投资学 第10章 套利定价理论(APT)
因子模型和套利定价理论APT
因子模型和套利定价理论APT因子模型和套利定价理论（APT）是两种常用于资产定价的方法。
它们的目标都是解释资产的定价和收益的来源，但是它们侧重的角度和方法有所不同。
因子模型是一种基于统计方法的资产定价模型。
它假设资产的收益可以由一组经济因子来解释。
这些因子可以是宏观经济指标（如GDP增速、通货膨胀率等），也可以是行业指标（如市场规模、市场份额等）。
通过对这些因子的权重和收益率进行估计，我们可以预测和解释资产的收益率。
常见的因子模型有单一因子模型（如CAPM）和多因子模型（如Fama-French三因子模型）。
因子模型的优点在于能够提供对资产收益的解释和预测，并且易于理解和实现。
然而，由于因子的选择和估计的不确定性，因子模型的预测效果有一定的局限性。
APT是一种基于套利的资产定价理论。
它假设资产的收益可以由多个的因子来解释，这些因子可以是已知的或未知的风险因素。
与因子模型不同，APT不对因子进行具体的定义和估计，而是通过套利机会来确定资产的定价关系。
具体而言，如果某个组合的收益高于其风险所要求的收益，就存在套利机会。
根据套利的想法，资产的价格将会调整，直至套利机会消失。
APT的优点在于不需要对因子进行具体的选择和估计，可以涵盖更广泛的因素，适应不同的市场环境。
然而，由于套利机会的存在需要假设市场的效率，APT也存在一定的局限性。
综上所述，因子模型和套利定价理论是两种常用的资产定价方法。
因子模型通过对因子权重和收益率的估计来解释和预测资产的收益率，而APT则利用套利机会来确定资产的定价关系。
每种方法都有其优点和局限性，应根据具体情况选择合适的方法进行资产定价。
继续就因子模型和套利定价理论（APT）进行详细的探讨。
首先，我们来深入了解一下因子模型。
因子模型是一种为资产定价提供理论依据的方法。
它认为资产的收益率可以由一组经济因子来解释，而这些因子可以是宏观经济指标、行业指标、公司财务指标等。
因子模型的一个典型例子就是资本资产定价模型（CAPM），它假设资产的收益与市场风险有着正向关系。
投资学第10章APT与风险收益多因素模型
则组合风险：
2 P
2 P
2 F
2 (eP )
又：
2(eP )
n 1
i1 n
2
2 (ei)
1 n
2 (ei)
其中，
2 (ei)
2(ei) ,又 n
E (ei)
0
于是有： rP E ( rP ) P F , 且： P P F
28
10.2.3 贝塔与期望收益
▪ 套利准则一：如果两个充分分散化的投资 组合具有相同的β值，则它们在市场中必 有相同的预期收益。
1. 交易者按10%的利率借入一笔6个月资金（假 设1000万元）
2. 签订一份协议（远期利率协议），该协议规定 该交易者可以按11%的价格6个月后从市场借 入资金1051万元（等于1000e0.10×0.5）。
21
3. 按12%的利率贷出一笔1年期的款项金 额为1000万元。
4. 1年后收回1年期贷款，得本息1127万元 （等于1000e0.12×1），并用1110万元 （等于1051e0.11×0.5）偿还1年期的债务 后，交易者净赚17万元（1127万元1110万元）。
▪
4.0%
无风险利率
▪
+1.2*6%
+GDP风险的风险溢价
▪
+(-.3)*(-7%) +利率风险的风险溢价
▪ 总计：13.3%
总收益
▪
用（10-5）式计算的结果：
▪
E(r)=4%+1.2*6%+(-0.3)*(-7%)=13.3%
10.2 套利定价理论
利用证券定价之间的不一致进行资金转移，从中赚取无风险 利润的行为称为套利，套利的特点是： 1）无投资需要,投资者可建立大的头寸来获取高利润； 2）在有效市场内,有利的套利机会会很快消失。
套利定价模型(APT)
双因素以及多因素 2bi 2 依照单因素模型对0的分析，仍然可以可到0 rf 关于1的含义，考虑一个充分多样化组合，该组合对其一种因素的敏感度为 1， 对第二种因素的敏感度为0，从而可得1 rp1 rf 对第二种因素的敏感度为1，从而可得2 rp 2 rf 从而，可得两因素模型的定价公式： ri rf （rp1 rf ）bi1 （rp 2 rf ）bi 2 同样道理，在多因素模型下，APT资产定价公式为： ri rf （rp1 rf ）bi1 （rp 2 rf ）bi 2 （rp 3 rf ）bi 3 （rpk rf ）bik 即一种证券的预期收益率等于无风险利率加上k个因素的风险报酬。
谢谢！
L x1 x2 x3 xn 0 0 L b1 x1 b2 x2 b2 x3 bn xn 0 1 可得到： ri 0 1bi ; 此即为单因素模型APT定价公式，其中0，1是常数。
应用价值
这里就四点来看： 1.大多数机构投资者评价投资业绩时 2.监管当局确定监管对象的资本成本时 3.法院就未来收入损失判断赔偿金额涉及 收益率时 4.企业资本预算决策确定最低收益率时
不管如何，拿到APT才是关键
多因素模型的定价公式
因素敏感度 因素敏感度 因素敏感度 因素敏感度
rit rf （rp1t rf ）bi1t （rp 2t rf ）bi 2t （rp 3t rf ）bi 3t （rpkt rf ）bikt
关于2的含义，另考虑一个充分多样化组合，该组合对其一种因素的敏感度为0，
套利定价模型的意义
1.套利机制是实现金融市场均衡的重要机制
套利定价理论(APT)
套利定价模型（APT Model） 套利定价模型（APT Model）
套利定价模型的假设。 APT与CAPM相同的假设包括：投资者都有相同的预 期；投资者追求效用最大化；市场是完美的；收益由 一个因素模型产生。 APT的最基本假设就是投资者都相信证券i的收益随意 受k个共同因素影响，证券i的收益与这些因素的关系 可以用下面这个因素模型表示出来：
9
ri = the return on asset i bi1 = the change in the return on asset i per unit change in factor 1 f1 = the value of factor 1 bi2 = the change in the return on asset i per unit change in factor 2 f2 = the value of factor 2 ... = terms of the form bij*fj with j going from 3 to m-1 fm = the value of factor m bim = the change in the return on asset i per unit change in factor m m = the number of factors ei = the portion of the return on asset i not related to the m factors
E ( ri ) = λ0 + β i1λ1 + β i 2 λ 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + β ik λ k
12
套利定价模型（APT Model） 套利定价模型（APT Model）
APT套利定价理论
同时为了满足特征1和2的解，要求 n k 。
• 特征三；套利组合的期望收益率必须为正 值。公式表示为：
x1E r1 x2 E r2 xn E rn 0
当一个组合可以同时满足上述三点要求时， 该组合就是一个套利组合。当市场给出了期 望收益率和敏感性的时候，利用同时特征一 和特征二可以得到无穷多个满足上述特征一 和特征二的组合。最后利用特征三来检验。 如果期望收益率可以大于0，则是套利组合。
套利定价模型
• 假设一个组合中有三种证券，并且满足套 利定价组合，加入证券1和证券2收益率高， 而证券3收益率低。由于每个投资者必定买 入证券1和证券2并卖出证券3，届时他们的 期望收益率做出相应的调整。具体来说由 于不断增加的买方压力，证券1和证券2的 价格将上升，进而导致期望收益率的下降， 相反证券3的价格下降和期望收益率上升。
在实际运用中，通常用市场指数近似代替市 场组合，得到证券i的收益率为： ri ai i Rm i 同时为了分析的需要，通常对随机项 i 做出 如下假设：
COV i , j 0 COV i , R m
E i 0
0
有了随机项的这些假设，可以根据市场模型 求出证券i的期望收益率和方差：
*
E rp* rf 1
1 E rp
r
*ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f
于是 1 称为单位敏感性的组合的期望超额收 益率（即表示高出无风险利率的那部分期望 收益率），也被称作因素风险溢价。用 1 E rp* 表示对因素有单位敏感性的组合的期望收益 1 rf 1 则套利定价的第 率，则可以得到： 二种形式为： E ri rf (1 rf )i
吴晓求《证券投资学》课后问答题答案
1.简述罗斯的套利定价理论（APT）套利定价理论认为套利者使得市场不存在无风险套利，进而保证市场的动态均衡，因此套利者是导致市场更具效率的必要条件；资产价格受多方面因素的影响，表现为多因素模型，但是该理论未能确定资产价格到底受哪些因素的影响以及影响度。
2.现代资产定价理论从哪些方面对传统资产定价理论进行了改进和突破？答：谢夫林和斯塔特曼1994年发表了《行为资本资产定价模型》，该模型通过引入非理性投资者，对传统的CAPM进行了调整，使其更加符合现实3.资本定价模型与资产组合理论的联系是什么?答：1952年,马科维茨发表的《现代资产组合理论》奠定了资产定价理论的发展基础。
1964年夏普提出了资本资产定价模型（CAPM），从投资者效用最大化出发，认为在市场均衡条件下，单一资产或资产组合的收益由无风险收益和风险溢价两部分组成。
4.简述衍生品定价理论的发展历程。
答：（1）期货定价理论：a）持有成本理论。
该理论认为持有存货有成本和价格波动的风险必须补偿，因此期货价格等于现货价格与成本和风险补偿之和。
但与实际情况不一致。
后来者提出了改进，代表性的是1949年沃金提出的储存价格理论和1958年布伦南提出的理论b）延期交割费用理论。
凯恩斯1930年提出的理论，认为较低的期货价格出售和约是让渡一定的风险报偿给投机者。
；c）基于对冲压力的期货定价理论。
针对延期交割费用理论不足。
赫希雷弗于1988年提出了基于对冲压力的期货定价理论。
（2）期权定价理论：最早起源于1900年法国数学家路易斯·巴彻利尔的博士论文《投机理论》；1961年斯普伦克尔在假设股票价格服从对数正态分布、固定均值和方差的基础上推导期权定价公式，期权定价理论才有所进展。
5.行为金融学与现代金融学的差异是什么？答：a)现代金融学理论假设投资者是理性的，能够在现有信息状态下无偏地估计风险和收益，从而做出最佳的决策。
然而，行为金融学家认为：①由于人类有限的认识能力，无法在短时间内对所有的信息进行最佳的处理，往往采取一些简单的方式，如经验法则来处理问题，虽然有时是有效的，但在特殊的环境中就会产生偏差。
套利定价理论
A的需求加大， A对应的直线向右移， 的需求减小，B对应的直线向左移，直到套 因此，市场处于均衡状态时，相同 βB 值的充分分散化资产组合的收益 利消失，两直线重合。 是唯一的。
二、充分分散化的资产组合的收益与风险
（4）不同β值的充分分散化资产组合均衡的风险溢价与β值 成正比例 如图，直线A是一定系统条件下，不同β值的充分分散化资 产组合在均衡状态时收益与β值的关系曲线
'
[ E (rA ) r f ] / A [ E (rB ) r f ] B
三、套利定价模型的表达
•
•
• • • •
对于一般的资产组合和单个证券，尽管不是充分分散化组合资产，也近似表 现出相同的趋势。否则会有套利机会 因此，对于任意两个资产i、j之间，市场均衡时存在下列关系:
①相同β值的点，应是直线上的同一点。如 图，β╭垂线上的点，均衡点应是A‘’点。假 如存在C、D点，就存在套利，套利消失， C、D回到均衡点A
r
A*
C
A
A'
E
D *
②不同β值的点均衡时应在同一直线上。 如图，D、E两点β值分别是β‘’，这两点经 过套利，达到均衡，应分别在AA点 因此，不同β值的点均衡时应在同一直线上 存在这样的关系:
二、充分分散化的资产组合的收益与风险
（2）几何表示 如图，横轴为系统因素，竖轴为资产组合的收益率，βр为 直线的斜率 （3）相同β值的充分分散化资产组合的均衡收益是唯一的 R A A*
B* F* F
B
假如βA＝1的充分分散化资产组合 还存在另一个B，且E（ r B）＝8％， 对于任意系统水平F*，A、B两资 产组合存在的收益假如RA＞RB， 有套利机会，投资者愿意购买资产 A，卖出（或卖空）B，就稳获无 风险套利2％。
套利定价理论ppt课件
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15
对于证券i，由（8.2）其回报率的均值（期望值）为
ri ai bi f
（8.3）
其回报率的方差
因子风险
i2 bi22f e2i
非因子风险
对于证券i和j而言，它们之间的协方差为
ij cov(ri,rj)cov(aib ifei,ajbjfej)
相反，APT所作的假设少得多。APT的基本 假设之一是：个体是非满足，而不需要风 险规避的假设！
每个人都会利用套利机会：在不增加风险的前提 下提高回报率。
只要一个人套利，市场就会出现均衡！
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5
因子模型 （Factor model）
定义：因子模型是一种假设证券的回报率只 与不同的因子波动（相对数）或者指标的 运动有关的经济模型。
对于证券i和j，其协方差为
ij cov(ri,rj)cov(aibi1f1bi2f2ei,
ajbj1f1bj2f2ej)
b i 1 b j 12 f1 b i 2 b j 22 f2 ( b i 1 b j 2 b i 2 b j 1 ) c o v ( f 1 ,f 2 )
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22
除CAPM理论外，另一种重要的定价理论是由 Stephen Ross在1976年建立的套利定价理论 （Arbitrage pricing theory，APT），从另 一个角度探讨了资产的定价问题。
市场均衡条件下的最优投资组合理论=CAPM
无套利假定下因子模型=APT
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4
CAPM是建立在一系列假设之上的非常理想 化的模型，这些假设包括Harry Markowitz 建立均值-方差模型时所作的假设。这其中 最关键的假设是同质性假设。
套利定价模型APTPPT课件
解：
令三种股票市值比重变化量分别为x1、x2和x3。根据(条 件1)和(条件2)我们有：
x1x2x3 0 0.9x13.1x21.9x30
上述方程组有多种解.作为其中的一个解，我们令x1，则 可解出x2=0.083, x3=－。
为了检验这个解能否提高预期收益率，我们把这个解用 (条件3)检验。则有：
认为，证券收益是跟某些因素相关的。 为此，在介绍套利定价理论之前，我们先得了解因素模型（ Factor Models）。因素模型认为各种证券的收益率均受某 个或某几个共同因素影响。各种证券收益率之所以相关主要 是因为他们都会对这些共同的因素起反应。因素模型的主要 目的就是找出这些因素并确定证券收益率对这些因素变动的 敏感度。
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四、套利组合
根据套利定价理论，在不增加风险的情况下，投资 者将利用组建套利组合的机会来增加其现有投资组合的预 期收益率。那么，什么是套利组合呢？
根据套利的定义，套利组合要满足三个条件： 条件1： 套利组合要求投资者不追加资金,即套利组合属于自 融资组合.如果我们用xi表示投资者持有证券i金额比例的 变化(从而也代表证券i在套利组合中的权重,注意xi可正 可负)，则该条件可以表示为：
－0.13=0.881%
由于0.881%为正数，因此我们可以通过卖出万元的第三 种股票(等于－1500万元)同时买入150万元第一种股票(等于 1500万元)和万元第二种股票(等于1500万元)就能使投资组 合的预期收益率提高0.881%。
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五、套利定价模型
投资者的套利活动是通过买入收益率偏高的证 券同时卖出收益率偏低的证券来实现的，其结果是使收 益率偏高的证券价格上升，其收益率将相应回落；同时 使收益率偏低的证券价格下降，其收益率相应回升。这 一过程将一直持续到各种证券的收益率跟各种证券对各 因素的敏感度保持适当的关系为止。下面我们就来推导 这种关系：
套利定价理论与实证例题和知识点总结
套利定价理论与实证例题和知识点总结一、套利定价理论（APT）的基本概念套利定价理论是一种资产定价模型，由斯蒂芬·罗斯于1976 年提出。
它试图解释资产的预期收益率与多个因素之间的线性关系，与资本资产定价模型（CAPM）不同，APT 并不依赖于市场组合这一单一的风险因素。
APT 的核心假设是：资产的收益率受到多个系统性风险因素的影响，并且不存在套利机会。
套利机会是指在不承担风险的情况下，能够获得正的收益。
二、APT 的数学表达式假设资产的收益率受到 K 个因素的影响，可以用以下线性方程来表示：＼R_i ＝ E(R_i) ＋＼beta_{i1}F_1 ＋＼beta_{i2}F_2 ＋＼cdots ＋＼beta_{iK}F_K ＋＼epsilon_i＼其中，＼（R_i\）是资产 i 的收益率，＼（E(R_i)＼）是资产 i 的预期收益率，＼（＼beta_{ij}＼）是资产 i 对因素 j 的敏感性系数，＼（F_j\）是因素 j 的价值变动，＼（＼epsilon_i\）是资产 i 的特异性风险（非系统性风险）。
三、影响资产收益率的因素在实际应用中，选择哪些因素来解释资产收益率是一个关键问题。
常见的因素包括宏观经济变量，如通货膨胀率、利率、经济增长率等；行业特定因素，如行业竞争程度、原材料价格等；以及公司特定因素，如公司规模、财务杠杆等。
四、实证例题假设我们要研究股票 A 的收益率，并且认为它受到两个因素的影响：宏观经济增长率（＼（F_1\））和利率水平（＼（F_2\））。
经过一段时间的观察和数据分析，我们得到以下估计值：＼（E(R_A) ＝ 5\％＼）＼（＼beta_{A1} ＝ 12\），＼（＼beta_{A2} ＝－08\）在某一时期，宏观经济增长率为 3%，利率水平为 2%。
则股票 A 在该时期的预期收益率为：＼＼begin{align}R_A&＝5\％＋ 12×3\％ 08×2\％＼＼＆＝5\％＋ 36\％ 16\％＼＼＆＝7\％＼end{align}＼五、套利机会的判断如果市场上存在两种资产，资产 1 和资产 2，它们的预期收益率和风险因素敏感性如下：资产 1：＼（E(R_1) ＝ 8\％＼），＼（＼beta_{11} ＝ 1\），＼（＼beta_{12} ＝ 05\）资产 2：＼（E(R_2) ＝ 6\％＼），＼（＼beta_{21} ＝ 08\），＼（＼beta_{22} ＝ 06\）假设两个因素的值分别为＼（F_1 ＝ 2\％＼），＼（F_2 ＝ 1\％＼）。
APT套利定价理论
同样，可以由每个证券的方差：
2 p
2
p1
2
(
F1
)
2
p2
2
(
F2
)
2
pk
2
(
Fk
)
2
p
最后需要强调的是，无论单因素模型还是多
因素模型，都不像资本资产定价模型那样明
确指出市场组合这个因素会影响证券收益率。
三、纯因素组合
介绍了单因素和多因素模型，有必要引入 纯因素组合。所谓纯因素组合是指消除了其 他因素的影响，只对某一个因素具有敏感性， 而且敏感性为1的资产组合。
N
Rp Wi (ai i F i ) i 1
N
N
N
= Wiai Wii F Wii
i 1
i 1
i 1
=ap p F p
其中，
N
N
N
a p Wi a, p Wi i , p Wi i
i 1
i 1
i 1
同时可以推出组合P的方差：
2 p
p2
2 F
2
p
公式表明：证券组合的风险也由系统性风险
套利定价模型
• 假设一个组合中有三种证券，并且满足套 利定价组合，加入证券1和证券2收益率高， 而证券3收益率低。由于每个投资者必定买 入证券1和证券2并卖出证券3，届时他们的 期望收益率做出相应的调整。具体来说由 于不断增加的买方压力，证券1和证券2的 价格将上升，进而导致期望收益率的下降， 相反证券3的价格下降和期望收益率上升。
在实际运用中，通常用市场指数近似代替市 场组合，得到证券i的收益率为：
ri ai i Rm i
同时为了分析的需要，通常对随机项 i 做出 如下假设：
套利定价理论APT
套利定价理论APT套利定价理论（APT）是金融学领域中的一种定价模型，旨在解释不同金融资产价格之间的关系。
它采用了套利思想，即通过买入低估的资产并卖出高估的资产，从市场的价格差异中获得利润。
APT模型的基本假设是，资本市场是有效市场，并且所有的投资者都是理性的。
它认为，资本市场的价格决定因素不仅仅是资产本身的特性，还包括宏观经济因素、行业因素以及特定的个股风险。
根据APT的理论框架，资本资产定价模型（CAPM）可以被看作是APT模型的一个特例。
CAPM假设只有一个因素（即市场风险），而APT则认为市场因子可能不止一个。
根据APT模型，资产的期望收益率可以通过以下公式计算：E(Ri) = RF + β1 * λ1 + β2 * λ2 + ... + βn * λn其中，E(Ri)是资产i的期望收益率，RF是无风险利率，β是资产i对各个因子的敏感度，λ是各个因子的预期收益率。
APT模型的基本原理是，资产的价格应该与各个因子的预期收益率和资产对这些因子的敏感度相关。
如果市场对某个因子的预期收益率发生变化，这将影响到资产的定价，从而为套利提供机会。
套利定价理论的重要性在于它提供了一种解释和预测资产价格变动的工具。
通过分析和估计各个因子的预期收益率和资产对这些因子的敏感度，投资者可以找到被低估或高估的资产，并利用市场的定价差异获得套利机会。
然而，APT模型也存在一些限制。
首先，它的有效性依赖于投资者对各个因子的预期收益率和资产对这些因子的敏感度的准确估计。
如果估计出现误差，那么套利机会可能会有所降低或消失。
其次，APT模型假设资本市场是完全有效的，但实际市场中存在信息不对称的情况，这可能导致价格的波动和套利机会的减少。
综上所述，套利定价理论（APT）是一种理论框架，用于解释金融资产价格之间的关系，并提供了一种套利的思路。
虽然APT模型有其局限性，但它仍然为金融学研究提供了有价值的理论基础。
套利定价理论（APT）是金融学中一种定价模型，旨在解释不同金融资产价格之间的关系以及利用价格差异进行套利交易。
投资学[]APTPPT课件
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套利定价模型
• 假设投资者构造这样的资产组合：（1）无风 险利率借入1元钱；（2） 1元钱投资在两种资 产，这样构造一个自融资组合。
设无风险利率为l ，0 两个资产是资产i和资产，j 在因子 模型的假定下，套利组合的收益为（忽略残差）
rp w(ri bi f ) (1 w)(rj bj f ) 1 0 [w(ri rj ) rj 0 ] [w(bi bj ) bj ] f
12
根据条件，
当w(bi bj ) bj 0，即
w
bi
bj bj
时,rp无风险
若不存在套利机会，则该套利组合的收益为0
rp
bi
bj bj
(ri
rj )
rj
0 =0,
ri 0 rj 0
bi
bj
1
ri 0 1bi
13
APT的意义
1
• CAPM是建立在一系列假设之上的非常理 想化的模型，这些假设包括Harry Markowitz建立均值-方差模型时所作的假 设。包括最关键的假设同质性假设。
• 相反，APT所作的假设少得多。APT的基 本假设之一是：个体是非满足，而不需要 风险规避的假设。
– 每个人都会利用套利机会：在不增加风险的前 提下提高回报率。
4
• 例： 股票A,B,C,D(股价均为10元)，在利率、通胀 四种不同情况(概率相同)下的收益如下表：
高高(%) 高低(%) 低高(%) 低低(%)
A
-20
B
0
C
90
D
15
20
40
60
70
投资学-10套利定价理论及应用
n
因此如果资产组合没有套利机会，就在均衡状态必须有： x E Βιβλιοθήκη r ) =0i 1 i i
n
投资者套利的目标是使套利组合的预期收益率最大化，即寻求以下优化问题的解：
max xi E (ri )
i 1
n
n xi 0 s.t. i 1 n x b 0 P i i i 1
ei 是随机误差项且 E(ei ) 0 ，且与 F j 不相关， j 1,..., k 。
和单因子类似，因为是无风险套利，且不使用新的投资。假设 wi (i 0,...,n) 是套利资 产组合资产 i 的权重，那么要求
w
i 1 n
n
i
0
构成的资产组合
xi ri xi E(ri ) ( xi bi1 ) F1 ( xi bi 2 ) F2 ... ( xi bik ) Fk xi ei
x1 E(r1 ) x2 E(r2 ) x3 E(r3 ) 0
（10-2）
0.05 20% 0.1 15% (0.15) 10% 1% 0
假定投资者持有这三种股票的市值为 100 万元，那么套利资产组合的市值为 300 万元。 为了套利他可以出售股票 3 0.15 10% 300 4.5 万元 购买股票 1 0.05 20% 300 3 万元 购买股票 2 0.1 15% 300 4.5 万元 其和为 1% 300 3 万元 因此投资者可以在没有任何风险的情况下获得较高收益。它是非投资获利，没有因子 风险且有正的预期收益。 如果式（10-2）是负的，只要改变权重 wi (i 1,2,3) 的符号，套利资产组合仍可得到正 的预期收益。当式（10-2）等于 0 时，投资者没有套利机会。 10.2 单因子套利定价线 一般地，一个套利组合由 n 个资产组合，权重为 xi (i 1,2..., n) 。投资者没有使用其财 富进行套利，因此套利资产组合要求无净投资（ （初始投资为 0 的投资组合） ） ：
第十章套利定价模型
套利定价线
E(ri)
.U .B . λ. A .
0
O
0
bi
图中，资产U表示资产价格被低估，此时预期回报比资 产A高，投资者可购买而出售构成一个套利组合；同样 资产O表示资产价格被高估，此时预期回报比资产B高， 投资者可购买而出售构成一个套利组合。
三、APT与CAPM的一致性
在一定的条件下，APT与CAPM是一致的。 1、只有一个因子的情况 当只有一个因子时，根据套利定价模型，有： E(ri ) rf (1 rf )bi 根据资本资产定价模型，有：
4、建立套利组合后投资者的位置
由于投资者建立的套利组合中各证券的投资权数 实际上是投资者原来组合中相应证券权数的改 变量。投资者建立的套利组合后，其位置是重 新建立了一个组合，新组合中各证券权数是就 组合中权数与套利组合权数之和。
5、实例
有三种股票组成的套利证券组合，假设它们的回报由单因素模型 确定。各证券的期望收益及对单因素的敏感系数如下： 股票 1 20% 4 股票 2 15% 2.5 股票 3 10% 3 仅考虑单因素模型，建立的套利组合为： x1 x2 x3 0
ai (1 i )rf 令 则单因子模型就变为CAPM。
第十一章 资本资产套利（APT）模型
马克维茨的模型和资本资产定价模型，给出了有效组合的确定方 法和证券组合平衡价格与系统风险的关系，解释了证券之所以 具有不同的期望收益是因为它们具有不同的系数。但是，这些 理论和模型有很多严格而苛刻的条件，而这些假设在实际的资 本市场中是很难满足的，由此得出的结论受到实际投资者的质 疑。罗斯（ 1976 ），在因素模型的基础上，提出了套利定价 理论，使资本资产定价理论有了突破性发展。与资本资产定价 模型类似，套利定价理论讨论的也是证券期望收益和风险之间 的关系，但所用的假设条件比资本资产定价模型要少的多。它 的一个主要假设是，如果市场上存在不增加风险就能增加收益 的机会，则每个投资者都会利用这个机会增加收益。这就是所 谓的套利（ Arbitrage ）。套利定价理论认为，非均衡状态下 套利机会的存在，使投资者进行无风险套利，最终导致均衡状 态下套利机会的消失，使市场达到均衡状态。 APT的基本假设为： （1）市场处于竞争均衡状态；（2）投资者喜欢更多的财富而不 是更少的财富；（3）资产的回报可用因素模型表示。
套利定价模型(APT)
风险评估
风险测量
套利定价模型可以通过分析资产的历史价格数据和其他相关信息，计算出资产的风险水平。这有助于投资者了解 投资组合的整体风险状况，并采取相应的风险管理措施。
风险分散
套利定价模型可以帮助投资者识别不同资产之间的相关性，从而合理分散投资组合的风险。通过投资相关性较低 的资产，投资者可以在一定程度上降低投资组合的整体风险。
05
未来研究方向
改进模型参数估计方法
引入更先进的统计和机器 学习方法
利用大数据和人工智能技术，开发更有效的 参数估计方法，提高模型的预测精度和稳定 性。
考虑非线性关系
探索模型中变量之间的非线性关系，以更准确地描 述金融市场的复杂性和不确定性。
考虑时变参数
研究模型参数随时间变化的特性，以更好地 反映市场环境和投资者情绪的变化。
模型设定误差
假设与现实的偏离
套利定价模型基于一系列假设， 如市场有效性、无摩擦成本等。 如果这些假设不成立，模型可能 无法准确反映现实市场的套利机 会。
参数估计误差
模型参数的估计可能存在误差， 这会影响模型的预测精度和稳定 性。
风险因子的选择
选择正确的风险因子是关键，但 确定所有相关的风险因子可能是 一项挑战。
行为金融学
将套利定价模型与行为金融学理论相 结合，研究投资者心理和行为对市场 价格的影响。
市场微观结构理论
探讨套利定价模型在市场微观结构中 的作用，以更深入地理解市场交易机 制和价格形成机制。
THANKS
感谢观看
02
无套利原则
套利定价模型的基本假设是市场是无套利的，即不存在套利机会。这意
味着投资者无法通过低买高卖来获得无风险的利润。
03
apt套利定价模型公式
apt套利定价模型公式APT套利定价模型公式APT套利定价模型（Arbitrage Pricing Theory，简称APT）是一种用于评估资产定价的理论模型。
它基于一个假设，即资产的预期收益可以通过一系列因素的组合来解释和预测。
这些因素可以是宏观经济因素、行业特定因素或公司特定因素等。
APT套利定价模型的公式如下：Er = Rf + β1F1 + β2F2 + ... + βnFn + ε其中，Er表示资产的预期收益率；Rf表示无风险利率；β表示资产对各因素的敏感度或贝塔系数；F表示各因素的影响；ε表示不可解释的部分或误差项。
根据APT套利定价模型，资产的预期收益率可以通过对各因素的敏感度进行加权求和来确定。
这些因素可以是市场因子（如股票市场的整体表现）、经济因子（如通货膨胀率、利率水平等）或公司特定因子（如盈利能力、市场份额等）。
在使用APT套利定价模型时，首先需要确定适用于特定资产的相关因素，并计算出每个因素的贝塔系数。
然后，根据资产的预期收益率、无风险利率和各因素的敏感度，可以使用公式来计算资产的合理定价。
APT套利定价模型的优势在于它可以通过考虑多个因素来解释和预测资产的收益，相比于传统的CAPM模型，更具灵活性和适应性。
它可以更好地适应不同市场环境和资产特征，提供更准确的定价结果。
然而，APT套利定价模型也存在一些局限性。
首先，确定适用于特定资产的因素和计算贝塔系数是一个复杂的过程，需要充分的数据和分析。
其次，模型中的预期收益率、因子敏感度等参数的确定也存在一定的主观性和不确定性。
为了有效利用APT套利定价模型，投资者需要进行充分的研究和分析。
他们需要收集和整理相关数据，确定适用于特定资产的因素，并计算出各因素的贝塔系数。
然后，他们可以使用公式来计算资产的预期收益率，并与市场价格进行比较，以确定是否存在套利机会。
APT套利定价模型是一种用于评估资产定价的理论模型。
它通过考虑多个因素的影响来解释和预测资产的预期收益率。
套利定价理论(APT)
其中: I 是影响各证券收益率的因子的收益率; AJ是因子 I 收益率为零时证券 J 的预期收益率; J是因子 I 收益率变化对证券 J 收益率的影响程度;
J是证券 J 的收益率为与因子 I 无关的残差。
并假设有：
E( J ) 0
J 1
J 1
2 X
2
(I
)
2
(
X
)
其中
n
A.X xJ AJ J 1
n
X xJ J J 1
n
2 ( X ) xJ2 2 ( J ) J 1
根据套利定价思想， 在出现套利机会时，投资者 将构造套利组合，来增加已有投资组合的预期收益 率。
度的因子i1, i2, i 1, 2,3 的客观统计估计值：
证券 i 的收益率 E(ri )
i1
i2
r1
11%
0.5
2.0
r2
25%
1.0
1.5
r3
23%
1.5
1.0
以及E(I1) 20%,E(I 2) 8% ，如果无风险收益率为
rf 10%
k
rJ rF Ji (Ii rF ) i 1
K
rJ AJ Ji Ii J , J 1, , N
其中：
i 1
I1 , Ik 是影响各证券收益率的因子(或称指数)的收益率 Aj ,是多因子收益率为0时证券J的预期收益率
Ji (i 1, , k),是因子Ii收益率变化对证券J收益率的影响程度 J ,是证券J的收益率与各因子Ii无关的残差
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➢从这个例子可以看出，A在任何一期的 回报率包含了三种成份：
1.在任何一期都相同的部分a 2.依赖于GDP的预期增长率，每一期都不相
同的部分b×IGDPt 3.属于特定一期的特殊部分et。
➢ 不花钱就能挣到钱，即免费的午餐！
▪ 两种套利方法：
➢ 当前时刻净支出为0，将来获得正收益（收益 净现值为正）
➢ 当前时刻一系列能带来正收益的投资，将来的 净支出为零（支出的净现值为0）。
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在两因子模型下，对于证券i ，其回报率的均值
ri ai bi1f1bi2f2
其回报率的方差
证券i对因子1的敏感度
i 2 b i 2 12 f 1 b i 2 22 f2 2 b i1 b i2 c o v (f1 ,f2 ) e 2 i
对于证券i和j，其协方差为
ij cov(ri,rj)cov(aibi1f1bi2f2ei,
a i =截距项
b i m =证券i对因素m的敏感度
e i t =随机误差项，
E [ e i t] 0 ,c o v (i t,r m t) 0 ,c o v (i t,j t) 0
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➢ 例子：公用事业公司与航空公司，前者对GDP 不敏感，后者对利率不敏感。
▪ 单因素模型难以把握公司对不同的宏观经 济因素的反应。
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两因子模型
▪ 若只考虑一期的模型，则可以省略表示时 间的下标，从而两因子模型方程为
10.2 因子模型 （Factor model）
▪ 定义：因子模型是一种假设证券的回报率 只与不同的因子波动（相对数）或者指标 的运动有关的经济模型。
▪ 因子模型是APT的基础，其目的是找出这 些因素并确认证券收益率对这些因素变动 的敏感度。
▪ 依据因子的数量，可以分为单因子模型和 多因子模型。
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riaib i1f1b i2f2ei
其 中 ， E [ e i] 0 ,c o v ( e i,e j) 0
c o v (e i,f1 ) 0 ,c o v (e i,f2 ) 0
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投资学 第10章
套利定价理论（APT）
1
10.1 概述
▪ 在上一章，为了得到投资者的最优投资组 合，要求知道：
➢ 回报率均值向量 ➢ 回报率方差-协方差矩阵 ➢ 无风险利率
▪ 估计量和计算量随着证券种类的增加以指 数级增加
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rt
r6 13.0%
e6 3.2%
▪ 4%
IGDP6 2.9%
I G D Pt
▪ 图中，横轴表示GDP的增长率，纵轴表示 股票A的回报率。图上的每一点表示：在 给定的年份，股票A的回报率与GDP增长 率。
▪ 通过线性回归，我们得到一条符合这些点 的直线为（极大似然估计）
rt 4% 2IG D P tet
子载荷（factor loading）
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▪ 为简单计，只考虑在某个特定的时间的因 子模型，从而省掉角标t，从而（10.1）式 变为
r i a i b if e i
（10.2）
并且假设 (1)cov(ei,f)0
E[ei ] 0
(2)cov(ei,ej)0
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▪ 假设(1)：因子f具体取什么值对随机项没有 影响，即因子f与随机项是独立的，这样保 证了因子f是回报率的唯一因素。
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单因子模型具有两个重要的性质
2. 风险的分散化
➢分散化导致因子风险的平均化
➢分散化缩小非因子风险
n
lnimp2
limD( n i1
wi(ai
bi
f
ei))
lnimbp2f 2 ep2
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▪ 通过分析上面这个例子，可归纳出单因子模型的 一般形式：对时间t 的任何证券i 有时间序列
rit ai bift eit
（10.1）
▪ 其中：
➢ ft是t时期公共因子的预测值； ➢ rit在时期t证券i的回报； ➢ eit在时期t证券i的特有回报 ➢ ai零因子 ➢ bi证券i对公共因子f的敏感度(sensitivity),或因
▪ 两因子模型同样具有单因子模型的重 要优点：
➢ 有关资产组合有效边界的估计和计算量大 大减少（但比单因子增加），若要计算均 方有效边界，需要
n个期望收益，n个bi1， n个bi2， n个残差，2 个因子f方差，1个因子间的协方差，共4n＋3 个估计值。
➢ 分散化导致因子风险的平均化。 ➢ 分散化缩小非因子风险。
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3. 按12%的利率贷出一笔1年期的款项金 额为1000万元。
4. 1年后收回1年期贷款，得本息1127万元 （等于1000e0.12×1），并用1110万元 （等于1051e0.11×0.5）偿还1年期的债务 后，交易者净赚17万元（1127万元1110万元）。
ajbj1f1bj2f2ej)
b i 1 b j 12 f1 b i 2 b j 22 f2 ( b i 1 b j 2 b i 2 b j 1 ) c o v ( f 1 ,f 2 )
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▪ 例1：设证券回报仅仅与市场因子回报有关
rit ai bimrmt eit
其中
r it rm t
=在给定的时间t，证券i 的回报率 =在同一时间区间，市场因子m的相对数
对于证券i，由（10.2）其回报率的均值（期望值）
为
ri ai bi f
（10.3）
其回报率的方差
因子风险
i2 bi22f e2i
非因子风险
对于证券i和j而言，它们之间的协方差为
ij cov(ri,rj)cov(aib ifei,ajbjfej)
b ibj
2 f
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E[ei]0,cov(ei, fj) 0 cov(ei,ek) 0,i k
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10.3 套利定价理论（APT）
▪ 定义：套利（Arbitrage）是同时持有一种 或者多种资产的多头或空头，从而存在不 承担风险的情况下锁定一个高于无风险利 率的收益。
因子模型回归
年份 1 2 3 4 5 6
IGDPt（%） 5.7 6.4 8.9 8.0 5.1 2.9
股票A收益率（%） 14.3 110.2 23.4 15.6 10.2 13.0
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▪ 假设现在6个月即期年利率为10%（连续复 利，下同），1年期的即期利率是12%。如 果有人把今后6个月到1年期的远期利率定 为11%，则有套利机会。
▪ 套利过程是：
1. 交易者按10%的利率借入一笔6个月资金（假 设1000万元）
2. 签订一份协议（远期利率协议），该协议规定 该交易者可以按11%的价格6个月后从市场借 入资金1051万元（等于1000e0.10×0.5）。
▪ 相反，APT所作的假设少得多。APT的基 本假设之一是：个体是非满足，而不需要 风险规避的假设！
➢ 每个人都会利用套利机会：在不增加风险的前 提下提高回报率。
➢ 只要一个人套利，市场就会出现均衡！
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➢ 若不独立，结果是什么？
▪ 假设(2)：一种证券的随机项对其余任何证 券的随机项没有影响，换言之，两种证券 之所以相关，是由于它们具有共同因子f所 致。