凸透镜标准不确定度的误差分析

凸透镜焦距的测定的误差分析

林明菊

摘要：透镜是光学仪器中最基本的光学元件，而透镜焦距是透镜的重要参量之一，透镜的成像位置及性质（大小、虚实）均与其有关。本文通过对凸透镜焦距测定的研究，在相同测量条件下采用两次成像法取不同的d、D值测得的结果进行比较分析，总结出D值的选取对不确定度影响的规律，为焦距测量实验提供一些数据参考。

关键词：薄透镜；凸透镜；焦距；测量方法；实验误差

不同透镜有不同的焦距，而同一透镜的焦距有多种测量方法，对于测量方法的选取应根据不同的透镜、不同的精度要求和具体的实验条件选择合适的方法。测量凸透镜焦距的方法主要有以下几种：物距像距法测凸透镜焦距、辅助透镜成像法测凸透镜焦距、两次成像法测凸透镜焦距（又称共轭法、贝塞尔法或位移法）、自准直法测凸透镜焦距等。笔者根据现有的实际情况及实验条件，对大学物理中常用的两次成像法，选取在各种物屏像屏距离D值（D＞4f）的情况下测量凸透镜焦距，并通过不确定度分析总结出在相同条件下，如何选取合适的物屏像屏距离才能测得较精确结果的结论。

1．透镜基本知识

透镜是由两个折射面所限定的透明体组成称为透镜，是光学仪器中最基本的光学元件。薄透镜是透镜中最基本的一种，其厚度较自身球面的曲率半径及焦距要小得多，厚度可忽略不计。薄透镜可分为凸透镜和凹透镜。其中心厚度大于边缘厚度的称为凸透镜，中心厚度小于边缘厚度的称为凹透镜[1]。

焦距是光学系统中衡量光的聚集或发散的度量参数，指从透镜的光心到光聚集之焦点的距离，它是表征透镜成像性质的重要参数。

2. 测量值不确定度的意义

在物理测量中，测量的理想值是获得被测量在测量条件下的真值，但在实际的测量过程中由于实验方法、实验仪器和实验者操作技能等因素的影响，测量值只能是被测量的一个近似值，但它是在真实值附近的一个测量值范围内，测量不确定度就是评定此测量值范围的一个测量质量指标。若此量值范围越窄，即测量不确定度越小，则测量值表示真实值的可能性就越高[2]。

由于测量值有误差，误差的来源不同对其测量值的影响也不同。总体来说物理实验测量的误差来源主要为两类，一类是偶然误差，另一类是系统误差（仪器引入的误差和实验方法引入的误差）。偶然误差是由重复测量产生偶然效应，使测量值分散而引入的，因此用统计的方法评定标准不确定度，就是标准不确定度的A 类评定；仪器引入的误差是由于仪器的影响，使测量值向某一方向有恒定的偏移而引入，因此用统计的方法评定标准不确定度，就是标准不确定度的B 类评定。由于其测得值的不确定度来源不止一个，所以对于某物理量测定后，要计算测得值的不确定度，要合成其标准不确定度，即称为合成标准不确定度)(f u '。在本文中对凸透镜焦距的分为九组（每组测五次）进行测量后，分别求合成标准不确定度，用以探究与真实值最接近的一个焦距值范围。 3. 测凸透镜焦距所使用实验仪器

光具座是测量几何光学的重要实验仪器之一。它不仅造型美观、结构合理，而且使用灵活方便、经久耐用，是测量凸透镜焦距的必备仪器，尤其是导轨与滑座各附标尺，便于测量滑座平移的距离。它由导轨（用于盛放双面像屏、激光光源支架、弹性镜架等仪器器件）、滑座（调节滑座使其标尺零位对准导轨中央的凸棱，以此作为水平位的初始状态）、可调支架、弹性镜架、弹簧片架、弹簧片架、双面像屏、激光光源支架、延伸架、光源用开关电源、可调升降立柱、刻度载物平台等组成。

4. 两次成像法测量凸透镜焦距的实验原理

两次成像法测凸透镜焦距光路图如下图所示。设保持物屏与像屏的相对位置不变，并使其距离'4f D >，当凸透镜置于物屏与像屏之间时，可以找到两个透镜位置，像屏上都能得到清晰的像，如图所示。透镜两个位置（1L 与2L ）之间的距离的绝对值为d 。运用物像的共轭对称性质，容易证明

D

d D f 422'

-=

只要测出d 和D ，就可以算出'f 。由于'f 是通过透镜两次成像而求得的，因而此法又称为两次成像法。同时可以看出，成像时都是把透镜看成无限薄的，物距与像距都近似地用从透镜光心算起的距离来代替，而这种方法中则毋须考虑透

'

"

镜本身的厚度。因此，用这种方法测出的焦距一般较为准确[3]。 5. 测凸透镜焦距的实验方法

测凸透镜焦距首先要对光学系统进行共轴调节，其目的是使各透镜的光轴重合且与光具座的导轨严格平行，光线能通过各元件中心，将像呈现在像屏上，进而避免不必要的像差和使读数准确，共轴调节的有粗调和细调两个步骤。若在物屏、像屏、光源不变的情况下，移动凸透镜，两次成像的像中心位置不变，则可以判断出各元件已经共轴[4]。

在共轴调节完成之后才能进行凸透镜焦距的测量，将物屏与像屏固定在相距大于'4f 的位置，测出它们之间的距离D ，但要注意的是测量物、透镜及像的位置时，要检查滑块上的读数准线和被测平面是否一致，如果不一致会导致误差，该实验是用T 形辅助棒法去测，位置统一由辅助棒法所在滑块的准线去读，误差将会减小。再者人眼对成像的清晰度的分辨能力不是很强，因而像屏在一小范围p '

∆内移动时，人眼所见的像是同样清晰的，此范围为深景。为了减少由此引入的误差，

可由进向远和由远向近移动白屏，去探测像的位置，并取二位置的平均值为像的位置。如上图所示，移动透镜，使屏上得到清晰的物像，记录透镜的位置1L 。移动透镜至另一位置，使屏上又得到清晰的物像，再记录透镜的位置2L ，重复5次，求其平均值及标准不确定度，最后得出实验结果。改变屏的位置，测九组有效数据。

6．凸透镜焦距的测量数据及不确定度估算

6.1 第1组实验数据 （物屏位置P ：1

7.30 cm 像屏位置P ＇：95.05 cm ）

物屏像屏距离D1= 77.75 cm 不确定度计算及实验结果： 平均值：'1

1∑=

i d n

d =(37.00+36.43+36.62+36.54+36.50)/5

=36.62 cm

平均值：'1

'∑=

i f n

f =(15.04+15.22+15.13+15.14+15.15)/5

=15.14 cm