《应用数学基础》 (谢政 著) 课后习题答案 国防工业出版社习题1解答
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−1
: Y → X 存在的充要条件是 Tx = 0 ⇒ x = 0 ；
−1 −1
(2) 若逆映射 T 存在，则 T 也是线性算子． 证明 (1) 由于 T 是满射，则 R (T ) = Y ．
−1
必要性． 假设 T 的逆映射 T 以及 T 为单射可知 x = 0 ．
: Y → X 存在， 则 T 为单射． 若 Tx = 0 ， 则由 T 0 = 0
⎡0⎤ ⎢a ⎥ ⎢ ⎥, ⎢0⎥ ⎢ ⎥ ⎣c ⎦
⎡b ⎤ ⎢0⎥ ⎢ ⎥, ⎢d ⎥ ⎢ ⎥ ⎣0⎦
⎡0⎤ ⎢b ⎥ ⎢ ⎥， ⎢0⎥ ⎢ ⎥ ⎣d ⎦
案
⎡a ⎢0 ⎢ ⎢c ⎢ ⎣0
0 a 0 c
b 0 d 0
0⎤ b⎥ ⎥． 0⎥ ⎥ d⎦
9. 设 T 是三维线性空间 X 上的线性变换，它关于基 {e1 , e2 , e3 } 的矩阵是
2×2
⎧ ⎡1 ⎨⎢ ⎩ ⎣0
的矩阵． 解
⎡0 ⎢0 ⎣
2×2
1⎤ , 0⎥ ⎦
⎡0 ⎢1 ⎣
0⎤ , 0⎥ ⎦
⎡0 ⎢0 ⎣
0⎤ ⎫ ⎬ 1⎥ ⎦⎭
(1) 令 K = {TX |X ∈ ℝ
} ，则 K 为 ℝ 2×2 的线性子空间， T 为 ℝ 2×2 → K 上
的映射，且有 ∀X 1 , X 2 ∈ ℝ
0⎤ ⎡1 = b⎢ ⎥ 0⎦ ⎣0
b⎤ ⎡0 = b⎢ ⎥ d⎦ ⎣0
即 TE11 , TE12 , TE 21 , TE 22 关于基 {E11 , E12 , E 21 , E 22 } 的坐标依次为
网
课
因此 T 关于基 {E11 , E12 , E 21 , E 22 } 的矩阵为
后 答
⎡a ⎤ ⎢0⎥ ⎢ ⎥, ⎢c ⎥ ⎢ ⎥ ⎣0⎦
2×2
， ∀λ ∈ [0,1] ，有
T ( X1 + X 2 ) = A0 ( X1 + X 2 ) = A0 X1 + A0 X 2 = TX1 + TX 2 ， T (λ X1 ) =A0 λ X1 =λ A0 X1 =λTX1 ，
因此 T 为 ℝ (2) 记
2×2
上的线性变换．
⎡1 E11 = ⎢ ⎣0
充分性． ∀x1 , x2 ∈ X ， 若 x1 ≠ x2 ， 则 x1 − x2 ≠ 0 ， 从而由假设知 T (x1 − x2 ) ≠ 0 ， 即 Tx1 ≠ Tx2 ，因此 T 为单射，则 T 的逆映射 T
−1
: Y → X 存在．
(2) ∀y1 , y2 ∈ Y ，由于 T 是满射， ∃x1 , x2 ∈ X , s. t. Tx1 = y1 , Tx2 = y2 ，则
λ y1 + (1 − λ )y2 = λ Ax1 + (1 − λ )Ax2 = A(λ x1 + (1 − λ )x2 ) ∈ { Ax x ∈ S} ，
因此 { Ax x ∈ S } 为凸集． 6. 设 A ∈ ℝ 证明
m×n
， b ∈ ℝ ，证明 { x ∈ ℝ Ax = b, x ≥ 0} 是凸集．
(A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) ⊆ A ∩ (B ∪ C ) ，
因此 A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) ． 2. 检验下列集合对于所给定的线性运算是否构成 ℝ 上的线性空间：
(1) 所有 n 阶实对称矩阵的集合，按矩阵的加法和数乘； (2) ⎨ x(t )
⎧ ⎪ ⎪ ⎩
0⎤ ⎡1 = a ⎢0 0⎥ ⎦ ⎣
0⎤ ⎡0 + c ⎢1 0⎥ ⎦ ⎣ 1⎤ ⎡0 +c⎢ ⎥ 0⎦ ⎣0 0⎤ ⎡0 +d ⎢ ⎥ 0⎦ ⎣1 1⎤ ⎡0 +d⎢ ⎥ 0⎦ ⎣0
0⎤ ． 0⎥ ⎦ 0⎤ ， 1⎥ ⎦ 0⎤ ， 0⎥ ⎦ 0⎤ ， 1⎥ ⎦
a⎤ ⎡0 = a⎢ ⎥ c⎦ ⎣0
则
0⎤ ⎡0 , E12 = ⎢ ⎥ 0⎦ ⎣0
1⎤ ⎡0 , E 21 = ⎢ ⎥ 0⎦ ⎣1
0⎤ ⎡0 , E 22 = ⎢ ⎥ 0⎦ ⎣0
0⎤ ， 1⎥ ⎦
⎡a TE11 = A0 E11 = ⎢ ⎣c ⎡0 TE12 = A0 E12 = ⎢ ⎣0 ⎡b TE21 = A0 E21 = ⎢ ⎣d ⎡0 TE22 = A0 E22 = ⎢ ⎣0
m
n
记 K = { x ∈ ℝ Ax = b, x ≥ 0} ，则 ∀x1 , x2 ∈ K ， ∀λ ∈ [0,1] ，有
n
A(λ x1 + (1 − λ ) x2 ) = λ Ax1 + (1 − λ ) Ax2 = λ b + (1 − λ )b = b ， λ x1 + (1 − λ ) x2 ≥ 0 ，
因此 X 中每个元素的负元素也是惟一的． 4. 证明线性空间 X 的任何两个子空间的交是 X 的子空间．试举例说明 X 的两个子 空间的并不一定是 X 的子空间． 证明 设 Y1 ， Y2 均为线性空间 X 的子空间，显然 0 ∈ Y1 ， 0 ∈ Y2 ，则 Y1 ∩ Y2 ≠ ∅ ．
案
∀x, y ∈ Y1 ∩ Y2 ， ∀λ ∈ Å ，有 x, y ∈ Y1 ，且 x, y ∈ Y2 ，则
后 答 课
2
网
x + y ∈ Y1 ， x + y ∈ Y2 λ x ∈ Y1 ， λ x ∈ Y2 ， x + y ∈ Y1 ∩ Y2 ， λ x ∈ Y1 ∩ Y2 ，
T T 2
即
因此 Y1 ∩ Y2 为 X 子空间． 在向量空间 ℝ 中， X = {(x, 0) | x ∈ ℝ} ， Y = {(0 , y ) | y ∈ ℝ} 均为 ℝ 上的线性 子空间，但 X ∪ Y 对加法运算不封闭，故 X ∪ Y 不是 ℝ 上的线性子空间．
ax bx ax bx ax bx
2
ax
bx
因此该线性子空间的维数为 3； 当a = 0 一个线性无关集， 从而 {1, e , xe } 为其一组基， 时， {1, xe } 为此该线性子空间的一组基，该该线性子空间的维数为 2． (2) 因 1 = cos 2 x + 2sin x ，且 cos 2 x , 2sin x 线性无关，故 {cos 2 x,sin x} 为
2
5. 设 S ⊆ ห้องสมุดไป่ตู้ 为凸集， A ∈ ℝ
n
m× n
，证明 { Ax x ∈ S } 是凸集．
证明
由于 S ∀y1 , y2 ∈ { Ax x ∈ S } ， ∃x1 , x2 ∈ S , s.t. y1 = Ax1 , y2 = Ax2 ，
为凸集，因此 ∀λ ∈ [0,1] ，有 λ x1 + (1 − λ )x2 ∈ S ，从而
习题 1 答案
1. 设 A,B,C 是三个集合，证明：
(1) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C ) ； (2) A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) ．
证明 (1)
(A ∪ B) ∪ C = {x | x ∈ A ∪ B 或 x ∈ C} = {x | x ∈ A 或 x ∈ B 或 x ∈ C} = {x | x ∈ A 或 x ∈ C ∪ B} = A ∪ (B ∪ C ) .
⎡ 1 A=⎢ ⎢ −1 ⎢ ⎣ 2
2 0 1
3⎤ ， 3⎥ ⎥ 5⎥ ⎦
令 b1 = e1 ， b2 = e1 + e2 ， b3 = e1 + e2 + e3 ，证明 {b1 , b2 , b3} 是线性空间 X 的基，并求 T 关于基 {b1 , b2 , b3} 的矩阵． 证明 注意到
⎡1 (b1 , b2 , b3 ) = (e1 , e2 , e3 ) ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0
即 λ x1 + (1 − λ ) x2 ∈ K ，从而 K 是凸集． 7. 设 X 是定义在 ℝ 上的全体实函数构成的线性空间，计算下列集合所生成的子空 间的基和维数： (1) {1, e , xe } (a ≠ b) ； (2) {1, cos 2 x,sin x} ． 解 (1) 当 a ≠ 0 时， 显然 {1, e , xe } 是 {1, e , xe } 所生成的 X 的线性子空间上
且
1 1 0
1⎤ 1⎥ ⎥, 1⎥ ⎦
1 0 0
1 1 0
1 1 ≠ 0， 1
因此 {b1 , b2 , b3} 为线性空间 X 的基．于是
网
⎡1 T (b1 , b2 , b3 ) = T (e1 , e2 , e3 ) ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0 ⎡1 = (b1 , b2 , b3 ) ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0 ⎡ 2 = (b1 , b2 , b3 ) ⎢ ⎢ −3 ⎢ ⎣ 2
1 1 0 1 1 0 4 −4 3
1⎤ ⎡1 ⎥ 1⎥ = (e1 , e2 , e3 ) A ⎢ ⎢0 ⎢ 1⎥ ⎦ ⎣0 1⎤ 1⎥ ⎥ 1⎥ ⎦
−1
1 1 0 1 1 0
1⎤ 1⎥ ⎥ 1⎥ ⎦ 1⎤ 1⎥ ⎥ 1⎥ ⎦
后 答
⎡ 1 ⎢ −1 ⎢ ⎢ ⎣ 2
案
2 0 1
3 ⎤ ⎡1 ⎢ 3⎥ ⎥ ⎢0 5⎥ ⎦⎢ ⎣0
后 答
{
2
⎫ d2 x ⎪ − x = 0, x(t )为实函数 ⎬ ，按通常的函数加法和数乘； 2 dt ⎪ ⎭
案
∫
1 0
网
(3)
f : [0,1] → ℝ
f (x)dx = 0 ，按通常的函数加法和数乘；
课
}
(4) 全体奇函数的集合，按通常的函数加法和数乘； (5) 在 ℝ 上定义如下的加法 ⊕ 和数乘 � :
2 2 2
bx
{1, cos 2 x,sin 2 x} 所生成的 X 的子空间的一组基，其维数为 2．
案
网
0⎤ , 0⎥ ⎦
8. 任意取定 ℝ
后 答
2×2
中的非零元素 A0 = ⎢
⎡a ⎣c
b⎤ ，定义映射 d⎥ ⎦
课
TX = A0 X , ∀X ∈ ℝ 2×2 ．
上的线性变换；
(1) 证明 T 是 ℝ (2) 求 T 关于基
有 x∈ A且 x∈ B ∪ C ． 若 x∈B， 则 x∈ A∩ B ； 若 x∈C ， (2) ∀x ∈ A ∩ (B ∪ C ) ， 则 x ∈ A ∩ C ，从而 x ∈ (A ∩ B ) ∪ (A ∩ C ) ，即
A ∩ (B ∪ C ) ⊆ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) .
又因为 A ∩ B ⊆ A ∩ (B ∪ C) ， A ∩ C ⊆ A ∩ (B ∪ C) ，所以
因此， T 也是线性算子． 11. 设 T 是 线 性 空 间 X 到 线 性 空 间 Y 上 的 线 性 同 构 映 射 ， 证 明 ： X 的 子 集
−1
{x1 , x2 ,… , xk } 线性无关，当且仅当 Y 的子集 {Tx1 , Tx2 ,… , Txk } 线性无关．
θ1 + θ 2 = θ1 ， θ1 + θ 2 = θ 2 ，
则 θ1 = θ 2 ，因此 X 的零元素是惟一的．
∀x ∈ X ，若 y1 , y2 均为 x 的负元素 ，由公理(4)可知
x + y1 = 0 ， x + y2 = 0 ，
则
y1 = y1 + 0 = y1 + x + y2 = 0 + y2 = y2 ，
因此 T 关于基 {b1 , b2 , b3 } 的矩阵为
课
4⎤ ， −6 ⎥ ⎥ 8⎥ ⎦
⎡ 2 ⎢ ⎢ −3 ⎢ ⎣ 2
4 −4 3
4⎤ ⎥． −6⎥ 8⎥ ⎦
10. 设 X 和 Y 是同一个数域 Å 上的两个线性空间，若 T : X → Y 是线性算子，且 T
是满射，证明： (1) 逆映射 T
( x1 , x2 )T ⊕ ( y1 , y2 )T = ( x1 + y1 , x2 + y2 + x1 y1 )T ，
λ (λ − 1) 2 ⎞ ⎛ λ � ( x1 , x2 )T = ⎜ λ x1 , λ x2 + x1 ⎟ ． 2 ⎝ ⎠
解 (1) 构成线性空间．
T
(2) 构成线性空间(根据求导运算的性质)． (3) 构成线性空间(根据积分运算的性质)． (4) 不构成线性空间．因为零函数不是奇函数，所以不存在零元素． (5) 不构成线性空间，因为不存在负元素． 3. 设 X 是数域 Å 上的线性空间，试证：X 的零元素是惟一的；X 中每个元素的负 元素也是惟一的． 证明 假设 θ1 , θ 2 均为 X 的零元素，由公理(3)可知
T −1 (y1 + y2 ) = T −1 (Tx1 + Tx2 ) = T −1T (x1 + x2 ) = x1 + x2 = T −1 y1 + T −1 y2 ， T −1 (λ y1 ) = T −1 (λTx1 ) = T −1T (λ x1 ) = λ x1 = λT −1 y1 ， ∀λ ∈ Å ，
: Y → X 存在的充要条件是 Tx = 0 ⇒ x = 0 ；
−1 −1
(2) 若逆映射 T 存在，则 T 也是线性算子． 证明 (1) 由于 T 是满射，则 R (T ) = Y ．
−1
必要性． 假设 T 的逆映射 T 以及 T 为单射可知 x = 0 ．
: Y → X 存在， 则 T 为单射． 若 Tx = 0 ， 则由 T 0 = 0
⎡0⎤ ⎢a ⎥ ⎢ ⎥, ⎢0⎥ ⎢ ⎥ ⎣c ⎦
⎡b ⎤ ⎢0⎥ ⎢ ⎥, ⎢d ⎥ ⎢ ⎥ ⎣0⎦
⎡0⎤ ⎢b ⎥ ⎢ ⎥， ⎢0⎥ ⎢ ⎥ ⎣d ⎦
案
⎡a ⎢0 ⎢ ⎢c ⎢ ⎣0
0 a 0 c
b 0 d 0
0⎤ b⎥ ⎥． 0⎥ ⎥ d⎦
9. 设 T 是三维线性空间 X 上的线性变换，它关于基 {e1 , e2 , e3 } 的矩阵是
2×2
⎧ ⎡1 ⎨⎢ ⎩ ⎣0
的矩阵． 解
⎡0 ⎢0 ⎣
2×2
1⎤ , 0⎥ ⎦
⎡0 ⎢1 ⎣
0⎤ , 0⎥ ⎦
⎡0 ⎢0 ⎣
0⎤ ⎫ ⎬ 1⎥ ⎦⎭
(1) 令 K = {TX |X ∈ ℝ
} ，则 K 为 ℝ 2×2 的线性子空间， T 为 ℝ 2×2 → K 上
的映射，且有 ∀X 1 , X 2 ∈ ℝ
0⎤ ⎡1 = b⎢ ⎥ 0⎦ ⎣0
b⎤ ⎡0 = b⎢ ⎥ d⎦ ⎣0
即 TE11 , TE12 , TE 21 , TE 22 关于基 {E11 , E12 , E 21 , E 22 } 的坐标依次为
网
课
因此 T 关于基 {E11 , E12 , E 21 , E 22 } 的矩阵为
后 答
⎡a ⎤ ⎢0⎥ ⎢ ⎥, ⎢c ⎥ ⎢ ⎥ ⎣0⎦
2×2
， ∀λ ∈ [0,1] ，有
T ( X1 + X 2 ) = A0 ( X1 + X 2 ) = A0 X1 + A0 X 2 = TX1 + TX 2 ， T (λ X1 ) =A0 λ X1 =λ A0 X1 =λTX1 ，
因此 T 为 ℝ (2) 记
2×2
上的线性变换．
⎡1 E11 = ⎢ ⎣0
充分性． ∀x1 , x2 ∈ X ， 若 x1 ≠ x2 ， 则 x1 − x2 ≠ 0 ， 从而由假设知 T (x1 − x2 ) ≠ 0 ， 即 Tx1 ≠ Tx2 ，因此 T 为单射，则 T 的逆映射 T
−1
: Y → X 存在．
(2) ∀y1 , y2 ∈ Y ，由于 T 是满射， ∃x1 , x2 ∈ X , s. t. Tx1 = y1 , Tx2 = y2 ，则
λ y1 + (1 − λ )y2 = λ Ax1 + (1 − λ )Ax2 = A(λ x1 + (1 − λ )x2 ) ∈ { Ax x ∈ S} ，
因此 { Ax x ∈ S } 为凸集． 6. 设 A ∈ ℝ 证明
m×n
， b ∈ ℝ ，证明 { x ∈ ℝ Ax = b, x ≥ 0} 是凸集．
(A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) ⊆ A ∩ (B ∪ C ) ，
因此 A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) ． 2. 检验下列集合对于所给定的线性运算是否构成 ℝ 上的线性空间：
(1) 所有 n 阶实对称矩阵的集合，按矩阵的加法和数乘； (2) ⎨ x(t )
⎧ ⎪ ⎪ ⎩
0⎤ ⎡1 = a ⎢0 0⎥ ⎦ ⎣
0⎤ ⎡0 + c ⎢1 0⎥ ⎦ ⎣ 1⎤ ⎡0 +c⎢ ⎥ 0⎦ ⎣0 0⎤ ⎡0 +d ⎢ ⎥ 0⎦ ⎣1 1⎤ ⎡0 +d⎢ ⎥ 0⎦ ⎣0
0⎤ ． 0⎥ ⎦ 0⎤ ， 1⎥ ⎦ 0⎤ ， 0⎥ ⎦ 0⎤ ， 1⎥ ⎦
a⎤ ⎡0 = a⎢ ⎥ c⎦ ⎣0
则
0⎤ ⎡0 , E12 = ⎢ ⎥ 0⎦ ⎣0
1⎤ ⎡0 , E 21 = ⎢ ⎥ 0⎦ ⎣1
0⎤ ⎡0 , E 22 = ⎢ ⎥ 0⎦ ⎣0
0⎤ ， 1⎥ ⎦
⎡a TE11 = A0 E11 = ⎢ ⎣c ⎡0 TE12 = A0 E12 = ⎢ ⎣0 ⎡b TE21 = A0 E21 = ⎢ ⎣d ⎡0 TE22 = A0 E22 = ⎢ ⎣0
m
n
记 K = { x ∈ ℝ Ax = b, x ≥ 0} ，则 ∀x1 , x2 ∈ K ， ∀λ ∈ [0,1] ，有
n
A(λ x1 + (1 − λ ) x2 ) = λ Ax1 + (1 − λ ) Ax2 = λ b + (1 − λ )b = b ， λ x1 + (1 − λ ) x2 ≥ 0 ，
因此 X 中每个元素的负元素也是惟一的． 4. 证明线性空间 X 的任何两个子空间的交是 X 的子空间．试举例说明 X 的两个子 空间的并不一定是 X 的子空间． 证明 设 Y1 ， Y2 均为线性空间 X 的子空间，显然 0 ∈ Y1 ， 0 ∈ Y2 ，则 Y1 ∩ Y2 ≠ ∅ ．
案
∀x, y ∈ Y1 ∩ Y2 ， ∀λ ∈ Å ，有 x, y ∈ Y1 ，且 x, y ∈ Y2 ，则
后 答 课
2
网
x + y ∈ Y1 ， x + y ∈ Y2 λ x ∈ Y1 ， λ x ∈ Y2 ， x + y ∈ Y1 ∩ Y2 ， λ x ∈ Y1 ∩ Y2 ，
T T 2
即
因此 Y1 ∩ Y2 为 X 子空间． 在向量空间 ℝ 中， X = {(x, 0) | x ∈ ℝ} ， Y = {(0 , y ) | y ∈ ℝ} 均为 ℝ 上的线性 子空间，但 X ∪ Y 对加法运算不封闭，故 X ∪ Y 不是 ℝ 上的线性子空间．
ax bx ax bx ax bx
2
ax
bx
因此该线性子空间的维数为 3； 当a = 0 一个线性无关集， 从而 {1, e , xe } 为其一组基， 时， {1, xe } 为此该线性子空间的一组基，该该线性子空间的维数为 2． (2) 因 1 = cos 2 x + 2sin x ，且 cos 2 x , 2sin x 线性无关，故 {cos 2 x,sin x} 为
2
5. 设 S ⊆ ห้องสมุดไป่ตู้ 为凸集， A ∈ ℝ
n
m× n
，证明 { Ax x ∈ S } 是凸集．
证明
由于 S ∀y1 , y2 ∈ { Ax x ∈ S } ， ∃x1 , x2 ∈ S , s.t. y1 = Ax1 , y2 = Ax2 ，
为凸集，因此 ∀λ ∈ [0,1] ，有 λ x1 + (1 − λ )x2 ∈ S ，从而
习题 1 答案
1. 设 A,B,C 是三个集合，证明：
(1) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C ) ； (2) A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) ．
证明 (1)
(A ∪ B) ∪ C = {x | x ∈ A ∪ B 或 x ∈ C} = {x | x ∈ A 或 x ∈ B 或 x ∈ C} = {x | x ∈ A 或 x ∈ C ∪ B} = A ∪ (B ∪ C ) .
⎡ 1 A=⎢ ⎢ −1 ⎢ ⎣ 2
2 0 1
3⎤ ， 3⎥ ⎥ 5⎥ ⎦
令 b1 = e1 ， b2 = e1 + e2 ， b3 = e1 + e2 + e3 ，证明 {b1 , b2 , b3} 是线性空间 X 的基，并求 T 关于基 {b1 , b2 , b3} 的矩阵． 证明 注意到
⎡1 (b1 , b2 , b3 ) = (e1 , e2 , e3 ) ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0
即 λ x1 + (1 − λ ) x2 ∈ K ，从而 K 是凸集． 7. 设 X 是定义在 ℝ 上的全体实函数构成的线性空间，计算下列集合所生成的子空 间的基和维数： (1) {1, e , xe } (a ≠ b) ； (2) {1, cos 2 x,sin x} ． 解 (1) 当 a ≠ 0 时， 显然 {1, e , xe } 是 {1, e , xe } 所生成的 X 的线性子空间上
且
1 1 0
1⎤ 1⎥ ⎥, 1⎥ ⎦
1 0 0
1 1 0
1 1 ≠ 0， 1
因此 {b1 , b2 , b3} 为线性空间 X 的基．于是
网
⎡1 T (b1 , b2 , b3 ) = T (e1 , e2 , e3 ) ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0 ⎡1 = (b1 , b2 , b3 ) ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0 ⎡ 2 = (b1 , b2 , b3 ) ⎢ ⎢ −3 ⎢ ⎣ 2
1 1 0 1 1 0 4 −4 3
1⎤ ⎡1 ⎥ 1⎥ = (e1 , e2 , e3 ) A ⎢ ⎢0 ⎢ 1⎥ ⎦ ⎣0 1⎤ 1⎥ ⎥ 1⎥ ⎦
−1
1 1 0 1 1 0
1⎤ 1⎥ ⎥ 1⎥ ⎦ 1⎤ 1⎥ ⎥ 1⎥ ⎦
后 答
⎡ 1 ⎢ −1 ⎢ ⎢ ⎣ 2
案
2 0 1
3 ⎤ ⎡1 ⎢ 3⎥ ⎥ ⎢0 5⎥ ⎦⎢ ⎣0
后 答
{
2
⎫ d2 x ⎪ − x = 0, x(t )为实函数 ⎬ ，按通常的函数加法和数乘； 2 dt ⎪ ⎭
案
∫
1 0
网
(3)
f : [0,1] → ℝ
f (x)dx = 0 ，按通常的函数加法和数乘；
课
}
(4) 全体奇函数的集合，按通常的函数加法和数乘； (5) 在 ℝ 上定义如下的加法 ⊕ 和数乘 � :
2 2 2
bx
{1, cos 2 x,sin 2 x} 所生成的 X 的子空间的一组基，其维数为 2．
案
网
0⎤ , 0⎥ ⎦
8. 任意取定 ℝ
后 答
2×2
中的非零元素 A0 = ⎢
⎡a ⎣c
b⎤ ，定义映射 d⎥ ⎦
课
TX = A0 X , ∀X ∈ ℝ 2×2 ．
上的线性变换；
(1) 证明 T 是 ℝ (2) 求 T 关于基
有 x∈ A且 x∈ B ∪ C ． 若 x∈B， 则 x∈ A∩ B ； 若 x∈C ， (2) ∀x ∈ A ∩ (B ∪ C ) ， 则 x ∈ A ∩ C ，从而 x ∈ (A ∩ B ) ∪ (A ∩ C ) ，即
A ∩ (B ∪ C ) ⊆ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) .
又因为 A ∩ B ⊆ A ∩ (B ∪ C) ， A ∩ C ⊆ A ∩ (B ∪ C) ，所以
因此， T 也是线性算子． 11. 设 T 是 线 性 空 间 X 到 线 性 空 间 Y 上 的 线 性 同 构 映 射 ， 证 明 ： X 的 子 集
−1
{x1 , x2 ,… , xk } 线性无关，当且仅当 Y 的子集 {Tx1 , Tx2 ,… , Txk } 线性无关．
θ1 + θ 2 = θ1 ， θ1 + θ 2 = θ 2 ，
则 θ1 = θ 2 ，因此 X 的零元素是惟一的．
∀x ∈ X ，若 y1 , y2 均为 x 的负元素 ，由公理(4)可知
x + y1 = 0 ， x + y2 = 0 ，
则
y1 = y1 + 0 = y1 + x + y2 = 0 + y2 = y2 ，
因此 T 关于基 {b1 , b2 , b3 } 的矩阵为
课
4⎤ ， −6 ⎥ ⎥ 8⎥ ⎦
⎡ 2 ⎢ ⎢ −3 ⎢ ⎣ 2
4 −4 3
4⎤ ⎥． −6⎥ 8⎥ ⎦
10. 设 X 和 Y 是同一个数域 Å 上的两个线性空间，若 T : X → Y 是线性算子，且 T
是满射，证明： (1) 逆映射 T
( x1 , x2 )T ⊕ ( y1 , y2 )T = ( x1 + y1 , x2 + y2 + x1 y1 )T ，
λ (λ − 1) 2 ⎞ ⎛ λ � ( x1 , x2 )T = ⎜ λ x1 , λ x2 + x1 ⎟ ． 2 ⎝ ⎠
解 (1) 构成线性空间．
T
(2) 构成线性空间(根据求导运算的性质)． (3) 构成线性空间(根据积分运算的性质)． (4) 不构成线性空间．因为零函数不是奇函数，所以不存在零元素． (5) 不构成线性空间，因为不存在负元素． 3. 设 X 是数域 Å 上的线性空间，试证：X 的零元素是惟一的；X 中每个元素的负 元素也是惟一的． 证明 假设 θ1 , θ 2 均为 X 的零元素，由公理(3)可知
T −1 (y1 + y2 ) = T −1 (Tx1 + Tx2 ) = T −1T (x1 + x2 ) = x1 + x2 = T −1 y1 + T −1 y2 ， T −1 (λ y1 ) = T −1 (λTx1 ) = T −1T (λ x1 ) = λ x1 = λT −1 y1 ， ∀λ ∈ Å ，