计算方法试题集及答案
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Sh 额四、计算题：
1、用高斯-塞德尔方法解方程组 ⎪⎩
⎪
⎨⎧=++=++=++22
5218
241124321321321x x x x x x x x x ，取
T
)
0,0,0()
0(=x
，迭代四次(要
求按五位有效数字计算)。 答案：迭代格式
⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨⎧--=--=--=++++++)222(51)218(41)211(4
1)
1(2)1(1)1(3)
(3)1(1)1(2
)
(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x
2、已知
分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求)
(x f 的三次插值多项式)(3x P ，并求
)
2(f 的近似值（保留四位小数）。
答案：)
53)(43)(13()5)(4)(1(6
)
51)(41)(31()5)(4)(3(2
)
(3------+------=x x x x x x x L
)
45)(35)(15()4)(3)(1(4
)
54)(34)(14()5)(3)(1(5
------+------+x x x x x x
差商表为
)
4)(3)(1(4
1)3)(1()1(22)()(33---+----+==x x x x x x x N x P
5
.5)2()2(3=≈P f
4、取步长2.0=h ，用预估-校正法解常微分方程初值问题
⎨
⎧=+='1
)0(32y y x y
)
10(≤≤x
答案：解：
⎪⎩⎪⎨
⎧+++⨯+=+⨯+=++++)]
32()32[(1.0)32(2.0)
0(111)0(1n n n n n n n n n n y x y x y y y x y y
即 04
.078.152.01++=+n n n y x y
7、构造求解方程0
210=-+x e
x
的根的迭代格式
,2,1,0),(1
==+n x x n n ϕ，讨论其收敛
性，并将根求出来，4
110
||-+<-n n x x 。
答案：解：令 0
10)1(,
02)0(,210e
)(>+=<-=-+=e f f x x f x
.
且
10e
)(>+='x
x f )(∞+-∞∈∀，对x ，故0
)(=x f 在(0,1)内有唯一实根.将方程
)(=x f 变形为
)
e 2(10
1x
x -=
则当)1,0(∈x 时
)
e 2(10
1)(x
x -=ϕ，
1
10
e 10
e
|)(|<≤
-
='x
x ϕ
故迭代格式
)
e
2(10
11n
x n x -=
+
收敛。取5
.00
=x ，计算结果列表如下：
且满足
6
6710
95000000.0||-<≤-x x .所以008
525090.0*
≈x
.
8﹑利用矩阵的LU 分解法解方程组
⎪⎩
⎪
⎨⎧=++=++=++20
531825214
32321321321x x x x x x x x x 。
答案：解：⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣
⎡--⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡-==244
1
3
21
15
3
12
1LU A
令b
y
=L 得T
)72,10,14(--=y
，y
x
=U 得T
)3,2,1(=x
.
9﹑对方程组
⎪⎩
⎪
⎨⎧=-+=-
-=++8
4102541015
1023321321321x x x x x x x x x
（1） 试建立一种收敛的Seidel 迭代公式，说明理由； （2） 取初值
T
)
0,0,0()
0(=x
，利用（1）中建立的迭代公式求解，要求3
)()1(10
||||-∞+<-k k x x 。
解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优
⎪⎩
⎪
⎨⎧=++=-+=-
-15
1023841025410321321321x x x x x x x x x
故对应的高斯—塞德尔迭代法收敛.迭代格式为