋Δt －2Δt＝2＋Δt －22＋Δt ＋2Δt2＋Δt ＋2＝12＋Δt ＋2(m/s)，即物体在t ＝1 s 到t ＝(1＋Δt )s 这段时间内的平均速度为12＋Δt ＋ 2m/s.3．已知某化学物质在溶液中反应时的浓度随时间改变而改变(温度不变)，下表记录了某温度下该化学物质在溶液中反应时不同时刻t 的浓度C (t ).t 0 2 4 6 8C (t )0.080 0 0.057 0 0.040 8 0.029 5 0.021 0(1)2≤t ≤6；(2)2≤t ≤4；(3)0≤t ≤2. 解：(1)v ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪0.029 5－0.057 06－2＝0.006 875.(2)v ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪0.040 8－0.057 04－2＝0.008 1. (3)v ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪0.057 0－0.080 02－0＝0.011 5.。
新课标高中数学人教A版必修2精讲精练讲解与习题答案
第1练 §1.1.1柱、锥、台、球的结构特征【第1练】 1～5 DCDDC ； 6.23 4l ； 7. 14cm .8. 解：设长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，则 2()11 4()24 ab bc ac a b c ++= ìí ++= î ，而对角线长22222 ()2226115 l a b c a b c ab bc ac =++=++---=-= .9. 解：（1）是棱柱，并且是四棱柱. 因为以长方体相对的两个面作底面都是全等的四边形，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱定义.（2）截面BCNM 的上方部分是三棱柱 11 BB B CC M - ，下方部分是四棱柱 11 ABMA DCND - .10. 解：把原料切割出所需的两种长方体而没有余料，只有 两种切法， 见图(Ⅰ)和(Ⅱ). 切法(Ⅰ)切割出12个第一种长方体和 6个第二种长方体，切法(Ⅱ)切割出5个第一种长方体和18个第 二种长方体.取 3 块原料，2 块按切法(Ⅰ)切割，1 块按切法(Ⅱ)切割．得 到 29 个第一种长方体和 30 个第二种长方体．因此，取 90 块原 料， 其中60块按切法(Ⅰ)切割，30块按切法(Ⅱ)切割， 共得到 870个第一种长方体和900个第二种长方体． 至 此，没产生任何余料，但还差 30 个第一种长方体．再取 2 块原料，按切法(Ⅲ)切割(见图)，得 30 个第一种长 方体．每块原料剩下12×3×0.1的余料．因此，为了得到这两种长方体各 900个，至少需 90＋2＝92块原料.此时，材料的利用率为 (3120.1)20.21199.9 (312 3.1)92 3.192´´´ -=-»%´´´´ 第2练 §1.1.2 简单组合体的结构特征【第2练】 1～5 ACDBC ；6. 23R ；7. ①③④⑤.8. 解：作截面，利用相似三角形知识，设正方体的棱长为x ，则 x h x a h - = ，解得 ahx a h=+ 9. 解：上、下底面正方形的边长为 1 S 、 2 S ，此棱台对角面、过两相对斜高的截面都是等腰梯形，则侧棱长为 2221 22 () 22 l S S h =-+ g g = 22 21 1 () 2S S h -+ ；斜高为 'h = 2122() 22 S S h -+ =2221 1 () 4S S h -+ .10. 解：（1）通过观察各几何体后，得到下表：图号 顶点数 棱数 面数①8 12 6 ②6 9 5 ③8 12 6 ④8 13 7 ⑤10 15 7 （2）由特殊到一般，归纳猜想得到：顶点数V ＋面数F －棱数E =2；（3）该木块的顶点数为10，面数为7, 棱数为15，有10+7—15=2，与（2）中归纳的数量关系式“V +F —E =2”相符.第3练 §1.2.2 空间几何体的三视图【第3练】 1～5 DADDD ； 6. 球、圆柱、圆锥等； 7. 100π，1010 8. 解：依次从每个几何体的三个方向得到三视图，再与已知三视图比较，所 以依次为C 、A 、D 、B.9. 解：该零件由一个长方体和一个半圆柱体拼接而成，并挖去了一个与该半 圆柱同心的圆柱，这个几何体的三视图如图所示.在视图中，被挡住的轮廓线画成虚线，尺寸线用细实线标出；Φ表示直径，R 表示半径；单位不注明时 按mm 计10. 解：（1）所要正方体个数为7、8、9、10、11都行. （2）最少7个，其俯视图样子不唯一，如下图.最多11个，其俯视图如右图.（图中数字表示在该处的小正方体的个数）第4练 §1.2.3 空间几何体的直观图【第4练】 1～5 BCBBB ； 6. 4 2 ； 7. ①③ 8. 解：（1）画法：如图，按如下步骤完成.第一步 ， 作水平放 置的正方形的直观图 ABCD ， 使 45, BAD Ð= o 2,1 AB cm AD cm == .第二步，过A 作z ¢轴，使 90 BAz ¢ Ð= o . 分别过点 ,, B C D 作z ¢轴的 平行线， 在z ¢轴及这组平行线上分别截取 2 AA BB CC DD cm ¢¢¢¢ ==== .第三步，连接 ,,, A B B C C D D A ¢¢¢¢¢¢¢¢，所得图形就是正方体的直观图. （2）画法：如图，按如下步骤完成.第一步，在已知的圆O 中取直径AB 所在的直线为x 轴，与AB 垂直的半径OD 所在的直线为y 轴，画出对应的x ¢轴和 y ¢轴，使 45 x O y ¢¢¢ Ð= o.第二步，在x ¢轴上取O A OA O B OB ¢¢¢¢ == ， ，在 y ¢轴上取 1 2 O C OC ¢¢= ， 1' 2O D OD ¢= . 第三步，圆的直观图是椭圆，把A B C D¢¢¢¢ ， ， ， 连成椭圆，即得到圆O 的直观图. 9. 解：如图，建立直角坐标系xoy ，在x 轴上取 ''1 OA O A cm == ； 在y 轴上取 2''22 OB O B cm == ；在过点B 的x 轴的平行线上取 ''1 BC B C cm == . 连接O,A,B,C 各点，即得到了原图形.由作法可知，OABC 为平行四边形， 22 813() OC OB BC cm =+=+= ,∴ 平行四边形OABC 的周长为(31)28() cm +´= ， 面积为 2 12222() cm ´= . 10. 解：该几何体类似棱台，先画底面矩形，中心轴，然后上底面矩形，连线 即成.（1） 画法： 如图， 先画轴， 依次画x’、 y’、 z’轴， 三轴相交于点O’， 使 45 x O y ¢¢¢ Ð= o，'90 x O z ¢¢ Ð= o. 在z’轴上取 "8 O O cm ¢ = , 再画x”、y” 轴.在坐标系x’O’y’中作直观图ABCD ， 使得AD =20cm ， AB =8cm ； 在坐标系x’’O’’y’’ 中作直观图A’B’C’D’，使得A’D’=12cm ，A’B’=4cm .连接AA’、BB’、CC’、DD’，即得到所求直观图.（2）如右图所示，延长正视图、侧视图的两腰，设两个交点到下底面的距离分别为h 、h’.根据相似比，分别有 128 20 h h - = 、 8'816'h h - = ，解得 20,'16 h h == .由 ' h h ¹ 可知，各侧棱延长不交于一点. 所以，该几何体不是棱台.第5练 §1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积【第5练】 1～5 BAAAC ；6. 22 ；7. 22:5 .8. 解：一个侧面如右图，易知 1885 2a - == ， 22 13512 h =-= .1 111111 1 3 11 11 11 1 133则 2188 612936() 2S cm + =´´= 侧面积 ， 2 1 88sin 60)6963() 2 S cm =´´´°´= 上底 （ ， 2 1 188sin 60)64863() 2S cm =´´´°´= 下底 （1 . 所以，表面积为 293696348639365823 cm ++=+ （） 9. 解：设圆柱的底面半径为r ，则 r H x R H - = ，解得 Rr R x H =- .∴ 圆柱的表面积 22 2 2()2()() R R RS R x R x x Hx x H H Hp p p =-+-=- .由S 是x 的二次函数， ∴ 当 2 H x = 时，S 取得最大值 2RHp .于是，当圆柱的高是已知圆锥高的一半时，它的表面积最大，最大面积为 2RHp .10. 解：设放入正方体后水深为h cm .当放入正方体后，水面刚好与正方体相平时，由2520102520101010 a ´´=´´+´´ ，解得 8 a = . 当放入正方体后，水面刚好与水箱相平时，由2520302520101010 a ´´=´´+´´ ，解得 28 a = .所以， 当0＜a ≤8时，放入正方体后没有被水淹没，则252025201010 h a h ´´=´´+´´ ，得 5 4a h = . 当828 a <£ 时，放入正方体后被水淹没， 则25202520101010 h a ´´=´´+´´ ，解得 2 h a =+ . 当2830 a <£ 时，放入正方体后水箱内的水将溢出，这时 30 h = .综上可得，当 5(08) 42 (828) 30 (2830) a a h a a a ì <£ ï ï=+<£ í ï <£ ï î.第6练 §1.3.1 柱体、锥体、台体的体积【第6练】 1～5 DBBAB ； 6. 31 cm ； 7.'''PA PB PC PA PB PC×× ×× . 8. 解：由题意有 22401600 S cm == 上 （ ） ， 22 603600() S cm == 下 ,( ) ( )117600 1600160036003600 333 V h S S S S h h =++=´+´+= g 下 下 上 上 .∴ 7600 19000075() 3h h cm =Þ= . 即油槽的深度为75cm .9. 解：设水面圆半径为r , 水深为h , 则有 1213517125h r - == - ， 解得h =7, r =13.于是雨水体积为V = 22 7(12121313)1094.333pp ´´+´+= ， 降雨量为 1094.33 172 pp»3.787(cm ) ，所以降雨量约为37.9mm .10. 解：如果按方案一，仓库的底面直径变成16m ，则仓库的体积231 1116256 ()4() 3323V Sh m p p ==´´´= .如果按方案二，仓库的高变成8m ，则仓库的体积 23 2 1112288()8() 3323 V Sh m p p ==´´´= .（2）如果按方案一，仓库的底面直径变成16m ,半径为8 m . 棱锥的母线长为 22 8445 l =+= ,则仓库的表面积 2 1 845325() S m p p =´´= .如果按方案二，仓库的高变成8m ，棱锥的母线长为 22 8610 l =+= ，则仓库的表面积 22 61060() S m p p =´´= 。
新课标版数学必修二(新高考 新课程)作业18高考调研精讲精练
课时作业(十八)1．下列说法中错误的是( )A ．平面直角坐标系内，每一条直线都有一个确定的倾斜角B ．每一条直线的斜率都是一个确定的值C ．没有斜率的直线是存在的D ．同一直线的斜率与倾斜角不是一一对应的 答案 B解析 当直线平行于y 轴或和y 轴重合时，无斜率．2．(2017·吉林扶余期中)过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角是45°，则y 等于( ) A ．－1 B ．－5 C ．1 D ．5答案 A解析 由题可知斜率k ＝tan45°＝－3－y 2－4＝3＋y 2＝1，解得y ＝－1.3．已知直线l 经过A(a ，b)，B(a ，c)，且b ≠c ，则l 的倾斜角为( ) A ．0° B ．90° C ．180° D ．不能确定 答案 B4．直线l 的倾斜角为α，且45°≤α≤135°，则直线l 斜率的取值范围为( ) A ．[1，＋∞) B ．(－∞，－1]C ．[－1，1]D ．[1，＋∞)∪(－∞，－1] 答案 D5．若直线l 经过第二、四象限，则直线l 的倾斜角的范围是( ) A ．[0°，90°) B ．[90°，180°) C ．(90°，180°) D ．[0°，180°) 答案 C解析 本题易错选B ，直线经过第二、四象限，不与x 轴垂直，所以倾斜角不等于90°. 6．(2017·福州一中质检)在平面直角坐标系中，正三角形ABC 的BC 边所在直线的斜率是0，则AC ，AB 边所在直线的斜率之和为( ) A ．－2 3 B ．0 C. 3D ．2 3答案 B解析 由BC 边所在直线的斜率是0，知直线BC 与x 轴平行，所以直线AC ，AB 的倾斜角互为补角，根据直线斜率的定义，知直线AC ，AB 的斜率之和为0.故选B. 7．直线l 过点(m ，n)(m ≠0)和原点，则l 的斜率为( ) A.m n B.n m C ．－n mD ．不存在答案 B解析 k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝n －0m －0＝nm.8．直线l 过点A(1，2)，且不过第四象限，则直线l 的斜率k 的最大值是( ) A ．0 B ．1 C.12 D ．2 答案 D解析 如图，k OA ＝2，k l ′＝0，只有当直线落在图中阴影部分才符合题意，故k ∈[0，2]，故直线l 的斜率k 的最大值为2.9．已知直线l 1的斜率为k 1，倾斜角为α1，直线l 2的斜率为k 2，倾斜角为α2，则( ) A ．k 1>k 2⇒α1>α2 B ．k 1<k 2⇒α1<α2 C ．α1<α2⇒k 1<k 2 D ．α1≠α2⇒k 1≠k 2 答案 D10．填充下表，探究直线的倾斜角α与斜率k 之间的关系．直线情况 平行于 x 轴 由左向 右上升 垂直于 x 轴 由右向 左上升 α的大小 k 的范围 k 的增减性答案直线情况 平行于 x 轴 由左向 右上升 垂直于 x 轴 由右向 左上升 α的大小 α＝0° 0°<α<90°α＝90° 90°<α<180°k 的范围k ＝0k>0不存在k<0k 的增减性 相等 递增 无 递增11.答案 92解析 由k AB ＝k AC 解方程可得． 12．若直线k 的斜率满足－3<k<33，则该直线的倾斜角α的取值范围是________． 答案 [0°，30°)∪(120°，180°)13．若经过点P(1－a ，1)和Q(2a ，3)的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，13)解析 ∵直线的斜率k ＝3－12a －（1－a ）＝23a －1，且直线的倾斜角为钝角，∴23a －1<0，解得a<13. 14．设直线l 与x 轴的交点为P ，且倾斜角为α，若将其绕点P 按逆时针方向旋转45°，得到直线l 的倾斜角为α＋45°，求α的取值范围． 解析 ∵l 与x 轴交于点P ，且倾斜角为α， ∴0°<α<180°.又∵逆时针旋转后得到倾斜角为α＋45°， ∴0°≤α＋45°<180°.综上：⎩⎪⎨⎪⎧0°<α<180°，0°≤α＋45°<180°，解得0°<α<135°.15．过P(－1，－3)的直线l 与y 轴的正半轴没有公共点，求直线l 的倾斜角的范围． 答案 [0，π3]∪[π2，π)16.如右图，已知直线l 过点P(－1，2)，且与以A(－2，－3)，B(3，0)为端点的线段相交．求直线l 的斜率的取值范围．解析 设直线PA 与PB 的倾斜角分别是α和β，由已知可得直线PA ，PB 的斜率分别是k PA ＝5，k PB ＝－12.当直线l 由PA 变化到与y 轴平行的位置PC 时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[5，＋∞)；当直线l 由PC 变化到PB 的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－12]． 故斜率的取值范围是(－∞，－12]∪[5，＋∞)．1．三点A(1，0)，B(－45，35)，C(－1，0)，若直线AB 与BC 的倾斜角分别为α，β，则α－β＝( ) A ．90° B ．－90° C ．270° D ．180°答案 A2．已知直线过原点(0，0)，且不过第三象限，那么直线的倾斜角α的取值范围为( ) A ．[0，π2]B ．[π2，π]C ．[π2，π)或α＝0D ．[π2，3π4)答案 C3．如果直线l 先沿x 轴负方向平移2个单位长度，再沿y 轴正方向平移2个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 答案 B解析 设A(a ，b)是直线l 上任意一点，则平移后得点A ′(a －2，b ＋2)，于是直线l 的斜率k ＝k AA ′＝b ＋2－ba －2－a＝－1.故选B.4．若直线l 的斜率为k ＝－tan α，并且α是三角形的一个内角，则直线l 的倾斜角为________． 答案 π－α5．已知点M(5，3)和点N(－3，2)，若直线PM 和PN 的斜率分别为2和－74，则点P 的坐标为________． 答案 (1，－5)解析 设P 点坐标为(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧y －3x －5＝2，y －2x ＋3＝－74，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－5，即P 点坐标为(1，－5)．6．直线l 1的倾斜角α1＝30°，直线l 2⊥l 1，求直线l 2的斜率． 答案 k 2＝－ 3解析 ∵l 1⊥l 2，∴α2＝30°＋90°＝120°. ∴k 2＝tan120°＝－ 3.7．已知实数x ，y 满足y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3，求yx 的最大值和最小值．解析 如图，由于点(x ，y)满足关系式y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3，可知点P(x ，y)在线段AB 上移动，并且A ，B 两点的坐标分别为A(2，4)，B(3，2)．由于y x 的几何意义是直线OP 的斜率，且k OA ＝2，k OB ＝23，所以y x 的最大值为2，最小值为23.。
《高考调研》衡水重点中学同步精讲精练数学必修5112 .ppt
1．1 正弦定理和余弦定理
1．1.2 余 弦 定 理
授人以渔 课后巩固 课时作业
要点 1 余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两
边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即： a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝ a2＋c2－2accosB ， c2＝ a2＋b2－2abcosC .
题型四
判断三角形的形状
例 4 在△ABC 中，cos2A2＝b＋ 2cc(a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边)，判断△ABC 的形状．
【解析】 方法一 在△ABC 中，∵cos2A2＝b＋ 2cc， ∴1＋2cosA＝2bc＋12，∴cosA＝bc. 又由余弦定理知 cosA＝b2＋2cb2c－a2， ∴b2＋2cb2c－a2＝bc，∴b2＋c2－a2＝2b2.∴a2＋b2＝c2. ∴△ABC 是以 C 为直角的直角三角形．
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探究 4 已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状， 有两条思路：①化边为角，再进行三角恒等变换求出三个角之间 的关系式；②化角为边，再进行代数恒等变换求出三条边之间的 关系式．两种转化主要应用正弦定理和余弦定理．
思考题 4 (1)在△ABC 中，a＝2，b＝3，c＝4，能判断△ ABC 的形状吗？
(a＋b)2－c2＝3ab，a2＋b2－c2＋2ab＝3ab. 即 a2＋b2－c2＝ab，由余弦定理，得 cosC＝12. 而 0°<C<180°，∴C＝60°. 又∵A＝B，∴△ABC 为等边三角形．
课后巩固
1．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，下列
等式不成立的是( ) A．a2＝b2＋c2－2bccosA C．cosA＝b2＋2cb2c－a2 答案 D
高中数学高考调研高中数学-课时作业11-新人教A版选修22
课时作业(十一)一、选择题1．函数f (x )＝x ＋2cos x 在区间[－π2，0]上的最小值是( )A ．－π2B ．2 C.π6＋ 3 D.π3＋1 答案 A2．函数f (x )＝x 3－3x 2＋3x (－1<x <1)( ) A ．有最大值，但无最小值 B ．有最大值，也无最小值 C ．无最大值，也无最小值 D ．无最大值，但有最小值 答案 C3．函数f (x )＝ln x －x 在(0，e]上的最大值为( ) A ．－1 B ．1 C ．0 D ．e答案 A4．设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图像如下图，则导数y ＝f ′(x )的图像可能为下图中的( )答案 D5．已知对任意实数x有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x>0，f′(x)>0，g′(x)>0，则x<0时( )A．f′(x)>0，g′(x)>0 B．f′(x)>0，g′(x)<0C．f′(x)<0，g′(x)>0 D．f′(x)<0，g′(x)<0答案 B6．函数f(x)＝x cos x的导函数f′(x)在区间[－π，π]上的图像大致是( )答案 A解析∵f(x)＝x cos x，∴f′(x)＝cos x－x sin x.∴f′(－x)＝f′(x)，∴f′(x)为偶函数．∴函数图像关于y轴对称．由f′(0)＝1可排除C、D选项．而f ′(1)＝cos1－sin1<0， 从而观察图像即可得到答案为A. 二、填空题7．函数f (x )＝12x 2－1x (x <0)的最小值是________．答案 328．函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1在[0,1]上的最小值为f (1)，则a 的取值范围为________． 答案 (－∞，－1] 解析 f ′(x )＝2x ＋2a ，f (x )在[0,1]上的最小值为f (1)，说明f (x )在[0,1]上单调递减，∴x ∈[0,1]时f ′(x )≤0恒成立． ∴a ≤－x ，∴a ≤－1.9．函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间[0，π2]上的值域为________．答案 [12，12en2]解析 ∵x ∈[0，π2]，∴f ′(x )＝e xcos x ≥0，∴f (0)≤f (x )≤f (π2)．即12≤f (x )≤12e n2 .10．直线y ＝a 与函数y ＝x 3－3x 的图像有三个相异的交点，则a 的取值范围是________． 答案 (－2,2)解析 f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0，可以得x ＝1或－1. ∵f (1)＝－2，f (－1)＝2，∴－2<a <2.11．已知f (x )＝－x 2＋mx ＋1在区间[－2，－1]上最大值就是函数f (x )的极大值，则m 的取值范围是________．答案 [－4，－2]解析 f ′(x )＝m －2x ，令f ′(x )＝0，得x ＝m2.由题设得m2∈[－2，－1]，故m ∈[－4，－2]．三、解答题12．求下列各函数的最值： (1)f (x )＝sin2x －x ，x ∈[－π2，π2]； (2)f (x )＝e －x－e x，x ∈[0，a ]，a 为正常数．解析 (1)因为f (x )＝sin2x －x ，所以f ′(x )＝2cos2x －1. 又x ∈[－π2，π2]，令f ′(x )＝0，解得x ＝－π6或x ＝π6.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x －π2 (－π2，由上表可得函数f (x )的最大值为π2，最小值为－π2.(2)f ′(x )＝(1e x )′－(e x )′＝－1e x －e x＝－1＋e 2xe x .当x ∈[0，a ]时，f ′(x )<0恒成立， 即f (x )在[0，a ]上是减函数．故当x ＝a 时，f (x )有最小值f (a )＝e －a－e a； 当x ＝0时，f ′(x )有最大值f (0)＝e －0－e 0＝0.13．已知f (x )＝x 3－x 2－x ＋3，x ∈[－1,2]，f (x )－m <0恒成立，求实数m 的取值范围． 解析 由f (x )－m <0，即m >f (x )恒成立， 知m >f (x )max .f ′(x )＝3x 2－2x －1，令f ′(x )＝0，解得x ＝－13或x ＝1.因为f (－13)＝8627，f (1)＝2，f (－1)＝2，f (2)＝5，所以f (x )的最大值为5，故m 的取值范围为(5，＋∞)． 14．设函数f (x )＝12x 2e x.(1)求f (x )的单调区间；(2)若当x ∈[－2,2]时，不等式f (x )>m 恒成立，求实数m 的取值范围． 解析 (1)f ′(x )＝x e x＋12x 2e x ＝ex2x (x ＋2)．由ex2x (x ＋2)>0，解得x >0或x <－2. ∴(－∞，－2)，(0，＋∞)为f (x )的增区间． 由ex2x (x ＋2)<0，得－2<x <0. ∴(－2,0)为f (x )的减区间．∴f (x )的单调增区间为(－∞，－2)，(0，＋∞)； 单调减区间为(－2,0)．(2)令f ′(x )＝ex2x (x ＋2)＝0，得x ＝0或x ＝－2.∵f (－2)＝2e 2，f (2)＝2e 2，f (0)＝0，∴f (x )∈[0,2e 2]． 又∵f (x )>m 恒成立，∴m <0. 故m 的取值范围为(－∞，0)．15．设函数f (x )定义在(0，＋∞)上，f (1)＝0，导函数f ′(x )＝1x，g (x )＝f (x )＋f ′(x )．(1)求g (x )的单调区间和最小值； (2)讨论g (x )与g (1x)的大小关系．解析 (1)由题设易知f (x )＝ln x ，g (x )＝ln x ＋1x，∴g ′(x )＝x －1x 2.令g ′(x )＝0，得x ＝1. 当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，故(0,1)是g (x )的单调减区间． 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，故(1，＋∞)是g (x )的单调增区间．∴x ＝1是g (x )的唯一极值点，且为极小值点，从而也是最小值点，∴最小值为g (1)＝1.(2)g (1x)＝－ln x ＋x ，设h (x )＝g (x )－g (1x )＝2ln x －x ＋1x，则h ′(x )＝－x －12x 2.当x ＝1时，h (1)＝0，即g (x )＝g (1x)．当x ∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h ′(x )<0，h ′(1)＝0， ∴h (x )在(0，＋∞)内单调递减．当0<x <1时，h (x )>h (1)＝0，即g (x )>g (1x)；当x ＝1时，g (x )＝g (1x)；当x >1时，h (x )<h (1)＝0，即g (x )<g (1x)．16．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 在点x 0处取得极小值－4，使其导函数f ′(x )>0的x 的取值范围为(1,3)．(1)求f (x )的解析式及f (x )的极大值；(2)当x ∈[2,3]时，求g (x )＝f ′(x )＋6(m －2)x 的最大值． 解析 (1)由题意知f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ＝3a (x －1)(x －3)(a <0)，∴在(－∞，1)上f ′(x )<0，f (x )是减函数，在(1,3)上f ′(x )>0，f (x )是增函数，在(3，＋∞)上f ′(x )<0，f (x )是减函数．因此f (x )在x 0＝1处取得极小值－4，在x ＝3处取得极大值．∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝－4，f ′1＝3a ＋2b ＋c ＝0，f ′3＝27a ＋6b ＋c ＝0.解得a ＝－1，b ＝6，c ＝－9. ∴f (x )＝－x 3＋6x 2－9x .∴f (x )在x ＝3处取得极大值f (3)＝0.(2)g (x )＝－3(x －1)(x －3)＋6(m －2)x ＝－3(x 2－2mx ＋3)，g ′(x )＝－6x ＋6m ＝0，得x ＝m .①当2≤m ≤3时，g (x )max ＝g (m )＝3m 2－9；②当m <2时，g (x )在[2,3]上是递减的，g (x )max ＝g (2)＝12m －21； ③当m >3时，g (x )在[2,3]上是递增的，g (x )max ＝g (3)＝18m －36. 因此g (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧12m －21 m <2，3m 2－9 2≤m ≤3，18m －36 m >3.17．设函数f (x )＝tx 2＋2t 2x ＋t －1(x ∈R ，t >0)． (1)求f (x )的最小值h (t )；(2)若h (t )<－2t ＋m 对t ∈(0,2)恒成立，求实数m 的取值范围． 解析 (1)∵f (x )＝t (x ＋t )2－t 3＋t －1(x ∈R ，t >0)， ∴当x ＝－t 时，f (x )取最小值f (－t )＝－t 3＋t －1，即h (t )＝－t 3＋t －1.(2)令g (t )＝h (t )－(－2t ＋m )＝－t 3＋3t －1－m . 由g ′(t )＝－3t 2＋3＝0，得t ＝1或t ＝－1(舍去)． 当t 变化时，g ′(t )，g (t )的变化情况如下表：t (0,1) 1 (1,2) g ′(t ) ＋－ g (t )极大值1－m↘∴g (t )在(0,2)内有最大值g (1)＝1－m ，h (t )<－2t ＋m 在(0,2)内恒成立，即g (t )<0在(0,2)内恒成立，即1－m <0，解得m >1，所以m 的取值范围为(1，＋∞)．18．已知函数f (x )＝ax 2－b ln x ＋12在x ＝x 0处取得极小值1＋ln2，其导函数f ′(x )的图像如图所示．求x 0，a ，b 的值．解析 由图可知x 0＝12.∴当x ＝12时，f (x )极小值为1＋ln2.∴14a －b ln 12＋12＝1＋ln2. ∴a ＋4b ln2＝2＋4ln2.①又∵f ′(x )＝2ax －bx， ∴f (12)＝2a ×12－2a ＝0.∴a ＝2b .②由①②解得b ＝1，a ＝2.高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
新课标版数学必修二(A版)作业5高考调研精讲精练
课时作业(五)1．轴截面为正方形的圆柱的侧面积与表面积的比是( ) A ．1∶2 B ．2∶3 C ．1∶3 D ．1∶4答案 B解析 设正方形边长为1，则S 侧＝2π·12·1＝π，S 表＝S 侧＋2S 底＝π＋2π·(12)2＝32π.所以S 侧∶S 表＝2∶3.2．半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为( ) A.324πR 3 B.38πR 3 C.524πR 3 D.55πR 3 答案 A3.已知高为3的棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B 1－ABC 的体积为( ) A.14 B.12 C.36D.34答案 D4．棱台的上下底面面积分别是2，4，高为3，则该棱台的体积是( ) A ．18＋6 2 B ．6＋2 2 C ．24 D ．18答案 B5．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的表面积为( ) A ．81π B ．100π C ．168π D ．169π 答案 C解析 设上、下底面半径和高分别为x ，4x ，4x ，由题意102＝(4x)2＋(4x －x)2，∴x ＝2，所以S 圆台表＝π×22＋π×82＋π(2＋8)×10＝168π.6．轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的( ) A ．4倍B ．3倍C.2倍 D ．2倍答案 D解析 设圆锥底面半径为r ，由题意知母线长l ＝2r ，则S 侧＝πr·2r ＝2πr 2，∴S 侧S 底＝2πr 2πr2＝2.7.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A ．2B ．1 C.23 D.13答案 B解析 由三视图可知，它表示的是一放倒的底面是一直角边为2，另一直角边为1的直角三角形，高为2的直三棱柱，所以体积为V ＝12×2×1×2＝1.故选B.8.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．3πB ．4πC ．2π＋4D ．3π＋4答案 D解析 由所给三视图可知，该几何体是圆柱从底面圆直径处垂直切了一半，故该几何体的表面积为12×2π×1×2＋2×12×π×12＋2×2＝3π＋4，故选D.9．(2017·课标全国Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )A．90πB．63πC．42πD．36π答案 B解析依题意，题中的几何体是用一个平面将一个底面半径为3、高为10的圆柱截去一部分后所剩余的部分，可在该几何体的上方拼接一个与之完全相同的几何体，从而形成一个底面半径为3、高为10＋4＝14的圆柱，因此该几何体的体积等于12×(π×32)×14＝63π，选B.10.如图，已知ABCD－A1B1C1D1为正方体，则正四面体D－A1BC1的表面积与正方体的表面积之比是()A.22 B.33C. 3D. 2答案 B解析设正方体的棱长为1，则正方体的表面积为6，正四面体D－A1BC1的棱长为2，表面积为4×12×2sin60°×2＝23，∴正四面体D－A1BC1的表面积与正方体的表面积之比是33.故选B.11．长方体的对角线长是8，若长、宽、高分别是a，b，c且a＋b＋c＝14，则长方体的全面积为________．答案13212．已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为________．答案π解析 ∵S 圆锥侧＝π·r·SA ，S 底＝πr 2， ∴πr ·SA ＝2πr 2， ∴SA ＝2r.∴圆心角θ＝2πrSA＝π.13．把一个棱长为a 的正方体，切成27个全等的小正方体，则所有小正方体的表面积为________．表面积增加了________． 答案 18a 2 12a 214．已知一圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为S ，则圆锥的底面面积是________． 答案S 2解析 如图所示，设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧12πl 2＝S ，πl ＝2πr ，解得r ＝S 2π.所以底面积为πr 2＝π×S 2π＝S 2.故填S2.15．如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为a ，高为2a ，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这时水面恰好为中截面，则图1中容器内水面的高度是________．图1 图2答案 32a解析 如图1中容器内液面的高度为h ，液体的体积为V ，则V ＝S △ABC h.图2中液体组成了一个直四棱柱，其底面积为34S △ABC ，高度为2a ，则V ＝34S △ABC ·2a ，∴h ＝34S △ABC ·2a S △ABC＝32a ，故填32a.16．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，主视图(或称正视图)是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V ； (2)求该几何体的侧面积S.解析 由已知可得该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影为矩形中心的四棱锥V －ABCD. (1)V ＝13×(8×6)×4＝64.(2)该四棱锥有两个侧面V AD ，VBC 是全等的等腰三角形，且BC 边上的高为h 1＝42＋（82）2＝4 2.另两个侧面VAB ，VCD 也是全等的等腰三角形，AB 边上的高为h 2＝42＋（62）2＝5，因此S 侧＝2(12×6×42＋12×8×5)＝40＋24 2.17．如图(1)，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ADC ＝135°，AB ＝5, CD ＝22，AD ＝2，求四边形ABCD 绕AD 边所在的直线旋转一周所成几何体的表面积和体积．解析 将四边形ABCD 绕AD 边所在的直线旋转一周形成一个被挖去一个圆锥的圆台，如图(2)．由题意可得CD ＝22，AD ＝2，CE ＝ED ＝2，AB ＝5，AE ＝4，BC ＝5，所以S ＝π·EC·DC ＋π(EC ＋AB)·BC ＋π·AB 2＝42π＋35π＋25π＝60π＋42π，V ＝13π·(CE 2＋AB 2＋CE·AB)·AE －13π·CE 2·DE ＝52π－83π＝148π3.1.如图为一个侧棱与底面垂直的棱柱，其中AC′长为9 cm ，DB ′长为15 cm ，高是5 cm ，若它的底面是菱形，则这个棱柱的侧面积是( ) A ．160 cm 2 B ．320 cm 2 C ．4089 cm 2 D ．8089 cm 2答案 A2．若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为( ) A.26 B.23 C.33D.23答案 B解析 以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是两个全等的正四棱锥，该棱锥的高是正方体高的一半，底面面积是正方体一个面面积的一半，V ＝2×13×(12×2×2)×12×2＝23.3．降水量是指水平地面上单位面积的降水深度．现用上口直径为38 cm ，底面直径为24 cm ，深为35 cm 的圆台形水桶来测量降水量．在一次降雨过程中，此桶盛得雨水正好是桶深的17，则此次降雨量是________(精确到1 mm)． 答案 22 mm解析 设水面圆的半径为r ，则得r －1219－12＝17，r ＝13.积水成台体的体积V ＝13(π×132＋π×122＋π×13×12)×5，降水量＝V水桶口的面积≈22(mm)．4．正四棱台的侧棱长为3 cm ，两底面边长分别为1 cm 和5 cm ，求正四棱台的体积． 解析 正四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1， O 1，O 是两底面的中心， ∵A 1C 1＝2，AC ＝52， ∴A 1O 1＝22，AO ＝522. ∴O 1O ＝32－（52 2－22）2＝1.体积＝13×1×[12＋52＋12×52]＝13[1＋25＋5]＝313(cm 3)． 5.已知过三棱台上底面的一边与一条侧棱平行的一个截面，它的两个顶点是下底面两边的中点，求棱台被分成两部分的体积的比．解析 设棱台上底面△A′B′C′的面积为S′，棱台的高为h. 由题意可知：△A′B′C′≌△DBE.∵△DBE ∽△ABC ，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，∴S △DBE S △ABC ＝14.∴S △ABC ＝4S′.∴V 台ABC －A′B′C′＝13h ·(S′＋S′·4S′＋4S′)＝13h ·7S ′＝73h ·S ′.又∵V 柱DBE －A′B′C′＝S′·h ，∴棱台被分成的两部分体积比为4∶3.6．如图①所示，三棱锥P －ABC 的侧棱的长度均为1，且侧棱间的夹角为40°，动点M 在棱PB 上移动，动点N 在棱PC 上移动，求AM ＋MN ＋NA 的最小值．解析 将三棱锥P －ABC 的展开图如图②所示，则AM ＋MN ＋NA ＝AN ＋MN ＋A 1M. 又∵AN ＋MN ＋A 1M ≥AA 1，∴当A ，M ，N 三点共线时，取到最小值．在图中，∵∠A 1PB ＝∠BPC ＝∠CPA ＝40°，∴在图中∠APA 1＝120°.在△APA 1中，AA 1＝3， ∴AM ＋MN ＋NA 的最小值为 3.。
高考调研高二数学新人教A版选修2 3 课时作业11
)课时作业(十一1425xx)的项的系数是．在二项式(( －)的展开式中，含1x10 B ． A．－105DC．－5 ．B答案1rrrrrr31025－－xxT－1)·C·，·(－解析展开式的通项为＝C())＝(r5＋15x242xrr B. 10－310.＝4，∴故选＝2，则(的系数是－1)·C＝令51310x)2．(2－)的展开式中的常数项是( 2x2105 A．210 B.21105．－D C.4B答案4106yxyx) －2( )的展开式中3．( 项的系数是840 ．－BA．840210．－．210 DCA答案46444664yxxyxTy. ×4C840＝解析C(＝－2)＝10＋41107524) ＋7) 展开式中的整数项是4．二项式2((14B A．第15项．第项 D．第12项项C．第13A答案rr－247755rrr－2424都(2解析(＋7)展开式的通项为C2)与应使·(7).要使其为整数，rr－24rr项．214是整数，观察易知＝时皆为整数，因此所求为第15＋1项，即第，2475＝2＝7510x) 项的系数是( 按二项式定理展开，展开式的第(3i－)(i是虚数单位)8．把5135 B135 A．．－3i360．－C3603i ．DD答案．77737737xTxx项的系数为33iC＝所以展开式的第－3)＝－C3i8解析∵，＝C(3i)(10107＋11073i.，即36033·Ci10*nxnxx) ＋1)·…·( ＋1)(∈(N＋1)(2)的展开式中一次项系数为( 6．在22B． C A．C nn1＋1n31－ C．C D.C nn1＋2B答案nn＋2n.解析1＝＝3＋…＋C＋2＋n1＋2xx6－x) 展开式中的常数项是( )( ∈R)7．(2011·陕西理)(4－215 20 ．－BA．－20C．15 ．DC答案T15.rxrrrxrxr32126－－－rrT项是常数50－3)(－2＝(－1)C(2解析C＝(2))，故第，＝＝4时，12r6＋1644C＝项，(＝－1)65a48axx________.8＋＝7)若(的展开式中，则实数的系数为．(2013·安徽)3x1 答案2a44rr8rxrrTax故＝＋4，可得，令8－)展开式的通项为3.＝C＝－由二项式解析(8r8＋1333x133aa＝.＝7C，∴82107337yxyxyx－的系数之和等于)的展开式中，9．(________．的系数与240 －答案10yx)解析(展开式的通项为－rrrrrrr－1010－xyTyx，C＝(－＝C(－1))r1010＋1773337yxyx. 的系数为－C，∴C的系数为－1010337240.＝－)∴所求的系数和为－(C＋C＝－2C101010234xxxx ________．4．化简：10(1)－＋4(－1)＋6(－1)＋的值为－34x答案原式为解析234xxxx1 6(1)＋(－1)4(－＋－1)＋1)－＋4(44xx.＝1]＋1)－[(＝25324xxxxxx的系数等于(________－1)－(．－1)＋(的展开式中，－11．(1)－1)－(1)－＋20 答案－2x的系数就应该是这所给的代数式是五个二项式的代数和．因此所求的解析方法一31220x20.＝－C－五个二项式的展开式中C的系数的代数和，即－C－C－54235xx]－－－＝方法二也可以利用等比数列求和化为将原式公式，x－＋16xx－＋－3623xxx20..可以看出，所求的的系数，即为－的系数就是(C－1)中＝－6x710axxa________. ＝的系数是12．在(15－，则实数)的展开式中，1 答案－21350________2项．＋)13．的二项展开式中，整数项共有(24 答案k 5－11003kkkk －50T C(2)·()＝C 解析 ·2＝.k 50＋15062kkk ＝2,8,14,20时，∈N 由0≤可知，当≤50，且 k 5100－取整数，即展开式中有4项是整数项． 615x ＋－1)．求(展开式中的常数项． 14 x 1111115xxxxxx ＋－1)．－1)( ＋－1)＝(－＋－1)(＋－1)(1)(方法一解析 (＋＋ xxxxxx 5；若从五个因式中选1)相乘为(－按多项式乘法的规律，常数可从五个因式中都选取－11311x ；若从五个因式某两因式中1)(－－1)，为C 定一因式取C ，一因式取，另三个因式中取( 45x 122x ，另两因式中取，余下一个因式中取－1，所得式为CC(－取1)，所以常数项为 35x 51132251.CC(－1)＝－＋＋(－1)CC(－1)34555次方，也可以直接展开，即方法二 由于本题只有11111155342xxxxxx 1.－＋)5(10((－＋)1]＝－＋)5(＋)＋－＋)10(＋)＋[( xxxxxx 11xx ＋的偶数次幂中的展开式中才会出现常数项且是各自的中＋的对称性知，只有在由 xx 间项，1251.＝－－5C ∴常数项为－10C1－24．1155xx ，＋)－∵(－＋1)＝[(1]方法三 xx 1rrr －5rxT ·(－1)∴通项为(0≤＝C(≤5)．＋) r 51＋x 55Tr ；＝－时，1＝C(－当1)＝5561r －5xr )当0≤<5时，(的通项为＋ x 1krkk －5－xT ·(′＝C) rk－5＋1xkrk 2－－5rxk ＝C ≤5－．(0≤)r －5rr ，∈∵0≤Z <5，且kr 1. 值分别为2只能取1或3相应的∴或1231351. ＝－(－1)CC(－1)＋CC(－1)＋∴常数项为2545?重点班选做题234xxx ) )的展开式中 )(1的系数是－( 15．(2010·全国卷Ⅰ)(1－B ．－A ．－6 3 D0 ．3 C ．A 答案rrrrr 34TxxxTx －)的通项为＝(－1)C ＝，(1( 解析由于(1－－)的通项为＝C(－)kr 144＋1＋kk 2423xxx xx )C1))中的(1－项的系数和－，所以乘积中的的系数分别乘项的系数为(13x 的系数再求和得到，即6×1＋(－4)×3＝6－12中的常数项和＝－6.a 15xx －)的展开式中各项系数的和为)(2216．(2011·新课标全国理)(，则该展开式中＋ xx常数项为( ) A ．－40 B ．－20 D20 ．40 C ．D 答案a 1155xxxaaxT 的展开式的通项)2，故－＝－)，可令＋＝1得11.(2解析 对于(＝＋)(2 r xxx 111rrrrrrr 25555－－－xxxxx －(2的×(－1)×)，要得到展开式的常数项，则与＋)((2＝C －)＝C2 5＋51xxx 11115xxxrrr ＝－2＝3.令相乘，故令5－2＝－1，得5相乘，展开式的与＋的(2)－展开式的 xxxx 323232r 40.1)＝×21)×1，得＝2，从而可得常数项为C2×(－＋C ×(－55π35xx ________.，则的展开式中φ．若17(cos ＋)的系数为2sin(2)φ＋＝2．3 －答案 5π12233x φ＝cos2sin(2φ＋)，φcos ＝2，得cos φ＝故 解析由二项式定理，得的系数为C 52532.＝－φ2cos－1＝5a63axxABB若－.()>0)的展开式中的系数为，常数项为()18．(2011·浙江理设二项式xaA，则4的值是．________＝2 答案解析。
2023年新高考11题评析
2023年新高考11题评析如下：
这道题目属于数学解析题，要求我们针对2023年高考数学新一卷中的第11题进行详细解析。
题目涉及函数的单调性及其特点，要求找出函数的单调递减区间。
首先，我们需要了解函数的单调性及其特点。
函数的单调性是指在某个区间内，函数值随着自变量的增加而增加或减少。
在本题中，函数f(x)=2x^3-3x^2-12x+5是三次函数，其导数f'(x)可以用来判断函数的单调性。
接下来，我们需要找到函数的单调递减区间。
通过求导数并判断导数的符号，我们可以确定函数在哪个区间内是单调递减的。
在本题中，导数f'(x)=6x^2-6x-12，通过解不等式f'(x)<0，我们可以得到函数的单调递减区间。
在解题过程中，需要注意以下几点：
1. 正确求出函数的导数。
2. 正确解不等式f'(x)<0，找出函数的单调递减区间。
3. 注意区间的端点是否需要取值验证。
综上所述，这道题目考察了学生对函数单调性的理解以及导数的应用能力。
通过认真分析题目要求和运用数学知识，我们可以找到正确的答案。
【课件】2023年全国高考数学新课标Ⅱ卷第11题说题课件
04 试题的价值与推广
价值3：
在没有考纲的情况下，随着数学试题的命制在灵活度和知识范围 广度上的增加，我们必然感到试题的深度和难度的增加。只有深刻领 会《中国高考评价体系》中的“一核四层四翼”的总体要求，并在吃 透教材的基础上开发好教材，在学习中多练、多问、多总结、多思考， 才能真正提高独立思考、分析问题和解决问题的能力。
03 解题思路
（2023 年新课标 Ⅱ卷11题）若函数
f
(x)
=
a
ln
x+
b x
+
c x2
(a
≠0)既有极大值也
有极小值，则
A.bc>0 B.ab>0 C.b2 +8ac>0 D.ac<0
草图：
① ②
03 解题思路
（2023 年新课标 Ⅱ卷11题）若函数
f
(x)
=
a
ln
x+
b x
+
c x2
(a
≠0)既有极大值也
谢谢大家
2023年高考数学新课标Ⅱ卷第11题
精准掌握数学概念 找到解题“金钥匙”
以2023年高考数学新课标Ⅱ卷第11题为例
说题 流程
01
真题再现
02
命题立意与核心素养
03
解题思路
04
试题价值与推广
01 真题再现
（2023 年新课标 Ⅱ卷11题）若函数
f
(x)
=
a
ln
x+
b x
+
c x2
(a
≠0)既有极大值也
有极小值，则
A.bc>0 B.ab>0 C.b2 +8ac>0 D.ac<0
新课标版数学必修二(新高考 新课程)作业15高考调研精讲精练
课时作业(十五)(第一次作业)1．直线a是平面α的斜线，过a且和α垂直的平面有()A．0个B．1个C．2个D．无数个答案 B2．给定下列四个命题①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是()A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④答案 D3．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是() A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥βC．若m⊥β，m∥α，则α⊥βD．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ答案 C解析若m⊂β，α⊥β，则m与α的关系可能平行也可能相交，则A为假命题；选项B中，α与β可以平行也可能相交，则B为假命题；选项D中β与γ也可能平行或相交(不一定垂直)，则D为假命题．故选C.4.在如图所示的三棱锥中，AD⊥BC，CD⊥AD，则有()A．面ABC⊥面ADC B．面ABC⊥面ADBC．面ABC⊥面DBC D．面ADC⊥面DBC答案 D5．正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为CC1的中点，则平面PBD垂直于()A．平面A1BD B．平面D1BDC．平面PBC D．平面CBD答案 A6．在空间四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，E为对角线AC的中点，下列判断正确的是()A．平面ABD⊥平面ADC B．平面ABC⊥平面ABDC．平面ABC⊥平面ADC D．平面ABC⊥平面BED答案 D7．(2016·浙江)已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则()A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥n答案 C解析因为α∩β＝l，所以l⊂β，所以n⊥l.故选C.8.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，则下列结论中错误的是()A．D1O∥平面A1BC1B．MO⊥平面A1BC1C．异面直线BC1与AC所成的角等于60°D．二面角MACB等于90°答案 D解析对于选项A，连接B1D1，BO，交A1C1于E，则四边形D1OBE为平行四边形，所以D1O∥BE，因为D1O⊄平面A1BC1，BE⊂平面A1BC1，所以D1O∥平面A1BC1，故正确；对于选项B，连接B1D，因为O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，所以MO∥B1D，易证B1D⊥平面A1BC1，所以MO⊥平面A1BC1，故正确；对于选项C，因为AC∥A1C1，所以∠A1C1B为异面直线BC1与AC 所成的角，因为△A1C1B为等边三角形，所以∠A1C1B＝60°，故正确；对于选项D，因为BO⊥AC，MO⊥AC，所以∠MOB为二面角MACB的平面角，显然不等于90°，故不正确．综上知，选D.9．如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是________(填序号)．①PB⊥AD；②平面PAB⊥平面PAE；③BC∥平面PAE；④直线PD与底面ABC所成的角为45°.答案②④解析由于AD与AB不垂直，因此得不到PB⊥AD，①不正确；由PA⊥AB，AE⊥AB，PA∩AE＝A，得AB⊥平面PAE，因为AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAE，②正确；延长BC，EA，两者相交，因此BC与平面PAE相交，③不正确；由于PA⊥平面ABC，所以∠PDA就是直线PD与平面ABC所成的角，由PA＝2AB，AD＝2AB，得PA＝AD，所以∠PDA＝45°，④正确．10．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.证明(1)因为E，F分别是A1B，A1C的中点，所以EF∥BC，又EF⊄面ABC，BC⊂面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)因为直三棱柱ABC-A1B1C1，所以BB1⊥面A1B1C1，BB1⊥A1D.又A1D⊥B1C，BB1∩B1C＝B1，所以A1D⊥面BB1C1C.又A1D⊂面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.11.如图，四棱锥S-ABCD中，四边形ABCD为菱形，SD＝SB.(1)求证：平面SAC⊥平面SBD；(2)求证：平面SAC⊥平面ABCD.证明(1)连接AC，BD，使AC∩BD＝O.∵底面ABCD为菱形，∴BD⊥AC.∵SB＝SD，O为BD中点，∴SO⊥BD，又SO∩AC＝O，∴BD⊥平面SAC，又∵BD⊂平面SBD，∴平面SAC⊥平面SBD.(2)由(1)知BD⊥平面SAC，BD⊂平面ABCD，∴平面SAC⊥平面ABCD.12.如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证：(1)DE＝DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA.证明(1)取AC中点N，连接MN，BN，则MN∥EC，∵EC⊥平面ABC，∴平面EAC⊥平面ABC.∴MN⊥平面ABC，又BN⊂平面ABC，∴MN⊥BN，且MN＝BD，MN∥BD，∴四边形MNBD为矩形，∴DM∥BN，∵CN＝AN，BC＝AB，∴BN⊥CA，又CA ∩MN ＝N ，∴BN ⊥平面AEC ，∴DM ⊥面EAC ，∴DM ⊥AE.∴DE ＝DA. (2)由(1)知，DM ⊥面EAC ，DM ⊂面BDM ， ∴平面BDM ⊥平面ECA.(3)由(1)知，DM ⊥面EAC ，DM ⊂面ADE ， ∴平面DEA ⊥平面ECA.13．如图所示，在矩形ABCD 中，已知AB ＝12AD ，E 是AD 的中点，沿BE 将△ABE 折起至△A ′BE 的位置，使A ′C ＝A ′D ，求证：平面A ′BE ⊥平面BCDE.证明 如图所示，取CD 的中点M ，BE 的中点N ，连接A ′M ，A ′N ，MN ，则MN ∥BC.∵AB ＝12AD ，E 是AD 的中点，∴AB ＝AE ，即A ′B ＝A ′E ，又BN ＝NE ， ∴A ′N ⊥BE.∵A ′C ＝A ′D ，∴A ′M ⊥CD. 在四边形BCDE 中，CD ⊥MN ，又MN ∩A ′M ＝M ，∴CD ⊥平面A ′MN ，又A ′N ⊂平面A ′MN ，∴CD ⊥A ′N. ∵DE ∥BC 且DE ＝12BC ，∴BE 必与CD 相交．又A ′N ⊥BE ，A ′N ⊥CD ，∴A ′N ⊥平面BCDE. 又A ′N ⊂平面A′BE ，∴平面A ′BE ⊥平面BCDE.课时作业(十五)(第二次作业)1．(2015·浙江)设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β.( ) A ．若l ⊥β，则α⊥β B ．若α⊥β，则l ⊥m C ．若l ∥β，则α∥βD ．若α∥β，则l ∥m答案 A解析 面面垂直的证明主要是找线面垂直，此题在选项中直接给出两个条件，便于考生根据判定定理进行直接选择，相对较为基础．如果采用排除法，思维量会增加．2．在正四面体P-ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论不成立的是( )A ．BC ∥平面PDFB ．DF ⊥平面PAEC ．平面PDF ⊥平面ABCD ．平面PAE ⊥平面ABC答案 C解析 ∵D ，E ，F 分别为AB ，BC ，AC 的中点，∴DF ∥BC.∴BC ∥平面PDF.故A 正确．连接AE ，PE ，则AE ⊥BC.PE ⊥BC ，∴BC ⊥平面PAE.∴DF ⊥平面PAE.故B 正确．又∵BC ⊂平面ABC ，∴平面PAE ⊥平面ABC.故D 正确．∴选C.3．把正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，则△ABC 是( ) A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形 答案 A4．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，截面A 1BD 与底面ABCD 所成二面角A 1-BD-A 的正切值为( ) A.32B.22C. 2D. 3答案 C解析 如图所示，连接AC 交BD 于点O ，连接A 1O ，O 为BD 中点， ∵A 1D ＝A 1B ，∴在△A 1BD 中，A 1O ⊥BD.又∵在正方形ABCD 中，AC ⊥BD ， ∴∠A 1OA 为二面角A 1-BD-A 的平面角． 设AA 1＝1，则AO ＝22，∴tan ∠A 1OA ＝AA 1AO ＝122＝ 2.故选C. 5.如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是矩形，则图中互相垂直的平面有( )A．2对B．3对C．4对D．5对答案 D解析∵PA⊥平面ABCD，∴平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD.∵AB⊥AD，PA⊥AB，∴AB⊥平面PAD，∴平面PAB⊥平面PAD.同理，平面PCD⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PBC.共有5对平面互相垂直．故选D.6．若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角()A．相等B．互补C．相等或互补D．关系无法确定答案 D解析如图所示，平面EFDG⊥平面ABC，当平面HDG绕DG转动时，平面HDG始终与平面BCD垂直，所以两个二面角的大小关系不确定，因为二面角H-DG-F的大小不确定．故选D.7．四边形ABCD是正方形，以BD为棱把它折成直二面角A-BD-C，E为CD的中点，则∠AED的大小为()A．45°B．30°C．60°D．90°答案 D解析设BD中点为F，则AF⊥BD，CF⊥BD，∴∠AFC＝90°，∴AF⊥面BCD.∵E，F分别为CD，BD的中点，∴EF∥BC，又∵BC⊥CD，∴CD⊥EF，又AF⊥CD，∴CD⊥平面AEF，又AE⊂平面AEF，∴CD⊥AE.故选D.8.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B-PA-C的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案 D解析∵PA⊥平面ABC，∴BA⊥PA，CA⊥PA，∴∠BAC为二面角BPAC的平面角．∵∠BAC＝90°，∴二面角的大小为90°.9.如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是这长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为5的等腰三角形，则二面角V-AB-C的度数是________．答案60°解析如图，取AB的中点E，CD的中点F，连接VE，EF，VF，由题意知，AB⊥VE，AB⊥EF，所以∠VEF为二面角V ABC的平面角．易知△VEF为正三角形，所以∠VEF＝60°.10．如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，BC＝2，AA1＝1，E，F分别在AD和BC上，且EF∥AB，若二面角C1-EF-C等于45°，则BF＝________．答案 1解析∵AB⊥平面BC1，C1F⊂平面BC1，CF⊂平面BC1，∴AB⊥C1F，AB⊥CF，又EF∥AB，∴C1F⊥EF，CF⊥EF，∴∠C1FC是二面角C1EFC的平面角，∴∠C1FC＝45°，∴△FCC1是等腰直角三角形，∴CF＝CC1＝AA1＝1.又BC＝2，∴BF＝BC－CF＝2－1＝1.11．如图，四边形ABCD是平行四边形，直线SC⊥平面ABCD，E是SA的中点，求证：平面EDB⊥平面ABCD.证明连接AC交BD于点F，连接EF.∴EF是△SAC的中位线，∴EF∥SC.∵SC⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD.又EF⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABCD.12.如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥平面ABCD.(1)求证：平面PAD⊥平面PAB；(2)若平面PDA与平面ABCD成60°的二面角，求该四棱锥的体积．解析(1)证明：∵PB⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PB⊥AD.又∵AD⊥AB，且AB∩PB＝B，∴AD⊥平面PAB.又∵AD⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB.(2)由(1)的证明知，∠PAB为平面PDA与平面ABCD所成的二面角的平面角，即∠PAB＝60°，∴PB＝3a.∴V P-ABCD＝13·a2·3a＝3a33.13．如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD 的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝ 3.(1)求证：平面PBE⊥平面PAB；(2)求二面角A-BE-P的大小．解析(1)证明：如图所示，连接BD.由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD，又AB∥CD，所以BE⊥AB，又因为PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以PA⊥BE，而PA∩AB＝A，因此BE⊥平面PAB.又BE ⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.(2)由(1)知，BE⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，所以PB⊥BE.又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A-BE-P的平面角．在Rt△PAB中，tan∠PBA＝PAAB＝3，∠PBA＝60°.故二面角A-BE-P 的大小为60°.1.如图，二面角αlβ的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是________．答案3 4解析如图所示，过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线，垂足为D，连接AD，由线面垂直判定定理可知l⊥平面ACD，则l⊥AD，故∠ADC为二面角α-l-β的平面角，即∠ADC＝60°.又∠ABD＝30°，连接CB，则∠ABC为AB与平面β所成的角，设AD＝2，则AC＝3，CD＝1，AB＝ADsin30°＝4，∴sin ∠ABC ＝AC AB ＝34. 2．(2017·辽宁省育才学校阶段测试)如图，在几何体ABDCE 中，AB ＝AD ，M 是BD 的中点，AE ⊥平面ABD ，MC ∥AE ，AE ＝MC.(1)求证：平面BCD ⊥平面CDE ；(2)若N 为线段DE 的中点，求证：平面AMN ∥平面BEC.证明 (1)∵AB ＝AD ，M 为线段BD 的中点，∴AM ⊥BD.∵AE ⊥平面ABD ，MC ∥AE ，∴MC ⊥平面ABD.∴MC ⊥AM.又MC ∩BD ＝M ，∴AM ⊥平面CBD.又MC ∥AE ，MC ＝AE ，∴四边形AMCE 为平行四边形，∴EC ∥AM ，∴EC ⊥平面CBD ，又EC ⊂平面CDE ，∴平面BCD ⊥平面CDE.(2)∵M 为BD 中点，N 为ED 中点，∴MN ∥BE.由(1)知EC ∥AM 且AM ∩MN ＝M ，BE ∩EC ＝E ，∴平面AMN ∥平面BEC.3.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，PD ∥MA ，E ，G ，F 分别为MB ，PB ，PC 的中点，且AD ＝PD ＝2MA.(1)求证：平面EFG ⊥平面PDC ；(2)求三棱锥P-MAB 与四棱锥P-ABCD 的体积之比．解析 (1)证明：因为MA ⊥平面ABCD ，PD ∥MA.所以PD ⊥平面ABCD.又BC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥BC.因为四边形ABCD 为正方形，所以BC ⊥DC.又PD∩DC＝D，所以BC⊥平面PDC.在△PBC中，因为G，F分别为PB，PC的中点，所以GF∥BC，所以GF⊥平面PDC.又GF⊂平面EFG，所以平面EFG⊥平面PDC.(2)因为PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，不妨设MA＝1，则PD＝AD＝2，所以V P-ABCD＝13S正方形ABCD ·PD＝83.由题意易知DA⊥平面MAB，且PD∥MA，所以DA即为点P到平面MAB的距离，所以V P-MAB＝13×12×1×2×2＝23.所以V P-MAB∶V P-ABCD＝1∶4.。
新课标版数学必修二(新高考 新课程)作业14高考调研精讲精练
课时作业(十四)1．空间四边形的四条边相等，那么它的对角线()A．相交且垂直B．不相交也不垂直C．相交不垂直D．不相交但垂直答案 D解析如图空间四边形ABCD，E为对角线BD的中点，因为四条边相等，则有CE，AE均垂直于BD，则BD与面AEC垂直，则BD⊥AC.2．已知直线m，n是异面直线，则过直线n与直线m垂直的平面()A．有且只有一个B．至多一个C．有一个或无数个D．不存在答案 B3．已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下列四个命题：①m∥n，m⊥α⇒n⊥α；②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n；③m∥n，m∥α⇒n∥α；④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β.其中正确的命题是()A．①③B．②④C．①④D．②③答案 C4．如果一个平面与一个正方体的十二条棱所在的直线都成相等的角，记作θ，那么sinθ的值为()A.22 B.33C.55D．1答案 B解析截面A1BD符合题意．5．在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝1，则PC 与平面ABCD 所成的角是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°答案 A解析 ∵PA ⊥平面ABCD ，∴∠PCA 为PC 与平面ABCD 所成的角，tan ∠PCA ＝PA AC ＝13＝33.∴∠PCA ＝30°.6．P 是△ABC 所在平面外一点，且PA ＝PB ＝PC ，则PA ，PB ，PC 与α所成的角( ) A ．都相等B ．都不相等C ．有且只有两个相等D ．大小不确定答案 A解析 设P 在平面ABC 内的射影为O ， ∵PA ＝PB ＝PC ，∴△PAO ≌△PBO ≌△PCO. ∴∠PAO ＝∠PBO ＝∠PCO.7．如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( )A.63 B.265 C.155D.105答案 D8．如图，四面体A-BCD 中，AC ＝BD ，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，且EF ＝22AC ，∠BDC ＝90°.求证：BD ⊥平面ACD.证明 取CD 中点为G ，连接EG ，FG . 设AC ＝BD ＝2，则EG ＝FG ＝1. ∵EF ＝2，∴EG ⊥FG .∵F ，G 分别为CD ，CB 的中点， ∴FG ∥BD ，∴BD ⊥EG. ∵BD ⊥CD ，EG ∩CD ＝G ， ∴BD ⊥面ACD.9．如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面是边长为a 的正方形，侧棱PD ＝a ，PA ＝PC ＝2a ，求证：PD ⊥平面ABCD.证明 ∵PD 2＋DC 2＝PC 2， ∴∠PDC ＝90°，即PD ⊥DC. 同理，PD ⊥DA.又∵DC ∩DA ＝D ，∴PD ⊥面ABCD.10.如图，在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝3，AD ＝2，AB ＝23，BC ＝6.求证：BD ⊥平面PAC.证明 ∵PA ⊥面ABCD ，BD ⊂面ABCD ， ∴PA ⊥BD.在Rt △ABD 中，∵AD ＝2，AB ＝23， ∴tan ∠ABD ＝AD AB ＝33，∴∠ABD ＝30°.在Rt△ABC中，∵AB＝23，BC＝6，∴tan∠BAC＝BC＝3，∴∠BAC＝60°.AB在△ABE中，∵∠BAE＝60°，∠ABE＝30°，∴∠AEB＝90°，即BD⊥AC.又∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC.11.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，A1A ＝4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．(1)证明：A1D⊥平面A1BC；(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值．解析(1)证明：设E为BC的中点，连接A1E，AE.由题意得A1E⊥平面ABC，所以A1E⊥AE.因为AB＝AC，所以AE⊥BC.又BC∩A1E＝E，故AE⊥平面A1BC.连接DE，由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DE∥B1B且DE＝B1B，从而DE∥A1A且DE＝A1A，所以AA1DE为平行四边形．于是A1D∥AE.因为AE⊥平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC.(2)作A1F⊥DE，垂足为F，连接BF.因为A1E⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以BC⊥A1E.又因为BC⊥AE，A1E∩AE＝E，所以BC⊥平面AA1DE.又因为A 1F ⊂平面AA 1DE ， 所以BC ⊥A 1F ，又因为A 1F ⊥DE ，BC ∩DE ＝E ， 所以A 1F ⊥平面BB 1C 1C.所以∠A 1BF 为直线A 1B 和平面BB 1C 1C 所成的角． 由AB ＝AC ＝2，∠CAB ＝90°，得EA ＝EB ＝ 2. 由A 1E ⊥平面ABC ，得A 1A ＝A 1B ＝4，A 1E ＝14. 由DE ＝BB 1＝4，DA 1＝EA ＝2，∠DA 1E ＝90°， 得A 1F ＝72. 所以sin ∠A 1BF ＝A 1F A 1B ＝78.12.如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°.(1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)若AB ＝CB ＝2，A 1C ＝6，求三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积． 解析 (1)证明：取AB 的中点O ，连接OC ，OA 1，A 1B.因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB.由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°，故△AA 1B 为等边三角形，所以OA 1⊥AB. 又因为OC ∩OA 1＝O ，所以AB ⊥平面OA 1C. 又A 1C ⊂平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C.(2)由题设知△ABC 与△AA 1B 都是边长为2的等边三角形，所以OC ＝OA 1＝ 3. 又A 1C ＝6，则A 1C 2＝OC 2＋OA 12，故OA 1⊥OC.又因为OA 1⊥AB ，OC ∩AB ＝O ，所以OA 1⊥平面ABC ，OA 1为三棱柱ABC-A 1B 1C 1的高． 又△ABC 的面积S △ABC ＝3，故三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积为V ＝S △ABC ×OA 1＝3.在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，求BC 1与侧面ACC 1A 1所成的角．解析 取AC 中点D ，连接BD ，C 1D. ∵正三棱柱ABC-A 1B 1C 1，∴AA 1⊥面ABC ， 又∵BD ⊂面ABC ，∴AA 1⊥BD. ∵BA ＝BC ，AD ＝CD ，∴BD ⊥AC. 又∵AC ∩AA 1＝A ，∴BD ⊥面ACC 1A 1. ∴C 1D 为BC 1在平面ACC 1A 1内的射影． ∴∠BC 1D 为BC 1与侧面ACC 1A 1所成的角． ∵CC 1＝2，CD ＝12，∴C 1D ＝32，BD ＝32.在Rt △BC 1D 中，tan ∠BC 1D ＝BD C 1D ＝33，∴∠BC 1D ＝30°.。
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课时作业(十一)
1．如果直线a∥平面α，b⊂α，那么a与b的关系是()
A．相交B．不相交
C．平行D．异面
答案 B
解析a与b平行或异面，但不能相交．
2．若直线a不平行于平面α，则下列结论中成立的是()
A．α内的所有直线都与直线a异面B．α内不存在与a平行的直线
C．α内的直线都与a相交D．直线a与平面α有公共点
答案 D
3．过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为()
A．都平行B．都相交且一定交于同一点
C．都相交但不一定交于同一点D．都平行或交于同一点
答案 D
解析若l∥平面α，则交线都平行；
若l∩平面α＝A，则交线都交于同一点A.
4.如图，四棱锥S-ABCD的所有的棱长都等于2，E是SA的中点，过C，
D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为()
A．2＋ 3 B．3＋ 3
C．3＋2 3 D．2＋2 3
答案 C
解析因为CD∥AB，AB⊂平面SAB，CD⊄平面SAB，所以CD∥平面SAB.
又CD⊂平面CDEF，平面SAB∩平面CDEF＝EF，
所以CD∥EF，所以四边形CDEF为等腰梯形，
且CD＝2，EF＝1，DE＝CF＝3，
所以四边形CDEF的周长为3＋23，选C.
5．下面四个命题中：①平面外的直线就是平面的平行线；②平行于同一平面的两条直线平行；③过平面外一点可作无数条直线和这个平面平行；④△ABC中，AB∥平面α，延长CA，CB，分别交α于E，F，则AB∥EF.正确的命题的序号是________．
答案 ③④
6．四边形ABCD 是矩形，P ∉平面ABCD ，过BC 作平面BCEF 交AP 于E ，交DP 于F ，则四边形BCEF 的形状为________． 答案 梯形
解析 ∵四边形ABCD 是矩形，∴BC ∥AD. ∵AD ⊂平面APD ，BC ⊄平面APD ，∴BC ∥平面APD. 又∵平面BCFE ∩平面APD ＝EF ，∴BC ∥EF.∴AD ∥EF. 又∵E ，F 是△APD 边上的点，∴EF ≠AD.∴EF ≠BC. ∴四边形BCEF 是梯形．
7．过正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的三个顶点A 1，C 1，B 的平面与底面ACD 所在平面的交线为l ，则l 与A 1C 1的位置关系为________． 答案 平行
8.如图，空间四边形ABCD 中，P ，Q ，R 分别是AB ，AD ，CD 的中点，平面PQR 交BC 于点S.求证：四边形PQRS 为平行四边形． 证明 如图，∵P ，Q 分别为AB ，AD 中点，∴PQ 綊1
2BD.
又∵BD ⊂面BDC ，PQ ⊄面BDC ，
∴PQ ∥面BDC.
又∵四边形PQRS ∩面BDC ＝SR ， ∴PQ ∥SR ，同理PS ∥QR ， ∴四边形PQRS 为平行四边形．
9．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为棱DD 1的中点，求证：B 1D ∥平面A 1C 1E.
证明 连接B 1D 1交A 1C 1于M ，
∵M，E分别为D1B1，D1D的中点，∴ME∥B1D.
又∵B1D⊄面A1C1E，ME⊂面A1C1E，
∴B1D∥平面A1C1E.
10.已知E，F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1，CC1上的点，且AE＝C1F，求证：四边形EBFD1为平行四边形．
证明在线段D1D上取一点M，使得D1M＝AE，所以四边形AMD1E是
平行四边形，所以ED1∥AM，且ED1＝AM，又AE＝C1F，所以MF∥CD，
且MF＝CD，所以四边形ABFM为平行四边形，所以AM∥BF，且AM＝
BF，又ED1∥AM，且ED1＝AM，所以ED1∥BF，且ED1＝BF，所以四边形EBFD1为平行四边形．
11．已知直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为a，底面为等腰直角三角形，且AB＝BC＝a，∠ACB＝90°，M，N分别是A1B，B1C1的中点，求证：MN∥平面ACC1A1.
证明连接AB1，AC1，由平行四边形的性质可知AB1与A1B相交于点M.
在△B1AC1中，
∵M，N分别是AB1，B1C1的中点，
∴MN∥AC1.
又MN⊄平面ACC1A1，AC⊂平面ACC1A1，
∴MN∥平面ACC1A1.
12．如图，S为矩形ABCD所在平面外一点，E，F分别是SD，BC上的点，
且SE∶ED＝BF∶FC，求证：EF∥平面SAB.
证明在SC上取一点H，使SH∶HC＝SE∶ED，
则EH∥DC，而DC∥AB，∴EH∥AB.
∵SE∶ED＝BF∶FC，
∴SH∶HC＝BF∶FC.
∴HF∥BS.
∵FH∩HE＝H，
∴平面EHF∥平面SAB.
∵EF⊂平面EHF，
∴EF与平面SAB没有公共点．
∴EF∥平面SAB.
1．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下面结论正确的是()
A．E，F，G，H一定是各边的中点
B．G，H一定是CD，DA的中点
C．BE∶EA＝BF∶FC，且DH∶HA＝DG∶GC
D．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC
答案 D
解析由于BD∥平面EFGH，所以有BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC ＝DG∶GC.故选D.
2.如图，四边形ABCD是空间四边形，E，F，G，H分别是四条边上的
点，它们共面，并且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD
＝n，则当EFGH是菱形时，AE∶EB＝________．
答案m∶n
解析∵AC∥平面EFGH，∴EF∥AC，HG∥AC.
∴EF ＝HG ＝BE
BA
·m.
同理，EH ＝FG ＝AE AB ·n ，∴BE AB ·m ＝AE
AB ·n ，
∴AE ∶EB ＝m ∶n.
3．在矩形ABCD 中，E 为AB 上一点，将B 点沿线段EC 折起至点P ，连接PA ，PD ，取PD 的中点F ，若有AF ∥平面PEC ，试确定E 的位置． 解析 E 为AB 的中点时，有AF ∥平面PEC. 取PC 中点G ，连接GE ，GF ，由已知得GF ∥CD.
∵EA ∥CD ，∴GF ∥EA ，则G ，E ，A ，F 四点共面． ∵AF ∥平面PEC ，平面GEAF ∩平面PEC ＝GE ， ∴FA ∥GE ，∴四边形GEAF 为平行四边形． ∵GF ＝12CD ，∴EA ＝12CD ＝1
2BA.
∴E 为AB 中点．
4．如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行． 已知：α∩β＝l ，a ∥α，a ∥β. 求证：a ∥l.
证明 方法一：如图①所示，过a 作平面γ交平面α于b ， ∵a ∥α，∴a ∥b.同样过a 作平面δ交平面β于c ， ∵a ∥β，∴a ∥c ，∴b ∥c.又b ⊄β，c ⊂β， ∴b ∥β，又b ⊂α，α∩β＝l ，∴b ∥l ，∴a ∥l.
方法二：如图②所示，在l 上任取一点A ，过A 和a 作平面和α交于l 1，和β交于l 2.
∵a∥α，∴a∥l1，∵a∥β，∴a∥l2.
但过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
∴l1与l2重合．又l1⊂α，l2⊂β，
∴l1与l2重合于l，∴a∥l.
5．已知平面α∩β＝l1，α∩γ＝l2，β∩γ＝l3，l1∥l2，求证：l3∥l2，l3∥l1. 证明α∩β＝l1，α∩γ＝l2，β∩γ＝l3，l1∥l2，
∵l1∥l2，α∩γ＝l2，∴l1∥γ.
∵l1⊂β，β∩γ＝l3，∴l1∥l3.
由平行公理，可得l3∥l2.。