概率论与数学建模

第六章 概率论与数学建模

一、随机事件及其概率

1、随机事件:可重复;可预测结果且结果明确;试验前出现那个结果不

能确定

例如:抛骰子一次,抛一枚硬币三次等。

2、事件的运算及其含义:

B A ⊂:A 为B 的子事件。其含义就是:A 发生则B 必发生

B A =:事件A,B 相等。其含义就是:A 发生则B 必发生,反之亦然

C B A =⋂:事件A 与B 的交。其含义就是:C 发生当且仅当A,B 同时发

生

C B A =⋃:事件A 与B 的并(与)。其含义就是:C 发生当且仅当A,B 中

至少有一个发生。

C B A =-:事件A 与B 的差。其含义就是:C 发生当且仅当A 发生并且

B 不发生。

φ=AB :事件A 与B 互不相容。其含义就是:A 与B 不可能同时发生。 A :事件A 的对立事件。

3、概率:刻化某一事件在一次试验中发生的可能性大小的数量指标。

(当∞→n 时,)()(A P A f P −→−

) 4、古典概论:某个试验共有n 个等可能的结果(样本点),事件A 包含其中m 个结果(样本点),则认为n

m 就就是事件A 的概率。这种基于等可能性确定概率的模型称为古典概率模型。

例6、1、1(Monte Hall Problem)20世纪60,70年代,美国“电视游戏秀”

曾经非常流行一个名叫“Let ’s Make a Deal ”的节目,由Monte Hall 主持。游戏过程如下:有三扇关着的门,其中一扇门后面有奖品(一辆汽车),其余两扇门后面则没有奖品,若猜中了有奖品的门就能赢取这辆汽车。您从中挑选一扇门,但暂不打开。这时,主持人在另外两扇门中挑一个没有奖品的门打开,并展示给您与观众。然后,主持人问您:就是坚持原来的选择,还就是换成最后那扇门？

解:从能不能得奖的角度瞧,这个游戏只有两个结果:不换门得奖(A)、换门能得奖(B)。第一个门就是您“三选一”随机(等可能地)挑选的,故P(A)=1/3,自然,另一个结果的概率就就是P(B)=2/3。因此,正确的决定就是换成那扇门。

例6、1、2(抽签原理)袋中有2只红球8只黑球(除颜色外无法再分辨)。10个人依次摸球,得红球者中奖。求:k A ＝{第k 个摸球者中奖}的概

率,k=1,2,…,10

解法一:假定对解题者来说这些球可辨别。样本点为一轮抽签结束后这10个球的排列,共有10！个等可能的样本点。事件k A 所含样本点的

特征就是:两个红球中任选一个排在第k 位(有12C 种可能),而其余9个

球在其余9个位置上可任意排列(有9！种可能)。因此k A 包含了9！12

C 个样本点,故5

1!10!9)(12==C A P K 、 解法二:假定球不可辨,只需关注红球落入哪两个人之手,样本空间共

有45210

=C 个等可能的样本点。事件k A 发生意味着第k 个人得一红球,另一红球落入其余9人中某一人之手,这有19C 种可能,所以

5

1459)(==K A P 。 例6、1、3(分球入盒模型)将2只球随机地放入3个可辨的盒子中。求事件A={甲乙两个盒子中各有一只球}的概率。

模型一:假定球可辨,根据乘法原理,样本空间有23个等可能的样本点,而事件A 所含的样本点有222=P 个(两只球的排列),所以9

2)(=A P 、

模型二:假定球不可辨,则样本空间共有624=C 个样本点(两块隔板就可以代表三个盒子,两只球以及两块隔板共4个位置,任选其中两个放置隔板):

⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯,,,,, 而事件A 所含的样本点只有一个。

人的直觉经验一般应该就是这样的:从物理学上说,球总就是可辨

的(难以想象这个球既就是这个球又就是那个球),所谓不可辨,也只就是根据问题或研究的目的,不在乎它们之间的区别而已。如果需要,后三种情形还就是可以区别的。因此,现在这6个样本点不就是等可能的:前三个均为91,后三个均为92。故答案应该还就是92)(=A P 。

例6、1、4(浦丰投针问题)在平面上画一些间距为d 的平行线,向此平面投掷一根长为l 的(l

略。

5、条件概率、乘法公式、独立性、全概率公式、贝叶斯公式

(1)条件概率:)/(B A P 表示事件B 发生的条件下事件A 发生的概率。且

)()()/(B P AB P B A P =

(2) 乘法公式:若0)(>B P ,有)()/()(B P B A P AB P ⋅=、

(3)独立性:若0)(>B P ,0)(>B P 有)()()(B P A P AB P ⋅=或)()/(A P B A P =。则

称A 、B 相互独立。

(4)全概率公式:设n B B ,,1Λ就是S 的一个分割,且0)(>j B P ,则对任一事件S A ⊂,有∑==N

J J J B A P B P A P 1)/()()(、

条件全概率公式:设n B B ,,1Λ就是S 的一个分割,且

0)(>j B P ,0)(>C P ,0)(>C B P j ,则

∑==n

j j j CB A P C B P C A P 1)/()/()/(

例6、1、5(Polya 模型)罐子里有r 只红球与b 只黑球,随机取出一球,放回后再加入同颜色的球c 只。如此下去,求第n 次取出红球的概率。 解:设n R ={第n 次取出的就是红球},n B ={第n 次取出的就是黑

球},n=1,2,…、根据全概率公式,有

b

r r c b r r b r b c b r c r b r r B R P B P R R P R P R P +=++⋅+++++⋅+=+=)

/()()/()()(1211212 依次递推,易知有b

r r R P n +=)(。 (5)贝叶斯公式:设n B B ,,1Λ就是S 的一个分割,且0)(>j B P ,则对概率大于零的事件S A ⊂,有

∑==n j j j i i i B A P B

P B A P B P A B P 1)

/()()

/()()/( i=1,2,…,n 例6、1、6一个从不抽烟的60岁男性去医院瞧病,主诉有症状A={慢性咳嗽及非经常性憋气},医生安排她做肺部活组织检验,假定检验只